बांधलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे. रेषांनी बांधलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ मोजा

समस्या 1 (वक्र ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करण्याबद्दल).

कार्टेशियन आयताकृती समन्वय प्रणाली xOy मध्ये, x अक्ष, सरळ रेषा x = a, x = b (a वक्राकार ट्रॅपेझॉइडने बांधलेली एक आकृती दिली आहे (आकृती पहा). वक्राकाराचे क्षेत्रफळ काढणे आवश्यक आहे. ट्रॅपेझॉइड
उपाय. भूमिती आपल्याला बहुभुजांचे क्षेत्रफळ आणि वर्तुळाचे काही भाग (सेक्टर, सेगमेंट) मोजण्यासाठी पाककृती देते. भौमितिक विचारांचा वापर करून, आम्ही फक्त आवश्यक क्षेत्राचे अंदाजे मूल्य शोधू शकतो, खालीलप्रमाणे तर्क.

चला सेगमेंट विभाजित करूया [a; b] (वक्र ट्रॅपेझॉइडचा पाया) n समान भागांमध्ये; हे विभाजन बिंदू x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 वापरून केले जाते. या बिंदूंमधून y-अक्षाच्या समांतर सरळ रेषा काढू. नंतर दिलेला वक्र ट्रापेझॉइड n भागांमध्ये, n अरुंद स्तंभांमध्ये विभागला जाईल. संपूर्ण ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ स्तंभांच्या क्षेत्रांच्या बेरजेइतके असते.

k-th स्तंभाचा स्वतंत्रपणे विचार करूया, म्हणजे. वक्र ट्रॅपेझॉइड ज्याचा आधार एक खंड आहे. चला ते f(x k) च्या समान पाया आणि उंचीच्या आयताने बदलू (आकृती पहा). आयताचे क्षेत्रफळ \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \ च्या बरोबरीचे आहे, जेथे \(\Delta x_k \) ही खंडाची लांबी आहे; kth स्तंभाच्या क्षेत्रफळाचे अंदाजे मूल्य म्हणून परिणामी उत्पादनाचा विचार करणे स्वाभाविक आहे.

जर आपण आता इतर सर्व स्तंभांसोबत असेच केले तर आपण पुढील परिणामावर येऊ: दिलेल्या वक्र समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ S हे n आयताकृतींनी बनलेल्या चरणबद्ध आकृतीच्या S n क्षेत्रफळाच्या अंदाजे समान आहे (आकृती पहा):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
येथे, नोटेशनच्या एकसमानतेसाठी, आपण असे गृहीत धरू की a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - सेगमेंटची लांबी, \(\Delta x_1 \) - सेगमेंटची लांबी, इ.; या प्रकरणात, आम्ही वर मान्य केल्याप्रमाणे, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

तर, \(S \ अंदाजे S_n \), आणि ही अंदाजे समानता अधिक अचूक आहे, जितकी मोठी n.
व्याख्येनुसार, असे मानले जाते की वक्र ट्रापेझॉइडचे आवश्यक क्षेत्र अनुक्रमाच्या मर्यादेइतके आहे (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

समस्या २ (बिंदू हलवण्याबद्दल)
भौतिक बिंदू एका सरळ रेषेत फिरतो. वेळेवर वेगाचे अवलंबन हे सूत्र v = v(t) द्वारे व्यक्त केले जाते. कालांतराने बिंदूची हालचाल शोधा [a; ब].
उपाय. जर हालचाल एकसमान असेल, तर समस्या अगदी सोप्या पद्धतीने सोडवली जाईल: s = vt, i.e. s = v(b-a). असमान हालचालीसाठी, आपल्याला त्याच कल्पना वापराव्या लागतील ज्यावर मागील समस्येचे निराकरण आधारित होते.
1) वेळ मध्यांतर विभाजित करा [अ; b] n समान भागांमध्ये.
२) कालखंडाचा विचार करा आणि समजा की या कालावधीत गती स्थिर होती, t k वेळी सारखीच होती. म्हणून आपण असे गृहीत धरू की v = v(t k).
3) ठराविक कालावधीत बिंदूच्या हालचालीचे अंदाजे मूल्य शोधू; आम्ही हे अंदाजे मूल्य s k म्हणून दर्शवू.
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) विस्थापन s चे अंदाजे मूल्य शोधा:
\(s \ अंदाजे S_n \) कुठे
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) आवश्यक विस्थापन अनुक्रमाच्या मर्यादेइतके आहे (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

चला सारांश द्या. विविध समस्यांचे निराकरण समान गणिती मॉडेलमध्ये कमी केले गेले. विज्ञान आणि तंत्रज्ञानाच्या विविध क्षेत्रातील अनेक समस्या सोडवण्याच्या प्रक्रियेत समान मॉडेल आणतात. याचा अर्थ या गणितीय मॉडेलचा विशेष अभ्यास केला पाहिजे.

मध्यांतर [a; ब]:
1) सेगमेंट विभाजित करा [a; b] n समान भागांमध्ये;
२) बेरीज $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
३) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$ मोजा

गणितीय विश्लेषणादरम्यान हे सिद्ध झाले की ही मर्यादा सतत (किंवा तुकड्यानुसार सतत) फंक्शनच्या बाबतीत अस्तित्वात असते. याला रेषाखंडावरील y = f(x) फंक्शनचे निश्चित इंटिग्रल म्हणतात [a; b] आणि खालीलप्रमाणे दर्शविले:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
a आणि b या संख्यांना एकत्रीकरणाच्या मर्यादा (अनुक्रमे खालच्या आणि वरच्या) म्हणतात.

