Nakreslete graf rovnice y x na druhou. Funkce y = x2 a její graf – Znalostní hypermarket
Jak znázornit graf funkce y=x na druhou+2x-5? a dostal nejlepší odpověď
Odpověď od Alexey Popova (Ocean)[guru]
Funkce je kvadratická a její graf je parabolický. Pojďme najít souřadnice vrcholu této paraboly X= -2/2= -1 Y = 1-2-5=-6 (ve vzorci y=x na druhou+2x-5 je třeba dosadit „-1“ za X a vypočítat). V souřadnicovém systému označíme vrchol paraboly A (-1;-6). A z tohoto bodu (z bodu A) označíme nalezené body pomocí vzorce y=x na druhou, tedy body (1;1) (-1;1)(2;4) (-2;4) (3 ;9) ( -3;9) Pozor! Všechny tyto body vyneseme z vrcholu paraboly, z bodu A (a ne z bodu O, počátku souřadnic)
Odpověď od Yergey Cherevan[mistr]
Vezměte x=0 – to bude začátek grafu a pak vezměte 4 body x=1, x=-1, x=2 a x=-2 a vytvořte graf, říká se tomu parabola
Odpověď od Elena Fedyukina[guru]
kvadratická funkce, parabolový graf, vzestupný vítr Vrcholy na ose x = -1, na ose y = -5.
Odpověď od Anna Egorová[guru]
y=x na druhou+2x-5 graf-parabola, jejíž větve směřují nahoru (a=1 je větší než nula), najdete vrchol paraboly: m= -b děleno 2a - toto je souřadnice podél osa x - bude -1; souřadnice y: dosadíte ji do své funkce: bude -6, což znamená vrchol paraboly (-1;-6), pak nakreslete tabulku s hodnotami x a y, například pro x=- 3, y = -2, x = -2, y = -5; x=-1,y=-6; x = 0, y = -5; x = 1, y = -2; x=2, y=3, pak označte tyto body na souřadnicové rovině a spojte)))
Odpověď od Bibi[guru]
y=x na čtvereční. +2x-5, izolujeme-li druhou mocninu binomu, dostaneme y=(x +1)sq. -6 z toho vyplývá, že vrchol je (-1;-6). Grafem funkce je parabola. Větve paraboly směřují svisle nahoru, protože před držákem (a) není mínus.
Odpověď od 2 odpovědi[guru]
Ahoj! Zde je výběr témat s odpověďmi na vaši otázku: Jak znázornit graf funkce y=x na druhou+2x-5?
Dříve jsme studovali další funkce, například lineární, připomeňme si její standardní formu:
odtud zřejmý zásadní rozdíl – v lineární funkci X stojí na prvním stupni a v nové funkci začínáme studovat, X stojí na druhé mocnosti.
Připomeňme, že grafem lineární funkce je přímka a grafem funkce, jak uvidíme, je křivka zvaná parabola.
Začněme tím, že zjistíme, odkud vzorec pochází. Vysvětlení je toto: pokud dostaneme čtverec se stranou A, pak můžeme vypočítat jeho plochu takto:
Pokud změníme délku strany čtverce, změní se jeho plocha.
To je tedy jeden z důvodů, proč je funkce studována
Připomeňme, že proměnná X- jedná se o nezávislou proměnnou neboli argument, ve fyzikální interpretaci to může být např. čas. Vzdálenost je naopak závislá proměnná, závisí na čase. Závislá proměnná nebo funkce je proměnná na.
To je zákon korespondence, podle kterého každá hodnota X je přiřazena jedna hodnota na.
Jakýkoli korespondenční zákon musí splňovat požadavek jedinečnosti od argumentu k funkci. Ve fyzikální interpretaci to vypadá zcela jasně na příkladu závislosti vzdálenosti na čase: v každém časovém okamžiku jsme v určité vzdálenosti od výchozího bodu a je nemožné být 10 i 20 kilometrů od začátku. cesty ve stejnou dobu v čase t.
Současně lze každé funkční hodnoty dosáhnout několika hodnotami argumentů.
Musíme tedy sestavit graf funkce, k tomu musíme vytvořit tabulku. Poté prostudujte funkci a její vlastnosti pomocí grafu. Ale ještě před sestrojením grafu na základě typu funkce si můžeme říci něco o jeho vlastnostech: to je zřejmé na nemůže nabývat záporných hodnot, protože
Udělejme tedy tabulku:
Rýže. 1
Z grafu je snadné poznamenat následující vlastnosti:
Osa na- toto je osa symetrie grafu;
Vrchol paraboly je bod (0; 0);
Vidíme, že funkce přijímá pouze nezáporné hodnoty;
V intervalu kde 
funkce klesá a na intervalu, kde se funkce zvyšuje;
Funkce nabývá nejmenší hodnoty ve vrcholu, 
;
Neexistuje žádná největší hodnota funkce;
Příklad 1
Stav:
Řešení:
Protože X změnami podmínek na určitém intervalu můžeme o funkci říci, že se zvětšuje a mění na intervalu . Funkce má minimální hodnotu a maximální hodnotu na tomto intervalu
Rýže. 2. Graf funkce y = x 2 , x ∈
Příklad 2
Stav: Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce:
Řešení:
X se mění v průběhu intervalu, což znamená na klesá na intervalu while a zvyšuje se na intervalu while .
