Digitalno modeliranje kontinuiranih sustava.

Simulacijsko modeliranje je najuniverzalnija metoda za proučavanje sustava i kvantificiranje karakteristika njihova funkcioniranja. U simulacijskom modeliranju dinamički procesi izvornog sustava zamjenjuju se procesima simuliranim u apstraktnom modelu, ali uz zadržavanje istih omjera trajanja i vremenskih slijedova pojedinih operacija. Stoga bi se metoda simulacije mogla nazvati algoritamskom ili operativnom. U procesu simulacije, kao u eksperimentu s originalom, snimaju se određeni događaji i stanja ili mjere izlazni utjecaji iz kojih se izračunavaju karakteristike kvalitete funkcioniranja sustava.

Simulacijsko modeliranje omogućuje razmatranje procesa koji se odvijaju u sustavu na gotovo bilo kojoj razini detalja. Koristeći algoritamske mogućnosti osobnog računala, bilo koji algoritam za upravljanje ili upravljanje sustavom može se implementirati u simulacijski model. Modeli koji se mogu proučavati analitičkim metodama također se mogu analizirati metodama simulacije. Sve je to razlog što metode simulacijskog modeliranja postaju glavne metode proučavanja složenih sustava.

Metode simulacijskog modeliranja razlikuju se ovisno o klasi sustava koji se proučava, načinu napredovanja modela i vrsti kvantitativnih varijabli parametara sustava i vanjskih utjecaja.

Prije svega, možemo podijeliti metode simulacije diskretnih i kontinuiranih sustava. Ako svi elementi sustava imaju konačan skup stanja, a prijelaz iz jednog stanja u drugo je trenutan, tada takav sustav spada u sustave s diskretnim promjenama stanja, odnosno diskretne sustave. Ako se varijable svih elemenata sustava postupno mijenjaju i mogu poprimiti beskonačno mnogo vrijednosti, onda se takav sustav naziva sustavom s kontinuiranom promjenom stanja, odnosno kontinuiranim sustavom. Sustavi koji imaju varijable obje vrste smatraju se diskretno-kontinuiranima. U kontinuiranim sustavima određena stanja elemenata mogu se umjetno izolirati. Na primjer, neke karakteristične vrijednosti varijabli bilježe se kao postizanje određenih stanja.

Jedan od glavnih parametara u simulaciji je vrijeme modela, koje odražava vrijeme rada stvarnog sustava. Ovisno o načinu pomicanja vremena modela, metode modeliranja dijele se na metode s povećanjem vremenskog intervala i metode s pomicanjem vremena u posebna stanja. U prvom slučaju modelno vrijeme napreduje za određeni iznos Dt. Utvrđuju se promjene stanja elemenata i izlazni utjecaji sustava koji su se dogodili u tom vremenu. Nakon toga, modelno vrijeme ponovno napreduje za iznos Dt, te se postupak ponavlja. To se nastavlja do kraja razdoblja simulacije. T m. Vremenski prirast Dtčesto se bira da bude konstantan, ali u općem slučaju može biti i promjenjiv. Ova metoda se naziva "princip". Dt ».

U drugom slučaju, u trenutnom trenutku modelnog vremena t prvo se analiziraju ona buduća posebna stanja - dolazak diskretne ulazne radnje (zahtjeva), završetak usluge i sl. za koja se određuju momenti njihovog nastanka t i > t. Odabire se najranije posebno stanje i vrijeme modela napreduje dok se to stanje ne dogodi. Pretpostavlja se da se stanje sustava ne mijenja između dva susjedna posebna stanja. Zatim se analizira odgovor sustava na odabrano posebno stanje. Konkretno, tijekom analize određuje se trenutak nastanka novog posebnog stanja. Buduća posebna stanja se zatim analiziraju i vrijeme modela se pomiče na najbliže. Postupak se ponavlja do kraja razdoblja simulacije Tm. Ova metoda se naziva “princip posebnih stanja” ili “princip dz" Zahvaljujući njegovoj upotrebi štedi se vrijeme računalne simulacije. Međutim, koristi se samo kada je moguće utvrditi trenutke nastanka budućih posebnih uvjeta.