वर चर्चा केलेल्या कार्यांकडे परत जाऊया. समस्या 1 मध्ये दिलेली क्षेत्रफळाची व्याख्या आता खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिता येईल:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
येथे S हे वरील आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या वक्र समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ आहे. हा निश्चित इंटिग्रलचा भौमितिक अर्थ आहे.

समस्या 2 मध्ये दिलेल्या t = a ते t = b या कालावधीत v = v(t) गतीने सरळ रेषेत फिरणाऱ्या बिंदूच्या विस्थापनाची व्याख्या पुढीलप्रमाणे पुन्हा लिहिता येईल:

प्रथम, या प्रश्नाचे उत्तर देऊ: निश्चित अविभाज्य आणि अँटीडेरिव्हेटिव्ह यांच्यात काय संबंध आहे?

याचे उत्तर समस्या 2 मध्ये मिळू शकते. एकीकडे, t = a ते t = b या कालावधीत v = v(t) गतीने सरळ रेषेत फिरणाऱ्या बिंदूचे विस्थापन s द्वारे मोजले जाते सूत्र
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

दुसरीकडे, गतिमान बिंदूचा समन्वय हा वेगासाठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे - चला ते s(t) दर्शवू; याचा अर्थ असा की विस्थापन s हे सूत्र s = s(b) - s(a) द्वारे व्यक्त केले जाते. परिणामी आम्हाला मिळते:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
जेथे s(t) हे v(t) चे अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे.

खालील प्रमेय गणितीय विश्लेषणामध्ये सिद्ध झाले.
प्रमेय. जर फंक्शन y = f(x) मध्यांतरावर सतत असेल [a; b], नंतर सूत्र वैध आहे
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
जेथे F(x) हे f(x) चे अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे.

इंग्रजी भौतिकशास्त्रज्ञ आयझॅक न्यूटन (१६४३-१७२७) आणि जर्मन तत्त्वज्ञ गॉटफ्राइड लीबनिझ (१६४६-१७१६) यांच्या सन्मानार्थ वरील सूत्राला सहसा न्यूटन-लेबनिझ सूत्र म्हणतात, ज्यांनी ते एकमेकांपासून स्वतंत्रपणे आणि जवळजवळ एकाच वेळी मिळवले.

व्यवहारात, F(b) - F(a) लिहिण्याऐवजी, ते नोटेशन वापरतात \(\left. F(x)\right|_a^b \) (कधीकधी डबल प्रतिस्थापन म्हणतात) आणि त्यानुसार, न्यूटन पुन्हा लिहितात. -लिबनिझचे सूत्र या प्रकारे:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

एक निश्चित अविभाज्य गणना करताना, प्रथम अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधा आणि नंतर दुहेरी प्रतिस्थापन करा.

न्यूटन-लेबनिझ सूत्राच्या आधारे, आपण निश्चित अविभाज्यांचे दोन गुणधर्म मिळवू शकतो.

गुणधर्म 1. फंक्शन्सच्या बेरजेचा अविभाज्य भाग पूर्णांकांच्या बेरजेइतका असतो:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

गुणधर्म 2. अविभाज्य चिन्हातून स्थिर घटक काढला जाऊ शकतो:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

अविभाज्य वापरून, आपण केवळ वक्र ट्रॅपेझॉइड्सच्या क्षेत्रांची गणना करू शकत नाही, तर अधिक जटिल प्रकारच्या विमान आकृत्यांची देखील गणना करू शकता, उदाहरणार्थ, आकृतीमध्ये दर्शविलेले एक. आकृती P ही सरळ रेषा x = a, x = b आणि सतत फंक्शन्सचे आलेख y = f(x), y = g(x) आणि सेगमेंट [a; b] असमानता \(g(x) \leq f(x) \) धारण करते. अशा आकृतीचे क्षेत्र S मोजण्यासाठी, आम्ही पुढीलप्रमाणे पुढे जाऊ:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

तर, आकृतीचे क्षेत्र S हे सरळ रेषा x = a, x = b आणि फंक्शन्सचे आलेख y = f(x), y = g(x), रेषाखंडावर सतत आणि अशा खंडातील कोणत्याही x साठी [अ; b] असमानता \(g(x) \leq f(x) \) समाधानी आहे, सूत्राद्वारे मोजली जाते
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

अ)

उपाय.

निर्णयातील पहिला आणि सर्वात महत्त्वाचा मुद्दा म्हणजे चित्र काढणे.

चला रेखाचित्र बनवूया:

समीकरण y=0"x" अक्ष सेट करते;

- x=-2आणि x=1- सरळ, अक्षाच्या समांतर ओयू;

- y=x 2 +2 -एक पॅराबोला, ज्याच्या फांद्या वरच्या दिशेने निर्देशित केल्या जातात, बिंदूवर शिरोबिंदू (0;2).

टिप्पणी. पॅराबोला तयार करण्यासाठी, समन्वय अक्षांसह त्याच्या छेदनबिंदूचे बिंदू शोधणे पुरेसे आहे, उदा. टाकणे x=0अक्षासह छेदनबिंदू शोधा OUआणि संबंधित चतुर्भुज समीकरण सोडवून, अक्षासह छेदनबिंदू शोधा ओह .

पॅराबोलाचा शिरोबिंदू सूत्रांचा वापर करून शोधला जाऊ शकतो:

तुम्ही पॉईंट बाय पॉइंट लाईन्स देखील तयार करू शकता.

