रेखीय एकसंध विभेदक समीकरणाच्या सामान्य समाधानाची रचना. रेखीय असमान विभेदक समीकरणाच्या सामान्य समाधानाची रचना

अशा समीकरणाच्या सामान्य समाधानाची रचना खालील प्रमेयाद्वारे निश्चित केली जाते.

प्रमेय 1. एकसमान समीकरणाचे सामान्य समाधान (1) या समीकरणाच्या काही विशिष्ट समाधानाची बेरीज म्हणून प्रस्तुत केले जाते. y hआणि संबंधित एकसंध समीकरणाचे सामान्य समाधान

पुरावा. आम्हाला हे सिद्ध करायचे आहे की बेरीज (3)

समीकरणाचे एक सामान्य समाधान आहे (1).

प्रथम हे सिद्ध करूया की फंक्शन (3) हे समीकरण (1) चे समाधान आहे. त्याऐवजी बदलत आहे येथेसमीकरण (1) मधील बेरीज असेल:

– हे समीकरण (2) चे समाधान असल्याने, समीकरण (4) च्या पहिल्या कंसातील अभिव्यक्ती शून्याच्या समान आहे. कारण y hसमीकरण (1) चे समाधान आहे, तर दुसऱ्या कंसातील अभिव्यक्ती (4) बरोबर आहे f(x). म्हणून, समानता (4) ही एक ओळख आहे. अशा प्रकारे, प्रमेयाचा पहिला भाग सिद्ध होतो.

आता आपण हे सिद्ध करूया की अभिव्यक्ती (3) हे समीकरण (1) चे सामान्य समाधान आहे, म्हणजे. आपण हे सिद्ध करूया की त्यात समाविष्ट केलेले अनियंत्रित स्थिरांक निवडले जाऊ शकतात जेणेकरुन सुरुवातीच्या अटी (5) पूर्ण होतील

संख्या काहीही असो x 0, y 0,आणि (फक्त फंक्शन्स असतील तर अ 1, अ 2आणि f(x)सतत).

हे लक्षात घेऊन आपण त्याचे प्रतिनिधित्व करू शकतो , कुठे y 1, y 2समीकरणाचे रेखीय स्वतंत्र समाधान (2), आणि क १आणि C 2अनियंत्रित स्थिरांक आहेत, आपण समानता (3) फॉर्ममध्ये पुन्हा लिहू शकतो. नंतर, स्थिती (5) वर आधारित, आमच्याकडे एक प्रणाली असेल

.

या समीकरण प्रणालीवरून ते निश्चित करणे आवश्यक आहे क १आणि C 2. फॉर्ममध्ये सिस्टम पुन्हा लिहू

(6)

प्रणाली निर्धारक - उपायांसाठी एक व्रोन्स्की निर्धारक आहे 1 वाजताआणि 2 वाजताबिंदूवर ही फंक्शन्स स्थितीनुसार रेखीयरित्या स्वतंत्र असल्याने, रॉन्स्की निर्धारक शून्याच्या बरोबरीचे नाही, म्हणून सिस्टम (6) चे एक अद्वितीय समाधान आहे क १आणि C 2, म्हणजे असे अर्थ आहेत क १आणि C 2कोणत्या सूत्रावर (3) समीकरणाचे समाधान (1) दिलेल्या प्रारंभिक परिस्थितीचे समाधान ठरवते.

अशाप्रकारे, एकसंध समीकरण (2) चे सामान्य समाधान ज्ञात असल्यास, एकसंध समीकरण (1) एकत्रित करताना मुख्य कार्य म्हणजे कोणतेही विशिष्ट समाधान शोधणे. y h.

विशेष उजव्या बाजूने स्थिर गुणांकांसह दुसऱ्या क्रमाची रेखीय अशक्त विभेदक समीकरणे. अनिर्धारित गुणांकांची पद्धत.

कधीकधी एकीकरणाचा अवलंब न करता सोपा उपाय शोधणे शक्य आहे. हे विशेष प्रकरणांमध्ये उद्भवते जेव्हा कार्य f(x)एक विशेष देखावा आहे.