Takže hranice změny X a hranice změny na, a proto na daném intervalu existuje minimální i maximální hodnota funkce
Rýže. 3. Graf funkce y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Ukažme si skutečnost, že stejné funkční hodnoty lze dosáhnout několika hodnotami argumentů.
Zvolme pravoúhlý souřadnicový systém v rovině a nakreslete hodnoty argumentu na ose x X a na pořadnici - hodnoty funkce y = f(x).
Funkční graf y = f(x) je množina všech bodů, jejichž úsečky patří do oblasti definice funkce a pořadnice se rovnají odpovídajícím hodnotám funkce.
Jinými slovy, graf funkce y = f (x) je množinou všech bodů roviny, souřadnic X, na které uspokojují vztah y = f(x).
Na Obr. 45 a 46 ukazují grafy funkcí y = 2x + 1 A y = x 2 - 2x.
Přísně vzato je třeba rozlišovat mezi grafem funkce (jejíž přesná matematická definice byla uvedena výše) a nakreslenou křivkou, která vždy poskytuje pouze více či méně přesný náčrt grafu (a i tehdy zpravidla ne celý graf, ale pouze jeho část umístěná v koncových částech roviny). V následujícím však budeme obecně říkat „graf“ spíše než „náčrt grafu“.
Pomocí grafu můžete najít hodnotu funkce v bodě. Totiž pokud bod x = a patří do oboru definice funkce y = f(x) a poté vyhledejte číslo f(a)(tj. funkční hodnoty v bodě x = a), měli byste to udělat. Je to nutné přes úsečku x = a nakreslete přímku rovnoběžnou s osou pořadnic; tato čára bude protínat graf funkce y = f(x) v jednu chvíli; pořadnice tohoto bodu bude na základě definice grafu rovna f(a)(obr. 47).
Například pro funkci f(x) = x 2 - 2x pomocí grafu (obr. 46) zjistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atd.
Funkční graf jasně ilustruje chování a vlastnosti funkce. Například z pohledu na Obr. 46 je zřejmé, že funkce y = x 2 - 2x nabývá kladných hodnot, když X< 0 a při x > 2, negativní - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x přijímá na x = 1.
Chcete-li zobrazit graf funkce f(x) musíte najít všechny body roviny, souřadnice X,na které splňují rovnici y = f(x). Ve většině případů to není možné, protože takových bodů je nekonečné množství. Proto je graf funkce znázorněn přibližně - s větší či menší přesností. Nejjednodušší je metoda vykreslení grafu pomocí několika bodů. Spočívá v tom, že argument X zadejte konečný počet hodnot - řekněme x 1, x 2, x 3,..., x k a vytvořte tabulku obsahující hodnoty vybraných funkcí.
Tabulka vypadá takto:
Po sestavení takové tabulky můžeme na grafu funkce načrtnout několik bodů y = f(x). Potom spojením těchto bodů hladkou čarou získáme přibližný pohled na graf funkce y = f(x).
Je však třeba poznamenat, že metoda vícebodového vykreslování je velmi nespolehlivá. Ve skutečnosti zůstává chování grafu mezi zamýšlenými body a jeho chování mimo segment mezi přijatými extrémními body neznámé.
Příklad 1. Chcete-li zobrazit graf funkce y = f(x) někdo sestavil tabulku hodnot argumentů a funkcí:
Odpovídajících pět bodů je znázorněno na Obr. 48.
Na základě umístění těchto bodů usoudil, že graf funkce je přímka (na obr. 48 je znázorněna tečkovanou čarou). Lze tento závěr považovat za spolehlivý? Pokud neexistují další úvahy na podporu tohoto závěru, lze jej stěží považovat za spolehlivý. spolehlivý.
Abychom doložili naše tvrzení, zvažte funkci
.
Výpočty ukazují, že hodnoty této funkce v bodech -2, -1, 0, 1, 2 přesně popisuje výše uvedená tabulka. Graf této funkce však vůbec není přímka (je znázorněna na obr. 49). Dalším příkladem může být funkce y = x + l + sinπx; jeho významy jsou také popsány v tabulce výše.