मध्यांतर [-2;1] फंक्शनचा आलेख y=x 2 +2अक्षाच्या वर स्थित आहे बैल, म्हणून:

उत्तर: एस=9 चौ. युनिट

कार्य पूर्ण झाल्यानंतर, रेखाचित्र पाहणे आणि उत्तर खरे आहे की नाही हे शोधणे नेहमीच उपयुक्त ठरते. या प्रकरणात, "डोळ्याद्वारे" आम्ही रेखाचित्रातील पेशींची संख्या मोजतो - ठीक आहे, सुमारे 9 असतील, ते खरे असल्याचे दिसते. हे अगदी स्पष्ट आहे की जर आम्हाला उत्तर मिळाले, म्हणा: 20 चौरस युनिट्स, तर हे स्पष्ट आहे की कुठेतरी चूक झाली आहे - 20 पेशी स्पष्टपणे प्रश्नातील आकृतीमध्ये बसत नाहीत, जास्तीत जास्त डझनभर. जर उत्तर नकारार्थी असेल, तर कार्य देखील चुकीच्या पद्धतीने सोडवले गेले.

वक्र ट्रॅपेझॉइड अक्षाखाली असल्यास काय करावे अरेरे?

b) रेषांनी बांधलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ मोजा y=-e x , x=1आणि समन्वय अक्ष.

उपाय.

चला एक रेखाचित्र बनवूया.

वक्र ट्रॅपेझॉइड पूर्णपणे अक्षाखाली स्थित असल्यास ओह , मग त्याचे क्षेत्र सूत्र वापरून शोधले जाऊ शकते:

उत्तर: S=(e-1)चौ. युनिट" 1.72 चौ. युनिट

लक्ष द्या! दोन प्रकारच्या कार्यांमध्ये गोंधळ होऊ नये:

1) जर तुम्हाला कोणत्याही भौमितिक अर्थाशिवाय एक निश्चित पूर्णांक सोडवण्यास सांगितले तर ते नकारात्मक असू शकते.

2) जर तुम्हाला निश्चित अविभाज्य वापरून आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्यास सांगितले, तर क्षेत्रफळ नेहमीच सकारात्मक असते! म्हणूनच नुसत्या चर्चा केलेल्या सूत्रात मायनस दिसतो.

सराव मध्ये, बहुतेकदा आकृती वरच्या आणि खालच्या अर्ध्या विमानात स्थित असते.

c) रेषांनी बांधलेल्या सपाट आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधा y=2x-x 2, y=-x.

उपाय.

प्रथम आपण रेखाचित्र पूर्ण करणे आवश्यक आहे. सर्वसाधारणपणे, क्षेत्राच्या समस्यांमध्ये रेखाचित्र तयार करताना, आम्हाला ओळींच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूंमध्ये सर्वात जास्त रस असतो. चला पॅराबोलाचे छेदनबिंदू शोधू आणि सरळ हे दोन प्रकारे करता येते. पहिली पद्धत विश्लेषणात्मक आहे.

आम्ही समीकरण सोडवतो:

याचा अर्थ असा की एकत्रीकरणाची कमी मर्यादा a=0, एकत्रीकरणाची वरची मर्यादा b=3 .

तुम्ही बिंदूनुसार रेषा तयार करू शकता आणि एकत्रीकरणाच्या मर्यादा "स्वतः" स्पष्ट होतात. तरीसुद्धा, मर्यादा शोधण्याची विश्लेषणात्मक पद्धत काहीवेळा वापरावी लागते जर, उदाहरणार्थ, आलेख पुरेसा मोठा असेल, किंवा तपशीलवार बांधणीने एकत्रीकरणाची मर्यादा प्रकट केली नसेल (ते अपूर्णांक किंवा असमंजस असू शकतात).

इच्छित आकृती वरील पॅराबोला आणि खाली सरळ रेषेद्वारे मर्यादित आहे.

विभागावर , संबंधित सूत्रानुसार:

उत्तर: एस=4.5 चौ. युनिट

वेबसाइटवर गणिताची सूत्रे कशी घालायची?

जर तुम्हाला वेबपेजवर एक किंवा दोन गणिती सूत्रे जोडायची असल्यास, लेखात वर्णन केल्याप्रमाणे हे करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग आहे: वोल्फ्राम अल्फाद्वारे स्वयंचलितपणे तयार केलेल्या चित्रांच्या स्वरूपात गणितीय सूत्रे साइटवर सहजपणे समाविष्ट केली जातात. . साधेपणा व्यतिरिक्त, ही सार्वत्रिक पद्धत शोध इंजिनमधील साइटची दृश्यमानता सुधारण्यास मदत करेल. हे बर्याच काळापासून कार्यरत आहे (आणि, मला वाटते, कायमचे कार्य करेल), परंतु आधीच नैतिकदृष्ट्या जुने आहे.

तुम्ही तुमच्या साइटवर नियमितपणे गणितीय सूत्रे वापरत असल्यास, मी तुम्हाला MathJax वापरण्याची शिफारस करतो - एक विशेष JavaScript लायब्ररी जी MathML, LaTeX किंवा ASCIIMathML मार्कअप वापरून वेब ब्राउझरमध्ये गणितीय नोटेशन प्रदर्शित करते.

