Ako riešiť zlomkové príklady s celými číslami. Operácie so zlomkami, pravidlá, príklady, riešenia

Takmer každý piaty žiak je po prvom zoznámení sa s obyčajnými zlomkami trochu v šoku. Musíte nielen pochopiť podstatu zlomkov, ale musíte s nimi vykonávať aj aritmetické operácie. Potom budú malí študenti systematicky vypočúvať svojho učiteľa, aby zistili, kedy tieto zlomky skončia.

Aby sme sa vyhli takýmto situáciám, stačí deťom túto náročnú tému vysvetliť čo najjednoduchšie a najlepšie hravou formou.

Podstata zlomku

Skôr ako sa dieťa naučí, čo je zlomok, musí sa s týmto konceptom oboznámiť zdieľam . Tu sa najlepšie hodí asociatívna metóda.

Predstavte si celý koláč, ktorý je rozdelený na niekoľko rovnakých častí, povedzme štyri. Potom sa každý kúsok koláča dá nazvať podielom. Ak si vezmete jeden zo štyroch kúskov koláča, bude to jedna štvrtina.

Podiely sú rôzne, pretože celok sa dá rozdeliť na úplne iný počet častí. Čím viac akcií vo všeobecnosti, tým sú menšie a naopak.

Aby sa dali akcie označiť, vymysleli taký matematický koncept ako spoločný zlomok. Zlomok nám umožní zapísať toľko akcií, koľko je potrebné.

Zložkami zlomku sú čitateľ a menovateľ, ktoré sú oddelené zlomkovou čiarou alebo lomkou. Mnohé deti nerozumejú ich významu, a preto im nie je jasná podstata zlomku. Zlomková čiara označuje rozdelenie, tu nie je nič zložité.

Je zvykom písať menovateľa pod, pod zlomkovú čiaru alebo napravo od prednej čiary. Ukazuje počet častí celku. Čitateľ, ktorý sa píše nad zlomkovou čiarou alebo naľavo od prednej čiary, určuje, koľko podielov bolo vybratých napríklad zlomok 4/7. V tomto prípade je 7 menovateľ, ktorý ukazuje, že existuje iba 7 akcií a čitateľ 4 označuje, že boli vybraté štyri zo siedmich akcií.

Hlavné akcie a ich zápis v zlomkoch:

Okrem obyčajného zlomku existuje aj desatinný zlomok.

Operácie so zlomkami 5. ročník

V piatom ročníku sa učia vykonávať všetky počtové operácie so zlomkami.

Všetky operácie so zlomkami sa vykonávajú podľa pravidiel a nemali by ste dúfať, že bez učenia sa pravidla bude všetko fungovať samo. Preto by ste nemali zanedbávať ústnu časť domácich úloh z matematiky.

Už sme pochopili, že zápis desatinného a obyčajného zlomku je odlišný, preto sa aritmetické operácie budú vykonávať inak. Akcie s obyčajnými zlomkami závisia od čísel, ktoré sú v menovateli a v desatinnej čiarke - za desatinnou čiarkou vpravo.

Pre zlomky, ktoré majú rovnaký menovateľ, je algoritmus sčítania a odčítania veľmi jednoduchý. Akcie vykonávame iba s čitateľmi.

Pre zlomky s rôznymi menovateľmi musíte nájsť Najmenší spoločný menovateľ (LCD). Toto je číslo, ktoré bude bezo zvyšku deliteľné všetkými menovateľmi a bude najmenšie z takýchto čísel, ak ich bude niekoľko.

Ak chcete pridať alebo odčítať desatinné zlomky, musíte ich napísať do stĺpca s čiarkou pod čiarkou a v prípade potreby vyrovnať počet desatinných miest.

Ak chcete vynásobiť bežné zlomky, jednoducho nájdite súčin čitateľov a menovateľov. Veľmi jednoduché pravidlo.

Rozdelenie sa vykonáva podľa nasledujúceho algoritmu:

Napíšte dividendu nezmenenú
Premeňte delenie na násobenie
Otočte deliteľa (zapíšte recipročný zlomok na deliteľa)
Vykonajte násobenie

Sčítanie zlomkov, vysvetlenie

Pozrime sa bližšie na sčítanie zlomkov a desatinných miest.

Ako môžete vidieť na obrázku vyššie, zlomok jedna tretina a dve tretiny majú spoločného menovateľa tri. To znamená, že stačí pridať čitateľa jedna a dva a menovateľa ponechať nezmenený. Výsledkom je súčet troch tretín. Túto odpoveď, keď sa čitateľ a menovateľ zlomku rovnajú, možno zapísať ako 1, pretože 3:3 = 1.

Musíte nájsť súčet zlomkov dve tretiny a dve deviatiny. V tomto prípade sú menovatelia rôzni, 3 a 9. Ak chcete vykonať sčítanie, musíte nájsť spoločného. Existuje veľmi jednoduchý spôsob. Zvolíme najväčšieho menovateľa, je to 9. Skontrolujeme, či je deliteľné 3. Keďže 9:3 = 3 bezo zvyšku, ako spoločný menovateľ je vhodná 9.

Ďalším krokom je nájsť ďalšie faktory pre každý čitateľ. Aby sme to dosiahli, vydelíme spoločného menovateľa 9 menovateľom každého zlomku postupne, výsledné čísla budú dodatočné. množné číslo Pre prvý zlomok: 9:3 = 3 pripočítajte 3 do čitateľa prvého zlomku. Pre druhý zlomok: 9:9 = 1 nemusíte sčítať ani jednu, pretože jej vynásobením dostanete to isté. číslo.

Teraz vynásobíme čitateľov ich ďalšími faktormi a pridáme výsledky. Výsledná suma je zlomok ôsmich deviatin.

Sčítanie desatinných miest sa riadi rovnakým pravidlom ako sčítanie prirodzených čísel. V stĺpci je číslica napísaná pod číslicou. Jediný rozdiel je v tom, že v desatinných zlomkoch musíte do výsledku umiestniť správnu čiarku. K tomu sa zlomky píšu s čiarkou pod čiarkou a v súčte stačí posunúť čiarku nadol.

Nájdite súčet zlomkov 38, 251 a 1, 56. Aby bolo vykonávanie úkonov pohodlnejšie, počet desatinných miest napravo sme vyrovnali pridaním 0.

Sčítajte zlomky bez toho, aby ste venovali pozornosť čiarke. A vo výslednom množstve jednoducho znížime čiarku nadol. Odpoveď: 39, 811.

Odčítanie zlomkov, vysvetlenie

Ak chcete nájsť rozdiel medzi zlomkami dve tretiny a jedna tretina, musíte vypočítať rozdiel v čitateľoch 2-1 = 1 a menovateľ ponechať nezmenený. Odpoveď udáva rozdiel jednej tretiny.

