व्यस्त संबंध. पहिला स्तर

पहिला स्तर

उलट संबंध. पहिला स्तर.

आता आपण व्युत्क्रम अवलंबित्व बद्दल किंवा दुसऱ्या शब्दात - व्यस्त आनुपातिकता, फंक्शन म्हणून बोलू. फंक्शन हे एक विशिष्ट प्रकारचे अवलंबन आहे हे तुम्हाला आठवते का? जर तुम्ही अद्याप विषय वाचला नसेल, तर मी जोरदार शिफारस करतो की तुम्ही सर्व काही सोडून द्या आणि ते वाचा, कारण ते काय आहे हे समजून घेतल्याशिवाय तुम्ही कोणत्याही विशिष्ट कार्याचा अभ्यास करू शकत नाही - एक कार्य.

हा विषय सुरू करण्यापूर्वी दोन सोप्या फंक्शन्समध्ये प्रभुत्व मिळवणे देखील खूप उपयुक्त आहे: आणि . तेथे तुम्ही फंक्शनच्या संकल्पनेला बळकट कराल आणि गुणांक आणि आलेखांसह कार्य करण्यास शिकाल.

तर, फंक्शन म्हणजे काय हे तुम्हाला आठवते का?
आपण पुनरावृत्ती करूया: फंक्शन हा एक नियम आहे ज्यानुसार एका सेटचा प्रत्येक घटक (वितर्क) विशिष्ट (विशिष्ट) शी संबंधित आहे. फक्त एक!) दुसऱ्या संचाचा घटक (फंक्शन मूल्यांचा संच). म्हणजेच, तुमच्याकडे फंक्शन असल्यास, याचा अर्थ व्हेरिएबलच्या प्रत्येक वैध मूल्यासाठी (ज्याला "वितर्क" म्हटले जाते) व्हेरिएबलचे संबंधित मूल्य असते (ज्याला "फंक्शन" म्हणतात). "स्वीकारण्यायोग्य" म्हणजे काय? तुम्ही या प्रश्नाचे उत्तर देऊ शकत नसल्यास, पुन्हा “” विषयावर परत या! हे सर्व संकल्पनेत आहे "डोमेन": काही फंक्शन्ससाठी, सर्व वितर्क तितकेच उपयुक्त नसतात आणि अवलंबित्वांमध्ये बदलले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, फंक्शनसाठी, नकारात्मक वितर्क मूल्यांना परवानगी नाही.

व्यस्त संबंधांचे वर्णन करणारे कार्य

हे फॉर्मचे कार्य आहे जेथे.

दुसऱ्या मार्गाने, याला व्यस्त आनुपातिकता म्हणतात: युक्तिवाद वाढल्याने कार्यामध्ये आनुपातिक घट होते.
चला परिभाषाचे डोमेन परिभाषित करूया. ते काय समान असू शकते? किंवा, दुसऱ्या शब्दांत, ते कशाच्या बरोबरीचे असू शकत नाही?

केवळ एकच संख्या ज्याला भागाकार करता येत नाही.

किंवा, समान काय आहे,

(अशा नोटेशनचा अर्थ असा आहे की ती कोणतीही संख्या असू शकते, याशिवाय: "" चिन्ह वास्तविक संख्यांचा संच दर्शवितो, म्हणजेच सर्व संभाव्य संख्या; "" चिन्ह या संचामधून काहीतरी वगळणे दर्शवते ("वजा" च्या समान ” चिन्ह), आणि कुरळे कंसातील संख्या म्हणजे फक्त एक संख्या; असे दिसून येते की आम्ही सर्व संभाव्य संख्यांमधून वगळतो).

फंक्शन व्हॅल्यूजचा संच, तो अगदी सारखाच आहे: सर्व केल्यानंतर, जर, मग आपण ते कशाने विभागले तरीही ते कार्य करणार नाही:

सूत्राच्या काही भिन्नता देखील शक्य आहेत. उदाहरणार्थ, हे देखील एक कार्य आहे जे व्यस्त संबंधांचे वर्णन करते.
या फंक्शनच्या व्हॅल्यूजच्या व्याख्येचे आणि श्रेणीचे डोमेन स्वतः निश्चित करा. हे असे दिसले पाहिजे:

चला हे कार्य पाहू: . त्याचा उलटा संबंध आहे का?

पहिल्या दृष्टीक्षेपात, हे सांगणे कठीण आहे: शेवटी, वाढीसह, अपूर्णांकाचे भाजक आणि अंश दोन्ही वाढतात, म्हणून कार्य कमी होईल की नाही हे स्पष्ट नाही आणि तसे असल्यास, ते प्रमाणानुसार कमी होईल का? हे समजून घेण्यासाठी, आपल्याला अभिव्यक्तीचे रूपांतर करणे आवश्यक आहे जेणेकरून अंशामध्ये कोणतेही चल नसेल:

खरंच, आम्हाला एक व्यस्त संबंध प्राप्त झाला, परंतु सावधगिरीसह: .

येथे आणखी एक उदाहरण आहे: .

हे येथे अधिक क्लिष्ट आहे: शेवटी, अंश आणि भाजक आता नक्कीच रद्द करत नाहीत. परंतु तरीही आम्ही प्रयत्न करू शकतो:

मी काय केले ते समजले का? अंशामध्ये, मी समान संख्या () जोडली आणि वजा केली, त्यामुळे मला काहीही बदललेले दिसत नाही, परंतु आता अंशामध्ये एक भाग आहे जो भाजकाच्या बरोबरीचा आहे. आता मी पदानुसार पदाची विभागणी करीन, म्हणजे, मी हा अपूर्णांक दोन अपूर्णांकांच्या बेरीजमध्ये विभाजित करेन:

(खरंच, मला जे मिळाले ते सामान्य भाजकात कमी केले तर, आम्हाला आमचा प्रारंभिक अंश मिळेल):

व्वा! ते पुन्हा काम करते व्यस्त संबंध, फक्त आता त्यात एक संख्या जोडली आहे.
आलेख तयार करताना ही पद्धत आपल्याला नंतर खूप उपयोगी पडेल.

