Nakreslite graf rovnice y x na druhú. Funkcia y = x2 a jej graf – Znalostný hypermarket
Ako nakresliť funkciu y=x na druhú+2x-5? a dostal najlepšiu odpoveď
Odpoveď od Alexeyho Popova (Ocean)[guru]
Funkcia je kvadratická a jej graf je parabolický. Nájdite súradnice vrcholu tejto paraboly X= -2/2= -1 Y = 1-2-5=-6 (musíte nahradiť „-1“ vo vzorci y=x na druhú+2x-5 pre X a vypočítajte). V súradnicovom systéme označíme vrchol paraboly A (-1;-6). A z tohto bodu (z bodu A) označíme nájdené body pomocou vzorca y=x na druhú, teda body (1;1) (-1;1)(2;4) (-2;4) (3 ;9) ( -3;9) Pozor! Všetky tieto body vynesieme z vrcholu paraboly, z bodu A (a nie z bodu O, počiatku súradníc)
Odpoveď od Yergey Cherevan[majster]
Vezmite x=0 – toto bude začiatok grafu a potom zoberte 4 body x=1, x=-1, x=2 a x=-2 a vytvorte graf, nazýva sa to parabola
Odpoveď od Elena Fedyukina[guru]
kvadratická funkcia, parabolový graf, stúpajúci vietor Vrcholy pozdĺž osi x = -1, pozdĺž osi y = -5.
Odpoveď od Anna Egorová[guru]
y=x na druhú+2x-5 graf-parabola, ktorej vetvy smerujú nahor (a=1 je väčšie ako nula), nájdete vrchol paraboly: m= -b delené 2a - toto je súradnica pozdĺž os x - bude -1; súradnica y: dosadíte ju do svojej funkcie: bude -6, čo znamená vrchol paraboly (-1;-6), potom nakreslite tabuľku s hodnotami x a y, napríklad pre x=- 3, y = -2, y = -5; x = -1, y = -6; x = 0, y = -5; x = 1, y = -2; x=2, y=3, potom označte tieto body na rovine súradníc a spojte)))
Odpoveď od Bibi[guru]
y=x na štvorcových +2x-5, ak izolujeme druhú mocninu binomu, dostaneme y=(x +1)sq. -6 z toho vyplýva, že vrchol je (-1;-6). Grafom funkcie je parabola. Vetvy paraboly smerujú vertikálne nahor, pretože pred konzolou (a) nie je mínus.
Odpoveď od 2 odpovede[guru]
Ahoj! Tu je výber tém s odpoveďami na vašu otázku: Ako zobraziť graf funkcie y=x na druhú+2x-5?
Predtým sme študovali iné funkcie, napríklad lineárne, pripomeňme si jeho štandardnú formu:
odtiaľ je zjavný zásadný rozdiel - v lineárnej funkcii X stojí na prvom stupni a v novej funkcii začíname študovať, X stojí na druhej moci.
Pripomeňme si, že grafom lineárnej funkcie je priamka a grafom funkcie, ako uvidíme, je krivka nazývaná parabola.
Začnime tým, že zistíme, odkiaľ vzorec pochádza. Vysvetlenie je toto: ak dostaneme štvorec so stranou A, potom môžeme vypočítať jeho plochu takto:
Ak zmeníme dĺžku strany štvorca, zmení sa jeho plocha.
Takže toto je jeden z dôvodov, prečo sa funkcia študuje
Pripomeňme, že premenná X- ide o nezávislú premennú, alebo argument vo fyzikálnej interpretácii, môže to byť napríklad čas; Vzdialenosť je, naopak, závislá premenná, závisí od času. Závislá premenná alebo funkcia je premenná pri.
Toto je zákon korešpondencie, podľa ktorého každá hodnota X je priradená jedna hodnota pri.
Každý korešpondenčný zákon musí spĺňať požiadavku jedinečnosti od argumentu po funkciu. Vo fyzikálnej interpretácii to vyzerá celkom jasne na príklade závislosti vzdialenosti od času: v každom časovom okamihu sme v určitej vzdialenosti od východiskového bodu a nie je možné byť 10 aj 20 kilometrov od začiatku. cesty v rovnakom čase v čase t.
Zároveň je možné každú funkčnú hodnotu dosiahnuť niekoľkými hodnotami argumentov.
Takže musíme vytvoriť graf funkcie, na to musíme vytvoriť tabuľku. Potom študujte funkciu a jej vlastnosti pomocou grafu. Ale ešte pred zostrojením grafu na základe typu funkcie si môžeme povedať niečo o jeho vlastnostiach: to je zrejmé pri nemôže nadobúdať záporné hodnoty, pretože
Urobme si teda tabuľku:
Ryža. 1
Z grafu je ľahké si všimnúť nasledujúce vlastnosti:
Os pri- toto je os symetrie grafu;
Vrchol paraboly je bod (0; 0);
Vidíme, že funkcia prijíma iba nezáporné hodnoty;
V intervale kde 
funkcia klesá a na intervale, kde sa funkcia zvyšuje;
Funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu vo vrchole, 
;
Neexistuje žiadna najväčšia hodnota funkcie;
Príklad 1
podmienka:
Riešenie:
Pretože X zmenami podmienok na konkrétnom intervale môžeme o funkcii povedať, že sa zvyšuje a mení na intervale . Funkcia má na tomto intervale minimálnu a maximálnu hodnotu
Ryža. 2. Graf funkcie y = x 2 , x ∈
Príklad 2
podmienka: Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie:
Riešenie:
X sa mení počas intervalu, čo znamená pri klesá na intervale while a zvyšuje sa na intervale while .
Takže hranice zmeny X a hranice zmeny pri, a preto na danom intervale existuje minimálna aj maximálna hodnota funkcie
Ryža. 3. Graf funkcie y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
Ukážme si skutočnosť, že rovnakú funkčnú hodnotu možno dosiahnuť viacerými hodnotami argumentov.
Vyberme si pravouhlý súradnicový systém v rovine a vynesme hodnoty argumentu na vodorovnú os X a na zvislej osi - hodnoty funkcie y = f(x).
Funkčný graf y = f(x) je množina všetkých bodov, ktorých úsečky patria do oblasti definície funkcie a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.
Inými slovami, graf funkcie y = f (x) je množinou všetkých bodov roviny, súradníc X, pri ktoré uspokojujú vzťah y = f(x).
Na obr. 45 a 46 sú znázornené grafy funkcií y = 2x + 1 A y = x 2 - 2x.
Presne povedané, treba rozlišovať medzi grafom funkcie (ktorej presná matematická definícia bola uvedená vyššie) a nakreslenou krivkou, ktorá vždy poskytuje len viac či menej presný náčrt grafu (a aj tak spravidla nie celý graf, ale iba jeho časť nachádzajúcu sa v koncových častiach roviny). V nasledujúcom texte však vo všeobecnosti povieme „graf“ a nie „náčrt grafu“.
Pomocou grafu môžete nájsť hodnotu funkcie v bode. Totiž, ak bod x = a patrí do oblasti definície funkcie y = f(x) a potom vyhľadajte číslo f(a)(t.j. funkčné hodnoty v bode x = a), mali by ste to urobiť. Je potrebné cez úsečku x = a nakreslite priamku rovnobežnú s osou ordinátov; táto čiara bude pretínať graf funkcie y = f(x) v jednom bode; ordináta tohto bodu bude na základe definície grafu rovná f(a)(obr. 47).
Napríklad pre funkciu f(x) = x 2 - 2x pomocou grafu (obr. 46) zistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atď.
Funkčný graf jasne ilustruje správanie a vlastnosti funkcie. Napríklad z posúdenia obr. 46 je zrejmé, že funkcia y = x 2 - 2x nadobúda kladné hodnoty, keď X< 0 a pri x > 2, záporné - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x prijíma na x = 1.
Graf funkcie f(x) musíte nájsť všetky body roviny, súradnice X,pri ktoré spĺňajú rovnicu y = f(x). Vo väčšine prípadov to nie je možné, pretože takýchto bodov je nekonečné množstvo. Preto je graf funkcie znázornený približne - s väčšou či menšou presnosťou. Najjednoduchší je spôsob vykreslenia grafu pomocou niekoľkých bodov. Spočíva v tom, že argument X zadajte konečný počet hodnôt - povedzme x 1, x 2, x 3,..., x k a vytvorte tabuľku, ktorá obsahuje hodnoty vybraných funkcií.
Tabuľka vyzerá takto:
Po zostavení takejto tabuľky môžeme na grafe funkcie načrtnúť niekoľko bodov y = f(x). Potom spojením týchto bodov hladkou čiarou získame približný pohľad na graf funkcie y = f(x).
Treba však poznamenať, že metóda viacbodového vykresľovania je veľmi nespoľahlivá. V skutočnosti správanie grafu medzi zamýšľanými bodmi a jeho správanie mimo segmentu medzi prijatými extrémnymi bodmi zostáva neznáme.
Príklad 1. Graf funkcie y = f(x) niekto zostavil tabuľku hodnôt argumentov a funkcií:
Zodpovedajúcich päť bodov je znázornených na obr. 48.
Na základe umiestnenia týchto bodov dospel k záveru, že graf funkcie je priamka (na obr. 48 je znázornená bodkovaná čiara). Dá sa tento záver považovať za spoľahlivý? Pokiaľ neexistujú ďalšie úvahy na podporu tohto záveru, ťažko ho možno považovať za spoľahlivý. spoľahlivý.
Na podloženie nášho tvrdenia zvážte funkciu
.
Výpočty ukazujú, že hodnoty tejto funkcie v bodoch -2, -1, 0, 1, 2 sú presne opísané v tabuľke vyššie. Graf tejto funkcie však vôbec nie je priamka (je znázornená na obr. 49). Ďalším príkladom môže byť funkcia y = x + l + sinπx; jeho významy sú tiež opísané v tabuľke vyššie.
Tieto príklady ukazujú, že vo svojej „čistej“ forme je metóda vykresľovania grafu pomocou niekoľkých bodov nespoľahlivá. Preto na vykreslenie grafu danej funkcie spravidla postupujte nasledovne. Najprv sa študujú vlastnosti tejto funkcie, pomocou ktorej môžete zostaviť náčrt grafu. Potom výpočtom hodnôt funkcie v niekoľkých bodoch (ktorých výber závisí od stanovených vlastností funkcie) sa nájdu zodpovedajúce body grafu. A nakoniec sa cez zostrojené body nakreslí krivka pomocou vlastností tejto funkcie.
Na niektoré (najjednoduchšie a najčastejšie používané) vlastnosti funkcií slúžiacich na nájdenie náčrtu grafu sa pozrieme neskôr, ale teraz sa pozrieme na niektoré bežne používané metódy na zostavovanie grafov.
Graf funkcie y = |f(x)|.
Často je potrebné vykresliť funkciu y = |f(x)|, kde f(x) -špecifikovaná funkcia. Pripomeňme si, ako sa to robí. Definovaním absolútnej hodnoty čísla môžeme písať
To znamená, že graf funkcie y =|f(x)| možno získať z grafu, funkcie y = f(x) takto: všetky body na grafe funkcie y = f(x), ktorého súradnice nie sú záporné, by sa malo ponechať nezmenené; ďalej namiesto bodov grafu funkcie y = f(x) so zápornými súradnicami by ste mali zostrojiť zodpovedajúce body na grafe funkcie y = -f(x)(t.j. časť grafu funkcie
y = f(x), ktorá leží pod osou X, by sa mali odrážať symetricky okolo osi X).
Príklad 2 Graf funkcie y = |x|.
Zoberme si graf funkcie y = x(obr. 50, a) a časť tohto grafu pri X< 0 (ležiace pod osou X) symetricky odrážané vzhľadom na os X. V dôsledku toho dostaneme graf funkcie y = |x|(obr. 50, b).
Príklad 3. Graf funkcie y = |x 2 - 2x|.
Najprv nakreslíme funkciu y = x 2 - 2x. Grafom tejto funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, vrchol paraboly má súradnice (1; -1), jej graf pretína os x v bodoch 0 a 2. V intervale (0; 2) funkcia nadobúda záporné hodnoty, preto sa táto časť grafu symetricky odráža vzhľadom na os x. Obrázok 51 ukazuje graf funkcie y = |x 2 -2x| na základe grafu funkcie y = x 2 - 2x
Graf funkcie y = f(x) + g(x)
Zvážte problém konštrukcie grafu funkcie y = f(x) + g(x). ak sú uvedené funkčné grafy y = f(x) A y = g(x).
Všimnite si, že definičný obor funkcie y = |f(x) + g(x)| je množina všetkých tých hodnôt x, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x), t.j. táto definičná oblasť je priesečníkom definičných domén, funkcií f(x) a g(x).
Nechajte body (x 0, y 1) A (x 0, y 2) patria medzi grafy funkcií y = f(x) A y = g(x), t.j 1 = f(x 0), y2 = g(x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patrí do grafu funkcie y = f(x) + g(x)(pre f(x 0) + g(x 0) = y 1 + y2),. a ľubovoľný bod na grafe funkcie y = f(x) + g(x) možno získať týmto spôsobom. Preto graf funkcie y = f(x) + g(x) možno získať z funkčných grafov y = f(x). A y = g(x) nahradenie každého bodu ( x n, y 1) funkčná grafika y = f(x) bodka (x n, y 1 + y 2), Kde y2 = g(x n), t.j. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkčný graf y = f(x) pozdĺž osi pri podľa sumy yi = g(x n). V tomto prípade sa berú do úvahy iba také body X n, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) A y = g(x).
Tento spôsob vykresľovania funkcie y = f(x) + g(x) sa nazýva sčítanie funkčných grafov y = f(x) A y = g(x)
Príklad 4. Na obrázku bol zostrojený graf funkcie metódou pridávania grafov
y = x + sinx.
Pri vykresľovaní funkcie y = x + sinx mysleli sme si to f(x) = x, A g(x) = sinx. Na vykreslenie grafu funkcie vyberieme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Počítajme vo vybraných bodoch a výsledky umiestnime do tabuľky.
Vykresľovanie grafov funkcií obsahujúcich moduly zvyčajne robí školákom značné ťažkosti. Všetko však nie je také zlé. Stačí si zapamätať niekoľko algoritmov na riešenie takýchto problémov a môžete ľahko zostaviť graf aj tej najzložitejšej funkcie. Poďme zistiť, aké sú to algoritmy.
1. Vykreslenie funkcie y = |f(x)|
Všimnite si, že množina funkčných hodnôt y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda vždy umiestnené celé v hornej polrovine.
Vykreslenie funkcie y = |f(x)| pozostáva z nasledujúcich jednoduchých štyroch krokov.
1) Opatrne a starostlivo zostrojte graf funkcie y = f(x).
2) Ponechajte nezmenené všetky body na grafe, ktoré sú nad alebo na osi 0x.
3) Zobrazte časť grafu, ktorá leží pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.
Príklad 1. Nakreslite graf funkcie y = |x 2 – 4x + 3|
1) Zostrojíme graf funkcie y = x 2 – 4x + 3. Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola. Nájdite súradnice všetkých priesečníkov paraboly so súradnicovými osami a súradnicami vrcholu paraboly.
x 2 – 4 x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Preto parabola pretína os 0x v bodoch (3, 0) a (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Preto parabola pretína os 0y v bode (0, 3).
Súradnice vrcholov paraboly:
x v = -(-4/2) = 2, y v = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Preto bod (2, -1) je vrcholom tejto paraboly.
Nakreslite parabolu pomocou získaných údajov (obr. 1)
2) Časť grafu ležiaca pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.
3) Získame graf pôvodnej funkcie ( ryža. 2, zobrazené bodkovanou čiarou).
2. Vykreslenie funkcie y = f(|x|)
Všimnite si, že funkcie tvaru y = f(|x|) sú párne:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takýchto funkcií sú symetrické okolo osi 0y.
Vykreslenie grafu funkcie y = f(|x|) pozostáva z nasledujúceho jednoduchého reťazca akcií.
1) Nakreslite graf funkcie y = f(x).
2) Ponechajte tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Zobrazte časť grafu špecifikovanú v bode (2) symetricky k osi 0y.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).
Príklad 2. Nakreslite graf funkcie y = x 2 – 4 · |x| + 3
Pretože x 2 = |x| 2, potom môže byť pôvodná funkcia prepísaná v nasledujúcom tvare: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Teraz môžeme použiť algoritmus navrhnutý vyššie.
1) Starostlivo a starostlivo zostavíme graf funkcie y = x 2 – 4 x + 3 (pozri aj ryža. 1).
2) Ponecháme tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Zobrazte pravú stranu grafu symetricky k osi 0y.
(obr. 3).
Príklad 3. Nakreslite graf funkcie y = log 2 |x|
Aplikujeme schému uvedenú vyššie.
1) Nakreslite graf funkcie y = log 2 x (obr. 4).
3. Vykreslenie funkcie y = |f(|x|)|
Všimnite si, že funkcie tvaru y = |f(|x|)| sú tiež párne. Skutočne, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a preto sú ich grafy symetrické okolo osi 0y. Súbor hodnôt takýchto funkcií: y ≥ 0. To znamená, že grafy takýchto funkcií sú umiestnené úplne v hornej polrovine.
Ak chcete vykresliť funkciu y = |f(|x|)|, musíte:
1) Opatrne zostrojte graf funkcie y = f(|x|).
2) Ponechajte nezmenenú časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x.
3) Zobrazte časť grafu umiestnenú pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).
Príklad 4. Nakreslite graf funkcie y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Všimnite si, že x 2 = |x| 2. To znamená, že namiesto pôvodnej funkcie y = -x 2 + 2|x| - 1
môžete použiť funkciu y = -|x| 2 + 2|x| – 1, keďže ich grafy sa zhodujú.
Zostavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Používame na to algoritmus 2.
a) Nakreslite graf funkcie y = -x 2 + 2x – 1 (obr. 6).
b) Ponecháme tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
c) Výslednú časť grafu zobrazíme symetricky k osi 0y.
d) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 7).
2) Nad osou 0x nie sú žiadne body, body na osi 0x necháme nezmenené.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 8).
Príklad 5. Nakreslite graf funkcie y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Najprv musíte nakresliť funkciu y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby sme to urobili, vrátime sa k algoritmu 2.
a) Opatrne nakreslite funkciu y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).
Všimnite si, že táto funkcia je zlomková lineárna a jej graf je hyperbola. Ak chcete nakresliť krivku, musíte najprv nájsť asymptoty grafu. Horizontálne – y = 2/1 (pomer koeficientov x v čitateli a menovateli zlomku), vertikálne – x = -3.
2) Časť grafu, ktorá je nad osou 0x alebo na nej, ponecháme nezmenenú.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x sa zobrazí symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je znázornený na obrázku (Obr. 11).
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.
