모든 기하학적 도형의 면적에 대한 공식입니다. 그림의 면적을 계산하는 방법
면적 공식유클리드 평면의 특정 클래스의 도형에 정의되고 4가지 조건을 충족하는 실수 값 함수인 도형의 면적을 결정하는 데 필요합니다.
- 긍정성 - 면적은 0보다 작을 수 없습니다.
- 정규화 - 측면 단위가 있는 정사각형의 면적은 1입니다.
- 합동 - 합동인 도형은 면적이 동일합니다.
- 가산성(Additivity) - 공통된 내부 점이 없는 2개의 숫자의 합집합 영역은 이 숫자의 영역의 합과 같습니다.
기하학적 도형 | 공식 | 그림 |
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볼록한 사변형의 반대쪽 중간점 사이의 거리를 더한 결과는 반둘레와 같습니다. |
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서클 부문. 원의 한 부분의 면적은 원호와 반지름의 절반의 곱과 같습니다. |
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서클 세그먼트. 세그먼트 ASB의 면적을 얻으려면 섹터 AOB의 면적에서 삼각형 AOB의 면적을 빼면 충분합니다. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
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타원의 면적은 타원의 장반축과 단축 반축의 길이와 파이 수의 곱과 같습니다. |
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타원. 타원의 면적을 계산하는 또 다른 옵션은 두 개의 반지름을 사용하는 것입니다. |
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삼각형. 베이스와 높이를 통해. 반지름과 지름을 사용하여 원의 면적을 구하는 공식입니다. |
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정사각형 . 그의 편을 통해. 정사각형의 면적은 변의 길이의 제곱과 같습니다. |
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정사각형. 대각선을 통해. 정사각형의 면적은 대각선 길이의 제곱의 절반과 같습니다. |
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정다각형. 정다각형의 면적을 결정하려면 내접원의 중심에 공통 꼭지점을 갖는 동일한 삼각형으로 분할해야 합니다. |
S= r p = 1/2 r n a |
지구를 측정하는 방법에 대한 지식은 고대에 나타나 점차 기하학 과학으로 구체화되었습니다. 이 단어는 그리스어에서 "토지 측량"으로 번역됩니다.
지구의 평평한 부분의 길이와 너비를 측정한 것이 면적입니다. 수학에서는 일반적으로 라틴 문자 S(영어 "사각형"- "영역", "사각형") 또는 그리스 문자 σ(시그마)로 표시됩니다. S는 평면 위의 도형의 면적 또는 몸체의 표면적을 나타내고, σ는 물리학에서 도선의 단면적을 나타낸다. 예를 들어 재료 강도 분야에서 다른 기호가 있을 수 있지만 이는 주요 기호입니다. A는 프로파일의 단면적입니다.
접촉 중
계산식
단순한 도형의 영역을 알면 더 복잡한 도형의 매개변수를 찾을 수 있습니다.. 고대 수학자들은 쉽게 계산할 수 있는 공식을 개발했습니다. 이러한 도형은 삼각형, 사각형, 다각형, 원입니다.
복잡한 평면 도형의 넓이를 구하기 위해서는 삼각형, 사다리꼴, 직사각형 등 여러 개의 단순한 도형으로 나누어야 합니다. 그런 다음 수학적 방법을 사용하여 이 그림의 영역에 대한 공식을 도출합니다. 비슷한 방법이 기하학뿐만 아니라 수학적 분석에서도 곡선으로 둘러싸인 도형의 면적을 계산하는 데 사용됩니다.
삼각형
가장 간단한 그림인 삼각형부터 시작해 보겠습니다. 그들은 직사각형, 이등변형 및 정변형입니다. 변 AB=a, BC=b, AC=c(Δ ABC)인 임의의 삼각형 ABC를 선택합니다. 그 면적을 찾기 위해 학교 수학 과정에서 알려진 사인 및 코사인 정리를 떠올려 보겠습니다. 모든 계산을 중단하면 다음 공식에 도달합니다.
- S=√ - 모든 사람에게 알려진 헤론의 공식. 여기서 p=(a+b+c)/2는 삼각형의 반둘레입니다.
- S=a h/2, 여기서 h는 측면 a로 낮아진 높이입니다.
- S = a b (sin γ)/2, 여기서 γ는 변 a와 b 사이의 각도입니다.
- S=a b/2, Δ ABC가 직사각형인 경우(여기서 a와 b는 다리입니다);
- S=b²(sin(2β))/2, Δ ABC가 이등변인 경우(여기서 b는 "엉덩이" 중 하나이고 β는 삼각형의 "엉덩이" 사이의 각도입니다)
- S=a² √½, Δ ABC가 정변인 경우(여기서 a는 삼각형의 한 변입니다).
사각형
AB=a, BC=b, CD=c, AD=d인 사각형 ABCD가 있다고 가정합니다. 임의의 4각형의 면적 S를 찾으려면 이를 대각선으로 두 개의 삼각형으로 나누어야 하며, 일반적으로 S1과 S2의 면적은 동일하지 않습니다.
그런 다음 공식을 사용하여 이를 계산하고 추가합니다(예: S=S1+S2). 그러나 4각형이 특정 클래스에 속하면 이전에 알려진 공식을 사용하여 해당 영역을 찾을 수 있습니다.
- S=(a+c) h/2=e h, 정사각형이 사다리꼴인 경우(여기서 a와 c는 밑면이고, e는 사다리꼴의 중심선이고, h는 사다리꼴 밑면 중 하나로 낮아진 높이입니다.
- S=a h=a b sin Φ=d1 d2 (sin ψ)/2, ABCD가 평행사변형인 경우(여기서 Φ는 변 a와 b 사이의 각도이고, h는 변 a와 b 사이의 각도이고, d1과 d2는 대각선입니다);
- S=a b=d²/2, ABCD가 직사각형인 경우(d는 대각선);
- S=a² sin Φ=P² (sin Φ)/16=d1 d2/2, ABCD가 마름모인 경우(a는 마름모의 변, Φ는 마름모의 각도 중 하나, P는 둘레)
- ABCD가 정사각형인 경우 S=a²=P²/16=d²/2.
다각형
n-gon의 면적을 찾기 위해 수학자들은 그것을 가장 단순한 동일한 숫자인 삼각형으로 나누고, 각각의 면적을 찾은 다음 추가합니다. 그러나 다각형이 일반 클래스에 속하면 다음 공식을 사용하십시오.
S=an h/2=a² n/=P²/, 여기서 n은 다각형의 꼭지점(또는 변) 수, a는 n각형의 변, P는 둘레, h는 변점, 즉 a입니다. 다각형의 중심에서 변 중 하나로 90° 각도로 그려진 세그먼트입니다.
원
원은 변의 수가 무한한 완벽한 다각형입니다. 변의 수 n이 무한대에 가까워지는 다각형의 면적에 대한 공식에서 오른쪽 표현식의 극한을 계산해야 합니다. 이 경우 다각형의 둘레는 우리 원의 경계가 될 반지름 R인 원의 길이로 바뀌고 P=2 π R과 같아집니다. 이 식을 위 공식에 대입합니다. 우리는 얻을 것이다:
S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).
이 식의 극한을 n → π로 구해 봅시다. 이를 수행하기 위해 n→킵에 대한 lim(cos (180°/n))은 cos 0°=1(lim은 극한의 부호)과 동일하고 n→킵에 대한 lim = lim은 다음과 같다는 점을 고려합니다. 1/π와 동일합니다(우리는 π rad=180° 관계를 사용하여 각도 측정을 라디안으로 변환하고 첫 번째 주목할만한 한계 lim(sin x)/x=1을 x→킵에 적용했습니다). 얻은 값을 S의 마지막 표현식에 대입하면 잘 알려진 공식에 도달합니다.
S=π² R² 1 (1/π)=π R².
단위
체계적 및 비체계적 측정 단위가 사용됩니다.. 시스템 단위는 SI(System International)에 속합니다. 이것은 평방 미터(sq.meter, m²)이며 이로부터 파생된 단위는 mm², cm², km²입니다.