मॅथजॅक्स वापरणे सुरू करण्याचे दोन मार्ग आहेत: (१) साधा कोड वापरून, तुम्ही तुमच्या वेबसाइटवर मॅथजॅक्स स्क्रिप्ट पटकन कनेक्ट करू शकता, जी योग्य वेळी रिमोट सर्व्हरवरून स्वयंचलितपणे लोड होईल (सर्व्हरची सूची); (2) MathJax स्क्रिप्ट रिमोट सर्व्हरवरून तुमच्या सर्व्हरवर डाउनलोड करा आणि तुमच्या साइटच्या सर्व पृष्ठांशी कनेक्ट करा. दुसरी पद्धत - अधिक क्लिष्ट आणि वेळ घेणारी - तुमच्या साइटच्या पृष्ठांच्या लोडिंगला गती देईल आणि जर मूळ MathJax सर्व्हर काही कारणास्तव तात्पुरते अनुपलब्ध झाला, तर याचा तुमच्या स्वतःच्या साइटवर कोणत्याही प्रकारे परिणाम होणार नाही. हे फायदे असूनही, मी पहिली पद्धत निवडली कारण ती सोपी, वेगवान आहे आणि तांत्रिक कौशल्यांची आवश्यकता नाही. माझ्या उदाहरणाचे अनुसरण करा आणि फक्त 5 मिनिटांत तुम्ही तुमच्या साइटवर MathJax ची सर्व वैशिष्ट्ये वापरण्यास सक्षम असाल.

मुख्य MathJax वेबसाइटवरून किंवा दस्तऐवजीकरण पृष्ठावर घेतलेले दोन कोड पर्याय वापरून तुम्ही MathJax लायब्ररी स्क्रिप्ट रिमोट सर्व्हरवरून कनेक्ट करू शकता:

यापैकी एक कोड पर्याय आपल्या वेब पृष्ठाच्या कोडमध्ये कॉपी आणि पेस्ट करणे आवश्यक आहे, शक्यतो टॅग दरम्यान आणि किंवा टॅग नंतर लगेच. पहिल्या पर्यायानुसार, MathJax जलद लोड होते आणि पृष्ठ कमी कमी करते. परंतु दुसरा पर्याय स्वयंचलितपणे मॅथजॅक्सच्या नवीनतम आवृत्त्यांचे परीक्षण करतो आणि लोड करतो. तुम्ही पहिला कोड टाकल्यास, तो वेळोवेळी अपडेट करणे आवश्यक आहे. तुम्ही दुसरा कोड टाकल्यास, पेज अधिक हळू लोड होतील, परंतु तुम्हाला MathJax अपडेट्सचे सतत निरीक्षण करण्याची आवश्यकता नाही.

मॅथजॅक्स कनेक्ट करण्याचा सर्वात सोपा मार्ग ब्लॉगर किंवा वर्डप्रेसमध्ये आहे: साइट नियंत्रण पॅनेलमध्ये, तृतीय-पक्ष JavaScript कोड घालण्यासाठी डिझाइन केलेले विजेट जोडा, त्यामध्ये वर सादर केलेल्या डाउनलोड कोडची पहिली किंवा दुसरी आवृत्ती कॉपी करा आणि विजेट जवळ ठेवा. टेम्प्लेटच्या सुरूवातीस (तसे, हे अजिबात आवश्यक नाही, कारण मॅथजॅक्स स्क्रिप्ट अतुल्यकालिकपणे लोड केली आहे). इतकंच. आता MathML, LaTeX आणि ASCIIMathML चे मार्कअप सिंटॅक्स जाणून घ्या आणि तुम्ही तुमच्या साइटच्या वेब पेजेसमध्ये गणितीय सूत्रे घालण्यास तयार आहात.

कोणतेही फ्रॅक्टल एका विशिष्ट नियमानुसार तयार केले जाते, जे सातत्याने अमर्यादित वेळा लागू केले जाते. अशा प्रत्येक वेळेला पुनरावृत्ती म्हणतात.

मेन्जर स्पंज तयार करण्यासाठी पुनरावृत्तीचा अल्गोरिदम अगदी सोपा आहे: बाजू 1 असलेला मूळ घन त्याच्या चेहऱ्याच्या समांतर असलेल्या विमानांनी 27 समान घनांमध्ये विभागलेला आहे. एक मध्यवर्ती क्यूब आणि चेहऱ्यांसह त्याला लागून असलेले 6 क्यूब्स त्यातून काढले जातात. परिणाम म्हणजे उर्वरित 20 लहान चौकोनी तुकडे असलेला संच. या प्रत्येक क्यूब्ससोबत असेच केल्याने आपल्याला 400 लहान क्यूब्सचा संच मिळेल. ही प्रक्रिया अविरतपणे सुरू ठेवल्याने, आम्हाला मेंजर स्पंज मिळतो.

मागील विभागात, एका निश्चित अविभाज्य भागाच्या भूमितीय अर्थाच्या विश्लेषणासाठी समर्पित, आम्हाला वक्र समलंबाच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी अनेक सूत्रे मिळाली:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x एक सतत आणि गैर-ऋणात्मक कार्यासाठी y = f (x) मध्यांतरावर [ a ; ब],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x सतत आणि नॉन-पॉझिटिव्ह फंक्शनसाठी y = f (x) मध्यांतर [ a ; ब]

ही सूत्रे तुलनेने सोप्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी लागू आहेत. प्रत्यक्षात, आम्हाला बऱ्याचदा अधिक जटिल आकृत्यांसह कार्य करावे लागेल. या संदर्भात, आम्ही हा विभाग स्पष्ट स्वरूपात फंक्शन्सद्वारे मर्यादित असलेल्या आकृत्यांच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी अल्गोरिदमच्या विश्लेषणासाठी समर्पित करू, उदा. जसे y = f(x) किंवा x = g(y).

फंक्शन्स y = f 1 (x) आणि y = f 2 (x) इंटरव्हल वर परिभाषित आणि सतत असू द्या [ a ; b ] , आणि f 1 (x) ≤ f 2 (x) कोणत्याही मूल्यासाठी x साठी [ a ; ब] नंतर x = a, x = b, y = f 1 (x) आणि y = f 2 (x) या रेषांनी बांधलेले G आकृतीचे क्षेत्रफळ काढण्याचे सूत्र S (G) = ∫ सारखे दिसेल. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

समान सूत्र y = c, y = d, x = g 1 (y) आणि x = g 2 (y) या रेषांनी बांधलेल्या आकृतीच्या क्षेत्रासाठी लागू होईल: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

पुरावा

चला तीन प्रकरणे पाहू ज्यासाठी सूत्र वैध असेल.

पहिल्या प्रकरणात, क्षेत्रफळाच्या जोडणीचा गुणधर्म विचारात घेतल्यास, मूळ आकृती G आणि वक्र ट्रापेझॉइड G 1 च्या क्षेत्रांची बेरीज आकृती G 2 च्या क्षेत्रफळाच्या बरोबरीची आहे. याचा अर्थ असा की

म्हणून, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx

निश्चित इंटिग्रलचा तिसरा गुणधर्म वापरून आपण शेवटचे संक्रमण करू शकतो.

दुसऱ्या प्रकरणात, समानता सत्य आहे: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

ग्राफिक चित्रण असे दिसेल:

दोन्ही फंक्शन्स नॉन-पॉझिटिव्ह असल्यास, आपल्याला मिळेल: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . ग्राफिक चित्रण असे दिसेल:

जेव्हा y = f 1 (x) आणि y = f 2 (x) O x अक्षांना छेदतात तेव्हा सामान्य केस विचारात घेऊ या.

आपण छेदनबिंदू x i, i = 1, 2, असे दर्शवतो. . . , n - 1 . हे बिंदू विभागाचे विभाजन करतात [अ; b] n भाग x i - 1 मध्ये; x i, i = 1, 2, . . . , n, जेथे α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

त्यामुळे,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

आपण निश्चित पूर्णांकाचा पाचवा गुणधर्म वापरून शेवटचे संक्रमण करू शकतो.

आलेखावरील सामान्य केस स्पष्ट करू.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x हे सूत्र सिद्ध मानले जाऊ शकते.

आता y = f (x) आणि x = g (y) या रेषांनी मर्यादित असलेल्या आकृत्यांच्या क्षेत्रफळाची गणना करण्याच्या उदाहरणांचे विश्लेषण करूया.

आम्ही आलेख तयार करून कोणत्याही उदाहरणाचा विचार सुरू करू. प्रतिमा आम्हाला जटिल आकारांना सोप्या आकारांचे संघ म्हणून प्रस्तुत करण्यास अनुमती देईल. जर त्यांच्यावर आलेख आणि आकृत्या तयार करणे तुमच्यासाठी अवघड असेल, तर तुम्ही मूलभूत प्राथमिक कार्ये, फंक्शन्सच्या आलेखांचे भौमितिक रूपांतर, तसेच फंक्शनचा अभ्यास करताना आलेख तयार करणे यावरील विभागाचा अभ्यास करू शकता.

उदाहरण १

आकृतीचे क्षेत्रफळ निश्चित करणे आवश्यक आहे, जे पॅराबोला y = - x 2 + 6 x - 5 आणि सरळ रेषा y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 द्वारे मर्यादित आहे.

उपाय

कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टीममध्ये आलेखावर रेषा काढू.

विभागावर [ 1 ; 4 ] पॅराबोला y = - x 2 + 6 x - 5 चा आलेख y = - 1 3 x - 1 2 च्या सरळ रेषेच्या वर स्थित आहे. या संदर्भात, उत्तर मिळविण्यासाठी आम्ही पूर्वी प्राप्त केलेले सूत्र वापरतो, तसेच न्यूटन-लेबनिझ सूत्र वापरून निश्चित अविभाज्य गणना करण्याची पद्धत वापरतो:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

उत्तर: S(G) = 13

चला अधिक जटिल उदाहरण पाहू.

उदाहरण २

आकृतीचे क्षेत्रफळ मोजणे आवश्यक आहे, जे y = x + 2, y = x, x = 7 या ओळींनी मर्यादित आहे.

उपाय

या प्रकरणात, आपल्याकडे x-अक्षाच्या समांतर स्थित फक्त एक सरळ रेषा आहे. हे x = 7 आहे. यासाठी आपण स्वतः एकीकरणाची दुसरी मर्यादा शोधणे आवश्यक आहे.

चला एक आलेख बनवू आणि त्यावर प्रॉब्लेम स्टेटमेंटमध्ये दिलेल्या ओळी प्लॉट करू.

आपल्या डोळ्यांसमोर आलेख ठेवून, आपण सहजपणे निर्धारित करू शकतो की एकत्रीकरणाची खालची मर्यादा y = x आणि अर्ध-पॅराबोला y = x + 2 या सरळ रेषेच्या आलेखाच्या छेदनबिंदूचा abscissa असेल. abscissa शोधण्यासाठी आम्ही समानता वापरतो:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

असे दिसून आले की छेदनबिंदूचा abscissa x = 2 आहे.

आम्ही तुमचे लक्ष वेधतो की रेखाचित्रातील सामान्य उदाहरणामध्ये, रेषा y = x + 2, y = x या बिंदूला छेदतात (2; 2), त्यामुळे अशा तपशीलवार गणना अनावश्यक वाटू शकतात. आम्ही येथे इतके तपशीलवार समाधान दिले आहे कारण अधिक जटिल प्रकरणांमध्ये समाधान इतके स्पष्ट नसते. याचा अर्थ असा की रेषांच्या छेदनबिंदूच्या समन्वयांची विश्लेषणात्मक गणना करणे नेहमीच चांगले असते.

मध्यांतरावर [ 2 ; 7] फंक्शन y = x चा आलेख y = x + 2 या फंक्शनच्या आलेखाच्या वर स्थित आहे. क्षेत्राची गणना करण्यासाठी सूत्र लागू करूया:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - २ २ २ - २ ३ २ + २ ३ २ = ४९ २ - १८ - २ + १६ ३ = ५९ ६

उत्तर: S (G) = 59 6

उदाहरण ३

आकृतीचे क्षेत्रफळ मोजणे आवश्यक आहे, जे फंक्शन्स y = 1 x आणि y = - x 2 + 4 x - 2 च्या आलेखाद्वारे मर्यादित आहे.

उपाय

चला ग्राफवरील रेषा प्लॉट करू.

चला एकत्रीकरणाच्या मर्यादा परिभाषित करूया. हे करण्यासाठी, आम्ही 1 x आणि - x 2 + 4 x - 2 अभिव्यक्ती समीकरण करून रेषांच्या छेदनबिंदूच्या बिंदूंचे निर्देशांक निर्धारित करतो. x शून्य नसले तर, समानता 1 x = - x 2 + 4 x - 2 हे तृतीय अंश समीकरण - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 पूर्णांक गुणांकासह समतुल्य बनते. अशी समीकरणे सोडवण्यासाठी अल्गोरिदमची तुमची स्मृती ताजी करण्यासाठी, आम्ही "क्यूबिक समीकरणे सोडवणे" या विभागाचा संदर्भ घेऊ शकतो.

या समीकरणाचे मूळ x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 आहे.

अभिव्यक्ती - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 द्विपदी x - 1 ने विभाजित केल्याने आपल्याला मिळते: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - १) = ०

आपण x 2 - 3 x - 1 = 0 या समीकरणातून उर्वरित मुळे शोधू शकतो:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

आम्हाला अंतराल x ∈ 1 आढळले; 3 + 13 2, ज्यामध्ये आकृती G निळ्याच्या वर आणि लाल रेषेच्या खाली आहे. हे आम्हाला आकृतीचे क्षेत्र निश्चित करण्यात मदत करते:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

उत्तर: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

उदाहरण ४

आकृतीचे क्षेत्रफळ मोजणे आवश्यक आहे, जे वक्र y = x 3, y = - लॉग 2 x + 1 आणि abscissa अक्षाद्वारे मर्यादित आहे.

उपाय

चला ग्राफवरील सर्व रेषा प्लॉट करू. आपण y = - log 2 x + 1 या y = log 2 x या फंक्शनचा आलेख x-अक्षावर सममितीने ठेवल्यास आणि त्यास एका युनिटच्या वर नेल्यास त्याचा आलेख आपल्याला मिळू शकतो. x-अक्षाचे समीकरण y = 0 आहे.

रेषांच्या छेदनबिंदूचे बिंदू चिन्हांकित करू.

आकृतीवरून पाहिल्याप्रमाणे, फंक्शन्सचे आलेख y = x 3 आणि y = 0 बिंदूला छेदतात (0; 0). हे घडते कारण x = 0 हे x 3 = 0 समीकरणाचे एकमेव वास्तविक मूळ आहे.

x = 2 हे समीकरणाचे एकमेव मूळ आहे - लॉग 2 x + 1 = 0, त्यामुळे फंक्शन्सचे आलेख y = - log 2 x + 1 आणि y = 0 बिंदूला छेदतात (2; 0).

x = 1 हे x 3 = - लॉग 2 x + 1 या समीकरणाचे एकमेव मूळ आहे. या संदर्भात, फंक्शन्सचे आलेख y = x 3 आणि y = - लॉग 2 x + 1 बिंदूला छेदतात (1; 1). शेवटचे विधान कदाचित स्पष्ट नसेल, परंतु समीकरण x 3 = - लॉग 2 x + 1 मध्ये एकापेक्षा जास्त रूट असू शकत नाही, कारण y = x 3 फंक्शन काटेकोरपणे वाढत आहे, आणि फंक्शन y = - log 2 x + 1 आहे. काटेकोरपणे कमी होत आहे.

पुढील समाधानामध्ये अनेक पर्यायांचा समावेश आहे.

पर्याय 1

आपण आकृती G ची कल्पना x-अक्षाच्या वर स्थित असलेल्या दोन वक्र ट्रॅपेझॉइड्सची बेरीज म्हणून करू शकतो, त्यातील पहिला भाग x ∈ 0 या खंडावरील मध्यरेषेच्या खाली स्थित आहे; 1, आणि दुसरा x ∈ 1 खंडावरील लाल रेषेच्या खाली आहे; 2. याचा अर्थ क्षेत्रफळ S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x इतके असेल.