आपण समीकरण करूया, (1)

कुठे pआणि qवास्तविक संख्या आणि f(x)एक विशेष देखावा आहे. समीकरणासाठी अशा अनेक शक्यतांचा विचार करूया (१).

समीकरणाची उजवी बाजू (1) घातांकीय फंक्शन आणि बहुपदीची गुणाकार असू द्या, उदा. असे दिसते आहे की , (2)

nth पदवीचा बहुपदी कुठे आहे. मग खालील प्रकरणे शक्य आहेत:

अ) संख्या - मूळ नाहीवैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण .

या प्रकरणात, फॉर्ममध्ये विशिष्ट उपाय शोधणे आवश्यक आहे (3)

त्या बहुपदीच्या स्वरूपात देखील n-वी पदवी, कुठे A 0, A 1, …, A nगुणांक निश्चित करणे आवश्यक आहे.

ते निश्चित करण्यासाठी, आम्हाला डेरिव्हेटिव्ह्ज आणि .

बदली y h, आणि समीकरण (1) मध्ये आणि घटकाद्वारे दोन्ही बाजू कमी केल्यास आपल्याकडे असेल:

येथे nव्या अंशाची बहुपदी आहे, – (n-1)व्या पदवीची बहुपदी आणि – (n-2)व्या पदवीची बहुपदी आहे.

अशा प्रकारे, समान चिन्हाच्या डावीकडे आणि उजवीकडे बहुपदी आहेत n-वी पदवी. समान अंशांवर गुणांक समीकरण करणे एक्स(अज्ञात गुणांकांची संख्या समान आहे), आम्ही गुणांक निश्चित करण्यासाठी समीकरणांची एक प्रणाली प्राप्त करतो A 0, A 1, ..., A n.

समीकरणाच्या उजव्या बाजूला (1) फॉर्म असल्यास:

उच्च आदेशांचा D U

आम्ही आधीच म्हटल्याप्रमाणे, भिन्न समीकरणांमध्ये विविध ऑर्डरचे डेरिव्हेटिव्ह असू शकतात.

अशा विभेदक समीकरणांमध्ये समाधाने असतात ज्यात अनेक अनियंत्रित एकीकरण स्थिरांक असतात → विभेदक समीकरणाचा क्रम काय आहे, उदा. 2ऱ्या क्रमाच्या विभेदक समीकरणासाठी दोन अनियंत्रित स्थिरांक C1 आणि C2 असतील, तिसऱ्या क्रमासाठी →C1, C2 आणि C3, इ.

अशा प्रकारे, अशा विभेदक समीकरणाचे सामान्य समाधान (सामान्य अविभाज्य) हे कार्य असेल

.

अशा विभेदक समीकरणांचे विशिष्ट सोल्यूशन मिळविण्यासाठी, विभेदक समीकरणाच्या क्रमाइतक्या प्रारंभिक अटी किंवा सामान्य सोल्यूशनमध्ये किती अनियंत्रित स्थिरांक प्राप्त होतात हे सेट करणे आवश्यक आहे.

डी U पूर्ण भिन्नता मध्ये. समाकलित करणारा घटक

जर त्याची डावी बाजू काही गुळगुळीत कार्याची संपूर्ण भिन्नता असेल तर फॉर्मच्या विभेदक समीकरणाला संपूर्ण विभेदक समीकरण म्हणतात. तर , . अशा फंक्शनच्या अस्तित्वासाठी आवश्यक आणि पुरेशी स्थिती फॉर्म आहे:

एकूण भिन्नतांमधील भिन्न समीकरण सोडवण्यासाठी, तुम्हाला फंक्शन शोधणे आवश्यक आहे. मग विभेदक समीकरणाचे सामान्य समाधान एका अनियंत्रित स्थिरांक C साठी फॉर्ममध्ये लिहिले जाऊ शकते.

