모든 기하학적 도형의 면적에 대한 공식입니다. 그림의 면적을 계산하는 방법

면적 공식유클리드 평면의 특정 클래스의 도형에 정의되고 4가지 조건을 충족하는 실수 값 함수인 도형의 면적을 결정하는 데 필요합니다.

긍정성 - 면적은 0보다 작을 수 없습니다.
정규화 - 측면 단위가 있는 정사각형의 면적은 1입니다.
합동 - 합동인 도형은 면적이 동일합니다.
가산성(Additivity) - 공통된 내부 점이 없는 2개의 숫자의 합집합 영역은 이 숫자의 영역의 합과 같습니다.

기하학적 도형의 영역에 대한 공식.

기하학적 도형	공식	그림
볼록한 사변형의 반대쪽 중간점 사이의 거리를 더한 결과는 반둘레와 같습니다.
서클 부문. 원의 한 부분의 면적은 원호와 반지름의 절반의 곱과 같습니다.
서클 세그먼트. 세그먼트 ASB의 면적을 얻으려면 섹터 AOB의 면적에서 삼각형 AOB의 면적을 빼면 충분합니다.	S = 1 / 2 R(s - AC)
타원의 면적은 타원의 장반축과 단축 반축의 길이와 파이 수의 곱과 같습니다.
타원. 타원의 면적을 계산하는 또 다른 옵션은 두 개의 반지름을 사용하는 것입니다.
삼각형. 베이스와 높이를 통해. 반지름과 지름을 사용하여 원의 면적을 구하는 공식입니다.
정사각형 . 그의 편을 통해. 정사각형의 면적은 변의 길이의 제곱과 같습니다.
정사각형. 대각선을 통해. 정사각형의 면적은 대각선 길이의 제곱의 절반과 같습니다.
정다각형. 정다각형의 면적을 결정하려면 내접원의 중심에 공통 꼭지점을 갖는 동일한 삼각형으로 분할해야 합니다.	S= r p = 1/2 r n a

지구를 측정하는 방법에 대한 지식은 고대에 나타나 점차 기하학 과학으로 구체화되었습니다. 이 단어는 그리스어에서 "토지 측량"으로 번역됩니다.

지구의 평평한 부분의 길이와 너비를 측정한 것이 면적입니다. 수학에서는 일반적으로 라틴 문자 S(영어 "사각형"- "영역", "사각형") 또는 그리스 문자 σ(시그마)로 표시됩니다. S는 평면 위의 도형의 면적 또는 몸체의 표면적을 나타내고, σ는 물리학에서 도선의 단면적을 나타낸다. 예를 들어 재료 강도 분야에서 다른 기호가 있을 수 있지만 이는 주요 기호입니다. A는 프로파일의 단면적입니다.

접촉 중

계산식

단순한 도형의 영역을 알면 더 복잡한 도형의 매개변수를 찾을 수 있습니다.. 고대 수학자들은 쉽게 계산할 수 있는 공식을 개발했습니다. 이러한 도형은 삼각형, 사각형, 다각형, 원입니다.

복잡한 평면 도형의 넓이를 구하기 위해서는 삼각형, 사다리꼴, 직사각형 등 여러 개의 단순한 도형으로 나누어야 합니다. 그런 다음 수학적 방법을 사용하여 이 그림의 영역에 대한 공식을 도출합니다. 비슷한 방법이 기하학뿐만 아니라 수학적 분석에서도 곡선으로 둘러싸인 도형의 면적을 계산하는 데 사용됩니다.

삼각형

가장 간단한 그림인 삼각형부터 시작해 보겠습니다. 그들은 직사각형, 이등변형 및 정변형입니다. 변 AB=a, BC=b, AC=c(Δ ABC)인 임의의 삼각형 ABC를 선택합니다. 그 면적을 찾기 위해 학교 수학 과정에서 알려진 사인 및 코사인 정리를 떠올려 보겠습니다. 모든 계산을 중단하면 다음 공식에 도달합니다.

S=√ - 모든 사람에게 알려진 헤론의 공식. 여기서 p=(a+b+c)/2는 삼각형의 반둘레입니다.
S=a h/2, 여기서 h는 측면 a로 낮아진 높이입니다.
S = a b (sin γ)/2, 여기서 γ는 변 a와 b 사이의 각도입니다.
S=a b/2, Δ ABC가 직사각형인 경우(여기서 a와 b는 다리입니다);
S=b²(sin(2β))/2, Δ ABC가 이등변인 경우(여기서 b는 "엉덩이" 중 하나이고 β는 삼각형의 "엉덩이" 사이의 각도입니다)
S=a² √½, Δ ABC가 정변인 경우(여기서 a는 삼각형의 한 변입니다).

사각형

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d인 사각형 ABCD가 있다고 가정합니다. 임의의 4각형의 면적 S를 찾으려면 이를 대각선으로 두 개의 삼각형으로 나누어야 하며, 일반적으로 S1과 S2의 면적은 동일하지 않습니다.

그런 다음 공식을 사용하여 이를 계산하고 추가합니다(예: S=S1+S2). 그러나 4각형이 특정 클래스에 속하면 이전에 알려진 공식을 사용하여 해당 영역을 찾을 수 있습니다.

