Die Hauptvoraussetzung für die Stabilität automatischer Steuerungssysteme. Einfluss der Parameter der selbstfahrenden Waffe auf ihre Stabilität

Das Trackingsystem (Abb. 1.14, a) befindet sich im Fehlerfall in einem Gleichgewichtszustand. Dieser Zustand kann stabil oder instabil sein. Wenn das System nach einer Änderung der Antriebskraft (Drehung der Antriebswelle um einen Winkel) durch einen gedämpften Übergangsprozess (Abb. 2.1, a, b) in einen Gleichgewichtszustand zurückkehrt, dann ist dies der Fall Der Gleichgewichtszustand ist stabil und das System heißt stabil. Wenn nach einer geringfügigen Änderung der treibenden Kraft (Abweichung des Systems vom Gleichgewichtszustand) das System nicht zum ursprünglichen Gleichgewichtszustand tendiert, sondern ungedämpfte Schwingungen des In ihm entsteht eine kontrollierte Größe (Abb. 2.1, c, d) oder die Änderung erfolgt unabhängig davon, dass der Gleichgewichtszustand in diesem System instabil ist und das System als instabil bezeichnet wird.

Eine visuelle Darstellung stabiler und instabiler Gleichgewichtszustände erhält man durch die Betrachtung des Kugeloberflächensystems. Eine in einer Vertiefung platzierte Kugel (Abb. 3.1, a) befindet sich in einem stabilen Gleichgewichtszustand, da sie nach ihrer Ablenkung unter dem Einfluss eines äußeren Einflusses in ihren ursprünglichen Zustand zurückkehrt. Das Balloberflächensystem ist stabil. Der Ball befindet sich am höchsten Punkt des Hügels (Abb.) und befindet sich in einer instabilen Gleichgewichtslage: eine leichte Abweichung von

Reis. 3.1. Zum Konzept der Stabilität von Gleichgewichtszuständen des Kugeloberflächensystems: a - stabiler Zustand; b – instabiler Zustand; c – ein Zustand, der bei kleinen Abweichungen stabil und bei großen Abweichungen instabil ist.

In diesem Zustand rollt der Ball die Neigung der Oberfläche hinunter und kehrt nicht in seine ursprüngliche Position zurück. Das betrachtete System ist instabil.

Unter Stabilität wird also die Eigenschaft eines Systems verstanden, in seinen vorherigen Gleichgewichtszustand zurückzukehren, nachdem es aus diesem Zustand entfernt und die Veränderung des Masters oder der Einfluss des Störeinflusses gestoppt wurde.

Nur ein stabiles System ist funktionsfähig. Daher besteht eine der Hauptaufgaben der Theorie der automatischen Steuerung darin, die Stabilität automatischer Steuerungssysteme zu untersuchen. Die Grundlagen einer strengen Theorie der Stabilität dynamischer Systeme wurden von Acad entwickelt. A. M. Lyapunov in seinem Werk „Das allgemeine Problem der Bewegungsstabilität“ (1892). Die Nachhaltigkeitskonzepte, die sich aus dieser Arbeit ergeben, sind wie folgt.

Wenn das System durch eine lineare Differentialgleichung beschrieben wird, hängt seine Stabilität nicht von der Größe der Störung ab. Ein lineares System, das bei kleinen Störungen stabil ist, wird auch bei großen Störungen stabil sein. Nichtlineare Systeme können bei kleinen Störungen stabil und bei großen instabil sein. Ein Beispiel für ein solches nichtlineares System ist eine Wanduhr. Wenn einem stationären Pendel ein schwacher Stoß gegeben wird, bleibt das Pendel nach mehreren Schwingungen stehen, d. h. das System bleibt bei kleinen Störungen stabil. Wird dem Pendel ein stärkerer Impuls gegeben, beginnt das letzte Pendel der aufgezogenen Uhr ungedämpfte Schwingungen auszuführen. Folglich ist das System bei großen Störungen instabil. Eine klare Vorstellung von nichtlinearen Systemen, die bei kleinen Störungen stabil und bei großen Störungen instabil sind, ergibt sich aus der Betrachtung einer Kugel, die in einer Vertiefung oben auf einem konvexen Körper platziert ist (Abb. 3.1, c). Bei kleinen Abweichungen, die nicht über den Rand der Vertiefung hinausgehen, kehrt der Ball in seine ursprüngliche Position zurück, d. h. das Ball-Oberflächen-System ist stabil. Weicht es über den Rand der Vertiefung hinaus ab, kehrt die Kugel nicht in ihre ursprüngliche Position zurück – das System ist instabil. Daher wird bei nichtlinearen Systemen die Stabilität getrennt für den Fall kleiner Störungen, d. h. die Stabilität im Kleinen, und die Stabilität bei großen Störungen, d. h. die Stabilität im Großen, untersucht.

Nach dem Satz von Lyapunov kann die Stabilität nichtlinearer Systeme bei kleinen Störungen anhand ihrer linearisierten Gleichungen beurteilt werden, die das Verhalten von Systemen bei kleinen Abweichungen vom Gleichgewichtszustand recht genau beschreiben. Um die Stabilität nichtlinearer Systeme unter großen Störungen zu bestimmen, ist es notwendig, die ursprünglichen Gleichungen der nichtlinearen Dynamik zu verwenden. In den meisten praktischen Fällen erweisen sich Systeme, die bei kleinen Abweichungen stabil sind, auch bei relativ großen Abweichungen, die im Betrieb möglich sind, als stabil, und daher kann die Frage nach der Stabilität dieser Systeme auf der Grundlage der Untersuchung linearisierter Gleichungen gelöst werden.

Das Stabilitätsproblem entsteht in geschlossenen automatischen Regelsystemen meist durch den Einfluss von Rückkopplungen. Daher wird Stabilität künftig anhand von Beispielen geschlossener Systeme untersucht, obwohl die Methoden zur Stabilitätsuntersuchung universell sind.

Die Stabilität des automatischen Steuerungssystems ist eine der wichtigsten Eigenschaften des Systems, denn Die Leistung des Systems hängt davon ab. Ein System, dem es an Stabilität mangelt, kann das Steuerungsproblem nicht effizient lösen. Mangelnde Stabilität kann auch zur Zerstörung des Systems selbst während des Steuerungsprozesses oder zur Zerstörung des Steuerungsobjekts führen, sodass der Einsatz instabiler Systeme ungeeignet ist.

Stabilität des automatischen Kontrollsystems - Dies ist eine Eigenschaft des Luftsystems

drehen sich in den anfänglichen Gleichgewichtszustand, nachdem der Einfluss aufgehört hat, der das System in den anfänglichen Gleichgewichtszustand gebracht hat.

Ein Beispiel für stabile und instabile Systeme ist das System einer Kugel auf einer konkaven und konvexen Oberfläche, dargestellt in Abbildung 60.

Abb.60. Beispiele für Systeme: a) stabil; b) instabil

In Abbildung 60a kehrt eine Kugel, die sich auf einer konkaven Oberfläche befindet und durch eine bestimmte Kraft zur Seite verschoben wird, nach dem Ende des äußeren Einflusses in ihre ursprüngliche Gleichgewichtsposition zurück. Liegt keine Reibung an der Oberfläche vor oder ist deren Minimalwert erreicht, vollführt die Kugel kurze Schwingungen um die Gleichgewichtslage, bis sie wieder in die ursprüngliche Gleichgewichtslage zurückkehrt (Kurve 1 – gedämpfter Schwingungsvorgang). Bei hoher Reibung kehrt die Kugel ohne Schwingungen in die ursprüngliche Gleichgewichtslage zurück (Kurve 2 – aperiodischer Prozess). Wenn der Reibungswert sehr groß ist, kehrt die Kugel möglicherweise nicht in die ursprüngliche Gleichgewichtsposition zurück (Kurve 3), sondern in einen Bereich nahe der Gleichgewichtsposition. Im betrachteten Fall liegt ein stabiles System vor. In stabilen automatischen Steuerungssystemen treten ähnliche transiente Prozesse auf (gedämpft oszillierend und aperiodisch).

In Abbildung 60b kehrt eine Kugel, die sich auf einer konvexen Oberfläche befindet und durch eine bestimmte Kraft zur Seite verschoben wird, nicht in die ursprüngliche Gleichgewichtsposition zurück (Kurve 4), sodass das System instabil ist. In instabilen Systemen treten transiente Prozesse in Form divergenter Schwingungen (Kurve 5) oder aperiodischer Schwingungen (Kurve 4) auf.