विभेदक समीकरणासाठी समाकलित करणारा घटक

अशा फंक्शनला असे फंक्शन म्हणतात, ज्याद्वारे गुणाकार केल्यानंतर विभेदक समीकरण एकूण भिन्नतांमधील समीकरणात बदलते. जर समीकरणातील M आणि N फंक्शन्समध्ये सतत आंशिक डेरिव्हेटिव्ह्ज असतील आणि ते एकाच वेळी नाहीसे होत नसतील, तर एक एकीकृत घटक अस्तित्वात आहे. तथापि, ते शोधण्यासाठी कोणतीही सामान्य पद्धत नाही.

LNDU च्या सामान्य समाधानाची रचना

रेखीय एकसंध विभेदक समीकरण विचारात घ्या

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).

− प्रारंभिक बिंदू (x0, y0, ) , x0∈ काहीही असो, C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 अशी मूल्ये आहेत की फंक्शन y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) समाधानी होते प्रारंभिक परिस्थिती y(x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .

खालील विधान सत्य आहे (रेषीय एकसंध समीकरणाच्या सामान्य समाधानाच्या संरचनेवरील प्रमेय).

रेखीय एकसंध विभेदक समीकरणाच्या समीकरणाचे सर्व गुणांक मध्यांतरावर निरंतर असल्यास, आणि कार्ये y1(x), y2(x),..., yn(x) संबंधित एकसंध समीकरणाच्या निराकरणाची प्रणाली तयार करतात , नंतर एकसमान समीकरणाच्या सामान्य समाधानाचे स्वरूप आहे

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

जेथे C1,...,Cn हे अनियंत्रित स्थिरांक आहेत, y*(x) हे एकसंध समीकरणाचे विशिष्ट समाधान आहे.

LNDU 2रा ऑर्डर

दुस-या क्रमाची रेखीय असमानता विभेदक समीकरणे.

y" + py" + qy = f(x) या फॉर्मचे समीकरण, जेथे p आणि q या वास्तविक संख्या आहेत, f(x) एक सतत कार्य आहे, त्याला स्थिर गुणांक असलेले द्वितीय-क्रम रेखीय असमान समीकरण म्हणतात.

समीकरणाचे सामान्य समाधान म्हणजे एकसंध समीकरणाच्या विशिष्ट सोल्यूशनची बेरीज आणि संबंधित एकसंध समीकरणाचे सामान्य समाधान. एकसंध समीकरणाचा सामान्य उपाय शोधण्याचा अभ्यास केला गेला आहे. विशिष्ट उपाय शोधण्यासाठी, आम्ही अनिश्चित गुणांकांची पद्धत वापरू, ज्यामध्ये एकीकरण प्रक्रिया नाही.

y" + py" + qy = f(x) या समीकरणाच्या उजव्या बाजूच्या विविध प्रकारांचा विचार करू.

1) उजव्या बाजूस F(x) = Pn(x) फॉर्म आहे, जेथे Pn(x) पदवी n चा बहुपदी आहे. नंतर एक विशिष्ट उपाय y या फॉर्ममध्ये शोधला जाऊ शकतो जेथे Qn (x) हा Pn (x) सारख्याच अंशाचा बहुपदी आहे आणि r ही वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणाच्या मुळांची संख्या शून्य आहे.

उदाहरण. y" – 2y" + y = x+1 या समीकरणाचे सामान्य समाधान शोधा.

उपाय:संबंधित एकसंध समीकरणाच्या सामान्य सोल्युशनमध्ये Y = ex (C1 + C2x) असे स्वरूप आहे. k2 – 2k + 1 = 0 या वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणाचे कोणतेही मूळ शून्य (k1 = k2 = 1) च्या बरोबरीचे नसल्यामुळे, A आणि B अज्ञात गुणांक असलेल्या फॉर्ममध्ये आम्ही विशिष्ट समाधान शोधतो. या समीकरणामध्ये दोनदा फरक करून “आणि” बदलल्यास आपल्याला –2A + Ax + B = x + 1 आढळतो.