Tyto příklady ukazují, že ve své „čisté“ podobě je metoda vykreslení grafu pomocí několika bodů nespolehlivá. Pro vykreslení grafu dané funkce se tedy obvykle postupuje následovně. Nejprve si prostudujeme vlastnosti této funkce, s jejíž pomocí můžeme sestavit náčrt grafu. Poté výpočtem hodnot funkce v několika bodech (jejichž výběr závisí na stanovených vlastnostech funkce) se najdou odpovídající body grafu. A nakonec je vytvořenými body nakreslena křivka pomocí vlastností této funkce.
Na některé (nejjednodušší a nejčastěji používané) vlastnosti funkcí sloužících k nalezení náčrtu grafu se podíváme později, ale nyní se podíváme na některé běžně používané metody pro konstrukci grafů.
Graf funkce y = |f(x)|.
Často je nutné vykreslit funkci y = |f(x)|, kde f(x) - danou funkci. Připomeňme si, jak se to dělá. Definováním absolutní hodnoty čísla můžeme psát
To znamená, že graf funkce y =|f(x)| lze získat z grafu, funkce y = f(x) takto: všechny body na grafu funkce y = f(x), jehož ordináty jsou nezáporné, by měly zůstat nezměněny; dále místo bodů grafu funkce y = f(x) s zápornými souřadnicemi byste měli vytvořit odpovídající body na grafu funkce y = -f(x)(tj. část grafu funkce
y = f(x), která leží pod osou X, by se měl odrážet symetricky kolem osy X).
Příklad 2 Graf funkce y = |x|.
Vezměme si graf funkce y = x(obr. 50, a) a část tohoto grafu při X< 0 (leží pod osou X) symetricky odrážené vzhledem k ose X. Výsledkem je graf funkce y = |x|(obr. 50, b).
Příklad 3. Graf funkce y = |x 2 - 2x|.
Nejprve nakreslete funkci y = x 2 - 2x. Grafem této funkce je parabola, jejíž větve směřují vzhůru, vrchol paraboly má souřadnice (1; -1), její graf protíná osu x v bodech 0 a 2. V intervalu (0; 2) funkce nabývá záporných hodnot, proto se tato část grafu odráží symetricky vzhledem k ose x. Obrázek 51 ukazuje graf funkce y = |x 2 -2x|, na základě grafu funkce y = x 2 - 2x
Graf funkce y = f(x) + g(x)
Zvažte problém sestrojení grafu funkce y = f(x) + g(x). pokud jsou uvedeny funkční grafy y = f(x) A y = g(x).
Všimněte si, že definiční obor funkce y = |f(x) + g(x)| je množina všech hodnot x, pro které jsou definovány obě funkce y = f(x) a y = g(x), tj. tato definiční doména je průsečíkem definičních oborů, funkcí f(x) a g(x).
Nechte body (x 0, y 1) A (x 0, y 2), respektive patří mezi grafy funkcí y = f(x) A y = g(x), tj. y 1 = f(x 0), y2 = g(x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patří do grafu funkce y = f(x) + g(x)(pro f(x 0) + g(x 0) = y 1 + y2),. a libovolný bod na grafu funkce y = f(x) + g(x) lze získat tímto způsobem. Proto graf funkce y = f(x) + g(x) lze získat z funkčních grafů y = f(x). A y = g(x) nahrazení každého bodu ( x n, y 1) funkční grafika y = f(x) tečka (x n, y 1 + y 2), Kde y2 = g(x n), tj. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkční graf y = f(x) podél osy na podle částky yi = g(x n). V tomto případě se berou v úvahu pouze takové body X n, pro které jsou definovány obě funkce y = f(x) A y = g(x).
Tento způsob vykreslení funkce y = f(x) + g(x) se nazývá sčítání funkčních grafů y = f(x) A y = g(x)
Příklad 4. Na obrázku byl sestrojen graf funkce metodou sčítání grafů
y = x + sinx.
Při vykreslování funkce y = x + sinx mysleli jsme si to f(x) = x, A g(x) = sinx. Pro vykreslení funkčního grafu vybereme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Počítejme ve vybraných bodech a výsledky umístíme do tabulky.
Sestrojování grafů funkcí obsahujících moduly působí školákům zpravidla značné potíže. Všechno však není tak špatné. Stačí si zapamatovat pár algoritmů pro řešení takových problémů a snadno sestavíte graf i té nejsložitější funkce. Pojďme zjistit, jaké druhy algoritmů to jsou.
1. Vynesení grafu funkce y = |f(x)|
Všimněte si, že množina funkčních hodnot y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takových funkcí jsou tedy vždy umístěny zcela v horní polorovině.
Vynesení grafu funkce y = |f(x)| se skládá z následujících jednoduchých čtyř kroků.
1) Pečlivě a pečlivě sestrojte graf funkce y = f(x).
2) Ponechte beze změny všechny body v grafu, které jsou nad nebo na ose 0x.
3) Zobrazte část grafu, která leží pod osou 0x symetricky vzhledem k ose 0x.
Příklad 1. Nakreslete graf funkce y = |x 2 – 4x + 3|
1) Sestavíme graf funkce y = x 2 – 4x + 3. Je zřejmé, že grafem této funkce je parabola. Najděte souřadnice všech průsečíků paraboly se souřadnicovými osami a souřadnicemi vrcholu paraboly.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Proto parabola protíná osu 0x v bodech (3, 0) a (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Proto parabola protíná osu 0y v bodě (0, 3).
Souřadnice vrcholu paraboly:
x v = -(-4/2) = 2, y v = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Bod (2, -1) je tedy vrcholem této paraboly.
Nakreslete parabolu pomocí získaných dat (Obr. 1)
2) Část grafu ležící pod osou 0x je zobrazena symetricky vzhledem k ose 0x.
3) Získáme graf původní funkce ( rýže. 2, zobrazeno tečkovanou čarou).
2. Vynesení funkce y = f(|x|)
Všimněte si, že funkce ve tvaru y = f(|x|) jsou sudé:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takových funkcí jsou symetrické kolem osy 0y.
Vykreslení grafu funkce y = f(|x|) se skládá z následujícího jednoduchého řetězce akcí.
1) Nakreslete graf funkce y = f(x).
2) Ponechte tu část grafu, pro kterou x ≥ 0, tedy tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.
3) Zobrazte část grafu specifikovanou v bodě (2) symetricky k ose 0y.
4) Jako konečný graf vyberte sjednocení křivek získaných v bodech (2) a (3).
Příklad 2. Nakreslete graf funkce y = x 2 – 4 · |x| + 3
Protože x 2 = |x| 2, pak lze původní funkci přepsat do následujícího tvaru: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Nyní můžeme použít výše navržený algoritmus.
1) Pečlivě a pečlivě sestavíme graf funkce y = x 2 – 4 x + 3 (viz též rýže. 1).
2) Ponecháme tu část grafu, pro kterou x ≥ 0, tedy tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.
3) Zobrazte pravou stranu grafu symetricky k ose 0y.
(obr. 3).
Příklad 3. Nakreslete graf funkce y = log 2 |x|
Aplikujeme výše uvedené schéma.
1) Sestavte graf funkce y = log 2 x (obr. 4).
3. Vynesení funkce y = |f(|x|)|
Všimněte si, že funkce tvaru y = |f(|x|)| jsou také vyrovnané. Ve skutečnosti y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a proto jsou jejich grafy symetrické kolem osy 0y. Sada hodnot těchto funkcí: y ≥ 0. To znamená, že grafy takových funkcí jsou umístěny zcela v horní polorovině.
Chcete-li vykreslit funkci y = |f(|x|)|, musíte:
1) Pečlivě sestrojte graf funkce y = f(|x|).
2) Ponechte beze změny tu část grafu, která je nad nebo na ose 0x.
3) Zobrazte část grafu umístěnou pod osou 0x symetricky vzhledem k ose 0x.
4) Jako konečný graf vyberte sjednocení křivek získaných v bodech (2) a (3).
Příklad 4. Nakreslete graf funkce y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Všimněte si, že x 2 = |x| 2. To znamená, že místo původní funkce y = -x 2 + 2|x| - 1
můžete použít funkci y = -|x| 2 + 2|x| – 1, protože jejich grafy se shodují.
Sestavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. K tomu použijeme algoritmus 2.
a) Nakreslete graf funkce y = -x 2 + 2x – 1 (obr. 6).
b) Necháme tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.
c) Výslednou část grafu zobrazíme symetricky k ose 0y.
d) Výsledný graf je na obrázku znázorněn tečkovanou čarou (obr. 7).
2) Nad osou 0x nejsou žádné body, body na ose 0x ponecháme beze změny.
3) Část grafu umístěná pod osou 0x je zobrazena symetricky vzhledem k 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku znázorněn tečkovanou čarou (obr. 8).
Příklad 5. Nakreslete graf funkce y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Nejprve musíte vykreslit funkci y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Abychom to udělali, vrátíme se k Algoritmu 2.
a) Pečlivě zakreslete funkci y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).
Všimněte si, že tato funkce je zlomková lineární a její graf je hyperbola. Chcete-li vykreslit křivku, musíte nejprve najít asymptoty grafu. Horizontální – y = 2/1 (poměr koeficientů x v čitateli a jmenovateli zlomku), vertikální – x = -3.
2) Část grafu, která je nad osou 0x nebo na ní, ponecháme beze změny.
3) Část grafu umístěná pod osou 0x bude zobrazena symetricky vzhledem k 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku (obr. 11).
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.
