Geometrický význam derivácie je derivácia v danom bode. Derivát

Typ práce: 7

Podmienka

Priamka y=3x+2 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=-12x^2+bx-10. Nájdite b za predpokladu, že úsečka dotykového bodu je menšia ako nula.

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=-12x^2+bx-10, ktorým prechádza dotyčnica k tomuto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, teda y"(x_0)=-24x_0+b=3. Na druhej strane bod dotyku patrí súčasne do oboch grafu funkcie a dotyčnice, teda -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 \begin(prípady) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Vyriešením tohto systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body menšie ako nula, takže x_0=-1, potom b=3+24x_0=-21.

Odpoveď

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Priamka y=-3x+4 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7. Nájdite úsečku dotykového bodu.

Riešenie

Uhlový koeficient priamky ku grafu funkcie y=-x^2+5x-7 v ľubovoľnom bode x_0 sa rovná y"(x_0). Ale y"=-2x+5, čo znamená y" (x_0)=-2x_0+5 Uhlový koeficient úsečky y=-3x+4 zadaný v podmienke sa rovná -3. Preto nájdeme hodnotu x_0 tak, že = -2x_0 +5=-3.

Dostaneme: x_0 = 4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Riešenie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(-6; 2) a B(-1; 1). Označme C(-6; 1) priesečník priamok x=-6 a y=1 a \alpha uhol ABC (na obrázku vidíte, že je ostrý). Potom priamka AB zviera uhol \pi -\alpha s kladným smerom osi Ox, ktorá je tupá.

Ako je známe, tg(\pi -\alpha) bude hodnota derivácie funkcie f(x) v bode x_0. Všimni si tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Odtiaľ pomocou redukčných vzorcov dostaneme: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Priamka y=-2x-4 je dotyčnicou ku grafu funkcie y=16x^2+bx+12. Nájdite b za predpokladu, že úsečka dotykového bodu je väčšia ako nula.

Riešenie

Nech x_0 je úsečka bodu na grafe funkcie y=16x^2+bx+12, cez ktorý

je dotyčnicou tohto grafu.

Hodnota derivácie v bode x_0 sa rovná sklonu dotyčnice, teda y"(x_0)=32x_0+b=-2. Na druhej strane bod dotyku patrí súčasne do oboch grafov funkcie a dotyčnice, teda 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Vyriešením systému dostaneme x_0^2=1, čo znamená buď x_0=-1 alebo x_0=1. Podľa podmienky úsečky sú dotykové body väčšie ako nula, takže x_0=1, potom b=-2-32x_0=-34.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x), definovanej na intervale (-2; 8). Určte počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s priamkou y=6.

Riešenie

Priamka y=6 je rovnobežná s osou Ox. Preto nájdeme body, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou Ox. Na tomto grafe sú takéto body extrémnymi bodmi (maximálne alebo minimálne body). Ako vidíte, existujú 4 extrémne body.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Priamka y=4x-6 je rovnobežná s dotyčnicou ku grafu funkcie y=x^2-4x+9. Nájdite úsečku dotykového bodu.

Riešenie

Sklon dotyčnice ku grafu funkcie y=x^2-4x+9 v ľubovoľnom bode x_0 sa rovná y"(x_0). Ale y"=2x-4, čo znamená y"(x_0)= 2x_0-4 Smernica dotyčnice y =4x-7 zadaná v podmienke je rovná 4. Rovnobežné čiary majú teda rovnaké uhlové koeficienty, preto nájdeme hodnotu x_0 takú, že 2x_0-4=4.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Geometrický význam derivácií. Tangenta ku grafu funkcie

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a dotyčnica k nej v bode s osou x_0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x_0.

Riešenie

Z obrázku určíme, že dotyčnica prechádza bodmi A(1; 1) a B(5; 4). Označme C(5; 1) priesečník priamok x=5 a y=1 a \alpha uhol BAC (na obrázku vidíte, že je ostrý). Potom priamka AB zviera uhol \alpha s kladným smerom osi Ox.

Ak chcete zistiť geometrickú hodnotu derivácie, zvážte graf funkcie y = f(x). Zoberme si ľubovoľný bod M so súradnicami (x, y) a bod N v jeho blízkosti (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Nakreslíme súradnice $\overline(M_(1) M)$ a $\overline(N_(1) N)$ a z bodu M - priamku rovnobežnú s osou OX.