Die Instabilität des ACS entsteht in der Regel durch einen sehr starken Rückkopplungseffekt. Die Ursachen für dynamische Instabilität sind in der Regel erhebliche Trägheitseigenschaften der Verbindungen eines Regelkreissystems, aufgrund derer das Rückkopplungssignal im Oszillationsmodus dem Eingangssignal so weit hinterherhinkt, dass es mit diesem in Phase ist. Es stellt sich heraus, dass die Natur des negativen Feedbacks den Charakter annimmt

positiv.

Lassen Sie uns eine mathematische Beschreibung von Stabilität und Instabilität erstellen. Da die Stabilität eines Systems nur von der Art seiner freien Bewegung abhängt, kann diese freie Bewegung des Systems durch eine homogene Differentialgleichung beschrieben werden:

charakteristische Gleichung, die durch den folgenden Ausdruck dargestellt wird:

Stellen wir die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung (2.19.) in folgender Form dar:

Wo C k – Konstanten abhängig von den Anfangsbedingungen, p k sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung.

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung können komplex sein ( p k = α k ± jβ k ), gültig ( p k = α k ) oder imaginär ( p k = jβ k ). Komplexe Wurzeln sind immer paarweise konjugiert, d.h. Wenn es eine Wurzel einer Gleichung mit einem positiven Imaginärteil gibt, dann wird es sicherlich auch eine Wurzel mit demselben Absolutwert, aber einem negativen Imaginärteil geben. y(t) bei T → ∞ aus (2.21.) wird nur dann gegen Null tendieren, wenn jeder Term S k e p k t → 0. Die Art dieser Funktion hängt vom Typ der Wurzel ab. Mögliche Fälle von Root-Standort p k auf der komplexen Ebene und ihre entsprechenden Funktionen y(t) = C k e p k t sind in Abbildung 61 dargestellt. Das Aussehen der Funktionen ist innerhalb der Ellipsen dargestellt.

Abb.61. Der Einfluss der Lage der Wurzeln der charakteristischen Gleichung auf

Komponenten der freien Bewegung des Systems

Abbildung 61 zeigt das, wenn jede echte Wurzel p k= α k für Ausdruck (2.21.) entspricht der Begriff:

y k (t) = C k eα k t(2.22.)

dann um α zu< 0 (Wurzel P 1) Funktion bei T→ ∞ tendiert gegen Null, wenn α k > 0 (Wurzel S. 3 ) Die Funktion wird unbegrenzt erhöht und wann α k = 0 (Wurzel P 2) Die Funktion bleibt konstant.

Wenn die charakteristische Gleichung komplexe Wurzeln hat, dann ist jedes Paar konjugiert komplexe Wurzeln p k, k+1 = α k ± jβ k , es gibt zwei entsprechende Begriffe, die kombiniert und als folgender Ausdruck dargestellt werden können:

Diese Funktion ist eine Sinuskurve mit exponentiell variierender Amplitude und Frequenz β k . Für den negativen Realteil zweier komplexer Wurzeln α k, k+1< 0 , (Wurzeln S. 4 Und S. 5 ) wird die oszillierende Komponente der Funktion abklingen, und zwar mit einem positiven Realteil α k, k+1 > 0 , (Wurzeln S. 8 Und S. 9 ) Die Amplitude der Schwingungen nimmt unbegrenzt zu. In Ermangelung eines Realteils komplexer Wurzeln α k, k+1 = 0 (Wurzeln S. 6 Und S. 7 ), d.h. Wenn nur imaginäre Wurzeln vorhanden sind, ist die Funktion eine kontinuierliche Sinuskurve mit einer Frequenz β k .

Basierend auf der Stabilitätsdefinition sollte, wenn die anfängliche Gleichgewichtsposition als Null angenommen wird, der Wert des Ausgabeparameters für stabile Systeme im Laufe der Zeit gegen Null tendieren, d. h. Das System kehrt von selbst in seine Gleichgewichtslage zurück. Eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür ist, dass alle Terme der Lösung der Differentialgleichung (2.21.) mit der Zeit gegen Null tendieren, was mit negativen Realwurzeln der Gleichung erreicht werden kann und komplexe Wurzeln einen negativen Realteil haben müssen. Die Existenz mindestens einer positiven reellen Wurzel oder eines Paares komplexer Wurzeln mit positivem Realteil führt dazu, dass der Wert des Ausgangsparameters des Systems nicht auf seinen ursprünglichen Wert zurückkehrt, d.h. Das System wird instabil sein.

Wenn man die Lage der Wurzeln der charakteristischen Gleichung auf der komplexen Ebene analysiert, dargestellt in Abbildung 62, kann man feststellen, dass das ACS stabil ist, wenn alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der linken Halbebene liegen und alle negativ reell oder negativ sind komplex mit negativem Realteil. Das Vorhandensein mindestens einer Wurzel in der rechten Halbebene kennzeichnet die Instabilität des Systems.

Die Stabilität eines Systems ist eine interne Eigenschaft des Systems, die nur von der Art der Wurzeln der charakteristischen Gleichung abhängt, die die Eigenschaften des Systems beschreibt, und nicht von äußeren Einflüssen abhängt. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Stabilität des Systems ist die Lage aller Wurzeln der Gleichung in der linken (negativen) Halbebene.

Die positiven und negativen Halbebenen, in denen die positiven oder negativen Wurzeln der charakteristischen Gleichung liegen und die Stabilität oder Instabilität des Systems gewährleisten, werden durch die imaginäre Achse ± getrennt jβ . Diese Achse ist die Stabilitätsgrenze, wenn die charakteristische Gleichung also ein Paar rein imaginärer Wurzeln hat p k, k+1 =± jβ k , und die anderen Wurzeln in der negativen Halbebene liegen, dann ist das System durch das Vorhandensein ungedämpfter Schwingungen mit einer Frequenz gekennzeichnet ω = β k. Es wird allgemein angenommen, dass in diesem Fall das System in Ordnung ist Schwingungsstabilitätsgrenze .

Punkt β = 0 auf der imaginären Achse entspricht der Nullwurzel. Eine Gleichung mit einer Nullwurzel wird als at betrachtet aperiodische Stabilitätsgrenze und bei Vorhandensein von zwei Nullwurzeln ist das System instabil.

Abb.62. Die Lage der Wurzeln der charakteristischen Gleichung eines stabilen Systems auf

komplexe Ebene

Vergessen Sie nicht, dass die Gleichungen fast aller realen automatischen Steuerungssysteme nicht linear sind, sondern durch Linearisierung auf lineare Gleichungen reduziert werden. Daher können bei der Linearisierung getroffene Annahmen die Richtigkeit der Bestimmung der Stabilität des Systems beeinträchtigen.

A. M. Lyapunov lieferte 1892 in seinem Werk „Das allgemeine Problem der Stabilität der Bewegung“ einen Beweis des Theorems, in dem die folgenden Schlussfolgerungen für linearisierte Gleichungen gezogen wurden:

1. Wenn alle reellen Wurzeln der charakteristischen Gleichung eines Systems negativ sind, gilt das System als stabil.

2. Wenn mindestens eine reelle Wurzel der charakteristischen Gleichung des Systems positiv ist, gilt das System als instabil.

3. Wenn die charakteristische Gleichung eines linearisierten Systems mindestens eine Nullwurzel oder ein Paar imaginärer Wurzeln aufweist, kann die Stabilität des realen Systems nicht anhand der linearisierten Gleichung beurteilt werden.

Folglich muss auf der Grundlage der Analyse der ursprünglichen nichtlinearen Gleichung eine Schlussfolgerung über die Stabilität realer Systeme gezogen werden. Um die Instabilität oder Stabilität des Systems zu bestimmen, reicht es aus, die Positivität (Negativität) der realen Wurzeln zu identifizieren die charakteristische Gleichung.

Nachhaltigkeitskriterien Nennen Sie bestimmte Regeln, nach denen in der Theorie der automatischen Steuerung die Vorzeichen der Wurzeln der charakteristischen Gleichung bestimmt werden, ohne diese zu lösen. Es gibt algebraische und Häufigkeitskriterien für die Stabilität.

Algebraische Kriterien Stabilität eines Systems ist eine notwendige und ausreichende Bedingung dafür, dass die Wurzeln für bestimmte Werte der Koeffizienten in der charakteristischen Gleichung negativ sind.

Häufigkeitskriterien Stabilität des Systems wurde die Abhängigkeit der Stabilität des Systems von der Form der Frequenzeigenschaften des Systems festgestellt.

Stabilität ist die Fähigkeit eines Systems, in den Nominalmodus zurückzukehren, wenn es aus irgendeinem Grund von diesem Modus abweicht.

Stabilitätsanforderungen sind für alle selbstfahrenden Waffen obligatorisch.

Eine strenge Definition von Nachhaltigkeit wurde von A.M. gegeben. Lyapunov in seinem Werk „Das allgemeine Problem der Stabilität der Bewegung“ (Ende des 19. Jahrhunderts)

Die Dynamik des Systems sei durch die Gleichung beschrieben

j - Ausgabewert

X- Eingabemenge

j ( ich ) , X ( J ) - Derivate.

Nehmen wir an, dass dieses System eine nominale Betriebsart hat bei N (T), der eindeutig durch den nominellen Eingangseinfluss bestimmt wird X N (T) und nominale Anfangsbedingungen.

(2)

Da die nominellen Anfangsbedingungen (2) in der Praxis schwer einzuhalten sind, liegen im System „abweichende“ Anfangsbedingungen vor.

(3)

Für den Nennmodus gilt die Gleichung:

Die abgelehnten Anfangsbedingungen entsprechen dem abgelehnten Modus.

Für den abgelehnten Modus gilt die Gleichung:

(6)

Subtrahieren Sie Gleichung (4) von Gleichung (5), erhalten wir (7)

Lassen Sie uns eine Definition einführen.

Nominalmodus bei N (T) Lyapunov-Stall, wenn für alle abgelehnten Anfangsbedingungen (3), die sich nur wenig genug von den nominalen nominalen Anfangsbedingungen (2) unterscheiden, für alle t > 0 z(t) klein sein wird.

Wenn der Nominalmodus nach Lyapunov stabil ist und gleichzeitig der Grenzwert
, dann wird der Nominalmodus aufgerufen asymptotisch stabil.

Wenn Anfangsbedingungen (3) vorliegen, die von den nominellen Anfangsbedingungen (2) so wenig wie gewünscht abweichen, und gleichzeitig
größer als ein kleiner, vorgegebener Wert wird, dann der Nennmodus bei N (T) angerufen instabil.

Aus (7) folgt das Verhalten z(T) völlig unabhängig von der Art des Eingangseinflusses X N (T) .

Dies führt zu folgendem Schluss: Entweder im System (1) sind sie asymptotisch stabil Alle Nominalmodi, die verschiedenen Eingängen entsprechen X N (T), oder sie sind alle instabil.

Daher können wir über die Stabilität oder Instabilität des Systems sprechen und nicht über einen seiner Modi.

Dies ist eine wichtige Erkenntnis, die den Umfang der ACS-Forschung einschränkt.

Leider gilt es nur für lineare Selbstfahrlafetten.

Notwendige und ausreichende Bedingungen für die Stabilität linearer Selbstfahrwaffen.

Für die asymptotische Stabilität linearer Systeme ist es notwendig und ausreichend, dass alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung vorliegen.

hätte einen negativen Realteil.

Es ist bekannt, dass die Lösung einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ist

1. Lass die Wurzeln real sein.

Bei

- und das ist eine Abweichung vom Nennmodus.

2. Wenn die Wurzeln komplex sind.

Eine notwendige Voraussetzung für Stabilität.

Für die asymptotische Stabilität des Systems (1), (8) ist es notwendig, dass alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung das gleiche Vorzeichen haben.

Geometrische Interpretation der Stabilitätsbedingung

Für die Stabilität des ACS ist es notwendig und ausreichend, dass die Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der linken Halbebene der komplexen Ebene der Wurzeln liegen.

ACS-Stabilitätskriterien.

Hierbei handelt es sich um künstliche Techniken, die es ermöglichen, ohne die Wurzeln der charakteristischen Gleichung zu finden, Fragen zur Stabilität der Selbstfahrlafetten zu beantworten, d. h. Bestimmen Sie die Vorzeichen der echten Teile der Wurzeln.

Zwei Arten von Nachhaltigkeitskriterien:

1). Algebraisches Stabilitätskriterium (Hurwitz-Stabilitätskriterium).

Gegeben sei eine charakteristische Gleichung.

Für die Stabilität der Selbstfahrlafetten ist es notwendig und ausreichend:

1). Damit alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung das gleiche Vorzeichen haben -
(
das System ist nicht stabil)

2). Die nach einer bestimmten Regel zusammengestellte Haupt-Hurwitz-Determinante und alle ihre Nebendiagonalen hätten das Vorzeichen der Koeffizienten – sie wären größer als Null.

Regeln zum Schreiben der Hauptdefinition von Hurwitz.

1). Entlang der Hauptdiagonale der Determinante liegen alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung in aufsteigender Reihenfolge der Indizes, beginnend mit A 1 .

2). Die Räume in der Determinante über der Hauptdiagonale werden mit den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung in der Reihenfolge steigender Indizes gefüllt.

3). Die Räume in der Determinante unter der Hauptdiagonale werden mit den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung in absteigender Reihenfolge der Indizes gefüllt.

4). Stellen in der Determinante, an denen Koeffizienten mit Indizes größer als erscheinen sollten N und weniger null, mit Nullen gefüllt

Somit hat die Hauptdeterminante von Hurwitz die Form:

A=
>0

Die selbstfahrende Waffe ist stabil, wenn

1). Alle Koeffizienten der charakteristischen Gleichung sind größer als Null ( 0!)

,
, ….

2). Die Haupt-Hurwitz-Determinante und alle ihre diagonalen Nebendeterminanten > 0.

,
,
, ….

Schauen wir uns Beispiele an.

1.

1.

2.

Für die Stabilität eines ACS zweiter Ordnung ist die Positivität der Koeffizienten der charakteristischen Gleichung eine notwendige und ausreichende Stabilitätsbedingung.

1.
i=0…3

2.

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Stabilität von Systemen dritter Ordnung ist die Positivität der Koeffizienten und des Produkts interner Terme
Es muss mehr geben als das Produkt der Extremterme
charakteristische Gleichung.

,

,
,

Es gibt auch das algebraische Kriterium von Routh. Dies ist das gleiche Hurwitz-Kriterium, jedoch so organisiert, dass es bequem zur Erstellung von Programmen zur Stabilitätsbestimmung verwendet werden kann.

Vyshnegradsky-Stabilitätskriterium für Systeme dritter Ordnung.

Wyschnegradski I.A. schlug vor, die Stabilitätsgrenze auf der sogenannten Vyshnegradsky-Parameterebene darzustellen.

Lassen Sie uns eine charakteristische Gleichung dritten Grades haben.

Lassen Sie es uns durch Substitution umwandeln:

Dann sieht es so aus:

A 1 UndA 2 werden Vyshnegradsky-Parameter (dimensionslose Größen) genannt, in deren Ebene die Stabilitätsgrenze konstruiert wird.

Wenden wir das Hurwitz-Stabilitätskriterium auf die transformierte Gleichung an

oder A 1 A 2 > 1

An der Grenze der Stabilität
.

Von hier
- Gleichung an der Stabilitätsgrenze

Aus den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung ermitteln wir A 1 Und A 2 . Liegt der Punkt unterhalb der Hyperbel, ist die Selbstfahrlafette stabil, liegt der Punkt höher, ist sie instabil.

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Vorlesung Nr. 4

Stabilität der selbstfahrenden Waffe

Die Eigenschaft eines Systems, nach Beseitigung der Störung in seinen ursprünglichen Zustand zurückzukehren, wird als Stabilität bezeichnet.

Definition.

Die Kurven 1 und 2 charakterisieren ein stabiles System, die Kurven 3 und 4 charakterisieren instabile Systeme.ε

Systeme 5 und 6 an der Grenze der Stabilität 5 – neutrales System, 6 – Grenze der Schwingungsstabilität.

Die Differentialgleichung des ACS in Operatorform soll die Form haben

Dann besteht die Lösung der Differentialgleichung (Systembewegung) aus zwei Teilen Erzwungene Bewegung vom gleichen Typ wie die Eingabeaktion.