Posebno je važna stacionarnost ili nestacionarnost slučajnih, neovisnih varijabli sustava i vanjskih utjecaja. Kada su varijable nestacionarne, prvenstveno vanjski utjecaji, što se često uočava u praksi, potrebno je koristiti posebne metode modeliranja, posebice metodu ponovljenih eksperimenata.

Drugim klasifikacijskim parametrom treba smatrati shemu formalizacije usvojenu pri izradi matematičkog modela. Ovdje je prije svega potrebno razdvojiti metode usmjerene na algoritamski (softverski) ili strukturalni (agregatni) pristup. U prvom slučaju procesi upravljaju elementima (resursima) sustava, a u drugom slučaju elementi upravljaju procesima i određuju redoslijed funkcioniranja sustava.

Iz navedenog proizlazi da je izbor jedne ili druge metode modeliranja u potpunosti određen matematičkim modelom i početnim podacima.

Kontinuirano modeliranje je modeliranje sustava tijekom vremena korištenjem reprezentacije u kojoj se varijable stanja kontinuirano mijenjaju s obzirom na vrijeme. Tipično, kontinuirani simulacijski modeli koriste diferencijalne jednadžbe koje uspostavljaju odnose za stope promjene varijabli stanja tijekom vremena. Ako su diferencijalne jednadžbe vrlo jednostavne, mogu se analitički riješiti kako bi predstavile vrijednosti varijabli stanja za sve vrijednosti vremena kao funkciju vrijednosti varijabli stanja u trenutku 0. Za velike kontinuirane modele , analitičko rješenje nije moguće, ali za numeričku integraciju diferencijalnih jednadžbi u slučaju zadanih posebnih vrijednosti. Za varijable stanja u trenutku 0 koriste se tehnike numeričke analize kao što je Runge-Kutta integracija.

Primjer 1.3. Razmotrimo kontinuirani model natjecanja između dviju populacija. Biološki modeli ove vrste nazivaju se modeli predator-plijen(ili parazit-domaćin), razmatrali su mnogi autori, uključujući Browna i Gordona. Okoliš predstavljaju dvije populacije - grabežljivci i plijen, koji međusobno djeluju. Plijen je pasivan, ali grabežljivci ovise o njegovoj populaciji kao izvoru hrane. (Na primjer, morski psi mogu biti grabežljivci, a ribe kojima se hrane kao plijenom) Neka x(t) i y(t) označavaju broj jedinki u populacijama plijena, odnosno grabežljivaca, u određenom trenutku t. Recimo da populacija plijena ima obilnu zalihu hrane; u nedostatku grabežljivaca, njegova stopa rasta bit će r x(t) za neku pozitivnu vrijednost r(r- prirodni natalitet minus prirodni mortalitet). Postojanje interakcija između grabežljivaca i plijena sugerira da je stopa smrtnosti plijena zbog te interakcije proporcionalna umnošku veličine obiju populacija x(t)y(t). Stoga, ukupna stopa promjene populacije plijena dx /dt: može se predstaviti kao

Gdje A - pozitivni koeficijent proporcionalnosti. Budući da postojanje samih predatora ovisi o populaciji plijena, stopa promjene populacije predatora u odsutnosti plijena je -su(t) za neke pozitivne s. Štoviše, interakcija između dviju populacija dovodi do povećanja populacije predatora, čija je stopa također proporcionalna x(t)y(t). Prema tome, ukupna stopa promjene populacije predatora dy/dt iznosi

(2)

Gdje b- pozitivni koeficijent proporcionalnosti. U početnim uvjetima x(0)> 0 i y(0) >0 rješenje modela definiranog jednadžbama (1) i (2) ima zanimljivo svojstvo: x(t)> 0 i y(t)> 0 za bilo koji t³0. Posljedično, grabežljivci nikada neće u potpunosti uništiti populaciju plijena. Riješenje (x(t), y(t)) također je periodična funkcija vremena. Drugim riječima, postoji takvo značenje T> 0, pri čemu x(t + nT)=x(t) I y(t + nT)= y(t) za bilo koji pozitivni cijeli broj P. Ovaj rezultat nije neočekivan. Kako se populacija predatora povećava, populacija plijena se smanjuje. To dovodi do smanjenja stope rasta populacije grabežljivaca i, sukladno tome, uzrokuje smanjenje njihovog broja, što zauzvrat dovodi do povećanja populacije plijena itd.