समानतेच्या दोन्ही बाजूंच्या x च्या समान शक्तींसाठी गुणांक समीकरण करणे: A = 1, –2A + B = 1, आपल्याला A = 1, B = 3 सापडतो. म्हणून, या समीकरणाच्या विशिष्ट समाधानाचे स्वरूप = x आहे + 3, आणि त्याचे सामान्य समाधान y = ex (C1 + C2x) + x + Z आहे.

2) उजव्या बाजूस f(x) = eax Pn(x) असे स्वरूप आहे, जेथे Рn (x) ही पदवी n चा बहुपदी आहे. नंतर एक विशिष्ट उपाय या स्वरूपात शोधला पाहिजे जेथे Qn(x) हा Pn (x) सारख्याच अंशाचा बहुपदी आहे आणि r ही वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणाच्या मुळांची संख्या a च्या समान आहे. जर a = 0 असेल, तर f(x) = Pn (x), म्हणजे केस 1 येते.

स्थिर गुणांकांसह LOD.

विभेदक समीकरण विचारात घ्या

वास्तविक स्थिरांक कुठे आहेत.

समीकरण (8) चे सामान्य समाधान शोधण्यासाठी, आम्ही हे करतो. आम्ही समीकरण (8) साठी वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण तयार करतो: (9)

समीकरणाची मुळे (9) असू द्या, आणि त्यांच्यामध्ये गुणाकार असू शकतात. खालील प्रकरणे शक्य आहेत:

अ) - वास्तविक आणि भिन्न. एकसंध समीकरणाचे सामान्य समाधान असेल;

ब) वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणाची मुळे वास्तविक आहेत, परंतु त्यांच्यामध्ये गुणाकार आहेत, म्हणजे. , नंतर सामान्य समाधान होईल

c) जर वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणाची मुळे गुंतागुंतीची असतील (k=a±bi), तर सामान्य द्रावणाचे स्वरूप असते.

सामान्य रचना 2रा ऑर्डर LDE साठी उपाय

रेखीय एकसंध विभेदक समीकरण विचारात घ्या

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.

मध्यांतरावरील या समीकरणाचे सामान्य समाधान हे फंक्शन y = Φ(x, C1,..., Cn) आहे, जे n अनियंत्रित स्थिरांक C1,..., Cn वर अवलंबून आहे आणि खालील अटी पूर्ण करते:

− C1,..., Cn या स्थिरांकांच्या कोणत्याही स्वीकार्य मूल्यांसाठी, फंक्शन y = Φ(x, C1,..., Cn) हे वरील समीकरणाचे समाधान आहे;

− प्रारंभिक बिंदू (x0, y0, ) , x0∈ कोणताही असला तरी, C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 अशी मूल्ये आहेत की फंक्शन y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) समाधानी होते प्रारंभिक परिस्थिती y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .

समीकरणाच्या निराकरणाच्या मूलभूत प्रणालीचे ज्ञान या समीकरणाचे सामान्य समाधान तयार करणे शक्य करते. विभेदक समीकरणाच्या सामान्य समाधानाची व्याख्या आठवूया पी-वी ऑर्डर

कार्य
, व्हेरिएबल्सच्या भिन्नतेच्या काही डोमेनमध्ये परिभाषित
, ज्याच्या प्रत्येक बिंदूवर कॉची समस्येच्या निराकरणाचे अस्तित्व आणि विशिष्टता आहे आणि ज्याच्या संदर्भात सतत आंशिक डेरिव्हेटिव्ह आहेत एक्सऑर्डर पर्यंत पीसर्वसमावेशक, दर्शविलेल्या प्रदेशात समीकरण (15) चे सामान्य समाधान म्हणतात जर:

समीकरण प्रणाली

अनियंत्रित स्थिरांकांच्या संदर्भात निर्दिष्ट प्रदेशात सोडवण्यायोग्य
, तर

(16)

2. कार्य
अनियंत्रित स्थिरांकांच्या सर्व मूल्यांसाठी समीकरण (15) चे समाधान आहे
, सूत्रांद्वारे व्यक्त (16), जेव्हा बिंदू
विचाराधीन क्षेत्राशी संबंधित आहे.