In Abwesenheit mehrerer Wurzeln, wo C ich -aus den Anfangsbedingungen ermittelte Integrationskonstanten,

 1 ,  2 …,  n Wurzeln der charakteristischen Gleichung

Ort der Wurzeln des Merkmals

Gleichungen des Systems auf der komplexen Ebene

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung hängen weder von der Art der Störung noch von ab

Anfangsbedingungen a werden nur durch die Koeffizienten a bestimmt 0 , a 1 , a 2 ,…, a n , also die Parameter und Struktur des Systems.

1-Wurzel reell, größer als Null;

2-Wurzel-Real, kleiner als Null;

3-Wurzel ist Null;

4-zwei Nullwurzeln;

5-zwei komplexe konjugierte Wurzeln, deren Realteil ist

Positiv;

6-zwei komplexe konjugierte Wurzeln, deren Realteil negativ ist;

7-zwei imaginäre konjugierte Wurzeln.

Methoden der Stabilitätsanalyse:

1. Direkt (basierend auf der Lösung von Differentialgleichungen);
2. Indirekt (Stabilitätskriterien).

Sätze von A.M. Ljapunova.

Satz 1.

Satz 2.

Anmerkungen:

1. Wenn es unter den Wurzeln der charakteristischen Gleichung zwei oder mehr Nullwurzeln gibt, ist das System instabil.
2. Wenn eine Wurzel Null ist und alle anderen in der linken Halbebene liegen, dann ist das System neutral.
3. Wenn zwei Wurzeln imaginär konjugiert sind und alle anderen in der linken Halbebene liegen, dann befindet sich das System an der oszillierenden Stabilitätsgrenze.

ACS-Stabilitätskriterien.

Das Stabilitätskriterium ist eine Regel, die es ermöglicht, die Stabilität eines Systems zu bestimmen, ohne die Wurzeln der charakteristischen Gleichung zu berechnen.

Im Jahr 1877 Routh installiert:

1. Hurwitz-Stabilitätskriterium

Das Kriterium wurde 1895 entwickelt.

Lassen Sie die charakteristische Gleichung eines geschlossenen Systems definieren: Wir reduzieren die Gleichung auf die Form so dass a 0 >0.

Stellen wir die Haupt-Hurwitz-Determinante nach folgender Regel zusammen:

Entlang der Hauptdiagonale werden die Koeffizienten der Gleichung vom zweiten bis zum letzten geschrieben, wobei die Spalten oberhalb der Diagonale mit Koeffizienten mit zunehmenden Indizes und die Spalten unterhalb der Diagonale mit Koeffizienten mit abnehmenden Indizes gefüllt werden. In Abwesenheit eines Koeffizienten in der Gleichung und anstelle von Koeffizienten mit Indizes kleiner als 0 und mehr n schreibe Null.

Lassen Sie uns die diagonalen Nebendeterminanten oder die einfachsten Determinanten in der Haupt-Hurwitz-Determinante hervorheben:

Formulierung des Kriteriums.

Für Systeme höherer Ordnung als zweiter Ordnung müssen zusätzlich zur Positivität aller Koeffizienten der charakteristischen Gleichung die folgenden Ungleichungen erfüllt sein:

1. Für Systeme dritter Ordnung:
2. Für Systeme vierter Ordnung:
3. Für Systeme fünfter Ordnung:

1. Für Systeme sechster Ordnung:

Beispiel. Um die Stabilität des Systems nach Hurwitz zu untersuchen, wird eine charakteristische Gleichung angegeben.

Für stabile Systeme ist es notwendig und

2. Routing-Kriterium

Das Routh-Kriterium wird zur Untersuchung der Stabilität von Systemen höherer Ordnung verwendet.

Kriteriumsformulierung:

Routing-Tisch.

Algorithmus zum Ausfüllen der Tabelle: Die erste und zweite Zeile enthalten die Koeffizienten der Gleichung mit geraden und ungeraden Indizes; die Elemente der übrigen Zeilen werden nach folgender Regel berechnet:

Der Vorteil des Kriteriums: Es kann die Stabilität von Systemen beliebiger Ordnung untersucht werden.

2. Nyquist-Stabilitätskriterium

Argumentationsprinzip

Frequentistische Methoden basieren auf dem Argumentationsprinzip.

Analysieren wir die Eigenschaften eines Polynoms der Form:

Wo i - Wurzeln der Gleichung

Auf der komplexen Ebene entspricht jede Wurzel einem genau definierten Punkt. Geometrisch gesehen jede Wurzel ich kann als Vektor dargestellt werden, der vom Ursprung zum Punkt gezogen wird ich : | i | - Vektorlänge, arg ich - der Winkel zwischen dem Vektor und der positiven Richtung der x-Achse. Lassen Sie uns D(p) in den Fourier-Raum abbilden, dann wo j -  i - elementarer Vektor.

Die Enden der Elementarvektoren liegen auf der imaginären Achse.

Die Größe des Vektors und das Argument (Phase)

Die Drehrichtung des Vektors gegen den Uhrzeigersinn wird als POSITIV angenommen. Dann beim Wechsel von bis zu jedem Elementarvektor ( j  -  i ) dreht sich um einen Winkel + wenn  i liegt in der linken Halbebene.

Sei D ( )=0 mit m Wurzeln in der rechten Halbebene und n - m Wurzeln links, dann mit zunehmender von um das Argument des Vektors D(j) zu ändern ) (Drehwinkel D(j ), gleich der Summe der Änderungen in den Argumenten der Elementarvektoren) sein wird

Argumentationsprinzip:

Das Nyquist-Kriterium basiert auf den Frequenzeigenschaften des offenen Stromkreises des ACS, da die Art der Frequenzeigenschaften des offenen Stromkreises zur Beurteilung der Stabilität des geschlossenen Systems verwendet werden kann.

Das Nyquist-Kriterium wird in der Ingenieurspraxis aus folgenden Gründen häufig verwendet:

1. Die Stabilität eines Systems im geschlossenen Zustand wird anhand der Frequenzübertragungsfunktion seines offenen Stromkreises untersucht, und diese Funktion besteht meist aus einfachen Faktoren. Die Koeffizienten sind die realen Parameter des Systems, sodass Sie sie aus den Stabilitätsbedingungen auswählen können.
2. Um die Stabilität zu untersuchen, können Sie experimentell gewonnene Frequenzeigenschaften der komplexesten Elemente des Systems (Kontrollobjekt, Exekutivorgan) verwenden, was die Genauigkeit der erhaltenen Ergebnisse erhöht.
3. Stabilität kann mit LFCs untersucht werden, deren Aufbau einfach ist.
4. Es ist praktisch, Stabilitätsmargen zu bestimmen.

1. System stabil im geöffneten Zustand

Lassen Sie uns eine Hilfsfunktion einführen und ersetzen p  j  , dann

Nach dem Argumentprinzip ist die Änderung des Arguments D(j ) und D з (j  ) bei 0<  <  gleicht Dann ist das der Hodograph W 1 (j  ) darf den Ursprung nicht überspannen.

Um die Analyse und Berechnungen zu vereinfachen, verschieben wir den Ursprung des Radiusvektors vom Koordinatenursprung zum Punkt (-1, J 0) und anstelle der Hilfsfunktion W 1 (j  ) verwenden wir die AFC eines Open-Loop-Systems W (j  ).

Formulierung des Kriteriums Nr. 1

Beispiele.

Beachten Sie, dass der Unterschied in der Anzahl der positiven und negativen Übergänge des AFC links vom Punkt (-1, j 0) ist gleich Null.

2. Ein System mit Polen auf der imaginären Achse in einem offenen Zustand

Um die Stabilität des AFC-Systems zu analysieren, werden sie durch einen Kreis mit unendlich großem Radius ergänzt 0 gegen den Uhrzeigersinn zur positiven realen Halbachse an Nullpolen und bei rein imaginären Wurzeln - um einen Halbkreis im Uhrzeigersinn am Unstetigkeitspunkt des AFC.