Nájdime rozdiel medzi zlomkami päť šestín a sedem desatín. Hľadanie spoločného menovateľa. Používame metódu výberu, od 6 do 10 je najväčšia 10. Kontrolujeme: 10: 6 nie je bezo zvyšku deliteľné. Pridáme ďalších 10, vyjde nám 20:6, čo tiež nie je bezo zvyšku deliteľné. Opäť zväčšíme o 10, dostaneme 30:6 = 5. Spoločný menovateľ je 30. NOZ možno nájsť aj pomocou tabuľky násobenia.

Hľadanie ďalších faktorov. 30:6 = 5 - pre prvý zlomok. 30:10 = 3 - na druhú. Vynásobíme čitateľov a ich dodatočné násobnosti. Dostaneme minuend 25/30 a odčítanie 21/30. Ďalej odčítame čitateľov a menovateľa necháme nezmenený.

Výsledkom bol rozdiel 4/30. Frakcia je redukovateľná. Vydeľte to 2. Odpoveď je 2/15.

Delenie desatinných miest triedou 5

Táto téma rozoberá dve možnosti:

Násobenie desatinných miest stupeň 5

Pamätajte si, ako násobíte prirodzené čísla, presne rovnakým spôsobom, ako nájdete súčin desatinných zlomkov. Po prvé, poďme zistiť, ako vynásobiť desatinný zlomok prirodzeným číslom. Pre to:

Pri násobení desatinného zlomku desatinným miestom konáme presne rovnako.

Zmiešané frakcie, stupeň 5

Piataci radi nazývajú takéto zlomky nie zmiešané, ale<<смешные>>Takto sa to asi ľahšie zapamätá. Zmiešané zlomky sa tak nazývajú, pretože sa vyrábajú spojením celého prirodzeného čísla a obyčajného zlomku.

Zmiešaný zlomok pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti.

Pri čítaní takýchto zlomkov najprv pomenujú celú časť, potom zlomkovú časť: jedna celá dve tretiny, dve celé jedna pätina, tri celé dve pätiny, štyri bodky tri štvrtiny.

Ako sa získavajú tieto zmiešané frakcie? Je to celkom jednoduché. Keď v odpovedi dostaneme nesprávny zlomok (zlomok, ktorého čitateľ je väčší ako menovateľ), musíme ho vždy previesť na zmiešaný zlomok. Čitateľa stačí vydeliť menovateľom. Táto akcia sa nazýva výber celej časti:

Premena zmiešanej frakcie späť na nesprávnu je tiež jednoduchá:

Príklady s desatinnými zlomkami stupeň 5 s vysvetlením

Príklady viacerých akcií vyvolávajú u detí mnohé otázky. Pozrime sa na pár takýchto príkladov.

(0,4 8,25 - 2,025) : 0,5 =

Prvým krokom je nájsť súčin čísel 8,25 a 0,4. Násobenie vykonávame podľa pravidla. V odpovedi spočítajte tri číslice sprava doľava a dajte čiarku.

Druhá akcia je v zátvorkách, to je rozdiel. Od 3 300 odpočítame 2 025. Akciu zaznamenáme do stĺpca s čiarkou pod čiarkou.

Treťou akciou je rozdelenie. Výsledný rozdiel v druhom kroku sa vydelí 0,5. Čiarka sa presunie o jedno miesto. Výsledok 2,55.

Odpoveď: 2,55.

(0, 93 + 0, 07) : (0, 93 — 0, 805) =

Prvým krokom je množstvo v zátvorkách. Pridajte ho do stĺpca, nezabudnite, že čiarka je pod čiarkou. Dostávame odpoveď 1,00.

Druhá akcia je rozdiel od druhej zátvorky. Keďže minuend má menej desatinných miest ako subtrahend, pridáme chýbajúce. Výsledok odčítania je 0,125.

Tretím krokom je rozdelenie sumy rozdielom. Čiarka je posunutá o tri miesta. Výsledkom je delenie 1000 x 125.

odpoveď: 8.

Príklady s obyčajnými zlomkami s rôznymi menovateľmi stupeň 5 s vysvetlením

V prvom V tomto príklade nájdeme súčet zlomkov 5/8 a 3/7. Spoločným menovateľom bude číslo 56. Nájdite ďalšie faktory, vydeľte pomerom 56:8 = 7 a 56:7 = 8. Pridajte ich k prvému a druhému zlomku. Čitateľov a ich faktory vynásobíme, dostaneme súčet zlomkov 35/56 a 24/56. Výsledok bol 59/56. Zlomok je nevlastný, prevedieme ho na zmiešané číslo.

Príklady so zlomkami stupňa 5 na školenie

Pre pohodlie preveďte zmiešané frakcie na nesprávne frakcie a vykonajte operácie.

Ako naučiť svoje dieťa jednoducho riešiť zlomky pomocou Lega

S pomocou takéhoto konštruktéra môžete nielen rozvíjať detskú predstavivosť, ale aj hravou formou zrozumiteľne vysvetliť, čo je zlomok a zlomok.

Obrázok nižšie ukazuje, že jedna časť s ôsmimi kruhmi je celok. To znamená, že ak si vezmete puzzle so štyrmi kruhmi, dostanete polovicu, čiže 1/2. Na obrázku je názorne vidieť, ako riešiť príklady s Legom, ak spočítate kruhy na súčiastkach.

Môžete postaviť veže z určitého počtu častí a označiť každú z nich, ako na obrázku nižšie. Vezmime si napríklad sedemdielnu vežu. Každý kus zelenej stavebnice bude mať 1/7. Ak k jednej takejto časti pridáte ďalšie dve, získate 3/7. Vizuálne vysvetlenie príkladu 1/7+2/7 = 3/7.

Aby ste dostali z matematiky jedničky, nezabudnite sa naučiť pravidlá a precvičiť si ich.

Tento článok je všeobecným pohľadom na prácu so zlomkami. Tu sformulujeme a zdôvodníme pravidlá pre sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie a umocňovanie zlomkov všeobecného tvaru A/B, kde A a B sú nejaké čísla, číselné výrazy alebo výrazy s premennými. Ako obvykle, materiál poskytneme vysvetľujúcimi príkladmi s podrobným popisom riešení.

Navigácia na stránke.

Pravidlá vykonávania operácií so všeobecnými číselnými zlomkami

Dohodnime sa, že všeobecnými číselnými zlomkami rozumieme zlomky, v ktorých čitateľ a/alebo menovateľ môže byť reprezentovaný nielen prirodzenými číslami, ale aj inými číslami alebo číselnými výrazmi. Kvôli prehľadnosti uvádzame niekoľko príkladov takýchto zlomkov: , .

