Τι είναι ένα κυρτό πολύγωνο. Πολύγωνο, κυρτό πολύγωνο, τετράπλευρο
Στην 8η τάξη, στα μαθήματα γεωμετρίας στο σχολείο, οι μαθητές για πρώτη φορά εξοικειώνονται με την έννοια του κυρτού πολυγώνου. Πολύ σύντομα θα μάθουν ότι αυτή η φιγούρα έχει μια πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα. Όσο πολύπλοκο κι αν είναι, το άθροισμα όλων των εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου παίρνει μια αυστηρά καθορισμένη τιμή. Σε αυτό το άρθρο, ένας δάσκαλος στα μαθηματικά και τη φυσική μιλά για το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου.
Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου
Πώς να αποδείξετε αυτόν τον τύπο;
Πριν προχωρήσουμε στην απόδειξη αυτής της δήλωσης, υπενθυμίζουμε ποιο πολύγωνο ονομάζεται κυρτό. Ένα πολύγωνο ονομάζεται κυρτό εάν βρίσκεται εξ ολοκλήρου στη μία πλευρά της ευθείας που περιέχει οποιαδήποτε από τις πλευρές του. Για παράδειγμα, αυτό που φαίνεται σε αυτή την εικόνα:
Εάν το πολύγωνο δεν ικανοποιεί την υποδεικνυόμενη συνθήκη, τότε ονομάζεται μη κυρτό. Για παράδειγμα, όπως αυτό:
Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι , όπου είναι ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου.
Η απόδειξη αυτού του γεγονότος βασίζεται στο θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο, γνωστό σε όλους τους μαθητές. Είμαι βέβαιος ότι είστε εξοικειωμένοι με αυτό το θεώρημα. Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι .
Η ιδέα είναι να χωρίσουμε ένα κυρτό πολύγωνο σε πολλαπλά τρίγωνα. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους. Ανάλογα με τη μέθοδο που θα επιλέξουμε, τα στοιχεία θα είναι ελαφρώς διαφορετικά.
1. Διαιρέστε ένα κυρτό πολύγωνο σε τρίγωνα με όλες τις πιθανές διαγώνιες που έχουν σχεδιαστεί από κάποια κορυφή. Είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι τότε το n-gon μας θα χωριστεί σε τρίγωνα:
Επιπλέον, το άθροισμα όλων των γωνιών όλων των τριγώνων που προκύπτουν είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών του n-γώνου μας. Εξάλλου, κάθε γωνία στα τρίγωνα που προκύπτουν είναι μια μερική γωνία στο κυρτό πολύγωνό μας. Δηλαδή, το απαιτούμενο ποσό ισούται με .
2. Μπορείτε επίσης να επιλέξετε ένα σημείο μέσα στο κυρτό πολύγωνο και να το συνδέσετε σε όλες τις κορυφές. Τότε το n-gon μας θα χωριστεί σε τρίγωνα:
Επιπλέον, το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου μας σε αυτή την περίπτωση θα είναι ίσο με το άθροισμα όλων των γωνιών όλων αυτών των τριγώνων μείον την κεντρική γωνία, η οποία είναι ίση με . Δηλαδή, το επιθυμητό ποσό είναι και πάλι ίσο με .
Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου
Ας αναρωτηθούμε τώρα: «Ποιο είναι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου;» Αυτή η ερώτηση μπορεί να απαντηθεί με τον ακόλουθο τρόπο. Κάθε εξωτερική γωνία βρίσκεται δίπλα στην αντίστοιχη εσωτερική γωνία. Επομένως ισούται με:
Τότε το άθροισμα όλων των εξωτερικών γωνιών είναι . Δηλαδή ισούται με .
Αυτό είναι ένα πολύ αστείο αποτέλεσμα. Αν αφήσουμε στην άκρη διαδοχικά τη μία μετά την άλλη όλες τις εξωτερικές γωνίες οποιουδήποτε κυρτού n-gon, τότε ως αποτέλεσμα θα γεμίσει ακριβώς ολόκληρο το επίπεδο.
