Logaritamske nejednadžbe s različitim bazama, primjeri rješenja. Rješavanje sustava logaritamskih i eksponencijalnih nejednadžbi s mentorom

Mislite li da još ima vremena prije Jedinstvenog državnog ispita i da ćete imati vremena za pripremu? Možda je to tako. Ali u svakom slučaju, što student ranije započne pripreme, to uspješnije položi ispite. Danas smo odlučili posvetiti članak logaritamskim nejednakostima. Ovo je jedan od zadataka, što znači mogućnost dobivanja dodatnog kredita.

Znate li već što je logaritam? Zaista se nadamo. Ali čak i ako nemate odgovor na ovo pitanje, to nije problem. Razumijevanje što je logaritam vrlo je jednostavno.

Zašto 4? Morate podići broj 3 na ovu potenciju da dobijete 81. Nakon što shvatite princip, možete nastaviti sa složenijim izračunima.

Prošli ste kroz nejednakosti prije nekoliko godina. I od tada ih stalno susrećete u matematici. Ako imate problema s rješavanjem nejednakosti, pogledajte odgovarajući odjeljak.
Sada kada smo se upoznali s konceptima pojedinačno, prijeđimo na njihovo općenito razmatranje.

Najjednostavnija logaritamska nejednadžba.

Najjednostavnije logaritamske nejednakosti nisu ograničene na ovaj primjer; postoje još tri, samo s različitim predznacima. Zašto je to potrebno? Da bismo bolje razumjeli kako rješavati nejednadžbe s logaritmima. Sada dajmo primjenjiviji primjer, još uvijek prilično jednostavan; ostavit ćemo složene logaritamske nejednakosti za kasnije.

Kako to riješiti? Sve počinje s ODZ-om. Vrijedno je znati više o tome ako želite uvijek lako riješiti svaku nejednadžbu.

Što je ODZ? ODZ za logaritamske nejednadžbe

Kratica označava raspon prihvatljivih vrijednosti. Ova se formulacija često pojavljuje u zadacima za Jedinstveni državni ispit. ODZ će vam biti od koristi ne samo u slučaju logaritamskih nejednakosti.

Ponovno pogledajte gornji primjer. Na temelju njega ćemo razmotriti ODZ, kako biste razumjeli princip, a rješavanje logaritamskih nejednakosti ne postavlja pitanja. Iz definicije logaritma slijedi da 2x+4 mora biti veće od nule. U našem slučaju to znači sljedeće.

Ovaj broj, po definiciji, mora biti pozitivan. Riješite gornju nejednadžbu. To se može učiniti i usmeno; ovdje je jasno da X ne može biti manji od 2. Rješenje nejednakosti bit će definiranje raspona prihvatljivih vrijednosti.
Sada prijeđimo na rješavanje najjednostavnije logaritamske nejednadžbe.

Odbacujemo same logaritme s obje strane nejednakosti. Što nam kao rezultat ostaje? Jednostavna nejednakost.

Nije teško riješiti. X mora biti veći od -0,5. Sada kombiniramo dvije dobivene vrijednosti u sustav. Tako,

Ovo će biti raspon prihvatljivih vrijednosti za logaritamsku nejednakost koja se razmatra.

Zašto nam uopće treba ODZ? Ovo je prilika za uklanjanje netočnih i nemogućih odgovora. Ako odgovor nije unutar raspona prihvatljivih vrijednosti, tada odgovor jednostavno nema smisla. Ovo je vrijedno zapamtiti dugo vremena, jer u Jedinstvenom državnom ispitu često postoji potreba za traženjem ODZ-a, a ne odnosi se samo na logaritamske nejednakosti.

Algoritam za rješavanje logaritamske nejednadžbe

Rješenje se sastoji od nekoliko faza. Prvo morate pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti. U ODZ-u će postojati dvije vrijednosti, o čemu smo razgovarali gore. Zatim morate riješiti samu nejednadžbu. Metode rješenja su sljedeće:

• metoda zamjene množitelja;
• raspad;
• metoda racionalizacije.

Ovisno o situaciji, vrijedi koristiti jednu od gore navedenih metoda. Prijeđimo izravno na rješenje. Otkrijmo najpopularniju metodu, koja je prikladna za rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita u gotovo svim slučajevima. Zatim ćemo pogledati metodu dekompozicije. Može pomoći ako naiđete na posebno nezgodnu nejednakost. Dakle, algoritam za rješavanje logaritamske nejednadžbe.

Primjeri rješenja :

Nismo uzalud uzeli upravo ovu nejednakost! Obratite pozornost na bazu. Zapamtite: ako je veći od jedan, znak ostaje isti pri pronalaženju raspona prihvatljivih vrijednosti; u suprotnom, trebate promijeniti znak nejednakosti.

