Površina trokuta temeljena na tri strane online. Kako izračunati površinu trokuta
Pojam područja
Koncept područja bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s figurom kao što je kvadrat. Za jedinicu površine bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi cjelovitosti, podsjetimo se na dva osnovna svojstva za pojam površina geometrijskih figura.
Svojstvo 1: Ako su geometrijski likovi jednaki, jednake su im i površine.
Svojstvo 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štoviše, površina izvorne figure jednaka je zbroju površina svih njegovih sastavnih figura.
Pogledajmo primjer.
Primjer 1
Očito je da je jedna od stranica trokuta dijagonala pravokutnika čija je jedna stranica duljine $5$ (budući da ima $5$ ćelija), a druga je $6$ (budući da ima $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovici takvog pravokutnika. Površina pravokutnika je
Tada je površina trokuta jednaka
Odgovor: 15 dolara.
Zatim ćemo razmotriti nekoliko metoda za pronalaženje područja trokuta, naime pomoću visine i baze, pomoću Heronove formule i površine jednakostraničnog trokuta.
Kako pronaći površinu trokuta pomoću njegove visine i baze
Teorem 1
Površina trokuta može se pronaći kao polovica umnoška duljine stranice i visine te stranice.
Matematički to izgleda ovako
$S=\frac(1)(2)αh$
gdje je $a$ duljina stranice, $h$ je visina povučena na nju.
Dokaz.
Promotrimo trokut $ABC$ u kojem je $AC=α$. Ovoj stranici je povučena visina $BH$ koja je jednaka $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.
Površina pravokutnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravokutnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Zatim
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Stoga je tražena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Teorem je dokazan.
Primjer 2
Pronađite površinu trokuta na slici ispod ako ćelija ima površinu jednaku jedan
Osnovica ovog trokuta jednaka je $9$ (budući da je $9$ kvadrat od $9$). Visina je također $9$. Tada, prema teoremu 1, dobivamo
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Odgovor: 40,5 dolara.
Heronova formula
Teorem 2
Ako su nam dane tri stranice trokuta $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može pronaći na sljedeći način
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
ovdje $ρ$ znači poluopseg ovog trokuta.
Dokaz.
Razmotrite sljedeću sliku:
Po Pitagorinoj teoremi, iz trokuta $ABH$ dobivamo
Iz trokuta $CBH$, prema Pitagorinom teoremu, imamo
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Iz ove dvije relacije dobivamo jednakost
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, što znači
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Prema teoremu 1, dobivamo
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Školski kurikulum predviđa poučavanje djece geometriji od najranije dobi. Jedno od najosnovnijih znanja u ovoj oblasti je pronalaženje područja raznih oblika. U ovom ćemo članku pokušati dati sve moguće načine za dobivanje ove vrijednosti, od najjednostavnijih do najsloženijih.
Osnova
Prva formula koju djeca uče u školi uključuje pronalaženje površine trokuta kroz duljinu njegove visine i baze. Visina je segment izvučen iz vrha trokuta pod pravim kutom na suprotnu stranu, koja će biti baza. Kako pronaći površinu trokuta koristeći ove količine?
Ako je V visina, a O baza, tada je površina S=V*O:2.
Druga opcija za dobivanje željene vrijednosti zahtijeva da znamo duljine dviju stranica, kao i veličinu kuta između njih. Ako imamo L i M - duljine stranica i Q - kut između njih, tada površinu možete dobiti pomoću formule S=(L*M*sin(Q))/2.
Heronova formula
Uz sve ostale odgovore na pitanje kako izračunati površinu trokuta, postoji formula koja nam omogućuje da dobijemo potrebnu vrijednost, znajući samo duljine stranica. Odnosno, ako znamo duljine svih stranica, tada ne trebamo crtati visinu i izračunavati njezinu duljinu. Možemo koristiti takozvanu Heronovu formulu.
