Euklidovské priestory. Lineárna algebra

Kapitola 4
PRIESTORY EUCLIDAN

Z kurzu analytickej geometrie je čitateľovi známy pojem skalárny súčin dvoch voľných vektorov a štyri hlavné vlastnosti zadaného skalárneho súčinu. V tejto kapitole sa študujú lineárne priestory akejkoľvek povahy, pre prvky ktorých je nejakým spôsobom definované pravidlo (a je jedno akým), ktoré spája akékoľvek dva prvky s číslom nazývaným skalárny súčin týchto prvkov. V tomto prípade je dôležité len to, aby toto pravidlo malo rovnaké štyri vlastnosti ako pravidlo na zostavenie skalárneho súčinu dvoch voľných vektorov. Lineárne priestory, v ktorých je toto pravidlo definované, sa nazývajú euklidovské priestory. Táto kapitola vysvetľuje základné vlastnosti ľubovoľných euklidovských priestorov.

§ 1. Reálny euklidovský priestor a jeho najjednoduchšie vlastnosti

1. Definícia reálneho euklidovského priestoru. Reálny lineárny priestor R sa nazýva skutočný euklidovský priestor(alebo jednoducho Euklidovský priestor), ak sú splnené nasledujúce dve požiadavky.
I. Existuje pravidlo, podľa ktorého sú ľubovoľné dva prvky tohto priestoru x a y spojené s volaným reálnym číslom skalárny produkt týchto prvkov a označené symbolom (x, y).
P. Toto pravidlo podlieha nasledujúcim štyrom axiómam:
1°. (x, y) = (y, x) (komutatívna vlastnosť alebo symetria);
2°. (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (distribučná vlastnosť);
3°. (λ x, y) = λ (x, y) pre akékoľvek reálne λ;
4°. (x, x) > 0, ak x je nenulový prvok; (x, x) = 0, ak x je nulový prvok.
Zdôrazňujeme, že pri zavádzaní konceptu euklidovského priestoru abstrahujeme nielen od povahy skúmaných objektov, ale aj od špecifického typu pravidiel pre tvorbu súčtu prvkov, súčin prvku číslom a skalárny súčin prvkov (dôležité je len to, aby tieto pravidlá spĺňali osem axióm lineárneho priestoru a štyri axiómy skalárneho súčinu).
Ak je uvedená povaha skúmaných objektov a typ uvedených pravidiel, potom sa nazýva euklidovský priestor špecifické.
Uveďme príklady konkrétnych euklidovských priestorov.
Príklad 1. Uvažujme lineárny priestor B 3 všetkých voľných vektorov. Skalárny súčin akýchkoľvek dvoch vektorov definujeme tak, ako to bolo urobené v analytickej geometrii (t. j. ako súčin dĺžok týchto vektorov a kosínus uhla medzi nimi). V priebehu analytickej geometrie bola preukázaná platnosť takto definovaného skalárneho súčinu axióm 1°-4° (pozri vydanie „Analytická geometria“, kapitola 2, §2, bod 3). Preto priestor B 3 s takto definovaným skalárnym súčinom je euklidovský priestor.
Príklad 2. Uvažujme nekonečnerozmerný lineárny priestor C [a, b] všetkých funkcií x(t), definovaných a spojitých na segmente a ≤ t ≤ b. Skalárny súčin dvoch takýchto funkcií x(t) a y(t) definujeme ako integrál (v rozsahu od a do b) súčinu týchto funkcií

Platnosť takto definovaného skalárneho súčinu axióm 1°-4° sa kontroluje elementárne. Skutočne, platnosť axiómy 1° je zrejmá; platnosť axióm 2° a 3° vyplýva z lineárnych vlastností určitého integrálu; platnosť axiómy 4° vyplýva zo skutočnosti, že integrál spojitej nezápornej funkcie x 2 (t) je nezáporný a zaniká len vtedy, keď je táto funkcia zhodne rovná nule na segmente a ≤ t ≤ b (viď. problematika „Základy matematickej analýzy“, časť I, vlastnosti 1° a 2° z odseku 1 §6 kapitola 10) (t. j. je nulovým prvkom posudzovaného priestoru).
Priestor C[a, b] s takto definovaným skalárnym súčinom je teda nekonečnerozmerný euklidovský priestor.
Príklad 3. Nasledujúci príklad euklidovského priestoru dáva n-rozmerný lineárny priestor A n usporiadaných kolekcií n reálnych čísel, skalárny súčin akýchkoľvek dvoch prvkov x = (x 1, x 2,..., x n) a y = (y 1, y 2 ,...,y n), ktorý je definovaný rovnosťou

(x, y) = x 1 r 1 + x 2 r 2 + ... + x n y n. (4.2)

Platnosť axiómy 1° pre takto definovaný skalárny súčin je zrejmá; Platnosť axióm 2° a 3° sa dá ľahko overiť, stačí si spomenúť na definíciu operácií sčítania prvkov a ich násobenia číslami:

(x 1 , x 2 ,..., x n) + (y 1 , y 2 ,..., y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,..., x n + y n),

A (x 1, x 2,..., x n) = (A x 1, A x 2,..., A x n);

napokon, platnosť axiómy 4° vyplýva z toho, že (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2 je vždy nezáporné číslo a zaniká len pod podmienkou x 1 = x 2 = .. = x n = 0.
Euklidovský priestor uvažovaný v tomto príklade sa často označuje symbolom E n.
Príklad 4. Do toho istého lineárneho priestoru A n zavedieme skalárny súčin ľubovoľných dvoch prvkov x = (x 1, x 2,..., x n) a y = (y 1, y 2,..., y n ) nie vzťah (4.2), ale iným, všeobecnejším spôsobom.
Na tento účel zvážte štvorcovú maticu rádu n

Pomocou matice (4.3) zostavme homogénny polynóm druhého rádu vzhľadom na n premenných x 1, x 2,..., x n

Pri pohľade do budúcnosti si všimneme, že takýto polynóm je tzv kvadratická forma(generované maticou (4.3)) (kvadratické formy sú systematicky študované v kapitole 7 tejto knihy).
Kvadratická forma (4.4) sa nazýva kladne definitivne, ak nadobúda striktne kladné hodnoty pre všetky hodnoty premenných x 1, x 2,..., x n, ktoré sa súčasne nerovnajú nule (v kapitole 7 tejto knihy potrebné a postačujúce bude označená podmienka pozitívnej definitívnosti kvadratickej formy).
Keďže pre x 1 = x 2 = ... = x n = 0 je kvadratický tvar (4.4) zjavne rovný nule, môžeme povedať, že kladne definitivne
kvadratická forma zaniká len pod podmienkou x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Požadujeme, aby matica (4.3) spĺňala dve podmienky.
1°. Vygeneroval pozitívne definitívnu kvadratickú formu (4.4).
2°. Bola symetrická (vzhľadom na hlavnú uhlopriečku), t.j. splnil podmienku a ik = a ki pre všetky i = 1, 2,..., n a k = I, 2,..., n.
Pomocou matice (4.3), spĺňajúcej podmienky 1° a 2°, definujeme skalárny súčin ľubovoľných dvoch prvkov x = (x 1, x 2,..., x n) a y = (y 1, y 2,.. ,y n) priestoru A n vzťahom

Je ľahké skontrolovať platnosť takto definovaného skalárneho súčinu všetkých axióm 1°-4°. Axiómy 2° a 3° samozrejme platia pre úplne ľubovoľnú maticu (4.3); platnosť axiómy 1° vyplýva z podmienky symetrie matice (4.3) a platnosť axiómy 4° zo skutočnosti, že kvadratická forma (4.4), ktorá je skalárnym súčinom (x, x), je kladná. jednoznačný.
Teda priestor A n so skalárnym súčinom definovaným rovnosťou (4.5), za predpokladu, že matica (4.3) je symetrická a kvadratická forma ňou vygenerovaná je kladne definitná, je euklidovský priestor.
Ak zoberieme maticu identity ako maticu (4.3), potom sa vzťah (4.4) zmení na (4.2) a dostaneme euklidovský priestor E n, uvažovaný v príklade 3.
2. Najjednoduchšie vlastnosti ľubovoľného euklidovského priestoru. Vlastnosti stanovené v tomto odseku platia pre úplne ľubovoľný euklidovský priestor konečných aj nekonečných rozmerov.
Veta 4.1.Pre ľubovoľné dva prvky x a y ľubovoľného euklidovského priestoru platí nasledujúca nerovnosť:

(x, y) 2 ≤ (x, x) (y, y), (4,6)

nazývaná Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť.
Dôkaz. Pre akékoľvek reálne číslo λ je na základe axiómy 4° skalárneho súčinu nerovnosť (λ x - y, λ x - y) > 0 pravdivá Podľa axióm 1°-3° môže byť posledná nerovnosť prepísané ako

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) < 0

Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou nezápornosti posledného štvorcového trojčlenu je nekladnosť jeho diskriminantu, teda nerovnosť (v prípade (x, x) = 0 sa štvorcová trojčlenka degeneruje do lineárnej funkcie, ale v r. v tomto prípade je prvok x nula, takže (x, y ) = 0 a nerovnosť (4.7) je tiež pravdivá)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

Z (4.7) bezprostredne vyplýva nerovnosť (4.6). Veta bola dokázaná.
Našou ďalšou úlohou je predstaviť koncept normy(alebo dĺžka) každého prvku. Na tento účel zavedieme koncept lineárneho normovaného priestoru.
Definícia. Lineárny priestor R sa nazýva normalizované, ak sú splnené nasledujúce dve požiadavky.
I. Existuje pravidlo, podľa ktorého je každý prvok x priestoru R spojený s volaným reálnym číslom normou(alebo dĺžka) špecifikovaného prvku a označené symbolom ||x||.
P. Toto pravidlo podlieha nasledujúcim trom axiómam:
1°. ||x|| > 0, ak x je nenulový prvok; ||x|| = 0, ak x je nulový prvok;
2°. ||λ x|| = |λ | ||x|| pre ľubovoľný prvok x a akékoľvek reálne číslo λ;
3°. pre ľubovoľné dva prvky x a y platí nasledujúca nerovnosť

||x + y || ≤ ||x|| + ||y ||, (4,8)

nazývaná trojuholníková nerovnosť (alebo Minkowského nerovnosť).
Veta 4.2. Akýkoľvek euklidovský priestor je normovaný, ak je norma akéhokoľvek prvku x v ňom definovaná rovnosťou

Dôkaz. Stačí dokázať, že pre normu definovanú vzťahom (4.9) platia axiómy 1°-3° z definície normovaného priestoru.
Platnosť normy axiómy 1° bezprostredne vyplýva z axiómy 4° skalárneho súčinu. Platnosť normy axiómy 2° vyplýva takmer priamo z axióm 1° a 3° skalárneho súčinu.
Zostáva overiť platnosť axiómy 3° pre normu, t.j. nerovnosť (4.8). Budeme sa spoliehať na Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť (4.6), ktorú prepíšeme do tvaru

Pomocou poslednej nerovnosti, axióm 1°-4° skalárneho súčinu a definície normy dostaneme

Veta bola dokázaná.
Dôsledok. V akomkoľvek euklidovskom priestore s normou prvkov určenou vzťahom (4.9) platí pre ľubovoľné dva prvky x a y trojuholníková nerovnosť (4.8).

Ďalej poznamenávame, že v akomkoľvek reálnom euklidovskom priestore môžeme zaviesť pojem uhla medzi dvoma ľubovoľnými prvkami x a y tohto priestoru. V úplnej analógii s vektorovou algebrou voláme uholφ medzi prvkami X A pri ten (variaci sa od 0 do π) uhol, ktorého kosínus je určený vzťahom

Naša definícia uhla je správna, pretože v dôsledku Cauchyho-Bunyakovského nerovnosti (4,7") zlomok na pravej strane poslednej rovnosti nepresahuje jednu v module.
Ďalej sa dohodneme na nazývaní dvoch ľubovoľných prvkov x a y euklidovského priestoru E ortogonálnymi, ak sa skalárny súčin týchto prvkov (x, y) rovná nule (v tomto prípade kosínus uhla (φ medzi prvkami x a y sa budú rovnať nule).
Opäť apelujeme na vektorovú algebru, nazvime súčet x + y dvoch ortogonálnych prvkov x a y prepona pravouhlého trojuholníka postaveného na prvkoch x a y.
Všimnite si, že v každom euklidovskom priestore platí Pytagorova veta: druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh. V skutočnosti, keďže x a y sú ortogonálne a (x, y) = 0, potom na základe axióm a definície normy

||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) = (x, x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.

Tento výsledok je zovšeobecnený na n párových ortogonálnych prvkov x 1, x 2,..., x n: ak z = x 1 + x 2 + ...+ x n, potom

||x|| 2 = (x 1 + x 2 + ...+ x n, x 1 + x 2 + ...+ x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( x n,x n) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.

Na záver zapíšeme normu, Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť a trojuholníkovú nerovnosť v každom zo špecifických euklidovských priestorov uvažovaných v predchádzajúcom odseku.
V euklidovskom priestore všetkých voľných vektorov s obvyklou definíciou skalárneho súčinu sa norma vektora a zhoduje s jeho dĺžkou |a|, Cauchyho-Bunyakovského nerovnosť je redukovaná na tvar ((a,b) 2 ≤ | a|. 2 |b |. a trojuholníkovú nerovnosť - do tvaru |a + b| skutočnosť, že jedna strana trojuholníka nepresahuje súčet jeho dvoch ďalších strán).
V euklidovskom priestore C [a, b] všetkých funkcií x = x(t) spojitých na segmente a ≤ t ≤ b so skalárnym súčinom (4.1) sa norma prvku x = x(t) rovná , a Cauchyho-Bunyakovského a trojuholníkové nerovnosti majú tvar

Obe tieto nerovnosti hrajú dôležitú úlohu v rôznych odvetviach matematickej analýzy.
V euklidovskom priestore E n usporiadaných kolekcií n reálnych čísel so skalárnym súčinom (4.2) sa norma ľubovoľného prvku x = (x 1 , x 2 ,..., x n) rovná

Napokon v euklidovskom priestore usporiadaných kolekcií n reálnych čísel so skalárnym súčinom (4.5) sa norma ľubovoľného prvku x = (x 1, x 2,..., x n) rovná 0 (pripomíname, že v r. táto prípadová matica (4.3) je symetrická a generuje pozitívne definitívnu kvadratickú formu (4.4)).

a Cauchyho-Bunyakovského a trojuholníkové nerovnosti majú tvar

Zodpovedá takémuto vektorovému priestoru. V tomto článku sa za východiskový bod berie prvá definícia.

$n$-rozmerný euklidovský priestor označujeme $\backslash mathbb\; E^n,$často sa používa aj zápis $\backslash mathbb\; R^n$(ak je z kontextu zrejmé, že priestor má euklidovskú štruktúru).

Formálna definícia

Na definovanie euklidovského priestoru je najjednoduchšie vziať ako hlavný koncept skalárny súčin. Euklidovský vektorový priestor je definovaný ako konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom reálnych čísel, na ktorých vektoroch je špecifikovaná funkcia s reálnou hodnotou. $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$ ktorý má tieto tri vlastnosti:

• Bilinearita: pre ľubovoľné vektory $u,v,w$ a pre akékoľvek reálne čísla $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$ A $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Symetria: pre ľubovoľné vektory $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• Pozitívna istota: pre každého $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$ a $(u,u)\; =\; 0\backslash šípka\; doprava\; u=0.$

Príklad euklidovského priestoru - súradnicový priestor $\backslash mathbb\; R^n,$ pozostávajúce zo všetkých možných n-tic reálnych čísel $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$ skalárny súčin, v ktorom je určený vzorcom $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

Dĺžky a uhly

Skalárny súčin definovaný v euklidovskom priestore je dostatočný na zavedenie geometrických pojmov dĺžky a uhla. Dĺžka vektora $u$ definovaný ako $\backslash sqrt((u,u))$ a je určený $|u|.$ Pozitívna jednoznačnosť skalárneho súčinu zaručuje, že dĺžka nenulového vektora je nenulová a z bilinearity vyplýva, že $|au|=|a||u|,$ to znamená, že dĺžky proporcionálnych vektorov sú úmerné.

Uhol medzi vektormi $u$ A $v$ určený vzorcom $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash vpravo).$ Z kosínusovej vety vyplýva, že pre dvojrozmerný euklidovský priestor ( Euklidovská rovina) táto definícia uhla sa zhoduje s obvyklou. Ortogonálne vektory, ako v trojrozmernom priestore, možno definovať ako vektory, medzi ktorými je uhol rovný $\backslash frac(\backslash pi)(2).$

Cauchyho-Bunyakovského-Schwartzova nerovnosť a trojuholníková nerovnosť

Vo vyššie uvedenej definícii uhla zostala jedna medzera: aby $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right)$ bola definovaná, je potrebné, aby nerovnosť $\backslash left|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$ Táto nerovnosť platí v ľubovoľnom euklidovskom priestore a nazýva sa nerovnosť Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz. Z tejto nerovnosti zase vyplýva trojuholníková nerovnosť: $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$ Trojuholníková nerovnosť spolu s vlastnosťami dĺžky uvedenými vyššie znamená, že dĺžka vektora je normou pre euklidovský vektorový priestor a funkcia $d(x,y)=|x-y|$ definuje štruktúru metrického priestoru na euklidovskom priestore (táto funkcia sa nazýva euklidovská metrika). Najmä vzdialenosť medzi prvkami (bodmi) $X$ A $r$ súradnicový priestor $\backslash mathbb\; R^n$ je daný vzorcom $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2).$

Algebraické vlastnosti

Ortonormálne bázy

Konjugujte priestory a operátory

Akýkoľvek vektor $X$ Euklidovský priestor definuje lineárny funkcionál $x^*$ na tomto priestore, vymedzenom ako $x^*(y)=(x,y).$ Toto porovnanie je izomorfizmom medzi euklidovským priestorom a jeho duálnym priestorom a umožňuje ich identifikáciu bez kompromisov vo výpočtoch. Najmä konjugované operátory možno považovať za operátory pôsobiace na pôvodný priestor, a nie na jeho duálny, a samoadjungované operátory možno definovať ako operátory, ktoré sa zhodujú s ich konjugátmi. Na ortonormálnom základe je matica adjointovaného operátora transponovaná do matice pôvodného operátora a matica samoadjungovaného operátora je symetrická.

Pohyby euklidovského priestoru

Príklady

Názornými príkladmi euklidovských priestorov sú tieto priestory:

• $\backslash mathbb\; E^1$ rozmery $1$ (skutočná línia)
• $\backslash mathbb\; E^2$ rozmery $2$ (Euklidovská rovina)
• $\backslash mathbb\; E^3$ rozmery $3$ (Euklidovský trojrozmerný priestor)

Abstraktnejší príklad:

• priestor reálnych polynómov $p(x)$ stupeň nepresahujúci $n$ so skalárnym súčinom definovaným ako integrál súčinu cez konečný segment (alebo cez celú čiaru, ale s rýchlo klesajúcou váhovou funkciou, napr. $e^(-x^2)$).

Príklady geometrických tvarov vo viacrozmernom euklidovskom priestore

• Pravidelné viacrozmerné mnohosteny (konkrétne N-rozmerná kocka, N-rozmerný oktaedrón, N-rozmerný štvorsten)

Súvisiace definície

• Pod Euklidovská metrika možno chápať ako metriku opísanú vyššie, ako aj zodpovedajúcu Riemannovu metriku.

• Lokálnou euklidovosťou zvyčajne rozumieme, že každý dotyčnicový priestor Riemannovej variety je euklidovský priestor so všetkými z toho vyplývajúcimi vlastnosťami, napríklad schopnosťou (v dôsledku hladkosti metriky) zaviesť súradnice do malého okolia bodu, v ktorom vzdialenosť je vyjadrená (do určitého rádu) ), ako je opísané vyššie.

• Metrický priestor sa nazýva aj lokálne euklidovský, ak je možné naň zaviesť súradnice, v ktorých bude metrika všade (alebo aspoň na konečnej oblasti) euklidovská (v zmysle druhej definície) - čo je napr. Riemannovu varietu s nulovým zakrivením.

Variácie a zovšeobecnenia

• Nahradením základného poľa z poľa reálnych čísel do poľa komplexných čísel sa získa definícia unitárneho (alebo hermitovského) priestoru.
• Odmietnutie požiadavky konečnej dimenzie dáva definíciu pred-Hilbertovho priestoru.
• Odmietnutie požiadavky pozitívnej definitívnosti skalárneho súčinu vedie k definícii pseudoeuklidovského priestoru.

Napíšte recenziu na článok "Euklidovský priestor"

Poznámky

Literatúra

• Gelfand I.M. Prednášky z lineárnej algebry. - 5. - M.: Dobrosvet, MTsNMO, 1998. - 319 s. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Kostrikin A. I., Manin Yu I. Lineárna algebra a geometria. - M.: Nauka, 1986. - 304 s.