Razmotrimo pojedinačne vrijednosti g = 0,001, a = 2 * 10 –6; s = 0,01; b=10 -6 , početne veličine populacije su X( 0) = 12 000 i y(0) = 600. Na sl. predstavlja numeričko rješenje jednadžbi (1) i (2), dobiveno korištenjem računalnog paketa razvijenog za numeričko rješavanje sustava diferencijalnih jednadžbi (a ne kontinuiranog jezika za modeliranje).

Imajte na umu da je gornji primjer potpuno deterministički, što znači da nema slučajnih komponenti. Međutim, simulacijski model također može sadržavati nepoznate količine; na primjer, slučajne varijable koje na neki način ovise o vremenu mogu se dodati jednadžbama (1) i (2) ili se konstantni faktori mogu modelirati kao veličine koje nasumično mijenjaju svoje vrijednosti u određenim vremenskim točkama.

5.3 Kombinirano kontinuirano-diskretno modeliranje

Budući da neki sustavi nisu niti potpuno diskretni niti potpuno kontinuirani, možda će biti potrebno stvoriti model koji kombinira aspekte diskretnog događaja i kontinuiranog modeliranja, što rezultira kombinirano kontinuirano-diskretno modeliranje. Tri glavne vrste interakcije mogu se pojaviti između diskretnih i kontinuiranih promjena u varijablama stanja:

Diskretni događaj može uzrokovati diskretnu promjenu vrijednosti kontinuirane varijable stanja;

U danoj vremenskoj točki, diskretni događaj može uzrokovati promjenu u odnosu koji upravlja kontinuiranom varijablom stanja;

Varijabla kontinuiranog stanja koja dosegne prag može uzrokovati pojavu ili raspored diskretnog događaja.

Sljedeći primjer kombiniranog kontinuirano-diskretnog modeliranja daje kratak opis modela o kojemu je detaljno raspravljao Pritzker, koji daje druge primjere ove vrste modeliranja u svom radu.

Primjer 1.4. Tankeri koji prevoze naftu dolaze na jedno dok za istovar, dopunjavajući spremnik iz kojeg se nafta cjevovodom prenosi u rafineriju. Iz tankera za istovar, nafta se doprema u spremnik konstantnom brzinom (tankeri koji dolaze na prometno pristanište formiraju red.) U rafineriji, nafta se doprema iz spremnika različitim zadanim brzinama. Pristanište je otvoreno od 6.00 do 24.00 sata. Iz sigurnosnih razloga, iskrcaj tankera se zaustavlja kada se dok zatvori.

Diskretni događaji u ovom (pojednostavljenom) modelu su dolazak tankera na iskrcaj, zatvaranje doka u ponoć i otvaranje u 6.00. Razine ulja u tankeru za istovar i skladišnom tanku određene su kontinuiranim varijablama stanja, čije su stope promjene opisane pomoću diferencijalnih jednadžbi. Iskrcaj cisterne smatra se dovršenim kada je razina ulja u tankeru manja od 5% kapaciteta, ali se istovar mora privremeno prekinuti ako razina ulja u spremniku dosegne svoj kapacitet. Istovar se može nastaviti kada razina ulja u spremniku padne ispod 80% njegovog kapaciteta. Ako razina nafte u rezervoaru padne ispod 5000 barela, rafinerija se mora privremeno zatvoriti. Kako bi se izbjegla česta gašenja i ponovna pokretanja postrojenja, nafta iz ležišta neće biti vraćena u postrojenje sve dok ne bude imalo 50.000 barela nafte. Svaki od pet događaja razine nafte (na primjer, razina nafte koja padne ispod 5% kapaciteta tankera), prema Pritzkerovoj definiciji, je državni događaj. Za razliku od diskretnih događaja, događaji stanja nisu zakazani; oni se događaju kada kontinuirane varijable stanja prijeđu prag.