Poznáme pravidlá, podľa ktorých sa vykonávajú. Pomocou rovnakých pravidiel môžete vykonávať operácie so všeobecnými zlomkami:

Zdôvodnenie pravidiel

Ak chcete zdôvodniť platnosť pravidiel na vykonávanie operácií s číselnými zlomkami všeobecného tvaru, môžete začať od nasledujúcich bodov:

Lomka je v podstate znak delenia,
delenie nejakým nenulovým číslom možno považovať za násobenie prevrátenou hodnotou deliteľa (toto hneď vysvetľuje pravidlo delenia zlomkov),
vlastnosti operácií s reálnymi číslami,
a jeho všeobecné chápanie,

Umožňujú vám vykonávať nasledujúce transformácie, ktoré odôvodňujú pravidlá sčítania, odčítania zlomkov s rovnakými a rozdielnymi menovateľmi, ako aj pravidlo násobenia zlomkov:

Príklady

Uveďme príklady vykonávania operácií so všeobecnými zlomkami podľa pravidiel naučených v predchádzajúcom odseku. Povedzme hneď, že zvyčajne po vykonaní operácií so zlomkami si výsledný zlomok vyžaduje zjednodušenie a proces zjednodušenia zlomku je často komplikovanejší ako vykonávanie predchádzajúcich akcií. Nebudeme sa podrobne zaoberať zjednodušením zlomkov (príslušné transformácie sú uvedené v článku transformácia zlomkov), aby sme sa neodpútali od témy, ktorá nás zaujíma.

Začnime príkladmi sčítania a odčítania zlomkov s podobnými menovateľmi. Najprv pridajme zlomky a . Je zrejmé, že menovatelia sú si rovní. Podľa príslušného pravidla zapíšeme zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčtu čitateľov pôvodných zlomkov, a menovateľa necháme rovnakého, máme. Pridanie je hotové, zostáva len zjednodušiť výsledný zlomok: . takže, .

S riešením by sa dalo naložiť inak: najprv urobte prechod na obyčajné zlomky a potom vykonajte sčítanie. S týmto prístupom máme .

Teraz odčítajme od zlomku zlomok . Menovatelia zlomkov sú si rovní, preto sa riadime pravidlom pre odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi:

Prejdime na príklady sčítania a odčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi. Hlavným problémom je priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi. Pre všeobecné zlomky je to dosť rozsiahla téma, podrobne ju preskúmame v samostatnom článku. redukcia zlomkov na spoločného menovateľa. Zatiaľ sa obmedzíme na niekoľko všeobecných odporúčaní, pretože v súčasnosti nás viac zaujíma technika vykonávania operácií so zlomkami.

Vo všeobecnosti je proces podobný redukcii obyčajných zlomkov na spoločného menovateľa. To znamená, že menovatele sú prezentované vo forme produktov, potom sa zoberú všetky faktory z menovateľa prvého zlomku a k nim sa pridajú chýbajúce faktory z menovateľa druhého zlomku.

Ak menovatelia zlomkov, ktoré sa sčítavajú alebo odčítavajú, nemajú spoločné faktory, potom je logické brať ich súčin ako spoločného menovateľa. Uveďme si príklad.

Povedzme, že potrebujeme vykonať sčítanie zlomkov a 1/2. Tu ako spoločného menovateľa je logické brať súčin menovateľov pôvodných zlomkov, teda . V tomto prípade bude dodatočný faktor pre prvý zlomok 2. Po vynásobení čitateľa a menovateľa ním zlomok získa tvar . A pre druhý zlomok je ďalším faktorom výraz. S jeho pomocou sa zlomok 1/2 zredukuje na tvar . Zostáva len sčítať výsledné zlomky s rovnakými menovateľmi. Tu je zhrnutie celého riešenia:

V prípade všeobecných zlomkov už nehovoríme o najmenšom spoločnom menovateľovi, na ktorý sa obyčajné zlomky zvyčajne redukujú. Aj keď v tejto veci je stále vhodné snažiť sa o nejaký minimalizmus. Týmto chceme povedať, že by ste nemali hneď brať za spoločného menovateľa súčin menovateľov pôvodných zlomkov. Napríklad nie je vôbec potrebné brať spoločného menovateľa zlomkov a súčinu . Tu si môžeme vziať.

Prejdime na príklady násobenia všeobecných zlomkov. Vynásobme zlomky a . Pravidlo na vykonanie tohto úkonu nám prikazuje zapísať zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov pôvodných zlomkov a menovateľ je súčinom menovateľov. Máme . Tu, ako v mnohých iných prípadoch pri násobení zlomkov, môžete zlomok znížiť: .

Pravidlo delenia zlomkov umožňuje prejsť od delenia k násobeniu prevráteným zlomkom. Tu si treba uvedomiť, že ak chcete získať prevrátenú hodnotu daného zlomku, musíte prehodiť čitateľa a menovateľa daného zlomku. Tu je príklad prechodu od delenia všeobecných číselných zlomkov k násobeniu: . Zostáva len vykonať násobenie a zjednodušiť výsledný zlomok (ak je to potrebné, pozri transformáciu iracionálnych výrazov):

Na záver informácií v tomto odseku pripomeňme, že každé číslo alebo číselný výraz možno znázorniť ako zlomok s menovateľom 1, preto sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie čísel a zlomkov možno považovať za vykonávanie zodpovedajúcej operácie so zlomkami, jedným z ktorých má jeden v menovateli . Napríklad nahradenie vo výraze odmocniny troch zlomkom, prejdeme od násobenia zlomku číslom k násobeniu dvoch zlomkov: .

Robiť veci so zlomkami, ktoré obsahujú premenné

Pravidlá z prvej časti tohto článku platia aj pre vykonávanie operácií so zlomkami, ktoré obsahujú premenné. Ospravedlníme prvý z nich - pravidlo na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi je dokázané úplne rovnako.

Dokážme, že pre ľubovoľné výrazy A, C a D (D nie je zhodne rovné nule) platí rovnosť na svojom rozsahu prípustných hodnôt premenných.

Zoberme si určitú množinu premenných z ODZ. Nech výrazy A, C a D nadobúdajú hodnoty a 0, c 0 a d 0 pre tieto hodnoty premenných. Potom dosadením hodnôt premenných z vybranej množiny do výrazu sa z neho stane súčet (rozdiel) číselných zlomkov s rovnakými menovateľmi tvaru , ktorý podľa pravidla sčítania (odčítania) číselných zlomkov s rovnakými menovateľmi , rovná sa . Nahradením hodnôt premenných z vybranej množiny do výrazu sa však zmení na rovnaký zlomok. To znamená, že pre vybranú množinu premenných hodnôt z ODZ sú hodnoty výrazov a rovnaké. Je jasné, že hodnoty uvedených výrazov budú rovnaké pre akúkoľvek inú množinu hodnôt premenných z ODZ, čo znamená, že výrazy a sú identicky rovnaké, to znamená, že dokazovaná rovnosť je pravdivá. .

Príklady sčítania a odčítania zlomkov s premennými

Keď sú menovatelia zlomkov, ktoré sa sčítajú alebo odčítajú, rovnaké, potom je všetko celkom jednoduché - čitatelia sa sčítajú alebo odčítajú, ale menovateľ zostáva rovnaký. Je zrejmé, že frakcia získaná potom je zjednodušená, ak je to potrebné a možné.