Úryvok charakterizujúci euklidovský priestor

„Stáva sa ti,“ povedala Nataša svojmu bratovi, keď si sadli na pohovku, „stane sa ti, že sa ti zdá, že sa nič nestane – nič; čo bolo všetko dobré? A nie len nudné, ale aj smutné?
- A ako! - povedal. "Stalo sa mi, že všetko bolo v poriadku, všetci boli veselí, ale prišlo mi na um, že som už z toho všetkého unavený a že všetci musia zomrieť." Raz som nešiel k pluku na prechádzku, ale hrala tam hudba... a tak som sa zrazu začal nudiť...
- Oh, to viem. Viem, viem,“ zdvihla Natasha. – Bol som ešte malý, stalo sa mi to. Pamätáš si, raz som bol potrestaný za slivky a všetci ste tancovali, a ja som sedel v triede a vzlykal, nikdy nezabudnem: bolo mi smutno a ľutoval som všetkých, aj seba, a ľutoval som všetkých. A čo je najdôležitejšie, nebola to moja chyba,“ povedala Natasha, „pamätáš?
"Pamätám si," povedal Nikolaj. „Pamätám si, že som za tebou prišiel neskôr a chcel som ťa utešiť a, vieš, hanbil som sa. Boli sme strašne vtipní. Mal som vtedy brmbolcovú hračku a chcel som ti ju dať. Pamätáš si?
„Pamätáš sa,“ povedala Nataša so zamysleným úsmevom, ako dávno, dávno sme boli ešte veľmi malí, strýko nás zavolal do kancelárie, späť do starého domu, a bola tma – prišli sme a zrazu stáť tam...
"Arap," dokončil Nikolaj s radostným úsmevom, "ako si nemôžem spomenúť?" Ani teraz neviem, že to bol blackamoor, alebo sme to videli vo sne, alebo nám to bolo povedané.
- Pamätaj si, bol sivý a mal biele zuby - stál a pozeral sa na nás...
– Pamätáš si, Sonya? - spýtal sa Nikolai...
"Áno, áno, aj ja si niečo pamätám," odpovedala Sonya nesmelo...
"Pýtala som sa svojho otca a mamy na tento blackamoor," povedala Natasha. - Hovorí sa, že neexistovala žiadna blamáž. Ale pamätáš!
- Ach, ako si teraz pamätám jeho zuby.
- Aké je to zvláštne, bolo to ako sen. Páči sa mi to.
"Pamätáš sa, ako sme v hale kotúľali vajíčka a zrazu sa na koberci začali točiť dve staré ženy?" Bolo alebo nebolo? Pamätáte si, aké to bolo dobré?
- Áno. Pamätáte si, ako otec v modrom kožuchu strieľal z pištole na verande? „Otočili sa, s potešením sa usmievali, spomienky, nie smutné staré, ale poetické mladícke spomienky, tie dojmy z najvzdialenejšej minulosti, kde sa sny spájajú s realitou, a ticho sa smiali, z niečoho sa radovali.
Sonya, ako vždy, za nimi zaostávala, hoci ich spomienky boli spoločné.
Sonya si veľa z toho, čo si pamätali, nepamätala a to, čo si pamätala, v nej nevzbudzovalo poetický pocit, ktorý prežívali. Užívala si len ich radosť a snažila sa ju napodobniť.
Zúčastnila sa, až keď si spomenuli na Sonyinu prvú návštevu. Sonya rozprávala, ako sa Nikolaja bála, lebo mal na bunde šnúrky a opatrovateľka jej povedala, že aj ju zašijú do šnúrok.
„A pamätám si: povedali mi, že si sa narodil pod kapustou,“ povedala Nataša, „a pamätám si, že som sa tomu vtedy neodvážila uveriť, ale vedela som, že to nie je pravda, a bola som tak v rozpakoch. “
Počas tohto rozhovoru vystrčila hlava slúžky zo zadných dverí rozkladacej miestnosti. „Slečna, priniesli kohúta,“ zašepkalo dievča.
"Netreba, Polya, povedz mi, aby som to niesla," povedala Natasha.
Uprostred rozhovorov prebiehajúcich na pohovke vstúpil Dimmler do miestnosti a pristúpil k harfe, ktorá stála v rohu. Vyzliekol látku a harfa vydala falošný zvuk.
"Eduard Karlych, prosím, zahrajte moju milovanú Nocturiene od Monsieur Field," ozval sa hlas starej grófky z obývačky.
Dimmler udrel na strunu a obrátil sa k Natashovi, Nikolajovi a Sonyi a povedal: „Mladí ľudia, ako ticho sedia!
"Áno, filozofujeme," povedala Natasha, chvíľu sa obzerala a pokračovala v rozhovore. Rozhovor bol teraz o snoch.
Dimmer začal hrať. Natasha potichu, po špičkách, pristúpila k stolu, vzala sviečku, vytiahla ju a po návrate sa ticho posadila na svoje miesto. V izbe bola tma, najmä na pohovke, na ktorej sedeli, no cez veľké okná dopadalo na podlahu strieborné svetlo mesiaca v splne.
„Vieš, myslím,“ povedala Natasha šeptom a priblížila sa k Nikolajovi a Sonye, ​​keď Dimmler už skončil a stále sedel, slabo brnkal na struny, zjavne nerozhodný odísť alebo začať niečo nové, „že keď si spomenieš takto si pamätáš, pamätáš si všetko, pamätáš si toľko, že si pamätáš, čo sa stalo predtým, ako som bol na svete...
"Toto je Metampsic," povedala Sonya, ktorá sa vždy dobre učila a všetko si pamätala. – Egypťania verili, že naše duše sú v zvieratách a vrátia sa späť medzi zvieratá.
„Nie, vieš, neverím tomu, že sme boli zvieratá,“ povedala Nataša tým istým šepotom, hoci hudba skončila, „ale viem určite, že sme tu a tam niekde boli anjelmi, a preto pamätáme si všetko...“
-Môžem sa pridať? - povedal Dimmler, ktorý sa potichu priblížil a sadol si vedľa nich.
- Ak sme boli anjeli, tak prečo sme klesli nižšie? - povedal Nikolaj. - Nie, to nemôže byť!
„Nie nižšie, kto ti povedal, že nižšie?... Prečo viem, čím som bola predtým,“ namietla Natasha presvedčivo. - Koniec koncov, duša je nesmrteľná... preto, ak budem žiť večne, tak som žil predtým, žil celú večnosť.
"Áno, ale je pre nás ťažké predstaviť si večnosť," povedal Dimmler, ktorý sa k mladým ľuďom priblížil s pokorným, pohŕdavým úsmevom, ale teraz hovoril tak ticho a vážne ako oni.
– Prečo je ťažké predstaviť si večnosť? - povedala Natasha. - Dnes to bude, zajtra to bude, vždy to bude a včera to bolo a včera to bolo...
- Natasha! Teraz si na rade ty. „Zaspievaj mi niečo,“ ozval sa grófkin hlas. - Že ste si sadli ako konšpirátori.
- Matka! "Nechcem to urobiť," povedala Natasha, no zároveň vstala.
Všetci, dokonca ani Dimmler v strednom veku, nechceli prerušiť rozhovor a odísť z rohu pohovky, ale Nataša vstala a Nikolaj si sadol ku klavichordu. Ako vždy, keď Natasha stála uprostred sály a vybrala si najvýhodnejšie miesto pre rezonanciu, začala spievať obľúbený kúsok svojej matky.
Povedala, že spievať nechce, ale už dlho nespievala a dlho potom tak, ako spievala v ten večer. Gróf Iľja Andrej z kancelárie, kde sa rozprával s Mitinkou, počul jej spev a ako študent, ktorý sa ponáhľal hrať, končil hodinu, zmiatol sa v slovách, rozkazoval vedúcemu a nakoniec stíchol. , a Mitinka, tiež počúvajúca, ticho s úsmevom sa postavila pred grófa. Nikolai nespustil oči zo svojej sestry a nadýchol sa s ňou. Sonya, ktorá počúvala, premýšľala o tom, aký obrovský rozdiel je medzi ňou a jej priateľom a aké je nemožné, aby bola čo i len zďaleka taká očarujúca ako jej sesternica. Stará grófka sedela s šťastne smutným úsmevom a slzami v očiach a občas pokrútila hlavou. Premýšľala o Natashe a o svojej mladosti a o tom, ako bolo v tomto nadchádzajúcom manželstve Natashe s princom Andrejom niečo neprirodzené a hrozné.
Dimmler sa posadil vedľa grófky, zavrel oči a počúval.
„Nie, grófka,“ povedal nakoniec, „toto je európsky talent, nemá sa čo učiť, táto jemnosť, neha, sila...“
- Ach! „Ako sa o ňu bojím, ako sa bojím,“ povedala grófka, pričom si nepamätala, s kým sa rozprávala. Jej materinský inštinkt jej povedal, že v Natashe je niečoho priveľa a že ju to neurobí šťastnou. Nataša ešte nedospievala, keď do izby vbehla nadšená štrnásťročná Peťa so správou, že dorazili mamule.
Natasha zrazu prestala.
- Blázon! - skríkla na brata, dobehla ku stoličke, spadla na ňu a vzlykala tak, že dlho nemohla prestať.
„Nič, mama, naozaj nič, len takto: Peťa ma vystrašila,“ povedala a pokúsila sa o úsmev, no slzy jej tiekli a vzlyky sa jej zvierali hrdlom.
Vystrojení sluhovia, medvede, Turci, krčmári, dámy, desivé i smiešne, prinášajúce so sebou chlad i zábavu, spočiatku nesmelo schúlené na chodbe; potom, schovaní jeden za druhým, boli prinútení do siene; a najprv ostýchavo a potom čoraz veselšie a priateľskejšie začali piesne, tance, zborové a vianočné hry. Grófka, ktorá spoznala tváre a vysmievala sa oblečeným, vošla do obývačky. Gróf Iľja Andrej sedel v sále so žiarivým úsmevom a schvaľoval hráčov. Mládež niekam zmizla.