Formulierung des Kriteriums Nr. 2

1. Intermittierendes System mit offenem Kreislauf

Ein allgemeinerer Fall: Der Nenner der Übertragungsfunktion eines Systems mit offenem Regelkreis enthält Wurzeln, die in der rechten Halbebene liegen. Das Auftreten von Instabilität in einem System mit offenem Regelkreis hat zwei Gründe:

1. Eine Folge des Vorhandenseins instabiler Links;
2. Eine Folge des Stabilitätsverlusts von Links, die durch positives oder negatives Feedback abgedeckt werden.

X Obwohl theoretisch das gesamte System im geschlossenen Zustand bei Instabilität im lokalen Rückkopplungskreis stabil sein kann, ist ein solcher Fall in der Praxis unerwünscht und sollte vermieden werden, indem versucht wird, nur stabile lokale Rückkopplungen zu verwenden. Dies wird durch das Vorhandensein unerwünschter Eigenschaften erklärt, insbesondere durch das Auftreten einer bedingten Stabilität, die angesichts der üblicherweise im System vorhandenen Nichtlinearitäten in einigen Modi zu einem Stabilitätsverlust und dem Auftreten von Selbstschwingungen führen kann. Daher werden bei der Berechnung des Systems in der Regel solche lokalen Rückkopplungen ausgewählt, die bei geöffneter Hauptrückkopplung stabil wären.

Sei das charakteristische Polynom D(S ) Open-Loop-System hat M Wurzeln mit positivem Realteil.

Dann

Ersatz-Assistenzfunktion p  j  Nach dem Argumentationsprinzip für stabile geschlossene Systeme müsste sich folgende Argumentationsänderung ergeben

Formulierung des Kriteriums Nr. 3

Formulierung von Ya.Z. Tsypkina

Nyquist-Kriterium für LFC

Hinweis: Die Phasencharakteristik des LFC astatischer Systeme wird durch einen monotonen Abschnitt + ergänzt /2 bei  0.

Absolut nachhaltigSie bezeichnen ein System, das bei jeder Verringerung der Leerlaufverstärkung stabil bleibt, andernfalls ist das System bedingt stabil.

Man nennt Systeme, die durch Veränderung ihrer Parameter stabil gemacht werden könnenstrukturell stabil, sonst strukturell instabil.

Stabilitätsmargen

Für den Normalbetrieb muss jedes ACS von der Stabilitätsgrenze entfernt sein und über einen ausreichenden Stabilitätsspielraum verfügen. Die Notwendigkeit hierfür hat folgende Gründe:

1. Gleichungen von ACS-Elementen sind in der Regel idealisiert, sekundäre Faktoren werden bei der Zusammenstellung nicht berücksichtigt;
2. Bei der Linearisierung von Gleichungen nehmen die Näherungsfehler weiter zu;
3. Die Parameter der Elemente werden mit einem gewissen Fehler bestimmt;
4. Parameter von Elementen des gleichen Typs weisen technologische Unterschiede auf;
5. Im Betrieb verändern sich die Parameter der Elemente durch Alterung.

In der Praxis technischer Berechnungen basiert die am weitesten verbreitete Bestimmung des Stabilitätsspielraums auf dem NYQVIST-Kriterium, basierend auf dem Abstand des AFC eines Systems mit offenem Regelkreis vom kritischen Punkt mit Koordinaten (-1, J 0), der durch zwei Indikatoren bewertet wird: Phasenstabilitätsmarge und Stabilitätsspielraum im Modul (in der Amplitude) H.

Damit das ATS Stabilitätsmargen von mindestens hat und H , sollte der AFC seines offenen Stromkreises, wenn das Stabilitätskriterium erfüllt ist, nicht in den in Abb. schattierten Teil des Rings eintreten. 1, wo H wird durch die Relation bestimmt

Wenn die Stabilität durch den LFC von bedingt stabilen Systemen bestimmt wird, müssen Stabilitätsmargen von mindestens gewährleistet sein und h ist notwendig, damit:

a) für h  L  - h Die Phasenfrequenzcharakteristik erfüllte die Ungleichungenθ > -180  +  oder θ< -180  -  , d.h. hat den schattierten Bereich 1 in Abb. nicht betreten. 2;

b) bei -180  +   θ  -180  -  die Amplituden-Frequenz-Charakteristik erfüllte die Ungleichungen L< - h или L >H , d.h. gelangte nicht in die schattierten Bereiche 2" und 2" in Abb. 2.

Für ein absolut stabiles System Stabilitätsmargen und h werden wie in Abb. 3:

1. Phasenrand

1. Modulo-Rand h =- L (ω -π), wobei ω -π Frequenz, bei der θ=-180˚ .

Die erforderlichen Werte der Stabilitätsmargen hängen von der Klasse des ATS und den Anforderungen an die Regulierungsqualität ab. Ungefähr sollte es sein =30  60  und h =6  20dB.

Die minimal zulässigen Stabilitätsmargen in der Amplitude dürfen nicht weniger als 6 dB betragen (d. h. der Übertragungskoeffizient des Open-Loop-Systems beträgt die Hälfte des kritischen Werts) und in der Phase dürfen sie nicht weniger als 25 betragen 30  .

Stabilität eines Systems mit einer reinen Verzögerungsstrecke

Wenn der AFC eines Open-Loop-Systems durch den Punkt (-1, J 0), dann steht das System am Rande der Stabilität.

Ein System mit reiner Verzögerung kann stabilisiert werden, wenn eine trägheitsfreie Verbindung mit einem Übertragungskoeffizienten kleiner als 1 in den Schaltkreis einbezogen wird. Andere Arten von Korrekturvorrichtungen sind ebenfalls möglich.

Strukturstabile und strukturinstabile Systeme

Eine Möglichkeit, die Qualität des Systems (im Hinblick auf die Stabilität) zu ändern, besteht darin, den Übertragungskoeffizienten des Open-Loop-Systems zu ändern.

Wenn k L ( ) wird steigen oder fallen. Wenn k steigt, L ( ) steigt und  avg wird zunehmen, aber das System wird instabil bleiben. Wenn k verringern, dann kann das System stabil gemacht werden. Dies ist eine der Möglichkeiten, das System zu korrigieren.

Systeme, die durch Änderung von Systemparametern stabil gemacht werden können, werden als STRUKTURELL NACHHALTIG bezeichnet.

Für diese Systeme gibt es ein kritisches Übertragungsverhältnis im offenen Regelkreis. K-Krit. Dies ist der Übertragungskoeffizient, wenn das System am Rande der Stabilität steht.

Es gibt strukturell instabile Systeme – das sind Systeme, die nicht durch Änderung der Systemparameter stabil gemacht werden können, aber für die Stabilität ist es notwendig, die Struktur des Systems zu ändern.

Beispiel.

Betrachten wir drei Fälle:

1. Lassen

Dann

Lassen Sie uns den Betrieb des Systems auf Stabilität überprüfen.

Δ = a 3 Δ 2 >0.

Zur Bestimmung von k rs.cr. setzen wir es mit Null gleich 2 .

Dann

Wann wann

Das betrachtete System ist STRUKTURSTABIL, da es durch Änderung der Parameter der Verbindungen stabilisiert werden kann.

1. Lassen Sie sie die gleichen sein wie im ersten Fall.

Jetzt liegt kein statischer Fehler auf dem Steuerkanal vor.

Hurwitz-Stabilitätsbedingungen:

Sei  2 =0, wenn das System instabil ist.

Dieses System mit Astatismus 1. Ordnung ist STRUKTURSTABIL.

1. Lassen

Das System ist immer instabil. Dieses System ist STRUKTURELL INSTABIL.

Stabilität der selbstfahrenden Waffe

Nullstellen und Pole der Übertragungsfunktion

Die Wurzeln des Polynoms im Zähler der Übertragungsfunktion werden aufgerufen Nullen, und die Wurzeln des Polynoms im Nenner sind StangenÜbertragungsfunktion. Polen gleichzeitig Wurzeln der charakteristischen Gleichung, oder charakteristische Zahlen.

Liegen die Wurzeln von Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion in der linken Halbebene (während die Wurzeln von Zähler und Nenner in der oberen Halbebene liegen), dann heißt die Verknüpfung Minimalphase.

Entsprechung zur linken Wurzelhalbebene R obere Halbebene der Wurzeln (Abb. 2.2.1) wird dadurch erklärt, dass, oder , d.h. Ein Vektor wird aus einem Vektor erhalten, indem man ihn um einen Winkel im Uhrzeigersinn dreht. Dadurch werden alle Vektoren aus der linken Halbebene zu Vektoren in der oberen Halbebene.