Pomer $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ je dotyčnica uhla $\alpha $1 tvorená sečnicou MN s kladným smerom osi OX. Keďže $\Delta $x má tendenciu k nule, bod N sa bude približovať k M a hraničnou polohou sečnice MN bude dotyčnica MT ku krivke v bode M. Derivácia f`(x) sa teda rovná dotyčnici uhla $\alpha $, ktorý zviera dotyčnica ku zakriveniu v bode M (x, y) s kladným smerom k osi OX - sklon dotyčnice (obr. 1).

Obrázok 1. Graf funkcií

Pri výpočte hodnôt pomocou vzorcov (1) je dôležité nerobiť chyby v znakoch, pretože prírastok môže byť aj záporný.

Bod N ležiaci na krivke môže smerovať k M z ktorejkoľvek strany. Ak je teda na obrázku 1 dotyčnica daný opačným smerom, uhol $\alpha $ sa zmení o hodnotu $\pi $, čo výrazne ovplyvní dotyčnicu uhla a tým aj uhlový koeficient.

Záver

Z toho vyplýva, že existencia derivácie je spojená s existenciou dotyčnice ku krivke y = f(x) a uhlový koeficient - tg $\alpha $ = f`(x) je konečný. Preto by dotyčnica nemala byť rovnobežná s osou OY, inak $\alpha $ = $\pi $/2 a dotyčnica uhla bude nekonečná.

V niektorých bodoch spojitá krivka nemusí mať dotyčnicu alebo mať dotyčnicu rovnobežnú s osou OY (obr. 2). Potom funkcia nemôže mať deriváciu v týchto hodnotách. Na funkčnej krivke môže byť ľubovoľný počet podobných bodov.

Obrázok 2. Výnimočné body krivky

Zoberme si obrázok 2. Nech $\Delta $x má tendenciu k nule zo záporných alebo kladných hodnôt:

\[\Delta x\do -0\začiatok(pole)(cc) () & (\Delta x\do +0) \koniec(pole)\]

Ak v tomto prípade majú vzťahy (1) konečnú hranicu, označíme ju takto:

V prvom prípade je derivácia vľavo, v druhom je derivácia vpravo.

Existencia limity označuje ekvivalenciu a rovnosť ľavého a pravého derivátu:

Ak sú ľavá a pravá derivácia nerovnaké, potom v danom bode existujú dotyčnice, ktoré nie sú rovnobežné s OY (bod M1, obr. 2). V bodoch M2, M3 majú vzťahy (1) tendenciu k nekonečnu.

Pre body N ležiace naľavo od M2, $\Delta $x $

Napravo od $M_2$ $\Delta $x $>$ 0, ale výraz je tiež f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Pre bod $M_3$ vľavo $\Delta $x $$ 0 a f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, t.j. výrazy (1) vľavo aj vpravo sú kladné a majú tendenciu k +$\infty $, keď sa $\Delta $x blíži k -0 a +0.

Prípad neprítomnosti derivácie v konkrétnych bodoch priamky (x = c) je znázornený na obrázku 3.

Obrázok 3. Žiadne deriváty

Príklad 1

Obrázok 4 zobrazuje graf funkcie a dotyčnicu ku grafu v bode úsečky $x_0$. Nájdite hodnotu derivácie funkcie na vodorovnej osi.

Riešenie. Derivácia v bode sa rovná pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu. Vyberme dva body na dotyčnici s celočíselnými súradnicami. Nech sú to napríklad body F (-3,2) a C (-2,4).

V rovine súradníc xOy zvážte graf funkcie y=f(x). Opravme pointu M(x 0; f (x 0)). Pridajme úsečku x 0 prírastok Δx. Dostaneme novú úsečku x 0 +Δx. Toto je úsečka bodu N a ordináta bude rovnaká f (x 0 +Δx). Zmena na vodorovnej ose znamenala zmenu zvislej osi. Táto zmena sa nazýva prírastok funkcie a označuje sa Δy.

Ay=f (x 0 + Ax) - f (x 0). Cez bodky M A N nakreslíme sečnicu MN, ktorý tvorí uhol φ s kladným smerom osi Oh. Určme tangens uhla φ z pravouhlého trojuholníka MPN.