Už v škole sa všetci študenti oboznamujú s konceptom „euklidovskej geometrie“, ktorej hlavné ustanovenia sú zamerané na niekoľko axióm založených na takých geometrických prvkoch, ako je bod, rovina, priamka a pohyb. Všetky spolu tvoria to, čo je dlho známe ako „euklidovský priestor“.

Euklidovský, ktorý je založený na princípe skalárneho násobenia vektorov, je špeciálnym prípadom lineárneho (afinného) priestoru, ktorý spĺňa množstvo požiadaviek. Po prvé, skalárny súčin vektorov je absolútne symetrický, to znamená, že vektor so súradnicami (x;y) je kvantitatívne identický s vektorom so súradnicami (y;x), ale v opačnom smere.

Po druhé, ak sa skalárny súčin vektora vykoná sám so sebou, výsledok tejto akcie bude pozitívny. Jedinou výnimkou bude prípad, keď sa počiatočné a konečné súradnice tohto vektora rovnajú nule: v tomto prípade sa jeho súčin sám so sebou bude rovnať nule.

Po tretie, skalárny súčin je distributívny, to znamená možnosť rozložiť jednu z jeho súradníc na súčet dvoch hodnôt, čo nebude mať za následok žiadne zmeny v konečnom výsledku skalárneho násobenia vektorov. Nakoniec, po štvrté, pri vynásobení vektorov tou istou vecou sa o rovnakú hodnotu zvýši aj ich skalárny súčin.

Ak sú splnené všetky tieto štyri podmienky, môžeme s istotou povedať, že ide o euklidovský priestor.

Z praktického hľadiska možno euklidovský priestor charakterizovať nasledujúcimi konkrétnymi príkladmi:

1. Najjednoduchším prípadom je prítomnosť množiny vektorov so skalárnym súčinom definovaným podľa základných zákonov geometrie.
2. Euklidovský priestor získame aj vtedy, ak vektormi rozumieme určitú konečnú množinu reálnych čísel s daným vzorcom popisujúcim ich skalárny súčet alebo súčin.
3. Špeciálny prípad euklidovského priestoru by sa mal rozpoznať ako takzvaný nulový priestor, ktorý sa získa, ak sa skalárna dĺžka oboch vektorov rovná nule.

Euklidovský priestor má množstvo špecifických vlastností. Po prvé, skalárny faktor môže byť vyňatý zo zátvoriek z prvého aj druhého faktora skalárneho súčinu, výsledok neprejde žiadnymi zmenami. Po druhé, spolu s distribúciou prvého prvku skalárneho súčinu pôsobí aj distribúcia druhého prvku. Navyše, okrem skalárneho súčtu vektorov sa distributivita vyskytuje aj v prípade odčítania vektorov. Nakoniec, po tretie, pri skalárnom vynásobení vektora nulou bude výsledok tiež rovný nule.

Euklidovský priestor je teda najdôležitejším geometrickým konceptom používaným pri riešení problémov s relatívnou polohou vektorov voči sebe navzájom, na charakterizáciu toho, ktorý koncept, ako je napríklad skalárny súčin, sa používa.

Euklidovský priestor

T.A. Volková, T.P. Knysh.

A Štvorcové tvary

EUKLIDÁNSKÝ PRIESTOR

Saint Petersburg

Recenzent: kandidát technických vied, docent Shkadova A.R.

Euklidovský priestor a kvadratické formy: poznámky z prednášok. – Petrohrad: SPGUVK, 2012 – s.

Poznámky z prednášok sú určené pre študentov druhého ročníka bakalárskeho stupňa 010400.62 „Aplikovaná matematika a informatika“ a študentov prvého ročníka bakalárskeho stupňa 090900.62 „Informačná bezpečnosť“.

Príručka obsahuje kompletné poznámky k jednej zo sekcií disciplíny „Geometria a algebra“ pre smer 010400.62 a disciplíny „Algebra a geometria“ pre smer 090900.62 Učebnica zodpovedá pracovným programom disciplín, ich štandardom špecializácie a môžu byť použité pri príprave na skúšku študentmi a učiteľmi.

© Štát Petrohrad

Univerzita vodných komunikácií, 2012

Mnoho vlastností objektov nájdených v geometrii úzko súvisí so schopnosťou merať dĺžky segmentov a uhol medzi priamymi čiarami. V lineárnom priestore zatiaľ nemôžeme robiť takéto merania, v dôsledku čoho je rozsah aplikácie všeobecnej teórie lineárnych priestorov na geometriu a množstvo ďalších matematických disciplín značne zúžený. Tento problém však možno odstrániť zavedením konceptu skalárneho súčinu dvoch vektorov. Menovite, nech je lineárny -rozmerný reálny priestor. Priraďme každú dvojicu vektorov k reálnemu číslu a nazvime toto číslo skalárny produkt vektory a ak sú splnené tieto požiadavky:

1. (komutatívny zákon).

3. pre akékoľvek skutočné.

4. pre akýkoľvek nenulový vektor.

Skalárny súčin je špeciálnym prípadom konceptu numerická funkcia dvoch vektorových argumentov t.j. funkcie, ktorých hodnoty sú čísla. Skalárny súčin teda môžeme nazvať numerickou funkciou vektorových argumentov , , ktorých hodnoty sú platné pre ľubovoľné hodnoty argumentov z a pre ktoré sú splnené požiadavky 1 − 4.

Zavolá sa reálny lineárny priestor, v ktorom je definovaný skalárny súčin euklidovský a bude označený .

Všimnite si, že v euklidovskom priestore je skalárny súčin nulového vektora a ľubovoľného vektora rovný nule: . Skutočne a vzhľadom na požiadavku 3. Za predpokladu, že to dostaneme. Preto najmä .

1. Dovoliť je obvyklý trojrozmerný priestor geometrických vektorov so spoločným pôvodom v bode . V analytickej geometrii je skalárny súčin dvoch takýchto vektorov reálne číslo rovné , kde a sú dĺžky vektorov a , a je uhol medzi vektormi , , a je dokázané, že pre toto číslo sú všetky požiadavky 1 − 4 sú spokojní.

Nami zavedený pojem skalárneho súčinu je teda zovšeobecnením pojmu skalárny súčin geometrických vektorov.

2. Zvážte priestor rozmerných riadkov s reálnymi súradnicami a priraďte každému páru takýchto riadkových vektorov reálne číslo

Je ľahké skontrolovať, či sú pre toto číslo splnené všetky požiadavky 1 – 4:

a podobne. nakoniec

pretože aspoň jedno z čísel v je odlišné od nuly.

Odtiaľ vidíme, že toto číslo je skalárnym súčinom reťazcových vektorov a , a medzera sa po zavedení takéhoto skalárneho súčinu stáva euklidovským.

3. Dovoliť byť lineárny reálny -dimenzionálny priestor a byť nejakým jeho základom. Priraďme každú dvojicu vektorov k reálnemu číslu. Potom sa priestor zmení na euklidovský, t.j. číslo bude skalárnym súčinom vektorov a . Naozaj:

Dokonca môžeme náš priestor zmeniť na euklidovský priestor inými spôsobmi, napríklad by sme mohli priradiť pár vektorov , reálne číslo

a je ľahké skontrolovať, či sú pri takomto počte splnené všetky požiadavky 1 − 4, charakterizujúce skalárny súčin. Ale keďže sme tu (s rovnakým základom) definovali inú numerickú funkciu, dostaneme iný euklidovský priestor s inou „definíciou miery“.

4. Nakoniec, otočte sa do rovnakého priestoru, zvážte číselnú funkciu, ktorá je pre , definovaná rovnosťou . Táto funkcia už nie je skalárnym súčinom, pretože požiadavka 4 je porušená: keď , vektor sa rovná , a . Euklidovský priestor tu teda nemožno získať.

Pomocou požiadaviek 2 a 3 zahrnutých v definícii skalárneho súčinu je ľahké získať nasledujúci vzorec:

kde , sú dva ľubovoľné systémy vektorov. Odtiaľto sa najmä ukazuje pre ľubovoľný základ a pre ľubovoľnú dvojicu vektorov , , že

Kde . Výraz na pravej strane rovnosti (1) je polynóm v a a sa nazýva bilineárna forma od a (každý jeho člen je lineárny, t. j. prvého stupňa, a to ako vzhľadom na, tak aj vzhľadom na ). Bilineárna forma je tzv symetrické, ak je pre každý jeho koeficient splnená podmienka symetrie. teda skalárny produkt na ľubovoľnom základe vyjadrené ako bilineárna symetrická forma vektorových súradníc , so skutočnými kurzami. To však stále nestačí. Totiž nastavenie , získame z rovnosti (1), že

§3. Dimenzia a základ vektorového priestoru

Lineárna kombinácia vektorov

Triviálna a netriviálna lineárna kombinácia

Lineárne závislé a lineárne nezávislé vektory

Vlastnosti vektorového priestoru spojené s lineárnou závislosťou vektorov

P-rozmerný vektorový priestor

Rozmer vektorového priestoru

Rozklad vektora na bázu

§4. Prechod na nový základ

Matica prechodu zo starého základu na nový

Vektorové súradnice v novom základe

§5. Euklidovský priestor

Skalárny súčin

Euklidovský priestor

Dĺžka (norma) vektora

Vlastnosti dĺžky vektora

Uhol medzi vektormi

Ortogonálne vektory

Ortonormálny základ

§ 3. Dimenzia a základ vektorového priestoru

Uvažujme nejaký vektorový priestor (V, Å, ∘) nad poľom R. Nech sú niektoré prvky množiny V, t.j. vektory.

Lineárna kombinácia vektory je ľubovoľný vektor rovný súčtu súčinov týchto vektorov ľubovoľnými prvkami poľa R(t.j. na skalároch):

Ak sú všetky skaláre rovné nule, potom sa takáto lineárna kombinácia nazýva triviálne(najjednoduchšie) a .

Ak je aspoň jeden skalár nenulový, volá sa lineárna kombinácia netriviálne.

Vektory sú tzv lineárne nezávislé, ak sa iba triviálna lineárna kombinácia týchto vektorov rovná:

Vektory sú tzv lineárne závislé, ak existuje aspoň jedna netriviálna lineárna kombinácia týchto vektorov rovná .

Príklad. Uvažujme množinu usporiadaných množín štvoríc reálnych čísel – ide o vektorový priestor nad poľom reálnych čísel. Úloha: zistite, či sú vektory , A lineárne závislé.

Riešenie.

Urobme lineárnu kombináciu týchto vektorov: , kde sú neznáme čísla. Požadujeme, aby sa táto lineárna kombinácia rovnala nulovému vektoru: .

V tejto rovnosti zapíšeme vektory ako stĺpce čísel:

Ak existujú čísla, pre ktoré platí táto rovnosť, a aspoň jedno z čísel sa nerovná nule, potom ide o netriviálnu lineárnu kombináciu a vektory sú lineárne závislé.

Urobme nasledovné:

Problém sa teda redukuje na riešenie systému lineárnych rovníc:

Keď to vyriešime, dostaneme:

Hodnoty rozšírených a hlavných matíc systému sú rovnaké a menšie ako počet neznámych, preto má systém nekonečný počet riešení.

Nechajte , potom a .

Takže pre tieto vektory existuje netriviálna lineárna kombinácia, napríklad at , ktorá sa rovná nulovému vektoru, čo znamená, že tieto vektory sú lineárne závislé.

Všimnime si niektoré vlastnosti vektorového priestoru spojené s lineárnou závislosťou vektorov:

1. Ak sú vektory lineárne závislé, potom aspoň jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných.

2. Ak medzi vektormi existuje nulový vektor, potom sú tieto vektory lineárne závislé.

3. Ak sú niektoré vektory lineárne závislé, potom všetky tieto vektory sú lineárne závislé.

Vektorový priestor V sa nazýva P-rozmerný vektorový priestor, ak obsahuje P lineárne nezávislé vektory a ľubovoľná množina ( P+ 1) vektorov je lineárne závislý.

číslo P volal rozmer vektorového priestoru, a je označený tlmené (V) z anglického „dimension“ - rozmer (miera, veľkosť, rozmer, veľkosť, dĺžka atď.).

Totalita P lineárne nezávislé vektory P-rozmerný vektorový priestor sa nazýva základ.

Zavolá sa vzorec (*). vektorový rozklad podľa základu a čísla – vektorové súradnice v tomto základe .

Vektorový priestor môže mať viac ako jednu alebo dokonca nekonečne veľa báz. V každom novom základe bude mať ten istý vektor rôzne súradnice.

§ 4. Prechod na nový základ

V lineárnej algebre často vzniká problém nájsť súradnice vektora v novej báze, ak sú známe jeho súradnice v starej báze.

Pozrime sa na niektoré P-rozmerný vektorový priestor (V, +, ·) nad poľom R. Nech sú v tomto priestore dve základne: stará a nová .

Úloha: nájdite súradnice vektora v novom základe.

Nech vektory novej bázy v starej báze majú expanziu:

,

Zapíšme súradnice vektorov do matice nie do riadkov, ako sú zapísané v systéme, ale do stĺpcov:

Výsledná matica je tzv prechodová matica od starého základu k novému.

Matica prechodu spája súradnice ľubovoľného vektora v starej a novej báze nasledujúcim vzťahom:

,

kde sú požadované súradnice vektora v novom základe.

Úloha nájsť vektorové súradnice v novej báze sa teda redukuje na riešenie maticovej rovnice: , kde X– maticový stĺpec vektorových súradníc v starom základe, A- matica prechodu zo starého základu na nový, X* – požadovaný maticový stĺpec vektorových súradníc v novom základe. Z maticovej rovnice dostaneme:

takže, vektorové súradnice v novom základe sa zisťujú z rovnosti:

.

Príklad. Na určitom základe sú uvedené vektorové rozklady:

Nájdite súradnice vektora v základe.

Riešenie.

1. Vypíšeme maticu prechodu na nový základ, t.j. Súradnice vektorov v starom základe zapíšeme do stĺpcov:

2. Nájdite maticu A –1:

3. Vykonajte násobenie , kde sú súradnice vektora:

Odpoveď: .

§ 5. Euklidovský priestor

Pozrime sa na niektoré P-rozmerný vektorový priestor (V, +, ·) nad poľom reálnych čísel R. Nech je nejakým základom tohto priestoru.

Predstavme si tento vektorový priestor metrický, t.j. Poďme určiť, ako merať dĺžky a uhly. Aby sme to dosiahli, definujeme koncept skalárneho produktu.