Αυτό το ενδιαφέρον γεγονός μπορεί να απεικονιστεί ως εξής. Ας μειώσουμε αναλογικά όλες τις πλευρές κάποιου κυρτού πολυγώνου μέχρι να συγχωνευθεί σε ένα σημείο. Αφού συμβεί αυτό, όλες οι εξωτερικές γωνίες θα παραμεριστούν η μία από την άλλη και έτσι θα γεμίσουν ολόκληρο το επίπεδο.
Ενδιαφέρον γεγονός, έτσι δεν είναι; Και υπάρχουν πολλά τέτοια γεγονότα στη γεωμετρία. Μάθε λοιπόν γεωμετρία αγαπητοί μαθητές!
Το υλικό σχετικά με το ίσο με το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου ετοιμάστηκε από τον Sergey Valerievich
Προσδιορισμός της κυρτότητας ενός πολυγώνου.
Ο αλγόριθμος Kyrus-Back υποθέτει ότι ένα κυρτό πολύγωνο χρησιμοποιείται ως παράθυρο.
Ωστόσο, στην πράξη, το πρόβλημα της αποκοπής από ένα πολύγωνο προκύπτει αρκετά συχνά και οι πληροφορίες σχετικά με το εάν είναι κυρτό ή όχι δεν προσδιορίζονται αρχικά. Σε αυτήν την περίπτωση, πριν ξεκινήσετε τη διαδικασία αποκοπής, είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε εάν το δεδομένο πολύγωνο είναι κυρτό ή όχι.
Ας δώσουμε ορισμένους ορισμούς της κυρτότητας ενός πολυγώνου
Ένα πολύγωνο θεωρείται κυρτό εάν πληρούται μία από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:
1) σε ένα κυρτό πολύγωνο, όλες οι κορυφές βρίσκονται στη μία πλευρά της γραμμής που φέρει οποιαδήποτε ακμή (στο εσωτερικό της δεδομένης ακμής).
2) όλες οι εσωτερικές γωνίες του πολυγώνου είναι μικρότερες από 180 o.
3) όλες οι διαγώνιοι που συνδέουν τις κορυφές ενός πολυγώνου βρίσκονται μέσα σε αυτό το πολύγωνο.
4) όλες οι γωνίες του πολυγώνου παρακάμπτονται προς την ίδια κατεύθυνση (Εικ. 3.3-1).
Για να αναπτύξουμε μια αναλυτική αναπαράσταση του τελευταίου κριτηρίου κυρτότητας, χρησιμοποιούμε το διανυσματικό γινόμενο.
διανυσματικό προϊόν W δύο διανύσματα ένα και σι (Εικ. 3.3-2 α) οριζεται ως:
A x ,a y ,a z και b x ,b y ,b z ένακαι σι,
- Εγώ, ι, κ– μοναδιαία διανύσματα κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων X , Y , Z .
 |
Ρύζι.3.3 ‑ 1
Ρύζι.3.3 ‑ 2
Αν θεωρήσουμε τη δισδιάστατη αναπαράσταση ενός πολυγώνου ως την αναπαράστασή του στο επίπεδο συντεταγμένων XY του τρισδιάστατου συστήματος συντεταγμένων X ,Y ,Z (Εικ. 3.3-2 b ), τότε η έκφραση για το σχηματισμό του διασταυρούμενου γινομένου των φορέων Uκαι V, όπου τα διανύσματα Uκαι Vείναι γειτονικές ακμές που σχηματίζουν τη γωνία του πολυγώνου, μπορούν να γραφούν ως ορίζουσα:
Το διάνυσμα διασταυρούμενου γινομένου είναι κάθετο στο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα διανύσματα παραγόντων. Η κατεύθυνση του διανύσματος γινομένου καθορίζεται από τον κανόνα του τεμαχίου ή από τον κανόνα μιας δεξιόστροφης βίδας.