Všimnite si, že niekedy sa menovatelia zlomkov líšia len na prvý pohľad, ale v skutočnosti ide o identicky rovnaké výrazy, napr. a , alebo a . A niekedy stačí pôvodné zlomky zjednodušiť, aby sa „objavili“ ich identické menovatele.

Príklad.

, b) , V) .

Riešenie.

a) Potrebujeme odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Podľa zodpovedajúceho pravidla necháme menovateľa rovnakého a odčítame čitateľov, máme . Akcia bola dokončená. Môžete však otvoriť aj zátvorky v čitateli a uviesť podobné výrazy: .

b) Je zrejmé, že menovatele sčítaných zlomkov sú rovnaké. Čitateľov teda sčítame a menovateľa necháme rovnaký: . Pridávanie dokončené. Je však ľahké vidieť, že výsledný zlomok sa dá znížiť. Čitateľ výsledného zlomku môže byť skutočne zbalený pomocou štvorca vzorca súčtu ako (lgx+2) 2 (pozri vzorce pre skrátené násobenie), čím sa uskutočnia nasledujúce transformácie: .

c) Súčet zlomkov majú rôznych menovateľov. Ale po transformácii jedného zo zlomkov môžete prejsť k pridávaniu zlomkov s rovnakými menovateľmi. Ukážeme si dve riešenia.

Prvý spôsob. Menovateľ prvého zlomku môže byť faktorizovaný pomocou vzorca rozdielu štvorcov a potom tento zlomok znížiť: . Teda, . Stále nezaškodí oslobodiť sa od iracionality v menovateľovi zlomku: .

Druhý spôsob. Vynásobením čitateľa a menovateľa druhého zlomku číslom (tento výraz nezmizne pre žiadnu hodnotu premennej x z ODZ pre pôvodný výraz) vám umožní dosiahnuť dva ciele naraz: oslobodiť sa od iracionality a prejsť na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. Máme

odpoveď:

A) , b) , V) .

Posledný príklad nás priviedol k problematike redukcie zlomkov na spoločného menovateľa. Tam sme sa takmer náhodou dostali k rovnakým menovateľom zjednodušením jedného zo sčítaných zlomkov. Ale vo väčšine prípadov, keď sčítate a odčítate zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte zlomky cielene priviesť k spoločnému menovateľovi. Na tento účel sa zvyčajne menovatelia zlomkov uvádzajú vo forme produktov, berú sa všetky faktory z menovateľa prvého zlomku a k nim sa pridávajú chýbajúce faktory z menovateľa druhého zlomku.

Príklad.

Vykonajte operácie so zlomkami: a) , b), c) .

Riešenie.

a) S menovateľmi zlomkov netreba nič robiť. Ako spoločný menovateľ berieme produkt . V tomto prípade je ďalším faktorom pre prvý zlomok výraz a pre druhý zlomok - číslo 3. Tieto dodatočné faktory privádzajú zlomky do spoločného menovateľa, ktorý nám neskôr umožňuje vykonať akciu, ktorú potrebujeme,

b) V tomto príklade sú menovatelia už reprezentovaní ako súčin a nevyžadujú žiadne ďalšie transformácie. Je zrejmé, že faktory v menovateľoch sa líšia iba v exponentoch, preto ako spoločného menovateľa berieme súčin faktorov s najvyššími exponentmi, tj. . Potom bude dodatočný faktor pre prvý zlomok x 4 a pre druhý – ln(x+1) . Teraz sme pripravení odčítať zlomky:

c) A v tomto prípade najskôr budeme pracovať s menovateľmi zlomkov. Vzorce na rozdiel druhých mocnín a druhej mocniny súčtu umožňujú prejsť od pôvodného súčtu k výrazu . Teraz je jasné, že tieto zlomky možno zredukovať na spoločného menovateľa . S týmto prístupom bude riešenie vyzerať takto:

odpoveď:

A)

b)

V)

Príklady násobenia zlomkov s premennými

Násobením zlomkov vznikne zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov pôvodných zlomkov a menovateľ je súčinom menovateľov. Tu, ako vidíte, je všetko známe a jednoduché a môžeme len dodať, že frakcia získaná v dôsledku tejto akcie sa často ukáže ako redukovateľná. V týchto prípadoch sa znižuje, pokiaľ to, samozrejme, nie je nevyhnutné a opodstatnené.

Príklady so zlomkami sú jedným zo základných prvkov matematiky. Existuje mnoho rôznych typov rovníc so zlomkami. Nižšie sú uvedené podrobné pokyny na riešenie príkladov tohto typu.

Ako riešiť príklady so zlomkami – všeobecné pravidlá

Ak chcete vyriešiť príklady so zlomkami akéhokoľvek typu, či už ide o sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie, musíte poznať základné pravidlá:

Ak chcete pridať zlomkové výrazy s rovnakým menovateľom (menovateľ je číslo v spodnej časti zlomku, čitateľ navrchu), musíte pridať ich čitateľov a menovateľa ponechať rovnaký.
Ak chcete od jedného zlomku odčítať druhý zlomkový výraz (s rovnakým menovateľom), musíte odčítať ich čitateľov a menovateľa ponechať rovnaký.
Ak chcete sčítať alebo odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte nájsť najnižšieho spoločného menovateľa.
Ak chcete nájsť zlomkový produkt, musíte vynásobiť čitateľov a menovateľov a ak je to možné, znížiť.
Ak chcete zlomok rozdeliť zlomkom, vynásobte prvý zlomok druhým obráteným zlomkom.

Ako riešiť príklady so zlomkami – precvičenie

Pravidlo 1, príklad 1:

Vypočítajte 3/4 + 1/4.

Podľa pravidla 1, ak dva (alebo viac) zlomkov majú rovnakého menovateľa, jednoducho sčítate ich čitateľov. Dostaneme: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ak má zlomok rovnaký čitateľ aj menovateľ, zlomok sa bude rovnať 1.

Odpoveď: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Pravidlo 2, príklad 1:

Vypočítajte: 3/4 – 1/4

Pomocou pravidla číslo 2 na vyriešenie tejto rovnice musíte odpočítať 1 od 3 a ponechať menovateľa rovnakého. Získame 2/4. Keďže dve 2 a 4 sa dajú zmenšiť, zredukujeme a dostaneme 1/2.

Odpoveď: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Pravidlo 3, príklad 1

Vypočítajte: 3/4 + 1/6

Riešenie: Pomocou 3. pravidla nájdeme najnižšieho spoločného menovateľa. Najmenší spoločný menovateľ je číslo, ktoré je deliteľné menovateľmi všetkých zlomkových výrazov v príklade. Potrebujeme teda nájsť minimálne číslo, ktoré bude deliteľné 4 aj 6. Toto číslo je 12. Ako menovateľ napíšeme 12 Vydelíme 12 menovateľom prvého zlomku, dostaneme 3, vynásobíme 3, napíšeme 3 v čitateli *3 a znamienko +. Vydelíme 12 menovateľom druhého zlomku, dostaneme 2, vynásobíme 2 1, do čitateľa napíšeme 2*1. Takže dostaneme nový zlomok s menovateľom rovným 12 a čitateľom rovným 3*3+2*1=11. 11/12.

Odpoveď: 11.12

Pravidlo 3, príklad 2:

Vypočítajte 3/4 – 1/6. Tento príklad je veľmi podobný predchádzajúcemu. Všetky kroky robíme rovnako, ale do čitateľa namiesto znamienka + napíšeme znamienko mínus. Dostaneme: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Odpoveď: 7/12

Pravidlo 4, príklad 1:

Vypočítajte: 3/4 * 1/4

Pomocou štvrtého pravidla vynásobíme menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého a čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého. 3*1/4*4 = 3/16.

Odpoveď: 3/16

Pravidlo 4, Príklad 2:

Vypočítajte 2/5 * 10/4.

Táto frakcia sa môže znížiť. Pri súčine sa ruší čitateľ prvého zlomku a menovateľ druhého zlomku a čitateľ druhého zlomku a menovateľ prvého zlomku.

2 ruší od 4. 10 ruší od 5. Dostaneme 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Odpoveď: 2/5 * 10/4 = 1

Pravidlo 5, príklad 1:

Vypočítajte: 3/4: 5/6

Pomocou 5. pravidla dostaneme: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Zlomok zredukujeme podľa princípu predchádzajúceho príkladu a dostaneme 9/10.

Odpoveď: 9/10.

Ako riešiť príklady so zlomkami - zlomkové rovnice

Zlomkové rovnice sú príklady, kde menovateľ obsahuje neznámu. Na vyriešenie takejto rovnice musíte použiť určité pravidlá.

Pozrime sa na príklad:

Vyriešte rovnicu 15/3x+5 = 3

Pamätajme, že nulou sa deliť nedá, t.j. hodnota menovateľa nesmie byť nula. Pri riešení takýchto príkladov to treba uviesť. Na tento účel existuje OA (prípustný rozsah hodnôt).

Takže 3x+5 ≠ 0.
Preto: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Pri x = 5/3 rovnica jednoducho nemá riešenie.

Po zadaní ODZ je najlepším spôsobom, ako vyriešiť túto rovnicu, zbaviť sa zlomkov. Aby sme to urobili, najprv uvedieme všetky nezlomkové hodnoty ako zlomok, v tomto prípade číslo 3. Dostaneme: 15/(3x+5) = 3/1. Aby ste sa zbavili zlomkov, musíte každý z nich vynásobiť najnižším spoločným menovateľom. V tomto prípade to bude (3x+5)*1. Sekvenovanie:

Vynásobte 15/(3x+5) číslom (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
Otvorte zátvorky: 15*(3x+5) = 45x + 75.
To isté urobíme s pravou stranou rovnice: 3*(3x+5) = 9x + 15.
Prirovnajte ľavú a pravú stranu: 45x + 75 = 9x +15
Posuňte X doľava, čísla doprava: 36x = – 50
Nájdite x: x = -50/36.
Znižujeme: -50/36 = -25/18

Odpoveď: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Ako riešiť príklady so zlomkami – zlomkové nerovnice

Pomocou číselnej osi sa riešia zlomkové nerovnosti typu (3x-5)/(2-x)≥0. Pozrime sa na tento príklad.

Sekvenovanie:

Čitateľa a menovateľa prirovnáme k nule: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2
Nakreslíme číselnú os a zapíšeme na ňu výsledné hodnoty.
Nakreslite kruh pod hodnotou. Existujú dva typy kruhov - vyplnené a prázdne. Vyplnený kruh znamená, že daná hodnota je v rozsahu riešenia. Prázdny kruh znamená, že táto hodnota nie je zahrnutá v rozsahu riešení.
Keďže menovateľ nemôže byť rovný nule, pod 2. bude prázdny kruh.

Na určenie znamienok dosadíme do rovnice ľubovoľné číslo väčšie ako dva, napríklad 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. hodnota je záporná, čo znamená, že nad oblasť za dvojkou napíšeme mínus. Potom za X dosaďte ľubovoľnú hodnotu intervalu od 5/3 do 2, napríklad 1. Hodnota je opäť záporná. Píšeme mínus. To isté opakujeme s oblasťou umiestnenou do 5/3. Dosadíme ľubovoľné číslo menšie ako 5/3, napríklad 1. Opäť mínus.

Keďže nás zaujímajú hodnoty x, pri ktorých bude výraz väčší alebo rovný 0, a takéto hodnoty neexistujú (všade sú mínusky), táto nerovnosť nemá riešenie, teda x = Ø (prázdna sada).

Odpoveď: x = Ø

V 5. ročníku strednej školy sa zavádza zastúpenie zlomkov. Zlomok je číslo zložené z celého počtu zlomkov jednotiek. Obyčajné zlomky sa zapisujú v tvare ±m/n, číslo m sa nazýva čitateľ zlomku a číslo n je jeho menovateľ. Ak je modul menovateľa väčší ako modul čitateľa, povedzme 3/4, potom sa zlomok nazýva správny zlomok, inak sa nazýva nesprávny zlomok. Zlomok môže obsahovať celú časť, povedzme 5 * (2/3) So zlomkami možno použiť rôzne aritmetické operácie.

Inštrukcie

1. Redukcia na univerzálneho menovateľa Nech sú dané zlomky a/b a c/d - Najprv nájdite číslo LCM (najmenší univerzálny násobok) pre menovateľov zlomkov vynásobíme LCM/b - Čitateľ a menovateľ 2. zlomkov sa vynásobí LCM/d Príklad je znázornený na obrázku Na porovnanie zlomkov je potrebné ich zredukovať na spoločného menovateľa a potom porovnať čitateľov. Povedzme 3/4< 4/5, см. рисунок.

2. Sčítanie a odčítanie zlomkov Ak chcete nájsť súčet 2 obyčajných zlomkov, je potrebné ich zredukovať na spoločného menovateľa, potom pripočítať čitateľa, pričom menovateľ zostane nezmenený. Príklad sčítania zlomkov 1/2 a 1/3 je znázornený na obrázku Rozdiel zlomkov sa zistí podobným spôsobom, po nájdení spoločného menovateľa sa odčítajú čitatelia zlomkov, pozri príklad na obrázku.

3. Násobenie a delenie zlomkov Pri násobení obyčajných zlomkov sa násobia čitateľa a menovateľa, aby ste mohli deliť dva zlomky, musíte dostať prevrátenú hodnotu 2. zlomku, t. zameňte jeho čitateľa a menovateľa a potom vynásobte výsledné zlomky.

modul predstavuje bezpodmienečnú hodnotu výrazu. Rovné zátvorky sa používajú na označenie modulu. Hodnoty v nich sa považujú za modulo. Riešenie modulu pozostáva z rozšírenia modulárnych zátvoriek podľa určitých pravidiel a nájdenia sady hodnôt výrazov. Vo väčšine prípadov je modul rozšírený takým spôsobom, že submodulárny výraz dostane množstvo kladných a záporných hodnôt, vrátane nulovej hodnoty. Na základe týchto vlastností modulu sa zostavujú a riešia ďalšie rovnice a nerovnice počiatočného výrazu.