आता अभिव्यक्ती स्वतःला एका व्यस्त संबंधात रूपांतरित करा:

उत्तरे:

2. येथे तुम्हाला हे लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे की चौरस त्रिपदी कशाप्रकारे फॅक्टराइज्ड केले जाते (हे "" विषयामध्ये तपशीलवार वर्णन केले आहे). मी तुम्हाला आठवण करून देतो की यासाठी तुम्हाला संबंधित चतुर्भुज समीकरणाची मुळे शोधावी लागतील: . व्हिएटाचे प्रमेय वापरून मी त्यांना मौखिकपणे शोधू शकेन: , . ते कसे केले जाते? विषय वाचून तुम्ही हे शिकू शकता.
तर, आम्हाला मिळते: , म्हणून:

3. आपण आधीच ते स्वतः सोडवण्याचा प्रयत्न केला आहे का? झेल काय आहे? निश्चितच वस्तुस्थिती अशी आहे की आपल्याकडे अंश आणि भाजक आहेत - हे सोपे आहे. काही हरकत नाही. ने कमी करणे आवश्यक आहे, म्हणून अंशामध्ये आपण ते कंसाच्या बाहेर ठेवले पाहिजे (जेणेकरून कंसात आपल्याला ते गुणांकाशिवाय मिळेल):

व्यस्त संबंध आलेख

नेहमीप्रमाणे, सर्वात सोप्या केससह प्रारंभ करूया: .
चला एक टेबल बनवू:

चला समन्वय समतल बिंदू काढू:

आता ते सहजतेने जोडले जाणे आवश्यक आहे, परंतु कसे? हे पाहिले जाऊ शकते की उजव्या आणि डावीकडील बिंदू वरवर न जोडलेल्या वक्र रेषा तयार करतात. तो मार्ग आहे. आलेख असे दिसेल:

या ग्राफला म्हणतात "हायपरबोला"(त्या नावात "पॅराबोला" सारखे काहीतरी आहे, बरोबर?). पॅराबोलाप्रमाणे, हायपरबोलामध्ये दोन शाखा असतात, फक्त त्या एकमेकांशी जोडलेल्या नसतात. त्यांच्यापैकी प्रत्येकजण अक्षांच्या जवळ जाण्याचा प्रयत्न करतो, परंतु त्यांच्यापर्यंत पोहोचत नाही. जर तुम्ही दुरून त्याच हायपरबोलकडे पाहिले तर तुम्हाला खालील चित्र मिळेल:

हे समजण्यासारखे आहे: आलेख अक्ष ओलांडू शकत नाही. पण, त्यामुळे आलेख कधीही अक्षाला स्पर्श करणार नाही.

बरं, आता गुणांकांचा काय परिणाम होतो ते पाहू. या फंक्शन्सचा विचार करा:
:

व्वा, काय सौंदर्य आहे!
सर्व आलेख एकमेकांपासून वेगळे करणे सोपे करण्यासाठी वेगवेगळ्या रंगांमध्ये प्लॉट केलेले आहेत.

तर, आपण प्रथम कशाकडे लक्ष दिले पाहिजे? उदाहरणार्थ, जर फंक्शनमध्ये अपूर्णांकाच्या आधी वजा असेल, तर आलेख फ्लिप केला जातो, म्हणजेच अक्षाच्या सापेक्ष सममितीने प्रदर्शित होतो.

दुसरा: भाजकातील संख्या जितकी मोठी असेल तितका आलेख मूळपासून "दूर पळतो".

फंक्शन अधिक क्लिष्ट दिसल्यास, उदाहरणार्थ,?

या प्रकरणात, हायपरबोल नेहमीच्या सारखाच असेल, फक्त तो थोडासा बदलेल. विचार करूया, कुठे?

आता त्याची बरोबरी काय असू शकत नाही? बरोबर, . याचा अर्थ आलेख कधीही सरळ रेषेपर्यंत पोहोचणार नाही. ते कशाच्या बरोबरीचे असू शकत नाही? आता. याचा अर्थ असा की आता आलेख सरळ रेषेकडे झुकेल, परंतु तो कधीही ओलांडणार नाही. तर, आता सरळ रेषा फंक्शनसाठी समन्वय अक्षांप्रमाणेच भूमिका बजावतात. अशा ओळी म्हणतात लक्षणे(रेषा ज्याकडे आलेख झुकतो पण पोहोचत नाही):

विषयामध्ये असे आलेख कसे तयार केले जातात याबद्दल आपण अधिक जाणून घेऊ.

आता एकत्रित करण्यासाठी काही उदाहरणे सोडवण्याचा प्रयत्न करा:

1. आकृती फंक्शनचा आलेख दाखवते. परिभाषित.

2. आकृती फंक्शनचा आलेख दाखवते. परिभाषित

3. आकृती फंक्शनचा आलेख दाखवते. परिभाषित.

4. आकृती फंक्शनचा आलेख दाखवते. परिभाषित.

5. आकृती फंक्शन्सचे आलेख दाखवते आणि.

योग्य गुणोत्तर निवडा:

उत्तरे:

जीवनात विपरित अवलंबित्व

सरावात असे कार्य कुठे मिळेल? अनेक उदाहरणे आहेत. सर्वात सामान्य म्हणजे हालचाल: आपण जितका जास्त वेग घेतो तितकाच अंतर कापण्यासाठी आपल्याला कमी वेळ लागेल. खरंच, वेगाचे सूत्र लक्षात ठेवूया: , वेग कुठे आहे, प्रवासाची वेळ आहे, अंतर (पथ) आहे.

येथून आपण वेळ व्यक्त करू शकतो:

उदाहरण:

एखादी व्यक्ती सरासरी किमी/तास वेगाने कामावर जाते आणि एका तासात तिथे पोहोचते. जर त्याने किमी/तास वेगाने गाडी चालवली तर तो त्याच रस्त्यावर किती मिनिटे घालवेल?

उपाय:

सर्वसाधारणपणे, आपण 5 व्या आणि 6 व्या वर्गात अशा समस्यांचे निराकरण केले आहे. आपण प्रमाण तयार केले आहे:

म्हणजेच, व्यस्त आनुपातिकतेची संकल्पना तुम्हाला आधीच परिचित आहे. त्यामुळे आमची आठवण झाली. आणि आता तीच गोष्ट, फक्त प्रौढ पद्धतीने: फंक्शनद्वारे.

गतीवर मिनिटांमध्ये वेळेचे कार्य (म्हणजे अवलंबित्व):

हे ज्ञात आहे की, नंतर:

शोधणे आवश्यक आहे:

आता जीवनातील काही उदाहरणे घेऊन या ज्यामध्ये व्यस्त प्रमाण आहे.
शोध लावला? आपण केले तर चांगले. शुभेच्छा!

रिव्हर्स डिपेंडन्स. मुख्य गोष्टींबद्दल थोडक्यात

1. व्याख्या

व्यस्त अवलंबनाचे वर्णन करणारे कार्यफॉर्मचे कार्य आहे जेथे.

दुसऱ्या मार्गाने, या फंक्शनला व्यस्त आनुपातिकता म्हणतात, कारण वितर्क वाढल्याने फंक्शनमध्ये आनुपातिक घट होते.

किंवा, समान काय आहे,

व्यस्त आलेख हा हायपरबोला आहे.

2. गुणांक, आणि.

साठी जबाबदार "सपाटपणा" आणि आलेखाची दिशा: हा गुणांक जितका मोठा असेल तितका हायपरबोला मूळपासून स्थित असेल आणि म्हणूनच, तो कमी वेगाने "वळतो" (आकृती पहा). गुणांकाचे चिन्ह आलेख कोणत्या तिमाहीत स्थित आहे यावर प्रभाव पाडते:

• जर, हायपरबोलाच्या शाखा आणि चतुर्थांश मध्ये स्थित आहेत;
• जर, नंतर मध्ये आणि.

x=a आहे अनुलंब लक्षण, म्हणजेच, आलेख ज्या अनुलंबाकडे झुकतो.

फंक्शन आलेख जर रकमेने वरच्या दिशेने हलवण्यास आणि जर खाली हलविण्यास संख्या जबाबदार आहे.

म्हणून, हे आहे क्षैतिज लक्षण.

फंक्शन्सच्या सिद्धांताची पुनरावृत्ती करूया. फंक्शन हा एक नियम आहे ज्यानुसार एका सेटचा प्रत्येक घटक (वितर्क) विशिष्ट (विशिष्ट) शी संबंधित आहे. फक्त एक!) दुसऱ्या संचाचा घटक (फंक्शन मूल्यांचा संच). म्हणजे फंक्शन असेल तर \(y = f(x)\), याचा अर्थ व्हेरिएबलच्या प्रत्येक वैध मूल्यासाठी \(x\)(ज्याला "वितर्क" म्हणतात) व्हेरिएबलच्या एका मूल्याशी संबंधित आहे \(y\)("फंक्शन" म्हणतात).

व्यस्त अवलंबनाचे वर्णन करणारे कार्य

हे फॉर्मचे कार्य आहे \(y = \frac(k)(x)\), कुठे \(k\ne 0.\)

दुसऱ्या मार्गाने, याला व्यस्त आनुपातिकता म्हणतात: युक्तिवाद वाढल्याने कार्यामध्ये आनुपातिक घट होते.
चला परिभाषाचे डोमेन परिभाषित करूया. \(x\) काय समान असू शकते? किंवा, दुसऱ्या शब्दांत, ते कशाच्या बरोबरीचे असू शकत नाही?

फक्त एकच संख्या जी 0 ने भागली जाऊ शकत नाही, म्हणून \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

किंवा, जे समान आहे:

\(D(y) = R\backslash \( 0\).\)

या नोटेशनचा अर्थ असा आहे की \(x\) 0 वगळता कोणतीही संख्या असू शकते: “R” चिन्ह वास्तविक संख्यांचा संच दर्शवतो, म्हणजेच सर्व संभाव्य संख्या; "\" चिन्ह या संचामधून काहीतरी वगळण्याचे सूचित करते ("वजा" चिन्हाशी समान), आणि कुरळे कंसातील क्रमांक 0 चा अर्थ फक्त 0 असा होतो; असे दिसून आले की सर्व संभाव्य संख्यांमधून आम्ही 0 वगळतो.