Nechaj Δx má tendenciu k nule. Potom sekta MN bude mať tendenciu zaujať tangenciálnu polohu MT a uhol φ stane sa uhlom α . Takže tangens uhla α je hraničná hodnota dotyčnice uhla φ :

Limit pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule, sa nazýva derivácia funkcie v danom bode:

Geometrický význam derivácie spočíva v tom, že numerická derivácia funkcie v danom bode sa rovná dotyčnici uhla, ktorú zviera dotyčnica vedená cez tento bod k danej krivke a kladnému smeru osi. Oh:

Príklady.

1. Nájdite prírastok argumentu a prírastok funkcie y= x 2, ak sa počiatočná hodnota argumentu rovnala 4 a nové - 4,01 .

Riešenie.

Nová hodnota argumentu x=x 0 +Δx. Dosadíme údaje: 4,01=4+Δx, teda prírastok argumentu Δx= 4,01-4 = 0,01. Prírastok funkcie sa podľa definície rovná rozdielu medzi novou a predchádzajúcou hodnotou funkcie, t.j. Ay=f (x 0 + Ax) - f (x 0). Keďže máme funkciu y=x2, To Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

odpoveď: prírastok argumentov Δx=0,01; prírastok funkcie Δу=0,0801.

Prírastok funkcie mohol byť nájdený inak: Δy=y(x0+Ax)-y(x0)=y(4,01)-y(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.

2. Nájdite uhol sklonu dotyčnice ku grafu funkcie y=f(x) v bode x 0, Ak f "(x 0) = 1.

Riešenie.

Hodnota derivátu v bode dotyku x 0 a je hodnotou tangensu tangens uhla (geometrický význam derivácie). Máme: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, pretože tg45°=1.

odpoveď: dotyčnica ku grafu tejto funkcie zviera s kladným smerom osi Ox uhol rovný 45°.

3. Odvoďte vzorec pre deriváciu funkcie y=xn.

Diferenciácia je činnosť hľadania derivácie funkcie.

Pri hľadaní derivátov použite vzorce, ktoré boli odvodené na základe definície derivátu, rovnakým spôsobom, ako sme odvodili vzorec pre stupeň derivátu: (x n)" = nx n-1.

Toto sú vzorce.

Tabuľka derivátov Bude ľahšie zapamätať si vyslovovaním verbálnych formulácií:

1. Derivácia konštantnej veličiny je nulová.

2. Prvočíslo x sa rovná jednej.

3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie.

4. Derivácia stupňa sa rovná súčinu exponentu tohto stupňa o stupeň s rovnakým základom, ale exponent je o jeden menší.

5. Derivácia koreňa sa rovná jednej delenej dvoma rovnakými koreňmi.

6. Derivácia jedna delená x sa rovná mínus jedna delená x na druhú.

7. Derivácia sínusu sa rovná kosínusu.

8. Derivácia kosínusu sa rovná mínus sínusu.

9. Derivácia dotyčnice sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu.

10. Derivácia kotangensu sa rovná mínus jednej delenej druhou mocninou sínusu.

učíme pravidlá diferenciácie.

1. Derivácia algebraického súčtu sa rovná algebraickému súčtu derivátov členov.

2. Derivát súčinu sa rovná súčinu derivátu prvého a druhého faktora plus súčinu prvého faktora a derivátu druhého.

3. Derivácia „y“ delená „ve“ sa rovná zlomku, v ktorom je čitateľ „y prvočíslo vynásobené „ve“ mínus „y vynásobené prvočíslom ve“ a menovateľ je „ve na druhú“.

4. Špeciálny prípad vzorca 3.

Čo je derivát?
Definícia a význam derivačnej funkcie

Mnohých prekvapí nečakané umiestnenie tohto článku v mojom autorovom kurze o derivácii funkcie jednej premennej a jej aplikáciách. Ostatne, ako už od školy: štandardná učebnica v prvom rade dáva definíciu derivátu, jeho geometrický, mechanický význam. Ďalej študenti nachádzajú deriváty funkcií podľa definície a v skutočnosti až potom zdokonaľujú techniku ​​​​používania diferenciácie derivačné tabuľky.

