Ako získať kosínus zo sínusu. Príklady riešenia praktických problémov
V tomto článku sa na to pozrieme komplexne. Základné goniometrické identity sú rovnosti, ktoré vytvárajú spojenie medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom jedného uhla a umožňujú nájsť ktorúkoľvek z týchto goniometrických funkcií prostredníctvom známeho iného uhla.
Okamžite uvedieme hlavné trigonometrické identity, ktoré budeme analyzovať v tomto článku. Zapíšme si ich do tabuľky a nižšie uvedieme výstup týchto vzorcov a poskytneme potrebné vysvetlenia.
Navigácia na stránke.
Vzťah medzi sínusom a kosínusom jedného uhla
Niekedy nehovoria o hlavných trigonometrických identitách uvedených v tabuľke vyššie, ale o jednej jedinej základná trigonometrická identita typu . Vysvetlenie tohto faktu je celkom jednoduché: rovnosti sa získajú z hlavnej goniometrickej identity po vydelení oboch jej častí a, resp.
A
vyplývajú z definícií sínus, kosínus, tangens a kotangens. V nasledujúcich odstavcoch si o tom povieme podrobnejšie.
To znamená, že je to rovnosť, ktorá je obzvlášť zaujímavá a ktorá dostala názov hlavnej trigonometrickej identity.
Pred dokázaním hlavnej goniometrickej identity uvádzame jej formuláciu: súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu jedného uhla je zhodne rovný jednej. Teraz to dokážme.
Základná trigonometrická identita sa veľmi často používa pri prevod goniometrických výrazov. Umožňuje nahradiť súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu jedného uhla jednotkou. Nie menej často sa základná trigonometrická identita používa v opačnom poradí: jednotka je nahradená súčtom druhých mocnín sínusu a kosínusu ľubovoľného uhla.
Tangenta a kotangens cez sínus a kosínus
Identity spájajúce tangens a kotangens so sínusom a kosínusom jedného uhla pohľadu a bezprostredne vyplývajú z definícií sínus, kosínus, tangens a kotangens. Podľa definície je sínus zvislá súradnica y, kosínus je súradnicou x, dotyčnica je pomer súradnice k súradnici, tj.
a kotangens je pomer úsečky k zvislej osi, tj.
.
Vďaka takejto samozrejmosti identít a Tangenta a kotangens často nie sú definované pomerom úsečky a ordináty, ale pomerom sínusu a kosínusu. Tangenta uhla je teda pomer sínusu ku kosínusu tohto uhla a kotangens je pomer kosínusu a sínusu.
Na záver tohto odseku je potrebné poznamenať, že identity a prebiehajú pre všetky uhly, pri ktorých dávajú zmysel goniometrické funkcie v nich obsiahnuté. Vzorec je teda platný pre ľubovoľný , okrem (inak bude mať menovateľ nulu a my sme nedefinovali delenie nulou) a vzorec
- pre všetky , odlišné od , kde z je ľubovoľné .
Vzťah medzi tangentom a kotangensom
Ešte zreteľnejšou trigonometrickou identitou ako predchádzajúce dve je identita spájajúca tangentu a kotangens jedného uhla tvaru . Je jasné, že platí pre všetky uhly iné ako , inak nie sú dotyčnica ani kotangens definované.
Dôkaz vzorca veľmi jednoduché. Podľa definície a odkiaľ
. Dôkaz mohol byť vykonaný trochu inak. Od r
, To
.
Tangenta a kotangens rovnakého uhla, pod ktorým dávajú zmysel, sú teda .
Trigonometria ako veda vznikla na starovekom východe. Prvé trigonometrické pomery odvodili astronómovia, aby vytvorili presný kalendár a orientáciu podľa hviezd. Tieto výpočty sa týkali sférickej trigonometrie, pričom v školskom kurze študujú pomer strán a uhlov rovinného trojuholníka.
Trigonometria je odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá vlastnosťami goniometrických funkcií a vzťahmi medzi stranami a uhlami trojuholníkov.
V období rozkvetu kultúry a vedy v 1. tisícročí nášho letopočtu sa poznatky rozšírili zo starovekého východu do Grécka. Ale hlavné objavy trigonometrie sú zásluhou mužov arabského kalifátu. Najmä turkménsky vedec al-Marazwi zaviedol funkcie ako tangens a kotangens a zostavil prvé tabuľky hodnôt pre sínus, tangens a kotangens. Pojmy sínus a kosínus zaviedli indickí vedci. Trigonometrii sa venovala veľká pozornosť v dielach takých veľkých postáv staroveku ako Euklides, Archimedes a Eratosthenes.
Základné veličiny trigonometrie
Základné goniometrické funkcie číselného argumentu sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Každý z nich má svoj vlastný graf: sínus, kosínus, tangens a kotangens.
Vzorce na výpočet hodnôt týchto veličín sú založené na Pytagorovej vete. Školákom je lepšie známy vo formulácii: „Pytagorove nohavice, rovnaké vo všetkých smeroch“, pretože dôkaz je uvedený na príklade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.
Sínusové, kosínusové a iné vzťahy vytvárajú vzťah medzi ostrými uhlami a stranami akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka. Uveďme vzorce na výpočet týchto veličín pre uhol A a nasledujme vzťahy medzi goniometrickými funkciami:
Ako vidíte, tg a ctg sú inverzné funkcie. Ak si vetvu a predstavíme ako súčin sínu A a prepony c a vetvu b ako cos A * c, dostaneme nasledujúce vzorce pre dotyčnicu a kotangens:
Trigonometrický kruh
Graficky možno vzťah medzi uvedenými veličinami znázorniť nasledovne:
Kruh v tomto prípade predstavuje všetky možné hodnoty uhla α - od 0° do 360°. Ako je možné vidieť z obrázku, každá funkcia nadobúda zápornú alebo kladnú hodnotu v závislosti od uhla. Napríklad sin α bude mať znamienko „+“, ak α patrí do 1. a 2. štvrtiny kruhu, to znamená, že je v rozsahu od 0° do 180°. Pre α od 180° do 360° (štvrtiny III a IV) môže byť sin α iba zápornou hodnotou.
Pokúsme sa zostaviť trigonometrické tabuľky pre konkrétne uhly a zistiť význam veličín.
Hodnoty α rovné 30°, 45°, 60°, 90°, 180° atď. sa nazývajú špeciálne prípady. Hodnoty goniometrických funkcií pre nich sú vypočítané a prezentované vo forme špeciálnych tabuliek.
Tieto uhly neboli zvolené náhodne. Označenie π v tabuľkách je pre radiány. Rad je uhol, pod ktorým dĺžka oblúka kružnice zodpovedá jej polomeru. Táto hodnota bola zavedená s cieľom stanoviť univerzálnu závislosť pri výpočte v radiánoch, na skutočnej dĺžke polomeru v cm nezáleží.
Uhly v tabuľkách pre goniometrické funkcie zodpovedajú radiánom:
Nie je teda ťažké uhádnuť, že 2π je úplný kruh alebo 360°.
Vlastnosti goniometrických funkcií: sínus a kosínus
Aby sme mohli zvážiť a porovnať základné vlastnosti sínusu a kosínusu, dotyčnice a kotangensu, je potrebné nakresliť ich funkcie. Dá sa to urobiť vo forme krivky umiestnenej v dvojrozmernom súradnicovom systéme.
Zvážte porovnávaciu tabuľku vlastností pre sínus a kosínus:
Sínusoida | Kosínus |
---|---|
y = sinx | y = cos x |
ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
sin x = 0, pre x = πk, kde k ϵ Z | cos x = 0, pre x = π/2 + πk, kde k ϵ Z |
sin x = 1, pre x = π/2 + 2πk, kde k ϵ Z | cos x = 1, pri x = 2πk, kde k ϵ Z |
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, kde k ϵ Z | cos x = - 1, pre x = π + 2πk, kde k ϵ Z |
sin (-x) = - sin x, teda funkcia je nepárna | cos (-x) = cos x, t.j. funkcia je párna |
funkcia je periodická, najmenšia perióda je 2π | |
sin x › 0, pričom x patrí do 1. a 2. štvrtiny alebo od 0° do 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, pričom x patrí k I a IV štvrtine alebo od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
sin x ‹ 0, pričom x patrí do tretej a štvrtej štvrtiny alebo od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, pričom x patrí do 2. a 3. štvrtiny alebo od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
nárasty v intervale [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | rastie na intervale [-π + 2πk, 2πk] |
klesá v intervaloch [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | klesá v intervaloch |
derivát (sin x)’ = cos x | derivát (cos x)’ = - sin x |
Určenie, či je funkcia párna alebo nie, je veľmi jednoduché. Stačí si predstaviť trigonometrický kruh so znakmi trigonometrických veličín a mentálne „zložiť“ graf vzhľadom na os OX. Ak sa znamienka zhodujú, funkcia je párna, inak je nepárna.
Zavedenie radiánov a zoznam základných vlastností sínusových a kosínusových vĺn nám umožňuje predstaviť nasledujúci vzorec:
Overiť správnosť vzorca je veľmi jednoduché. Napríklad pre x = π/2 je sínus 1, rovnako ako kosínus x = 0. Kontrola sa môže vykonať pomocou tabuliek alebo sledovaním kriviek funkcií pre dané hodnoty.
Vlastnosti tangentoidov a kotangensoidov
Grafy funkcií tangens a kotangens sa výrazne líšia od funkcií sínus a kosínus. Hodnoty tg a ctg sú navzájom recipročné.
- Y = tan x.
- Dotyčnica smeruje k hodnotám y pri x = π/2 + πk, ale nikdy ich nedosiahne.
- Najmenšia kladná perióda tangentoidu je π.
- Tg (- x) = - tg x, t.j. funkcia je nepárna.
- Tg x = 0, pre x = πk.
- Funkcia sa zvyšuje.
- Tg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, pre x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivát (tg x)’ = 1/cos 2x.
Zvážte grafický obrázok kotangentoidu nižšie v texte.
Hlavné vlastnosti kotangentoidov:
- Y = detská postieľka x.
- Na rozdiel od funkcií sínus a kosínus môže v tangentoide Y nadobudnúť hodnoty množiny všetkých reálnych čísel.
- Kotangentoid má tendenciu k hodnotám y pri x = πk, ale nikdy ich nedosiahne.
- Najmenšia kladná perióda kotangentoidu je π.
- Ctg (- x) = - ctg x, t.j. funkcia je nepárna.
- Ctg x = 0, pre x = π/2 + πk.
- Funkcia sa znižuje.
- Ctg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, pre x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivát (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Správne
Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov pre dva uhly α a β nám umožňujú prejsť od súčtu týchto uhlov k súčinu uhlov α + β 2 a α - β 2. Hneď si všimnime, že by ste si nemali zamieňať vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov so vzorcami pre sínus a kosínus súčtu a rozdielu. Nižšie uvádzame zoznam týchto vzorcov, uvádzame ich odvodenia a ukazujeme príklady použitia pre konkrétne problémy.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov
Napíšme si, ako vyzerajú súčtové a rozdielové vzorce pre sínusy a kosínusy
Vzorce súčtu a rozdielu pre sínusy
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Vzorce súčtu a rozdielu pre kosínusy
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Tieto vzorce platia pre všetky uhly α a β. Uhly α + β 2 a α - β 2 sa nazývajú polovičný súčet a polovičný rozdiel uhlov alfa a beta. Uveďme formuláciu pre každý vzorec.
Definície vzorcov pre súčty a rozdiely sínusov a kosínusov
Súčet sínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného súčtu týchto uhlov a kosínusu polovičného rozdielu.
Rozdiel sínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného rozdielu týchto uhlov a kosínusu polovičného súčtu.
Súčet kosínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu kosínusu polovičného súčtu a kosínusu polovičného rozdielu týchto uhlov.
Rozdiel kosínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného súčtu a kosínusu polovičného rozdielu týchto uhlov, brané so záporným znamienkom.
Odvodenie vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov
Na odvodenie vzorcov pre súčet a rozdiel sínusu a kosínusu dvoch uhlov sa používajú sčítacie vzorce. Uveďme ich nižšie
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Predstavme si aj samotné uhly ako súčet polovičných súčtov a polovičných rozdielov.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Pristúpime priamo k odvodeniu súčtových a rozdielových vzorcov pre sin a cos.
Odvodenie vzorca pre súčet sínusov
V súčte sin α + sin β nahradíme α a β výrazmi pre tieto uhly uvedené vyššie. Dostaneme
sin α + sin β = sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Teraz použijeme sčítací vzorec na prvý výraz a na druhý - vzorec pre sínus uhlových rozdielov (pozri vzorce vyššie)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Otvorte zátvorky, pridajte podobné výrazy a získajte požadovaný vzorec
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Kroky na odvodenie zostávajúcich vzorcov sú podobné.
Odvodenie vzorca pre rozdiel sínusov
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = hriech α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Odvodenie vzorca pre súčet kosínusov
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Odvodenie vzorca pre rozdiel kosínusov
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Príklady riešenia praktických problémov
Najprv skontrolujeme jeden zo vzorcov tak, že do neho nahradíme konkrétne hodnoty uhla. Nech α = π 2, β = π 6. Vypočítajme hodnotu súčtu sínusov týchto uhlov. Najprv použijeme tabuľku základných hodnôt goniometrických funkcií a potom použijeme vzorec pre súčet sínusov.
Príklad 1. Kontrola vzorca pre súčet sínusov dvoch uhlov
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 sin 2 = 2 π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Pozrime sa teraz na prípad, keď sa hodnoty uhla líšia od základných hodnôt uvedených v tabuľke. Nech α = 165°, β = 75°. Vypočítajme rozdiel medzi sínusmi týchto uhlov.
Príklad 2. Aplikácia vzorca rozdielu sínusov
α = 165 °, β = 75 ° hriech α - hriech β = hriech 165 ° - hriech 75 ° hriech 165 - hriech 75 = 2 hriech 165 ° - hriech 75 ° 2 cos 165 ° + hriech 75 ° 2 = = 2 hriech 4 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Pomocou vzorcov pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov môžete prejsť od súčtu alebo rozdielu k súčinu goniometrických funkcií. Tieto vzorce sa často nazývajú vzorce na prechod od sumy k produktu. Vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov sa široko používajú pri riešení goniometrických rovníc a pri prevode goniometrických výrazov.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Nebudem sa vás snažiť presvedčiť, aby ste nepísali cheaty. Napíšte! Vrátane cheatov na trigonometriu. Neskôr plánujem vysvetliť, prečo sú cheaty potrebné a prečo sú cheaty užitočné. A tu sú informácie o tom, ako sa neučiť, ale zapamätať si niektoré trigonometrické vzorce. Takže - trigonometria bez cheat sheetu Používame asociácie na zapamätanie!
1. Vzorce na sčítanie:
Kosíny vždy „vychádzajú v pároch“: kosínus-kosínus, sínus-sínus.
A ešte jedna vec: kosínusy sú „neadekvátne“. „Všetko nie je v poriadku“ pre nich, a tak menia znamienka: „-“ na „+“ a naopak.
Sínusy - "mix": sínus-kosínus, kosínus-sínus.
2. Vzorce súčtu a rozdielu:
kosínusy vždy „vychádzajú v pároch“. Pridaním dvoch kosínusov - „kolobokov“, dostaneme pár kosínusov - „kolobokov“. A odčítaním určite nezískame žiadne koloboky. Dostaneme pár sínusov. Aj s mínusom dopredu.
Sínusy - "mix" :
3. Vzorce na prepočet súčinu na súčet a rozdiel.
Kedy dostaneme kosínusový pár? Keď pridáme kosínusy. Preto
Kedy dostaneme pár sínusov? Pri odčítaní kosínusov. Odtiaľ:
„Zmiešanie“ sa dosiahne pri pridávaní aj odčítaní sínusov. Čo je zábavnejšie: pridávať alebo uberať? Správne, zložiť. A pre vzorec sa pridáva:
V prvom a treťom vzorci je súčet v zátvorkách. Preskupenie miest pojmov nezmení súčet. Poradie je dôležité len pre druhý vzorec. Aby sme sa však nemýlili, pre ľahšie zapamätanie vo všetkých troch vzorcoch v prvých zátvorkách berieme rozdiel
a po druhé - množstvo
Šablóny vo vrecku vám dajú pokoj: ak zabudnete vzorec, môžete ho skopírovať. A dajú vám istotu: ak sa vám nepodarí použiť cheat sheet, vzorce si ľahko zapamätáte.