फंक्शन व्हॅल्यूजचा संच अगदी सारखाच आहे: शेवटी, जर \(k \ne 0.\) , मग आपण त्याला कितीही विभाजित केले तरीही 0 कार्य करणार नाही:

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

किंवा \(E(y) = R\backslash \( 0\).\)

सूत्राच्या काही भिन्नता देखील शक्य आहेत \(y = \frac(k)(x)\). उदाहरणार्थ, \(y = \frac(k)((x + a))\)हे देखील एक कार्य आहे जे व्यस्त संबंधांचे वर्णन करते. या फंक्शनच्या मूल्यांची व्याप्ती आणि श्रेणी खालीलप्रमाणे आहेतः

\(D(y) = (- \infty; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

चला विचार करूया उदाहरण, आपण अभिव्यक्ती एका व्यस्त संबंधाच्या स्वरूपात कमी करूया:

\(y = frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = frac((x + 2))((x - 3)) = frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3) ) + ५))((x - ३)).\)

आम्ही कृत्रिमरीत्या 3 चे मूल्य अंशामध्ये आणले आहे आणि आता आपण अंशाला भाजक पदाद्वारे पदानुसार विभागतो, आम्हाला मिळते:

\(y = frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

आम्हाला व्यस्त संबंध अधिक संख्या 1 मिळाला.

व्यस्त संबंध आलेख

चला एका साध्या केसपासून सुरुवात करूया \(y = \frac(1)(x).\)

चला मूल्यांची सारणी तयार करूया:

चला समन्वय समतल बिंदू काढू:

ठिपके कनेक्ट करा, आलेख असे दिसेल:

या ग्राफला म्हणतात "हायपरबोला". पॅराबोलाप्रमाणे, हायपरबोलामध्ये दोन शाखा असतात, फक्त त्या एकमेकांशी जोडलेल्या नसतात. त्यातील प्रत्येकजण आपली टोके अक्षांजवळ सरकवतो बैलआणि ओय, पण त्यांच्यापर्यंत कधीच पोहोचत नाही.

फंक्शनची काही वैशिष्ट्ये लक्षात घेऊया:

1. जर फंक्शनमध्ये अपूर्णांकाच्या आधी वजा असेल, तर आलेख फ्लिप केला जातो, म्हणजेच तो अक्षाच्या सापेक्ष सममितीने प्रदर्शित होतो. बैल.
2. भाजकातील संख्या जितकी मोठी असेल तितका आलेख मूळपासून "दूर पळतो".

जीवनात विपरित अवलंबित्व

सरावात असे कार्य कुठे मिळेल? अनेक उदाहरणे आहेत. सर्वात सामान्य म्हणजे हालचाल: आपण जितका जास्त वेग घेतो तितकाच अंतर कापण्यासाठी आपल्याला कमी वेळ लागेल. चला गती सूत्र लक्षात ठेवूया:

\(v = \frac(S)(t),\)

जेथे v वेग आहे, t म्हणजे प्रवासाची वेळ, S म्हणजे अंतर (पथ).

येथून आपण वेळ व्यक्त करू शकतो: \(t = \frac(S)(v).\)

आज आपण कोणत्या परिमाणांना व्यस्त प्रमाणात म्हणतात, व्यस्त प्रमाणात आलेख कसा दिसतो आणि हे सर्व केवळ गणिताच्या धड्यांमध्येच नव्हे तर शाळेबाहेरही तुमच्यासाठी कसे उपयुक्त ठरू शकते ते पाहू.

असे भिन्न प्रमाण

आनुपातिकताएकमेकांवर अवलंबून असलेल्या दोन प्रमाणांची नावे द्या.

अवलंबित्व थेट आणि व्यस्त असू शकते. परिणामी, प्रमाणांमधील संबंधांचे वर्णन प्रत्यक्ष आणि व्यस्त आनुपातिकतेने केले जाते.

थेट आनुपातिकता- हा दोन प्रमाणांमधील असा संबंध आहे ज्यामध्ये एकामध्ये वाढ किंवा घट झाल्यामुळे दुसऱ्यामध्ये वाढ किंवा घट होते. त्या. त्यांची वृत्ती बदलत नाही.

उदाहरणार्थ, परीक्षेचा अभ्यास करण्यासाठी तुम्ही जितके जास्त प्रयत्न कराल तितके तुमचे ग्रेड जास्त असतील. किंवा तुम्ही प्रवासात तुमच्यासोबत जितक्या जास्त गोष्टी घेऊन जाल तितकी तुमची बॅकपॅक वाहून नेण्यासाठी जड असेल. त्या. परीक्षेच्या तयारीसाठी लागणारे कष्ट हे मिळालेल्या ग्रेडच्या थेट प्रमाणात असते. आणि बॅकपॅकमध्ये पॅक केलेल्या वस्तूंची संख्या त्याच्या वजनाच्या थेट प्रमाणात असते.

व्यस्त आनुपातिकता- हे एक कार्यात्मक अवलंबन आहे ज्यामध्ये स्वतंत्र मूल्यामध्ये अनेक वेळा घट किंवा वाढ (याला युक्तिवाद म्हटले जाते) आनुपातिक (म्हणजे, समान संख्येने) अवलंबून मूल्यामध्ये वाढ किंवा घट होते (याला म्हणतात कार्य).

चला एका साध्या उदाहरणाने स्पष्ट करू. तुम्हाला बाजारात सफरचंद विकत घ्यायचे आहेत. काउंटरवरील सफरचंद आणि तुमच्या वॉलेटमधील पैसे व्यस्त प्रमाणात आहेत. त्या. तुम्ही जितके जास्त सफरचंद खरेदी कराल तितके कमी पैसे तुमच्याकडे शिल्लक राहतील.

कार्य आणि त्याचा आलेख

व्यस्त आनुपातिकता कार्य असे वर्णन केले जाऊ शकते y = k/x. ज्यामध्ये x≠ 0 आणि k≠ 0.

या फंक्शनमध्ये खालील गुणधर्म आहेत:

1. त्याच्या व्याख्याच्या डोमेनमध्ये वगळता इतर सर्व खरी संख्यांचा संच आहे x = 0. डी(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. श्रेणी वगळता सर्व वास्तविक संख्या आहेत y= 0. E(y): (-∞; 0) यू (0; +∞) .
3. कमाल किंवा किमान मूल्ये नाहीत.
4. तो विषम आहे आणि त्याचा आलेख उत्पत्तीबद्दल सममितीय आहे.
5. नियतकालिक.
6. त्याचा आलेख समन्वय अक्षांना छेदत नाही.
7. शून्य नाही.
8. तर k> 0 (म्हणजे युक्तिवाद वाढतो), फंक्शन त्याच्या प्रत्येक मध्यांतरावर प्रमाणात कमी होते. तर k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. वाद वाढत असताना ( k> 0) फंक्शनची नकारात्मक मूल्ये मध्यांतर (-∞; 0) मध्ये आहेत आणि सकारात्मक मूल्ये मध्यांतर (0; +∞) मध्ये आहेत. जेव्हा वाद कमी होतो ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

व्यस्त आनुपातिकता फंक्शनच्या आलेखाला हायपरबोला म्हणतात. खालीलप्रमाणे दर्शविले आहे:

व्यस्त प्रमाणात समस्या

हे स्पष्ट करण्यासाठी, चला अनेक कार्ये पाहू. ते फार क्लिष्ट नाहीत, आणि त्यांचे निराकरण केल्याने तुम्हाला व्यस्त प्रमाण काय आहे आणि हे ज्ञान तुमच्या दैनंदिन जीवनात कसे उपयुक्त ठरू शकते हे समजण्यास मदत करेल.

कार्य क्रमांक १. एक कार 60 किमी/तास वेगाने जात आहे. त्याला त्याच्या गंतव्यस्थानापर्यंत पोहोचण्यासाठी 6 तास लागले. जर तो दुप्पट वेगाने गेला तर समान अंतर कापण्यासाठी त्याला किती वेळ लागेल?

वेळ, अंतर आणि वेग यांच्यातील संबंधांचे वर्णन करणारे सूत्र लिहून आपण सुरुवात करू शकतो: t = S/V. सहमत आहे, हे आपल्याला व्यस्त आनुपातिकता कार्याची खूप आठवण करून देते. आणि हे सूचित करते की कार रस्त्यावर किती वेळ घालवते आणि ती ज्या वेगाने फिरते ते व्यस्त प्रमाणात आहे.

हे सत्यापित करण्यासाठी, चला V 2 शोधू या, जे, स्थितीनुसार, 2 पट जास्त आहे: V 2 = 60 * 2 = 120 किमी/ता. मग आपण S = V * t = 60 * 6 = 360 km सूत्र वापरून अंतर मोजतो. आता समस्येच्या परिस्थितीनुसार आमच्याकडून आवश्यक असलेली वेळ t 2 शोधणे कठीण नाही: t 2 = 360/120 = 3 तास.

जसे तुम्ही बघू शकता, प्रवासाचा वेळ आणि वेग खरोखरच व्यस्त प्रमाणात आहेत: मूळ वेगापेक्षा 2 पट जास्त वेगाने, कार रस्त्यावर 2 पट कमी वेळ घालवेल.

या समस्येचे निराकरण प्रमाण म्हणून देखील लिहिता येईल. तर प्रथम ही आकृती तयार करूया:

↓ ६० किमी/तास – ६ ता

↓120 किमी/ता – x ता

बाण व्यस्त प्रमाणात संबंध दर्शवतात. ते असेही सुचवतात की प्रमाण काढताना, रेकॉर्डची उजवी बाजू उलटली पाहिजे: 60/120 = x/6. x = 60 * 6/120 = 3 तास कुठे मिळतील.

कार्य क्रमांक 2. कार्यशाळेत 6 कामगार काम करतात जे दिलेले काम 4 तासात पूर्ण करू शकतात. जर कामगारांची संख्या निम्मी असेल तर उर्वरित कामगारांना तेवढेच काम पूर्ण करण्यासाठी किती वेळ लागेल?

व्हिज्युअल आकृतीच्या स्वरूपात समस्येच्या अटी लिहूया:

↓ 6 कामगार – 4 तास

↓ 3 कामगार – x h

हे प्रमाण म्हणून लिहू: 6/3 = x/4. आणि आपल्याला x = 6 * 4/3 = 8 तास मिळतात. जर 2 पट कमी कामगार असतील, तर उर्वरित सर्व काम करण्यात 2 पट जास्त वेळ घालवतील.

कार्य क्रमांक 3. तलावामध्ये दोन पाईप्स आहेत. एका पाईपद्वारे, पाणी 2 l/s वेगाने वाहते आणि 45 मिनिटांत पूल भरते. दुसऱ्या पाईपद्वारे, पूल 75 मिनिटांत भरेल. या पाईपमधून किती वेगाने पाणी तलावात प्रवेश करते?

सुरुवातीला, समस्येच्या परिस्थितीनुसार आम्हाला दिलेले सर्व प्रमाण मोजमापाच्या समान युनिट्समध्ये कमी करूया. हे करण्यासाठी, आम्ही प्रति मिनिट लिटरमध्ये पूल भरण्याची गती व्यक्त करतो: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

दुस-या पाईपमधून पूल अधिक हळू भरतो या स्थितीपासून ते अनुसरण करत असल्याने, याचा अर्थ पाण्याचा प्रवाह कमी आहे. आनुपातिकता व्यस्त आहे. x द्वारे अज्ञात गती व्यक्त करू आणि खालील आकृती काढू.

↓ 120 लि/मिनिट – 45 मि

↓ x l/min – 75 मि

आणि मग आम्ही प्रमाण बनवतो: 120/x = 75/45, तेथून x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

समस्येमध्ये, पूल भरण्याचा दर लिटर प्रति सेकंदात व्यक्त केला जातो; आम्हाला मिळालेले उत्तर समान फॉर्ममध्ये कमी करूया: 72/60 = 1.2 l/s.