Ale z môjho pohľadu je pragmatickejší nasledujúci prístup: v prvom rade je vhodné DOBRE ROZUMIEŤ limit funkcie, a najmä nekonečne malé množstvá. Faktom je, že definícia derivátu je založená na koncepte limity, čo sa v školskom kurze zle zohľadňuje. Preto značná časť mladých konzumentov granitu vedomostí nerozumie samotnej podstate derivátu. Ak teda málo rozumiete diferenciálnemu počtu alebo sa múdry mozog úspešne zbavil tejto záťaže počas mnohých rokov, začnite s limity funkcií. Zároveň si osvojte/zapamätajte si ich riešenie.

Rovnaký praktický zmysel diktuje, že je to výhodné ako prvé Naučte sa hľadať deriváty, počítajúc do toho deriváty komplexných funkcií. Teória je teória, ale ako sa hovorí, vždy chcete rozlišovať. V tomto ohľade je lepšie prepracovať sa cez uvedené základné lekcie a možno majster diferenciácie bez toho, aby si uvedomili podstatu svojho konania.

Odporúčam po prečítaní článku začať s materiálmi na tejto stránke. Najjednoduchšie problémy s derivátmi, kde sa uvažuje najmä o probléme dotyčnice ku grafu funkcie. Ale môžete počkať. Faktom je, že mnohé aplikácie derivátu nevyžadujú jeho pochopenie a nie je prekvapujúce, že teoretická lekcia sa objavila dosť neskoro - keď som potreboval vysvetliť zisťovanie zväčšujúcich sa/skracujúcich intervalov a extrémov funkcie. Navyše bol na tému dosť dlho. Funkcie a grafy“, až som sa nakoniec rozhodol dať to skôr.

Preto, milé čajníky, neponáhľajte sa absorbovať esenciu derivátu ako hladné zvieratá, pretože saturácia bude bez chuti a neúplná.

Pojem zvyšovanie, znižovanie, maximum, minimum funkcie

Mnohé učebnice zavádzajú pojem derivácie pomocou niektorých praktických problémov a aj mňa napadla zaujímavá ukážka. Predstavte si, že sa chystáme cestovať do mesta, do ktorého sa dá dostať rôznymi spôsobmi. Okamžite zahoďme zakrivené kľukaté cesty a zvážme iba priame diaľnice. Aj priame smery sú však odlišné: do mesta sa dostanete po hladkej diaľnici. Alebo po kopcovitej diaľnici – hore-dole, hore-dole. Iná cesta ide len do kopca a iná stále klesá. Extrémni nadšenci si vyberú trasu roklinou so strmým útesom a strmým stúpaním.

Nech sú však vaše preferencie akékoľvek, je vhodné poznať oblasť alebo mať aspoň jej topografickú mapu. Čo ak takéto informácie chýbajú? Koniec koncov, môžete si vybrať napríklad hladkú cestu, ale vo výsledku zakopnete o zjazdovku s veselými Fínmi. Nie je pravda, že navigátor alebo dokonca satelitná snímka poskytnú spoľahlivé údaje. Preto by bolo pekné formalizovať reliéf cesty pomocou matematiky.

Pozrime sa na nejakú cestu (pohľad zboku):

Pre každý prípad vám pripomínam základný fakt: cestovanie sa deje zľava doprava. Pre jednoduchosť predpokladáme, že funkcia nepretržitý v posudzovanej oblasti.

Aké sú vlastnosti tohto grafu?

V intervaloch funkciu zvyšuje, teda každá jeho ďalšia hodnota viac predchádzajúci. Zhruba povedané, harmonogram je naplnený zdola nahor(lezieme na kopec). A na intervale funkcia klesá– každá ďalšia hodnota menej predchádzajúci a náš plán je zapnutý zhora nadol(ideme dolu svahom).

Venujme pozornosť aj špeciálnym bodom. V bode, ktorý dosiahneme maximálne, teda existuje taký úsek cesty, kde bude hodnota najväčšia (najvyššia). V rovnakom bode sa to dosiahne minimálne, A existuje jeho okolie, v ktorom je hodnota najmenšia (najnižšia).

V triede sa pozrieme na prísnejšiu terminológiu a definície. o extrémoch funkcie, ale teraz si preštudujme ďalšiu dôležitú vlastnosť: o intervaloch funkcia sa zvyšuje, ale zvyšuje sa pri rôznych rýchlostiach. A prvá vec, ktorá vás upúta, je, že graf počas intervalu stúpa nahor oveľa viac cool, ako na intervale . Je možné zmerať strmosť cesty pomocou matematických nástrojov?