예를 들어 제곱 밀리미터(mm²) 단위로 전기 공학에서 와이어의 단면적을 제곱 센티미터(cm²) 단위로 측정합니다. 구조 역학의 빔 단면적은 제곱 미터(m²) 단위로 측정합니다. 아파트 또는 주택의 경우 평방 킬로미터(km²) 단위 - 지리학 .
그러나 직조, ar(a), 헥타르(ha) 및 에이커(as)와 같은 비체계적인 측정 단위가 사용되는 경우도 있습니다. 다음 관계식을 제시해 보겠습니다.
- 1 직조=1a=100m²=0.01헥타르;
- 1ha=100a=100에이커=10000m²=0.01km²=2.471ac;
- 1ac = 4046.856m² = 40.47a = 40.47에이커 = 0.405헥타르.
기하학적 도형의 면적- 이 그림의 크기를 나타내는 기하학적 그림의 수치적 특성(이 그림의 닫힌 윤곽에 의해 제한되는 표면의 일부). 면적의 크기는 그 안에 포함된 평방 단위의 수로 표현됩니다.
삼각형 면적 공식
- 측면과 높이에 따른 삼각형의 면적에 대한 공식
삼각형의 면적삼각형의 한 변의 길이와 이 변에 그려진 고도의 길이의 곱의 절반과 같습니다. - 세 변과 외접원의 반지름을 기준으로 한 삼각형의 면적을 구하는 공식
- 세 변과 내접원의 반지름을 기준으로 한 삼각형의 면적을 구하는 공식
삼각형의 면적는 삼각형의 반둘레와 내접원의 반지름을 곱한 것과 같습니다. 여기서 S는 삼각형의 면적이고,
- 삼각형의 변의 길이,
- 삼각형의 높이,
- 측면 사이의 각도,
- 내접원의 반경,
R - 외접원의 반경,
정사각형 면적 공식
- 변의 길이에 따른 정사각형의 면적을 구하는 공식
광장 면적변의 길이의 제곱과 같습니다. - 대각선 길이를 따라 정사각형의 면적을 구하는 공식
광장 면적대각선 길이의 제곱의 절반과 같습니다.에스= 1 2 2 여기서 S는 정사각형의 면적이고,
- 정사각형의 변의 길이,
- 정사각형의 대각선 길이.
직사각형 면적 공식
- 직사각형의 면적인접한 두 변의 길이의 곱과 같습니다.
여기서 S는 직사각형의 면적이고,
- 직사각형의 변의 길이.
평행사변형 면적 공식
- 변의 길이와 높이를 기준으로 평행사변형의 면적을 구하는 공식
평행사변형의 면적 - 두 변과 그 사이의 각도를 기준으로 한 평행사변형의 면적에 대한 공식
평행사변형의 면적변의 길이에 변 사이의 각도의 사인을 곱한 것과 같습니다.a b 죄 α
여기서 S는 평행사변형의 면적이고,
- 평행사변형의 변의 길이,
- 평행사변형 높이의 길이,
- 평행사변형의 변 사이의 각도.
마름모 면적에 대한 공식
- 변의 길이와 높이를 기준으로 마름모의 면적을 구하는 공식
마름모의 면적변의 길이와 이쪽으로 낮아진 높이의 길이를 곱한 것과 같습니다. - 변의 길이와 각도에 따른 마름모의 면적 공식
마름모의 면적변의 길이의 제곱과 마름모의 변 사이의 각도의 사인의 곱과 같습니다. - 대각선 길이에 따른 마름모의 면적 공식
마름모의 면적대각선 길이의 곱의 절반과 같습니다. 여기서 S는 마름모의 면적이고,
- 마름모의 변의 길이,
- 마름모 높이의 길이,
- 마름모의 측면 사이의 각도,
1, 2 - 대각선 길이.
사다리꼴 면적 공식
- 사다리꼴에 대한 헤론의 공식
여기서 S는 사다리꼴의 면적이고,
- 사다리꼴 밑면의 길이,
- 사다리꼴 변의 길이,