Ako riešiť príklady trigonometrie. Najjednoduchšie goniometrické rovnice

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Ako vyriešiť goniometrické rovnice:

Každá trigonometrická rovnica by sa mala zredukovať na jeden z nasledujúcich typov:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

kde \(t\) je výraz s x, \(a\) je číslo. Takéto goniometrické rovnice sa nazývajú najjednoduchšie. Možno ich ľahko vyriešiť pomocou () alebo špeciálnych vzorcov:

odpoveď: \(\vľavo[ ​​\začiatok(zhromaždené)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \koniec (zhromaždené)\vpravo.\) \(k,n∈Z\)

Čo znamenajú jednotlivé symboly vo vzorci pre korene goniometrických rovníc, pozri.

Pozor! Rovnice \(\sin⁡x=a\) a \(\cos⁡x=a\) nemajú riešenia, ak \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Pretože sínus a kosínus pre ľubovoľné x sú väčšie alebo rovné \(-1\) a menšie alebo rovné \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Príklad . Vyriešte rovnicu \(\cos⁡x=-1,1\).
Riešenie: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Odpoveď : žiadne riešenia.

Príklad . Vyriešte goniometrickú rovnicu \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Riešenie:

Redukcia goniometrických rovníc na najjednoduchšie je kreatívna úloha, tu musíte použiť obe a špeciálne metódy na riešenie rovníc:
- Metóda (najpopulárnejšia v Jednotnej štátnej skúške).
- Metóda.
- Metóda pomocných argumentov.

Zoberme si príklad riešenia kvadratickej goniometrickej rovnice

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Urobme náhradu \(t=\cos⁡x\).
	Naša rovnica sa stala typickou. Môžete to vyriešiť pomocou .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Vykonávame spätnú výmenu.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Prvú rovnicu riešime pomocou číselného kruhu. Druhá rovnica nemá riešenia, pretože \(\cos⁡x∈[-1;1]\) a nemôže sa rovnať dvom pre žiadne x.
	Zapíšme si všetky čísla ležiace na týchto bodoch.

Príklad riešenia goniometrickej rovnice so štúdiom ODZ:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Existuje zlomok a kotangens - to znamená, že to musíme zapísať. Dovoľte mi pripomenúť, že kotangens je vlastne zlomok: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Preto ODZ pre ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Označme „neriešenia“ v kruhu s číslami.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Zbavme sa menovateľa v rovnici tak, že ho vynásobíme ctg\(x\). Môžeme to urobiť, keďže sme vyššie napísali, že ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Použime vzorec dvojitého uhla pre sínus: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ak sa vaše ruky načiahnu, aby ste ich rozdelili kosínusom, potiahnite ich späť! Môžete deliť výrazom s premennou, ak sa určite nerovná nule (napríklad tieto: \(x^2+1,5^x\)). Namiesto toho dajme \(\cos⁡x\) z hranatých zátvoriek.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Rozdeľme rovnicu na dve časti.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Vyriešme prvú rovnicu pomocou číselného kruhu. Vydeľte druhú rovnicu \(2\) a presuňte \(\sin⁡x\) na pravú stranu.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Výsledné korene nie sú zahrnuté v ODZ. Preto ich nebudeme v odpovedi zapisovať. Druhá rovnica je typická. Vydelme to \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) nemôže byť riešením rovnice, pretože v tomto prípade \(\cos⁡x=1\) alebo \(\cos⁡ x=-1\)).
	Opäť používame kruh.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Tieto korene ODZ nevylučuje, preto ich môžete napísať do odpovede.

Pri riešení mnohých matematické problémy, najmä tie, ktoré sa vyskytnú pred 10. ročníkom, je jasne definované poradie vykonaných akcií, ktoré povedú k cieľu. Medzi takéto problémy patria napríklad lineárne a kvadratické rovnice, lineárne a kvadratické nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické. Princíp úspešného vyriešenia každého zo spomínaných problémov je nasledovný: je potrebné ustanoviť, aký typ problému sa rieši, zapamätať si potrebnú postupnosť činností, ktoré povedú k požadovanému výsledku, t.j. odpovedzte a postupujte podľa týchto krokov.

