Bočne strane pravilne prizme. Volumen i površina pravilne četverokutne prizme

Definicija. Prizma je poliedar, čiji se svi vrhovi nalaze u dvije paralelne ravnine, au te iste dvije ravnine leže dvije plohe prizme, koje su jednaki poligoni s odgovarajućim paralelnim stranicama, a svi bridovi koji ne leže u tim ravninama su paralelni.

Dva jednaka lica nazivaju se baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočna lica(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Sve bočne strane čine bočna površina prizme .

Sve bočne strane prizme su paralelogrami .

Bridovi koji ne leže na bazama nazivaju se bočnim bridovima prizme ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Dijagonala prizme je segment čiji su krajevi dva vrha prizme koji ne leže na istoj plohi (AD 1).

Duljina isječka koji spaja osnovice prizme i okomita je na obje osnovice u isto vrijeme naziva se visina prizme .

Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prvo, u redoslijedu obilaska, naznačeni su vrhovi jedne baze, a zatim, istim redoslijedom, vrhovi druge; krajevi svakog bočnog ruba označeni su istim slovima, označeni su samo vrhovi koji leže u jednoj bazi slovima bez indeksa, au drugom - s indeksom)

Naziv prizme povezan je s brojem kutova u liku koji leži na njezinoj osnovi, na primjer, na slici 1 u bazi je peterokut, pa se prizma naziva peterokutna prizma. Ali zbog takva prizma ima 7 lica, onda ga heptaedar(2 lica - baze prizme, 5 lica - paralelogrami, - njegove bočne strane)

Među ravnim prizmama ističe se posebna vrsta: pravilne prizme.

Ravna prizma naziva se točno, ako su mu osnovice pravilni mnogokuti.

Paralelopiped

Pravokutni paralelopiped- pravi paralelopiped čija je osnovica pravokutnik.

Svojstva i teoremi:

,

gdje je d dijagonala kvadrata;
a je stranica kvadrata.

Ideju prizme daje:

• razne arhitektonske strukture;
• Dječje igračke;
• kutije za pakiranje;
• dizajnerski predmeti itd.

Površina ukupne i bočne površine prizme

S puni = S bočni + 2S glavni,

Gdje S puna- ukupna površina, S strana- bočna površina, S baza- osnovna površina

Bočna površina ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme..

S strana= P osnovni * h,

Gdje S strana- površina bočne površine ravne prizme,

P main - perimetar baze ravne prizme,

h je visina ravne prizme, jednaka bočnom bridu.

Volumen prizme

Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine.

Opće informacije o ravnoj prizmi

Bočna ploha prizme (točnije bočna ploha) naziva se iznos područja bočnih lica. Ukupna površina prizme jednaka je zbroju bočne površine i površina baza.

Teorem 19.1. Bočna ploha ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme, odnosno duljine bočnog ruba.

Dokaz. Bočne plohe ravne prizme su pravokutnici. Osnovice ovih pravokutnika su stranice mnogokuta koji leže na osnovici prizme, a visine su jednake duljinama bočnih bridova. Slijedi da je bočna površina prizme jednaka

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

gdje su a 1 i n duljine osnovnih bridova, p je opseg baze prizme, a I je duljina bočnih bridova. Teorem je dokazan.

Praktičan zadatak

Problem (22) . U nagnutoj prizmi provodi se odjeljak, okomito na bočna rebra i sijeku sva bočna rebra. Odredite bočnu plohu prizme ako je opseg presjeka jednak p, a bočni bridovi jednaki l.

Riješenje. Ravnina nacrtanog presjeka dijeli prizmu na dva dijela (slika 411). Podvrgnimo jednu od njih paralelnom prevođenju, kombinirajući baze prizme. U tom slučaju dobivamo ravnu prizmu čija je baza presjek izvorne prizme, a bočni bridovi su jednaki l. Ova prizma ima istu bočnu površinu kao i originalna. Dakle, bočna ploha izvorne prizme jednaka je pl.

Generalizacija obrađene teme

Pokušajmo sada sažeti temu koju smo obradili o prizmama i prisjetimo se koja svojstva ima prizma.

Svojstva prizme

Prvo, prizma ima sve svoje baze kao jednake poligone;
Drugo, u prizmi su sve njene bočne strane paralelogrami;
Treće, u takvoj višestranoj figuri kao što je prizma, svi bočni rubovi su jednaki;

Također, treba imati na umu da poliedri kao što su prizme mogu biti ravni ili nagnuti.

Koja se prizma naziva ravnom prizmom?

Ako je bočni rub prizme okomit na ravninu njezine baze, tada se takva prizma naziva ravnom.

Ne bi bilo suvišno podsjetiti se da su bočne strane ravne prizme pravokutnici.

Koja se vrsta prizme naziva kosom?

Ali ako bočni rub prizme nije okomit na ravninu njezine baze, tada možemo sa sigurnošću reći da je to nagnuta prizma.

