Vzorce pro oblasti trojúhelníku, rovnoběžníku, lichoběžníku, kružnice. Jak vypočítat a označit plochu

Plocha geometrického obrazce- číselná charakteristika geometrického obrazce znázorňující velikost tohoto obrazce (část plochy ohraničená uzavřeným obrysem tohoto obrazce). Velikost plochy je vyjádřena počtem čtverečních jednotek v ní obsažených.

Vzorce pro oblast trojúhelníku

1. Vzorec pro oblast trojúhelníku podle strany a výšky
   Oblast trojúhelníku rovná se polovině součinu délky strany trojúhelníku a délky nadmořské výšky nakreslené na tuto stranu
   
2. Vzorec pro oblast trojúhelníku na základě tří stran a poloměru kružnice opsané
   
3. Vzorec pro oblast trojúhelníku na základě tří stran a poloměru vepsané kružnice
   Oblast trojúhelníku se rovná součinu půlobvodu trojúhelníku a poloměru kružnice vepsané.
   
kde S je plocha trojúhelníku,
- délky stran trojúhelníku,
- výška trojúhelníku,
- úhel mezi stranami a,
- poloměr vepsané kružnice,
R - poloměr kružnice opsané,

Vzorce čtvercové oblasti

1. Vzorec pro plochu čtverce o délce strany
   Čtvercová plocha rovná druhé mocnině délky jeho strany.
2. Vzorec pro plochu čtverce podél délky úhlopříčky
   Čtvercová plocha rovná polovině druhé mocniny délky jeho úhlopříčky.
   

   S=	1	2
   	2

kde S je plocha čtverce,
- délka strany čtverce,
- délka úhlopříčky čtverce.

Vzorec oblasti obdélníku

Plocha obdélníku rovný součinu délek jeho dvou sousedních stran

kde S je plocha obdélníku,
- délky stran obdélníku.

Rovnoběžné vzorce oblasti

1. Vzorec pro oblast rovnoběžníku na základě délky a výšky strany
   Plocha rovnoběžníku
2. Vzorec pro oblast rovnoběžníku na základě dvou stran a úhlu mezi nimi
   Plocha rovnoběžníku se rovná součinu délek jejích stran vynásobených sinem úhlu mezi nimi.
   

   a b sin α

kde S je plocha rovnoběžníku,
- délky stran rovnoběžníku,
- délka výšky rovnoběžníku,
- úhel mezi stranami rovnoběžníku.

Vzorce pro oblast kosočtverce

1. Vzorec pro oblast kosočtverce na základě délky a výšky strany
   Oblast kosočtverce rovná součinu délky jeho strany a délky výšky spuštěné na tuto stranu.
2. Vzorec pro oblast kosočtverce na základě délky strany a úhlu
   Oblast kosočtverce se rovná součinu druhé mocniny délky jeho strany a sinu úhlu mezi stranami kosočtverce.
3. Vzorec pro oblast kosočtverce na základě délek jeho úhlopříček
   Oblast kosočtverce rovna polovině součinu délek jeho úhlopříček.
kde S je plocha kosočtverce,
- délka strany kosočtverce,
- délka výšky kosočtverce,
- úhel mezi stranami kosočtverce,
1, 2 - délky úhlopříček.

Vzorce pro lichoběžníkové plochy

1. Heronův vzorec pro lichoběžník

   Kde S je plocha lichoběžníku,
   - délky základen lichoběžníku,
   - délky stran lichoběžníku,
   

Plošný vzorec je nutné určit plochu obrazce, což je reálná funkce definovaná na určité třídě obrazců euklidovské roviny a splňující 4 podmínky:

1. Pozitivita – plocha nemůže být menší než nula;
2. Normalizace - čtverec se stranou má plochu 1;
3. Kongruence - shodné obrazce mají stejnou plochu;
4. Aditivita - plocha spojení 2 obrazců bez společných vnitřních bodů se rovná součtu ploch těchto obrazců.

Plochy geometrických obrazců jsou číselné hodnoty charakterizující jejich velikost ve dvourozměrném prostoru. Tuto hodnotu lze měřit v systémových i nesystémových jednotkách. Takže například nesystémová jednotka plochy je setina, hektar. To platí v případě, že měřeným povrchem je pozemek. Systémová jednotka plochy je druhá mocnina délky. V soustavě SI je jednotkou plochého povrchu metr čtvereční. V GHS je jednotka plochy vyjádřena jako centimetr čtvereční.

Geometrické a plošné vzorce jsou neoddělitelně propojeny. Tato souvislost spočívá v tom, že výpočet ploch rovinných obrazců je založen právě na jejich aplikaci. Pro mnoho obrazců je odvozeno několik možností, ze kterých se počítají jejich čtvercové rozměry. Na základě údajů z výpisu problému můžeme určit nejjednodušší možné řešení. To usnadní výpočet a sníží pravděpodobnost chyb ve výpočtu na minimum. Chcete-li to provést, zvažte hlavní oblasti obrazců v geometrii.

Vzorce pro nalezení oblasti jakéhokoli trojúhelníku jsou uvedeny v několika možnostech:

1) Plocha trojúhelníku se vypočítá ze základny a a výšky h. Za základ se považuje ta strana postavy, na které je výška snížena. Pak je plocha trojúhelníku:

2) Plocha pravoúhlého trojúhelníku se vypočítá stejným způsobem, pokud je přepona považována za základnu. Pokud vezmeme nohu jako základnu, pak se plocha pravoúhlého trojúhelníku bude rovnat součinu nohou rozpůlených.

Vzorce pro výpočet plochy jakéhokoli trojúhelníku tam nekončí. Další výraz obsahuje strany a,b a sinusovou funkci úhlu γ mezi a a b. Hodnotu sinus najdete v tabulkách. Zjistit to můžete i pomocí kalkulačky. Pak je plocha trojúhelníku:

Pomocí této rovnosti se můžete také ujistit, že plocha pravoúhlého trojúhelníku je určena délkou nohou. Protože úhel γ je pravý úhel, takže plocha pravoúhlého trojúhelníku se vypočítá bez násobení funkcí sinus.

3) Uvažujme speciální případ - pravidelný trojúhelník, jehož stranu a známe podmínkou nebo při řešení zjistíme jeho délku. O obrazci v problému geometrie není nic bližšího známo. Jak tedy najít oblast v tomto stavu? V tomto případě se použije vzorec pro oblast pravidelného trojúhelníku:

Obdélník

Jak najít oblast obdélníku a použít rozměry stran, které mají společný vrchol? Výraz pro výpočet je:

Pokud potřebujete použít délky úhlopříček k výpočtu plochy obdélníku, budete potřebovat funkci sinusu úhlu vytvořeného, ​​když se protnou. Tento vzorec pro oblast obdélníku je:

Náměstí

Plocha čtverce je určena jako druhá mocnina délky strany:

Důkaz vyplývá z definice, že čtverec je obdélník. Všechny strany, které tvoří čtverec, mají stejné rozměry. Výpočet plochy takového obdélníku tedy spočívá v násobení jednoho po druhém, tj. na druhou mocninu strany. A vzorec pro výpočet plochy čtverce bude mít požadovanou formu.

Plochu čtverce lze najít jiným způsobem, například pokud použijete úhlopříčku:

Jak vypočítat plochu obrázku, který je tvořen částí roviny ohraničené kružnicí? Pro výpočet plochy platí vzorce:

Rovnoběžník

U rovnoběžníku obsahuje vzorec lineární rozměry strany, výšku a matematickou operaci - násobení. Pokud je výška neznámá, jak najít oblast rovnoběžníku? Existuje další způsob výpočtu. Bude vyžadována určitá hodnota, kterou bude mít trigonometrická funkce úhlu, který tvoří sousední strany, a také jejich délka.

Vzorce pro oblast rovnoběžníku jsou:

Kosočtverec

Jak najít oblast čtyřúhelníku zvaného kosočtverec? Plocha kosočtverce se určuje pomocí jednoduché matematiky s úhlopříčkami. Důkaz je založen na skutečnosti, že diagonální segmenty v d1 a d2 se protínají v pravém úhlu. Tabulka sinů ukazuje, že pro pravý úhel je tato funkce rovna jednotce. Proto se plocha kosočtverce vypočítá takto:

Oblast kosočtverce lze nalézt také jiným způsobem. To také není těžké dokázat, vzhledem k tomu, že jeho strany jsou stejně dlouhé. Pak dosaďte jejich součin do podobného výrazu pro rovnoběžník. Ostatně zvláštním případem této konkrétní postavy je kosočtverec. Zde γ je vnitřní úhel kosočtverce. Plocha kosočtverce se určuje takto:

Lichoběžník

Jak najít oblast lichoběžníku přes základny (a a b), pokud problém ukazuje jejich délky? Zde, bez známé hodnoty délky výšky h, nebude možné vypočítat plochu takového lichoběžníku. Protože tato hodnota obsahuje výraz pro výpočet:

Stejným způsobem lze vypočítat i čtvercový rozměr pravoúhlého lichoběžníku. Je vzato v úvahu, že v pravoúhlém lichoběžníku jsou kombinovány pojmy výška a strana. Proto je u obdélníkového lichoběžníku potřeba místo výšky zadat délku boční strany.

Válec a rovnoběžnostěn

Zvažme, co je potřeba k výpočtu povrchu celého válce. Oblast tohoto obrázku je dvojice kruhů nazývaných základny a boční povrch. Kruhy tvořící kružnice mají poloměr délky rovné r. Pro plochu válce se provádí následující výpočet:

Jak najít oblast rovnoběžnostěnu, který se skládá ze tří párů tváří? Jeho míry odpovídají konkrétnímu páru. Protější plochy mají stejné parametry. Nejprve najděte S(1), S(2), S(3) - čtvercové rozměry nestejných ploch. Potom je povrch kvádru:

Prsten

Dva kruhy se společným středem tvoří prstenec. Také omezují oblast prstenu. V tomto případě oba výpočetní vzorce berou v úvahu rozměry každého kruhu. První z nich, počítající plochu prstence, obsahuje větší poloměr R a menší poloměr r. Častěji se nazývají vnější a vnitřní. Ve druhém výrazu se plocha prstence vypočítá z větších průměrů D a menších průměrů d. Plocha prstence na základě známých poloměrů se tedy vypočítá takto:

Plocha prstence se pomocí délek průměrů určuje takto:

Polygon

Jak najít oblast mnohoúhelníku, jehož tvar není pravidelný? Neexistuje žádný obecný vzorec pro oblast takových čísel. Ale pokud je to znázorněno na souřadnicové rovině, například by to mohl být kostkovaný papír, jak v tomto případě najít plochu? Zde používají metodu, která nevyžaduje přibližně měření postavy. Dělají to: pokud najdou body, které spadají do rohu buňky nebo mají celé souřadnice, pak jsou brány v úvahu pouze ony. Abyste pak zjistili, o jakou oblast se jedná, použijte vzorec osvědčený Peake. Je nutné sečíst počet bodů umístěných uvnitř přerušované čáry s polovinou bodů, které na ní leží, a odečíst jeden, tj. vypočítá se takto:

kde B, G - počet bodů umístěných uvnitř a na celé přerušované čáře.

Znalosti o tom, jak měřit Zemi, se objevily v dávných dobách a postupně se formovaly ve vědě o geometrii. Toto slovo je přeloženo z řečtiny jako „zeměměřičství“.

Mírou rozsahu ploché části Země na délku a šířku je plocha. V matematice se obvykle označuje latinským písmenem S (z anglického „square“ - „area“, „square“) nebo řeckým písmenem σ (sigma). S označuje plochu obrázku na rovině nebo povrch těla a σ je plocha průřezu drátu ve fyzice. Toto jsou hlavní symboly, i když mohou existovat i jiné, například v oblasti pevnosti materiálů, A je plocha průřezu profilu.

V kontaktu s

Výpočtové vzorce

Když znáte oblasti jednoduchých obrázků, můžete najít parametry složitějších.. Starověcí matematici vyvinuli vzorce, které lze použít k jejich snadnému výpočtu. Takové postavy jsou trojúhelník, čtyřúhelník, mnohoúhelník, kruh.

Chcete-li najít oblast složité rovinné postavy, je rozdělena na mnoho jednoduchých obrazců, jako jsou trojúhelníky, lichoběžníky nebo obdélníky. Poté se pomocí matematických metod odvodí vzorec pro oblast tohoto obrázku. Podobná metoda se používá nejen v geometrii, ale také v matematické analýze k výpočtu ploch obrazců ohraničených křivkami.

Trojúhelník

Začněme nejjednodušší postavou - trojúhelníkem. Jsou pravoúhlé, rovnoramenné a rovnostranné. Vezměte libovolný trojúhelník ABC se stranami AB=a, BC=ba AC=c (∆ ABC). Pro zjištění jeho oblasti si připomeňme sinusové a kosinové věty známé z kurzu školní matematiky. Když necháme všechny výpočty, dojdeme k následujícím vzorcům:

• S=√ - Heronův vzorec, známý všem, kde p=(a+b+c)/2 je půlobvod trojúhelníku;
• S=a h/2, kde h je výška snížená na stranu a;
• S=a b (sin γ)/2, kde γ je úhel mezi stranami a a b;
• S=a b/2, je-li ∆ ABC obdélníkový (zde a a b jsou nohy);
• S=b² (sin (2 β))/2, je-li ∆ ABC rovnoramenné (zde b je jedna z „boků“, β je úhel mezi „boky“ trojúhelníku);
• S=a² √¾, je-li ∆ ABC rovnostranné (zde a je strana trojúhelníku).

Čtyřúhelník

Nechť existuje čtyřúhelník ABCD s AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Chcete-li najít plochu S libovolného 4úhelníku, musíte jej rozdělit úhlopříčkou na dva trojúhelníky, jejichž plochy S1 a S2 nejsou v obecném případě stejné.

Poté je pomocí vzorců vypočítejte a sečtěte, tedy S=S1+S2. Pokud však 4-úhelník patří do určité třídy, pak jeho oblast lze najít pomocí dříve známých vzorců:

• S=(a+c) h/2=e h, pokud je čtyřúhelník lichoběžník (zde a a c jsou základny, e je střední čára lichoběžníku, h je výška snížená k jedné ze základen lichoběžníku;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, je-li ABCD rovnoběžník (zde φ je úhel mezi stranami a a b, h je výška snížená na stranu a, d1 a d2 jsou úhlopříčky);
• S=a b=d²/2, jestliže ABCD je obdélník (d je úhlopříčka);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, je-li ABCD kosočtverec (a je strana kosočtverce, φ je jeden z jeho úhlů, P je obvod);
• S=a²=P²/16=d²/2, je-li ABCD čtverec.

Polygon

Aby našli oblast n-úhelníku, matematici jej rozdělí na nejjednodušší stejná čísla - trojúhelníky, najdou oblast každého z nich a poté je sečtou. Pokud však mnohoúhelník patří do třídy regulárních, použijte vzorec:

S=a n h/2=a² n/=P²/, kde n je počet vrcholů (nebo stran) mnohoúhelníku, a je strana n-úhelníku, P je jeho obvod, h je apotém, tj. segment nakreslený od středu mnohoúhelníku k jedné z jeho stran pod úhlem 90°.

Kruh

Kruh je dokonalý mnohoúhelník s nekonečným počtem stran. Potřebujeme vypočítat limit výrazu vpravo ve vzorci pro oblast mnohoúhelníku s počtem stran n sklonem k nekonečnu. V tomto případě se obvod mnohoúhelníku změní na délku kružnice o poloměru R, která bude hranicí naší kružnice, a bude se rovnat P=2 π R. Dosaďte tento výraz do výše uvedeného vzorce. Dostaneme:

S=(π2R2cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Najděte limitu tohoto výrazu jako n→∞. Abychom to udělali, vezmeme v úvahu, že lim (cos (180°/n)) pro n→∞ se rovná cos 0°=1 (lim je znaménko limity) a lim = lim pro n→∞ je rovná 1/π (míru stupně jsme převedli na radián pomocí vztahu π rad=180° a použili první pozoruhodnou mez lim (sin x)/x=1 v x→∞). Dosazením získaných hodnot do posledního výrazu pro S se dostaneme ke známému vzorci:

S=π2R21(1/π)=πR2.

Jednotky

Používají se systémové a nesystémové jednotky měření. Systémové jednotky patří do SI (System International). Jedná se o metr čtvereční (metr čtvereční, m²) a jednotky z něj odvozené: mm², cm², km².

Ve čtverečních milimetrech (mm²) například měří plochu průřezu vodičů v elektrotechnice, v centimetrech čtverečních (cm²) - průřez nosníku ve stavební mechanice, v metrech čtverečních (m²) - v bytě nebo domě, v kilometrech čtverečních (km²) - v geografii .

Někdy se však používají nesystémové měrné jednotky, jako jsou: weave, ar (a), hektar (ha) a acre (as). Uveďme si následující vztahy:

• 1 sto metrů čtverečních = 1 a = 100 m² = 0,01 hektaru;
• 1 ha=100 a=100 akrů=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 akrů = 0,405 hektaru.