Ako su M, N, L duljine stranica, tada možemo pronaći površinu trokuta na sljedeći način. P=(M+N+L)/2, tada je vrijednost koju trebamo S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). Na kraju nam preostaje samo izračunati korijen.
Za pravokutni trokut, Heronova formula je malo pojednostavljena. Ako su M, L noge, tada je S=(P-M)*(P-L).
Krugovi
Drugi način za pronalaženje površine trokuta je korištenje upisanih i opisanih krugova. Da bismo dobili potrebnu vrijednost pomoću upisane kružnice, moramo znati njen polumjer. Označimo ga s "r". Tada će formula po kojoj ćemo vršiti izračune imati sljedeći oblik: S=r*P, gdje je P polovica zbroja duljina svih stranica.
U pravokutnom trokutu ova je formula malo modificirana. Naravno, možete koristiti onaj gornji, ali je bolje koristiti drugi izraz za izračune. S=E*W, gdje su E i W duljine odsječaka na koje je hipotenuza podijeljena dodirnom točkom kružnice.
Govoreći o opisanom krugu, pronalaženje područja trokuta također nije teško. Uvođenjem oznake R kao polumjera opisane kružnice, možete dobiti sljedeću formulu potrebnu za izračunavanje željene vrijednosti: S= (M*N*L):(4*R). Gdje su prve tri veličine stranice trokuta.
Govoreći o jednakostraničnom trokutu, kroz niz jednostavnih matematičkih transformacija možete dobiti malo modificirane formule:
S=(3 1/2 *M 2)/4;
S=(3*3 1/2 *R 2)/4;
S=3*3 1/2 *r 2 .
U svakom slučaju, svaka formula koja vam omogućuje pronalaženje područja trokuta može se promijeniti u skladu s podacima zadatka. Dakle, svi pisani izrazi nisu apsolutni. Kada rješavate probleme, razmislite kako biste pronašli najprikladnije rješenje.
Koordinate
Prilikom proučavanja koordinatnih osi zadaci s kojima se suočavaju učenici postaju složeniji. Međutim, ne toliko da paničarite. Da biste pronašli područje trokuta iz koordinata vrhova, možete koristiti istu, ali malo modificiranu Heronovu formulu. Za koordinate ima sljedeći oblik:
S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2.
Međutim, nitko ne zabranjuje, koristeći koordinate, izračunati duljine stranica trokuta, a zatim, koristeći gore napisane formule, izračunati površinu. Za pretvorbu koordinata u duljinu upotrijebite sljedeću formulu:
l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.
Bilješke
U članku su korištene standardne oznake za količine koje se koriste u većini zadataka. U ovom slučaju, stupanj "1/2" znači da morate izdvojiti korijen cijelog izraza ispod zagrada.
Budite oprezni pri odabiru formule. Neki od njih gube svoju važnost ovisno o početnim uvjetima. Na primjer, formula opisane kružnice. U svakom slučaju može izračunati rezultat za vas, ali može doći do situacije kada trokut sa zadanim parametrima možda uopće ne postoji.
Ako sjedite kod kuće i radite domaću zadaću, tada možete koristiti online kalkulator. Mnoga mjesta daju mogućnost izračuna različitih količina pomoću zadanih parametara, a nije važno koji. Možete jednostavno unijeti početne podatke u polja, a računalo (web stranica) će za vas izračunati rezultat. Na taj način možete izbjeći pogreške nastale nepažnjom.
Nadamo se da je naš članak odgovorio na sva vaša pitanja u vezi s izračunavanjem površine raznih trokuta i da nećete morati tražiti dodatne informacije drugdje. Sretno sa studijem!
Kao što se možda sjećate iz školskog kurikuluma geometrije, trokut je figura sastavljena od tri segmenta povezana s tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Trokut tvori tri kuta, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trokut se može nazvati i poligonom s tri kuta, odgovor će također biti točan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini kutova na slikama. Dakle, trokuti se razlikuju kao jednakokračni, jednakostranični i razmjerni, kao i pravokutni, šiljasti i tupi.
Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. Koju ćete formulu koristiti ovisi o vama. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Dakle, zapamtite:
S je površina trokuta,
a, b, c su stranice trokuta,
h je visina trokuta,
R je polumjer opisane kružnice,
p je poluopseg.
Ovdje su osnovne oznake koje bi vam mogle biti korisne ako ste potpuno zaboravili tečaj geometrije. Ispod su najrazumljivije i najjednostavnije opcije za izračunavanje nepoznatog i tajanstvenog područja trokuta. Nije teško i bit će korisno kako za vaše kućanske potrebe tako i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako što lakše izračunati površinu trokuta:
U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 sq. cm. Zapamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).
Pravokutni trokut i njegova površina.
Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan kut jednak 90 stupnjeva (stoga se naziva pravokutni). Pravi kut čine dvije okomite crte (u slučaju trokuta dva okomita segmenta). U pravokutnom trokutu može postojati samo jedan pravi kut jer... zbroj svih kutova bilo kojeg trokuta jednak je 180 stupnjeva. Ispada da 2 druga kuta trebaju dijeliti preostalih 90 stupnjeva, na primjer 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjećate se glavne stvari, sve što ostaje je saznati kako pronaći područje pravokutnog trokuta. Zamislimo da pred sobom imamo takav pravokutni trokut i trebamo pronaći njegovu površinu S.
1. Najjednostavniji način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:
U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.
U načelu, više nema potrebe provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer Samo ovaj će biti koristan i pomoći će u svakodnevnom životu. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre kutove.
2. Za druge metode izračuna morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangensa. Prosudite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površine pravokutnog trokuta koje se još uvijek mogu koristiti:
Odlučili smo se koristiti prvom formulom i s manjim mrljama (nacrtali smo je u bilježnicu i koristili staro ravnalo i kutomjer), ali dobili smo točan izračun:
S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Dobili smo sljedeće rezultate: 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelija, možemo oprostiti ovu nijansu.
Jednakokračni trokut i njegova površina.
Ako ste suočeni sa zadatkom izračuna formule za jednakokračni trokut, tada je najlakši način koristiti glavnu i ono što se smatra klasičnom formulom za područje trokuta.
Ali prvo, prije nego što pronađemo područje jednakokračnog trokuta, saznajmo kakva je to figura. Jednakokračni trokut je trokut u kojem dvije stranice imaju jednake duljine. Ove dvije strane nazivaju se bočne, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokračni trokut s jednakostraničnim trokutom, tj. pravilan trokut kojemu su sve tri stranice jednake. U takvom trokutu nema posebnih tendencija prema kutovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, kutovi na osnovici u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od kuta između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu; ostaje da saznate koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta:
Iz suprotnog vrha) i dobiveni umnožak podijelite s dva. U obliku to izgleda ovako:
S = ½ * a * h,
Gdje:
S – površina trokuta,
a je duljina njegove stranice,
h je visina spuštena na ovu stranu.
Duljina i visina stranice moraju biti prikazane u istim mjernim jedinicama. U ovom slučaju, površina trokuta će se dobiti u odgovarajućim jedinicama " ".
Primjer.
Na jednu stranicu skalenskog trokuta duljine 20 cm spuštena je okomica iz suprotnog vrha duljine 10 cm.
Potrebno je područje trokuta.
Riješenje.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).
Ako su poznate duljine bilo koje dvije stranice razmjernog trokuta i kut između njih, upotrijebite formulu:
S = ½ * a * b * sinγ,
gdje su: a, b duljine dviju proizvoljnih stranica, a γ kut između njih.
U praksi, na primjer, pri mjerenju zemljišnih parcela, korištenje gornjih formula ponekad je teško, jer zahtijeva dodatnu konstrukciju i mjerenje kutova.
Ako znate duljine sve tri stranice razmjernog trokuta, upotrijebite Heronovu formulu:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),
a, b, c – duljine stranica trokuta,
p – poluopseg: p = (a+b+c)/2.
Ako je uz duljine svih stranica poznat i polumjer kružnice upisane u trokut, tada se koristi sljedeća kompaktna formula:
gdje je: r – radijus upisane kružnice (r – poluopseg).
Za izračun površine razmjernog trokuta i duljine njegovih stranica upotrijebite formulu:
gdje je: R – polumjer opisane kružnice.
Ako znate duljinu jedne od stranica trokuta i tri kuta (u načelu su dovoljna dva - vrijednost trećeg izračunava se iz jednakosti zbroja triju kutova trokuta - 180º), tada upotrijebite formula:
S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,
gdje je α vrijednost kuta nasuprot stranici a;
β, γ – vrijednosti preostala dva kuta trokuta.
Potreba za pronalaženjem različitih elemenata, uključujući područje trokut, pojavio se mnogo stoljeća prije Krista među učenim astronomima stare Grčke. Kvadrat trokut može se izračunati na različite načine koristeći različite formule. Način izračuna ovisi o tome koji elementi trokut znan.
upute
Ako iz uvjeta znamo vrijednosti dviju stranica b, c i kut koji one čine?, tada je površina trokut ABC se nalazi po formuli:
S = (bcsin?)/2.
Ako iz uvjeta znamo vrijednosti dviju stranica a, b i kut koji one ne čine?, tada je površina trokut ABC se nalazi na sljedeći način:
Pronalaženje kuta?, sin? = bsin?/a, zatim pomoću tablice odredite sam kut.
Pronalaženje kuta?, ? = 180°-?-?.
Nalazimo samu površinu S = (absin?)/2.
Ako iz uvjeta znamo vrijednosti samo triju strana trokut a, b i c, zatim područje trokut ABC se nalazi po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je p poluopseg p = (a+b+c)/2
Ako iz uvjeta problema znamo visinu trokut h i strana na koju je ta visina spuštena, zatim površina trokut ABC prema formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.
Ako znamo značenja strana trokut a, b, c i radijus opisan u vezi s tim trokut R, zatim područje ovoga trokut ABC se određuje formulom:
S = abc/4R.
Ako su poznate tri stranice a, b, c i polumjer upisane, tada je površina trokut ABC se nalazi po formuli:
S = pr, gdje je p poluopseg, p = (a+b+c)/2.
Ako je ABC jednakostraničan, tada se površina nalazi prema formuli:
S = (a^2v3)/4.
Ako je trokut ABC jednakokračan, tada se površina određuje formulom:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, gdje c – trokut.
Ako je trokut ABC pravokutan, tada se površina određuje formulom:
S = ab/2, gdje su a i b kraci trokut.
Ako je trokut ABC pravokutni jednakokračni trokut, tada se površina određuje formulom:
S = c^2/4 = a^2/2, gdje je c hipotenuza trokut, a=b – krak.
Video na temu
Izvori:
- kako izmjeriti površinu trokuta
Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta ako je kut poznat
Za određivanje površine nije dovoljno znati samo jedan parametar (kut). tre kvadrat . Ako postoje dodatne dimenzije, tada za određivanje područja možete odabrati jednu od formula u kojoj se vrijednost kuta koristi kao jedna od poznatih varijabli. U nastavku je navedeno nekoliko najčešće korištenih formula.
upute
Ako osim veličine kuta (γ) koji čine dvije stranice tre kvadrat , poznate su i duljine ovih stranica (A i B). kvadrat(S) figure može se definirati kao polovica umnoška duljina stranica i sinusa ovog poznatog kuta: S=½×A×B×sin(γ).
Trokut je geometrijski lik koji se sastoji od tri ravne crte koje se spajaju u točkama koje ne leže na istoj pravoj crti. Spojne točke linija su vrhovi trokuta, koji su označeni latiničnim slovima (na primjer, A, B, C). Spojne ravne linije trokuta nazivaju se segmentima, koji se također obično označavaju latiničnim slovima. Razlikuju se sljedeće vrste trokuta:
- Pravokutan.