Je zrejmé, že úspech alebo neúspech pri riešení konkrétneho problému závisí najmä od toho, ako správne je určený typ riešenej rovnice, ako správne je reprodukovaná postupnosť všetkých etáp jej riešenia. Samozrejme, v tomto prípade je potrebné mať zručnosti na vykonávanie identických transformácií a výpočtov.

Iná situácia je s goniometrické rovnice. Nie je vôbec ťažké zistiť, že rovnica je trigonometrická. Ťažkosti vznikajú pri určovaní postupnosti akcií, ktoré by viedli k správnej odpovedi.

Niekedy je ťažké určiť jej typ na základe vzhľadu rovnice. A bez znalosti typu rovnice je takmer nemožné vybrať si tú správnu z niekoľkých desiatok goniometrických vzorcov.

Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, musíte vyskúšať:

1. priviesť všetky funkcie zahrnuté v rovnici do „rovnakých uhlov“;
2. priviesť rovnicu k „identickým funkciám“;
3. faktor ľavej strany rovnice atď.

Uvažujme základné metódy riešenia goniometrických rovníc.

I. Redukcia na najjednoduchšie goniometrické rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Vyjadrite goniometrickú funkciu pomocou známych komponentov.

Krok 2. Nájdite argument funkcie pomocou vzorcov:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

hriech x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3. Nájdite neznámu premennú.

Príklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riešenie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpoveď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilná výmena

Schéma riešenia

Krok 1. Redukujte rovnicu na algebraický tvar vzhľadom na jednu z goniometrických funkcií.

Krok 2. Výslednú funkciu označíme premennou t (v prípade potreby zaveďte obmedzenia na t).

Krok 3. Výslednú algebraickú rovnicu zapíšte a vyriešte.

Krok 4. Vykonajte spätnú výmenu.

Krok 5. Vyriešte najjednoduchšiu goniometrickú rovnicu.

Príklad.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Riešenie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Nech sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 alebo e = -3/2, nespĺňa podmienku |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpoveď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metóda redukcie poradia rovníc

Schéma riešenia

Krok 1. Nahraďte túto rovnicu lineárnou pomocou vzorca na zníženie stupňa:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2. Výslednú rovnicu riešte metódami I a II.

Príklad.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Riešenie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpoveď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogénne rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Zredukujte túto rovnicu do tvaru

a) a sin x + b cos x = 0 (homogénna rovnica prvého stupňa)

alebo do výhľadu

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogénna rovnica druhého stupňa).

Krok 2. Vydeľte obe strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získajte rovnicu pre tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tan 2 x + b arktan x + c = 0.

Krok 3. Riešte rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

5 sin 2 x + 3 sin x cos x – 4 = 0.

Riešenie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

3) Nech tg x = t, potom

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 alebo t = -4, čo znamená

tg x = 1 alebo tg x = -4.

Z prvej rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhej rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpoveď: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metóda transformácie rovnice pomocou goniometrických vzorcov

Schéma riešenia

Krok 1. Pomocou všetkých možných goniometrických vzorcov zredukujte túto rovnicu na rovnicu riešenú metódami I, II, III, IV.

Krok 2. Vyriešte výslednú rovnicu pomocou známych metód.

Príklad.

hriech x + hriech 2x + hriech 3x = 0.

Riešenie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 alebo 2cos x + 1 = 0;

Z prvej rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhej rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhej rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

V dôsledku toho x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpoveď: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnosť a zručnosť riešiť goniometrické rovnice je veľmi dobrá dôležité, ich rozvoj si vyžaduje značné úsilie, tak zo strany žiaka, ako aj zo strany učiteľa.

S riešením goniometrických rovníc sú spojené mnohé problémy stereometrie, fyziky atď. Proces riešenia takýchto úloh zahŕňa mnohé z vedomostí a zručností, ktoré sa získavajú štúdiom prvkov trigonometrie.

Goniometrické rovnice zaujímajú dôležité miesto v procese učenia sa matematiky a osobnostného rozvoja vo všeobecnosti.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť goniometrické rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.

Referenčné informácie o goniometrických funkciách sínus (sin x) a kosínus (cos x). Geometrická definícia, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabuľka sínusov a kosínusov, derivácie, integrály, radové expanzie, sekans, kosekans. Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných. Spojenie s hyperbolickými funkciami.