Για την περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 3.3-2 b), διάνυσμα W, που αντιστοιχεί στο διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων V, U, θα έχει την ίδια κατευθυντικότητα με την κατεύθυνση του άξονα συντεταγμένων Ζ.
Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι οι προβολές στον άξονα Z των διανυσμάτων-παραγόντων σε αυτή την περίπτωση είναι ίσες με μηδέν, το διανυσματικό γινόμενο μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
(3.3-1)
Μονάδα διάνυσμα κπάντα θετικό, εξ ου και το πρόσημο του διανύσματος wΤο διανυσματικό προϊόν θα προσδιοριστεί μόνο από το πρόσημο της ορίζουσας D στην παραπάνω έκφραση. Σημειώστε ότι, με βάση την ιδιότητα του διανυσματικού γινομένου, κατά την αναδιάταξη των διανυσμάτων παραγόντων Uκαι Vδιάνυσμα σημάδι wθα αλλάξει στο αντίθετο.
Από αυτό προκύπτει ότι αν ως διανύσματα Vκαι Uεξετάστε δύο γειτονικές ακμές του πολυγώνου, τότε η σειρά απαρίθμησης των διανυσμάτων στο διανυσματικό γινόμενο μπορεί να τεθεί σύμφωνα με την παράκαμψη της εξεταζόμενης γωνίας του πολυγώνου ή των ακμών που σχηματίζουν αυτή τη γωνία. Αυτό μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα ως κριτήριο για τον προσδιορισμό της κυρτότητας ενός πολυγώνου:
εάν για όλα τα ζεύγη ακμών του πολυγώνου ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη:
 |
Εάν τα πρόσημα των διανυσματικών γινομένων για μεμονωμένες γωνίες δεν ταιριάζουν, τότε το πολύγωνο δεν είναι κυρτό.
Δεδομένου ότι οι ακμές ενός πολυγώνου καθορίζονται ως οι συντεταγμένες των τελικών σημείων τους, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε την ορίζουσα για τον προσδιορισμό του πρόσημου ενός εγκάρσιου γινόμενου.
Κυρτό σύνολο σημείων στο επίπεδο.
Ένα σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο ή σε τρισδιάστατο χώρο ονομάζεται κυρτός, εάν οποιαδήποτε δύο σημεία αυτού του συνόλου μπορούν να συνδεθούν με ένα τμήμα γραμμής που βρίσκεται πλήρως σε αυτό το σύνολο.
Θεώρημα 1. Η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού κυρτών συνόλων είναι ένα κυρτό σύνολο.
Συνέπεια.Η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού κυρτών συνόλων είναι ένα κυρτό σύνολο.
γωνιακά σημεία.
Το οριακό σημείο ενός κυρτού συνόλου ονομάζεται γωνιώδης, εάν είναι δυνατό να διασχίσει ένα τμήμα μέσα από αυτό, όλα τα σημεία του οποίου δεν ανήκουν στο δεδομένο σύνολο.
Τα σύνολα διαφόρων σχημάτων μπορούν να έχουν έναν πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό γωνιακών σημείων.
Κυρτό πολύγωνο.
Πολύγωνοπου ονομάζεται κυρτός, αν βρίσκεται στη μία πλευρά κάθε ευθείας που διέρχεται από τις δύο γειτονικές κορυφές της.
Θεώρημα: Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-γώνου είναι 180˚ *(n-2)
6) Επίλυση συστημάτων m γραμμικών ανισώσεων με δύο μεταβλητές
Δίνεται σύστημα m γραμμικών ανισώσεων με δύο μεταβλητές
Τα πρόσημα ορισμένων ή όλων των ανισοτήτων μπορεί να είναι ≥.