- Tupi.
- Oštri kutni.
- Svestran.
- Jednakostraničan.
- Jednakokračan.
Opće formule za izračunavanje površine trokuta
Formula za površinu trokuta na temelju duljine i visine
S= a*h/2,
gdje je a duljina stranice trokuta čiju površinu treba pronaći, h je duljina visine povučene na osnovicu.
Heronova formula
S=√r*(r-a)*(r-b)*(p-c),
gdje je √ kvadratni korijen, p je poluopseg trokuta, a,b,c je duljina svake stranice trokuta. Poluopseg trokuta može se izračunati pomoću formule p=(a+b+c)/2.
Formula za površinu trokuta na temelju kuta i duljine segmenta
S = (a*b*sin(α))/2,
gdje je b,c duljina stranica trokuta, sin(α) je sinus kuta između dviju stranica.
Formula za površinu trokuta s polumjerom upisane kružnice i trima stranicama
S=p*r,
gdje je p polumjer trokuta čije područje treba pronaći, r je polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.
Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru kruga opisanog oko njega
S= (a*b*c)/4*R,
gdje su a,b,c duljina svake stranice trokuta, R je polumjer kruga opisanog oko trokuta.
Formula za površinu trokuta koja koristi kartezijeve koordinate točaka
Kartezijeve koordinate točaka su koordinate u xOy sustavu, gdje je x apscisa, y ordinata. Kartezijev koordinatni sustav xOy na ravnini su međusobno okomite numeričke osi Ox i Oy sa zajedničkim ishodištem u točki O. Ako su koordinate točaka na ovoj ravnini zadane u obliku A(x1, y1), B(x2, y2). ) i C(x3, y3 ), tada možete izračunati površinu trokuta koristeći sljedeću formulu, koja se dobiva iz vektorskog produkta dvaju vektora.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdje || označava modul.
Kako pronaći područje pravokutnog trokuta
Pravokutni trokut je trokut s jednim kutom od 90 stupnjeva. Trokut može imati samo jedan takav kut.
Formula za površinu pravokutnog trokuta na dvije strane
S= a*b/2,
gdje je a,b duljina krakova. Noge su strane uz pravi kut.
Formula za površinu pravokutnog trokuta na temelju hipotenuze i oštrog kuta
S = a*b*sin(α)/ 2,
gdje su a, b kraci trokuta, a sin(α) je sinus kuta pod kojim se sijeku pravci a, b.
Formula za površinu pravokutnog trokuta na temelju stranice i suprotnog kuta
S = a*b/2*tg(β),
gdje su a, b kraci trokuta, tan(β) je tangens kuta pod kojim su spojeni krakovi a, b.
Kako izračunati površinu jednakokračnog trokuta
Jednakokračni trokut je onaj koji ima dvije jednake stranice. Te stranice se nazivaju stranice, a druga stranica je baza. Da biste izračunali površinu jednakokračnog trokuta, možete koristiti jednu od sljedećih formula.
Osnovna formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta
S=h*c/2,
gdje je c osnovica trokuta, h je visina trokuta spuštena na osnovicu.
Formula jednakokračnog trokuta s osnovicom i stranicom
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdje je c osnovica trokuta, a je veličina jedne od stranica jednakokračnog trokuta.
Kako pronaći površinu jednakostraničnog trokuta
Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake. Da biste izračunali površinu jednakostraničnog trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (√3*a*a)/4,
gdje je a duljina stranice jednakostraničnog trokuta.
Gornje formule omogućit će vam izračunavanje potrebne površine trokuta. Važno je zapamtiti da za izračunavanje površine trokuta morate uzeti u obzir vrstu trokuta i dostupne podatke koji se mogu koristiti za izračun.