कार्य क्रमांक 4. एक लहान खाजगी मुद्रण गृह व्यवसाय कार्ड छापते. प्रिंटिंग हाऊसचा कर्मचारी 42 बिझनेस कार्ड प्रति तासाच्या वेगाने काम करतो आणि पूर्ण दिवस - 8 तास काम करतो. जर त्याने वेगाने काम केले आणि एका तासात 48 बिझनेस कार्ड छापले तर तो किती लवकर घरी जाऊ शकतो?

आम्ही सिद्ध मार्गाचा अवलंब करतो आणि समस्येच्या परिस्थितीनुसार आकृती काढतो, इच्छित मूल्य x म्हणून नियुक्त करतो:

↓ 42 बिझनेस कार्ड/तास – 8 तास

↓ 48 बिझनेस कार्ड/ता – x ता

आमचा विपरित प्रमाणात संबंध आहे: प्रिंटिंग हाऊसचा कर्मचारी तासाला जितक्या वेळा जास्त बिझनेस कार्ड प्रिंट करतो, तितक्याच वेळा कमी वेळ त्याला समान काम पूर्ण करण्यासाठी लागेल. हे जाणून घेऊन, एक प्रमाण तयार करूया:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 तास.

त्यामुळे ७ तासांत काम पूर्ण केल्याने प्रिंटिंग हाऊसचा कर्मचारी तासभर आधी घरी जाऊ शकला.

निष्कर्ष

आम्हाला असे दिसते की या व्यस्त प्रमाणात समस्या खरोखर सोप्या आहेत. आम्हाला आशा आहे की आता तुम्हीही असाच विचार कराल. आणि मुख्य गोष्ट अशी आहे की प्रमाणांच्या व्यस्त प्रमाणात अवलंबित्वाबद्दलचे ज्ञान तुम्हाला एकापेक्षा जास्त वेळा उपयुक्त ठरू शकते.

केवळ गणिताचे धडे आणि परीक्षांमध्येच नाही. पण तरीही, जेव्हा तुम्ही सहलीला जाण्यासाठी तयार व्हाल, खरेदीला जाल, सुट्टीच्या दिवसात थोडे जास्त पैसे कमवायचे ठरवा, इ.

तुमच्या आजूबाजूला तुम्हाला व्यस्त आणि थेट आनुपातिक संबंधांची कोणती उदाहरणे दिसतात ते टिप्पण्यांमध्ये आम्हाला सांगा. असा खेळ होऊ दे. ते किती रोमांचक आहे ते तुम्हाला दिसेल. हा लेख सोशल नेटवर्क्सवर शेअर करायला विसरू नका जेणेकरून तुमचे मित्र आणि वर्गमित्र देखील खेळू शकतील.

वेबसाइट, सामग्रीची पूर्ण किंवा अंशतः कॉपी करताना, मूळ स्त्रोताची लिंक आवश्यक आहे.

विषयावरील 1 धडा

केले:

टेलेजिना एल.बी.

धड्याचा उद्देश:

1. फंक्शन्सवर अभ्यासलेल्या सर्व सामग्रीची पुनरावृत्ती करा.
2. व्यस्त आनुपातिकतेची व्याख्या सांगा आणि त्याचा आलेख कसा तयार करायचा ते शिकवा.
3. तार्किक विचार विकसित करा.
4. लक्ष, अचूकता, अचूकता जोपासणे.

धडा योजना:

1. पुनरावृत्ती.
2. नवीन सामग्रीचे स्पष्टीकरण.
3. शारीरिक शिक्षण मिनिट.
4. एकत्रीकरण.

उपकरणे: पोस्टर्स.

वर्ग दरम्यान:

1. धडा पुनरावृत्तीने सुरू होतो. विद्यार्थ्यांना क्रॉसवर्ड कोडे सोडवण्यास सांगितले जाते (जे कागदाच्या मोठ्या शीटवर आगाऊ तयार केले जाते).

क्रॉसवर्ड प्रश्न:

1. चलांमधील अवलंबित्व, ज्यामध्ये स्वतंत्र व्हेरिएबलचे प्रत्येक मूल्य अवलंबून व्हेरिएबलच्या एका मूल्याशी संबंधित आहे. [कार्य].

2. स्वतंत्र चल. [वाद].

3. ॲब्सिसा कोऑर्डिनेट प्लेनच्या बिंदूंचा संच, जो युक्तिवादाच्या मूल्यांच्या बरोबरीचा असतो आणि ऑर्डिनेट फंक्शनच्या मूल्यांच्या समान असतात. [अनुसूची].

4. y=kx+b या सूत्राने दिलेले कार्य. [रेषीय].

5. संख्येला कोणते गुणांक म्हणतात? k y=kx+b या सूत्रात? [कोपरा].

6. रेखीय कार्याचा आलेख काय आहे? [सरळ].

7. जर k≠0 असेल, तर आलेख y=kx+b या अक्षाला छेदतो आणि k=0 असल्यास, तो त्याच्या समांतर आहे. हा अक्ष कोणत्या अक्षराने नियुक्त केला आहे? [एक्स].

8. फंक्शनच्या नावातील शब्द y=kx? [प्रमाण].

9. y=x सूत्राद्वारे दिलेले कार्य 2. [चतुर्भुज].

10. चतुर्भुज फंक्शनच्या आलेखाचे नाव. [पॅराबोला].

11. लॅटिन वर्णमाला एक अक्षर, जे सहसा कार्य दर्शवते. [इग्रेक].

12. फंक्शन निर्दिष्ट करण्याचा एक मार्ग. [सुत्र].