Nicht minimale Phase und instabile Verbindungen

Die oben betrachteten Verbindungen der Positions- und Differenzierungstypen gehören zu stabilen Verbindungen oder zu selbstnivellierenden Verbindungen.

Unter selbstnivellierend bezieht sich auf die Fähigkeit einer Verbindung, bei einer begrenzten Änderung des Eingabewerts oder einem störenden Einfluss spontan einen neuen stationären Wert zu erreichen. Typischerweise wird der Begriff „Self-Alignment“ für Links verwendet, die einer Regulierung unterliegen.

Es gibt Verbindungen, bei denen eine begrenzte Änderung des Eingabewerts nicht dazu führt, dass die Verbindung einen neuen stabilen Zustand erreicht, und der Ausgabewert tendenziell im Laufe der Zeit unbegrenzt ansteigt. Dazu gehören beispielsweise Verknüpfungen vom integrierenden Typ.

Es gibt Verbindungen, bei denen dieser Prozess noch ausgeprägter ist. Dies wird durch das Vorhandensein positiver reeller oder komplexer Wurzeln mit positivem Realteil in der charakteristischen Gleichung erklärt (der Nenner der Übertragungsfunktion ist gleich Null), wodurch die Verknüpfung als klassifiziert wird instabile Links.

Zum Beispiel im Fall der Differentialgleichung , wir haben die Übertragungsfunktion und eine charakteristische Gleichung mit einer positiven reellen Wurzel. Diese Verbindung hat die gleiche Amplituden-Frequenz-Charakteristik wie die Trägheitsverbindung mit einer Übertragungsfunktion. Die Phasenfrequenzeigenschaften dieser Verbindungen sind jedoch dieselben. Für die Trägheitsverbindung haben wir . Für einen Link mit Übertragungsfunktion haben wir

diese. größerer absoluter Wert.

In dieser Hinsicht gehören instabile Links zur Gruppe keine Mindestphasenverbindungen.

Nicht-Minimum-Phase-Links umfassen auch stabile Links, die reelle positive Wurzeln oder komplexe Wurzeln mit einem positiven Realteil im Zähler der Übertragungsfunktion (entsprechend der rechten Seite der Differentialgleichung) haben.

Zum Beispiel ein Link mit einer Übertragungsfunktion gehört zur Gruppe der Nicht-Minimalphasen-Links. Der Modul der Frequenzübertragungsfunktion stimmt mit dem Modul der Frequenzübertragungsfunktion der Verbindung mit der Übertragungsfunktion überein . Aber die Phasenverschiebung des ersten Glieds ist im absoluten Wert größer:

Verbindungen mit minimaler Phase weisen kleinere Phasenverschiebungen auf als die entsprechenden Verbindungen mit den gleichen Amplitudenfrequenzeigenschaften.

Sie sagen, dass das System stabil oder über Selbstnivellierung verfügt, wenn es nach Beseitigung der äußeren Störung wieder in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt.

Da die Bewegung eines Systems im freien Zustand durch eine homogene Differentialgleichung beschrieben wird, lässt sich die mathematische Definition eines stabilen Systems wie folgt formulieren:

Ein System heißt asymptotisch stabil, wenn die Bedingung erfüllt ist (2.9.1)

Aus der Analyse der allgemeinen Lösung (1.2.10) folgt eine notwendige und hinreichende Stabilitätsbedingung:

Für die Stabilität des Systems ist es notwendig und ausreichend, dass alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung streng negative Realteile haben, d.h. Rep ich , ICH = 1…N. (2.9.2)

Der Übersichtlichkeit halber werden die Wurzeln der charakteristischen Gleichung üblicherweise in der komplexen Ebene in Abb. 2.9.1a dargestellt. Wenn man das Notwendige und Ausreichende tut

Abb.8.12. Wurzelebene

charakteristisch

Gleichungen A(P) = 0

OU – Stabilitätsregion

Die dritte Bedingung (2.9.2) ist, dass alle Wurzeln links von der imaginären Achse liegen, d. h. im Bereich Nachhaltigkeit.

Daher kann Bedingung (2.9.2) wie folgt formuliert werden.

Für die Stabilität ist es notwendig und ausreichend, dass alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der linken Halbebene liegen.

Eine strenge allgemeine Definition von Stabilität, Methoden zur Untersuchung der Stabilität nichtlinearer Systeme und die Möglichkeit, die Schlussfolgerung über die Stabilität eines linearisierten Systems auf das ursprüngliche nichtlineare System auszudehnen, wurden vom russischen Wissenschaftler A. M. Lyapunov gegeben.

In der Praxis wird die Stabilität oft indirekt bestimmt, indem man sogenannte Stabilitätskriterien verwendet, ohne direkt die Wurzeln der charakteristischen Gleichung zu finden. Dazu gehören algebraische Kriterien: die Stodola-Bedingung, die Hurwitz- und Mikhailov-Kriterien sowie das Nyquist-Häufigkeitskriterium. In diesem Fall ermöglicht das Nyquist-Kriterium, die Stabilität eines Systems mit geschlossenem Regelkreis anhand der AFC oder anhand der logarithmischen Eigenschaften eines Systems mit offenem Regelkreis zu bestimmen.

Stodola-Zustand

Die Bedingung wurde Ende des 19. Jahrhunderts vom slowakischen Mathematiker Stodola ermittelt. Es ist aus methodischer Sicht interessant für das Verständnis der Bedingungen der Systemstabilität.

Schreiben wir die charakteristische Gleichung des Systems in das Formular

D(p) = a 0 P N + a 1 P N- 1 +…a N = 0. (2.9.3)

Laut Stodol ist dies für die Stabilität notwendig, aber nicht ausreichend A 0 > 0 alle anderen Koeffizienten waren streng positiv, d. h.

A 1 > 0 ,..., A N > 0.

Notwendigkeit kann so gebildet werden:

Wenn das System stabil ist, haben alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung, d.h. sind Linke.

Der Beweis der Notwendigkeit ist elementar. Nach dem Satz von Bezout kann das charakteristische Polynom dargestellt werden als:

Sei , d. h. eine reelle Zahl, und – komplexe konjugierte Wurzeln. Dann

Dies zeigt, dass im Fall eines Polynoms mit reellen Koeffizienten die komplexen Wurzeln paarweise konjugiert sind. Wenn außerdem, dann haben wir ein Produkt von Polynomen mit positiven Koeffizienten, was ein Polynom nur mit positiven Koeffizienten ergibt.

Versagen Stodolas Bedingung ist, dass die Bedingung nicht garantiert, dass alles . Dies lässt sich an einem konkreten Beispiel anhand eines Polynoms vom Grad erkennen.

Beachten Sie, dass in diesem Fall die Stodola-Bedingung sowohl notwendig als auch ausreichend ist. Es folgt von. Wenn, dann und damit.

Denn aus der Analyse der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung folgt auch die Hinlänglichkeit der Bedingung.

Aus Stodolas Zustand ergeben sich zwei wichtige Konsequenzen.

1. Wenn die Bedingung erfüllt ist und das System instabil ist, hat der Übergangsprozess einen oszillierenden Charakter. Dies folgt aus der Tatsache, dass eine Gleichung mit positiven Koeffizienten keine echten positiven Wurzeln haben kann. Per Definition ist eine Wurzel eine Zahl, die das charakteristische Polynom verschwinden lässt. Keine positive Zahl kann ein Polynom mit positiven Koeffizienten verschwinden, also seine Wurzel sein.

2. Die Positivität der Koeffizienten des charakteristischen Polynoms (bzw. die Erfüllung der Stodola-Bedingung) ist bei negativer Rückkopplung gewährleistet, d.h. im Fall einer ungeraden Anzahl von Signalumkehrungen entlang einer geschlossenen Schleife. In diesem Fall das charakteristische Polynom. Andernfalls könnten sich einige Koeffizienten nach der Eingabe ähnlicher Koeffizienten als negativ herausstellen.

Beachten Sie, dass eine negative Rückmeldung die Möglichkeit der Nichterfüllung der Stodola-Bedingung nicht ausschließt. Wenn zum Beispiel ein , dann im Fall einer einzelnen negativen Rückmeldung . In diesem Polynom ist der Koeffizient at gleich Null. Es gibt keine negativen Koeffizienten, dennoch ist die Bedingung nicht erfüllt, da sie eine strikte Erfüllung der Ungleichungen erfordert.