प्रमेय 1. (रेषीय एकसंध विभेदक समीकरणाच्या सामान्य समाधानाच्या संरचनेवर). जर कार्ये
,
, …,
एकसंध रेखीय समीकरणासाठी उपायांची मूलभूत प्रणाली तयार करा पी-वी ऑर्डर
मध्यांतर मध्ये
, म्हणजे गुणांकांच्या निरंतरतेच्या मध्यांतरात, नंतर कार्य
प्रदेशातील या समीकरणाचा एक सामान्य उपाय आहे डी:
,
,
.

पुरावा.सूचित प्रदेशाच्या प्रत्येक बिंदूवर कॉची समस्येच्या निराकरणाचे अस्तित्व आणि विशिष्टता आहे. आता ते फंक्शन दाखवू
समीकरणाच्या सामान्य समाधानाची व्याख्या पूर्ण करते पी-वी ऑर्डर.

समीकरण प्रणाली

डोमेनमध्ये सोडवण्यायोग्य डीअनियंत्रित स्थिरांकांशी संबंधित
कारण या प्रणालीचा निर्धारक हा मूलभूत उपाय प्रणालीसाठी व्रोन्स्की निर्धारक आहे (१२) आणि म्हणूनच, शून्यापेक्षा वेगळा आहे.

2. कार्य
एकसंध रेखीय समीकरणाच्या समाधानाच्या गुणधर्मानुसार, ते समीकरणाचे समाधान आहे
अनियंत्रित स्थिरांकांच्या सर्व मूल्यांसाठी
.

त्यामुळे फंक्शन
समीकरणाचा एक सामान्य उपाय आहे
परिसरात डी. प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

उदाहरण.

.

या समीकरणाचे निराकरण हे स्पष्टपणे कार्ये आहेत
,
. हे निर्णय निर्णयांची एक मूलभूत प्रणाली तयार करतात, पासून

.

म्हणून, मूळ समीकरणाचे सामान्य समाधान हे कार्य आहे.

nव्या क्रमाच्या एकसंध रेखीय समीकरणाच्या सामान्य समाधानाची रचना.

एकसंध रेखीय समीकरण विचारात घ्या पी-वी ऑर्डर

आपण दाखवूया की, पहिल्या क्रमाच्या रेखीय असमानता समीकरणाच्या बाबतीत, समीकरण (1) चे एकत्रीकरण एकसंध समीकरणाच्या समीकरणापर्यंत कमी होते, जर एकसंध समीकरण (1) चे एक विशिष्ट समाधान ज्ञात असेल.

द्या
- समीकरणाचे विशिष्ट समाधान (1), म्हणजे

,
. (2)

टाकूया
, कुठे z- कडून नवीन अज्ञात कार्य एक्स. मग समीकरण (1) फॉर्म घेईल

किंवा
,

जेथून, ओळख (2) च्या द्वारे, आम्ही प्राप्त करतो

. (3)

हे एकसंध रेखीय समीकरण आहे, ज्याची डावी बाजू विचाराधीन असमान समीकरण (1) सारखीच आहे. त्या. आम्ही या असमान समीकरणाशी संबंधित एकसंध समीकरण प्राप्त केले आहे (1).

,
, …,
,

एकसंध समीकरण (3) च्या निराकरणाची एक मूलभूत प्रणाली आहे. मग या समीकरणाचे सर्व उपाय त्याच्या सामान्य समाधानाच्या सूत्रामध्ये समाविष्ट आहेत, म्हणजे.

.

चला हे मूल्य बदलू zसूत्र मध्ये
, आम्हाला मिळते

.

परिणामी कार्य हे प्रदेशातील समीकरण (1) चे सामान्य समाधान आहे डी.