Rýchlosť zmeny funkcie

Myšlienka je takáto: vezmime si nejakú hodnotu (čítaj "delta x"), ktorú zavoláme prírastok argumentov a začnime to „skúšať“ na rôznych miestach našej cesty:

1) Pozrime sa na bod úplne vľavo: po prejdení vzdialenosti stúpame po svahu do výšky (zelená čiara). Množstvo je tzv prírastok funkcie a v tomto prípade je tento prírastok kladný (rozdiel hodnôt pozdĺž osi je väčší ako nula). Vytvorme pomer, ktorý bude meradlom strmosti našej cesty. Je zrejmé, že ide o veľmi špecifické číslo a keďže oba prírastky sú kladné, potom .

Pozor! Označenia sú JEDEN to znamená, že nemôžete „odtrhnúť“ „delta“ od „X“ a zvážiť tieto písmená oddelene. Komentár sa samozrejme týka aj symbolu prírastku funkcie.

Poďme zmysluplnejšie preskúmať povahu výsledného zlomku. Buďme spočiatku vo výške 20 metrov (v ľavom čiernom bode). Po prejdení vzdialenosti metrov (ľavá červená čiara) sa ocitneme v nadmorskej výške 60 metrov. Potom bude prírastok funkcie metrov (zelená čiara) a: . teda na každom metri tento úsek cesty výška sa zvyšuje priemer o 4 metre...zabudli ste si horolezeckú výstroj? =) Inými slovami, zostrojený vzťah charakterizuje PRIEMERNÚ RÝCHLOSŤ ZMENY (v tomto prípade rastu) funkcie.

Poznámka : Číselné hodnoty príslušného príkladu zodpovedajú len približne proporciám výkresu.

2) Teraz poďme v rovnakej vzdialenosti od čierneho bodu úplne vpravo. Tu je vzostup pozvoľnejší, takže prírastok (karmínová čiara) je relatívne malý a pomer v porovnaní s predchádzajúcim prípadom bude veľmi mierny. Relatívne povedané, metrov a rýchlosť rastu funkcie je . To znamená, že tu je každý meter cesty priemer pol metra stúpanie.

3) Malé dobrodružstvo na úbočí hôr. Pozrime sa na hornú čiernu bodku umiestnenú na zvislej osi. Predpokladajme, že ide o značku 50 metrov. Opäť prekonávame vzdialenosť, v dôsledku čoho sa ocitáme nižšie – na úrovni 30 metrov. Keďže pohyb sa vykonáva zhora nadol(v protismere osi), potom konečná prírastok funkcie (výška) bude záporný: metrov (hnedý segment na výkrese). A v tomto prípade už hovoríme miera poklesu Vlastnosti: , teda s každým metrom dráhy tohto úseku sa výška zmenšuje priemer o 2 metre. Postarajte sa o svoje oblečenie v piatom bode.

Teraz si položme otázku: akú hodnotu „meracieho etalónu“ je najlepšie použiť? Je to úplne pochopiteľné, 10 metrov je veľmi drsných. Bez problémov sa na ne zmestí dobrý tucet humienkov. Bez ohľadu na hrbole, dole môže byť hlboká roklina a po pár metroch je jej druhá strana s ďalším strmým stúpaním. S desaťmetrom teda nedostaneme zrozumiteľný popis takýchto úsekov cesty cez pomer .

Z vyššie uvedenej diskusie vyplýva tento záver: čím je hodnota nižšia, tým presnejšie popíšeme cestnú topografiu. Okrem toho sú pravdivé nasledujúce skutočnosti:

– Pre hocikoho zdvíhacie body môžete vybrať hodnotu (aj keď veľmi malú), ktorá zapadá do hraníc konkrétneho nárastu. To znamená, že príslušný výškový prírastok bude zaručene kladný a nerovnosť bude správne indikovať rast funkcie v každom bode týchto intervalov.

- tak isto, pre akékoľvek sklonový bod je hodnota, ktorá sa úplne zmestí na tento svah. Zodpovedajúci nárast výšky je teda jednoznačne záporný a nerovnosť správne ukáže pokles funkcie v každom bode daného intervalu.

– Zvlášť zaujímavý je prípad, keď je rýchlosť zmeny funkcie nulová: . Po prvé, nulový prírastok výšky () je znakom hladkej cesty. A po druhé, existujú ďalšie zaujímavé situácie, ktorých príklady vidíte na obrázku. Predstavte si, že nás osud zavial na samý vrchol kopca so vznášajúcimi sa orlami alebo na dno rokliny s kvákajúcimi žabami. Ak urobíte malý krok ktorýmkoľvek smerom, zmena výšky bude zanedbateľná a môžeme povedať, že rýchlosť zmeny funkcie je v skutočnosti nulová. Toto je presne ten obraz pozorovaný na bodoch.

Dostali sme sa teda k úžasnej príležitosti dokonale presne charakterizovať rýchlosť zmeny funkcie. Koniec koncov, matematická analýza umožňuje nasmerovať prírastok argumentu na nulu: , to znamená, aby bol nekonečne malý.

V dôsledku toho vzniká ďalšia logická otázka: je možné nájsť cestu a jej harmonogram inú funkciu, ktorý by nám dal vedieť o všetkých rovinatých úsekoch, stúpaniach, klesaniach, vrcholoch, údoliach, ako aj o rýchlosti rastu/poklesu v každom bode cesty?

Čo je derivát? Definícia derivátu.
Geometrický význam derivácie a diferenciálu

Prečítajte si pozorne a nie príliš rýchlo - materiál je jednoduchý a prístupný každému! Nevadí, ak sa vám na niektorých miestach niečo nezdá veľmi jasné, vždy sa môžete k článku vrátiť neskôr. Poviem viac, je užitočné študovať teóriu niekoľkokrát, aby ste dôkladne porozumeli všetkým bodom (rady sú relevantné najmä pre „technických“ študentov, pre ktorých hrá vyššia matematika významnú úlohu vo vzdelávacom procese).

Prirodzene, v samotnej definícii derivátu ho v určitom bode nahradíme:

k čomu sme dospeli? A prišli sme na to, že na funkciu podľa zákona sa dáva do súladu inú funkciu, ktorá sa volá derivačná funkcia(alebo jednoducho derivát).

Derivát charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie Ako? Myšlienka sa tiahne ako červená niť už od začiatku článku. Uvažujme o nejakom bode doména definície funkcie Nech je funkcia v danom bode diferencovateľná. potom:

1) Ak , potom sa funkcia zvýši v bode . A očividne existuje interval(aj veľmi malý), obsahujúci bod, v ktorom funkcia rastie a jej graf ide „zdola nahor“.

2) Ak , potom funkcia klesá v bode . A existuje interval obsahujúci bod, v ktorom funkcia klesá (graf ide „zhora nadol“).

3) Ak , tak nekonečne blízko v blízkosti bodu funkcia udržiava konštantnú rýchlosť. To sa deje, ako bolo uvedené, s konštantnou funkciou a v kritických bodoch funkcie, najmä na minimálny a maximálny počet bodov.

Trochu sémantiky. Čo znamená sloveso „rozlišovať“ v širšom zmysle? Odlíšiť znamená zvýrazniť vlastnosť. Diferencovaním funkcie „izolujeme“ rýchlosť jej zmeny vo forme derivácie funkcie. Čo, mimochodom, znamená slovo „derivát“? Funkcia Stalo z funkcie.

Termíny sú veľmi úspešne interpretované mechanickým významom derivátu :
Uvažujme zákon zmeny súradníc telesa v závislosti od času a funkcie rýchlosti pohybu daného telesa. Funkcia charakterizuje rýchlosť zmeny súradnice telesa, preto je prvou deriváciou funkcie vzhľadom na čas: . Ak by pojem „pohyb tela“ v prírode neexistoval, neexistoval by derivát pojem „rýchlosť tela“.

Zrýchlenie telesa je rýchlosť zmeny rýchlosti, preto: . Ak by v prírode neexistovali pôvodné pojmy „pohyb tela“ a „rýchlosť tela“, potom by neexistovali derivát pojem „zrýchlenie tela“.