पर्याय क्रमांक 2

आकृती G हे दोन आकृत्यांमधील फरक म्हणून दर्शविले जाऊ शकते, ज्यातील पहिला x-अक्षाच्या वर आणि x ∈ 0 खंडावरील निळ्या रेषेच्या खाली स्थित आहे; 2, आणि सेगमेंट x ∈ 1 वर लाल आणि निळ्या रेषांमधील दुसरा; 2. हे आम्हाला खालीलप्रमाणे क्षेत्र शोधण्याची परवानगी देते:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- लॉग 2 x + 1) d x

या प्रकरणात, क्षेत्र शोधण्यासाठी तुम्हाला S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y या फॉर्मचे सूत्र वापरावे लागेल. खरं तर, आकृतीला बांधलेल्या रेषा y वितर्क ची कार्ये म्हणून दर्शविली जाऊ शकतात.

x च्या संदर्भात y = x 3 आणि - log 2 x + 1 ही समीकरणे सोडवू.

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - लॉग 2 x + 1 ⇒ लॉग 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

आम्हाला आवश्यक क्षेत्र मिळते:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

उत्तर: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

उदाहरण ५

आकृतीचे क्षेत्रफळ मोजणे आवश्यक आहे, जे y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 या ओळींनी मर्यादित आहे.

उपाय

लाल रेषेने आम्ही फंक्शन y = x द्वारे परिभाषित केलेली रेषा प्लॉट करतो. आम्ही y = - 1 2 x + 4 ही रेषा निळ्या रंगात आणि रेखा y = 2 3 x - 3 काळ्या रंगात काढतो.

चला छेदनबिंदू चिन्हांकित करू.

चला y = x आणि y = - 1 2 x + 4 या फंक्शन्सच्या आलेखांचे छेदनबिंदू शोधूया:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 तपासा: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 नाही हे x 2 = समीकरणाचे समाधान आहे. 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 हे समीकरणाचे समाधान आहे ⇒ (4; 2) छेदनबिंदू i y = x आणि y = - 1 2 x + ४

चला y = x आणि y = 2 3 x - 3 फंक्शन्सच्या आलेखांचे छेदनबिंदू शोधूया:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 तपासा: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 हे समीकरणाचे समाधान आहे ⇒ (9; 3) बिंदू a s y = x आणि y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 समीकरणाचे कोणतेही समाधान नाही

चला y = - 1 2 x + 4 आणि y = 2 3 x - 3 रेषांच्या छेदनबिंदूचा बिंदू शोधूया:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) छेदनबिंदू y = - 1 2 x + 4 आणि y = 2 3 x - 3

पद्धत क्रमांक १

इच्छित आकृतीचे क्षेत्रफळ वैयक्तिक आकृत्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणून कल्पना करूया.

मग आकृतीचे क्षेत्रफळ आहे:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

पद्धत क्रमांक 2

मूळ आकृतीचे क्षेत्रफळ इतर दोन आकृत्यांची बेरीज म्हणून दर्शविले जाऊ शकते.

मग आपण x च्या सापेक्ष रेषेचे समीकरण सोडवतो आणि त्यानंतरच आपण आकृतीचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी सूत्र लागू करतो.

y = x ⇒ x = y 2 लाल रेषा y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 काळी रेषा y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

तर क्षेत्र आहे:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

जसे आपण पाहू शकता, मूल्ये समान आहेत.

उत्तर: S (G) = 11 3

दिलेल्या रेषांद्वारे मर्यादित असलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, आपल्याला एका समतल रेषा तयार कराव्या लागतील, त्यांचे छेदनबिंदू शोधा आणि क्षेत्र शोधण्यासाठी सूत्र लागू करा. या विभागात, आम्ही कार्यांच्या सर्वात सामान्य प्रकारांचे परीक्षण केले.

तुम्हाला मजकुरात त्रुटी आढळल्यास, कृपया ते हायलाइट करा आणि Ctrl+Enter दाबा

या लेखात तुम्ही अविभाज्य गणना वापरून रेषांनी बांधलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे ते शिकाल. हायस्कूलमध्ये अशा प्रकारच्या समस्येच्या निर्मितीचा सामना पहिल्यांदाच आम्हाला होतो, जेव्हा आम्ही नुकतेच निश्चित अविभाज्य घटकांचा अभ्यास पूर्ण केला आणि अभ्यासात प्राप्त केलेल्या ज्ञानाचे भौमितिक व्याख्या सुरू करण्याची वेळ आली आहे.

तर, इंटिग्रल्स वापरून आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याच्या समस्येचे यशस्वीरित्या निराकरण करण्यासाठी काय आवश्यक आहे:

• सक्षम रेखाचित्रे तयार करण्याची क्षमता;
• सुप्रसिद्ध न्यूटन-लीबनिझ सूत्र वापरून निश्चित अविभाज्य निराकरण करण्याची क्षमता;
• अधिक फायदेशीर उपाय पर्याय "पाहण्याची" क्षमता - उदा. एका किंवा दुसऱ्या प्रकरणात एकत्रीकरण करणे अधिक सोयीचे कसे होईल हे समजून घ्या? x-अक्ष (OX) किंवा y-अक्ष (OY) बाजूने?
• बरं, योग्य आकडेमोड केल्याशिवाय आपण कुठे असू?) यामध्ये इतर प्रकारच्या अविभाज्यांचे निराकरण कसे करावे आणि योग्य संख्यात्मक गणना कशी करावी हे समजून घेणे समाविष्ट आहे.

