기하학적 진행을 결정하는 방법. 기하학적 진행

>>수학: 기하수열

독자의 편의를 위해 이 단락은 이전 단락에서 따랐던 것과 동일한 계획에 따라 정확하게 구성되었습니다.

1. 기본 개념.

정의.모든 요소가 0이 아니고 두 번째부터 시작하여 각 요소가 이전 요소에 동일한 수를 곱하여 얻은 수열을 기하학적 수열이라고 합니다. 이 경우 숫자 5를 기하수열의 분모라고 합니다.

따라서 기하수열은 다음 관계식에 의해 반복적으로 정의되는 수치 수열(bn)입니다.

숫자 순서를 보고 그것이 기하학적 수열인지 판단하는 것이 가능합니까? 할 수 있다. 수열의 어떤 구성원과 이전 구성원의 비율이 일정하다고 확신한다면 기하학적 수열이 있는 것입니다.
예시 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b1 = 1, q = 3.

예시 2.

이것은 기하학적 수열이다.
예시 3.

이것은 기하학적 수열이다.
예시 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

이는 b 1 - 8, q = 1인 기하학적 수열입니다.

이 시퀀스는 산술 수열이기도 합니다(§ 15의 예제 3 참조).

실시예 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

이는 b 1 = 2, q = -1인 기하학적 수열입니다.

분명히, 기하수열은 b 1 > 0, q > 1(예 1 참조)이면 증가하는 수열이고, b 1 > 0, 0이면 감소하는 수열입니다.< q < 1 (см. пример 2).

수열(bn)이 기하급수임을 나타내기 위해 다음 표기법이 편리한 경우가 있습니다.

아이콘은 "기하학적 진행"이라는 문구를 대체합니다.
기하급수법의 한 가지 기이하면서도 분명한 특성에 주목해 봅시다.
순서대로라면 기하학적 수열이고 그 다음에는 사각형의 수열입니다. 기하학적 진행이다.
두 번째 기하수열에서 첫 번째 항은 q 2와 같습니다.
기하수열에서 bn 다음의 모든 항을 버리면 유한한 기하수열을 얻게 됩니다.
이 섹션의 추가 단락에서 우리는 기하학적 수열의 가장 중요한 속성을 고려할 것입니다.

2. 기하수열의 n번째 항에 대한 공식.

기하학적 진행을 고려하십시오. 분모 q. 우리는:

임의의 숫자 n에 대해 평등이 참이라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다.

이것은 기하수열의 n번째 항에 대한 공식입니다.

논평.

이전 단락의 중요한 설명을 읽고 이해했다면, 산술 수열의 n번째 항에 대한 공식에 대해 수행했던 것과 마찬가지로 수학적 귀납법을 사용하여 공식(1)을 증명해 보십시오.

기하수열의 n번째 항에 대한 공식을 다시 작성해 보겠습니다.

그리고 표기법을 소개합니다: 우리는 y = mq 2를 얻습니다. 또는 더 자세히 말하면,
인수 x가 지수에 포함되므로 이 함수를 지수 함수라고 합니다. 이는 기하학적 수열이 자연수의 집합 N에 정의된 지수 함수로 간주될 수 있음을 의미합니다. 그림에서. 그림 96a는 함수의 그래프를 보여준다. 966 - 함수 그래프 두 경우 모두 특정 곡선에 고립된 점(가로좌표 x = 1, x = 2, x = 3 등)이 있습니다(두 그림 모두 동일한 곡선을 표시하지만 위치가 다르고 다른 축척으로 표시됩니다). 이 곡선을 지수곡선이라고 합니다. 지수 함수와 그래프에 대한 더 자세한 내용은 11학년 대수학 과정에서 논의됩니다.

이전 단락의 예제 1-5로 돌아가 보겠습니다.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . 이것은 b 1 = 1, q = 3인 기하수열입니다. n번째 항에 대한 공식을 만들어 보겠습니다.
2) 이것은 n번째 항에 대한 공식을 만들어 보겠습니다.

이것은 기하학적 수열이다. n 번째 항에 대한 공식을 만들어 보겠습니다.
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . 이것은 b 1 = 8, q = 1인 기하수열입니다. n번째 항에 대한 공식을 만들어 보겠습니다.
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... 이는 b 1 = 2, q = -1인 기하수열입니다. n 번째 항에 대한 공식을 만들어 보겠습니다.

실시예 6.

기하학적 진행이 주어지면

모든 경우에 해는 기하수열의 n번째 항의 공식을 기반으로 합니다.

a) 기하수열의 n번째 항에 대한 공식에 n = 6을 넣으면 다음을 얻습니다.

b) 우리는

512 = 2 9이므로 n - 1 = 9, n = 10이 됩니다.

d) 우리는

실시예 7.

기하수열의 일곱 번째 항과 다섯 번째 항의 차이는 48이고, 수열의 다섯 번째 항과 여섯 번째 항의 합도 48입니다. 이 수열의 열두 번째 항을 구하세요.

첫 단계.수학적 모델을 작성합니다.

문제의 조건은 다음과 같이 간략하게 작성할 수 있습니다.

기하수열의 n번째 항에 대한 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.
그러면 문제의 두 번째 조건(b 7 - b 5 = 48)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

문제의 세 번째 조건(b 5 + b 6 = 48)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

결과적으로 우리는 두 개의 변수 b 1 및 q를 갖는 두 방정식의 시스템을 얻습니다.

이는 위에 작성된 조건 1)과 결합하여 문제의 수학적 모델을 나타냅니다.

두 번째 단계.

컴파일된 모델로 작업합니다. 시스템의 두 방정식의 왼쪽을 동일시하면 다음을 얻습니다.

(우리는 방정식의 양쪽을 0이 아닌 표현식 b 1 q 4로 나눴습니다).

방정식 q 2 - q - 2 = 0에서 q 1 = 2, q 2 = -1을 찾습니다. 값 q = 2를 시스템의 두 번째 방정식으로 대체하면 다음을 얻습니다.
q = -1 값을 시스템의 두 번째 방정식에 대입하면 b 1 1 0 = 48을 얻습니다. 이 방정식에는 해가 없습니다.

따라서 b 1 =1, q = 2 - 이 쌍은 컴파일된 방정식 시스템에 대한 해입니다.

이제 문제에서 논의된 기하학적 수열을 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...로 적어볼 수 있습니다.

세 번째 단계.

문제 질문에 답하세요. b12를 계산해야 합니다. 우리는

답: b 12 = 2048.

3. 유한 기하수열의 항의 합을 구하는 공식.

유한한 기하수열을 주자

그 항의 합을 Sn으로 표시해보자.

이 금액을 구하는 공식을 도출해 보겠습니다.

q = 1일 때 가장 간단한 경우부터 시작해 보겠습니다. 그런 다음 기하수열 b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn은 b 1 과 동일한 n 개의 숫자로 구성됩니다. 진행은 b 1, b 2, b 3, ..., b 4와 같습니다. 이 숫자의 합은 nb 1입니다.

이제 q = 1이라고 가정합니다. S n을 찾기 위해 인공적인 기술을 적용합니다. 즉, S n q 표현의 일부 변환을 수행합니다. 우리는:

변환을 수행할 때 먼저 기하학적 진행의 정의를 사용했습니다. 그에 따라(추론의 세 번째 줄 참조) 둘째, 그들은 더하고 빼기 때문에 표현의 의미는 물론 변하지 않았습니다 (추론의 네 번째 줄 참조). 셋째, 기하수열의 n번째 항에 대한 공식을 사용했습니다.

공식 (1)에서 우리는 다음을 발견합니다:

이것은 기하수열의 n 항의 합에 대한 공식입니다(q = 1인 경우).

실시예 8.

유한한 기하학적 진행이 주어지면

a) 진행 기간의 합계 b) 항의 제곱의 합.

b) 위에서(132페이지 참조) 우리는 기하수열의 모든 항이 제곱되면 첫 번째 항 b 2와 분모 q 2를 갖는 기하수열을 얻는다는 것을 이미 언급했습니다. 그런 다음 새로운 진행의 6개 항의 합은 다음과 같이 계산됩니다.

실시예 9.

다음과 같은 기하수열의 8번째 항을 찾으세요.

실제로 우리는 다음 정리를 증명했습니다.

수치 수열은 첫 번째 정리(그리고 유한 수열의 경우 마지막 정리)를 제외한 각 항의 제곱이 이전 항과 후속 항의 곱과 같은 경우에만 기하학적 수열입니다( 기하학적 수열의 특징적인 속성).

지침

10, 30, 90, 270...

기하학적 수열의 분모를 찾아야 합니다.
해결책:

옵션 1. 진행의 임의 항(예: 90)을 취해 이를 이전 항(30)으로 나눕니다: 90/30=3.

기하 수열의 여러 항의 합 또는 감소하는 기하 수열의 모든 항의 합을 알고 있는 경우 수열의 분모를 찾으려면 적절한 공식을 사용하십시오.
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), 여기서 Sn은 기하수열의 처음 n 항의 합이고
S = b1/(1-q), 여기서 S는 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합(분모가 1보다 작은 수열의 모든 항의 합)입니다.
예.

감소하는 기하수열의 첫 번째 항은 1과 같고 모든 항의 합은 2와 같습니다.

이 진행의 분모를 결정하는 것이 필요합니다.
해결책:

문제의 데이터를 공식에 대입합니다. 결과는 다음과 같습니다.
2=1/(1-q), 여기서 – q=1/2.

진행은 일련의 숫자입니다. 기하학적 수열에서 각 후속 항은 이전 항에 수열의 분모라고 하는 특정 수 q를 곱하여 얻습니다.

지침

두 개의 인접한 기하학적 항 b(n+1) 및 b(n)이 알려진 경우 분모를 얻으려면 더 큰 숫자를 그 앞의 숫자로 나누어야 합니다. q=b(n+1)/b (N). 이는 진행의 정의와 분모에서 비롯됩니다. 중요한 조건은 진행의 첫 번째 항과 분모가 0이 아니라는 것입니다. 그렇지 않으면 정의되지 않은 것으로 간주됩니다.

따라서 수열 항 사이에는 다음과 같은 관계가 설정됩니다: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. 공식 b(n)=b1 q^(n-1)을 사용하여 분모 q와 항 b1이 알려진 기하학적 수열의 모든 항을 계산할 수 있습니다. 또한 각 진행은 모듈러스가 이웃 구성원의 평균과 동일합니다. |b(n)|=√, 여기서 진행은 .

기하학적 진행의 유사체는 가장 간단한 지수 함수 y=a^x입니다. 여기서 x는 지수이고 a는 특정 숫자입니다. 이 경우 수열의 분모는 첫 번째 항과 일치하고 숫자 a와 같습니다. 인수 x를 자연수 n(카운터)으로 간주하면 함수 y의 값은 수열의 n번째 항으로 이해될 수 있습니다.

기하수열의 처음 n 항의 합에 대해 존재합니다: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). 이 공식은 q≠1에 유효합니다. q=1이면 처음 n 항의 합은 S(n)=n b1 공식으로 계산됩니다. 그런데 q가 1보다 크고 b1이 양수일 때 진행은 증가라고 합니다. 진행의 분모가 절대값에서 1을 초과하지 않으면 진행이 감소한다고 합니다.

기하수열의 특별한 경우는 무한히 감소하는 기하수열(무한히 감소하는 기하수열)입니다. 사실 감소하는 기하학적 진행의 항은 계속해서 감소하지만 결코 0에 도달하지 않습니다. 그럼에도 불구하고 그러한 진행의 모든 ​​용어의 합계를 찾는 것이 가능합니다. 이는 S=b1/(1-q) 공식으로 결정됩니다. 항 n의 총 개수는 무한합니다.

무한대를 얻지 않고도 무한한 수의 숫자를 더할 수 있는 방법을 시각화하려면 케이크를 굽습니다. 절반을 잘라냅니다. 그런 다음 1/2을 반으로 잘라냅니다. 당신이 얻게 될 조각은 분모가 1/2인 무한히 감소하는 기하학적 진행의 구성원에 지나지 않습니다. 이 조각들을 모두 더하면 원래의 케이크가 나옵니다.

기하학 문제는 공간적 사고가 필요한 특별한 유형의 연습입니다. 기하학을 풀 수 없다면 일, 아래 규칙을 따라보세요.

지침

과제의 조건을 주의 깊게 읽어보시고, 기억나지 않거나 이해가 안 되는 부분이 있으면 다시 읽어보세요.

예를 들어 계산 문제, 수량을 알아내야 하는 경우, 논리적 추론 체인이 필요한 문제, 나침반과 자를 사용하여 구성하는 문제 등 기하학적 문제의 유형을 결정해 보세요. 혼합 유형의 더 많은 작업. 문제의 유형을 파악한 후에는 논리적으로 생각해 보십시오.

주어진 작업에 필요한 정리를 적용하십시오. 그러나 의심이 가거나 옵션이 전혀 없다면 관련 주제에 대해 공부한 이론을 기억해 보십시오.

또한 문제에 대한 해결책을 초안 형식으로 적어 두십시오. 솔루션의 정확성을 확인하려면 알려진 방법을 사용해 보십시오.

문제에 대한 답을 지우거나 줄을 그지 않고 노트에 주의 깊게 작성하세요. 가장 중요한 것은 첫 번째 기하학적 문제를 해결하는 데 시간과 노력이 필요할 수 있다는 것입니다. 하지만 이 과정을 익히자마자 미친 듯이 클릭하는 작업을 즐기게 될 것입니다!

기하수열은 b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n)이 되는 일련의 숫자 b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n)입니다. ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. 즉, 수열의 각 항은 수열 q의 0이 아닌 분모를 곱하여 이전 항에 얻어집니다.

지침

수열 문제는 수열 b1의 첫 번째 항과 수열 q의 분모에 관한 시스템을 작성하고 따르는 방식으로 해결되는 경우가 가장 많습니다. 방정식을 만들려면 몇 가지 공식을 기억하는 것이 유용합니다.

수열의 첫 번째 항과 수열의 분모를 통해 수열의 n 번째 항을 표현하는 방법: b(n)=b1*q^(n-1).

|q|의 경우를 별도로 고려해 보겠습니다.<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

첫 번째 수준

기하학적 진행. 예시가 포함된 종합 가이드(2019)

번호 순서

자, 앉아서 숫자 몇 개를 써 봅시다. 예를 들어:

숫자는 무엇이든 쓸 수 있으며 원하는 만큼 숫자를 입력할 수 있습니다(우리의 경우에는 숫자가 있습니다). 우리가 숫자를 아무리 많이 써도 어느 것이 첫 번째이고 어느 것이 두 번째인지 항상 말할 수 있으며 마지막까지 계속해서 번호를 매길 수 있습니다. 다음은 숫자 시퀀스의 예입니다.

번호 순서숫자 집합으로, 각 숫자에는 고유한 숫자가 할당될 수 있습니다.

예를 들어, 시퀀스의 경우:

할당된 번호는 시퀀스의 한 번호에만 적용됩니다. 즉, 시퀀스에 3초 숫자가 없습니다. 두 번째 숫자(번째 숫자와 마찬가지로)는 항상 동일합니다.

숫자가 있는 숫자를 시퀀스의 n번째 멤버라고 합니다.

우리는 일반적으로 전체 시퀀스를 문자(예:)로 부르며, 이 시퀀스의 각 멤버는 이 멤버의 번호와 동일한 인덱스를 가진 동일한 문자입니다.

우리의 경우:

가장 일반적인 유형의 수열은 산술 및 기하 수열입니다. 이 주제에서는 두 번째 유형에 대해 이야기하겠습니다. 기하학적 진행.

기하학적 진행이 필요한 이유와 그 역사가 무엇입니까?

고대에도 이탈리아 수학자 수도사 피사의 레오나르도(피보나치로 더 잘 알려짐)는 무역의 실질적인 요구를 다루었습니다. 스님은 제품의 무게를 측정하는 데 사용할 수 있는 가장 작은 추의 수를 결정해야 하는 과제에 직면했습니다. 그의 작품에서 피보나치는 그러한 가중치 시스템이 최적이라는 것을 증명합니다. 이것은 사람들이 기하학적 수열을 처리해야 하는 첫 번째 상황 중 하나이며, 아마도 이미 들어봤고 적어도 일반적인 이해를 갖고 있을 것입니다. 주제를 완전히 이해한 후에는 그러한 시스템이 왜 최적인지 생각해 보십시오.

현재 생활 관행에서 은행에 돈을 투자 할 때 이전 기간 동안 계좌에 누적 된 금액에이자 금액이 발생하면 기하학적 진행이 나타납니다. 즉, 저축은행에 정기 예금을 넣어두면 1년 후에 예금이 원래 금액만큼 증가합니다. 새로운 금액은 기부금을 곱한 금액과 같습니다. 다음 해에는 이 금액이 다음과 같이 증가합니다. 그 당시 얻은 금액에 다시 곱하는 식입니다. 유사한 상황이 소위 계산 문제에 설명되어 있습니다. 복리- 이전 이자를 고려하여 계정 금액에서 매번 백분율을 가져옵니다. 이 작업에 대해서는 잠시 후에 이야기하겠습니다.

기하학적 수열이 적용되는 간단한 경우가 더 많이 있습니다. 예를 들어, 인플루엔자의 확산: 한 사람이 다른 사람을 감염시키고, 그 사람이 또 다른 사람을 감염시켰습니다. 따라서 두 번째 감염 물결은 사람이고, 그들은 차례로 다른 사람을 감염시켰습니다... 등등.. .

그건 그렇고, 동일한 MMM 인 금융 피라미드는 기하학적 진행의 속성을 기반으로 한 간단하고 건식 계산입니다. 흥미로운? 그것을 알아 봅시다.

기하학적 진행.

숫자 시퀀스가 ​​있다고 가정해 보겠습니다.

당신은 이것이 쉽고 그러한 수열의 이름은 용어의 차이가 있는 산술 수열이라고 즉시 대답할 것입니다. 이건 어때:

다음 숫자에서 이전 숫자를 빼면 새로운 차이가 나올 때마다(등등) 알 수 있지만 수열은 확실히 존재하고 쉽게 알아볼 수 있습니다. 각 후속 숫자는 이전 숫자보다 몇 배 더 큽니다!

이러한 유형의 숫자 ​​시퀀스를 호출합니다. 기하학적 진행그리고 지정됩니다.

기하학적 진행 ()은 첫 번째 항이 0과 다른 숫자 시퀀스이며 두 번째부터 시작하는 각 항은 이전 항과 동일하며 동일한 숫자를 곱합니다. 이 숫자를 기하학적 수열의 분모라고 합니다.

첫 번째 항( )이 동일하지 않고 무작위가 아니라는 제한 사항입니다. 아무 것도 없고 첫 번째 항은 여전히 ​​같고 q는 다음과 같다고 가정해 보겠습니다. 흠.. 그대로 두면 다음과 같이 됩니다.

이것이 더 이상 진행되지 않는다는 데 동의하십시오.

아시다시피, 0이 아닌 숫자가 있으면 동일한 결과를 얻게 됩니다. 이 경우 전체 숫자 계열이 모두 0이거나 하나의 숫자이고 나머지는 모두 0이 되기 때문에 단순히 진행이 없습니다.

이제 기하학적 수열의 분모, 즉 o에 대해 더 자세히 이야기합시다.

반복하자: - 이것은 숫자입니다 각 후속 항은 몇 번이나 변경됩니까?기하학적 진행.

그게 무엇일 수 있다고 생각하세요? 맞습니다, 양수이고 음수이지만 0은 아닙니다(우리는 이에 대해 조금 더 높게 이야기했습니다).

우리가 긍정적이라고 가정 해 봅시다. 우리의 경우에는 다음과 같습니다. 두 번째 용어의 가치는 무엇입니까? 다음과 같이 쉽게 대답할 수 있습니다.

좋아요. 따라서 진행의 모든 ​​후속 용어는 동일한 부호를 갖습니다. 긍정적이다.

부정적인 경우에는 어떻게 되나요? 예를 들어, 두 번째 용어의 가치는 무엇입니까?

이건 전혀 다른 이야기예요

이 진행 과정의 조건을 세어보세요. 얼마를 받았나요? 나는 가지고있다. 따라서, 그렇다면 기하학적 진행 조건의 표시가 번갈아 나타납니다. 즉, 해당 구성원에 대해 교대 부호가 있는 진행이 표시되면 분모는 음수입니다. 이 지식은 이 주제에 대한 문제를 해결할 때 자신을 테스트하는 데 도움이 될 수 있습니다.

이제 조금 연습해 보겠습니다. 어떤 수열이 기하수열이고 어떤 수열이 산술수열인지 알아보세요.

알았어요? 답변을 비교해 보겠습니다.

• 기하학적 진행 - 3, 6.
• 산술 진행 - 2, 4.
• 이는 산술도 아니고 기하학적 수열도 아닙니다(1, 5, 7).

마지막 진행으로 돌아가서 산술에서와 마찬가지로 해당 멤버를 찾아 보겠습니다. 짐작하셨겠지만, 그것을 찾는 방법은 두 가지가 있습니다.

우리는 각 항에 다음을 연속적으로 곱합니다.

따라서 설명된 기하학적 수열의 번째 항은 다음과 같습니다.

이미 짐작했듯이 이제 기하학적 진행의 구성원을 찾는 데 도움이 되는 공식을 직접 도출할 것입니다. 아니면 이미 스스로 개발하여 번째 멤버를 찾는 방법을 단계별로 설명했습니까? 그렇다면 추론이 올바른지 확인하십시오.

이 수열의 번째 항을 찾는 예를 통해 이를 설명하겠습니다.

다시 말해서:

주어진 기하수열 항의 값을 직접 찾아보세요.

일어난? 답변을 비교해 보겠습니다.

기하학적 진행의 각 이전 항을 순차적으로 곱했을 때 이전 방법과 정확히 동일한 숫자를 얻었습니다.
이 공식을 "비인격화"해 보겠습니다. 이를 일반적인 형식으로 표현하고 다음을 얻습니다.

파생된 공식은 양수와 음수 모두 모든 값에 적용됩니다. 다음 조건에 따라 기하학적 진행의 항을 계산하여 이를 직접 확인하십시오. , a.

세어봤어? 결과를 비교해 보겠습니다.

용어와 동일한 방법으로 진행의 용어를 찾는 것이 가능하다는 데 동의하지만 잘못 계산할 가능성이 있습니다. 그리고 우리가 기하수열의 번째 항을 이미 찾았다면 공식의 "잘린" 부분을 사용하는 것보다 더 간단한 것은 무엇일까요?

기하학적 진행이 무한히 감소합니다.

최근에 우리는 그것이 0보다 크거나 작을 수 있다는 사실에 대해 이야기했지만 기하학적 진행이라고 불리는 특별한 값이 있습니다. 무한히 감소.

왜 이런 이름이 붙었다고 생각하시나요?
먼저 항으로 구성된 기하학적 수열을 적어 보겠습니다.
그러면 다음과 같이 말해보자:

우리는 각 후속 항이 이전 항보다 인수만큼 적음을 알 수 있지만 숫자가 있습니까? 당신은 즉시 "아니요"라고 대답할 것입니다. 그렇기 때문에 무한히 감소합니다. 감소하고 감소하지만 결코 0이 되지 않습니다.

이것이 시각적으로 어떻게 보이는지 명확하게 이해하기 위해 진행 상황에 대한 그래프를 그려 보겠습니다. 따라서 우리의 경우 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

그래프에서 우리는 의존성을 그리는 데 익숙합니다. 따라서:

표현의 본질은 변하지 않았습니다. 첫 번째 항목에서 우리는 기하 수열 구성원의 값이 서수에 의존한다는 것을 보여 주었고 두 번째 항목에서는 단순히 기하 수열 구성원의 값을 다음과 같이 취했습니다. , 서수를 as가 아닌 as로 지정하였다. 이제 남은 일은 그래프를 작성하는 것뿐입니다.
당신이 무엇을 얻었는지 보자. 제가 생각해낸 그래프는 다음과 같습니다.

당신이 보여요? 함수는 감소하고 0이 되는 경향이 있지만 절대 교차하지 않으므로 무한히 감소합니다. 그래프에 점을 표시하고 동시에 좌표와 의미를 표시해 보겠습니다.

첫 번째 항도 동일한 경우 기하학적 수열의 그래프를 개략적으로 묘사해 보십시오. 이전 그래프와 차이점이 무엇인지 분석해 보세요.

당신은 관리 했습니까? 제가 생각해낸 그래프는 다음과 같습니다.

이제 기하수열 주제의 기본 사항을 완전히 이해했으므로 기하수열이 무엇인지, 용어를 찾는 방법을 알고 무한히 감소하는 기하수열이 무엇인지 알았으므로 주요 속성으로 넘어가겠습니다.

기하학적 진행의 속성.

등차수열 항의 속성을 기억하시나요? 예, 예, 이 진행 조건의 이전 및 후속 값이 있을 때 특정 진행 수의 값을 찾는 방법입니다. 기억 나니? 이것:

이제 우리는 기하학적 수열의 용어에 대해서도 똑같은 질문에 직면합니다. 그러한 공식을 도출하기 위해 그림을 그리고 추론을 시작합시다. 보시다시피 매우 쉽습니다. 잊어버린 경우 직접 꺼낼 수 있습니다.

우리가 알고 있는 또 다른 간단한 기하학적 진행을 살펴보겠습니다. 찾는 방법? 산술진행을 사용하면 쉽고 간단하지만 여기서는 어떻습니까? 사실, 기하학에도 복잡한 것은 없습니다. 공식에 따라 우리에게 주어진 각 값을 적어두면 됩니다.

이제 우리는 이에 대해 어떻게 해야 합니까? 예, 매우 간단합니다. 먼저, 이러한 공식을 그림으로 표현하고 값을 얻기 위해 다양한 조작을 시도해 보겠습니다.

우리에게 주어진 숫자를 추상화하고 공식을 통한 표현에만 집중합시다. 주황색으로 강조 표시된 값을 찾아서 인접한 용어를 알아야 합니다. 그들과 함께 다양한 행동을 수행해 보도록 하겠습니다. 그 결과를 얻을 수 있습니다.

덧셈.
두 가지 표현식을 추가해 보면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

보시다시피 이 표현에서는 어떤 식으로도 표현할 수 없으므로 다른 옵션인 빼기를 시도해 보겠습니다.

빼기.

보시다시피 이것도 표현할 수 없습니다. 따라서 이 표현들을 서로 곱해 보겠습니다.

곱셈.

이제 우리에게 주어진 기하학적 진행의 항을 찾아야 하는 것과 비교하여 곱함으로써 우리가 가지고 있는 것을 주의 깊게 살펴보십시오.

내가 무슨 말을하는지 맞춰보세요? 올바르게 찾으려면 원하는 숫자에 인접한 기하학적 진행 숫자의 제곱근을 서로 곱해야 합니다.

여기요. 당신은 기하학적 진행의 속성을 직접 도출했습니다. 이 공식을 일반적인 형태로 작성해 보세요. 일어난?

조건을 잊으셨나요? 왜 중요한지 생각해 보세요. 예를 들어 직접 계산해 보세요. 이 경우 어떻게 될까요? 맞습니다. 공식은 다음과 같기 때문에 완전히 넌센스입니다.

따라서 이 제한 사항을 잊지 마십시오.

이제 그것이 무엇인지 계산해 봅시다

정답 - ! 계산 중에 가능한 두 번째 값을 잊지 않았다면 훌륭한 것이며 즉시 훈련으로 넘어갈 수 있습니다. 잊어버린 경우 아래 설명을 읽고 두 근을 모두 적어야 하는 이유에 주의하세요. 대답에.

두 가지 기하학적 진행을 모두 그려 보겠습니다. 하나는 값이고 다른 하나는 값이고 둘 다 존재할 권리가 있는지 확인합니다.

그러한 기하학적 수열이 존재하는지 여부를 확인하려면 주어진 항이 모두 동일한지 확인해야 합니까? 첫 번째와 두 번째 경우에 대해 q를 계산합니다.

왜 우리가 두 개의 답변을 작성해야 하는지 아시나요? 찾고 있는 용어의 부호는 그것이 긍정적인지 부정적인지에 따라 달라지기 때문입니다! 그리고 그것이 무엇인지 모르기 때문에 두 답 모두 플러스와 마이너스로 작성해야 합니다.

이제 주요 사항을 숙지하고 기하학적 진행의 속성에 대한 공식을 도출했으므로 찾고 알고 알고

귀하의 답변을 올바른 답변과 비교하십시오.

원하는 숫자에 인접한 기하학적 진행 조건의 값이 아니라 그로부터 등거리의 값이 주어지면 어떻게 생각하십니까? 예를 들어, 우리는 찾기와 주어진 그리고가 필요합니다. 이 경우에 우리가 도출한 공식을 사용할 수 있나요? 원래 공식을 도출할 때 했던 것처럼 각 값이 무엇으로 구성되어 있는지 설명하면서 같은 방식으로 이 가능성을 확인하거나 반박해 보세요.
무엇을 얻었나요?

이제 다시 주의 깊게 살펴보세요.
이에 따라:

이것으로부터 우리는 공식이 작동한다는 결론을 내릴 수 있습니다 이웃뿐만 아니라기하학적 수열의 원하는 항뿐만 아니라 등거리회원들이 찾고 있는 것 중에서.

따라서 초기 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

즉, 첫 번째 경우에 우리가 그렇게 말했다면 이제는 더 작은 자연수와 같을 수 있다고 말합니다. 가장 중요한 것은 주어진 두 숫자 모두에 대해 동일하다는 것입니다.

구체적인 예를 들어 연습하세요. 각별히 주의하세요!

1. , . 찾다.
2. , . 찾다.
3. , . 찾다.

결정했다? 나는 당신이 매우 세심하고 작은 문제를 알아차렸기를 바랍니다.

결과를 비교해 보겠습니다.

처음 두 경우에는 위 공식을 차분하게 적용하여 다음 값을 얻습니다.

세 번째 경우, 우리에게 주어진 숫자의 일련번호를 주의 깊게 조사한 결과, 우리는 그것이 우리가 찾고 있는 숫자와 등거리에 있지 않다는 것을 알게 됩니다. 이전 숫자이지만 특정 위치에서 제거되었으므로 다음과 같습니다. 수식을 적용할 수 없습니다.

어떻게 해결하나요? 실제로는 보이는 것만큼 어렵지 않습니다! 우리에게 주어진 각 숫자와 우리가 찾고 있는 숫자가 무엇으로 구성되어 있는지 적어 봅시다.

그래서 우리는 가지고 있습니다. 우리가 그들로 무엇을 할 수 있는지 볼까요? 나누어서 하는 것이 좋습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

데이터를 다음 공식으로 대체합니다.

우리가 찾을 수 있는 다음 단계는 - 이를 위해 결과 숫자의 세제곱근을 구해야 합니다.

이제 우리가 가지고 있는 것을 다시 살펴보겠습니다. 우리는 그것을 가지고 있지만 찾아야 하며, 결과적으로 다음과 같습니다.

계산에 필요한 모든 데이터를 찾았습니다. 공식으로 대체하십시오 :

우리의 대답: .

다른 유사한 문제를 직접 해결해 보세요.
주어진 값: ,
찾다:

얼마를 받았나요? 나는 가지고있다 - .

보시다시피 본질적으로 당신은 필요합니다 공식 하나만 기억하세요- . 나머지는 언제든지 어려움 없이 직접 철회하실 수 있습니다. 이렇게 하려면 종이에 가장 간단한 기하학적 수열을 쓰고 위에서 설명한 공식에 따라 각 숫자가 무엇인지 적어보세요.

기하학적 수열 항의 합입니다.

이제 주어진 간격에서 기하급수 항의 합을 빠르게 계산할 수 있는 공식을 살펴보겠습니다.

유한 기하 수열 항의 합에 대한 공식을 도출하려면 위 방정식의 모든 부분에 다음을 곱합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

주의 깊게 보십시오. 마지막 두 공식의 공통점은 무엇입니까? 맞습니다, 예를 들어 첫 번째와 마지막 멤버를 제외한 일반 멤버 등입니다. 2번째 방정식에서 1번째 방정식을 빼도록 합시다. 무엇을 얻었나요?

이제 공식을 통해 기하학적 진행의 항을 표현하고 결과 표현식을 마지막 공식으로 대체합니다.

표현식을 그룹화합니다. 당신은 다음을 얻어야합니다 :

이제 해야 할 일은 다음과 같이 표현하는 것뿐입니다.

따라서 이 경우에는.

만약 그러하다면? 그러면 어떤 공식이 작동합니까? 기하학적 진행을 상상해보십시오. 그녀는 어떤가요? 일련의 동일한 숫자가 정확하므로 공식은 다음과 같습니다.

산술수열과 기하수열에 관한 많은 전설이 있습니다. 그 중 하나가 체스의 창시자 세트의 전설이다.

많은 사람들은 체스 게임이 인도에서 발명되었다는 것을 알고 있습니다. 힌두 왕이 그녀를 만났을 때, 그는 그녀의 재치와 그녀의 다양한 입장에 기뻐했습니다. 그것이 그의 신하 중 한 사람에 의해 발명되었다는 것을 알게 된 왕은 그에게 개인적으로 보상하기로 결정했습니다. 그는 발명가를 불러 자신이 원하는 모든 것을 요구하라고 명령했으며 가장 능숙한 욕구까지도 충족하겠다고 약속했습니다.

세타는 생각할 시간을 달라고 요청했고, 다음날 세타가 왕 앞에 나타났을 때 전례 없는 겸손한 요청으로 왕을 놀라게 했습니다. 그는 체스판의 첫 번째 칸에는 밀 한 톨, 두 번째 칸에는 밀 한 톨, 세 번째, 네 번째 칸에는 밀 한 톨 등을 달라고 요청했습니다.

왕은 노하여 그 종의 요구가 왕의 관대함에 합당하지 않다며 셋을 쫓아내되 그 종이 네모 반에 해당하는 곡식을 주겠다고 약속했습니다.

이제 질문입니다. 기하학적 수열 항의 합에 대한 공식을 사용하여 Seth가 받아야 하는 곡물의 수를 계산해 보세요.

추론을 시작합시다. 조건에 따라 Seth는 체스판의 첫 번째 사각형, 두 번째, 세 번째, 네 번째 등을 위해 밀알을 요청했기 때문에 문제는 기하학적 진행에 관한 것임을 알 수 있습니다. 이 경우에는 무엇이 동일합니까?
오른쪽.

체스판의 총 제곱입니다. 각각 . 우리는 모든 데이터를 가지고 있으며, 남은 것은 이를 공식에 연결하고 계산하는 것뿐입니다.

주어진 숫자의 대략적인 "척도"를 상상하기 위해 정도의 속성을 사용하여 변환합니다.

물론 원한다면 계산기를 사용하여 어떤 숫자가 나올지 계산할 수 있습니다. 그렇지 않은 경우 제 말을 따라야 합니다. 표현식의 최종 값은 다음과 같습니다.
그건:

1조 1000조 1000조 1000억 1000만 1000억.

휴) 이 숫자가 얼마나 엄청난지 상상하고 싶다면 전체 곡물량을 수용하는 데 얼마나 큰 헛간이 필요한지 추정해 보세요.
헛간의 높이가 m이고 너비가 m인 경우 길이는 km만큼 연장되어야 합니다. 지구에서 태양까지의 거리는 2배입니다.

만약 왕이 수학에 능했다면 그는 과학자 자신을 초대하여 곡물을 세어 보도록 초대했을 수도 있습니다. 왜냐하면 백만 개의 곡물을 세려면 적어도 하루는 지칠 줄 모르는 계산이 필요하기 때문입니다. 평생 동안 계산되어야 할 것입니다.

이제 기하수열 항의 합과 관련된 간단한 문제를 풀어보겠습니다.
5A반 Vasya 학생은 독감에 걸렸지만 계속 학교에 다니고 있습니다. 매일 Vasya는 두 사람을 감염시키고, 그 사람은 다시 두 사람을 더 감염시키는 식으로 진행됩니다. 수업에는 사람만 있어요. 며칠 안에 학급 전체가 독감에 걸리게 됩니까?

따라서 기하학적 진행의 첫 번째 항은 Vasya, 즉 사람입니다. 기하진행의 3번째 항은 그가 도착 첫날 감염시킨 두 사람이다. 진행 기간의 총합은 5A 학생 수와 같습니다. 따라서 우리는 다음과 같은 진행 상황에 대해 이야기합니다.

우리의 데이터를 기하학적 수열의 항의 합에 대한 공식으로 대체해 보겠습니다.

며칠 안에 학급 전체가 아플 것입니다. 수식과 숫자를 믿지 못하시나요? 학생들의 "감염"을 직접 묘사해 보십시오. 일어난? 나에게 어떻게 보이는지 보세요:

학생들이 한 사람씩 감염되고 학급에 한 사람만 있었다면 학생들이 독감에 걸릴 때까지 며칠이 걸릴지 스스로 계산해 보십시오.

어떤 가치를 얻었나요? 하루가 지나면 모두가 아프기 시작했다는 것이 밝혀졌습니다.

보시다시피, 그러한 작업과 그에 대한 그림은 각 후속 작업이 새로운 사람들을 "가져오는" 피라미드와 유사합니다. 그러나 조만간 후자가 누구도 끌 수 없는 순간이 옵니다. 우리의 경우 클래스가 격리되어 있다고 상상하면 해당 클래스의 사람이 체인을 닫습니다(). 따라서 한 사람이 다른 참가자 두 명을 데려오면 돈이 주어지는 금융 피라미드에 연루된 경우 그 사람(또는 일반적으로)은 누구도 데려오지 않으므로 이 금융 사기에 투자한 모든 것을 잃게 됩니다.

위에서 말한 모든 것은 감소하거나 증가하는 기하 수열을 의미하지만, 기억하시는 것처럼 무한히 감소하는 기하 수열이라는 특별한 유형이 있습니다. 회원의 합계를 계산하는 방법은 무엇입니까? 그리고 이러한 유형의 진행에는 왜 특정 특성이 있습니까? 함께 알아 봅시다.

먼저, 우리의 예에서 무한히 감소하는 기하학적 수열의 그림을 다시 살펴보겠습니다.

이제 조금 더 일찍 도출된 기하수열의 합에 대한 공식을 살펴보겠습니다.
또는

우리는 무엇을 위해 노력하고 있습니까? 맞습니다. 그래프는 0이 되는 경향이 있음을 보여줍니다. 즉, at은 우리가 거의 얻을 표현식을 계산할 때 각각 거의 동일할 것입니다. 이와 관련하여 우리는 무한히 감소하는 기하학적 수열의 합을 계산할 때 이 괄호가 동일하므로 무시할 수 있다고 믿습니다.

- 공식은 무한히 감소하는 기하학적 수열 항의 합입니다.

중요한!조건이 명시적으로 합을 찾아야 한다고 명시하는 경우에만 무한히 감소하는 기하 수열의 항의 합에 대한 공식을 사용합니다. 무한회원 수.

특정 수 n이 지정되면 or인 경우에도 n항의 합에 대한 공식을 사용합니다.

이제 연습해 봅시다.

1. and를 사용하여 기하수열의 첫 번째 항의 합을 구합니다.
2. and를 사용하여 무한히 감소하는 기하수열 항의 합을 구합니다.

각별히 조심하시길 바랍니다. 답변을 비교해 보겠습니다.

이제 기하학적 수열에 대한 모든 것을 알았으니 이제 이론에서 실습으로 넘어갈 시간입니다. 시험에서 직면하게 되는 가장 일반적인 기하학적 수열 문제는 복리 계산 문제입니다. 이것이 우리가 이야기할 것들입니다.

복리 계산에 문제가 있습니다.

소위 복리 공식에 대해 들어보셨을 것입니다. 무슨 뜻인지 이해하시나요? 그렇지 않은 경우 프로세스 자체를 이해하면 기하학적 진행이 프로세스와 어떤 관련이 있는지 즉시 이해할 수 있으므로 알아봅시다.

우리 모두는 은행에 가서 예금에 대한 다양한 조건이 있다는 것을 알고 있습니다. 여기에는 기간, 추가 서비스 및 이자를 포함하며 이를 계산하는 두 가지 다른 방법(간단함과 복잡함)이 포함됩니다.

와 함께 단순한 호기심모든 것이 다소 명확합니다. 예금 기간이 끝나면 이자가 한 번 발생합니다. 즉, 1년 동안 100루블을 예치한다고 하면 연말에만 적립됩니다. 따라서 예금이 끝나면 루블을 받게됩니다.

복리- 발생하는 옵션입니다. 이자 자본화, 즉. 입금액에 추가하고 초기 입금액이 아닌 누적 입금액에서 소득을 계산합니다. 대문자 사용은 지속적으로 발생하지 않지만 일정 빈도로 발생합니다. 일반적으로 이러한 기간은 동일하며 대부분의 은행에서는 월, 분기 또는 연도를 사용합니다.

우리가 매년 동일한 루블을 입금하지만 예금을 월 단위로 자본화한다고 가정해 보겠습니다. 우리는 무엇을하고 있습니까?

여기 다 이해되시나요? 그렇지 않은 경우 단계별로 알아 보겠습니다.

우리는 루블을 은행에 가져 왔습니다. 월말까지 우리 계좌에 루블과 그에 대한 이자로 구성된 금액이 있어야 합니다. 즉, 다음과 같습니다.

동의하다?

대괄호에서 꺼내면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

동의하세요. 이 공식은 이미 처음에 작성한 것과 더 유사합니다. 이제 남은 것은 백분율을 계산하는 것뿐입니다.

문제 설명에서 우리는 연간 요율에 대해 설명합니다. 아시다시피, 우리는 곱하지 않습니다. 백분율을 소수로 변환합니다. 즉,

오른쪽? 이제 그 숫자는 어디서 왔는가? 매우 간단합니다!
반복합니다. 문제 설명에는 다음과 같은 내용이 나와 있습니다. 연간발생하는 이자 월간 간행물. 아시다시피, 그에 따라 1년 안에 은행은 매달 연간 이자의 일부를 우리에게 청구할 것입니다.

깨달았나요? 이제 이자가 매일 계산된다고 말하면 공식의 이 부분이 어떻게 보일지 적어 보십시오.
당신은 관리 했습니까? 결과를 비교해 보겠습니다.

잘하셨어요! 우리의 작업으로 돌아가 보겠습니다. 누적 입금액에 대해 이자가 발생한다는 점을 고려하여 두 번째 달에 우리 계좌에 얼마가 적립될지 기록합니다.
내가 얻은 것은 다음과 같습니다.

즉, 다음과 같습니다.

나는 당신이 이미 패턴을 발견하고 이 모든 것에서 기하학적인 진행을 보았다고 생각합니다. 그 회원이 얼마인지, 즉 월말에 우리가 받게 될 금액을 적으십시오.
했다? 점검 해보자!

보시다시피, 단리로 1년 동안 은행에 돈을 넣으면 루블을 받고, 복리로 1년 동안 은행에 돈을 넣으면 루블을 받게 됩니다. 이점은 작지만 이는 해당 연도에만 발생하지만 장기간 자본화는 훨씬 더 수익성이 높습니다.

복리와 관련된 또 다른 유형의 문제를 살펴보겠습니다. 당신이 알아낸 것들은 당신에게 초보적인 일이 될 것입니다. 따라서 작업은 다음과 같습니다.

Zvezda 회사는 2000년에 달러 자본으로 업계에 투자하기 시작했습니다. 2001년부터 매년 전년도 자본금과 맞먹는 수익을 냈다. 이익이 유통에서 인출되지 않으면 2003년 말에 Zvezda 회사는 얼마나 많은 이익을 얻게 됩니까?

2000년 Zvezda 회사의 자본.
- 2001년 Zvezda 회사의 자본.
- 2002년 Zvezda 회사의 자본.
- 2003년 Zvezda 회사의 자본.

아니면 간단히 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

우리의 경우:

2000년, 2001년, 2002년, 2003년.

각기:
루블
이 문제에서는 백분율이 매년 주어지고 매년 계산되기 때문에 by 또는 by로 나누기가 없다는 점에 유의하십시오. 즉, 복리 문제를 읽을 때 몇 퍼센트가 주어지고 어느 기간에 계산되는지주의 깊게 확인한 다음 계산을 진행하십시오.
이제 기하학적 진행에 대한 모든 것을 알게 되었습니다.

훈련.

1. 그것이 알려져 있다면 기하수열의 항을 구하고,
2. 그것이 알려진 경우, 기하수열의 첫 번째 항의 합을 구하고,
3. MDM Capital 회사는 2003년에 달러 자본으로 업계에 투자하기 시작했습니다. 2004년부터 매년 전년도 자본금과 맞먹는 수익을 냈다. MSK 현금 흐름 회사는 2005년에 $10,000 규모로 업계에 투자하기 시작했으며 2006년에 $10,000 규모의 수익을 내기 시작했습니다. 이윤이 유통에서 인출되지 않았다면 2007년 말에 한 회사의 자본금은 다른 회사보다 몇 달러나 더 큽니까?

답변:

1. 문제 설명에서는 진행이 무한하다고 말하지 않고 특정 수의 용어의 합을 찾아야하므로 계산은 다음 공식에 따라 수행됩니다.
2. 
   MDM 캐피탈 회사:

   2003년, 2004년, 2005년, 2006년, 2007년.
   - 100%, 즉 2배 증가합니다.
   각기:
   루블
   MSK 현금 흐름 회사:

   2005년, 2006년, 2007년.
   - 즉, 배만큼 증가합니다.
   각기:
   루블
   루블

요약해보자.

1) 기하수열( )은 수열로, 첫 번째 항은 0이 아니며, 두 번째 항부터 시작하는 각 항은 이전 항과 같고 같은 수를 곱합니다. 이 숫자를 기하학적 수열의 분모라고 합니다.

2) 기하수열 항의 방정식은 이다.

3) and를 제외한 모든 값을 취할 수 있습니다.

• 그렇다면 진행의 모든 ​​후속 용어는 동일한 부호를 갖습니다. 긍정적이다;
• 그렇다면 진행의 모든 ​​후속 용어 대체 징후;
• 언제 - 진행을 무한 감소라고 합니다.

4) , with - 기하학적 진행의 속성(인접 용어)

또는
, at (등거리 항)

찾으면 잊지 말고 두 가지 대답이 있어야합니다.

예를 들어,

5) 기하학적 진행의 항의 합은 다음 공식으로 계산됩니다.
또는

진행이 무한히 감소하는 경우:
또는

중요한!무한한 수의 항의 합을 찾아야 한다는 조건이 명시적으로 명시된 경우에만 무한히 감소하는 기하 수열의 항의 합에 대한 공식을 사용합니다.

6) 복리 문제는 자금이 유통에서 인출되지 않은 경우 기하급수식의 번째 항 공식을 사용하여 계산됩니다.

기하학적 진행. 주요 사항에 대해 간략하게

기하학적 진행( )는 수열로, 첫 번째 항은 0이 아니며 두 번째 항부터 시작하는 각 항은 이전 항과 동일하며 동일한 수를 곱합니다. 이 번호는 기하학적 진행의 분모.

기하학적 진행의 분모 and를 제외한 모든 값을 사용할 수 있습니다.

• 그렇다면 진행의 모든 ​​후속 용어가 동일한 부호를 갖는 경우 - 양수입니다.
• 그렇다면 진행의 모든 ​​후속 구성원은 기호를 번갈아 표시합니다.
• 언제 - 진행을 무한 감소라고 합니다.

기하학적 진행의 방정식 - .

기하수열의 항의 합다음 공식으로 계산됩니다.
또는

특정 시리즈를 고려해 봅시다.

7 28 112 448 1792...

해당 요소의 가치가 이전 요소보다 정확히 4배 더 크다는 것은 분명합니다. 이는 이 시리즈가 진보적이라는 것을 의미합니다.

기하학적 수열은 무한한 숫자 시퀀스로, 주요 특징은 특정 숫자를 곱하여 이전 숫자에서 다음 숫자를 얻는다는 것입니다. 이는 다음 수식으로 표현됩니다.

a z +1 =a z ·q, 여기서 z는 선택한 요소의 번호입니다.

따라서 z ∈ N입니다.

학교에서 기하학적 진행을 공부하는 기간은 9학년입니다. 예제는 개념을 이해하는 데 도움이 됩니다.

0.25 0.125 0.0625...

이 공식을 바탕으로 진행의 분모는 다음과 같이 찾을 수 있습니다.

q와 bz 모두 0이 될 수 없습니다. 또한 진행의 각 요소는 0이 되어서는 안 됩니다.

따라서 일련의 다음 숫자를 찾으려면 마지막 숫자에 q를 곱해야 합니다.

이 진행을 설정하려면 첫 번째 요소와 분모를 지정해야 합니다. 그 후에는 후속 용어와 그 합계를 찾을 수 있습니다.

품종

q와 a1에 따라 이 진행은 여러 유형으로 나뉩니다.

• a 1과 q가 모두 1보다 큰 경우 이러한 수열은 각 후속 요소와 함께 증가하는 기하학적 수열입니다. 이에 대한 예가 아래에 나와 있습니다.

예: a 1 =3, q=2 - 두 매개변수 모두 1보다 큽니다.

그런 다음 숫자 순서는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

3 6 12 24 48 ...

• 만약 |q| 는 1보다 작습니다. 즉, 곱셈은 나눗셈과 같습니다. 그런 다음 비슷한 조건의 수열은 감소하는 기하학적 수열입니다. 이에 대한 예가 아래에 나와 있습니다.

예: a 1 =6, q=1/3 - a 1은 1보다 크고 q는 작습니다.

그러면 숫자 순서는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

6 2 2/3 ... - 모든 요소는 그 뒤에 오는 요소보다 3배 더 큽니다.

• 교대 표시. 만약 q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

예: a 1 = -3, q = -2 - 두 매개변수 모두 0보다 작습니다.

그런 다음 숫자 순서는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

3, 6, -12, 24,...

방식

기하수열을 편리하게 사용하기 위한 많은 공식이 있습니다:

• Z-항 공식. 이전 숫자를 계산하지 않고 특정 숫자 아래의 요소를 계산할 수 있습니다.

예:큐 = 3, ㅏ 1 = 4. 진행의 네 번째 요소를 계산해야 합니다.

해결책:ㅏ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• 수량이 다음과 같은 첫 번째 요소의 합 지. 시퀀스의 모든 요소의 합을 계산할 수 있습니다.az포함한.

이후 (1-큐)가 분모에 있으면 (1 - q)≠ 0이므로 q는 1과 같지 않습니다.

참고: q=1이면 진행은 무한히 반복되는 일련의 숫자가 됩니다.

기하수열의 합, 예:ㅏ 1 = 2, 큐= -2. S5를 계산합니다.

해결책:에스 5 = 22 - 공식을 사용한 계산.

• 경우 금액 |큐| < 1 и если z стремится к бесконечности.

예:ㅏ 1 = 2 , 큐= 0.5. 금액을 찾아보세요.

해결책:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

일부 속성:

• 특징적인 속성. 다음과 같은 경우 누구에게나 작동지, 주어진 숫자 계열은 기하학적 수열입니다.

az 2 = az -1 · ㅏz+1

• 또한, 기하 수열에서 숫자의 제곱은 해당 요소에서 등거리에 있는 경우 주어진 계열의 다른 두 숫자의 제곱을 더하여 구합니다.

az 2 = az - 티 2 + az + 티 2 , 어디티- 이 숫자들 사이의 거리.

• 강요q가 다르다한 번.
• 수열 요소의 로그도 수열을 형성하지만 산술적인 것, 즉 각각은 이전 것보다 특정 숫자만큼 큽니다.

몇 가지 고전적인 문제의 예

기하학적 진행이 무엇인지 더 잘 이해하려면 클래스 9에 대한 솔루션이 포함된 예제가 도움이 될 수 있습니다.

• 정황:ㅏ 1 = 3, ㅏ 3 = 48. 찾기큐.

해결 방법: 각 후속 요소는 이전 요소보다 큽니다.큐 한 번.일부 요소를 다른 요소의 관점에서 분모를 사용하여 표현하는 것이 필요합니다.

따라서,ㅏ 3 = 큐 2 · ㅏ 1

대체할 때큐= 4

• 정황:ㅏ 2 = 6, ㅏ 3 = 12. S 6을 계산합니다.

해결책:이렇게 하려면 첫 번째 요소인 q를 찾아 공식에 대입하면 됩니다.

ㅏ 3 = 큐· ㅏ 2 , 따라서,큐= 2

2 = q · 1 ,그렇기 때문에 1 = 3

에스 6 = 189

• · ㅏ 1 = 10, 큐= -2. 진행의 네 번째 요소를 찾으세요.

해결책: 이렇게 하려면 첫 번째 요소와 분모를 통해 네 번째 요소를 표현하는 것으로 충분합니다.

4 = q 3· 1 = -80

적용 예:

• 은행 고객은 10,000 루블의 금액을 예금했으며, 이 조건에 따라 고객은 매년 그 중 6%를 원금에 추가하게 됩니다. 4년 후 계좌에 얼마의 돈이 남게 될까요?

해결책: 초기 금액은 10,000루블입니다. 이는 투자 후 1년이 지나면 계좌의 금액이 10,000 + 10,000이 된다는 것을 의미합니다. · 0.06 = 10000 1.06

따라서 다음 해 이후 계정의 금액은 다음과 같이 표시됩니다.

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

즉, 매년 금액이 1.06배씩 증가하는 셈이다. 이는 4년 후 계좌의 자금 금액을 찾으려면 첫 번째 요소가 10,000이고 분모가 1.06인 진행의 네 번째 요소를 찾는 것으로 충분하다는 것을 의미합니다.

에스 = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

합계 계산 문제의 예:

기하학적 수열은 다양한 문제에 사용됩니다. 합계를 구하는 예는 다음과 같습니다.

ㅏ 1 = 4, 큐= 2, 계산하다에스 5.

해결책: 계산에 필요한 모든 데이터가 알려져 있으므로 이를 공식에 대체하기만 하면 됩니다.

에스 5 = 124

• ㅏ 2 = 6, ㅏ 3 = 18. 처음 6개 요소의 합을 계산합니다.

해결책:

기하학에서. 진행, 각 다음 요소는 이전 요소보다 q배 더 큽니다. 즉, 요소를 알아야 하는 합계를 계산하려면ㅏ 1 분모큐.

ㅏ 2 · 큐 = ㅏ 3

큐 = 3

마찬가지로, 당신은 찾아야합니다ㅏ 1 , 알고ㅏ 2 그리고큐.

ㅏ 1 · 큐 = ㅏ 2

1 =2

에스 6 = 728.

기하수열의 n번째 항에 대한 공식은 매우 간단합니다. 의미와 일반적인 모습 모두. 그러나 n번째 항의 공식에는 매우 원시적인 것부터 매우 심각한 것까지 모든 종류의 문제가 있습니다. 그리고 우리가 아는 과정에서 우리는 두 가지 모두를 확실히 고려할 것입니다. 글쎄, 알아 보자?)

그래서 우선 실제로는 공식N

여기 그녀가 있습니다:

비앤 = 비 1 · qn -1

공식은 공식일 뿐, 초자연적인 것은 아닙니다. 유사한 공식보다 훨씬 더 간단하고 컴팩트해 보입니다. 공식의 의미도 펠트 부츠만큼 간단합니다.

이 공식을 사용하면 ITS NUMBER로 기하수열의 모든 멤버를 찾을 수 있습니다. N".

보시다시피, 그 의미는 산술 진행과 완전히 유사합니다. 우리는 숫자 n을 알고 있습니다. 이 숫자 아래에 있는 항을 셀 수도 있습니다. 우리가 원하는 어느 쪽이든. "q"를 여러 번 반복해서 곱하지 않고 말이죠. 그게 요점입니다.)

나는 이 수준의 진행 작업에서 공식에 포함된 모든 양이 이미 명확해야 한다는 것을 이해하지만, 여전히 각 양을 해독하는 것이 나의 의무라고 생각합니다. 혹시라도.

자, 여기 있습니다:

비 1 – 첫 번째기하학적 진행의 용어;

큐 – ;

N– 회원번호

비앤 – n 번째 (N일)기하학적 진행의 용어.

이 공식은 모든 기하학적 진행의 네 가지 주요 매개변수를 연결합니다. 비N, 비 1 , 큐그리고 N. 그리고 모든 진행 문제는 이 네 가지 핵심 수치를 중심으로 전개됩니다.

“어떻게 제거되나요?”– 궁금한 질문이 들립니다. 초등학생! 바라보다!

무엇과 동일합니까? 두번째진행 멤버? 괜찮아요! 우리는 직접 작성합니다:

b 2 = b 1 ·q

세 번째 멤버는요? 그것도 문제가 되지 않습니다! 우리는 두 번째 항을 곱합니다 다시 한 번큐.

이와 같이:

B3 = b2q

이제 두 번째 항이 b 1 ·q와 동일하다는 것을 기억하고 다음 식을 등식으로 대체해 보겠습니다.

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

우리는 다음을 얻습니다:

비 3 = b 1 ·q 2

이제 러시아어로 된 항목을 읽어보겠습니다. 제삼항은 첫 번째 항에 q를 곱한 값과 같습니다. 두번째도. 알아 들었 니? 아직 아님? 좋습니다. 한 단계만 더 진행하세요.

네 번째 용어는 무엇입니까? 모두 같은! 곱하다 이전의(즉, 세 번째 용어) q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

총:

비 4 = b 1 ·q 3

그리고 다시 러시아어로 번역합니다. 네번째항은 첫 번째 항에 q를 곱한 값과 같습니다. 제삼도.

등등. 그래서 어때? 패턴을 파악하셨나요? 예! 임의의 숫자를 갖는 임의의 항에 대해 동일한 인수 q의 수(즉, 분모의 차수)는 항상 다음과 같습니다. 원하는 멤버 수보다 한 명 적음N.

따라서 우리의 공식은 변형 없이 다음과 같습니다.

b n =비 1 · qn -1

그게 다야.)

그럼 문제를 해결해 볼까요?)

수식 문제 해결N기하학적 수열의 번째 항.

평소처럼 공식을 직접 적용해 보겠습니다. 일반적인 문제는 다음과 같습니다.

기하학적 수열에서는 다음이 알려져 있습니다. 비 1 = 512 및 큐 = -1/2. 수열의 열 번째 항을 구합니다.

물론 이 문제는 아무런 공식 없이도 풀 수 있습니다. 기하학적 진행의 의미에서 직접적으로. 하지만 우리는 n번째 항의 공식을 준비해야 합니다. 그렇죠? 여기서 우리는 워밍업 중입니다.

공식을 적용하기 위한 데이터는 다음과 같습니다.

첫 번째 멤버는 알려져 있다. 512호입니다.

비 1 = 512.

진행의 분모는 다음과 같이 알려져 있습니다. 큐 = -1/2.

남은 것은 멤버 n의 수가 몇인지 알아내는 것뿐입니다. 괜찮아요! 10번째 학기에 관심이 있나요? 그래서 우리는 일반식에 n 대신 10을 대입합니다.

그리고 산술을 신중하게 계산하십시오.

답: -1

보시다시피, 진행의 10번째 항은 마이너스로 나타났습니다. 놀라운 것은 없습니다. 진행 분모는 -1/2입니다. 부정적인숫자. 그리고 이것은 우리의 발전의 징후가 번갈아 나타난다는 것을 말해줍니다. 그렇습니다.)

여기에서는 모든 것이 간단합니다. 여기에도 비슷한 문제가 있지만 계산 측면에서는 조금 더 복잡합니다.

기하학적 수열에서는 다음이 알려져 있습니다.

비 1 = 3

수열의 열세 번째 항을 구합니다.

모든 것이 동일합니다. 이번에는 진행의 분모가 비합리적인. 2의 루트입니다. 글쎄요. 괜찮습니다. 이 공식은 보편적인 것이므로 모든 숫자를 처리할 수 있습니다.

우리는 다음 공식에 따라 직접 작업합니다.

물론 공식은 제대로 작동했지만... 일부 사람들은 여기서 막히게 됩니다. 다음에 루트로 무엇을 해야 할까요? 루트를 12승으로 높이는 방법은 무엇입니까?

어떻게... 물론 모든 공식은 좋은 것이지만 이전의 모든 수학에 대한 지식이 취소되지는 않는다는 것을 이해해야 합니다! 구축하는 방법? 예, 학위의 속성을 기억하세요! 루트를 다음으로 바꾸자 분수도– 학위를 어느 정도 올리기 위한 공식에 따라.

이와 같이:

답: 192

그리고 그게 다야.)

n번째 항 공식을 직접 적용할 때 가장 어려운 점은 무엇입니까? 예! 가장 큰 어려움은 학위로 일해요!즉, 음수, 분수, 근 및 유사한 구조를 거듭제곱하는 것입니다. 그래서 이것 때문에 고민이신 분들은 정도와 그 속성을 다시 한번 복습해주세요! 그렇지 않으면 이 주제도 느려질 것입니다. 예...)

이제 일반적인 검색 문제를 해결해 보겠습니다. 공식의 요소 중 하나, 다른 모든 것이 주어진 경우. 이러한 문제를 성공적으로 해결하기 위한 레시피는 균일하고 매우 간단합니다. 공식을 쓰다N-번째 멤버 종합!조건 옆 노트북에 바로 있습니다. 그리고 그 조건을 통해 우리에게 주어진 것과 부족한 것이 무엇인지 알아냅니다. 그리고 우리는 수식을 통해 원하는 값을 표현합니다. 모두!

예를 들어, 그런 무해한 문제입니다.

분모가 3인 기하수열의 다섯 번째 항은 567입니다. 이 수열의 첫 번째 항을 구하세요.

복잡한 것은 없습니다. 우리는 주문에 따라 직접 작업합니다.

n번째 항의 공식을 작성해 봅시다!

비앤 = 비 1 · qn -1

우리에게 주어진 것은 무엇입니까? 먼저, 진행의 분모는 다음과 같습니다. 큐 = 3.

게다가 우리에게 주어진 다섯 번째 멤버: 비 5 = 567 .

모두? 아니요! 우리에게는 숫자 n도 주어졌습니다! 이것은 5입니다: n = 5.

녹음 내용을 이미 이해하셨기를 바랍니다. 비 5 = 567 두 개의 매개변수가 동시에 숨겨져 있습니다. 이는 다섯 번째 항 자체(567)와 해당 숫자(5)입니다. 이에 대해서는 비슷한 강의에서 이미 이야기했지만 여기서도 언급할 가치가 있다고 생각합니다.)

이제 데이터를 공식으로 대체합니다.

567 = 비 1 ·3 5-1

우리는 산술을 수행하고 단순화하여 간단한 선형 방정식을 얻습니다.

81 비 1 = 567

우리는 다음을 해결하고 얻습니다.

비 1 = 7

보시다시피 첫 번째 용어를 찾는 데 문제가 없습니다. 하지만 분모를 검색할 때 큐그리고 숫자 N놀라움도 있을 수 있습니다. 그리고 당신도 그에 대비해야 합니다(놀라움). 그렇습니다.

예를 들어, 이 문제는 다음과 같습니다.

양의 분모를 갖는 기하수열의 다섯 번째 항은 162이고, 이 수열의 첫 번째 항은 2입니다. 수열의 분모를 구합니다.

이번에는 첫 번째와 다섯 번째 항이 주어지고 진행의 분모를 찾도록 요청받습니다. 여기 있습니다.

우리는 공식을 씁니다N번째 멤버!

비앤 = 비 1 · qn -1

초기 데이터는 다음과 같습니다.

비 5 = 162

비 1 = 2

N = 5

누락된 값 큐. 괜찮아요! 지금 찾아봅시다.) 우리가 알고 있는 모든 것을 공식에 ​​대입합니다.

우리는 다음을 얻습니다:

162 = 2큐 5-1

2 큐 4 = 162

큐 4 = 81

4차 간단한 방정식입니다. 그리고 지금 - 주의하여!이 단계에서 많은 학생들은 즉시 즐겁게 근(4도)을 추출하고 답을 얻습니다. 큐=3 .

이와 같이:

q4 = 81

큐 = 3

그러나 사실 이것은 끝나지 않은 대답이다. 더 정확하게는 불완전합니다. 왜? 요점은 대답이 큐 = -3 또한 적합합니다: (-3) 4도 81이 됩니다!

이는 전력 방정식 때문입니다. xn = ㅏ항상 그랬다 두 개의 반대 뿌리~에 심지어N . 플러스와 마이너스:

둘 다 적합합니다.

예를 들어, 결정할 때(예: 두번째도)

x 2 = 9

왠지 그 모습에 놀라지 않는 너 둘뿌리 x=±3? 여기도 마찬가지입니다. 그리고 다른 어떤 것과도 심지어학위(4, 6, 10 등)는 동일합니다. 자세한 내용은 주제에 있습니다.

따라서 올바른 해결책은 다음과 같습니다.

큐 4 = 81

큐= ±3

좋아, 우리는 표지판을 정리했습니다. 플러스와 마이너스 중 어느 것이 맞나요? 자, 문제 설명을 다시 읽어보겠습니다. 추가 정보.물론 존재하지 않을 수도 있지만, 이번 문제에서는 그런 정보가 사용 가능.우리의 조건은 다음과 같은 진행이 제공된다는 일반 텍스트로 명시되어 있습니다. 양의 분모.

그러므로 대답은 분명합니다.

큐 = 3

여기에서는 모든 것이 간단합니다. 문제 진술이 다음과 같다면 어떤 일이 일어날 것이라고 생각하십니까?

기하수열의 다섯 번째 항은 162이고, 이 수열의 첫 번째 항은 2입니다. 수열의 분모를 구하세요.

차이점은 무엇입니까? 예! 상태 아무것도 아님분모의 부호에 대해서는 언급이 없습니다. 직접적으로도 간접적으로도 아닙니다. 그리고 여기서 문제는 이미 두 가지 솔루션!

큐 = 3 그리고 큐 = -3

예 예! 플러스와 마이너스가 모두 있습니다.) 수학적으로 이 사실은 두 가지 진행, 문제의 조건에 부합합니다. 그리고 각각에는 고유한 분모가 있습니다. 그냥 재미로 각 용어의 처음 5개 용어를 연습하고 작성해 보세요.)

이제 회원번호를 찾는 연습을 해보겠습니다. 이 문제가 제일 어렵죠, 그렇죠. 하지만 더 창의적이기도 합니다.)

기하학적 진행이 주어지면:

3; 6; 12; 24; …

이 수열에서 768이라는 숫자는 무엇입니까?

첫 번째 단계는 여전히 동일합니다. 공식을 쓰다N번째 멤버!

비앤 = 비 1 · qn -1

그리고 이제 평소와 같이 우리가 알고 있는 데이터를 그 안에 대체합니다. 흠... 작동하지 않아요! 첫 번째 항은 어디에 있고, 분모는 어디에 있고, 다른 모든 것은 어디에 있습니까?!

어디서, 어디서... 왜 눈이 필요한가요? 속눈썹을 펄럭이시나요? 이번에는 진행이 다음 형식으로 직접 제공됩니다. 시퀀스.첫 번째 멤버를 만나볼까요? 우리는보다! 이것은 트리플(b 1 = 3)입니다. 분모는 어떻습니까? 아직 볼 수는 없지만 계산하는 것은 매우 쉽습니다. 물론 이해하신다면...

그래서 우리는 계산합니다. 기하학적 수열의 의미에 따라 직접적으로: 우리는 그 용어 중 하나(첫 번째 용어 제외)를 취하고 이전 용어로 나눕니다.

적어도 다음과 같습니다:

큐 = 24/12 = 2

우리는 또 무엇을 알고 있습니까? 우리는 또한 이 수열의 768과 같은 항을 알고 있습니다. 어떤 수 n에서:

비앤 = 768

우리는 그의 전화번호를 모르지만, 우리의 임무는 바로 그를 찾는 것입니다.) 그래서 우리는 찾고 있습니다. 우리는 공식에 대체하는 데 필요한 모든 데이터를 이미 다운로드했습니다. 본인도 모르게..)

여기서는 다음과 같이 대체합니다.

768 = 3 2N -1

기본 문제를 해결해 봅시다. 양변을 3으로 나누고 방정식을 일반적인 형식으로 다시 작성합니다. 미지수는 왼쪽에, 알려진 값은 오른쪽에 있습니다.

우리는 다음을 얻습니다:

2 N -1 = 256

이것은 흥미로운 방정식이다. "n"을 찾아야 합니다. 뭐, 특이해요? 예, 나는 논쟁하지 않습니다. 실제로 이것은 가장 간단한 것입니다. 알려지지 않은 것(이 경우에는 숫자)이기 때문에 그렇게 불립니다. N) 비용 지시자도.

기하수열을 배우는 단계(9학년)에서는 지수방정식을 푸는 방법을 가르쳐주지 않습니다. 그렇죠... 이것은 고등학교에서 다룰 주제입니다. 하지만 무서운 건 없어요. 그러한 방정식이 어떻게 해결되는지 모르더라도, 우리의 방정식을 찾아보도록 합시다. N, 간단한 논리와 상식에 따라 안내됩니다.

이야기를 시작합시다. 왼쪽에는 듀스가 있습니다. 어느 정도. 우리는 아직 이 학위가 정확히 무엇인지 모르지만, 그것은 무서운 것이 아닙니다. 하지만 우리는 이 정도가 256과 같다는 것을 확실히 알고 있습니다! 그래서 우리는 2가 256이 되는 정도를 기억합니다. 기억하시나요? 예! 안에 여덟 번째도!

256 = 2 8

도를 기억하지 못하거나 도를 인식하는 데 문제가 있는 경우에도 괜찮습니다. 연속적으로 2제곱, 세제곱, 4차, 5차 등을 수행하면 됩니다. 실제로 선택이 가능하지만 이 수준에서는 꽤 잘 작동합니다.

어떤 식으로든 우리는 다음을 얻습니다.

2 N -1 = 2 8

N-1 = 8

N = 9

그럼 768은 제구우리 진행의 멤버입니다. 이제 문제가 해결되었습니다.)

답: 9

무엇? 지루한? 초등학생이 지겹나요? 동의하다. 그리고 나도. 다음 레벨로 넘어가자.)

더 복잡한 작업.

이제 더 어려운 문제를 해결해 보겠습니다. 아주 멋지지는 않지만 답을 얻으려면 약간의 작업이 필요한 것입니다.

예를 들어, 이것입니다.

네 번째 항이 -24이고 일곱 번째 항이 192인 경우 등비수열의 두 번째 항을 구합니다.

이것은 장르의 고전입니다. 진행에 대한 두 가지 다른 용어가 알려져 있지만 다른 용어를 찾아야 합니다. 또한 모든 구성원이 이웃하지 않습니다. 처음에는 혼란스럽습니다. 그렇습니다.

마찬가지로 이러한 문제를 해결하기 위해 두 가지 방법을 고려해 보겠습니다. 첫 번째 방법은 보편적입니다. 대수학. 모든 소스 데이터와 완벽하게 작동합니다. 그럼 여기서부터 시작하겠습니다.)

우리는 공식에 따라 각 용어를 설명합니다. N번째 멤버!

모든 것은 산술 진행과 동일합니다. 이번에만 우리가 함께 일하고 있어요 또 다른일반 공식. 그게 전부입니다.) 그러나 본질은 동일합니다. 하나씩초기 데이터를 n번째 항의 공식에 대체합니다. 각 회원마다 - 자신의 것입니다.

네 번째 용어에 대해 다음과 같이 작성합니다.

비 4 = 비 1 · 큐 3

-24 = 비 1 · 큐 3

먹다. 방정식 하나가 준비되었습니다.

일곱 번째 학기에는 다음과 같이 씁니다.

비 7 = 비 1 · 큐 6

192 = 비 1 · 큐 6

전체적으로 우리는 2개의 방정식을 얻었습니다. 같은 진행 .

우리는 그들로부터 시스템을 조립합니다:

위협적인 외관에도 불구하고 시스템은 매우 간단합니다. 가장 확실한 해결책은 간단한 대체입니다. 우리는 표현한다 비 1 상위 방정식을 하위 방정식으로 대체합니다.

아래쪽 방정식을 약간 조작한 후(제곱을 줄이고 -24로 나누기) 다음을 얻습니다.

큐 3 = -8

그건 그렇고, 이 동일한 방정식은 더 간단한 방법으로 도달할 수 있습니다! 어느 것? 이제 이러한 시스템을 해결하는 또 다른 비밀이지만 매우 아름답고 강력하며 유용한 방법을 보여 드리겠습니다. 이러한 시스템에는 다음이 포함됩니다. 작동합니다.적어도 하나. 라고 불리는 분할 방법하나의 방정식을 다른 방정식으로 변환합니다.

따라서 우리 앞에는 다음과 같은 시스템이 있습니다.

왼쪽의 두 방정식에서 - 일하다, 오른쪽에는 숫자만 있습니다. 이것은 아주 좋은 징조입니다.) 이것을 취하여... 예를 들어, 아래쪽 방정식을 위쪽 방정식으로 나눕니다! 무슨 뜻인가요? 하나의 방정식을 다른 방정식으로 나누어 볼까요?매우 간단합니다. 가져 가자 왼쪽하나의 방정식(하위) 및 나누다그녀의 왼쪽또 다른 방정식(위). 오른쪽도 비슷합니다. 오른쪽하나의 방정식 나누다~에 오른쪽또 다른.

전체 분할 프로세스는 다음과 같습니다.

이제 줄일 수 있는 모든 것을 줄이면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

큐 3 = -8

이 방법의 좋은 점은 무엇입니까? 예, 그러한 분할 과정에서 나쁘고 불편한 모든 것이 안전하게 줄어들 수 있고 완전히 무해한 방정식이 남기 때문입니다! 그렇기 때문에 다음을 갖는 것이 매우 중요합니다. 곱셈만시스템의 방정식 중 적어도 하나에서. 곱셈도 없고 줄일 것도 없습니다. 예...

일반적으로 이 방법은 (시스템을 해결하는 다른 많은 중요한 방법과 마찬가지로) 별도의 교훈을 얻을 가치가 있습니다. 확실히 더 자세히 알아보겠습니다. 타일…

그러나 시스템을 얼마나 정확하게 해결하는지는 중요하지 않습니다. 어쨌든 이제 결과 방정식을 풀어야 합니다.

큐 3 = -8

문제 없습니다. 큐브 루트를 추출하면 완료됩니다!

추출할 때 여기에 플러스/마이너스를 넣을 필요가 없다는 점에 유의하세요. 우리의 뿌리는 홀수(3차) 등급입니다. 그리고 대답도 마찬가지다.)

그래서 진행의 분모가 발견되었습니다. 마이너스 2. 엄청난! 절차가 진행 중입니다.)

첫 번째 항(예를 들어 상위 방정식에서)에 대해 다음을 얻습니다.

엄청난! 우리는 첫 번째 용어와 분모를 알고 있습니다. 이제 우리는 진보의 구성원을 찾을 수 있는 기회를 갖게 되었습니다. 두 번째도 포함됩니다.)

두 번째 용어의 경우 모든 것이 매우 간단합니다.

비 2 = 비 1 · 큐= 3·(-2) = -6

답: -6

그래서 우리는 문제를 해결하기 위한 대수적 방법을 세분화했습니다. 어려운? 그렇지 않습니다. 동의합니다. 길고 지루한가? 네, 물론이죠. 그러나 때로는 작업량을 크게 줄일 수 있습니다. 이를 위해 그래픽 방법.우리에게 오래되고 친숙한 곳입니다.)

문제를 그려보자!

예! 정확히. 다시 우리는 숫자 축에 진행 상황을 묘사합니다. 눈금자를 따를 필요는 없으며 용어 사이에 동일한 간격을 유지할 필요도 없습니다(그런데 진행이 기하학적이기 때문에 동일하지는 않습니다!). 개략적으로시퀀스를 그려봅시다.

나는 이것을 다음과 같이 얻었습니다 :

이제 그림을 보고 알아보세요. 얼마나 많은 동일한 요소 "q"가 분리되어 있습니까? 네번째그리고 제칠회원? 그렇죠, 셋!

그러므로 우리는 다음과 같이 쓸 권리가 있습니다.

-24·큐 3 = 192

이제 여기에서 q를 쉽게 찾을 수 있습니다.

큐 3 = -8

큐 = -2

좋습니다. 우리 주머니에는 이미 분모가 있습니다. 이제 그림을 다시 살펴보겠습니다. 사이에 분모가 몇 개나 있는지 살펴보겠습니다. 두번째그리고 네번째회원? 둘! 따라서 이러한 용어 사이의 연결을 기록하기 위해 분모를 구성합니다. 제곱.

그래서 우리는 다음과 같이 씁니다:

비 2 · 큐 2 = -24 , 어디 비 2 = -24/ 큐 2

우리는 찾은 분모를 b 2에 대한 표현식으로 대체하고 계산하여 다음을 얻습니다.

답: -6

보시다시피 모든 것이 시스템을 통하는 것보다 훨씬 간단하고 빠릅니다. 게다가 여기서는 첫 번째 항을 전혀 계산할 필요조차 없었습니다! 조금도.)

여기에 간단하고 시각적인 신호등이 있습니다. 그러나 여기에는 심각한 단점도 있습니다. 짐작하셨나요? 예! 매우 짧은 진행에만 적합합니다. 우리가 관심을 갖는 구성원 간의 거리가 그리 크지 않은 경우. 하지만 다른 모든 경우에는 이미 그림을 그리는 것이 어렵습니다. 그렇습니다... 그런 다음 시스템을 통해 문제를 분석적으로 해결합니다.) 그리고 시스템은 보편적인 것입니다. 그들은 어떤 숫자라도 처리할 수 있습니다.

또 다른 엄청난 도전:

기하수열의 두 번째 항은 첫 번째 항보다 10이 더 크고, 세 번째 항은 두 번째 항보다 30이 더 큽니다. 진행의 분모를 찾으십시오.

뭐, 멋지지? 별말씀을요! 모두 같은. 다시 우리는 문제 설명을 순수 대수학으로 변환합니다.

1) 각 용어를 공식에 따라 설명합니다. N번째 멤버!

두 번째 항: b 2 = b 1 q

세 번째 항: b 3 = b 1 q 2

2) 문제제기서에 나오는 멤버들간의 연결고리를 적어봅니다.

우리는 조건을 읽었습니다. "기하수열의 두 번째 항은 첫 번째 항보다 10 더 큽니다."그만해, 이건 귀중한 거야!

그래서 우리는 다음과 같이 씁니다:

비 2 = 비 1 +10

그리고 우리는 이 문구를 순수한 수학으로 번역합니다.

비 3 = 비 2 +30

우리는 두 개의 방정식을 얻었습니다. 이들을 하나의 시스템으로 결합해 보겠습니다.

시스템은 간단해 보입니다. 그러나 문자에 대한 색인이 너무 많습니다. 두 번째와 세 번째 항 대신 첫 번째 항과 분모를 통해 표현을 대체해 보겠습니다! 우리가 그린 것이 헛된 일이었나요?

우리는 다음을 얻습니다:

하지만 그러한 시스템은 더 이상 선물이 아닙니다. 그렇습니다... 이 문제를 해결하는 방법은 무엇입니까? 불행하게도 복잡한 문제를 해결하는 보편적인 비밀 주문은 없습니다. 비선형수학에는 시스템이 없으며 존재할 수도 없습니다. 이건 환상적이야! 하지만 이렇게 어려운 문제를 해결하려고 할 때 가장 먼저 생각해야 할 것은 무엇인지 알아내는 것입니다. 그러나 시스템의 방정식 중 하나는 예를 들어 변수 중 하나를 다른 변수로 쉽게 표현할 수 있는 아름다운 형태로 축소되지 않습니까?

그것을 알아 봅시다. 시스템의 첫 번째 방정식은 두 번째 방정식보다 확실히 더 간단합니다. 우리는 그를 고문할 것이다.) 첫 번째 방정식부터 시도해 보아야 하지 않을까? 무엇를 통해 표현하다 무엇?분모를 찾고 싶기 때문에 큐, 그렇다면 다음과 같이 표현하는 것이 가장 유리할 것입니다. 비 1 ~을 통해 큐.

그럼 오래된 방정식을 사용하여 첫 번째 방정식으로 이 절차를 수행해 보겠습니다.

b 1 q = b 1 +10

b1q – b1 = 10

b 1 (q-1) = 10

모두! 그래서 우리는 표현했습니다. 불필요한변수 (b 1)을 다음과 같이 제공합니다. 필요한(큐). 예, 우리가 아는 가장 간단한 표현은 아닙니다. 일종의 분수... 하지만 우리 시스템은 괜찮은 수준입니다.)

전형적인. 우리는 무엇을 해야할지 알고 있습니다.

우리는 ODZ를 쓴다 (반드시!) :

q ≠ 1

모든 것에 분모(q-1)를 곱하고 모든 분수를 취소합니다.

10 큐 2 = 10 큐 + 30(큐-1)

모든 것을 10으로 나누고 괄호를 열고 왼쪽부터 모든 것을 수집합니다.

큐 2 – 4 큐 + 3 = 0

우리는 결과를 풀고 두 가지 근을 얻습니다.

큐 1 = 1

큐 2 = 3

최종 답변은 하나뿐입니다. 큐 = 3 .

답: 3

보시다시피, 기하수열의 n번째 항 공식과 관련된 대부분의 문제를 해결하는 방법은 항상 동일합니다. 주의 깊게문제의 조건과 n번째 항의 공식을 사용하여 모든 유용한 정보를 순수 대수학으로 변환합니다.

즉:

1) 문제에 주어진 각 용어를 공식에 따라 별도로 설명합니다.N번째 회원.

2) 문제의 조건에서 멤버 간의 연결을 수학적 형식으로 변환합니다. 우리는 방정식 또는 방정식 시스템을 구성합니다.

3) 결과 방정식 또는 방정식 시스템을 풀고 진행의 알려지지 않은 매개 변수를 찾습니다.

4) 답변이 모호한 경우에는 작업 조건을 주의 깊게 읽고 추가 정보(있는 경우)를 검색하세요. 또한 DL 조건(있는 경우)과 함께 수신된 응답을 확인합니다.

이제 기하학적 수열 문제를 해결하는 과정에서 가장 흔히 오류로 이어지는 주요 문제를 나열해 보겠습니다.

1. 초등 산술. 분수와 음수를 사용한 연산.

2. 이 세 가지 사항 중 적어도 하나에 문제가 있다면 이 주제에서 필연적으로 실수를 하게 될 것입니다. 불행하게도... 그러니 게으르지 말고 위에서 언급한 내용을 반복하세요. 그리고 링크를 따라가세요. 도움이 될 때도 있습니다.)

수정되고 반복되는 수식.

이제 조건이 덜 친숙하게 표현된 몇 가지 일반적인 시험 문제를 살펴보겠습니다. 예, 예, 짐작하셨겠죠! 이것 수정됨그리고 반복되는 n 번째 용어 공식. 우리는 이미 그러한 공식을 접했고 산술 진행에 대해 연구했습니다. 여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 본질은 동일합니다.

예를 들어 OGE의 다음 문제는 다음과 같습니다.

기하학적 진행은 공식에 의해 제공됩니다 비앤 = 3 2 N . 첫 번째 항과 네 번째 항의 합을 구합니다.

이번에는 진행 상황이 평소와 같지 않습니다. 일종의 공식 형태입니다. 그래서 뭐? 이 공식은 역시 공식N번째 멤버!당신과 나는 n 번째 항의 공식이 문자를 사용하여 일반 형식으로 작성될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 특정 진행. 와 함께 특정한첫 번째 항과 분모.

우리의 경우 실제로 다음 매개변수를 사용하여 기하학적 수열에 대한 일반 용어 공식이 제공됩니다.

비 1 = 6

큐 = 2

확인해볼까요?) n번째 항의 수식을 일반형으로 적어서 비 1 그리고 큐. 우리는 다음을 얻습니다:

비앤 = 비 1 · qn -1

비앤= 6 2N -1

인수분해와 거듭제곱의 속성을 사용하여 단순화하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

비앤= 6 2N -1 = 3·2·2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N

보시다시피 모든 것이 공평합니다. 그러나 우리의 목표는 특정 공식의 유도를 보여주는 것이 아닙니다. 이것은 서정적 여담입니다. 순전히 이해를 위한 것입니다.) 우리의 목표는 조건에 주어진 공식에 따라 문제를 해결하는 것입니다. 이해되시나요?) 그래서 우리는 수정된 공식을 직접 가지고 작업합니다.

우리는 첫 번째 용어를 계산합니다. 대체하자 N=1 일반 공식으로:

비 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

이와 같이. 그건 그렇고, 나는 게으르지 않을 것이며 첫 번째 항 계산에서 전형적인 실수에 다시 한 번주의를 기울일 것입니다. 하지 마십시오. 공식을 보면 비앤= 3 2N, 즉시 첫 번째 용어가 3이라고 쓰십시오! 이건 중대한 실수죠, 그렇죠...)

계속합시다. 대체하자 N=4 그리고 네 번째 항을 센다:

비 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

마지막으로 필요한 금액을 계산합니다.

비 1 + 비 4 = 6+48 = 54

답: 54

또 다른 문제.

기하학적 진행은 다음 조건에 따라 지정됩니다.

비 1 = -7;

비앤 +1 = 3 비앤

진행의 네 번째 항을 찾아보세요.

여기서 진행은 반복 공식에 의해 제공됩니다. 글쎄요.) 이 공식을 사용하는 방법 – 우리도 알고 있어요.

그래서 우리는 행동합니다. 단계별로.

1) 둘을 센다 연이은진행 멤버.

첫 번째 용어는 이미 우리에게 주어졌습니다. 마이너스 7. 그러나 다음 두 번째 항은 반복 공식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있습니다. 물론 작동 원리를 이해한다면.)

그래서 우리는 두 번째 항을 계산합니다 잘 알려진 첫 번째에 따르면 :

비 2 = 3 비 1 = 3·(-7) = -21

2) 진행의 분모를 계산합니다.

문제 없습니다. 똑바로, 나누자 두번째거시기 첫 번째.

우리는 다음을 얻습니다:

큐 = -21/(-7) = 3

3) 수식을 쓰세요N일반적인 형식으로 두 번째 멤버를 계산하고 필요한 멤버를 계산합니다.

따라서 우리는 첫 번째 항을 알고 분모도 알고 있습니다. 그래서 우리는 다음과 같이 씁니다:

비앤= -7·3N -1

비 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

답: -189

보시다시피, 기하학적 수열에 대한 이러한 공식을 사용하여 작업하는 것은 본질적으로 산술 수열의 공식과 다르지 않습니다. 이 공식의 일반적인 본질과 의미를 이해하는 것이 중요합니다. 글쎄요, 기하학적 진행의 의미도 이해해야 합니다. 그렇습니다.) 그러면 어리석은 실수는 없을 것입니다.

글쎄, 우리 스스로 결정하자?)

워밍업을 위한 매우 기본적인 작업:

1. 주어진 기하학적 수열은 다음과 같습니다. 비 1 = 243,a 큐 = -2/3. 진행의 여섯 번째 항을 찾아보세요.

2. 기하학적 진행의 일반항은 다음 공식으로 표현됩니다. 비앤 = 5∙2 N +1 . 이 수열의 마지막 세 자리 항의 수를 찾으세요.

3. 기하학적 진행은 다음 조건에 따라 제공됩니다.

비 1 = -3;

비앤 +1 = 6 비앤

수열의 다섯 번째 항을 찾아보세요.

조금 더 복잡합니다.

4. 기하학적 진행이 주어지면:

비 1 =2048; 큐 =-0,5

여섯 번째 부정항은 무엇과 같나요?

뭐가 엄청 어려워 보이나요? 별말씀을요. 기하학적 진행의 의미에 대한 논리와 이해가 당신을 구할 것입니다. 물론, n번째 항의 공식입니다.

5. 기하수열의 세 번째 항은 -14이고, 여덟 번째 항은 112입니다. 수열의 분모를 구하세요.

6. 기하수열의 첫 번째 항과 두 번째 항의 합은 75이고, 두 번째와 세 번째 항의 합은 150입니다. 수열의 여섯 번째 항을 구합니다.

답변(혼란): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

그게 거의 전부입니다. 우리가 해야 할 일은 셈하는 법을 배우는 것뿐이다. 기하수열의 처음 n항의 합응 발견해 무한히 감소하는 기하학적 수열그리고 그 금액. 그건 그렇고, 매우 흥미롭고 특이한 것입니다! 이에 대해서는 다음 강의에서 자세히 설명합니다.)