Ciele lekcie:

Študenti by mali vedieť:

• čo sa nazýva sklon čiary;
• uhol medzi priamkou a osou Ox;
• aký je geometrický význam derivácie;
• rovnica dotyčnice ku grafu funkcie;
• spôsob konštrukcie dotyčnice k parabole;
• vedieť aplikovať teoretické poznatky v praxi.

Ciele lekcie:

Vzdelávacie: vytvárať podmienky na to, aby si žiaci osvojili systém vedomostí, zručností a schopností s pojmami mechanický a geometrický význam derivácie.

Výchovné: formovať u študentov vedecký svetonázor.

Rozvojové: rozvíjať u žiakov kognitívny záujem, tvorivosť, vôľu, pamäť, reč, pozornosť, predstavivosť, vnímanie.

Metódy organizovania vzdelávacích a kognitívnych aktivít:

• vizuálne;
• praktické;
• duševnou činnosťou: induktívna;
• podľa asimilácie materiálu: čiastočne vyhľadávacie, rozmnožovacie;
• podľa stupňa samostatnosti: laboratórna práca;
• stimulujúce: povzbudenie;
• kontrola: ústny frontálny prieskum.

Plán lekcie

1. Ústne cvičenia (nájdite derivát)
2. Študentský odkaz na tému „Dôvody pre vznik matematickej analýzy“.
3. Učenie nového materiálu
4. Phys. Len minútu.
5. Riešenie úloh.
6. Laboratórne práce.
7. Zhrnutie lekcie.
8. Komentovanie domácich úloh.

Vybavenie: multimediálny projektor (prezentácia), karty (laboratórne práce).

"Človek dosiahne niečo len tam, kde verí vo svoju vlastnú silu"

L. Feuerbach

Organizácia triedy počas celej hodiny, pripravenosť žiakov na hodinu, poriadok a disciplína.

Stanovenie učebných cieľov pre žiakov, a to ako na celú vyučovaciu hodinu, tak aj na jej jednotlivé etapy.

Určite význam učiva, ktorý sa študuje v tejto téme aj v celom kurze.

Slovné počítanie

1. Nájdite deriváty:

" , ()", (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Logický test.

a) Doplňte chýbajúci výraz.

Všeobecné smerovanie rozvoja vedy je v konečnom dôsledku určené požiadavkami praxe ľudskej činnosti. Existencia starovekých štátov s komplexným hierarchickým systémom riadenia by bola nemožná bez dostatočného rozvoja aritmetiky a algebry, pretože vyberanie daní, organizovanie zásob armády, budovanie palácov a pyramíd a vytváranie zavlažovacích systémov si vyžadovalo zložité výpočty. Počas renesancie sa rozšírili spojenia medzi rôznymi časťami stredovekého sveta, rozvinul sa obchod a remeslá. Začína rýchly vzostup technickej úrovne výroby a priemyselne sa využívajú nové zdroje energie, ktoré nie sú spojené so svalovým úsilím ľudí alebo zvierat. V XI-XII storočia sa objavili valcovacie a tkáčske stroje av polovici XV - tlačiarenský lis. V dôsledku potreby rýchleho rozvoja spoločenskej výroby v tomto období sa zmenila podstata prírodných vied, ktoré boli od staroveku popisné. Cieľom prírodných vied je hĺbkové štúdium prírodných procesov, nie objektov. Matematika, ktorá operovala s konštantnými veličinami, zodpovedala deskriptívnej prírodnej vede staroveku. Bolo potrebné vytvoriť matematický aparát, ktorý by popisoval nie výsledok procesu, ale povahu jeho toku a jeho vlastné vzorce. Výsledkom bolo, že na konci 12. storočia Newton v Anglicku a Leibniz v Nemecku dokončili prvú etapu vytvárania matematickej analýzy. Čo je to „matematická analýza“? Ako možno charakterizovať a predpovedať charakteristiky akéhokoľvek procesu? Chcete použiť tieto funkcie? Preniknúť hlbšie do podstaty konkrétneho javu?

Poďme po ceste Newtona a Leibniza a uvidíme, ako môžeme analyzovať proces, berúc ho do úvahy ako funkciu času.

Poďme si predstaviť niekoľko konceptov, ktoré nám pomôžu ďalej.

Graf lineárnej funkcie y=kx+ b je priamka, číslo k sa nazýva sklon priamky. k=tg, kde je uhol priamky, teda uhol medzi touto priamkou a kladným smerom osi Ox.