S=(a+c) h/2=e h, 정사각형이 사다리꼴인 경우(여기서 a와 c는 밑면이고, e는 사다리꼴의 중심선이고, h는 사다리꼴 밑면 중 하나로 낮아진 높이입니다.
S=a h=a b sin Φ=d1 d2 (sin ψ)/2, ABCD가 평행사변형인 경우(여기서 Φ는 변 a와 b 사이의 각도이고, h는 변 a와 b 사이의 각도이고, d1과 d2는 대각선입니다);
S=a b=d²/2, ABCD가 직사각형인 경우(d는 대각선);
S=a² sin Φ=P² (sin Φ)/16=d1 d2/2, ABCD가 마름모인 경우(a는 마름모의 변, Φ는 마름모의 각도 중 하나, P는 둘레)
ABCD가 정사각형인 경우 S=a²=P²/16=d²/2.

다각형

n-gon의 면적을 찾기 위해 수학자들은 그것을 가장 단순한 동일한 숫자인 삼각형으로 나누고, 각각의 면적을 찾은 다음 추가합니다. 그러나 다각형이 일반 클래스에 속하면 다음 공식을 사용하십시오.

S=an h/2=a² n/=P²/, 여기서 n은 다각형의 꼭지점(또는 변) 수, a는 n각형의 변, P는 둘레, h는 변점, 즉 a입니다. 다각형의 중심에서 변 중 하나로 90° 각도로 그려진 세그먼트입니다.

원

원은 변의 수가 무한한 완벽한 다각형입니다. 변의 수 n이 무한대에 가까워지는 다각형의 면적에 대한 공식에서 오른쪽 표현식의 극한을 계산해야 합니다. 이 경우 다각형의 둘레는 우리 원의 경계가 될 반지름 R인 원의 길이로 바뀌고 P=2 π R과 같아집니다. 이 식을 위 공식에 대입합니다. 우리는 얻을 것이다:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

이 식의 극한을 n → π로 구해 봅시다. 이를 수행하기 위해 n→킵에 대한 lim(cos (180°/n))은 cos 0°=1(lim은 극한의 부호)과 동일하고 n→킵에 대한 lim = lim은 다음과 같다는 점을 고려합니다. 1/π와 동일합니다(우리는 π rad=180° 관계를 사용하여 각도 측정을 라디안으로 변환하고 첫 번째 주목할만한 한계 lim(sin x)/x=1을 x→킵에 적용했습니다). 얻은 값을 S의 마지막 표현식에 대입하면 잘 알려진 공식에 도달합니다.

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

단위

체계적 및 비체계적 측정 단위가 사용됩니다.. 시스템 단위는 SI(System International)에 속합니다. 이것은 평방 미터(sq.meter, m²)이며 이로부터 파생된 단위는 mm², cm², km²입니다.

예를 들어 제곱 밀리미터(mm²) 단위로 전기 공학에서 와이어의 단면적을 제곱 센티미터(cm²) 단위로 측정합니다. 구조 역학의 빔 단면적은 제곱 미터(m²) 단위로 측정합니다. 아파트 또는 주택의 경우 평방 킬로미터(km²) 단위 - 지리학 .

그러나 직조, ar(a), 헥타르(ha) 및 에이커(as)와 같은 비체계적인 측정 단위가 사용되는 경우도 있습니다. 다음 관계식을 제시해 보겠습니다.

1 직조=1a=100m²=0.01헥타르;
1ha=100a=100에이커=10000m²=0.01km²=2.471ac;
1ac = 4046.856m² = 40.47a = 40.47에이커 = 0.405헥타르.

기하학적 도형의 면적- 이 그림의 크기를 나타내는 기하학적 그림의 수치적 특성(이 그림의 닫힌 윤곽에 의해 제한되는 표면의 일부). 면적의 크기는 그 안에 포함된 평방 단위의 수로 표현됩니다.

삼각형 면적 공식

측면과 높이에 따른 삼각형의 면적에 대한 공식
삼각형의 면적삼각형의 한 변의 길이와 이 변에 그려진 고도의 길이의 곱의 절반과 같습니다.
세 변과 외접원의 반지름을 기준으로 한 삼각형의 면적을 구하는 공식
세 변과 내접원의 반지름을 기준으로 한 삼각형의 면적을 구하는 공식
삼각형의 면적는 삼각형의 반둘레와 내접원의 반지름을 곱한 것과 같습니다.

정사각형 면적 공식

변의 길이에 따른 정사각형의 면적을 구하는 공식
광장 면적변의 길이의 제곱과 같습니다.
대각선 길이를 따라 정사각형의 면적을 구하는 공식
광장 면적대각선 길이의 제곱의 절반과 같습니다.
에스= 1 2
2

직사각형 면적 공식

직사각형의 면적

평행사변형 면적 공식

변의 길이와 높이를 기준으로 평행사변형의 면적을 구하는 공식
평행사변형의 면적
두 변과 그 사이의 각도를 기준으로 한 평행사변형의 면적에 대한 공식
평행사변형의 면적변의 길이에 변 사이의 각도의 사인을 곱한 것과 같습니다.
a b 죄 α

마름모 면적에 대한 공식

변의 길이와 높이를 기준으로 마름모의 면적을 구하는 공식
마름모의 면적변의 길이와 이쪽으로 낮아진 높이의 길이를 곱한 것과 같습니다.
변의 길이와 각도에 따른 마름모의 면적 공식
마름모의 면적변의 길이의 제곱과 마름모의 변 사이의 각도의 사인의 곱과 같습니다.
대각선 길이에 따른 마름모의 면적 공식
마름모의 면적대각선 길이의 곱의 절반과 같습니다.

사다리꼴 면적 공식

사다리꼴에 대한 헤론의 공식
여기서 S는 사다리꼴의 면적이고,
- 사다리꼴 밑면의 길이,
- 사다리꼴 변의 길이,

에스=	1	2
	2