ओळींनी बांधलेल्या आकृतीच्या क्षेत्राची गणना करण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी अल्गोरिदम:

1. आम्ही एक रेखाचित्र तयार करतो. हे एका चेकर्ड पेपरच्या तुकड्यावर, मोठ्या प्रमाणावर करणे उचित आहे. आम्ही प्रत्येक आलेखाच्या वर पेन्सिलने या फंक्शनच्या नावावर स्वाक्षरी करतो. आलेखांवर स्वाक्षरी करणे केवळ पुढील गणनांच्या सोयीसाठी केले जाते. इच्छित आकृतीचा आलेख प्राप्त झाल्यानंतर, बहुतेक प्रकरणांमध्ये हे त्वरित स्पष्ट होईल की कोणत्या मर्यादा वापरल्या जातील. अशा प्रकारे, आम्ही ग्राफिक पद्धतीने समस्येचे निराकरण करतो. तथापि, असे घडते की मर्यादांची मूल्ये अपूर्णांक किंवा असमंजसपणाची असतात. म्हणून, आपण अतिरिक्त गणना करू शकता, चरण दोन वर जा.

2. जर एकत्रीकरणाच्या मर्यादा स्पष्टपणे नमूद केल्या नसतील, तर आपण आलेखांचे एकमेकांशी छेदनबिंदू शोधतो आणि आपले ग्राफिकल सोल्यूशन विश्लेषणात्मक एकाशी जुळते की नाही ते पाहतो.

3. पुढे, आपल्याला रेखांकनाचे विश्लेषण करणे आवश्यक आहे. फंक्शन आलेखांची मांडणी कशी केली जाते यावर अवलंबून, आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याचे वेगवेगळे मार्ग आहेत. पूर्णांक वापरून आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची वेगवेगळी उदाहरणे पाहू.

३.१. जेव्हा आपल्याला वक्र ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्र शोधण्याची आवश्यकता असते तेव्हा समस्येची सर्वात क्लासिक आणि सोपी आवृत्ती असते. वक्र ट्रॅपेझॉइड म्हणजे काय? ही एक सपाट आकृती आहे जी x-अक्ष (y = 0), सरळ रेषा x = a, x = b आणि a ते b च्या मध्यांतरातील कोणतीही वक्र द्वारे मर्यादित आहे. शिवाय, ही आकृती गैर-ऋणात्मक आहे आणि x-अक्षाच्या खाली स्थित नाही. या प्रकरणात, कर्व्हिलिनियर ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ न्यूटन-लेबनिझ सूत्र वापरून गणना केलेल्या एका विशिष्ट अविभाज्यतेच्या संख्येनुसार समान आहे:

उदाहरण १ y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

आकृती कोणत्या रेषांनी बांधलेली आहे? आमच्याकडे पॅराबोला y = x2 - 3x + 3 आहे, जो OX अक्षाच्या वर स्थित आहे, तो गैर-ऋणात्मक आहे, कारण या पॅराबोलाच्या सर्व बिंदूंची सकारात्मक मूल्ये आहेत. पुढे, सरळ रेषा x = 1 आणि x = 3 दिल्या आहेत, ज्या op-amp च्या अक्षाच्या समांतर चालतात आणि डावीकडे आणि उजव्या बाजूच्या आकृतीच्या सीमारेषा आहेत. बरं, y = 0, जो x-अक्ष देखील आहे, जो खालील आकृतीला मर्यादित करतो. परिणामी आकृती छायांकित आहे, जसे की डावीकडील आकृतीवरून पाहिले जाऊ शकते. या प्रकरणात, आपण त्वरित समस्येचे निराकरण करण्यास प्रारंभ करू शकता. आमच्यासमोर वक्र ट्रॅपेझॉइडचे एक साधे उदाहरण आहे, जे आम्ही नंतर न्यूटन-लेबनिझ सूत्र वापरून सोडवतो.

३.२. मागील परिच्छेद 3.1 मध्ये, जेव्हा वक्र ट्रॅपेझॉइड x-अक्षाच्या वर स्थित असतो तेव्हा आम्ही केस तपासले. आता जेव्हा फंक्शन x-अक्षाखाली असते त्याशिवाय, समस्येच्या परिस्थिती समान असतात तेव्हा केस विचारात घ्या. मानक न्यूटन-लेबनिझ सूत्रामध्ये एक वजा जोडला जातो. अशा समस्येचे निराकरण कसे करायचे ते आम्ही खाली विचार करू.

उदाहरण २. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 या रेषांनी बांधलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ काढा.

या उदाहरणात आपल्याकडे पॅराबोला y = x2 + 6x + 2 आहे, जो OX अक्षाखाली, सरळ रेषा x = -4, x = -1, y = 0 पासून उद्भवतो. येथे y = 0 वरून इच्छित आकृती मर्यादित करते. सरळ रेषा x = -4 आणि x = -1 या सीमा आहेत ज्यामध्ये निश्चित पूर्णांक मोजला जाईल. आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याच्या समस्येचे निराकरण करण्याचे तत्त्व उदाहरण क्रमांक 1 सह जवळजवळ पूर्णपणे जुळते. फरक एवढाच आहे की दिलेले फंक्शन धनात्मक नाही आणि मध्यांतर [-4; -1]. सकारात्मक नाही म्हणायचे काय? आकृतीवरून पाहिल्याप्रमाणे, दिलेल्या x च्या आत असलेल्या आकृतीमध्ये केवळ "नकारात्मक" निर्देशांक असतात, जे समस्या सोडवताना आपण पाहणे आणि लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे. आम्ही न्यूटन-लेबनिझ सूत्र वापरून आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधतो, फक्त सुरुवातीला वजा चिन्हासह.

लेख पूर्ण झालेला नाही.