अशा प्रकारे, आम्ही दर्शविले आहे की रेखीय असमान समीकरणाचे सामान्य समाधान (1) या समीकरणाच्या काही विशिष्ट समाधानाच्या बेरीज आणि संबंधित एकसंध रेखीय समीकरणाच्या सामान्य समाधानाच्या समान आहे.

उदाहरण.समीकरणाचे सामान्य समाधान शोधा

.

उपाय.आमच्याकडे असे आहे की या एकसंध रेखीय समीकरणाचे एक विशिष्ट समाधान फॉर्म आहे

.

संबंधित एकसंध समीकरणाचे सामान्य समाधान
, जसे आपण आधी दाखवले आहे, फॉर्म आहे

म्हणून, मूळ समीकरणाचे सामान्य समाधान आहे:
.

बऱ्याच प्रकरणांमध्ये, आपण खालील गुणधर्म वापरल्यास, एकसंध समीकरणाचे विशिष्ट निराकरण शोधण्याचे कार्य सोपे आहे:

प्रमेय.समीकरणात असल्यास (1) उजव्या बाजूस फॉर्म असेल

आणि हे ज्ञात आहे
, ए - समीकरणाचे विशिष्ट निराकरण
, नंतर या विशिष्ट उपायांची बेरीज +समीकरणाचे आंशिक समाधान असेल (1).

पुरावा.खरंच, अटीनुसार समीकरणासाठी एक विशिष्ट उपाय आहे
, ए - समीकरणाचे विशिष्ट निराकरण
, ते

,
.

त्या +समीकरणाचा एक विशिष्ट उपाय आहे (1).

रेखीय असमान विभेदक समीकरणासाठी n-पहिली मागणी

y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + एक- 1 (x) y" + एक(x)y = f(x),

कुठे y = y(x) - अज्ञात कार्य, a 1(x),a 2(x), ..., एक- 1(x), एक(x), f(x) - ज्ञात, सतत, योग्य:
1) जर y 1(x) आणि y 2(x) हे एकसंध समीकरणाचे दोन उपाय आहेत, नंतर कार्य
y(x) = y 1(x) - y 2(x) - संबंधित एकसंध समीकरणाचे समाधान;
2) जर y 1(x) विसंगत समीकरणाचे समाधान, आणि y 2(x) हे संबंधित एकसंध समीकरणाचे समाधान आहे, नंतर कार्य
y(x) = y 1(x) + y 2(x) - एकसंध नसलेल्या समीकरणाचे समाधान;
3) जर y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - nएकसंध समीकरणाचे रेखीय स्वतंत्र समाधान, आणि ych(x) - एकसंध समीकरणाचे अनियंत्रित समाधान,
नंतर कोणत्याही प्रारंभिक मूल्यांसाठी
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
अभिव्यक्ती
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
म्हणतात सामान्य निर्णयरेखीय एकसंध विभेदक समीकरण n-वी ऑर्डर.

फॉर्मच्या उजव्या बाजूसह स्थिर गुणांकांसह एकसमान भिन्न समीकरणांचे आंशिक समाधान शोधण्यासाठी:
Pk(x)exp(a x)कारण( bx) + प्र मी(x)exp(a x)पाप( bx),
कुठे Pk(x), प्र मी(x) - पदवीचे बहुपद kआणि मीत्यानुसार, विशिष्ट उपाय तयार करण्यासाठी एक साधा अल्गोरिदम आहे, ज्याला म्हणतात निवड पद्धत.

निवड पद्धत, किंवा अनिर्धारित गुणांकांची पद्धत, खालीलप्रमाणे आहे.
समीकरणाचे आवश्यक समाधान असे लिहिले आहे:
(प्रा(x)exp(a x)कारण( bx) + प्र(x)exp(a x)पाप( bx))xs,
कुठे प्रा(x), प्र(x) - पदवीचे बहुपद आर= कमाल( k, मी) सह अज्ञातगुणांक
जनसंपर्क , pr- 1, ..., p 1, p 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
अशा प्रकारे, स्थिर गुणांकांसह रेखीय असमानता विभेदक समीकरणाचे सामान्य समाधान शोधण्यासाठी, एखाद्याने
संबंधित एकसंध समीकरणाचे सामान्य समाधान शोधा (वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरण लिहा, वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणाची सर्व मुळे शोधा l 1, l 2, ... , ln, उपायांची मूलभूत प्रणाली लिहा y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
एकसमान समीकरणाचे कोणतेही विशिष्ट निराकरण शोधा ych(x);
सामान्य समाधानासाठी अभिव्यक्ती लिहा
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);