Koja se prizma naziva ispravnom?

Ako pravilni mnogokut leži u osnovi ravne prizme, tada je takva prizma pravilna.

Prisjetimo se sada koja svojstva ima pravilna prizma.

Svojstva pravilne prizme

Prvo, pravilni poligoni uvijek služe kao baze pravilne prizme;
Drugo, ako uzmemo u obzir bočne strane pravilne prizme, one su uvijek jednaki pravokutnici;
Treće, ako usporedite veličine bočnih rebara, tada su u pravilnoj prizmi uvijek jednake.
Četvrto, ispravna prizma je uvijek ravna;
Peto, ako u pravilnoj prizmi bočne strane imaju oblik kvadrata, tada se takva figura obično naziva polupravilni poligon.

Presjek prizme

Sada pogledajmo presjek prizme:

Domaća zadaća

Pokušajmo sada rješavanjem zadataka učvrstiti naučeno.

Nacrtajmo nagnutu trokutastu prizmu čiji će razmak bridova biti jednak: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a bočna ploha te prizme bit će jednaka 60 cm2. Imajući ove parametre, pronađite bočni rub ove prizme.

Znate li da nas geometrijske figure stalno okružuju, ne samo u nastavi geometrije, već iu svakodnevnom životu postoje predmeti koji nalikuju jednoj ili drugoj geometrijskoj figuri.

Svatko kod kuće, u školi ili na poslu ima računalo čija je sistemska jedinica u obliku ravne prizme.

Ako uzmete jednostavnu olovku, vidjet ćete da je glavni dio olovke prizma.

Šetajući središnjom ulicom grada vidimo da pod našim nogama leži pločica koja ima oblik šesterokutne prizme.

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove

Grana matematike koja se bavi proučavanjem svojstava različitih figura (točaka, linija, kutova, dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih objekata), njihovih veličina i međusobnog položaja. Radi lakšeg učenja geometrija se dijeli na planimetriju i stereometriju. U…… Collierova enciklopedija

Geometrija prostora dimenzija većih od tri; pojam se primjenjuje na one prostore čija je geometrija izvorno razvijena za slučaj tri dimenzije i tek onda generalizirana na broj dimenzija n>3, prvenstveno euklidski prostor, ... ... Matematička enciklopedija

N-dimenzionalna euklidska geometrija je generalizacija euklidske geometrije na prostor više dimenzija. Iako je fizički prostor trodimenzionalan, a ljudska osjetila su dizajnirana da percipiraju tri dimenzije, N je dimenzionalan... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima i druga značenja, pogledajte Pyramidatsu (značenja). Pouzdanost ovog dijela članka dovedena je u pitanje. Morate provjeriti točnost činjenica navedenih u ovom odjeljku. Možda postoje objašnjenja na stranici za razgovor... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnologija koja se koristi u modeliranju čvrstih tijela. Konstruktivna blok geometrija često je, ali ne uvijek, način modeliranja u 3D grafici i CAD-u. Omogućuje vam stvaranje složene scene ili... Wikipedije

Konstruktivna geometrija tijela (CSG) je tehnologija koja se koristi u modeliranju tijela. Konstruktivna blok geometrija često je, ali ne uvijek, način modeliranja u 3D grafici i CAD-u. Ona... ... Wikipedia

Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Volumen (značenja). Volumen je aditivna funkcija skupa (mjera) koja karakterizira kapacitet površine prostora koji zauzima. U početku je nastao i primjenjivan bez stroge... ... Wikipedije

Tip kocke Pravilni poliedar Lice kvadrat Vertice Bridovi Lica ... Wikipedia

Volumen je aditivna funkcija skupa (mjera) koja karakterizira kapacitet površine prostora koji zauzima. U početku je nastao i primjenjivan bez stroge definicije u odnosu na trodimenzionalna tijela trodimenzionalnog euklidskog prostora.... ... Wikipedia

Dio prostora omeđen skupom konačnog broja ravnih poligona (vidi GEOMETRIJA) povezanih na takav način da je svaka stranica bilo kojeg mnogokuta stranica točno jednog drugog poligona (zvanog... ... Collierova enciklopedija

knjige

• Set stolova. Geometrija. 10. razred. 14 tablica + metodologija, . Tablice su tiskane na debelom tiskanom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Komplet uključuje brošuru sa smjernicama za podučavanje za nastavnike. Edukativni album od 14 listova.…

Stereometrija je grana geometrije koja proučava figure koje ne leže u istoj ravnini. Jedan od predmeta proučavanja stereometrije su prizme. U članku ćemo definirati prizmu s geometrijskog gledišta, a također ćemo ukratko navesti svojstva koja su joj karakteristična.

Geometrijski lik

Definicija prizme u geometriji je sljedeća: to je prostorna figura koja se sastoji od dva identična n-kuta smještena u paralelnim ravninama, međusobno povezanih svojim vrhovima.

Nabaviti prizmu nije teško. Zamislimo da postoje dva identična n-kuta, gdje je n broj stranica ili vrhova. Postavimo ih tako da budu međusobno paralelni. Nakon toga vrhove jednog poligona treba spojiti s odgovarajućim vrhovima drugog. Dobivena figura sastojat će se od dvije n-kutne stranice, koje se nazivaju bazama, i n četverokutnih stranica, koje su općenito paralelogrami. Skup paralelograma čini bočnu plohu figure.

Postoji još jedan način da se geometrijski dobije dotični lik. Dakle, ako uzmemo n-kut i prenesemo ga u drugu ravninu pomoću paralelnih odsječaka jednakih duljina, tada ćemo u novoj ravnini dobiti izvorni poligon. Oba poligona i svi paralelni segmenti izvučeni iz njihovih vrhova tvore prizmu.

Gornja slika to pokazuje jer su mu baze trokuti.

Elementi koji čine figuru

Gore je dana definicija prizme, iz koje je jasno da su glavni elementi figure njezini rubovi ili strane, koji ograničavaju sve unutarnje točke prizme od vanjskog prostora. Bilo koje lice predmetne figure pripada jednom od dva tipa:

• bočno;
• osnove.

Ima n bočnih dijelova, a to su paralelogrami ili njihove posebne vrste (pravokutnik, kvadrat). Općenito, bočne strane se razlikuju jedna od druge. Postoje samo dva lica baze; oni su n-kuti i međusobno su jednaki. Dakle, svaka prizma ima n+2 stranice.

Osim stranica, lik karakteriziraju i njegovi vrhovi. Oni predstavljaju točke u kojima se dodiruju tri lica istovremeno. Štoviše, dvije od tri strane uvijek pripadaju bočnoj površini, a jedna bazi. Dakle, u prizmi nema posebno dodijeljenog vrha, kao, na primjer, u piramidi, svi su jednaki. Broj vrhova figure je 2*n (n komada za svaku bazu).

Konačno, treći važan element prizme su njena rebra. To su segmenti određene duljine koji nastaju kao rezultat sjecišta stranica figure. Poput lica, rubovi također imaju dvije različite vrste:

• ili formirana samo od strane;
• ili nastaju na spoju paralelograma i stranice n-kutne baze.

Broj bridova je dakle jednak 3*n, a njih 2*n pripadaju drugom od navedenih tipova.

Vrste prizmi

Postoji nekoliko načina za klasifikaciju prizmi. Međutim, svi se temelje na dvije značajke figure:

• o vrsti n-ugljične baze;
• na strani tipa.

Prvo, okrenimo se drugoj značajki i dajmo definiciju ravne linije. Ako je barem jedna strana opći paralelogram, tada se lik naziva koso ili koso. Ako su svi paralelogrami pravokutnici ili kvadrati, tada će prizma biti ravna.

Definicija se također može dati malo drugačije: ravna figura je prizma čiji su bočni rubovi i lica okomiti na njezine baze. Slika prikazuje dvije četverokutne figure. Lijeva je ravna, desna je nagnuta.

Sada prijeđimo na klasifikaciju prema vrsti n-kuta koji leži na bazama. Može imati iste strane i kutove ili različite. U prvom slučaju poligon se naziva pravilnim. Ako predmetni lik u osnovi ima mnogokut s jednakim stranicama i kutovima i ravan je, tada se naziva pravilnim. Prema ovoj definiciji, pravilna prizma u svojoj bazi može imati jednakostranični trokut, kvadrat, pravilan peterokut ili šesterokut i tako dalje. Navedene regularne brojke prikazane su na slici.

Linearni parametri prizmi

Za opisivanje veličina dotičnih figura koriste se sljedeći parametri:

• visina;
• strane baze;
• duljina bočnih rebara;
• volumetrijske dijagonale;
• dijagonale stranica i baza.

Za pravilne prizme sve su te veličine međusobno povezane. Na primjer, duljine bočnih rebara su iste i jednake su visini. Za određenu n-kutnu pravilnu figuru postoje formule koje vam omogućuju određivanje svih ostalih pomoću bilo koja dva linearna parametra.

Površina figure

Ako se pozovemo na gore danu definiciju prizme, tada neće biti teško razumjeti što predstavlja površina figure. Ploha je površina svih lica. Za ravnu prizmu izračunava se po formuli:

S = 2*S o + P o *h

gdje je S o površina baze, P o je opseg n-kuta na bazi, h je visina (udaljenost između baza).

Volumen figure

Uz površinu za vježbanje važno je znati i volumen prizme. Može se odrediti pomoću sljedeće formule:

Ovaj izraz vrijedi za apsolutno bilo koju vrstu prizme, uključujući one koje su nagnute i formirane od nepravilnih poligona.

Za ispravne, to je funkcija duljine stranice baze i visine figure. Za odgovarajuću n-kutnu prizmu, formula za V ima specifičan oblik.