5.4 Monte Carlo simulacija. Statističko modeliranje sustava

Laboratorijski rad br.2

Modeliranje kontinuiranih sustava

Pri digitalnom modeliranju kontinuiranih sustava potrebno je osigurati blizinu procesa u modeliranom kontinuiranom sustavu i njegovoj digitalnoj implementaciji. Neusklađenost ovih procesa je zbog dva razloga: 1) zamjena kontinuiranog ulaznog procesa digitalnim i 2) korištenje numeričkih metoda analize.

Kod zamjene kontinuiranog procesa digitalnim dolazi do pogrešaka zbog kvantizacije razine (kvantizacijski šum) i vremenskog uzorkovanja (pogreške u rekonstrukciji kontinuiranog procesa iz njegovih diskretnih uzoraka). Šum kvantizacije smatra se slučajnim procesom s varijacijom h 2/12, gdje h– veličina koraka kvantizacije. Sa 16-bitnom binarnom reprezentacijom broja, korak kvantizacije je otprilike jedna 65 tisućinka ovog broja. Stoga se šum kvantizacije može zanemariti. Moguće je obnoviti kontinuirani proces iz njegovih diskretnih uzoraka bez pogreške prema Kotelnikovljevom teoremu ako je spektar tog procesa ograničen frekvencijom f gr ( S(f) = 0 at f> f g) i učestalost uzorkovanja f disk ³ 2 f gr. Kod funkcionalnog modeliranja sustava, učestalost uzorkovanja obično je puno veća f gr: f disk = (10 – 20) f gr, gdje f gr = f c – gornja frekvencija spektra, tj. frekvencija pri kojoj se spektar procesa smanjuje na dovoljno malu vrijednost.

Matematički model kontinuiranog sustava je ili nelinearna diferencijalna jednadžba (u sustavima računalne matematike) ili skup međusobno povezanih linearnih i nelinearnih blokova (u sustavima vizualnog modeliranja).

Razvijen je velik broj metoda za numeričko rješavanje diferencijalnih jednadžbi. Razmotrimo kako je napravljeno numeričko rješenje na primjeru nelinearne diferencijalne jednadžbe prvog reda oblika du/dt = f(u, t). Rješenje se nalazi za diskretne vrijednosti argumenta koje se razlikuju za korak integracije D t. U metodama razlike u jednom koraku za pronalaženje sljedeće vrijednosti u k = u(t j) potrebna je samo informacija o jednom prethodnom koraku. Od metoda u jednom koraku najpoznatije su Runge-Kutta metode. Runge-Kutta metoda prvog reda, koja se naziva i eksplicitna Eulerova metoda, temelji se na proširenju funkcije u(t) u Taylorov niz u blizini točke ( t k -1, u k -1), ograničeno prva dva člana niza: u k = u k – 1 + D t*u" k -1 , gdje je u" k -1 = du(t)/dt na t = t r -1 . Jer du(t)/dt = f(u, t), To u k = u k – 1 +D t*f(u k – 1, t k –1). Vidimo da se pri korištenju ove metode vjeruje da tijekom vremena D t funkcija u(t) mijenja se linearno i tangens pravca je jednak u" k -1 . To, kao što je prikazano na donjoj slici, dovodi do pogreške (pune linije).

Implicitna (inverzna) Eulerova metoda temelji se na proširenju funkcije u(t) u Taylorov niz u blizini točke ( t k, u k). Izračun se provodi prema izrazu u k = u k – 1 + D t*u" k = u k – 1 + D t*f(u k, t k). Rješenje se također nalazi s pogreškom, iako drugog predznaka (isprekidana linija na
crtanje). Pogreška se povećava s povećanjem koraka D t= t k- t k -1 . Kako bi se smanjila ova pogreška s konstantom D t koristiti Runge-Kutta metode višeg reda. S velikim korakom, proces izračunavanja može postati nestabilan.

VisSim je paket za vizualno modeliranje, tako da nije moguće analitički definirati model u obliku nelinearne diferencijalne jednadžbe. Potrebno je izraditi funkcionalni dijagram ili grafički model pomoću diferencijalne jednadžbe. Za diferencijalnu jednadžbu du/dt = f(u, t) sastavlja se na sljedeći način. Prvo formirano f(u, t) nelinearni blok, čiji se ulazi napajaju t I u. Jer f(u, t) je derivacija procesa u(t), zatim sam proces u(t) dobiva se integracijom izlaznog procesa nelinearnog bloka. Dobiveni grafički model prikazan je na donjoj slici.

Prilikom simulacije sustava zatvorene petlje treba biti vrlo oprezan pri odabiru vremenskog koraka modela. U ovim sustavima trenutna vrijednost ulaznog procesa uspoređuje se s vrijednošću izlaznog procesa izračunatom iz prethodnih vrijednosti ulaznog procesa. Ova ekstrapolirana vrijednost ne bi se trebala značajno razlikovati od procesa unosa. U protivnom dolazi do velikih grešaka u modeliranju, a kod velikih koraka proces može postati nestabilan. Kako bi rezultati simulacije bili zadovoljavajući, može se koristiti sljedeće pravilo: tijekom intervala jednakog vremenskom koraku modela, prijelazni odziv mora se promijeniti za iznos mnogo manji od vrijednosti ustaljenog stanja. U praksi se korak modeliranja mora poduzeti tako da se procesi u modelu praktički ne mijenjaju kada se smanji.

Završetak rada

1. Proučavanje pogrešaka u numeričkom rješavanju diferencijalne jednadžbe.

1.1 Napravite grafički model za diferencijalnu jednadžbu prema zadatku:

1.2. Sastavite dovršeni model na radnoj površini VisSim. Upamtite da se različite metode numeričke integracije implementiraju samo za modele koji uključuju integratore, označene kao 1/S (Blokovi → Integracija → integrator). Integrator se može implementirati na drugi način - kao linearni uređaj određen prijenosnom funkcijom (Blocks → Linear System → transferFunction), ako postavite brojnik (Numenator) na 1, a nazivnik (Denominator) na 1_0. Ali za takav integrator pokriven povratnom spregom implementirana je samo Eulerova metoda. Za prikladan prikaz povratne linije upotrijebite pokazivač (Blokovi → Annotation → wirePozitioner). Treba ga okrenuti (Edit → Rotate 180).

1.2. Postavite uvjete simulacije (Simulate → Simulation Setup): u prozoru Simulation Setup postavite Step Size – 0,0001, vrijeme simulacije Range End – 2,1. U području Algoritma integracije aktivirajte Runge-Kutta metodu 4. reda. Pokreni simulaciju. Vjerujemo da je dobiveno rješenje blizu egzaktnosti. Mjerite procesne vrijednosti na t = 1 s i 2 s (točno do četvrte značajne znamenke iza decimalne točke). Za točnije mjerenje koristite povećalo. Da biste to učinili, morate učiniti sljedeće: pritisnite i držite tipku Ctrl; pomoću pokazivača miša odaberite željeno područje oscilograma; otpustite tipku miša; otpustite tipku Ctrl. Za očitavanje koordinata upotrijebite križić (desni klik na Plot; u prozoru koji se otvori lijevi klik na Read Coordinates). Ako se trebate vratiti na izvorno mjerilo, učinite sljedeće: pritisnite i držite tipku Ctrl; lebdite pokazivačem miša iznad prozora; desni klik (ili dvostruki klik lijevo); otpustite tipku Ctrl.

U kontinuiranom simulacijskom modelu, stanje sustava je predstavljeno korištenjem zavisnih varijabli koje se kontinuirano mijenjaju. Kako bismo razlikovali varijable koje se kontinuirano mijenjaju od varijabli koje se diskretno mijenjaju, nazvat ćemo varijable bivšeg stanja. Kontinuirani simulacijski model stvara se određivanjem jednadžbi za skup varijabli stanja čije dinamičko ponašanje oponaša stvarni sustav.

Modeli kontinuiranog sustava često se definiraju u terminima izvedenih varijabli stanja. To je zato što je ponekad lakše izraziti brzinu promjene varijable stanja nego to učiniti izravno za samu varijablu. Jednadžbe ove vrste, uključujući derivacije varijabli stanja, nazivaju se diferencijalne jednadžbe. Recimo, na primjer, u procesu razvoja modela, sastavili smo sljedeću diferencijalnu jednadžbu za varijablu stanja tijekom vremena:

Prva jednadžba definira brzinu promjene kao funkciju i , druga jednadžba je početni uvjet za varijablu stanja. Svrha simulacijskog eksperimenta je odrediti reakciju varijable stanja ovisno o vremenu simulacije.

U nekim slučajevima moguće je odrediti analitički izraz za varijablu stanja danu jednadžbom za. Međutim, u praksi, u većini slučajeva analitički izraz za nije poznat. Kao rezultat, reakciju moramo dobiti integracijom kroz vrijeme, koristeći jednadžbu sljedećeg oblika:

Način na koji se vrši integracija ovisi o tome koristi li projektant analogno ili digitalno računalo. U 50-im i 60-im godinama analogna računala bila su glavno sredstvo implementacije kontinuiranih modela. Analogna računala predstavljaju varijable stanja u modelu pomoću električnih krugova. Dinamička struktura sustava modelirana je pomoću elemenata kao što su otpornici, kondenzatori i pojačala. Glavni nedostatak analognih računala je da točnost rezultata ovisi o karakteristikama tih elemenata. Osim toga, analogno računalo ima nekoliko funkcija logičke kontrole i nema mogućnosti pohranjivanja podataka kao digitalno računalo.

Brojni kontinuirani simulacijski jezici razvijeni su za digitalna računala. Iako je digitalno računalo diskretni uređaj, gotovo svaka varijabla čija je vrijednost ograničena samo veličinom riječi računala može se smatrati kontinuiranom.

Digitalno računalo velikom brzinom i točnošću izvodi osnovne matematičke operacije kao što su zbrajanje, množenje i logičko testiranje. Izvođenje integracije zahtijeva korištenje metoda numeričke integracije. Pomoću ovih metoda nezavisna varijabla (obično vrijeme) dijeli se na dijelove koji se nazivaju koraci. Vrijednosti varijabli stanja koje zahtijevaju integraciju dobivaju se aproksimacijom vremenskih derivacija ovih varijabli. Točnost dobivenih vrijednosti ovisi o redoslijedu metode aproksimacije i veličini koraka: veća točnost se postiže aproksimacijama visokog reda i najmanjim veličinama koraka. Budući da aproksimacije visokog reda i male veličine koraka zahtijevaju više izračuna, postoji odnos između točnosti izračuna varijable stanja i utrošenog računalnog vremena.

Metode modeliranja sustava

Formulacija bilo kojeg problema je prevođenje njegovog verbalnog opisa u formalni. U slučaju relativno jednostavnih zadataka, takav prijelaz se provodi u umu osobe, koja ne može uvijek ni objasniti kako je to učinila. Ako se dobiveni formalni model (matematički odnos između veličina u obliku formule, jednadžbe, sustava jednadžbi) temelji na temeljnom zakonu ili je potvrđen eksperimentom, time se dokazuje njegova primjerenost prikazanoj situaciji, te se model preporučuje za rješavanje zadataka odgovarajuće klase.

Kako problemi postaju složeniji, dobivanje modela i dokazivanje njegove primjerenosti postaje sve teže. U početku eksperiment postaje skup i opasan (na primjer, pri stvaranju složenih tehničkih kompleksa, pri provedbi svemirskih programa itd.), au odnosu na gospodarske objekte eksperiment postaje praktički neostvariv, problem postaje klasa problema odlučivanja. , te formulacija problema, formiranje modela, tj. prijevod verbalnog opisa u formalni postaje važan dio procesa donošenja odluka. Štoviše, ova se komponenta ne može uvijek izdvojiti kao zasebna faza, nakon čijeg se završetka može tretirati rezultirajući formalni model na isti način kao s običnim matematičkim opisom, strogim i apsolutno pravednim. Većina stvarnih situacija u projektiranju složenih tehničkih kompleksa i gospodarskom upravljanju mora se predstaviti kao klasa samoorganizirajućih sustava, čiji se modeli moraju stalno prilagođavati i razvijati.

U ovom slučaju moguće je promijeniti ne samo model, već i metodu modeliranja, koja je često sredstvo razvijanja razumijevanja simulirane situacije kod donositelja odluka. Drugim riječima, prevođenje verbalnog opisa u formalni, razumijevanje, interpretacija modela i dobivenih rezultata postaju sastavni dio gotovo svake faze modeliranja složenog sustava u razvoju.

Često se, kako bi se točnije okarakterizirao ovaj pristup modeliranju procesa donošenja odluka, govori o stvaranju "mehanizma" za modeliranje, "mehanizma" za donošenje odluka (na primjer, "ekonomski mehanizam", "mehanizam za dizajn i razvoj poduzeća” itd.).

Pitanja koja se postavljaju su kako formirati takve evoluirajuće modele ili "mehanizme"? kako dokazati adekvatnost modela? – i glavni su predmet analize sustava.

Da bi se riješio problem prevođenja verbalnog opisa u formalni, počele su se razvijati posebne tehnike i metode u različitim područjima djelovanja. Tako su nastale metode poput “brainstorminga”, “scenarija”, stručnih procjena, “stabla ciljeva” itd.

S druge strane, razvoj matematike išao je putem širenja načina postavljanja i rješavanja problema koje je teško formalizirati. Uz determinističke, analitičke metode klasične matematike nastale su teorija vjerojatnosti i matematička statistika (kao sredstvo dokazivanja primjerenosti modela na temelju reprezentativnog uzorka i koncepta vjerojatnosti legitimnosti korištenja modela i rezultata modeliranja). Za probleme s većim stupnjem nesigurnosti inženjeri su počeli koristiti teoriju skupova, matematičku logiku, matematičku lingvistiku i teoriju grafova, što je uvelike potaknulo razvoj ovih područja. Drugim riječima, matematika je počela postupno akumulirati sredstva za rad s neizvjesnošću, sa smislom, koji je klasična matematika isključila iz predmeta svog razmatranja.

Tako se između neformalnog, figurativnog mišljenja osobe i formalnih modela klasične matematike razvio "spektar" metoda koje pomažu dobiti i razjasniti (formalizirati) verbalni opis problemske situacije, s jedne strane, i interpretirati formalne modele, povezati ih sa stvarnošću, s drugim. Ovaj spektar je konvencionalno prikazan na Sl. 2.1, a.

Razvoj metoda modeliranja, naravno, nije tekao dosljedno kao što je prikazano na sl. 2.1, a. Metode su nastajale i razvijale se paralelno. Postoje razne modifikacije sličnih metoda. Grupirani su na različite načine, tj. istraživači su predložili različite klasifikacije (uglavnom za formalne metode, o čemu će biti više riječi u sljedećem odlomku). Nove metode modeliranja neprestano se pojavljuju, kao na “presjeku” već uspostavljenih skupina. Međutim, ova slika ilustrira glavnu ideju - postojanje "spektra" metoda između verbalnog i formalnog prikaza problemske situacije.

U početku su istraživači koji su razvijali teoriju sustava predlagali klasifikacije sustava i pokušavali ih uskladiti s određenim metodama modeliranja koje bi najbolje odražavale karakteristike određene klase. Ovaj pristup izboru metoda modeliranja sličan je pristupu primijenjene matematike. Međutim, za razliku od ove potonje, koja se temelji na klasama primijenjenih problema, analiza sustava može prikazati isti objekt ili istu problemsku situaciju (ovisno o stupnju nesigurnosti i kako se uči) različitim klasama sustava i, sukladno tome, različitim modeli, kao što bi se na taj način organizirao proces postupne formalizacije zadatka, tj. “uzgoj” svog formalnog modela. Pristup pomaže shvatiti da pogrešno odabrana metoda modeliranja može dovesti do netočnih rezultata, nemogućnosti dokazivanja adekvatnosti modela, povećanja broja iteracija i kašnjenja u rješavanju problema.