Dies wird durch das folgende Beispiel bestätigt.

Beispiel 2.9.1. Wenden Sie die Stodola-Bedingung auf die Schaltung in Abb. an. 2.9.2.

Die Übertragungsfunktion eines Gegenkopplungssystems mit offenem Regelkreis ist gleich und die charakteristische Gleichung eines Systems mit geschlossenem Regelkreis ist die Summe aus Zähler und Nenner, d. h.

D(p) = p 2 +k 1 k 2 = 0.

Da es kein Mitglied mit gibt R im ersten Studiengang ( A 1 = 0), dann ist die Stodola-Bedingung nicht erfüllt und das System ist instabil. Dieses System ist strukturell instabil, da unter keinen Parameterwerten k 1 und k 2 kann nicht nachhaltig sein.

Um das System stabil zu machen, müssen Sie eine zusätzliche Verbindung oder einen Korrekturlink einführen, d.h. die Struktur des Systems verändern. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen zeigen. In Abb. 2.9.3. Ein direktes Kettenglied wird durch in Reihe geschaltete Glieder mit Übertragungsfunktionen und dargestellt. Parallel zur ersten Einführung gibt es einen zusätzlichen Anschluss.

P
Die Übertragungsfunktion eines Systems mit offenem Regelkreis über eine negative Einheitsverbindung und die charakteristische Gleichung eines Systems mit geschlossenem Regelkreis sind jeweils gleich

,

Jetzt ist die Stodola-Bedingung für alle erfüllt . Da sie im Falle einer Gleichung zweiten Grades nicht nur notwendig, sondern auch ausreichend ist, ist das System für alle positiven Verstärkungsfaktoren stabil.

In Abb. 2.9.4 wird eine sequentielle Zwangsverknüpfung in die Schaltung eingeführt. Die Übertragungsfunktion des Leerlauf-Einfach-Minus-Verbindungssystems ist in diesem Fall gleich und die charakteristische Gleichung des geschlossenen Systems ist gleich

Ähnlich wie beim vorherigen ist das System bei allen positiven Werten stabil.

Rouss-Hurwitz-Stabilitätskriterium

Die Mathematiker Rouss (England) und Hurwitz (Schweiz) entwickelten dieses Kriterium ungefähr zur gleichen Zeit. Der Unterschied lag im Berechnungsalgorithmus. Wir werden das Kriterium in der Formulierung von Hurwitz kennenlernen.

Laut Hurwitz ist es für die Stabilität notwendig und ausreichend, dass wenn A 0 > 0 Hurwitz-Determinante  =  N und alle seine großen Nebenfächer  1 ,  2 ,...,  N -1 waren streng positiv, d.h.

(2.9.4)

Die Struktur der Hurwitz-Determinante ist leicht zu merken, da die Koeffizienten entlang der Hauptdiagonale liegen A 1 ,… ,A N, die Zeilen enthalten durch eins getrennte Koeffizienten; sind sie erschöpft, werden die Leerstellen mit Nullen aufgefüllt.

Beispiel 2.9.2. Um die Hurwitz-Stabilität eines Systems mit einer Einheit negativer Rückkopplung zu untersuchen, in dessen direkter Kette drei Trägheitsglieder enthalten sind und daher die Übertragungsfunktion des Systems mit offenem Regelkreis die Form (2.9.5) hat

Schreiben wir die charakteristische Gleichung eines geschlossenen Systems als Summe aus Zähler und Nenner (2.9.5):

Somit,

Die Hurwitz-Determinante und ihre Nebenformen haben die Form

berücksichtigen A 0 > 0, die strikte Positivität der Hurwitz-Determinante und der Minderjährigen (2.9.6) impliziert die Stodola-Bedingung und zusätzlich die Bedingung A 1 A 2 - A 0 A 3 > 0, was nach Ersetzen der Werte der Koeffizienten ergibt

(T 1 T 2 + T 1 T 3 +T 2 T 3 )(T 1 +T 2 +T 3 ) > T 1 T 2 T 3 (1+ k) . (2.9.7)

Daraus ist ersichtlich, dass mit zunehmender k das System kann von stabil zu instabil wechseln, da die Ungleichung (2.9.7) nicht mehr erfüllt ist.

Die Übertragungsfunktion des Systems ist irrtümlicherweise gleich

Gemäß dem Satz über den Endwert des Originals ist der stationäre Fehler bei der Verarbeitung eines Einzelschrittsignals gleich 1/(1+ k). Folglich zeigt sich ein Widerspruch zwischen Stabilität und Genauigkeit. Um den Fehler zu reduzieren, müssen Sie ihn erhöhen k Dies führt jedoch zu einem Stabilitätsverlust.

Das Argumentprinzip und das Mikhailov-Stabilitätskriterium

Das Mikhailov-Kriterium basiert auf dem sogenannten Argumentprinzip.

Betrachten wir das charakteristische Polynom eines Systems mit geschlossenem Regelkreis, das nach dem Satz von Bezout in der Form dargestellt werden kann

D(p) = a 0 P N + a 1 P N- 1 +…+ a N = a 0 (S. - S 1 )…(p - p N ).

Machen wir einen Ersatz p = j

D(j ) = a 0 (J ) N + a 1 (J ) N- 1 +…+ a N = a 0 (J -P 1 )…(J -P N ) = X( )+jY( ).

Für einen bestimmten Wert  hat einen Punkt auf der komplexen Ebene, die durch parametrische Gleichungen gegeben ist

E
wenn ändern  im Bereich von - bis , dann wird die Mikhailov-Kurve, also der Hodograph, gezeichnet. Lassen Sie uns die Drehung des Vektors untersuchen D(j ) wenn es sich ändert  von - bis , d. h. wir ermitteln das Inkrement des Vektorarguments (das Argument ist gleich der Summe für das Produkt der Vektoren): .

Bei  = -  Differenzvektor, dessen Anfang am Punkt liegt R i, und das Ende auf der imaginären Achse ist vertikal nach unten gerichtet. Während du wächst  das Ende des Vektors gleitet entlang der imaginären Achse und wann  =  der Vektor ist vertikal nach oben gerichtet. Wenn die Wurzel übrig bleibt (Abb. 2.9.19a), dann  arg = + , und wenn die Wurzel richtig ist, dann  arg = - .

Wenn die charakteristische Gleichung hat M richtige Wurzeln (bzw n - m links), dann .

Das ist das Prinzip der Argumentation. Bei der Auswahl des Realteils X( ) und imaginär Y( ) wir zugeschrieben X( ) alle Begriffe enthalten J zu einem gleichmäßigen Grad, und zu Y( ) - in einem merkwürdigen Ausmaß. Daher ist die Mikhailov-Kurve symmetrisch zur reellen Achse ( X( ) - sogar, Y( ) - komische Funktion). Als Ergebnis, wenn Sie sich ändern  von 0 auf +, dann ist das Argumentinkrement halb so groß. Diesbezüglich endlich Prinzip der Argumentation ist wie folgt formuliert . (2.9.29)

Wenn das System stabil ist, d.h. M= 0, dann erhalten wir das Mikhailov-Stabilitätskriterium.

Laut Mikhailov ist dies für die Stabilität notwendig und ausreichend

, (2.9.30)

das heißt, die Mikhailov-Kurve muss nacheinander durchlaufen werden N

Offensichtlich ist für die Anwendung des Mikhailov-Kriteriums keine präzise und detaillierte Konstruktion der Kurve erforderlich. Es ist wichtig festzustellen, wie der Koordinatenursprung umgangen wird und ob die Durchgangsreihenfolge verletzt wird N Viertel gegen den Uhrzeigersinn.

Beispiel 2.9.6. Wenden Sie das Mikhailov-Kriterium an, um die Stabilität des in Abb. 2.9.20 gezeigten Systems zu überprüfen.

