Vzorce pre oblasti všetkých geometrických útvarov. Ako vypočítať plochu obrázku

Plošný vzorec je potrebné určiť plochu obrazca, čo je funkcia skutočnej hodnoty definovaná na určitej triede obrazcov euklidovskej roviny a spĺňajúca 4 podmienky:

1. Pozitivita – plocha nemôže byť menšia ako nula;
2. Normalizácia - štvorec so stranou má plochu 1;
3. Kongruencia - zhodné čísla majú rovnakú plochu;
4. Aditivita - plocha spojenia 2 číslic bez spoločných vnútorných bodov sa rovná súčtu plôch týchto číslic.

Poznatky o tom, ako merať Zem, sa objavili v staroveku a postupne sa formovali vo vede o geometrii. Toto slovo je preložené z gréčtiny ako „meračstvo pôdy“.

Mierou rozsahu plochej časti Zeme na dĺžku a šírku je plocha. V matematike sa zvyčajne označuje latinským písmenom S (z anglického „štvorec“ - „plocha“, „štvorec“) alebo gréckym písmenom σ (sigma). S označuje plochu obrázku na rovine alebo povrch tela a σ je plocha prierezu drôtu vo fyzike. Toto sú hlavné symboly, hoci môžu existovať aj iné, napríklad v oblasti pevnosti materiálov, A je plocha prierezu profilu.

V kontakte s

Výpočtové vzorce

Keď poznáte oblasti jednoduchých postáv, môžete nájsť parametre zložitejších.. Starovekí matematici vyvinuli vzorce, ktoré sa dajú použiť na ich jednoduchý výpočet. Takéto postavy sú trojuholník, štvoruholník, mnohouholník, kruh.

Ak chcete nájsť oblasť komplexnej rovinnej postavy, je rozdelená na mnoho jednoduchých postáv, ako sú trojuholníky, lichobežníky alebo obdĺžniky. Potom sa pomocou matematických metód odvodí vzorec pre oblasť tohto obrázku. Podobná metóda sa používa nielen v geometrii, ale aj v matematickej analýze na výpočet plôch útvarov ohraničených krivkami.

Trojuholník

Začnime najjednoduchšou postavou - trojuholníkom. Sú pravouhlé, rovnoramenné a rovnostranné. Vezmite ľubovoľný trojuholník ABC so stranami AB=a, BC=ba AC=c (∆ ABC). Aby sme našli jej oblasť, pripomeňme si sínusové a kosínusové vety známe zo školského kurzu matematiky. Po opustení všetkých výpočtov sa dostaneme k nasledujúcim vzorcom:

• S=√ - Heronov vzorec, známy každému, kde p=(a+b+c)/2 je polobvod trojuholníka;
• S=a h/2, kde h je výška znížená na stranu a;
• S=a b (sin γ)/2, kde γ je uhol medzi stranami a a b;
• S=a b/2, ak ∆ ABC je pravouhlý (tu a a b sú nohy);
• S=b² (sin (2 β))/2, ak ∆ ABC je rovnoramenné (tu b je jedna z „bokov“, β je uhol medzi „bokami“ trojuholníka);
• S=a² √¾, ak ∆ ABC je rovnostranné (tu a je strana trojuholníka).

Štvoruholník

Nech existuje štvoruholník ABCD s AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Ak chcete nájsť plochu S ľubovoľného 4-uholníka, musíte ju rozdeliť uhlopriečkou na dva trojuholníky, ktorých plochy S1 a S2 sa vo všeobecnosti nerovnajú.

Potom ich pomocou vzorcov vypočítajte a sčítajte, t.j. S=S1+S2. Ak však 4-uholník patrí do určitej triedy, potom jeho oblasť možno nájsť pomocou predtým známych vzorcov:

• S=(a+c) h/2=e h, ak je štvoruholník lichobežník (tu a a c sú základne, e je stredová čiara lichobežníka, h je výška znížená k jednej zo základov lichobežníka;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ak ABCD je rovnobežník (tu φ je uhol medzi stranami a a b, h je výška znížená na stranu a, d1 a d2 sú uhlopriečky);
• S=a b=d²/2, ak ABCD je obdĺžnik (d je uhlopriečka);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, ak ABCD je kosoštvorec (a je strana kosoštvorca, φ je jeden z jeho uhlov, P je obvod);
• S=a²=P²/16=d²/2, ak ABCD je štvorec.

Polygón

Na nájdenie oblasti n-uholníka ho matematici rozložia na najjednoduchšie rovnaké čísla - trojuholníky, nájdite plochu každého z nich a potom ich pridajte. Ak však mnohouholník patrí do triedy regulárnych, použite vzorec:

S=a n h/2=a² n/=P²/, kde n je počet vrcholov (alebo strán) mnohouholníka, a je strana n-uholníka, P je jeho obvod, h je apotém, t.j. segment nakreslený od stredu mnohouholníka k jednej z jeho strán pod uhlom 90°.

Kruh

Kruh je dokonalý mnohouholník s nekonečným počtom strán. Musíme vypočítať limit výrazu vpravo vo vzorci pre oblasť mnohouholníka s počtom strán n smerujúcim k nekonečnu. V tomto prípade sa obvod mnohouholníka zmení na dĺžku kruhu s polomerom R, ktorý bude hranicou nášho kruhu, a bude rovný P=2 π R. Dosaďte tento výraz do vyššie uvedeného vzorca. Dostaneme:

S = (π2 R2 cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Nájdite limitu tohto výrazu ako n→∞. Aby sme to dosiahli, berieme do úvahy, že lim (cos (180°/n)) pre n→∞ sa rovná cos 0°=1 (lim je znamienko limity) a lim = lim pre n→∞ je rovná 1/π (mieru stupňov sme previedli na radián pomocou vzťahu π rad=180° a použili sme prvú pozoruhodnú hranicu lim (sin x)/x=1 pri x→∞). Nahradením získaných hodnôt do posledného výrazu pre S sa dostaneme k známemu vzorcu:

S=π2R21(1/π)=πR2.

Jednotky

Používajú sa systémové a nesystémové jednotky merania. Systémové jednotky patria do SI (System International). Ide o meter štvorcový (meter štvorcový, m²) a z neho odvodené jednotky: mm², cm², km².

Napríklad v štvorcových milimetroch (mm²) merajú prierez vodičov v elektrotechnike, v štvorcových centimetroch (cm²) - prierez lúča v stavebnej mechanike, v štvorcových metroch (m²) - v byte alebo dome, v kilometroch štvorcových (km²) - v geografii .

Niekedy sa však používajú nesystémové merné jednotky, ako napríklad: väzba, ar (a), hektár (ha) a aker (ac). Uveďme si nasledujúce vzťahy:

• 1 sto štvorcových metrov = 1 a = 100 m² = 0,01 hektára;
• 1 ha=100 a=100 akrov=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 akrov = 0,405 hektárov.

Plocha geometrického útvaru- číselná charakteristika geometrického útvaru znázorňujúca veľkosť tohto útvaru (časť plochy ohraničená uzavretým obrysom tohto útvaru). Veľkosť plochy je vyjadrená počtom v nej obsiahnutých štvorcových jednotiek.

Vzorce oblasti trojuholníka

1. Vzorec pre oblasť trojuholníka podľa strany a výšky
   Oblasť trojuholníka rovná polovici súčinu dĺžky strany trojuholníka a dĺžky nadmorskej výšky nakreslenej na túto stranu
   
2. Vzorec pre oblasť trojuholníka založený na troch stranách a polomere kružnice opísanej
   
3. Vzorec pre oblasť trojuholníka založený na troch stranách a polomere vpísanej kružnice
   Oblasť trojuholníka sa rovná súčinu pol obvodu trojuholníka a polomeru vpísanej kružnice.
   
kde S je plocha trojuholníka,
- dĺžky strán trojuholníka,
- výška trojuholníka,
- uhol medzi stranami a,
- polomer vpísanej kružnice,
R - polomer opísanej kružnice,

Vzorce štvorcovej oblasti

1. Vzorec pre plochu štvorca na základe dĺžky strany
   Štvorcová plocha rovná štvorcu dĺžky jeho strany.
2. Vzorec pre oblasť štvorca pozdĺž diagonálnej dĺžky
   Štvorcová plocha rovná polovici štvorca dĺžky jeho uhlopriečky.
   

   S=	1	2
   	2

kde S - plocha námestia,
- dĺžka strany štvorca,
- dĺžka uhlopriečky štvorca.

Vzorec oblasti obdĺžnika

Oblasť obdĺžnika rovná súčinu dĺžok jeho dvoch susedných strán

kde S je plocha obdĺžnika,
- dĺžky strán obdĺžnika.

Vzorce oblasti rovnobežníka

1. Vzorec pre oblasť rovnobežníka na základe dĺžky a výšky strany
   Oblasť rovnobežníka
2. Vzorec pre oblasť rovnobežníka založený na dvoch stranách a uhle medzi nimi
   Oblasť rovnobežníka sa rovná súčinu dĺžok jej strán vynásobených sínusom uhla medzi nimi.
   

   a b sin α

kde S je plocha rovnobežníka,
- dĺžky strán rovnobežníka,
- dĺžka výšky rovnobežníka,
- uhol medzi stranami rovnobežníka.

Vzorce pre oblasť kosoštvorca

1. Vzorec pre oblasť kosoštvorca na základe dĺžky a výšky strany
   Oblasť kosoštvorca rovná súčinu dĺžky jeho strany a dĺžky výšky zníženej na túto stranu.
2. Vzorec pre oblasť kosoštvorca na základe dĺžky strany a uhla
   Oblasť kosoštvorca sa rovná súčinu druhej mocniny dĺžky jej strany a sínusu uhla medzi stranami kosoštvorca.
3. Vzorec pre oblasť kosoštvorca na základe dĺžok jeho uhlopriečok
   Oblasť kosoštvorca rovná polovici súčinu dĺžok jej uhlopriečok.
kde S je plocha kosoštvorca,
- dĺžka strany kosoštvorca,
- dĺžka výšky kosoštvorca,
- uhol medzi stranami kosoštvorca,
1, 2 - dĺžky uhlopriečok.

Vzorce lichobežníkovej oblasti

1. Heronov vzorec pre lichobežník

   Kde S je oblasť lichobežníka,
   - dĺžky základov lichobežníka,
   - dĺžky strán lichobežníka,