Geometrická definícia sínusu a kosínusu

|BD|- dĺžka oblúka kružnice so stredom v bode A.
α - uhol vyjadrený v radiánoch.

Definícia
sínus (sin α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, ktorá sa rovná pomeru dĺžky protiľahlého ramena |BC| na dĺžku prepony |AC|.

Kosínus (cos α) je goniometrická funkcia závislá od uhla α medzi preponou a ramenom pravouhlého trojuholníka, rovná pomeru dĺžky susedného ramena |AB| na dĺžku prepony |AC|.

Akceptované notácie

;
;
.

;
;
.

Graf funkcie sínus, y = sin x

Graf funkcie kosínus, y = cos x

Vlastnosti sínusu a kosínusu

Periodicita

Funkcie y = hriech x a y = cos x periodický s bodkou 2π.

Parita

Funkcia sínus je nepárna. Kosínusová funkcia je párna.

Oblasť definície a hodnôt, extrémy, nárast, pokles

Funkcie sínus a kosínus sú spojité vo svojej oblasti definície, to znamená pre všetky x (pozri dôkaz spojitosti). Ich hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke (n - celé číslo).

Základné vzorce

Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu

Vzorce pre sínus a kosínus zo súčtu a rozdielu

;
;

Vzorce na súčin sínusov a kosínusov

Vzorce súčtu a rozdielu

Vyjadrenie sínusu cez kosínus

;
;
;
.

Vyjadrenie kosínusu cez sínus

;
;
;
.

Vyjadrenie prostredníctvom dotyčnice

; .

Kedy máme:
; .

na :
; .

Tabuľka sínusov a kosínusov, tangens a kotangens

Táto tabuľka zobrazuje hodnoty sínusov a kosínusov pre určité hodnoty argumentu.

Vyjadrenia prostredníctvom komplexných premenných

;

Eulerov vzorec

{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Inverzné funkcie

Inverzné funkcie sínusu a kosínusu sú arkzín a arkkozín.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

Riešenie jednoduchých goniometrických rovníc.

Riešenie goniometrických rovníc akejkoľvek úrovne zložitosti nakoniec vedie k riešeniu najjednoduchších goniometrických rovníc. A v tomto sa opäť ukazuje ako najlepší asistent trigonometrický kruh.

Pripomeňme si definície kosínusu a sínusu.

Kosínus uhla je súradnica (t. j. súradnica pozdĺž osi) bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej rotácii o daný uhol.

Sínus uhla je ordináta (to znamená súradnica pozdĺž osi) bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej rotácii o daný uhol.

Kladný smer pohybu na trigonometrickom kruhu je proti smeru hodinových ručičiek. Otočenie o 0 stupňov (alebo 0 radiánov) zodpovedá bodu so súradnicami (1;0)

Tieto definície používame na riešenie jednoduchých goniometrických rovníc.

1. Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je splnená všetkými hodnotami uhla natočenia, ktoré zodpovedajú bodom na kruhu, ktorých ordináta sa rovná .

Označme bod s ordinátom na osi y:

Nakreslite vodorovnú čiaru rovnobežnú s osou x, kým sa nepretína s kružnicou. Získame dva body ležiace na kruhu a majúce ordinátu. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie v radiánoch:

Ak opustíme bod zodpovedajúci uhlu rotácie na radián, obídeme celý kruh, potom sa dostaneme do bodu zodpovedajúceho uhlu rotácie na radián a s rovnakou ordinátou. To znamená, že tento uhol natočenia tiež spĺňa našu rovnicu. Môžeme urobiť toľko „nečinných“ otáčok, koľko chceme, vracajúc sa do rovnakého bodu a všetky tieto hodnoty uhla budú spĺňať našu rovnicu. Počet otáčok „naprázdno“ bude označený písmenom (alebo). Keďže tieto revolúcie môžeme robiť v pozitívnom aj negatívnom smere, (alebo) môžu nadobudnúť akékoľvek celočíselné hodnoty.

To znamená, že prvá séria riešení pôvodnej rovnice má tvar:

, , - množina celých čísel (1)

Podobne aj druhá séria riešení má tvar:

, Kde , . (2)

Ako ste možno uhádli, táto séria riešení je založená na bode na kruhu zodpovedajúcom uhlu otočenia o .

Tieto dve série riešení je možné spojiť do jedného záznamu:

Ak vezmeme (teda párne) v tomto vstupe, tak dostaneme prvú sériu riešení.

Ak vezmeme (teda nepárne) v tomto vstupe, dostaneme druhú sériu riešení.

2. Teraz vyriešme rovnicu

Pretože toto je úsečka bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením o uhol, označíme bod úsečkou na osi:

Nakreslite zvislú čiaru rovnobežnú s osou, kým sa nepretína s kruhom. Získame dva body ležiace na kruhu s úsečkou. Tieto body zodpovedajú uhlom rotácie v radiánoch. Pripomeňme, že pri pohybe v smere hodinových ručičiek dostaneme negatívny uhol natočenia:

Napíšme dve série riešení:

,

,

(Do požadovaného bodu sa dostaneme tak, že pôjdeme z hlavného úplného kruhu, tzn.

Spojme tieto dve série do jedného záznamu:

3. Vyriešte rovnicu

Dotyčnica prechádza bodom so súradnicami (1,0) jednotkovej kružnice rovnobežnej s osou OY

Označme na ňom bod s ordinátou rovnou 1 (hľadáme dotyčnicu, ktorej uhly sú rovné 1):

Spojme tento bod s počiatkom súradníc priamkou a označme priesečníky priamky s jednotkovou kružnicou. Priesečníky priamky a kružnice zodpovedajú uhlom rotácie na a:

Keďže body zodpovedajúce uhlom rotácie, ktoré spĺňajú našu rovnicu, ležia od seba vo vzdialenosti radiánov, riešenie môžeme zapísať takto:

4. Vyriešte rovnicu

Čiara kotangens prechádza bodom so súradnicami jednotkovej kružnice rovnobežnej s osou.

Označme bod s osou -1 na kotangente:

Spojme tento bod s počiatkom priamky a pokračujeme v nej, kým sa nepretne s kružnicou. Táto priamka bude pretínať kruh v bodoch zodpovedajúcich uhlom rotácie v a radiánoch:

Keďže tieto body sú od seba oddelené vzdialenosťou rovnajúcou sa , môžeme napísať všeobecné riešenie tejto rovnice takto:

V uvedených príkladoch ilustrujúcich riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc boli použité tabuľkové hodnoty goniometrických funkcií.

Ak však pravá strana rovnice obsahuje netabuľkovú hodnotu, dosadíme hodnotu do všeobecného riešenia rovnice:

ŠPECIÁLNE RIEŠENIA:

Označme body na kružnici, ktorej ordináta je 0:

Označme jeden bod na kružnici, ktorej ordináta je 1:

Označme jeden bod na kružnici, ktorého ordináta sa rovná -1:

Keďže je zvykom uvádzať hodnoty najbližšie k nule, napíšeme riešenie takto:

Označme body na kružnici, ktorých súradnica sa rovná 0:

5.
Označme jeden bod na kružnici, ktorej úsečka sa rovná 1:

Označme jeden bod na kružnici, ktorej úsečka sa rovná -1:

A trochu zložitejšie príklady:

1.

Sínus sa rovná jednej, ak sa argument rovná

Argument nášho sínusu je rovnaký, takže dostaneme:

Vydeľme obe strany rovnosti 3:

odpoveď:

2.

Kosínus je nula, ak je argument kosínusu

Argument nášho kosínusu sa rovná , takže dostaneme:

Vyjadrime sa, aby sme to urobili, najprv sa presunieme doprava s opačným znamienkom:

Zjednodušme pravú stranu:

Vydeľte obe strany -2:

Všimnite si, že znamienko pred pojmom sa nemení, pretože k môže nadobudnúť akúkoľvek celočíselnú hodnotu.

odpoveď:

A nakoniec si pozrite video lekciu „Výber koreňov v trigonometrickej rovnici pomocou trigonometrického kruhu“

Týmto sa končí náš rozhovor o riešení jednoduchých goniometrických rovníc. Nabudúce si povieme, ako sa rozhodnúť.