शिक्षक : आपल्याला माहित असलेले फंक्शन निर्दिष्ट करण्याचे मुख्य मार्ग कोणते आहेत?

(एका ​​विद्यार्थ्याला बोर्डवर एक कार्य प्राप्त होते: फंक्शन 12/x च्या मूल्यांची सारणी त्याच्या युक्तिवादाची दिलेली मूल्ये वापरून भरा आणि नंतर समन्वय समतलावर संबंधित बिंदू प्लॉट करा).

उर्वरित शिक्षकांच्या प्रश्नांची उत्तरे देतात: (जे बोर्डवर आगाऊ लिहिलेले आहेत)

1. सूत्रांद्वारे दिलेल्या खालील कार्यांची नावे काय आहेत: y=kx, y=kx+b, y=x 2, y=x 3 ?

2. खालील फंक्शन्सच्या परिभाषाचे डोमेन निर्दिष्ट करा: y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

मग विद्यार्थी टेबलनुसार कार्य करतात, शिक्षकाने विचारलेल्या प्रश्नांची उत्तरे देतात:

1. टेबलमधील कोणती आकृती आलेख दर्शवते:

अ) रेखीय कार्य;

ब) थेट आनुपातिकता;

c) चतुर्भुज कार्य;

d) y=kx फॉर्मची कार्ये 3 ?

2. तक्त्याच्या आकृती 1, 2, 4, 5 मधील आलेखाशी संबंधित असलेल्या y=kx+b फॉर्मच्या सूत्रांमध्ये k गुणांक कोणते आहे?

3. रेखीय फंक्शन्सचे आलेख टेबलमध्ये शोधा ज्यांचे उतार आहेत:

अ) समान;

b) परिमाणात समान आणि चिन्हात विरुद्ध.

(मग संपूर्ण वर्ग तपासतो की विद्यार्थ्याने बोर्डला कॉल केलेले टेबल योग्यरित्या भरले आणि गुण समन्वय समतलावर ठेवले आहेत).

2. स्पष्टीकरण प्रेरणाने सुरू होते.

शिक्षक: तुम्हाला माहिती आहे की, प्रत्येक फंक्शन आपल्या सभोवतालच्या जगात घडणाऱ्या काही प्रक्रियांचे वर्णन करते.

उदाहरणार्थ, बाजू असलेला आयत विचारात घ्या x आणि y आणि क्षेत्रफळ 12 सेमी 2 . हे ज्ञात आहे की x*y=12, परंतु जर तुम्ही आयताची एक बाजू बदलण्यास सुरुवात केली तर काय होईल, चला लांबी असलेली बाजू म्हणू या x?

बाजूची लांबी y y=12/x या सूत्रावरून शोधता येईल. तर x 2 पटीने वाढवा, त्यात y=12/2x असेल, म्हणजे बाजू y 2 पट कमी होईल. जर मूल्य x 3, 4, 5... पटीने वाढवा, नंतर मूल्य y समान प्रमाणात कमी होईल. याउलट, जर x नंतर अनेक वेळा कमी करा y समान प्रमाणात वाढेल. (टेबलनुसार काम करा).

म्हणून, y=12/x फॉर्मच्या फंक्शनला व्यस्त आनुपातिकता म्हणतात. सर्वसाधारणपणे, हे y=k/x असे लिहिले जाते, जेथे k हा स्थिरांक आहे आणि k≠0.

हा आजच्या धड्याचा विषय आहे, आम्ही तो आमच्या नोटबुकमध्ये लिहून ठेवला आहे. मी कठोर व्याख्या देतो. फंक्शन y=12/x साठी, जो एक विशेष प्रकारचा व्यस्त आनुपातिकता आहे, आम्ही आधीच सारणीमध्ये युक्तिवाद आणि कार्याची अनेक मूल्ये लिहून ठेवली आहेत आणि समन्वय समतलावर संबंधित बिंदूंचे चित्रण करू. या फंक्शनचा आलेख कसा दिसतो? तयार केलेल्या बिंदूंच्या आधारे संपूर्ण आलेखाचा न्याय करणे कठीण आहे, कारण बिंदू कोणत्याही प्रकारे जोडले जाऊ शकतात. सारणी आणि सूत्र विचारात घेतल्याने फंक्शनच्या आलेखाबद्दल निष्कर्ष काढण्याचा एकत्र प्रयत्न करूया.

वर्गासाठी प्रश्न:

1. फंक्शन y=12/x च्या व्याख्येचे डोमेन काय आहे?
2. y मूल्ये सकारात्मक आहेत की नकारात्मक असल्यास

अ) x

ब) x>0?

3. व्हेरिएबलचे मूल्य कसे बदलते y बदलत्या मूल्यासह x?

तर,

1. बिंदू (0,0) ग्राफशी संबंधित नाही, म्हणजे ते OX किंवा OY अक्षांना छेदत नाही;
2. आलेख Ι आणि ΙΙΙ समन्वय क्वार्टरमध्ये आहे;
3. Ι समन्वय चतुर्थांश आणि ΙΙΙ मध्ये दोन्ही समन्वय अक्षांकडे सहजतेने पोहोचते, आणि ते इच्छेनुसार अक्षांच्या जवळ जाते.

ही माहिती असल्यास, आपण आकृतीमधील ठिपके आधीपासूनच जोडू शकतो (शिक्षक हे स्वतः बोर्डवर करतात) आणि फंक्शन y=12/x चा संपूर्ण आलेख पाहू शकतो. परिणामी वक्रला हायपरबोला म्हणतात, ज्याचा ग्रीक भाषेत अर्थ "काहीतरी पार करणे." हा वक्र इ.स.पूर्व चौथ्या शतकाच्या आसपास प्राचीन ग्रीक शाळेतील गणितज्ञांनी शोधला होता. हायपरबोल हा शब्द सहाव्या-आठव्या शतकात राहणाऱ्या पर्गामम (आशिया मायनर) शहरातून अपोलोनियसने सादर केला होता. इ.स.पू.

आता, फंक्शन y=12/x च्या आलेखाच्या पुढे, आपण y=-12/x फंक्शनचा आलेख बनवू. (विद्यार्थी हे कार्य नोटबुकमध्ये पूर्ण करतात आणि एक विद्यार्थी ब्लॅकबोर्डवर).

दोन्ही आलेखांची तुलना केल्यास, विद्यार्थ्यांच्या लक्षात येते की दुसरा 2 आणि 4 समन्वय चतुर्थांश व्यापतो. याशिवाय, फंक्शनचा आलेख y=12/x op-amp अक्षाच्या सापेक्ष सममितीने दाखवला, तर फंक्शन y=-12/x चा आलेख प्राप्त होईल.

प्रश्न: हायपरबोला y=k/x च्या आलेखाचे स्थान चिन्ह आणि k च्या मूल्यावर कसे अवलंबून असते?

विद्यार्थ्यांना खात्री आहे की जर k>0 असेल, तर आलेख Ι मध्ये स्थित आहेआणि ΙΙΙ कोऑर्डिनेट क्वार्टर, आणि जर k

1. शारीरिक शिक्षणाचा धडा शिक्षकाद्वारे घेतला जातो.

1. पाठ्यपुस्तकातील क्रमांक 180, 185 पूर्ण केल्यावर जे अभ्यासले जात आहे त्याचे एकत्रीकरण होते.

1. धड्याचा सारांश, ग्रेड, गृहपाठ: पृ. 8 क्रमांक 179, 184.

विषयावरील धडा 2

"विपरीत आनुपातिकता कार्य आणि त्याचा आलेख."

केले:

टेलेजिना एल.बी.

धड्याचा उद्देश:

1. व्यस्त आनुपातिकता कार्याचा आलेख तयार करण्याचे कौशल्य एकत्रित करा;
2. विषयात स्वारस्य, तार्किक विचार विकसित करा;
3. स्वातंत्र्य आणि लक्ष जोपासणे.

धडा योजना:

1. गृहपाठ पूर्ण तपासत आहे.
2. तोंडी काम.
3. समस्या सोडवणे.
4. शारीरिक शिक्षण मिनिट.
5. बहु-स्तरीय स्वतंत्र कार्य.
6. सारांश, मूल्यांकन, गृहपाठ.

उपकरणे: कार्ड.

वर्ग दरम्यान:

1. शिक्षक धड्याचा विषय, उद्दिष्टे आणि पाठ योजना जाहीर करतो.

त्यानंतर दोन विद्यार्थी बोर्डवर नियुक्त केलेले घर क्रमांक 179, 184 पूर्ण करतात.

1. बाकीचे विद्यार्थी शिक्षकांच्या प्रश्नांना उत्तरे देऊन समोर काम करतात.

प्रश्न:

• व्यस्त आनुपातिकता कार्य परिभाषित करा.
• व्यस्त आनुपातिकता कार्याचा आलेख काय आहे.
• हायपरबोला y=k/x च्या आलेखाचे स्थान k गुणांकाच्या मूल्यावर कसे अवलंबून असते?

कार्ये:

1. सूत्रांद्वारे निर्दिष्ट केलेल्या कार्यांमध्ये व्यस्त आनुपातिकतेची कार्ये आहेत:

a) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. व्यस्त आनुपातिकतेच्या कार्यांसाठी, गुणांकाचे नाव द्या आणि आलेख कोणत्या तिमाहीत आहे ते दर्शवा.

3. व्यस्त आनुपातिकतेच्या कार्यांसाठी परिभाषाचे डोमेन शोधा.

(मग विद्यार्थी बोर्डवरील संख्यांच्या शिक्षकांनी तपासलेल्या सोल्यूशन्सवर आधारित पेन्सिलने एकमेकांचा गृहपाठ तपासतात आणि ग्रेड देतात).

पाठ्यपुस्तक क्रमांक 190, 191, 192, 193 (तोंडी) नुसार पुढील कार्य.

1. पाठ्यपुस्तक क्रमांक 186(b), 187(b), 182 मधील नोटबुक आणि बोर्डवर अंमलबजावणी.

4. शिक्षकाद्वारे शारीरिक शिक्षणाचा धडा घेतला जातो.

5. वेगवेगळ्या जटिलतेच्या तीन पर्यायांमध्ये स्वतंत्र काम दिले जाते (कार्डांवर वितरित).

मी ग. (हलके).

सारणी वापरून व्यस्त आनुपातिकता फंक्शन y=-6/x चा आलेख तयार करा:

आलेख वापरून, शोधा:

a) y चे मूल्य x = - 1.5 असल्यास; 2;

b) x चे मूल्य ज्यावर y = - 1 आहे; 4.

मी शतक (मध्यम अडचण)

प्रथम सारणी भरून y=16/x या व्यस्त आनुपातिकता कार्याचा आलेख तयार करा.

आलेख वापरून, कोणती मूल्ये शोधा x y >0.

मी शतक (वाढलेली अडचण)

प्रथम सारणी भरून y=10/x-2 या व्यस्त आनुपातिक कार्याचा आलेख तयार करा.

या फंक्शनच्या व्याख्येचे डोमेन शोधा.

(विद्यार्थी चाचणीसाठी प्लॉट केलेल्या आलेखांसह पत्रके देतात).

6. धडा, मूल्यांकन, गृहपाठ सारांशित करतो: क्रमांक 186 (अ), 187 (अ).