Charakteristisches Polynom eines geschlossenen Systems bei k 1 k 2 > 0 entspricht einem stabilen System, daher ist die Stodola-Bedingung erfüllt, und für N = 1 es reicht. Sie können die Wurzel direkt finden R 1 = - k 1 k 2 und stellen Sie sicher, dass die notwendige und ausreichende Stabilitätsbedingung erfüllt ist. Daher ist die Anwendung des Mikhailov-Kriteriums illustrativ. Glauben P= J , wir bekommen

D(J ) = X( )+ jY( ),

Wo X( ) = ; Y( ) =  . (2.9.31)

Unter Verwendung der parametrischen Gleichungen (2.9.31) wurde Mikhailovs Hodograph in Abb. 2.9.21 konstruiert, aus der klar hervorgeht, dass bei der Änderung  0 bis  Vektor D(J ) dreht sich um + gegen den Uhrzeigersinn  /2, d.h. Das System ist stabil.

Nyquist-Stabilitätskriterium

ZU Wie bereits erwähnt, nimmt das Nyquist-Kriterium unter den Stabilitätskriterien eine Sonderstellung ein. Hierbei handelt es sich um ein Frequenzkriterium, mit dem Sie die Stabilität eines Systems mit geschlossenem Regelkreis anhand der Frequenzeigenschaften eines Systems mit offenem Regelkreis bestimmen können. In diesem Fall wird davon ausgegangen, dass das System im einzelnen Gegenkopplungskreis offen ist (Abb. 2.9.22).

Einer der Vorteile des Nyquist-Kriteriums besteht darin, dass die Frequenzeigenschaften eines Systems mit offenem Regelkreis experimentell ermittelt werden können.

Die Ableitung des Kriteriums basiert auf der Anwendung des Argumentationsprinzips. Die Übertragungsfunktion des Open-Loop-Systems (durch den einzelnen Gegenkopplungskreis in Abb. 2.9.22) ist gleich

Lassen Sie uns überlegen. (2.9.32)

Im Fall eines realen Systems mit begrenzter Bandbreite der Grad des Nenners der Übertragungsfunktion im offenen Regelkreis P größer als die Potenz des Zählers, d.h. N> . Daher sind die Grade der charakteristischen Polynome des Systems mit offener Schleife und des Systems mit geschlossener Schleife gleich und gleich N. Der Übergang vom AFC eines Open-Loop-Systems zum AFC nach (2.9.32) bedeutet eine Erhöhung des Realteils um 1, d. h. Verschieben des Koordinatenursprungs zum Punkt (-1, 0), wie in Abb. 2.9.23 dargestellt.

Nehmen wir nun an, dass das System mit geschlossenem Regelkreis stabil ist und die charakteristische Gleichung des Systems mit offenem Regelkreis stabil ist A(p) = 0 hat M richtige Wurzeln. Dann erhalten wir gemäß dem Argumentprinzip (2.9.29) eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Stabilität eines geschlossenen Regelkreissystems nach Nyquist

Diese. für die Stabilität eines geschlossenen Systemvektors W 1 (J ) muss tun M/2 volle Umdrehungen gegen den Uhrzeigersinn, was einer Drehung des Vektors entspricht W pa z (J ) relativ zum kritischen Punkt (-1,0).

In der Praxis ist ein Open-Loop-System in der Regel stabil, d. h. M= 0. In diesem Fall ist das Inkrement des Arguments Null, d. h. Der AFC eines Open-Loop-Systems sollte den kritischen Punkt (-1,0) nicht abdecken.

Nyquist-Kriterium für LAC und LFC

In der Praxis werden häufiger logarithmische Kennlinien eines Open-Loop-Systems verwendet. Daher empfiehlt es sich, das Nyquist-Kriterium zu formulieren, um darauf basierend die Stabilität eines geschlossenen Regelkreises zu bestimmen. Die Anzahl der Umdrehungen des AFC relativ zum kritischen Punkt (-1,0) und ob dieser abgedeckt ist oder nicht

hängen von der Anzahl der positiven und negativen Schnittpunkte des Intervalls (-,-1) der realen Achse und dementsprechend von den Schnittpunkten der -180°-Linie mit der Phasencharakteristik in der Region ab L( )  0 . Abbildung 2.9.24 zeigt die AFC und zeigt die Vorzeichen der Schnittpunkte des Segments (-,-1) der realen Achse.

Gerechte Regel

Wo ist die Anzahl der positiven und negativen Schnittpunkte?

Basierend auf dem AFC in Abb. 2.9.24c werden LAC und LFC konstruiert, wie in Abb. 2.9.25 dargestellt, und positive und negative Schnittpunkte werden auf dem LFC markiert. Auf dem Segment (-,-1) ist das Modul größer als eins, was entspricht L( ) > 0. Daher ist das Nyquist-Kriterium:

D Für die Stabilität eines Closed-Loop-Systems LFC eines Open-Loop-Systems in der Region, in der L( ) > 0, sollte mehr positive Schnittpunkte der -180°-Linie haben als negative.

Wenn das System mit offenem Regelkreis stabil ist, dann die Anzahl der positiven und negativen Schnittpunkte der -180°-Linie durch die Phasencharakteristik in der Region L( ) > 0 für die Stabilität eines geschlossenen Systems sollte gleich sein oder es sollte keine Schnittpunkte geben.

Nyquist-Kriterium für ein astatisches System

Es ist insbesondere notwendig, den Fall eines astatischen Ordnungssystems zu betrachten R mit einer Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises gleich

.

In diesem Fall bei 0 geht die Amplituden-Phasen-Kennlinie (APC) des Open-Loop-Systems gegen Unendlich. Zuvor haben wir beim Wechsel AFH gebaut  von - bis  und es war eine kontinuierliche Kurve, geschlossen bei  =  0. Jetzt schließt es auch um  = 0, aber im Unendlichen und es ist nicht klar, auf welcher Seite der realen Achse (im Unendlichen links oder rechts?).

Abbildung 2.9.19c zeigt, dass in diesem Fall Unsicherheit bei der Berechnung des Inkrements des Arguments des Differenzvektors besteht. Es liegt nun immer entlang der imaginären Achse (fällt mit zusammen). J ). Erst beim Nulldurchgang ändert sich die Richtung (in diesem Fall wird der Vektor gegen den Uhrzeigersinn um gedreht).  oder im Uhrzeigersinn um -?), Aus Gründen der Bestimmtheit gehen wir konventionell davon aus, dass die Wurzel links liegt und die Abrundung des Ursprungs entlang eines Bogens mit verschwindend kleinem Radius gegen den Uhrzeigersinn erfolgt (Rotation um +).  ). Dementsprechend in der Nähe  = 0 wird im Formular dargestellt

,

Wo  = +  wenn es sich ändert  von – 0 bis + 0. Der letzte Ausdruck zeigt, dass sich bei einer solchen Offenlegung der Unsicherheit der AFC mit einer Änderung dreht  von – 0 bis + 0 pro Winkel – im Uhrzeigersinn. Der entsprechend aufgebaute AFC muss sein  = 0 wird durch einen Bogen mit unendlichem Radius im Winkel, d. h. gegen den Uhrzeigersinn zur positiven reellen Halbachse, ergänzt.

Stabilitätsmargen nach Modul und Phase

Um die Stabilität zu gewährleisten, wenn sich Systemparameter ändern, werden Stabilitätsmargen in Modul und Phase eingeführt, die wie folgt bestimmt werden.

Stabilitätsmarge Modulo zeigt an, wie oft oder wie viele Dezibel die Verstärkung erhöht oder verringert werden darf, damit das System stabil bleibt (an der Stabilitätsgrenze liegt). Es ist definiert als min( L 3 , L 4) in Abb. 2.9.25. In der Tat, wenn Sie den LFC nicht ändern, dann steigt der LFC um L 4 Grenzfrequenz  cp bewegt sich zum Punkt  4 und das System befindet sich an der Grenze der Stabilität. Wenn Sie LAX auf senken L 3, dann verschiebt sich die Grenzfrequenz nach links zum Punkt  3 und das System wird sich ebenfalls an der Stabilitätsgrenze befinden. Wenn wir LAX noch weiter senken, dann in der Region L( ) > 0 bleibt nur der negative Schnittpunkt der LFC-Linie -180°, d.h. Nach dem Nyquist-Kriterium wird das System instabil.

Phasenstabilitätsmarge zeigt, um wie viel es zulässig ist, die Phasenverschiebung bei konstanter Verstärkung zu erhöhen, damit das System stabil bleibt (an der Stabilitätsgrenze liegt). Es wird als Ergänzung definiert  ( vgl.) bis -180°.

Zur Praxis L  12-20 dB,   20-30°.