Εξετάστε την πρώτη ανισότητα στο σύστημα συντεταγμένων X1OX2. Ας φτιάξουμε μια ευθεία γραμμή
που είναι η οριακή γραμμή.
Αυτή η ευθεία διαιρεί το επίπεδο σε δύο ημιεπίπεδα 1 και 2 (Εικ. 19.4).
Το μισό επίπεδο 1 περιέχει την αρχή, το μισό επίπεδο 2 δεν περιέχει την αρχή.
Για να προσδιορίσετε σε ποια πλευρά της οριακής γραμμής βρίσκεται ένα δεδομένο ημιεπίπεδο, πρέπει να πάρετε ένα αυθαίρετο σημείο στο επίπεδο (καλύτερα, την αρχή) και να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες αυτού του σημείου στην ανισότητα. Εάν η ανισότητα είναι αληθής, τότε το ημιεπίπεδο στρέφεται προς αυτό το σημείο, εάν δεν είναι αληθές, τότε στην αντίθετη κατεύθυνση από το σημείο.
Η κατεύθυνση του ημιεπίπεδου στα σχήματα φαίνεται με ένα βέλος.
Ορισμός 15. Η λύση σε κάθε ανισότητα του συστήματος είναι ένα ημιεπίπεδο που περιέχει την οριακή γραμμή και βρίσκεται στη μία πλευρά της.
Ορισμός 16. Η τομή ημιεπίπεδων, καθένα από τα οποία καθορίζεται από την αντίστοιχη ανισότητα του συστήματος, ονομάζεται περιοχή λύσης του συστήματος (SR).
Ορισμός 17. Η περιοχή λύσης ενός συστήματος που ικανοποιεί τις συνθήκες μη αρνητικότητας (xj ≥ 0, j =) ονομάζεται περιοχή μη αρνητικών ή αποδεκτών λύσεων (ODS).
Εάν το σύστημα των ανισοτήτων είναι συνεπές, τότε το OP και το ODE μπορεί να είναι ένα πολύεδρο, μια απεριόριστη πολυεδρική περιοχή ή ένα μόνο σημείο.
Εάν το σύστημα των ανισοτήτων είναι ασυνεπές, τότε το OR και το ODR είναι ένα κενό σύνολο.
Παράδειγμα 1
Λύση. Ας βρούμε το OR της πρώτης ανίσωσης: x1 + 3x2 ≥ 3. Ας κατασκευάσουμε την οριακή γραμμή x1 + 3x2 - 3 = 0 (Εικ. 19.5). Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου (0,0) στην ανίσωση: 1∙0 + 3∙0 > 3; αφού οι συντεταγμένες του σημείου (0,0) δεν το ικανοποιούν, τότε η λύση της ανίσωσης (19,1) είναι ένα ημιεπίπεδο που δεν περιέχει το σημείο (0,0).
Ομοίως, βρίσκουμε λύσεις στις υπόλοιπες ανισότητες του συστήματος. Λαμβάνουμε ότι η ΟΡ και η ΟΔΕ του συστήματος των ανισοτήτων είναι ένα κυρτό πολύεδρο ΑΒΓΔ.
Βρείτε τα γωνιακά σημεία του πολύεδρου. Ως σημείο Α ορίζεται το σημείο τομής των γραμμών
Λύνοντας το σύστημα, παίρνουμε Α(3/7, 6/7).
Βρίσκουμε το σημείο Β ως σημείο τομής των ευθειών
Από το σύστημα παίρνουμε Β(5/3, 10/3). Ομοίως, βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων Γ και Δ: Γ(11/4; 9/14), Δ(3/10; 21/10).
Παράδειγμα 2. Να βρείτε τα OR και ODR του συστήματος ανισοτήτων
Λύση. Ας κατασκευάσουμε ευθείες γραμμές και ας προσδιορίσουμε τις λύσεις των ανισώσεων (19,5)-(19,7). Το OR και το ODR είναι απεριόριστες πολυεδρικές περιοχές ACFM και ABDEKM, αντίστοιχα (Εικ. 19.6).
Παράδειγμα 3. Να βρείτε τα OR και ODR του συστήματος ανισοτήτων
Λύση. Βρίσκουμε λύσεις στις ανισότητες (19.8)-(19.10) (Εικ. 19.7). Το OP αντιπροσωπεύει την απεριόριστη πολυεδρική περιοχή ABC. ODR - σημείο Β.
Παράδειγμα 4. Να βρείτε το OP και το ODS του συστήματος των ανισοτήτων
Λύση. Έχοντας κατασκευάσει ευθείες, βρίσκουμε λύσεις στις ανισότητες του συστήματος. Το OR και το ODR δεν είναι συμβατά (Εικ. 19.8).
ΓΥΜΝΑΣΙΑ
Βρείτε OR και ODR συστημάτων ανισοτήτων
Θεώρημα. Αν xn ® a, τότε .
Απόδειξη. Από το xn ® a προκύπτει ότι . Ταυτοχρονα:
Εκείνοι. , δηλ. . Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Θεώρημα. Αν xn ® a, τότε η ακολουθία (xn) είναι οριοθετημένη.
Πρέπει να σημειωθεί ότι η αντίστροφη πρόταση δεν είναι αληθής, δηλ. το όριο μιας ακολουθίας δεν συνεπάγεται τη σύγκλιση της.
Για παράδειγμα, η ακολουθία δεν έχει όριο, αν και
Επέκταση λειτουργιών σε σειρές ισχύος.
Η επέκταση των συναρτήσεων σε μια σειρά ισχύος έχει μεγάλη σημασία για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων μελέτης συναρτήσεων, διαφοροποίησης, ολοκλήρωσης, επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, υπολογισμού ορίων, υπολογισμού κατά προσέγγιση τιμών μιας συνάρτησης.
Συνολικά, παίρνουμε:
Εξετάστε έναν τρόπο επέκτασης μιας συνάρτησης σε μια σειρά χρησιμοποιώντας ενοποίηση.
Με τη βοήθεια της ολοκλήρωσης, είναι δυνατό να επεκταθεί σε μια σειρά μια τέτοια συνάρτηση για την οποία είναι γνωστή ή μπορεί να βρεθεί εύκολα η επέκταση σε μια σειρά της παραγώγου της.
Βρίσκουμε το διαφορικό της συνάρτησης και το ενσωματώνουμε στο εύρος από 0 έως x.
Η έννοια του πολυγώνου
Ορισμός 1
πολύγωνοονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα σε ένα επίπεδο, το οποίο αποτελείται από ζεύγη αλληλοσυνδεδεμένα τμήματα, τα γειτονικά των οποίων δεν βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή.
Σε αυτήν την περίπτωση, τα τμήματα καλούνται πλευρές πολυγώνου, και τα άκρα τους είναι κορυφές πολυγώνου.
Ορισμός 2
Ένα $n$-gon είναι ένα πολύγωνο με $n$ κορυφές.
Τύποι πολυγώνων
Ορισμός 3
Εάν ένα πολύγωνο βρίσκεται πάντα στη μία πλευρά οποιασδήποτε ευθείας που διέρχεται από τις πλευρές του, τότε το πολύγωνο καλείται κυρτός(Εικ. 1).
Εικόνα 1. Κυρτό πολύγωνο
Ορισμός 4
Εάν το πολύγωνο βρίσκεται σε αντίθετες πλευρές τουλάχιστον μιας ευθείας που διέρχεται από τις πλευρές του, τότε το πολύγωνο ονομάζεται μη κυρτό (Εικ. 2).
Εικόνα 2. Μη κυρτό πολύγωνο
Το άθροισμα των γωνιών ενός πολυγώνου
Εισάγουμε το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός -gon.
Θεώρημα 1
Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού γώνου ορίζεται ως εξής
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Απόδειξη.
Ας μας δοθεί ένα κυρτό πολύγωνο $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Συνδέστε την κορυφή του $A_1$ με όλες τις άλλες κορυφές του δεδομένου πολυγώνου (Εικ. 3).
Εικόνα 3
Με μια τέτοια σύνδεση, παίρνουμε τρίγωνα $n-2$. Αθροίζοντας τις γωνίες τους, παίρνουμε το άθροισμα των γωνιών του δεδομένου -gon. Εφόσον το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι $(180)^0,$ παίρνουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού -gon καθορίζεται από τον τύπο
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Η έννοια του τετράπλευρου
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των $2$, είναι εύκολο να εισαγάγουμε τον ορισμό του τετράπλευρου.
Ορισμός 5
Ένα τετράπλευρο είναι ένα πολύγωνο με κορυφές $4$ (Εικ. 4).
Εικόνα 4. Τετράπλευρο
Για ένα τετράπλευρο, οι έννοιες ενός κυρτού τετράπλευρου και ενός μη κυρτού τετράπλευρου ορίζονται με παρόμοιο τρόπο. Κλασικά παραδείγματα κυρτών τετραγώνων είναι ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο, ένα τραπεζοειδές, ένας ρόμβος, ένα παραλληλόγραμμο (Εικ. 5).
Εικόνα 5. Κυρτά τετράπλευρα
Θεώρημα 2
Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού τετράπλευρου είναι $(360)^0$
Απόδειξη.
Με το θεώρημα $1$, γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού -gon καθορίζεται από τον τύπο
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
Επομένως, το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού τετράπλευρου είναι
\[\αριστερά(4-2\δεξιά)\cdot (180)^0=(360)^0\]
Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι ένα σχήμα που αποτελείται από τέσσερις πλευρές συνδεδεμένες μεταξύ τους στις κορυφές, σχηματίζοντας τέσσερις γωνίες μαζί με τις πλευρές, ενώ το ίδιο το τετράπλευρο βρίσκεται πάντα στο ίδιο επίπεδο σε σχέση με την ευθεία στην οποία βρίσκεται η μία από τις πλευρές του. Με άλλα λόγια, ολόκληρο το σχήμα βρίσκεται στη μία πλευρά οποιασδήποτε από τις πλευρές του.
Σε επαφή με
Όπως μπορείτε να δείτε, ο ορισμός είναι αρκετά εύκολο να θυμάστε.
Βασικές ιδιότητες και τύποι
Σχεδόν όλες οι γνωστές σε εμάς μορφές, που αποτελούνται από τέσσερις γωνίες και πλευρές, μπορούν να αποδοθούν σε κυρτά τετράπλευρα. Διακρίνονται τα ακόλουθα:
- παραλληλόγραμμο;
- τετράγωνο;
- ορθογώνιο παραλληλόγραμμο;
- τραπεζοειδές;
- ρόμβος.
Όλες αυτές οι φιγούρες ενώνονται όχι μόνο από το γεγονός ότι είναι τετράγωνες, αλλά και από το γεγονός ότι είναι επίσης κυρτές. Απλά κοιτάξτε το διάγραμμα:
Το σχήμα δείχνει ένα κυρτό τραπεζοειδές. Εδώ μπορείτε να δείτε ότι το τραπεζοειδές βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο ή στη μία πλευρά του τμήματος. Εάν πραγματοποιήσετε παρόμοιες ενέργειες, μπορείτε να μάθετε ότι στην περίπτωση όλων των άλλων πλευρών, το τραπεζοειδές είναι κυρτό.
Είναι ένα παραλληλόγραμμο κυρτό τετράπλευρο;
Πάνω είναι μια εικόνα ενός παραλληλογράμμου. Όπως φαίνεται από το σχήμα, το παραλληλόγραμμο είναι επίσης κυρτό. Αν κοιτάξετε το σχήμα σε σχέση με τις ευθείες στις οποίες βρίσκονται τα τμήματα AB, BC, CD και AD, γίνεται σαφές ότι βρίσκεται πάντα στο ίδιο επίπεδο από αυτές τις γραμμές. Τα κύρια χαρακτηριστικά ενός παραλληλογράμμου είναι ότι οι πλευρές του είναι κατά ζεύγη παράλληλες και ίσες με τον ίδιο τρόπο που οι απέναντι γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.
Τώρα, φανταστείτε ένα τετράγωνο ή ένα ορθογώνιο. Σύμφωνα με τις κύριες ιδιότητές τους, είναι και παραλληλόγραμμα, δηλαδή όλες οι πλευρές τους είναι διατεταγμένες σε ζεύγη παράλληλα. Μόνο στην περίπτωση ενός ορθογωνίου, το μήκος των πλευρών μπορεί να είναι διαφορετικό και οι γωνίες είναι ορθές (ίσες με 90 μοίρες), τετράγωνο είναι ένα ορθογώνιο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες και οι γωνίες είναι επίσης ορθές, ενώ τα μήκη των πλευρών και των γωνιών ενός παραλληλογράμμου μπορεί να είναι διαφορετικές.
Ως αποτέλεσμα, το άθροισμα και των τεσσάρων γωνιών του τετράπλευρου πρέπει να είναι ίση με 360 μοίρες. Ο ευκολότερος τρόπος για να το προσδιορίσετε είναι με ένα ορθογώνιο: και οι τέσσερις γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές, δηλαδή ίσες με 90 μοίρες. Το άθροισμα αυτών των γωνιών των 90 μοιρών δίνει 360 μοίρες, με άλλα λόγια, αν προσθέσετε 90 μοίρες 4 φορές, έχετε το επιθυμητό αποτέλεσμα.
Ιδιότητα των διαγωνίων κυρτού τετράπλευρου
Οι διαγώνιοι ενός κυρτού τετράπλευρου τέμνονται. Πράγματι, αυτό το φαινόμενο μπορεί να παρατηρηθεί οπτικά, απλά κοιτάξτε το σχήμα:
Το σχήμα στα αριστερά δείχνει ένα μη κυρτό τετράπλευρο ή τετράπλευρο. Οπως θέλεις. Όπως μπορείτε να δείτε, οι διαγώνιοι δεν τέμνονται, τουλάχιστον όχι όλες. Στα δεξιά είναι ένα κυρτό τετράπλευρο. Εδώ παρατηρείται ήδη η ιδιότητα των διαγωνίων να τέμνονται. Η ίδια ιδιότητα μπορεί να θεωρηθεί ως σημάδι της κυρτότητας του τετράπλευρου.
Άλλες ιδιότητες και σημάδια κυρτότητας τετράπλευρου
Συγκεκριμένα, σύμφωνα με αυτόν τον όρο, είναι πολύ δύσκολο να ονομάσουμε συγκεκριμένες ιδιότητες και χαρακτηριστικά. Είναι ευκολότερο να απομονωθεί σύμφωνα με διαφορετικά είδη τετράπλευρων αυτού του τύπου. Μπορείτε να ξεκινήσετε με ένα παραλληλόγραμμο. Γνωρίζουμε ήδη ότι πρόκειται για ένα τετράγωνο σχήμα, οι πλευρές του οποίου είναι κατά ζεύγη παράλληλες και ίσες. Ταυτόχρονα, αυτό περιλαμβάνει επίσης την ιδιότητα των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου να τέμνονται μεταξύ τους, καθώς και το πρόσημο της κυρτότητας του ίδιου του σχήματος: το παραλληλόγραμμο βρίσκεται πάντα στο ίδιο επίπεδο και στη μία πλευρά σε σχέση με οποιοδήποτε των πλευρών του.
Ετσι, τα κύρια χαρακτηριστικά και ιδιότητες είναι γνωστά:
- το άθροισμα των γωνιών ενός τετράπλευρου είναι 360 μοίρες.
- οι διαγώνιοι των σχημάτων τέμνονται σε ένα σημείο.
Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Αυτό το σχήμα έχει όλες τις ίδιες ιδιότητες και χαρακτηριστικά με ένα παραλληλόγραμμο, αλλά όλες οι γωνίες του είναι ίσες με 90 μοίρες. Εξ ου και το όνομα, ορθογώνιο.
Τετράγωνο, το ίδιο παραλληλόγραμμο, αλλά οι γωνίες του είναι ορθές, σαν παραλληλόγραμμο. Εξαιτίας αυτού, ένα τετράγωνο σπάνια ονομάζεται ορθογώνιο. Αλλά το κύριο χαρακτηριστικό γνώρισμα ενός τετραγώνου, εκτός από αυτά που αναφέρονται παραπάνω, είναι ότι και οι τέσσερις πλευρές του είναι ίσες.
Το τραπεζοειδές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα φιγούρα.. Αυτό είναι επίσης τετράπλευρο και επίσης κυρτό. Σε αυτό το άρθρο, το τραπεζοειδές έχει ήδη εξεταστεί χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός σχεδίου. Είναι ξεκάθαρο ότι είναι και κυρτή. Η κύρια διαφορά και, κατά συνέπεια, ένα σημάδι ενός τραπεζοειδούς είναι ότι οι πλευρές του δεν μπορούν να είναι απολύτως ίσες μεταξύ τους σε μήκος, καθώς και στις γωνίες του σε τιμή. Σε αυτή την περίπτωση, το σχήμα παραμένει πάντα στο ίδιο επίπεδο σε σχέση με οποιαδήποτε από τις ευθείες που συνδέουν οποιεσδήποτε δύο κορυφές του κατά μήκος των τμημάτων που σχηματίζουν το σχήμα.
Ο Ρόμβος είναι εξίσου ενδιαφέρουσα φιγούρα. Εν μέρει ένας ρόμβος μπορεί να θεωρηθεί τετράγωνο. Ένα σημάδι ενός ρόμβου είναι το γεγονός ότι οι διαγώνιοι του όχι μόνο τέμνονται, αλλά και χωρίζουν τις γωνίες του ρόμβου στο μισό και οι ίδιες οι διαγώνιοι τέμνονται σε ορθή γωνία, δηλαδή είναι κάθετες. Εάν τα μήκη των πλευρών του ρόμβου είναι ίσα, τότε οι διαγώνιοι διαιρούνται επίσης στη μέση στην τομή.
Δελτοειδή ή κυρτά ρομβοειδή (ρόμβοι)μπορεί να έχει διαφορετικά μήκη πλευρών. Αλλά ταυτόχρονα, τόσο οι κύριες ιδιότητες και χαρακτηριστικά του ίδιου του ρόμβου όσο και τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες της κυρτότητας εξακολουθούν να διατηρούνται. Δηλαδή, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες και τέμνονται σε ορθή γωνία.
Η σημερινή αποστολή ήταν να εξετάσουμε και να κατανοήσουμε τι είναι τα κυρτά τετράπλευρα, τι είναι και τα κύρια χαρακτηριστικά και τις ιδιότητές τους. Προσοχή! Αξίζει να υπενθυμίσουμε για άλλη μια φορά ότι το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού τετράπλευρου είναι 360 μοίρες. Η περίμετρος των σχημάτων, για παράδειγμα, είναι ίση με το άθροισμα των μηκών όλων των τμημάτων που σχηματίζουν το σχήμα. Οι τύποι για τον υπολογισμό της περιμέτρου και του εμβαδού των τετραπλευρών θα συζητηθούν στα ακόλουθα άρθρα.
Τύποι κυρτών τετράπλευρων