विशेष उजव्या बाजूने स्थिर गुणांकांसह दुसऱ्या क्रमाची रेखीय अशक्त विभेदक समीकरणे. अनिर्धारित गुणांकांची पद्धत.

फॉर्मचे विभेदक समीकरण (1)

जेथे , f हे ज्ञात कार्य आहे, ज्याला स्थिर गुणांकांसह nव्या क्रमाचे रेखीय विभेदक समीकरण म्हणतात. जर , नंतर समीकरण (1) एकसंध म्हणतात, अन्यथा - एकसंध.

स्थिर गुणांकांसह आणि विशेष स्वरूपाच्या उजव्या बाजूला असलेल्या रेखीय असमानता समीकरणांसाठी, म्हणजे, बेरीज आणि फंक्शन्सच्या उत्पादनांचा समावेश करून, अनिर्धारित गुणांकांच्या पद्धतीद्वारे विशिष्ट समाधान शोधले जाऊ शकते. विशिष्ट समाधानाचा प्रकार वैशिष्ट्यपूर्ण समीकरणाच्या मुळांवर अवलंबून असतो. खाली एका विशिष्ट उजव्या बाजूला असलेल्या रेखीय असमान समीकरणाच्या आंशिक समाधानांच्या प्रकारांची सारणी आहे.

जटिल विमान. संमिश्र संख्येचे मॉड्यूलस आणि वितर्क. युक्तिवादाचा मुख्य अर्थ. भौमितिक अर्थ

जटिल संख्या फॉर्ममध्ये लिहिलेल्या आहेत: a+ bi. येथे a आणि b वास्तविक संख्या आहेत आणि i एक काल्पनिक एकक आहे, म्हणजे. i 2 = –1. a या संख्येला abscissa म्हणतात आणि b हा a+ bi या संमिश्र संख्येचा क्रम आहे. a+ bi आणि a – bi या दोन संमिश्र संख्यांना संयुग्मित संमिश्र संख्या म्हणतात.

जटिल संख्यांचे भौमितीय प्रतिनिधित्व. वास्तविक संख्या संख्या रेषेवरील बिंदूंद्वारे दर्शविल्या जातात:

येथे, बिंदू A म्हणजे संख्या –3, बिंदू B म्हणजे संख्या 2 आणि O म्हणजे शून्य. याउलट, जटिल संख्या समन्वय समतल बिंदूंद्वारे दर्शविल्या जातात. या उद्देशासाठी, आम्ही दोन्ही अक्षांवर समान स्केलसह आयताकृती (कार्टेशियन) समन्वय निवडतो. नंतर जटिल संख्या a+ bi बिंदू P द्वारे abscissa a आणि ordinate b ने दर्शविली जाईल (आकृती पहा). या समन्वय प्रणालीला जटिल विमान म्हणतात.

कॉम्प्लेक्स नंबरचे मापांक म्हणजे कोऑर्डिनेट (कॉम्प्लेक्स) प्लेनवरील कॉम्प्लेक्स नंबर दर्शविणाऱ्या वेक्टर OP ची लांबी. जटिल संख्या a+ bi चे मॉड्यूलस | द्वारे दर्शविले जाते a+ bi | किंवा अक्षर r आणि समान आहे:

संयुग्मित संमिश्र संख्यांमध्ये समान मापांक असतो. __

जटिल संख्येचा युक्तिवाद हा अक्ष OX आणि या संमिश्र संख्येचे प्रतिनिधित्व करणारा वेक्टर OP मधील कोन आहे. म्हणून, टॅन = b/a.