Inštrukcie

1. Napíšte počiatočnú rovnicu s modulom. Ak to chcete vyriešiť, rozbaľte modul. Pozrite sa na každý submodulárny výraz. Určte, pri akej hodnote neznámych veličín v ňom zahrnutých sa výraz v modulárnych zátvorkách stane nulou.

2. Ak to chcete urobiť, prirovnajte submodulárny výraz k nule a nájdite riešenie výslednej rovnice. Zaznamenajte zistené hodnoty. Rovnakým spôsobom určte hodnoty neznámej premennej pre celý modul v danej rovnici.

3. Zvážte prípady existencie premenných, keď sú dobré od nuly. Za týmto účelom napíšte systém nerovností pre všetky moduly počiatočnej rovnice. Nerovnosti musia pokrývať všetky platné hodnoty premennej na číselnej osi.

4. Nakreslite číselnú os a nakreslite na ňu výsledné hodnoty. Hodnoty premennej v nulovom module budú slúžiť ako obmedzenia pri riešení modulárnej rovnice.

5. V počiatočnej rovnici musíte otvoriť modulárne zátvorky a zmeniť znamienko výrazu tak, aby hodnoty premennej zodpovedali hodnotám zobrazeným na číselnej osi. Vyriešte výslednú rovnicu. Skontrolujte zistenú hodnotu premennej voči limitu špecifikovanému modulom. Ak riešenie spĺňa podmienku, potom je pravdivé. Korene, ktoré nespĺňajú obmedzenia, sa musia zlikvidovať.

6. Rovnakým spôsobom rozbaľte moduly počiatočného výrazu s prihliadnutím na znamienko a vypočítajte korene výslednej rovnice. Zapíšte si všetky výsledné korene, ktoré spĺňajú obmedzujúce nerovnosti.

Zlomkové čísla umožňujú vyjadriť presnú hodnotu množstva v rôznych formách. So zlomkami môžete vykonávať rovnaké matematické operácie ako s celými číslami: odčítanie, sčítanie, násobenie a delenie. Naučiť sa rozhodovať zlomky, musíte si zapamätať niektoré z ich funkcií. Závisia od typu zlomky, prítomnosť celej časti, spoločného menovateľa. Niektoré aritmetické operácie si neskôr vyžadujú zníženie zlomkovej časti súčtu.

Budete potrebovať

- kalkulačka

Inštrukcie

1. Pozrite sa pozorne na tieto čísla. Ak sú medzi zlomkami desatinné a nepravidelné, niekedy je vhodnejšie najskôr vykonať operácie s desatinnými miestami a potom ich previesť do nesprávneho tvaru. Môžete preložiť zlomky v tejto forme na začiatku napíšte hodnotu za čiarkou do čitateľa a do menovateľa vložte 10. Ak je to potrebné, zlomok znížte delením čísel nad a pod čiarou jedným deliteľom. Zlomky, v ktorých je celá časť uvedená v nesprávnom tvare, zredukujte vynásobením menovateľom a pripočítaním čitateľa k súčtu. Táto hodnota sa stane novým čitateľom zlomky. Aby ste vybrali celú časť z pôvodne nesprávnej zlomky, musíte vydeliť čitateľa menovateľom. Napíšte celý súčet vľavo od zlomky. A zvyšok divízie sa stane novým čitateľom, menovateľom zlomky to sa nemení. Pre zlomky s celočíselnou časťou je povolené vykonávať akcie oddelene, najprv pre celú časť a potom pre zlomkové časti. Povedzme, že súčet je 1 2/3 a 2? možno vypočítať dvoma spôsobmi: - Prevod zlomkov do nesprávneho tvaru: - 1 2/3 + 2 ? = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12 - oddelené sčítanie celých a zlomkových častí členov: - 1 2/3 + 2? = (1+2) + (2/3 + ?) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

2. Pre nesprávne zlomky s rôznymi hodnotami nájdite pod čiarou spoločného menovateľa. Povedzme, že pre 5/9 a 7/12 bude spoločný menovateľ 36. Pre toto bude čitateľ a menovateľ prvého zlomky musíte vynásobiť 4 (ukáže sa 28/36) a 2. - 3 (ukáže sa 15/36). Teraz môžete vykonať potrebné výpočty.

3. Ak sa chystáte vypočítať súčet alebo rozdiel zlomkov, objavený spoločný menovateľ si najskôr zapíšte pod čiaru. Vykonajte potrebné akcie medzi čitateľmi a výsledok zapíšte nad nový riadok zlomky. Novým čitateľom teda bude rozdiel alebo súčet čitateľov pôvodných zlomkov.

4. Ak chcete vypočítať súčin zlomkov, vynásobte čitateľov zlomkov a napíšte súčet namiesto čitateľa konečného čísla. zlomky. Urobte to isté pre menovateľov. Pri delení jedného zlomky zapíšte jeden zlomok za druhý a potom vynásobte jeho čitateľa menovateľom druhého. V tomto prípade menovateľ prvého zlomky vynásobte zodpovedajúcim spôsobom 2. čitateľom. V tomto prípade dôjde k pôvodnej revolúcii 2 zlomky(deliteľ). Konečný zlomok bude pozostávať z výsledkov vynásobenia čitateľov a menovateľov oboch zlomkov. Nie je ťažké naučiť sa riešiť zlomky, napísaný v podmienke v tvare „štvorposchodový“ zlomky. Ak dve oddeľuje čiara zlomky, prepíšte ich pomocou oddeľovača „:“ a pokračujte bežným delením.

5. Ak chcete získať konečný súčet, znížte výsledný zlomok vydelením čitateľa a menovateľa jedným celým číslom, ktoré je v tomto prípade najväčšie. V tomto prípade musia byť nad a pod čiarou celé čísla.

Poznámka!
Nevykonávajte aritmetické operácie so zlomkami, ktorých menovateľ je odlišný. Vyberte číslo také, že keď ním vynásobíte čitateľa a menovateľa ľubovoľného zlomku, menovatelia oboch zlomkov sa nakoniec rovnajú.

Užitočné rady
Pri písaní zlomkových čísel sa dividenda píše nad čiarou. Toto množstvo sa označuje ako čitateľ zlomku. Deliteľ alebo menovateľ zlomku sa píše pod čiaru. Povedzme, že jeden a pol kilogramu ryže vo forme zlomku bude napísané takto: 1? kg ryže. Ak je menovateľ zlomku 10, zlomok sa nazýva desatinné číslo. V tomto prípade sa čitateľ (dividenda) píše napravo od celej časti oddelenej čiarkou: 1,5 kg ryže. Pre uľahčenie výpočtov môže byť takýto zlomok vždy napísaný v nesprávnom tvare: 1 2/10 kg zemiakov. Aby ste to uľahčili, môžete znížiť hodnoty čitateľa a menovateľa tak, že ich vydelíte jedným celým číslom. V tomto príklade je prijateľné delenie 2. Výsledkom bude 1 1/5 kg zemiakov. Uistite sa, že čísla, s ktorými budete vykonávať aritmetiku, sú uvedené v rovnakej forme.

Ak píšete seminárnu prácu alebo zostavujete iný dokument obsahujúci výpočtovú časť, potom nemôžete uniknúť zlomkovým výrazom, ktoré je tiež potrebné vytlačiť. Pozrime sa, ako to urobiť ďalej.

Inštrukcie

1. Kliknite raz na položku ponuky „Vložiť“ a potom vyberte „Symbol“. Toto je jedna z najprimitívnejších metód vkladania zlomky do textu. Ďalej sa uzatvára. Sada hotových symbolov obsahuje zlomky. Ich počet je, ako obvykle, malý, ale ak potrebujete do textu napísať ?, a nie 1/2, potom bude podobná možnosť pre vás najoptimálnejšia. Okrem toho počet zlomkových znakov môže závisieť od typu písma. Napríklad pre písmo Times New Roman je o niečo menej zlomkov ako pre rovnaký Arial. Obmieňajte písma, aby ste našli najlepšiu možnosť, pokiaľ ide o primitívne výrazy.

2. Kliknite na položku ponuky „Vložiť“ a vyberte podpoložku „Objekt“. Pred vami sa zobrazí okno so zoznamom prijateľných objektov na vloženie. Vyberte si z nich Microsoft Equation 3.0. Táto aplikácia vám pomôže pri písaní zlomky. A nielen to zlomky, ale aj ťažké matematické výrazy obsahujúce rôzne goniometrické funkcie a iné prvky. Dvakrát kliknite na tento objekt ľavým tlačidlom myši. Pred vami sa objaví okno s mnohými symbolmi.

3. Ak chcete vytlačiť zlomok, vyberte symbol predstavujúci zlomok s prázdnym čitateľom a menovateľom. Kliknite naň raz ľavým tlačidlom myši. Zobrazí sa ďalšie menu, ktoré objasní samotnú schému. zlomky. Možností môže byť niekoľko. Vyberte ten, ktorý je pre vás obzvlášť vhodný a kliknite naň raz ľavým tlačidlom myši.

4. Zadajte čitateľa a menovateľa zlomky všetky potrebné údaje. Na hárku dokumentu to pôjde ľahšie. Zlomok sa vloží ako samostatný objekt, ktorý možno v prípade potreby presunúť na ľubovoľné miesto v dokumente. Môžete vytlačiť viacposchodové zlomky. Ak to chcete urobiť, vložte do čitateľa alebo menovateľa (podľa potreby) ďalší zlomok, ktorý si môžete vybrať v okne tej istej aplikácie.

Video k téme

Algebraický zlomok je výraz v tvare A/B, kde písmená A a B znamenajú ľubovoľné číselné alebo písmenové výrazy. Čitateľ a menovateľ v algebraických zlomkoch majú často masívny tvar, ale operácie s takýmito zlomkami by sa mali vykonávať podľa rovnakých pravidiel ako činnosti s bežnými, kde čitateľ a menovateľ sú pravidelné celé čísla.

Inštrukcie

1. Ak sa podáva zmiešané zlomky, preveďte ich na nepravidelné zlomky (zlomok, v ktorom je čitateľ väčší ako menovateľ): vynásobte menovateľa celou časťou a pridajte čitateľa. Takže číslo 2 1/3 sa zmení na 7/3. Ak to chcete urobiť, vynásobte 3 x 2 a pridajte jeden.

2. Ak potrebujete previesť desatinné miesto na nesprávny zlomok, predstavte si to ako delenie čísla bez desatinnej čiarky jednotkou s toľkými nulami, koľko je čísel za desatinnou čiarkou. Povedzme, predstavte si číslo 2,5 ako 25/10 (ak ho skrátite, dostanete 5/2) a číslo 3,61 ako 361/100. Práca s nesprávnymi zlomkami je často jednoduchšia ako so zmiešanými alebo desatinnými zlomkami.

3. Ak majú zlomky rovnakých menovateľov a potrebujete ich sčítať, potom jednoducho pridajte čitateľov; menovatele zostávajú nezmenené.

4. Ak potrebujete odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi, odčítajte čitateľa 2. zlomku od čitateľa prvého zlomku. Menovatelia sa tiež nemenia.

5. Ak potrebujete sčítať zlomky alebo odčítať jeden zlomok od druhého a majú rôznych menovateľov, zlomky zredukujte na spoločného menovateľa. Ak to chcete urobiť, nájdite číslo, ktoré bude najmenším univerzálnym násobkom (LCM) oboch menovateľov alebo niekoľkými, ak sú zlomky väčšie ako 2. LCM je číslo, ktoré bude rozdelené do menovateľov všetkých daných zlomkov. Napríklad pre 2 a 5 je toto číslo 10.

6. Za rovnítkom nakreslite vodorovnú čiaru a toto číslo (NOC) napíšte do menovateľa. Ku každému termínu pridajte ďalšie faktory – číslo, ktorým musíte vynásobiť čitateľa aj menovateľa, aby ste získali LCM. Postupne vynásobte čitateľa ďalšími faktormi, pričom zachovajte znamienko sčítania alebo odčítania.

7. Vypočítajte súčet, v prípade potreby ho znížte alebo vyberte celú časť. Potrebujete ho napríklad zložiť? A?. LCM pre oba zlomky je 12. Potom je dodatočný faktor pre prvý zlomok 4, pre 2. zlomok - 3. Celkom: a+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. Ak je uvedený príklad na násobenie, vynásobte čitateľov spolu (toto bude čitateľ súčtu) a menovateľov (toto bude menovateľ súčtu). V tomto prípade ich nie je potrebné redukovať na spoločného menovateľa.

9. Ak chcete zlomok rozdeliť zlomkom, musíte otočiť druhý zlomok hore nohami a vynásobiť zlomky. To znamená, že a/b: c/d = a/b · d/c.

10. Čitateľ a menovateľ rozdeľte podľa potreby. Napríklad presuňte univerzálny faktor zo zátvorky alebo ho rozbaľte podľa skrátených vzorcov násobenia, aby ste potom mohli v prípade potreby zmenšiť čitateľa a menovateľa o GCD - minimálneho univerzálneho deliteľa.

Poznámka!
Pridajte čísla s číslami, písmená rovnakého druhu s písmenami rovnakého druhu. Povedzme, že nie je možné sčítať 3a a 4b, čo znamená, že ich súčet alebo rozdiel zostane v čitateli - 3a±4b.

Video k téme

Táto časť zahŕňa operácie s obyčajnými zlomkami. Ak je potrebné vykonať matematickú operáciu so zmiešanými číslami, potom stačí previesť zmiešaný zlomok na mimoriadny zlomok, vykonať potrebné operácie a v prípade potreby prezentovať konečný výsledok znova vo forme zmiešaného čísla. . Táto operácia bude popísaná nižšie.

Zníženie zlomku

Matematická operácia. Zníženie zlomku

Na zmenšenie zlomku \frac(m)(n) musíte nájsť najväčšieho spoločného deliteľa jeho čitateľa a menovateľa: gcd(m,n) a potom vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku týmto číslom. Ak GCD(m,n)=1, potom zlomok nemožno zmenšiť. Príklad: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Okamžité nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa sa zvyčajne javí ako náročná úloha av praxi sa zlomok redukuje v niekoľkých fázach, pričom sa postupne oddeľujú zrejmé spoločné faktory od čitateľa a menovateľa. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Matematická operácia. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Ak chcete priviesť dva zlomky \frac(a)(b) a \frac(c)(d) do spoločného menovateľa, potrebujete:

nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov: M=LMK(b,d);
vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku číslom M/b (potom sa menovateľ zlomku rovná číslu M);
vynásobte čitateľa a menovateľa druhého zlomku číslom M/d (potom sa menovateľ zlomku rovná číslu M).

Pôvodné zlomky teda transformujeme na zlomky s rovnakými menovateľmi (ktoré sa budú rovnať číslu M).

Napríklad zlomky \frac(5)(6) a \frac(4)(9) majú LCM(6,9) = 18. Potom: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Výsledné zlomky majú teda spoločného menovateľa.

V praxi nie je hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM) menovateľov vždy jednoduchou úlohou. Preto sa ako spoločný menovateľ zvolí číslo rovné súčinu menovateľov pôvodných zlomkov. Napríklad zlomky \frac(5)(6) a \frac(4)(9) sa zredukujú na spoločného menovateľa N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Porovnanie zlomkov

Matematická operácia. Porovnanie zlomkov

Na porovnanie dvoch obyčajných zlomkov potrebujete:

porovnajte čitateľov výsledných zlomkov; zlomok s väčším čitateľom bude väčší.

Napríklad \frac(9)(14)

Pri porovnávaní zlomkov existuje niekoľko špeciálnych prípadov:

Z dvoch frakcií s rovnakými menovateľmi Zlomok, ktorého čitateľ je väčší, je väčší. Napríklad \frac(3)(15)
Z dvoch frakcií s rovnakými čitateľmi Väčší je zlomok, ktorého menovateľ je menší. Napríklad \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
Ten zlomok, ktorý súčasne väčší čitateľ a menší menovateľ, viac. Napríklad \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Pozor! Pravidlo 1 platí pre všetky zlomky, ak je ich spoločným menovateľom kladné číslo. Pravidlá 2 a 3 platia pre kladné zlomky (tie, ktorých čitateľ aj menovateľ je väčší ako nula).

Sčítanie a odčítanie zlomkov

Matematická operácia. Sčítanie a odčítanie zlomkov

Na sčítanie dvoch zlomkov potrebujete:

priviesť ich k spoločnému menovateľovi;
pridajte ich čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený.

Príklad: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Ak chcete od jedného zlomku odpočítať ďalší, potrebujete:

znížiť zlomky na spoločného menovateľa;
Odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechajte menovateľa nezmenený.

Príklad: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Ak majú pôvodné zlomky na začiatku spoločného menovateľa, potom sa krok 1 (redukcia na spoločného menovateľa) preskočí.

Prevod zmiešaného čísla na nesprávny zlomok a naopak

Matematická operácia. Prevod zmiešaného čísla na nesprávny zlomok a naopak

Ak chcete previesť zmiešanú frakciu na nesprávnu frakciu, jednoducho spočítajte celú časť zmiešanej frakcie so zlomkovou časťou. Výsledkom takéhoto súčtu bude nevlastný zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčtu súčinu celej časti menovateľom zlomku s čitateľom zmiešaného zlomku a menovateľ zostane rovnaký. Napríklad 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Ak chcete previesť nesprávny zlomok na zmiešané číslo:

vydeliť čitateľa zlomku jeho menovateľom;
zvyšok delenia napíšte do čitateľa a menovateľ ponechajte rovnaký;
zapíšte výsledok delenia ako celú časť.

Napríklad zlomok \frac(23)(4) . Pri delení 23:4=5,75, čiže celá časť je 5, zvyšok delenia je 23-5*4=3. Potom sa zmiešané číslo zapíše: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Prevod desatinného čísla na zlomok

Matematická operácia. Prevod desatinného čísla na zlomok

Ak chcete previesť desatinný zlomok na bežný zlomok, musíte:

vezmite ako menovateľ n-tú mocninu desiatich (tu n je počet desatinných miest);
ako čitateľ vezmite číslo za desatinnou čiarkou (ak sa celá časť pôvodného čísla nerovná nule, vezmite aj všetky úvodné nuly);
nenulová celá časť sa zapíše do čitateľa na úplný začiatok; nulová celočíselná časť je vynechaná.

Príklad 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (sú 4 desatinné miesta, takže menovateľ má 10 4 =10000, keďže celočíselná časť je 0, v čitateli je číslo za desatinnou čiarkou bez úvodných núl)

Príklad 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (do čitateľa napíšeme číslo za desatinnou čiarkou so všetkými nulami: „0109“ a potom pred neho pridáme celú časť pôvodného čísla „31“).

Ak je celá časť desatinného zlomku nenulová, môže sa previesť na zmiešaný zlomok. Aby sme to urobili, prevedieme číslo na obyčajný zlomok, ako keby sa celá časť rovnala nule (body 1 a 2), a jednoducho celú časť prepíšeme pred zlomok - bude to celá časť zmiešaného čísla. . Príklad:

3,014=3\frac(14)(100)

Ak chcete previesť zlomok na desatinné číslo, jednoducho vydeľte čitateľa menovateľom. Niekedy skončíte s nekonečnou desatinnou čiarkou. V tomto prípade je potrebné zaokrúhliť na požadované desatinné miesto. Príklady:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\približne 0,6667

Násobenie a delenie zlomkov

Matematická operácia. Násobenie a delenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť dva bežné zlomky, musíte vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Ak chcete rozdeliť jeden spoločný zlomok druhým, musíte vynásobiť prvý zlomok prevrátenou hodnotou druhého ( recipročný zlomok- zlomok, v ktorom sa vymení čitateľ a menovateľ.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Ak je jeden zo zlomkov prirodzené číslo, potom zostávajú v platnosti vyššie uvedené pravidlá násobenia a delenia. Musíte len vziať do úvahy, že celé číslo je rovnaký zlomok, ktorého menovateľ sa rovná jednej. Napríklad: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7