Kao rezultat toga dobivamo nejednakost:

Sada svedemo lijevu stranu na oblik jednadžbe jednak nuli. Umjesto znaka “manje od” stavimo “jednako” i riješimo jednadžbu. Tako ćemo pronaći ODZ. Nadamo se da nećete imati problema s rješavanjem tako jednostavne jednadžbe. Odgovori su -4 i -2. To nije sve. Morate prikazati ove točke na grafikonu, stavljajući "+" i "-". Što za to treba učiniti? Zamijenite brojeve iz intervala u izraz. Gdje su vrijednosti pozitivne, tamo stavljamo "+".

Odgovor: x ne može biti veći od -4 ni manji od -2.

Pronašli smo raspon prihvatljivih vrijednosti samo za lijevu stranu; sada moramo pronaći raspon prihvatljivih vrijednosti za desnu stranu. Ovo je puno lakše. Odgovor: -2. Presijecamo oba rezultirajuća područja.

I tek sada počinjemo rješavati samu nejednakost.

Pojednostavimo ga što je moguće više kako bismo ga lakše riješili.

Ponovno koristimo metodu intervala u rješenju. Preskočimo izračune, s tim je već sve jasno iz prethodnog primjera. Odgovor.

Ali ova je metoda prikladna ako logaritamska nejednadžba ima iste baze.

Rješavanje logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi s različitim bazama zahtijeva početnu redukciju na istu bazu. Zatim upotrijebite gore opisanu metodu. Ali postoji i kompliciraniji slučaj. Razmotrimo jednu od najsloženijih vrsta logaritamskih nejednakosti.

Logaritamske nejednadžbe s promjenjivom bazom

Kako riješiti nejednadžbe s takvim karakteristikama? Da, i takvi se ljudi mogu naći na Jedinstvenom državnom ispitu. Rješavanje nejednakosti na sljedeći način također će imati blagotvoran učinak na vaš obrazovni proces. Pogledajmo problem u detalje. Odbacimo teoriju i prijeđimo ravno na praksu. Za rješavanje logaritamskih nejednakosti dovoljno je jednom se upoznati s primjerom.

Za rješavanje logaritamske nejednadžbe prikazanog oblika potrebno je desnu stranu svesti na logaritam s istom bazom. Princip nalikuje ekvivalentnim prijelazima. Kao rezultat, nejednakost će izgledati ovako.

Zapravo, sve što preostaje je stvoriti sustav nejednakosti bez logaritama. Metodom racionalizacije prelazimo na ekvivalentni sustav nejednakosti. Razumjet ćete samo pravilo kada zamijenite odgovarajuće vrijednosti i pratite njihove promjene. Sustav će imati sljedeće nejednakosti.

Kada koristite metodu racionalizacije pri rješavanju nejednakosti, morate zapamtiti sljedeće: jedan se mora oduzeti od baze, x se, prema definiciji logaritma, oduzima od obje strane nejednadžbe (desno od lijevo), dva izraza se množe. i postaviti ispod izvornog znaka u odnosu na nulu.

Daljnje rješenje provodi se metodom intervala, ovdje je sve jednostavno. Važno je da razumijete razlike u metodama rješenja, tada će sve početi funkcionirati lako.

Postoje mnoge nijanse u logaritamskim nejednadžbama. Najjednostavnije od njih prilično je lako riješiti. Kako možete riješiti svaki od njih bez problema? Sve odgovore ste već dobili u ovom članku. Sada je pred vama duga praksa. Konstantno vježbajte rješavanje raznih zadataka na ispitu i moći ćete dobiti najvišu ocjenu. Sretno vam u vašem teškom zadatku!

Nejednadžba se naziva logaritamskom ako sadrži logaritamsku funkciju.

Metode za rješavanje logaritamskih nejednakosti ne razlikuju se od, osim u dvije stvari.

Prvo, kada se prelazi s logaritamske nejednadžbe na nejednakost sublogaritamskih funkcija, treba slijedi znak dobivene nejednakosti. Poštuje sljedeće pravilo.

Ako je baza logaritamske funkcije veća od $1$, tada se pri prelasku s logaritamske nejednakosti na nejednakost podlogaritamskih funkcija znak nejednadžbe zadržava, ali ako je manji od $1$, tada se mijenja u suprotan .

Drugo, rješenje svake nejednadžbe je interval, pa je stoga na kraju rješavanja nejednakosti sublogaritamskih funkcija potrebno napraviti sustav dviju nejednadžbi: prva nejednadžba tog sustava bit će nejednakost sublogaritamskih funkcija, a drugi će biti interval domene definicije logaritamskih funkcija uključenih u logaritamsku nejednadžbu.

Praksa.

Riješimo nejednadžbe:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Baza logaritma je $2>1$, pa se predznak ne mijenja. Koristeći definiciju logaritma, dobivamo:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )