साधे लॉगरिदम सोडवणे. लॉगरिदमिक सूत्रे

प्राथमिक शाळेपासूनची समीकरणे आपण सर्व परिचित आहोत. तिथेही आम्ही सोपी उदाहरणे सोडवायला शिकलो आणि उच्च गणितातही त्यांचा अर्ज सापडतो हे आपण मान्य केले पाहिजे. चतुर्भुज समीकरणांसह सर्व काही समीकरणांसह सोपे आहे. तुम्हाला या विषयात समस्या येत असल्यास, आम्ही जोरदार शिफारस करतो की तुम्ही त्याचे पुनरावलोकन करा.

तुम्ही कदाचित आधीच लॉगरिदम मधून गेला आहात. तथापि, ज्यांना अद्याप माहित नाही त्यांच्यासाठी ते काय आहे हे सांगणे आम्ही महत्त्वाचे मानतो. लॉगॅरिथम चिन्हाच्या उजवीकडे संख्या मिळविण्यासाठी बेस वाढवणे आवश्यक असलेल्या शक्तीशी समतुल्य आहे. चला एक उदाहरण देऊ ज्याच्या आधारे सर्वकाही स्पष्ट होईल.

जर तुम्ही 3 ला चौथ्या घात वाढवला तर तुम्हाला 81 मिळेल. आता संख्यांना सादृश्यतेने बदला, आणि शेवटी तुम्हाला लॉगरिदम कसे सोडवले जातात ते समजेल. आता फक्त चर्चा केलेल्या दोन संकल्पना एकत्र करणे बाकी आहे. सुरुवातीला, परिस्थिती अत्यंत क्लिष्ट दिसते, परंतु बारकाईने तपासणी केल्यावर वजन जागेवर येते. आम्हाला खात्री आहे की या छोट्या लेखानंतर युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या या भागात तुम्हाला समस्या येणार नाहीत.

आज अशा संरचनांचे निराकरण करण्याचे अनेक मार्ग आहेत. युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशन टास्कच्या बाबतीत आम्ही तुम्हाला सर्वात सोप्या, सर्वात प्रभावी आणि सर्वात लागू असलेल्या गोष्टींबद्दल सांगू. लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवणे सर्वात सोप्या उदाहरणाने सुरू केले पाहिजे. सर्वात सोप्या लॉगरिदमिक समीकरणांमध्ये फंक्शन आणि एक व्हेरिएबल असते.

x हा युक्तिवादाच्या आत आहे हे लक्षात घेणे महत्त्वाचे आहे. A आणि b संख्या असणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, तुम्ही फंक्शनला एका संख्येच्या बळावर व्यक्त करू शकता. असे दिसते.

अर्थात, ही पद्धत वापरून लॉगरिदमिक समीकरण सोडवल्यास तुम्हाला योग्य उत्तर मिळेल. या प्रकरणात बहुसंख्य विद्यार्थ्यांची समस्या अशी आहे की त्यांना काय येते ते समजत नाही. परिणामी, तुम्हाला चुका सहन कराव्या लागतील आणि इच्छित गुण मिळत नाहीत. आपण अक्षरे मिसळल्यास सर्वात आक्षेपार्ह चूक होईल. अशा प्रकारे समीकरण सोडवण्यासाठी, तुम्हाला हे मानक शाळेचे सूत्र लक्षात ठेवणे आवश्यक आहे कारण ते समजणे कठीण आहे.

हे सोपे करण्यासाठी, आपण दुसर्या पद्धतीचा अवलंब करू शकता - कॅनोनिकल फॉर्म. कल्पना अत्यंत सोपी आहे. तुमचे लक्ष परत समस्येकडे वळवा. लक्षात ठेवा की अक्षर a ही संख्या आहे, फंक्शन किंवा व्हेरिएबल नाही. A एक समान नाही आणि शून्यापेक्षा जास्त आहे. बी वर कोणतेही निर्बंध नाहीत. आता सर्व सूत्रांपैकी एक लक्षात ठेवूया. B खालीलप्रमाणे व्यक्त करता येईल.

यावरून असे दिसून येते की लॉगरिदमसह सर्व मूळ समीकरणे फॉर्ममध्ये दर्शविली जाऊ शकतात:

आता आपण लॉगरिदम टाकू शकतो. परिणाम म्हणजे एक साधी रचना, जी आपण आधी पाहिली आहे.

या सूत्राची सोय या वस्तुस्थितीत आहे की ती केवळ सोप्या डिझाइनसाठीच नव्हे तर विविध प्रकरणांमध्ये वापरली जाऊ शकते.

OOF बद्दल काळजी करू नका!

अनेक अनुभवी गणितज्ञांच्या लक्षात येईल की आम्ही व्याख्येच्या क्षेत्राकडे लक्ष दिले नाही. नियम F(x) 0 पेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे या वस्तुस्थितीवर उकळते. नाही, आम्ही हा मुद्दा गमावला नाही. आता आम्ही कॅनोनिकल फॉर्मच्या आणखी एका गंभीर फायद्याबद्दल बोलत आहोत.

येथे अतिरिक्त मुळे नसतील. जर व्हेरिएबल फक्त एकाच ठिकाणी दिसत असेल, तर स्कोप आवश्यक नाही. ते आपोआप होते. हा निर्णय सत्यापित करण्यासाठी, अनेक सोपी उदाहरणे सोडवण्याचा प्रयत्न करा.

वेगवेगळ्या बेससह लॉगरिदमिक समीकरणे कशी सोडवायची

ही आधीच गुंतागुंतीची लॉगरिदमिक समीकरणे आहेत आणि ती सोडवण्याचा दृष्टीकोन विशेष असावा. येथे कुख्यात कॅनोनिकल फॉर्ममध्ये स्वतःला मर्यादित करणे क्वचितच शक्य आहे. चला आपली तपशीलवार कथा सुरू करूया. आमच्याकडे खालील बांधकाम आहे.

अंशाकडे लक्ष द्या. त्यात लॉगरिथम आहे. तुम्हाला हे एखाद्या टास्कमध्ये दिसल्यास, एक मनोरंजक युक्ती लक्षात ठेवण्यासारखी आहे.

याचा अर्थ काय? प्रत्येक लॉगरिदम सोयीस्कर बेससह दोन लॉगरिदमचा भाग म्हणून दर्शविला जाऊ शकतो. आणि या सूत्रात एक विशेष बाब आहे जी या उदाहरणाला लागू होते (आम्ही म्हणजे c=b असल्यास).

अगदी हाच अंश आपण आपल्या उदाहरणात पाहतो. अशा प्रकारे.

मूलत:, आम्ही अपूर्णांक फिरवला आणि अधिक सोयीस्कर अभिव्यक्ती मिळाली. हे अल्गोरिदम लक्षात ठेवा!

आता हे आवश्यक आहे की लॉगरिदमिक समीकरणात भिन्न आधार नसतात. चला आधार अपूर्णांक म्हणून दर्शवू.

गणितात एक नियम आहे ज्याच्या आधारे तुम्ही बेसमधून पदवी मिळवू शकता. खालील बांधकाम परिणाम.

असे दिसते की आता आपली अभिव्यक्ती प्रामाणिक स्वरूपात बदलण्यापासून आणि त्याचे निराकरण करण्यापासून आपल्याला काय रोखत आहे? इतके साधे नाही. लॉगरिदमच्या आधी कोणतेही अपूर्णांक नसावेत. चला ही परिस्थिती दुरुस्त करूया! अंश म्हणून अपूर्णांक वापरण्याची परवानगी आहे.

अनुक्रमे.

जर बेस समान असतील तर, आम्ही लॉगरिदम काढून टाकू शकतो आणि स्वतःच अभिव्यक्ती समतुल्य करू शकतो. अशा प्रकारे परिस्थिती पूर्वीपेक्षा खूपच सोपी होईल. जे राहिल ते एक प्राथमिक समीकरण आहे जे आपल्यापैकी प्रत्येकाला आठवी किंवा अगदी 7वी इयत्तेत कसे सोडवायचे हे माहित होते. आपण स्वतः गणना करू शकता.

आम्ही या लॉगरिदमिक समीकरणाचे एकमेव योग्य मूळ मिळवले आहे. लॉगरिदमिक समीकरण सोडवण्याची उदाहरणे अगदी सोपी आहेत, नाही का? आता तुम्ही युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी आणि उत्तीर्ण होण्यासाठी अगदी क्लिष्ट कामांना स्वतंत्रपणे सामोरे जाण्यास सक्षम असाल.

परिणाम काय?

कोणत्याही लॉगरिदमिक समीकरणांच्या बाबतीत, आपण एका अतिशय महत्त्वाच्या नियमातून पुढे जाऊ. अभिव्यक्ती शक्य तितक्या सोप्या स्वरूपात कमी करण्यासाठी अशा प्रकारे कार्य करणे आवश्यक आहे. या प्रकरणात, आपल्याला केवळ कार्य योग्यरित्या सोडविण्याचीच नाही तर शक्य तितक्या सोप्या आणि सर्वात तार्किक मार्गाने करण्याची देखील चांगली संधी असेल. गणितज्ञ नेहमी असेच काम करतात.

विशेषत: या प्रकरणात, आपण कठीण मार्ग शोधण्याची आम्ही जोरदार शिफारस करत नाही. काही साधे नियम लक्षात ठेवा जे तुम्हाला कोणत्याही अभिव्यक्तीचे रूपांतर करण्यास अनुमती देतील. उदाहरणार्थ, एकाच बेसवर दोन किंवा तीन लॉगरिदम कमी करा किंवा बेसमधून पॉवर मिळवा आणि त्यावर विजय मिळवा.

हे देखील लक्षात ठेवण्यासारखे आहे की लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी सतत सराव आवश्यक आहे. हळुहळू तुम्ही अधिकाधिक जटिल संरचनांकडे जाल आणि यामुळे तुम्हाला युनिफाइड स्टेट परीक्षेतील समस्यांचे सर्व प्रकार आत्मविश्वासाने सोडवता येतील. तुमच्या परीक्षेसाठी आगाऊ तयारी करा आणि शुभेच्छा!

लॉगरिदम म्हणजे काय?

लक्ष द्या!
अतिरिक्त आहेत
विशेष कलम 555 मधील साहित्य.
जे खूप "फार नाही..." आहेत त्यांच्यासाठी
आणि ज्यांना "खूप ...")

लॉगरिदम म्हणजे काय? लॉगरिदम कसे सोडवायचे? हे प्रश्न अनेक पदवीधरांना गोंधळात टाकतात. पारंपारिकपणे, लॉगरिदमचा विषय जटिल, अनाकलनीय आणि भितीदायक मानला जातो. विशेषत: लॉगरिदमसह समीकरणे.

हे अजिबात खरे नाही. एकदम! माझ्यावर विश्वास नाही? ठीक आहे. आता, फक्त 10-20 मिनिटांत तुम्ही:

1. तुम्हाला समजेल लॉगरिथम काय आहे.

2. घातांकीय समीकरणांचा संपूर्ण वर्ग सोडवायला शिका. आपण त्यांच्याबद्दल काहीही ऐकले नसले तरीही.

3. साध्या लॉगरिदमची गणना करायला शिका.

शिवाय, यासाठी तुम्हाला फक्त गुणाकार सारणी आणि संख्या घात कशी वाढवायची हे माहित असणे आवश्यक आहे...

मला वाटते की तुम्हाला शंका आहे... ठीक आहे, वेळ चिन्हांकित करा! जा!

प्रथम, हे समीकरण तुमच्या डोक्यात सोडवा:

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

जसजसा समाज विकसित होत गेला आणि उत्पादन अधिक गुंतागुंतीचे होत गेले, तसतसे गणितही विकसित होत गेले. साध्या ते गुंतागुंतीच्या हालचाली. बेरीज आणि वजाबाकीच्या पद्धती वापरून सामान्य लेखामधून, त्यांच्या पुनरावृत्तीसह, आम्ही गुणाकार आणि भागाकार या संकल्पनेवर आलो. गुणाकाराची पुनरावृत्ती कमी करणे ही घातांकाची संकल्पना बनली. आधार आणि घातांकाच्या संख्येवर अवलंबून राहण्याचे पहिले तक्ते आठव्या शतकात भारतीय गणितज्ञ वरसेना यांनी संकलित केले होते. त्यांच्याकडून आपण लॉगरिदमच्या घटनेची वेळ मोजू शकता.

ऐतिहासिक स्केच

16 व्या शतकात युरोपच्या पुनरुज्जीवनामुळे यांत्रिकी विकासाला चालना मिळाली. ट मोठ्या प्रमाणात गणना आवश्यक आहेबहु-अंकी संख्यांच्या गुणाकार आणि भागाकाराशी संबंधित. प्राचीन तक्ते उत्तम सेवा देणारे होते. त्यांनी जटिल ऑपरेशन्स सोप्या - बेरीज आणि वजाबाकीसह बदलणे शक्य केले. 1544 मध्ये प्रकाशित झालेल्या गणितज्ञ मायकेल स्टीफेलचे कार्य हे एक मोठे पाऊल होते, ज्यामध्ये त्यांना अनेक गणितज्ञांची कल्पना समजली. यामुळे केवळ अविभाज्य संख्यांच्या रूपातील शक्तींसाठीच नव्हे तर अनियंत्रित परिमेय संख्यांसाठीही सारण्या वापरणे शक्य झाले.

1614 मध्ये, स्कॉट्समन जॉन नेपियरने या कल्पना विकसित करून प्रथम नवीन संज्ञा "संख्येचा लॉगरिथम" सादर केली. साइन्स आणि कोसाइन तसेच स्पर्शिकेच्या लॉगरिदमची गणना करण्यासाठी नवीन जटिल तक्ते संकलित केली गेली. यामुळे खगोलशास्त्रज्ञांचे काम खूप कमी झाले.

नवीन सारण्या दिसू लागल्या, ज्या शास्त्रज्ञांनी तीन शतके यशस्वीरित्या वापरल्या. बीजगणितातील नवीन ऑपरेशनने त्याचे पूर्ण स्वरूप प्राप्त करण्यापूर्वी बराच वेळ गेला. लॉगरिथमची व्याख्या दिली गेली आणि त्याचे गुणधर्म अभ्यासले गेले.

केवळ 20 व्या शतकात, कॅल्क्युलेटर आणि संगणकाच्या आगमनाने, मानवतेने 13 व्या शतकात यशस्वीपणे काम केलेल्या प्राचीन तक्त्यांचा त्याग केला.

आज आपण b च्या लॉगॅरिथमला a चा आधार घालतो x ही संख्या b बनवण्यासाठी a ची शक्ती आहे. हे सूत्र म्हणून लिहिले आहे: x = log a(b).

उदाहरणार्थ, लॉग 3(9) 2 च्या बरोबरीचे असेल. जर तुम्ही व्याख्येचे पालन केले तर हे स्पष्ट आहे. जर आपण 3 ला 2 च्या बळावर वाढवले ​​तर आपल्याला 9 मिळेल.

अशा प्रकारे, तयार केलेली व्याख्या फक्त एक निर्बंध सेट करते: संख्या a आणि b वास्तविक असणे आवश्यक आहे.

लॉगरिदमचे प्रकार

क्लासिक व्याख्येला रिअल लॉगरिथम म्हणतात आणि प्रत्यक्षात a x = b या समीकरणाचे समाधान आहे. पर्याय a = 1 सीमारेषा आहे आणि स्वारस्य नाही. लक्ष द्या: 1 कोणत्याही शक्तीच्या 1 बरोबर आहे.

लॉगरिदमचे वास्तविक मूल्यजेव्हा बेस आणि आर्ग्युमेंट 0 पेक्षा जास्त असेल तेव्हाच परिभाषित केले जाते आणि बेस 1 च्या समान नसावा.

गणिताच्या क्षेत्रात विशेष स्थानलॉगरिदम प्ले करा, ज्यांना त्यांच्या बेसच्या आकारानुसार नाव दिले जाईल:

नियम आणि निर्बंध

लॉगरिदमचा मूलभूत गुणधर्म हा नियम आहे: उत्पादनाचा लॉगरिदम लॉगरिदमिक बेरीजच्या बरोबरीचा असतो. log abp = log a(b) + log a(p).

या विधानाचे रूपांतर असे असेल: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), भागफल फंक्शन फंक्शन्सच्या फरकाइतके आहे.

मागील दोन नियमांवरून हे पाहणे सोपे आहे: log a(b p) = p * log a(b).

इतर गुणधर्मांमध्ये हे समाविष्ट आहे:

टिप्पणी. एक सामान्य चूक करण्याची गरज नाही - बेरीजचे लॉगरिथम लॉगरिदमच्या बेरजेइतके नसते.

अनेक शतके, लॉगरिदम शोधण्याचे ऑपरेशन हे एक वेळ घेणारे काम होते. गणितज्ञांनी बहुपदी विस्ताराच्या लॉगरिदमिक सिद्धांताचे सुप्रसिद्ध सूत्र वापरले:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), जेथे n ही 1 पेक्षा मोठी नैसर्गिक संख्या आहे, जी गणनाची अचूकता निर्धारित करते.

एका बेसपासून दुसऱ्या बेसमध्ये संक्रमण आणि उत्पादनाच्या लॉगरिदमच्या गुणधर्माबद्दल प्रमेय वापरून इतर बेससह लॉगरिदमची गणना केली गेली.

ही पद्धत खूप श्रम-केंद्रित असल्याने आणि व्यावहारिक समस्या सोडवतानाअंमलबजावणी करणे कठीण आहे, आम्ही लॉगरिदमच्या पूर्व-संकलित सारण्या वापरल्या, ज्यामुळे सर्व कामांना लक्षणीय गती मिळाली.

काही प्रकरणांमध्ये, लॉगरिदमचे विशेष संकलित आलेख वापरले गेले, ज्याने कमी अचूकता दिली, परंतु इच्छित मूल्याच्या शोधात लक्षणीयरीत्या गती दिली. फंक्शनचे वक्र y = log a(x), अनेक बिंदूंवर तयार केलेले, तुम्हाला इतर कोणत्याही बिंदूवर फंक्शनचे मूल्य शोधण्यासाठी नियमित शासक वापरण्याची परवानगी देते. बर्याच काळापासून, अभियंते या हेतूंसाठी तथाकथित आलेख कागद वापरत होते.

17 व्या शतकात, प्रथम सहायक एनालॉग संगणन परिस्थिती दिसू लागली, ज्याने 19 व्या शतकापर्यंत संपूर्ण स्वरूप प्राप्त केले. सर्वात यशस्वी डिव्हाइसला स्लाइड नियम म्हटले गेले. डिव्हाइसची साधेपणा असूनही, त्याच्या देखाव्याने सर्व अभियांत्रिकी गणनेच्या प्रक्रियेस लक्षणीय गती दिली आणि याचा जास्त अंदाज लावणे कठीण आहे. सध्या, काही लोक या डिव्हाइसशी परिचित आहेत.

कॅल्क्युलेटर आणि संगणकाच्या आगमनाने इतर कोणत्याही उपकरणांचा वापर निरर्थक झाला.

समीकरणे आणि असमानता

लॉगरिदम वापरून विविध समीकरणे आणि असमानता सोडवण्यासाठी, खालील सूत्रे वापरली जातात:

• एका बेस वरून दुस-यावर जाणे: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• मागील पर्यायाचा परिणाम म्हणून: log a(b) = 1 / log b(a).

असमानता सोडवण्यासाठी हे जाणून घेणे उपयुक्त आहे:

• बेस आणि आर्ग्युमेंट दोन्ही एकापेक्षा मोठे किंवा कमी असतील तरच लॉगरिदमचे मूल्य सकारात्मक असेल; किमान एका अटीचे उल्लंघन केल्यास, लॉगरिथम मूल्य ऋणात्मक असेल.
• जर लॉगरिदम फंक्शन असमानतेच्या उजव्या आणि डाव्या बाजूस लागू केले असेल आणि लॉगरिदमचा पाया एकापेक्षा मोठा असेल, तर असमानतेचे चिन्ह जतन केले जाते; अन्यथा ते बदलते.

नमुना समस्या

लॉगरिदम आणि त्यांचे गुणधर्म वापरण्यासाठी अनेक पर्यायांचा विचार करूया. समीकरणे सोडवणारी उदाहरणे:

लॉगरिदम पॉवरमध्ये ठेवण्याच्या पर्यायाचा विचार करा:

• समस्या 3. 25^लॉग 5(3) ची गणना करा. ऊत्तराची: समस्येच्या परिस्थितीत, एंट्री खालील (5^2)^लॉग5(3) किंवा 5^(2 * लॉग 5(3)) सारखी आहे. चला ते वेगळ्या पद्धतीने लिहू: 5^log 5(3*2), किंवा फंक्शन आर्ग्युमेंट म्हणून संख्येचा वर्ग फंक्शनचाच वर्ग (5^log 5(3))^2 म्हणून लिहिता येईल. लॉगरिदमचे गुणधर्म वापरून, ही अभिव्यक्ती 3^2 च्या बरोबरीची आहे. उत्तरः गणनेच्या परिणामी आपल्याला 9 मिळतात.

व्यावहारिक वापर

निव्वळ गणिती साधन असल्याने, वास्तविक जगामध्ये वस्तूंचे वर्णन करण्यासाठी लॉगरिथमने अचानक खूप महत्त्व प्राप्त केले आहे असे वास्तविक जीवनापासून दूर असल्याचे दिसते. जिथे ते वापरले जात नाही असे विज्ञान शोधणे कठीण आहे. हे केवळ नैसर्गिकच नाही तर मानवतावादी ज्ञानाच्या क्षेत्रांनाही पूर्णपणे लागू होते.

लॉगरिदमिक अवलंबित्व

संख्यात्मक अवलंबनांची येथे काही उदाहरणे आहेत:

यांत्रिकी आणि भौतिकशास्त्र

ऐतिहासिकदृष्ट्या, यांत्रिकी आणि भौतिकशास्त्र हे नेहमीच गणितीय संशोधन पद्धती वापरून विकसित झाले आहेत आणि त्याच वेळी लॉगरिदमसह गणिताच्या विकासासाठी प्रोत्साहन म्हणून काम केले आहे. भौतिकशास्त्राच्या बहुतेक नियमांचा सिद्धांत गणिताच्या भाषेत लिहिला जातो. लॉगरिदम वापरून भौतिक नियमांचे वर्णन करण्यासाठी फक्त दोन उदाहरणे देऊ.

रॉकेटच्या गतीसारख्या जटिल प्रमाणाची गणना करण्याची समस्या त्सीओलकोव्स्की सूत्र वापरून सोडविली जाऊ शकते, ज्याने अवकाश संशोधनाच्या सिद्धांताचा पाया घातला:

V = I * ln (M1/M2), कुठे

• V हा विमानाचा अंतिम वेग आहे.
• मी - इंजिनचा विशिष्ट आवेग.
• एम 1 - रॉकेटचे प्रारंभिक वस्तुमान.
• एम 2 - अंतिम वस्तुमान.

दुसरे महत्त्वाचे उदाहरण- हे दुसर्या महान शास्त्रज्ञ मॅक्स प्लँकच्या सूत्रामध्ये वापरले जाते, जे थर्मोडायनामिक्समधील समतोल स्थितीचे मूल्यांकन करण्यासाठी कार्य करते.

S = k * ln (Ω), कुठे

• एस - थर्मोडायनामिक गुणधर्म.
• k - बोल्ट्झमन स्थिरांक.
• Ω हे वेगवेगळ्या राज्यांचे सांख्यिकीय वजन आहे.

रसायनशास्त्र

लॉगरिदमचे गुणोत्तर असलेल्या रसायनशास्त्रातील सूत्रांचा वापर कमी स्पष्ट आहे. फक्त दोन उदाहरणे देऊ:

• Nernst समीकरण, पदार्थांच्या क्रियाकलाप आणि समतोल स्थिरतेच्या संबंधात माध्यमाच्या रेडॉक्स संभाव्यतेची स्थिती.
• ऑटोलिसिस इंडेक्स आणि सोल्यूशनची आम्लता यासारख्या स्थिरांकांची गणना देखील आमच्या कार्याशिवाय करता येत नाही.

मानसशास्त्र आणि जीवशास्त्र

आणि मानसशास्त्राचा त्याच्याशी काय संबंध आहे हे अजिबात स्पष्ट नाही. उत्तेजक तीव्रतेच्या मूल्याचे कमी तीव्रतेच्या मूल्याचे व्यस्त गुणोत्तर असे या कार्याद्वारे संवेदनांच्या ताकदीचे चांगले वर्णन केले आहे.

वरील उदाहरणांनंतर, जीवशास्त्रात लॉगरिदमचा विषय मोठ्या प्रमाणावर वापरला जातो हे आता आश्चर्यकारक नाही. लॉगरिदमिक सर्पिलशी संबंधित जैविक स्वरूपांबद्दल संपूर्ण खंड लिहिले जाऊ शकतात.

इतर क्षेत्रे

असे दिसते की या कार्याशी जोडल्याशिवाय जगाचे अस्तित्व अशक्य आहे आणि ते सर्व कायद्यांचे नियमन करते. विशेषतः जेव्हा निसर्गाचे नियम भौमितिक प्रगतीशी संबंधित असतात. मॅटप्रोफी वेबसाइटकडे वळणे योग्य आहे आणि क्रियाकलापांच्या खालील क्षेत्रांमध्ये अशी अनेक उदाहरणे आहेत:

यादी अंतहीन असू शकते. या कार्याच्या मूलभूत तत्त्वांवर प्रभुत्व मिळवल्यानंतर, आपण अमर्याद शहाणपणाच्या जगात डुंबू शकता.

चला सुरुवात करूया एकाच्या लॉगरिदमचे गुणधर्म. त्याचे सूत्रीकरण खालीलप्रमाणे आहे: एकतेचा लॉगरिथम शून्याच्या समान आहे, म्हणजे, लॉग a 1=0कोणत्याही a>0, a≠1 साठी. पुरावा कठीण नाही: वरील अटी a>0 आणि a≠1 चे समाधान करणाऱ्या कोणत्याही साठी 0 =1, नंतर सिद्ध करण्यासाठी समानता लॉग a 1=0 लॉगरिदमच्या व्याख्येवरून लगेचच पुढे येतो.

विचारात घेतलेल्या गुणधर्माच्या अर्जाची उदाहरणे देऊ: लॉग 3 1=0, log1=0 आणि .

चला पुढील गुणधर्माकडे जाऊया: बेसच्या समान संख्येचा लॉगरिदम एक असतो, ते आहे, लॉग a a = 1 a>0, a≠1 साठी. खरंच, कोणत्याही a साठी 1 =a असल्याने, लॉगरिथमच्या व्याख्येनुसार लॉग a = 1.

लॉगरिदमचा हा गुणधर्म वापरण्याची उदाहरणे म्हणजे समानता लॉग 5 5=1, लॉग 5.6 5.6 आणि lne=1.

उदाहरणार्थ, लॉग 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 आणि .

दोन धन संख्यांच्या गुणाकाराचा लॉगरिदम x आणि y या संख्यांच्या लॉगरिदमच्या गुणाकाराच्या समान आहेत: log a (x y) = log a x+log a y, a>0 , a≠1 . उत्पादनाच्या लॉगरिदमचा गुणधर्म सिद्ध करूया. पदवीच्या गुणधर्मांमुळे लॉग a x+log a y =a लॉग a x ·a लॉग a y, आणि मुख्य लॉगरिदमिक आयडेंटिटीनुसार लॉग a x =x आणि लॉग a y =y, नंतर लॉग a x ·a लॉग a y =x·y. अशा प्रकारे, लॉग a x+log a y =x·y, ज्यावरून, लॉगरिदमच्या व्याख्येनुसार, समानता सिद्ध केली जाते.

उत्पादनाच्या लॉगरिदमची गुणधर्म वापरण्याची उदाहरणे दाखवू: लॉग 5 (2 3) = लॉग 5 2+लॉग 5 3 आणि .

उत्पादनाच्या लॉगॅरिथमचा गुणधर्म x 1 , x 2 , …, x n या सकारात्मक संख्यांच्या मर्यादित संख्येच्या गुणाकारात सामान्यीकृत केला जाऊ शकतो. लॉग a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . ही समानता समस्यांशिवाय सिद्ध केली जाऊ शकते.

उदाहरणार्थ, उत्पादनाचा नैसर्गिक लॉगरिदम 4, e, आणि संख्यांच्या तीन नैसर्गिक लॉगरिदमच्या बेरजेने बदलला जाऊ शकतो.

दोन सकारात्मक संख्यांच्या भागफलाचा लॉगरिदम x आणि y या संख्यांच्या लॉगरिदममधील फरकाच्या समान आहेत. भागफलाच्या लॉगरिथमचा गुणधर्म फॉर्मच्या सूत्राशी संबंधित आहे, जेथे a>0, a≠1, x आणि y काही सकारात्मक संख्या आहेत. या सूत्राची वैधता तसेच उत्पादनाच्या लॉगरिथमचे सूत्र सिद्ध केले आहे: पासून , नंतर लॉगरिथमच्या व्याख्येनुसार.

लॉगरिदमचा हा गुणधर्म वापरण्याचे येथे एक उदाहरण आहे: .

चला पुढे जाऊया पॉवरच्या लॉगरिदमचा गुणधर्म. पदवीचा लॉगरिथम हा घातांकाच्या गुणाकाराच्या आणि या अंशाच्या पायाच्या मॉड्यूलसच्या लॉगरिथमच्या बरोबरीचा असतो. घाताच्या लॉगरिदमचा हा गुणधर्म सूत्र म्हणून लिहू: log a b p = p·log a |b|, जेथे a>0, a≠1, b आणि p अशा संख्या आहेत ज्यात b p पदवी आणि b p > 0 अर्थ प्राप्त होतो.

प्रथम आपण ही मालमत्ता सकारात्मक b साठी सिद्ध करतो. मूलभूत लॉगॅरिदमिक ओळख आपल्याला b ही संख्या लॉग a b म्हणून दर्शवू देते, नंतर b p =(a log a b) p , आणि परिणामी अभिव्यक्ती, सामर्थ्याच्या गुणधर्मामुळे, p·log a b सारखी असते. म्हणून आपण समानता b p =a p·log a b वर येतो, ज्यावरून, लॉगॅरिथमच्या व्याख्येनुसार, आपण असा निष्कर्ष काढतो की log a b p =p·log a b.

नकारात्मक b साठी ही मालमत्ता सिद्ध करणे बाकी आहे. येथे आपण लक्षात घेतो की ऋण b साठी a b p ही अभिव्यक्ती केवळ सम घातांक p साठी अर्थपूर्ण आहे (कारण b p पदवीचे मूल्य शून्यापेक्षा मोठे असणे आवश्यक आहे, अन्यथा लॉगरिथमला अर्थ प्राप्त होणार नाही) आणि या प्रकरणात b p =|b| p मग b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, जिथून लॉग a b p =p·log a |b| .

उदाहरणार्थ, आणि ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

हे मागील मालमत्तेचे अनुसरण करते मूळ पासून लॉगरिदमचा गुणधर्म: nव्या मूळचा लॉगरिथम मूलगामी अभिव्यक्तीच्या लॉगरिथमने 1/n अपूर्णांकाच्या गुणाकाराच्या समान आहे, म्हणजे, , जेथे a>0, a≠1, n ही एक नैसर्गिक संख्या आहे, b>0.

पुरावा समानता (पहा) वर आधारित आहे, जो कोणत्याही सकारात्मक b साठी वैध आहे आणि पॉवरच्या लॉगरिथमच्या गुणधर्मावर आहे: .

ही मालमत्ता वापरण्याचे येथे एक उदाहरण आहे: .

आता सिद्ध करूया नवीन लॉगरिदम बेसवर जाण्यासाठी सूत्रदयाळू . हे करण्यासाठी, समानता log c b=log a b·log c a ची वैधता सिद्ध करणे पुरेसे आहे. मूलभूत लॉगॅरिथमिक ओळख आपल्याला b ला लॉग a b म्हणून दर्शवू देते, नंतर log c b=log c a log a b. पदवीच्या लॉगरिथमची मालमत्ता वापरणे बाकी आहे: log c a log a b = log a b log c a. हे समानता log c b=log a b·log c a सिद्ध करते, याचा अर्थ लॉगॅरिथमच्या नवीन पायावर संक्रमण करण्याचे सूत्र देखील सिद्ध झाले आहे.

लॉगरिदमचा हा गुणधर्म वापरण्याची काही उदाहरणे दाखवूया: आणि .

नवीन बेसवर जाण्याचे सूत्र तुम्हाला "सोयीस्कर" बेस असलेल्या लॉगरिदमसह कार्य करण्यास पुढे जाण्यास अनुमती देते. उदाहरणार्थ, याचा वापर नैसर्गिक किंवा दशांश लॉगरिदमवर जाण्यासाठी केला जाऊ शकतो जेणेकरून तुम्ही लॉगरिदमच्या सारणीवरून लॉगरिदमचे मूल्य काढू शकता. नवीन लॉगरिदम बेसवर जाण्याचे सूत्र काही प्रकरणांमध्ये, दिलेल्या लॉगरिदमचे मूल्य शोधण्याची अनुमती देते जेव्हा इतर बेससह काही लॉगरिदमची मूल्ये ज्ञात असतात.

फॉर्मच्या c=b साठी नवीन लॉगरिदम बेसमध्ये संक्रमणासाठी सूत्राचा एक विशेष केस अनेकदा वापरला जातो. . हे दर्शविते की लॉग a b आणि log b a – . उदा. .

सूत्र देखील अनेकदा वापरले जाते , जी लॉगरिदम मूल्ये शोधण्यासाठी सोयीस्कर आहे. आमच्या शब्दांची पुष्टी करण्यासाठी, आम्ही फॉर्मच्या लॉगरिथमच्या मूल्याची गणना करण्यासाठी ते कसे वापरले जाऊ शकते ते दर्शवू. आमच्याकडे आहे . सूत्र सिद्ध करण्यासाठी लॉगरिथमच्या नवीन बेसवर संक्रमण करण्यासाठी सूत्र वापरणे पुरेसे आहे a: .

लॉगरिदमच्या तुलनेचे गुणधर्म सिद्ध करणे बाकी आहे.

b 1 आणि b 2, b 1 या कोणत्याही धन संख्यांसाठी सिद्ध करूया लॉग a b 2 , आणि a>1 साठी - असमानता लॉग a b 1

शेवटी, लॉगरिदमच्या सूचीबद्ध गुणधर्मांपैकी शेवटचे सिद्ध करणे बाकी आहे. आपण स्वतःला त्याच्या पहिल्या भागाच्या पुराव्यापुरते मर्यादित करूया, म्हणजेच आपण हे सिद्ध करू की जर 1 > 1, 2 > 1 आणि 1 असेल तर 1 हा खरा लॉग a 1 b>log a 2 b आहे. लॉगरिदमच्या या गुणधर्माची उर्वरित विधाने समान तत्त्वानुसार सिद्ध केली जातात.

चला उलट पद्धत वापरू. समजा 1 > 1, 2 > 1 आणि 1 साठी 1 हा खरा लॉग a 1 b≤log a 2 b आहे. लॉगरिदमच्या गुणधर्मांवर आधारित, या असमानता पुन्हा लिहिल्या जाऊ शकतात आणि अनुक्रमे, आणि त्यांच्याकडून ते अनुक्रमे log b a 1 ≤log b a 2 आणि log b a 1 ≥log b a 2 चे अनुसरण करते. नंतर, समान पाया असलेल्या शक्तींच्या गुणधर्मांनुसार, समानता b log b a 1 ≥b log b a 2 आणि b log b a 1 ≥b log b a 2 धारण करणे आवश्यक आहे, म्हणजे, a 1 ≥a 2. म्हणून आम्ही अट अ 1 च्या विरोधाभासावर आलो

संदर्भग्रंथ.