Obrázok 1

Uvažujme graf funkcie y=f(x). Nakreslime sečnicu cez ľubovoľné dva body, napríklad sečnicu AM. (Obr.2)

Uhlový koeficient sečny k=tg. V pravouhlom trojuholníku AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Obrázok 2

Obrázok 3

Samotný pojem „rýchlosť“ charakterizuje závislosť zmeny jednej veličiny od zmeny inej, pričom druhou nemusí byť nutne čas.

Tangenta uhla sklonu sečny tg =.

Zaujíma nás závislosť zmien veličín za kratší časový úsek. Nasmerujme prírastok argumentu na nulu. Potom je pravá strana vzorca deriváciou funkcie v bode A (vysvetlite prečo). Ak x -> 0, potom sa bod M posunie pozdĺž grafu do bodu A, čo znamená, že priamka AM sa blíži k nejakej priamke AB, ktorá je dotyčnica ku grafu funkcie y = f(x) v bode A. (Obr. 3)

Uhol sklonu sečnice smeruje k uhlu sklonu dotyčnice.

Geometrický význam derivácie je, že hodnota derivácie v bode sa rovná sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v bode.

Mechanický význam derivátu.

Tangenta uhla dotyčnice je hodnota ukazujúca okamžitú rýchlosť zmeny funkcie v danom bode, čiže nová charakteristika skúmaného procesu. Leibniz túto veličinu nazval derivát a Newton povedal, že samotná derivácia sa nazýva okamžitá rýchlosť.

č. 91(1) strana 91 – ukázať na tabuli.

Uhlový koeficient dotyčnice ku krivke f(x) = x 3 v bode x 0 – 1 je hodnota derivácie tejto funkcie v x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f'(1) = 3.

č.91 (3,5) – diktát.

č. 92(1) – v prípade potreby na doske.

č. 92 (3) – samostatne s ústnym skúšaním.

č. 92 (5) – pri tabuli.

Odpovede: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Cieľ: Rozvinúť koncept „mechanického významu derivátu“.

Aplikácie derivátov v mechanike.

Je daný zákon priamočiareho pohybu bodu x = x(t), t.

1. Priemerná rýchlosť pohybu za určité časové obdobie;
2. Rýchlosť a zrýchlenie v čase t 04
3. Okamihy zastavenia; či bod po momente zastavenia pokračuje v pohybe rovnakým smerom alebo sa začína pohybovať v opačnom smere;
4. Najvyššia rýchlosť pohybu v určenom časovom období.

Práca sa vykonáva podľa 12 možností, úlohy sú diferencované podľa náročnosti (prvá možnosť je najnižšia náročnosť).

Pred začatím práce rozhovor o nasledujúcich otázkach:

1. Aký je fyzikálny význam derivátu posunutia? (Rýchlosť).
2. Je možné nájsť deriváciu rýchlosti? Používa sa táto veličina vo fyzike? Ako sa to volá? (Zrýchlenie).
3. Okamžitá rýchlosť je nulová. Čo možno povedať o pohybe tela v tejto chvíli? (Toto je moment zastavenia).
4. Aký je fyzikálny význam nasledujúcich tvrdení: derivácia pohybu sa v bode t 0 rovná nule; mení derivácia znamienko pri prechode bodom t 0? (Telo sa zastaví; smer pohybu sa zmení na opačný).

Ukážka študentských prác.

x(t)= t3-2 t2+1, to = 2.

Obrázok 4

V opačnom smere.

Nakreslíme schematický diagram rýchlosti. Najvyššia rýchlosť je dosiahnutá v bode

t = 10, v (10) = 3 · 10 2 -4 · 10 = 300 - 40 = 260

Obrázok 5

1) Aký je geometrický význam derivácie?
2) Aký je mechanický význam derivátu?
3) Urobte záver o svojej práci.

Strana 90. č. 91(2,4,6), č.92(2,4,6,), s.92 č.112.

Použité knihy

• Učebnica Algebra a začiatky analýzy.
  Autori: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorová, M.I. Shabunina.
  Spracoval A. B. Zhizhchenko.
• Algebra 11. ročník. Plány lekcií podľa učebnice Sh. Alimova, Yu. Časť 1.
• Internetové zdroje: