Matematické očakávanie náhodnej veličiny, príklady riešení. Diskrétne náhodné premenné

Úloha 1. Pravdepodobnosť klíčenia semien pšenice je 0,9. Aká je pravdepodobnosť, že zo štyroch zasiatych semien vyklíčia aspoň tri?

Riešenie. Nechajte udalosť A– zo 4 semien vyklíčia aspoň 3 semená; udalosť IN– zo 4 semien vyklíčia 3 semená; udalosť S– zo 4 semien vyklíčia 4 semienka. Podľa vety o sčítaní pravdepodobností

Pravdepodobnosti
A
určíme podľa Bernoulliho vzorca, aplikovaného v nasledujúcom prípade. Nechajte sériu konať P nezávislé testy, počas ktorých je pravdepodobnosť výskytu udalosti konštantná a rovná sa R a pravdepodobnosť, že táto udalosť nenastane, sa rovná
. Potom pravdepodobnosť, že udalosť A V P testy sa objavia presne krát, vypočítané pomocou Bernoulliho vzorca

,

Kde
– počet kombinácií P prvky podľa . Potom

Požadovaná pravdepodobnosť

Úloha 2. Pravdepodobnosť klíčenia semien pšenice je 0,9. Nájdite pravdepodobnosť, že zo 400 zasiatych semien vyklíči 350 semien.

Riešenie. Vypočítajte požadovanú pravdepodobnosť
použitie Bernoulliho vzorca je ťažké kvôli ťažkopádnosti výpočtov. Preto použijeme približný vzorec vyjadrujúci Laplaceovu lokálnu vetu:

,

Kde
A
.

Z problémových podmienok. Potom

.

Z tabuľky 1 príloh nájdeme. Požadovaná pravdepodobnosť sa rovná

Úloha 3. Semená pšenice obsahujú 0,02 % burín. Aká je pravdepodobnosť, že ak sa náhodne vyberie 10 000 semien, nájde sa 6 semien burín?

Riešenie. Aplikácia Laplaceovej lokálnej vety z dôvodu nízkej pravdepodobnosti
vedie k výraznej odchýlke pravdepodobnosti od presnej hodnoty
. Preto pri malých hodnotách R kalkulovať
použiť asymptotický Poissonov vzorec

, Kde .

Tento vzorec sa používa, keď
a tým menej R a viac P, tým presnejší je výsledok.

Podľa podmienok problému
;
. Potom

Úloha 4. Percento klíčivosti semien pšenice je 90%. Zistite pravdepodobnosť, že z 500 zasiatych semien vyklíči 400 až 440 semien.

Riešenie. Ak je pravdepodobnosť výskytu udalosti A v každom P testy sú konštantné a rovnaké R, potom pravdepodobnosť
že udalosť A v takýchto testoch nebude nič menej raz a nie viac časy určené Laplaceovou integrálnou vetou podľa nasledujúceho vzorca:

, Kde

,
.

Funkcia
nazývaná Laplaceova funkcia. V dodatkoch (tabuľka 2) sú uvedené hodnoty tejto funkcie
. o
funkciu
. Pre záporné hodnoty X kvôli zvláštnosti Laplaceovej funkcie
. Pomocou Laplaceovej funkcie máme:

Podľa podmienok úlohy. Pomocou vyššie uvedených vzorcov nájdeme
A :

Úloha 5. Je daný zákon rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej X:

2. Nájdite: 1) matematické očakávanie; 2) disperzia; 3) štandardná odchýlka.

Riešenie. 1) Ak je distribučný zákon diskrétnej náhodnej veličiny daný tabuľkou

2. Ak prvý riadok obsahuje hodnoty náhodnej premennej x a druhý riadok obsahuje pravdepodobnosti týchto hodnôt, potom sa matematické očakávanie vypočíta pomocou vzorca

2) Rozptyl
diskrétna náhodná premenná X sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania, t.j.

Táto hodnota charakterizuje priemernú očakávanú hodnotu štvorcovej odchýlky X od
. Z posledného vzorca, ktorý máme

Rozptyl
možno nájsť iným spôsobom na základe jeho nasledujúcej vlastnosti: disperzia
rovná rozdielu medzi matematickým očakávaním druhej mocniny náhodnej premennej X a štvorec jeho matematického očakávania
, teda

Kalkulovať
zostavme nasledujúci zákon rozdelenia množstva
:

3) Na charakterizáciu rozptylu možných hodnôt náhodnej premennej okolo jej priemernej hodnoty sa zavádza štandardná odchýlka
náhodná premenná X, ktorá sa rovná druhej odmocnine rozptylu
, teda

.

Z tohto vzorca máme:

Úloha 6. Spojitá náhodná premenná X daný kumulatívnou distribučnou funkciou

Nájdite: 1) funkciu diferenciálneho rozdelenia
; 2) matematické očakávanie
; 3) rozptyl
.

Riešenie. 1) Funkcia diferenciálneho rozdelenia
spojitá náhodná premenná X sa nazýva derivácia funkcie kumulatívneho rozdelenia
, teda

.

Hľadaná diferenciálna funkcia má nasledujúci tvar:

2) Ak je spojitá náhodná premenná X daný funkciou
, potom je jeho matematické očakávanie určené vzorcom

Od funkcie
pri
a pri
sa rovná nule, potom z posledného vzorca, ktorý máme

.

3) Rozptyl
určíme podľa vzorca

Úloha 7. Dĺžka časti je normálne rozložená náhodná premenná s matematickým očakávaním 40 mm a štandardnou odchýlkou ​​3 mm. Nájdite: 1) pravdepodobnosť, že dĺžka ľubovoľne vybranej časti bude väčšia ako 34 mm a menšia ako 43 mm; 2) pravdepodobnosť, že dĺžka súčiastky sa bude odchyľovať od matematického očakávania najviac o 1,5 mm.

Riešenie. 1) Nechajte X- dĺžka dielu. Ak náhodná premenná X daný diferenciálnou funkciou
, potom pravdepodobnosť, že X bude nadobúdať hodnoty patriace do segmentu
, sa určuje podľa vzorca

.

Pravdepodobnosť prísnych nerovností
sa určuje podľa rovnakého vzorca. Ak náhodná premenná X sa rozdeľuje podľa normálneho zákona, teda

, (1)

Kde
- Laplaceova funkcia,
.

V probléme. Potom

2) Podľa podmienok problému, kde
. Nahradením do (1) máme

. (2)

Zo vzorca (2) máme.

Definíciou je matematické očakávanie

Čaká sa mat jeden z najdôležitejších pojmov v matematickej štatistike a teórii pravdepodobnosti, charakterizujúci rozdelenie hodnôt resp pravdepodobnosti náhodná premenná. Zvyčajne sa vyjadruje ako vážený priemer všetkých možných parametrov náhodnej premennej. Široko používaný v technickej analýze, štúdiu číselných radov a štúdiu súvislých a časovo náročných procesov. Je dôležitý pri hodnotení rizík, predpovedaní cenových ukazovateľov pri obchodovaní na finančných trhoch a využíva sa pri vývoji stratégií a metód hernej taktiky v hazardných teórií.

Čakanie mat- Toto stredná hodnota náhodnej premennej, rozdelenie pravdepodobnosti Náhodná premenná je považovaná v teórii pravdepodobnosti.

Čaká sa mat miera priemernej hodnoty náhodnej premennej v teórii pravdepodobnosti. Mat očakávaniu náhodnej premennej X označené M(x).

Matematické očakávanie (priemer populácie) je

Čaká sa mat

Čaká sa mat v teórii pravdepodobnosti vážený priemer všetkých možných hodnôt, ktoré môže nadobudnúť náhodná premenná.

Čaká sa mat súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a pravdepodobnosti týchto hodnôt.

Matematické očakávanie (priemer populácie) je

Čaká sa mat priemerný úžitok z konkrétneho rozhodnutia za predpokladu, že takéto rozhodnutie možno posudzovať v rámci teórie veľkých čísel a veľkej vzdialenosti.

Čaká sa mat v teórii hazardných hier výška výhier, ktoré môže špekulant v priemere zarobiť alebo stratiť pri každej stávke. V jazyku hazardu špekulantov niekedy sa tomu hovorí "výhoda" špekulant“ (ak je pre špekulanta pozitívny) alebo „domová hrana“ (ak je pre špekulanta negatívny).

Matematické očakávanie (priemer populácie) je

Wir verwenden Cookies für die beste Prezentation inserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

Očakávanie je rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej

Matematické očakávanie, definícia, matematické očakávanie diskrétnych a spojitých náhodných premenných, vzorka, podmienené očakávanie, výpočet, vlastnosti, úlohy, odhad očakávania, disperzia, distribučná funkcia, vzorce, príklady výpočtu

Rozbaliť obsah

Zbaliť obsah

Definíciou je matematické očakávanie

Jeden z najdôležitejších pojmov v matematickej štatistike a teórii pravdepodobnosti, charakterizujúci rozdelenie hodnôt alebo pravdepodobnosti náhodnej premennej. Zvyčajne sa vyjadruje ako vážený priemer všetkých možných parametrov náhodnej premennej. Široko používaný v technickej analýze, štúdiu číselných radov a štúdiu súvislých a časovo náročných procesov. Je dôležitý pri hodnotení rizík, predikcii cenových ukazovateľov pri obchodovaní na finančných trhoch a využíva sa pri vývoji stratégií a metód hernej taktiky v teórii hazardných hier.

Matematické očakávanie je priemerná hodnota náhodnej premennej, rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej sa uvažuje v teórii pravdepodobnosti.

Matematické očakávanie je miera priemernej hodnoty náhodnej premennej v teórii pravdepodobnosti. Očakávanie náhodnej premennej X označené M(x).

Matematické očakávanie je

Matematické očakávanie je v teórii pravdepodobnosti vážený priemer všetkých možných hodnôt, ktoré môže nadobudnúť náhodná premenná.

Matematické očakávanie je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a pravdepodobnosti týchto hodnôt.

Matematické očakávanie je priemerný úžitok z konkrétneho rozhodnutia za predpokladu, že takéto rozhodnutie možno posudzovať v rámci teórie veľkých čísel a veľkej vzdialenosti.

Matematické očakávanie je v teórii hazardných hier výška výhier, ktoré môže hráč v priemere zarobiť alebo stratiť za každú stávku. V gamblerskom jazyku sa tomu niekedy hovorí „hráčska hrana“ (ak je pre hráča pozitívna) alebo „domová hrana“ (ak je pre hráča negatívna).

Matematické očakávanie je percento zisku na výhru vynásobené priemerným ziskom mínus pravdepodobnosť straty vynásobená priemernou stratou.

Matematické očakávanie náhodnej premennej v matematickej teórii

Jednou z dôležitých numerických charakteristík náhodnej premennej je jej matematické očakávanie. Predstavme si koncept systému náhodných premenných. Uvažujme množinu náhodných premenných, ktoré sú výsledkom toho istého náhodného experimentu. Ak je jednou z možných hodnôt systému, potom udalosť zodpovedá určitej pravdepodobnosti, ktorá spĺňa Kolmogorovove axiómy. Funkcia definovaná pre všetky možné hodnoty náhodných premenných sa nazýva zákon spoločného rozdelenia. Táto funkcia vám umožňuje vypočítať pravdepodobnosti akýchkoľvek udalostí. Najmä zákon spoločného rozdelenia náhodných premenných a, ktoré nadobúdajú hodnoty z množiny a sú dané pravdepodobnosťami.

Pojem „matematické očakávania“ zaviedol Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) a pochádza z pojmu „očakávaná hodnota výhier“, ktorý sa prvýkrát objavil v 17. storočí v teórii hazardných hier v dielach Blaise Pascala a Christiaana. Huygens. Prvé úplné teoretické pochopenie a posúdenie tohto konceptu však poskytol Pafnuty Ľvovič Čebyšev (polovica 19. storočia).

Zákon rozdelenia náhodných numerických premenných (funkcia rozdelenia a distribučný rad alebo hustota pravdepodobnosti) úplne opisuje správanie náhodnej premennej. Ale v mnohých problémoch stačí poznať niektoré číselné charakteristiky skúmanej veličiny (napríklad jej priemernú hodnotu a prípadnú odchýlku od nej), aby sme mohli odpovedať na položenú otázku. Hlavnými numerickými charakteristikami náhodných premenných sú matematické očakávanie, rozptyl, modus a medián.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej je súčtom súčinov jej možných hodnôt a ich zodpovedajúcich pravdepodobností. Niekedy sa matematické očakávanie nazýva vážený priemer, pretože sa približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej počas veľkého počtu experimentov. Z definície matematického očakávania vyplýva, že jeho hodnota nie je menšia ako najmenšia možná hodnota náhodnej premennej a nie väčšia ako najväčšia. Matematické očakávanie náhodnej premennej je nenáhodná (konštantná) premenná.

Matematické očakávanie má jednoduchý fyzikálny význam: ak položíte jednotkovú hmotnosť na priamku, umiestnite určitú hmotnosť do niektorých bodov (pre diskrétne rozdelenie) alebo ju „rozmažete“ určitou hustotou (pre absolútne spojité rozdelenie) , potom bod zodpovedajúci matematickému očakávaniu bude súradnica "ťažisko" je priama.

Priemerná hodnota náhodnej premennej je určité číslo, ktoré je akoby jej „reprezentantom“ a nahrádza ho v zhruba približných výpočtoch. Keď hovoríme: „priemerná doba prevádzky lampy je 100 hodín“ alebo „priemerný bod dopadu je posunutý vzhľadom na cieľ o 2 m doprava“, označujeme tým určitú číselnú charakteristiku náhodnej premennej, ktorá opisuje jej polohu. na číselnej osi, t.j. „charakteristiky polohy“.

Z charakteristík pozície v teórii pravdepodobnosti zohráva najdôležitejšiu úlohu matematické očakávanie náhodnej premennej, ktorá sa niekedy nazýva jednoducho priemerná hodnota náhodnej premennej.

Zvážte náhodnú premennú X s možnými hodnotami x1, x2, …, xn s pravdepodobnosťami p1, p2, …, pn. Musíme nejakým číslom charakterizovať polohu hodnôt náhodnej premennej na osi x, berúc do úvahy skutočnosť, že tieto hodnoty majú rôzne pravdepodobnosti. Na tento účel je prirodzené použiť takzvaný „vážený priemer“ hodnôt xi a každá hodnota xi počas spriemerovania by sa mala brať do úvahy s „váhou“ úmernou pravdepodobnosti tejto hodnoty. Vypočítame teda priemer náhodnej premennej X, ktorý označujeme M |X|:

Tento vážený priemer sa nazýva matematické očakávanie náhodnej premennej. Uviedli sme teda do úvahy jeden z najdôležitejších konceptov teórie pravdepodobnosti – koncept matematického očakávania. Matematické očakávanie náhodnej premennej je súčet súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a pravdepodobnosti týchto hodnôt.

Nech sa vyrába N nezávislé experimenty, v každom z nich hodnotu X nadobúda určitú hodnotu. Predpokladajme, že hodnota x1 objavil m1 krát, hodnota x2 objavil m2časy, všeobecný význam xi objavil sa mi krát. Vypočítajme aritmetický priemer pozorovaných hodnôt hodnoty X, ktorý na rozdiel od matematického očakávania M|X| označujeme M*|X|:

S pribúdajúcim počtom experimentov N frekvencie pi sa bude približovať (pravdepodobne konvergovať) zodpovedajúcim pravdepodobnostiam. V dôsledku toho aritmetický priemer pozorovaných hodnôt náhodnej premennej M|X| s nárastom počtu experimentov sa bude približovať (pravdepodobne konvergovať) k svojmu matematickému očakávaniu. Vyššie formulované spojenie medzi aritmetickým priemerom a matematickým očakávaním tvorí obsah jednej z foriem zákona veľkých čísel.

Už vieme, že všetky formy zákona veľkých čísel uvádzajú skutočnosť, že niektoré priemery sú stabilné počas veľkého počtu experimentov. Tu hovoríme o stabilite aritmetického priemeru zo série pozorovaní rovnakej veličiny. Pri malom počte experimentov je aritmetický priemer ich výsledkov náhodný; s dostatočným nárastom počtu experimentov sa stáva „takmer nenáhodným“ a stabilizujúc sa približuje konštantnej hodnote - matematickému očakávaniu.

Stabilitu priemerov vo veľkom počte experimentov možno ľahko overiť experimentálne. Napríklad pri vážení telesa v laboratóriu na presných váhach získame ako výsledok váženia zakaždým novú hodnotu; Aby sme znížili chybu pozorovania, teleso niekoľkokrát odvážime a použijeme aritmetický priemer získaných hodnôt. Je ľahké vidieť, že s ďalším zvyšovaním počtu experimentov (vážení) aritmetický priemer na tento nárast reaguje čoraz menej a pri dostatočne veľkom počte experimentov sa prakticky prestáva meniť.

Treba poznamenať, že najdôležitejšia charakteristika pozície náhodnej premennej - matematické očakávanie - neexistuje pre všetky náhodné premenné. Je možné zostaviť príklady takých náhodných premenných, pre ktoré neexistuje matematické očakávanie, pretože príslušný súčet alebo integrál sa líšia. Takéto prípady však nie sú pre prax výrazne zaujímavé. Náhodné premenné, s ktorými sa zaoberáme, majú zvyčajne obmedzený rozsah možných hodnôt a, samozrejme, majú matematické očakávania.

Okrem najdôležitejších charakteristík polohy náhodnej premennej - matematického očakávania - sa v praxi niekedy používajú aj ďalšie charakteristiky polohy, najmä modus a medián náhodnej premennej.

Mód náhodnej premennej je jej najpravdepodobnejšou hodnotou. Výraz „najpravdepodobnejšia hodnota“ sa striktne vzťahuje len na nespojité množstvá; pre spojitú veličinu je mod hodnota, pri ktorej je hustota pravdepodobnosti maximálna. Obrázky znázorňujú režim pre nespojité a spojité náhodné veličiny.

Ak má distribučný polygón (krivka rozdelenia) viac ako jedno maximum, rozdelenie sa nazýva „multimodálne“.

Niekedy existujú distribúcie, ktoré majú v strede skôr minimum ako maximum. Takéto distribúcie sa nazývajú „antimodálne“.

Vo všeobecnom prípade sa režim a matematické očakávanie náhodnej premennej nezhodujú. V konkrétnom prípade, keď je rozdelenie symetrické a modálne (t. j. má mód) a existuje matematické očakávanie, potom sa zhoduje s módom a stredom symetrie rozdelenia.

Často sa používa aj iná charakteristika polohy – takzvaný medián náhodnej premennej. Táto charakteristika sa zvyčajne používa iba pre spojité náhodné premenné, aj keď môže byť formálne definovaná pre nespojitú premennú. Geometricky je medián úsečkou bodu, v ktorom je plocha ohraničená distribučnou krivkou rozdelená na polovicu.

V prípade symetrického modálneho rozdelenia sa medián zhoduje s matematickým očakávaním a módom.

Matematické očakávanie je priemerná hodnota náhodnej premennej – číselná charakteristika rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej. Najvšeobecnejším spôsobom, matematické očakávanie náhodnej premennej X(w) je definovaný ako Lebesgueov integrál vzhľadom na mieru pravdepodobnosti R v pôvodnom priestore pravdepodobnosti:

Matematické očakávanie možno vypočítať aj ako Lebesgueov integrál X podľa rozdelenia pravdepodobnosti px množstvá X:

Pojem náhodnej premennej s nekonečným matematickým očakávaním možno definovať prirodzeným spôsobom. Typickým príkladom sú časy návratov niektorých náhodných prechádzok.

Pomocou matematického očakávania sa určia mnohé číselné a funkčné charakteristiky rozdelenia (ako matematické očakávanie zodpovedajúcich funkcií náhodnej premennej), napríklad generujúca funkcia, charakteristická funkcia, momenty ľubovoľného rádu, najmä disperzia, kovariancia .

Matematické očakávanie je charakteristikou umiestnenia hodnôt náhodnej premennej (priemerná hodnota jej distribúcie). V tejto funkcii slúži matematické očakávanie ako nejaký „typický“ distribučný parameter a jeho úloha je podobná úlohe statického momentu – súradnice ťažiska rozloženia hmoty – v mechanike. Od ostatných charakteristík miesta, pomocou ktorých je distribúcia všeobecne popísaná - mediány, mody, sa matematické očakávanie líši väčšou hodnotou, ktorú má ona a zodpovedajúca rozptylová charakteristika - disperzia - v limitných vetách teórie pravdepodobnosti. Význam matematického očakávania najplnšie odhaľuje zákon veľkých čísel (Čebyševova nerovnosť) a posilnený zákon veľkých čísel.

Očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Nech existuje nejaká náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť jednu z niekoľkých číselných hodnôt (napríklad počet bodov pri hode kockou môže byť 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6). V praxi pri takejto hodnote často vyvstáva otázka: akú hodnotu má „v priemere“ pri veľkom počte testov? Aký bude náš priemerný príjem (alebo strata) z každej z rizikových transakcií?

Povedzme, že existuje nejaký druh lotérie. Chceme pochopiť, či je rentabilné sa na ňom zúčastniť (alebo sa ho zúčastniť opakovane, pravidelne). Povedzme, že každý štvrtý lístok je víťazný, cena bude 300 rubľov a cena každého lístka bude 100 rubľov. Pri nekonečne veľkom počte účastí sa to stáva. V troch štvrtinách prípadov prehráme, každé tri straty budú stáť 300 rubľov. V každom štvrtom prípade vyhráme 200 rubľov. (cena mínus náklady), to znamená, že za štyri účasti stratíme v priemere 100 rubľov, za jednu - v priemere 25 rubľov. Celkovo bude priemerná sadzba našej ruiny 25 rubľov za lístok.

Hádžeme kockou. Ak nejde o podvádzanie (bez posunutia ťažiska a pod.), tak koľko bodov budeme mať v priemere naraz? Keďže každá možnosť je rovnako pravdepodobná, jednoducho vezmeme aritmetický priemer a dostaneme 3,5. Keďže ide o PRIEMER, netreba sa rozhorčovať, že žiadny konkrétny hod neprinesie 3,5 bodu – no, táto kocka nemá tvár s takým číslom!

Teraz si zhrňme naše príklady:

Pozrime sa na práve uvedený obrázok. Vľavo je tabuľka rozdelenia náhodnej premennej. Hodnota X môže nadobudnúť jednu z n možných hodnôt (zobrazených v hornom riadku). Žiadne iné významy nemôžu byť. Pod každou možnou hodnotou je nižšie napísaná jej pravdepodobnosť. Vpravo je vzorec, kde M(X) sa nazýva matematické očakávanie. Význam tejto hodnoty je, že pri veľkom počte testov (s veľkou vzorkou) bude mať priemerná hodnota tendenciu k rovnakému matematickému očakávaniu.

Vráťme sa opäť k tej istej hracej kocke. Matematické očakávanie počtu bodov pri hode je 3,5 (ak mi neveríte, vypočítajte si to sami pomocou vzorca). Povedzme, že ste to párkrát hodili. Výsledky boli 4 a 6. Priemer bol 5, čo ani zďaleka nie je 3,5. Hodili to ešte raz, dostali 3, teda v priemere (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Akosi ďaleko od matematického očakávania. Teraz urobte bláznivý experiment - hoďte kocku 1000-krát! A aj keď priemer nebude presne 3,5, bude sa k tomu blížiť.

Vypočítajme matematické očakávanie pre lotériu opísanú vyššie. Doska bude vyzerať takto:

Potom budú matematické očakávania, ako sme uviedli vyššie:

Ďalšia vec je, že robiť to „na prstoch“ bez vzorca by bolo ťažké, keby bolo viac možností. Povedzme, že by bolo 75 % stratených lístkov, 20 % výherných lístkov a 5 % najmä výherných.

Teraz niektoré vlastnosti matematického očakávania.

Je ľahké dokázať:

Konštantný faktor možno považovať za znak matematického očakávania, to znamená:

Toto je špeciálny prípad vlastnosti linearity matematického očakávania.

Ďalší dôsledok linearity matematického očakávania:

to znamená, že matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní náhodných premenných.

Nech X, Y sú nezávislé náhodné premenné, Potom:

To sa dá aj ľahko dokázať) Práca XY sama o sebe je náhodná premenná, a ak by počiatočné hodnoty mohli nadobudnúť n A m hodnoty podľa toho XY môže nadobudnúť hodnoty nm. Pravdepodobnosť každej hodnoty sa vypočíta na základe skutočnosti, že pravdepodobnosti nezávislých udalostí sa vynásobia. V dôsledku toho dostaneme toto:

Očakávanie spojitej náhodnej premennej

Spojité náhodné veličiny majú takú charakteristiku, ako je hustota distribúcie (hustota pravdepodobnosti). V podstate charakterizuje situáciu, že náhodná premenná naberá niektoré hodnoty z množiny reálnych čísel častejšie a niektoré menej často. Zvážte napríklad tento graf:

Tu X- skutočná náhodná premenná, f(x)- hustota distribúcie. Súdiac podľa tohto grafu, počas experimentov hodnota X bude často číslo blízke nule. Šance sú prekonané 3 alebo byť menší -3 skôr čisto teoretické.

Nech je napríklad rovnomerné rozdelenie:

To je celkom v súlade s intuitívnym chápaním. Povedzme, že ak dostaneme veľa náhodných reálnych čísel s rovnomerným rozdelením, každý zo segmentov |0; 1| , potom by mal byť aritmetický priemer približne 0,5.

Aj tu sú aplikovateľné vlastnosti matematického očakávania - linearita atď., použiteľné pre diskrétne náhodné premenné.

Vzťah medzi matematickým očakávaním a inými štatistickými ukazovateľmi

V štatistickej analýze spolu s matematickým očakávaním existuje systém vzájomne závislých ukazovateľov, ktoré odrážajú homogenitu javov a stabilitu procesov. Variačné ukazovatele často nemajú samostatný význam a používajú sa na ďalšiu analýzu údajov. Výnimkou je variačný koeficient, ktorý charakterizuje homogenitu údajov, čo je cenná štatistická charakteristika.

Mieru variability či stability procesov v štatistickej vede možno merať pomocou viacerých ukazovateľov.

Najdôležitejším ukazovateľom charakterizujúcim variabilitu náhodnej premennej je Disperzia, ktorý najviac a priamo súvisí s matematickým očakávaním. Tento parameter sa aktívne používa v iných typoch štatistických analýz (testovanie hypotéz, analýza vzťahov príčin a následkov atď.). Rovnako ako priemerná lineárna odchýlka, rozptyl odráža aj rozsah rozptylu údajov okolo strednej hodnoty.

Je užitočné preložiť jazyk znakov do jazyka slov. Ukazuje sa, že rozptyl je priemerná štvorec odchýlok. To znamená, že sa najprv vypočíta priemerná hodnota, potom sa vezme rozdiel medzi každou pôvodnou a priemernou hodnotou, umocní sa na druhú, pridá sa a potom sa vydelí počtom hodnôt v populácii. Rozdiel medzi jednotlivou hodnotou a priemerom odráža mieru odchýlky. Umocňuje sa tak, aby sa všetky odchýlky stali výlučne kladnými číslami a aby sa zabránilo vzájomnému zničeniu kladných a záporných odchýlok pri ich sčítavaní. Potom, vzhľadom na druhú mocninu odchýlok, jednoducho vypočítame aritmetický priemer. Priemer - štvorec - odchýlky. Odchýlky sa umocnia na druhú a vypočíta sa priemer. Odpoveď na čarovné slovíčko „rozptyl“ spočíva v troch slovách.

Vo svojej čistej forme, ako je aritmetický priemer alebo index, sa však disperzia nepoužíva. Je to skôr pomocný a prechodný ukazovateľ, ktorý sa používa pre iné typy štatistických analýz. Nemá ani normálnu mernú jednotku. Súdiac podľa vzorca, ide o druhú mocninu jednotky merania pôvodných údajov.

Poďme zmerať náhodnú premennú N krát, napríklad desaťkrát meriame rýchlosť vetra a chceme zistiť priemernú hodnotu. Ako súvisí priemerná hodnota s distribučnou funkciou?

Alebo hodíme kockou veľakrát. Počet bodov, ktoré sa objavia na kocke pri každom hode, je náhodná premenná a môže nadobudnúť akúkoľvek prirodzenú hodnotu od 1 do 6. Aritmetický priemer padnutých bodov vypočítaný pre všetky hody kockami je tiež náhodná premenná, ale pre veľké N inklinuje k veľmi konkrétnemu číslu – matematickému očakávaniu Mx. V tomto prípade Mx = 3,5.

Ako ste získali túto hodnotu? Vpustiť N testy n1 1 bod sa hádže raz n2 raz - 2 body a tak ďalej. Potom počet výsledkov, pri ktorých padol jeden bod:

Podobne pre výsledky, keď sa hodia 2, 3, 4, 5 a 6 bodov.

Predpokladajme teraz, že poznáme distribučný zákon náhodnej premennej x, teda vieme, že náhodná premenná x môže nadobúdať hodnoty x1, x2, ..., xk s pravdepodobnosťami p1, p2, ..., pk.

Matematické očakávanie Mx náhodnej premennej x sa rovná:

Matematické očakávanie nie je vždy rozumným odhadom nejakej náhodnej premennej. Na odhad priemerného platu je teda rozumnejšie použiť pojem medián, teda takú hodnotu, aby sa zhodoval počet ľudí, ktorí poberajú plat nižší ako medián a vyšší.

Pravdepodobnosť p1, že náhodná premenná x bude menšia ako x1/2, a pravdepodobnosť p2, že náhodná premenná x bude väčšia ako x1/2, sú rovnaké a rovné 1/2. Medián nie je určený jednoznačne pre všetky distribúcie.

Štandardná alebo štandardná odchýlka v štatistike sa miera odchýlky pozorovaných údajov alebo súborov od priemernej hodnoty nazýva. Označuje sa písmenami s alebo s. Malá štandardná odchýlka znamená, že údaje sa zhlukujú okolo priemeru, zatiaľ čo veľká štandardná odchýlka znamená, že počiatočné údaje sa nachádzajú ďaleko od neho. Smerodajná odchýlka sa rovná druhej odmocnine veličiny nazývanej rozptyl. Je to priemer súčtu druhých mocnín rozdielov počiatočných údajov, ktoré sa odchyľujú od priemernej hodnoty. Štandardná odchýlka náhodnej premennej je druhá odmocnina rozptylu:

Príklad. V testovacích podmienkach pri streľbe na cieľ vypočítajte rozptyl a štandardnú odchýlku náhodnej premennej:

Variácia- kolísanie, premenlivosť hodnoty znaku medzi jednotkami obyvateľstva. Jednotlivé číselné hodnoty charakteristiky zistenej v skúmanej populácii sa nazývajú varianty hodnôt. Nedostatočnosť priemernej hodnoty na úplnú charakterizáciu populácie nás núti doplniť priemerné hodnoty o ukazovatele, ktoré nám umožňujú posúdiť typickosť týchto priemerov meraním variability (variácie) skúmanej charakteristiky. Variačný koeficient sa vypočíta podľa vzorca:

Rozsah variácií(R) predstavuje rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami atribútu v skúmanej populácii. Tento ukazovateľ poskytuje najvšeobecnejšiu predstavu o variabilite skúmanej charakteristiky, pretože ukazuje rozdiel iba medzi maximálnymi hodnotami možností. Závislosť od extrémnych hodnôt charakteristiky dáva rozsahu variácií nestabilný, náhodný charakter.

Priemerná lineárna odchýlka predstavuje aritmetický priemer absolútnych (modulo) odchýlok všetkých hodnôt analyzovanej populácie od ich priemernej hodnoty:

Matematické očakávania v teórii hazardných hier

Matematické očakávanie je Priemerná suma peňazí, ktorú môže hráč vyhrať alebo prehrať pri danej stávke. Toto je pre hráča veľmi dôležitý koncept, pretože je základom pre posúdenie väčšiny herných situácií. Matematické očakávania sú tiež optimálnym nástrojom na analýzu základných rozložení kariet a herných situácií.

Povedzme, že hráte hru o mince s kamarátom, pričom zakaždým vsádzate rovnako 1 dolár, bez ohľadu na to, čo príde. Tails znamená, že vyhráte, hlavy znamenajú, že prehráte. Šanca je jedna ku jednej, že to príde hore, takže stavíte 1 až 1 dolár. Vaše matematické očakávania sú teda nulové, pretože Z matematického hľadiska nemôžete vedieť, či budete po dvoch hodoch alebo po 200 viesť alebo prehrávať.

Váš hodinový zisk je nula. Hodinové výhry predstavujú sumu peňazí, ktorú očakávate, že vyhráte za hodinu. Za hodinu si môžete hodiť mincou 500-krát, no nevyhráte ani neprehráte, pretože... vaše šance nie sú ani pozitívne, ani negatívne. Ak sa na to pozriete, z pohľadu seriózneho hráča tento stávkový systém nie je zlý. Ale toto je jednoducho strata času.

Povedzme však, že niekto chce staviť 2 doláre proti vášmu 1 doláru na rovnakú hru. Potom máte hneď pozitívne očakávanie 50 centov z každej stávky. Prečo 50 centov? V priemere jednu stávku vyhráte a druhú prehráte. Vsaďte prvý dolár a prehrajte 1 dolár; vsaďte druhý a vyhrajte 2 doláre. Stavíte dvakrát 1 dolár a máte náskok o 1 dolár. Takže každá vaša jednodolárová stávka vám dala 50 centov.

Ak sa minca objaví 500-krát za hodinu, vaša hodinová výhra už bude 250 $, pretože... V priemere ste prehrali jeden dolár 250-krát a vyhrali dva doláre 250-krát. 500 $ mínus 250 $ sa rovná 250 $, čo je celková výhra. Upozorňujeme, že očakávaná hodnota, čo je priemerná suma, ktorú vyhráte na stávku, je 50 centov. Vyhrali ste 250 $ stávkou 500-krát dolár, čo sa rovná 50 centom na stávku.

Matematické očakávania nemajú nič spoločné s krátkodobými výsledkami. Váš súper, ktorý sa rozhodol staviť proti vám 2 doláre, vás mohol poraziť v prvých desiatich hodoch v rade, ale vy, ak máte výhodu stávkovania 2 ku 1, za rovnakých okolností, zarobíte 50 centov z každej stávky 1 dolár v ľubovoľnom okolnosti. Nezáleží na tom, či vyhráte alebo prehráte jednu stávku alebo niekoľko stávok, pokiaľ máte dostatok hotovosti na pohodlné pokrytie nákladov. Ak budete pokračovať v stávkovaní rovnakým spôsobom, potom sa vaše výhry budú počas dlhého obdobia blížiť k súčtu očakávaní v jednotlivých hodoch.

Zakaždým, keď urobíte najlepšiu stávku (stávku, ktorá sa môže ukázať ako zisková z dlhodobého hľadiska), keď sú kurzy vo váš prospech, musíte na nej niečo vyhrať, bez ohľadu na to, či ju prehráte alebo nie. podaná ruka. Naopak, ak urobíte stávku na smolu (stávka, ktorá je z dlhodobého hľadiska nerentabilná), keď je kurz proti vám, niečo stratíte bez ohľadu na to, či vyhráte alebo prehráte.

Stavíte s najlepším výsledkom, ak sú vaše očakávania pozitívne, a kladné je, ak sú kurzy na vašej strane. Keď umiestnite stávku s najhorším výsledkom, máte negatívne očakávania, čo sa stane, keď sú kurzy proti vám. Seriózni hráči vsádzajú iba na najlepší výsledok, ak dôjde k najhoršiemu, založia. Čo znamená kurz vo váš prospech? Môžete nakoniec vyhrať viac, ako prinášajú skutočné kurzy. Skutočné šance na pristátie hlavy sú 1 ku 1, ale vďaka pomeru šancí dostanete 2 ku 1. V tomto prípade sú šance vo váš prospech. Najlepší výsledok určite dosiahnete s pozitívnym očakávaním 50 centov za stávku.

Tu je komplexnejší príklad matematického očakávania. Priateľ si zapíše čísla od jedna do päť a vsadí 5 USD proti vášmu 1 USD, že číslo neuhádnete. Mali by ste s takouto stávkou súhlasiť? Aké je tu očakávanie?

V priemere sa pomýlite štyrikrát. Na základe toho je pravdepodobnosť, že uhádnete číslo, 4 ku 1. Pravdepodobnosť, že stratíte jeden dolár na jeden pokus. Vyhrávate však 5 ku 1 s možnosťou prehry 4 ku 1. Takže kurz je vo váš prospech, môžete staviť a dúfať v najlepší výsledok. Ak urobíte túto stávku päťkrát, v priemere štyrikrát prehráte 1 USD a raz vyhráte 5 USD. Na základe toho za všetkých päť pokusov zarobíte 1 dolár s pozitívnym matematickým očakávaním 20 centov na stávku.

Hráč, ktorý vyhrá viac, ako vsadí, ako v príklade vyššie, riskuje. Naopak, kazí svoje šance, keď očakáva, že vyhrá menej, ako vsadí. Stávkujúci môže mať pozitívne alebo negatívne očakávania, čo závisí od toho, či vyhrá alebo pokazí kurz.

Ak vsadíte 50 USD na výhru 10 USD so šancou na výhru 4 ku 1, dostanete negatívne očakávanie 2 USD, pretože V priemere štyrikrát vyhráte 10 USD a raz prehráte 50 USD, čo ukazuje, že strata na stávku bude 10 USD. Ale ak vsadíte 30 USD na výhru 10 USD s rovnakým kurzom na výhru 4 ku 1, potom v tomto prípade máte pozitívne očakávanie 2 USD, pretože opäť štyrikrát vyhráte 10 USD a raz prehráte 30 USD so ziskom 10 USD. Tieto príklady ukazujú, že prvá stávka je zlá a druhá dobrá.

Matematické očakávania sú stredobodom každej hernej situácie. Keď stávková kancelária povzbudzuje futbalových fanúšikov, aby stavili 11 dolárov na výhru 10 dolárov, má pozitívne očakávanie 50 centov na každých 10 dolárov. Ak kasíno zaplatí párne peniaze z rady prihrávok v kockách, potom pozitívne očakávanie kasína bude približne 1,40 USD za každých 100 USD, pretože Táto hra je štruktúrovaná tak, že každý, kto vsadí na túto líniu, prehrá v priemere 50,7 % a vyhrá 49,3 % z celkového času. Nepochybne práve toto zdanlivo minimálne pozitívne očakávanie prináša majiteľom kasín po celom svete obrovské zisky. Ako poznamenal majiteľ kasína Vegas World Bob Stupak, „tisícina percenta negatívnej pravdepodobnosti na dostatočne dlhú vzdialenosť zruinuje najbohatšieho človeka na svete“.

Očakávanie pri hraní pokru

Hra Poker je najnázornejším a najnázornejším príkladom z pohľadu využitia teórie a vlastností matematického očakávania.

Očakávaná hodnota v pokri je priemerný úžitok z konkrétneho rozhodnutia za predpokladu, že takéto rozhodnutie možno zvážiť v rámci teórie veľkých čísel a veľkej vzdialenosti. Úspešná pokerová hra je vždy akceptovať ťahy s kladnou očakávanou hodnotou.

Matematický význam matematického očakávania pri hraní pokru spočíva v tom, že pri rozhodovaní sa často stretávame s náhodnými premennými (nevieme, aké karty má súper v rukách, aké karty prídu v nasledujúcich kolách stávok). Každé z riešení musíme posudzovať z pohľadu teórie veľkých čísel, ktorá tvrdí, že pri dostatočne veľkej vzorke bude mať priemerná hodnota náhodnej veličiny tendenciu k jej matematickému očakávaniu.

Spomedzi konkrétnych vzorcov na výpočet matematického očakávania je v pokri najviac použiteľné:

Pri hraní pokru je možné vypočítať očakávanú hodnotu pre stávky aj cally. V prvom prípade by sa mal brať do úvahy fold equity, v druhom prípade vlastné kurzy banky. Pri hodnotení matematického očakávania konkrétneho ťahu by ste mali pamätať na to, že fold má vždy nulové očakávanie. Zahodenie kariet bude teda vždy výnosnejším rozhodnutím ako akýkoľvek negatívny krok.

Očakávanie vám povie, čo môžete očakávať (zisk alebo strata) za každý dolár, ktorý riskujete. Kasína zarábajú, pretože matematické očakávania všetkých hier, ktoré sa v nich hrajú, sú v prospech kasína. Pri dostatočne dlhej sérii hier môžete očakávať, že klient príde o svoje peniaze, keďže „kurzy“ sú v prospech kasína. Profesionálni kasíno hráči však obmedzujú svoje hry na krátke časové úseky, čím zvyšujú šance vo svoj prospech. To isté platí pre investovanie. Ak sú vaše očakávania pozitívne, môžete zarobiť viac peňazí vykonaním mnohých obchodov v krátkom časovom období. Očakávanie je vaše percento zisku na výhru vynásobené vaším priemerným ziskom mínus vaša pravdepodobnosť straty vynásobená priemernou stratou.

Poker možno posudzovať aj z hľadiska matematických očakávaní. Môžete predpokladať, že určitý ťah je ziskový, ale v niektorých prípadoch nemusí byť najlepší, pretože iný ťah je ziskovejší. Povedzme, že ste v pokri s piatimi kartami dosiahli plný počet. Váš súper vsadí. Viete, že ak zvýšite stávku, odpovie. Zvyšovanie sa preto javí ako najlepšia taktika. Ak však stávku navýšite, zvyšní dvaja hráči určite zložia karty. Ale ak zavoláte, máte plnú dôveru, že ďalší dvaja hráči za vami urobia to isté. Keď zvýšite svoju stávku, dostanete jednu jednotku a keď dorovnáte, dostanete dve. Dorovnanie vám teda dáva vyššiu pozitívnu očakávanú hodnotu a bude tou najlepšou taktikou.

Matematické očakávania môžu tiež poskytnúť predstavu o tom, ktoré pokrové taktiky sú menej ziskové a ktoré sú ziskovejšie. Napríklad, ak hráte určitú kombináciu a myslíte si, že vaša strata bude v priemere 75 centov vrátane ante, potom by ste mali hrať túto kombináciu, pretože je to lepšie ako zahodiť, keď je ante 1 dolár.

Ďalším dôležitým dôvodom na pochopenie pojmu očakávaná hodnota je, že vám dáva pocit pokoja, či už stávku vyhráte alebo nie: ak ste urobili dobrú stávku alebo zložili karty v správnom čase, budete vedieť, že ste zarobili, resp. ušetril určitú sumu peňazí, ktorú slabší hráč nemohol uložiť. Je oveľa ťažšie zahodiť, ak ste naštvaný, pretože váš súper vytiahol silnejšiu kombináciu. Vďaka tomu všetkému sa peniaze, ktoré ušetríte tým, že nebudete hrať namiesto stávkovania, pripočítajú k vašim výhram za noc alebo mesiac.

Len si pamätajte, že ak by ste zmenili ruky, váš súper by vás dorovnal, a ako uvidíte v článku Fundamental Theorem of Poker, je to len jedna z vašich výhod. Mali by ste byť šťastní, keď sa to stane. Môžete sa dokonca naučiť užívať si stratu kombinácie, pretože viete, že ostatní hráči na vašej pozícii by stratili oveľa viac.

Ako už bolo spomenuté v príklade hry o mince na začiatku, hodinová miera zisku je prepojená s matematickým očakávaním a tento koncept je obzvlášť dôležitý pre profesionálnych hráčov. Keď idete hrať poker, mali by ste v duchu odhadnúť, koľko môžete vyhrať za hodinu hry. Vo väčšine prípadov sa budete musieť spoľahnúť na svoju intuíciu a skúsenosti, ale môžete použiť aj nejakú matematiku. Napríklad, hráte draw lowball a vidíte, že traja hráči vsadili 10 $ a potom vymenili dve karty, čo je veľmi zlá taktika, môžete prísť na to, že zakaždým, keď vsadia 10 $, prehrajú približne 2 $. Každý z nich to robí osemkrát za hodinu, čo znamená, že všetci traja stratia približne 48 dolárov za hodinu. Ste jedným zo zvyšných štyroch hráčov, ktorí sú si približne rovní, takže títo štyria hráči (a vy medzi nimi) si musia rozdeliť 48 USD, pričom každý bude mať zisk 12 USD za hodinu. Váš hodinový kurz sa v tomto prípade jednoducho rovná vášmu podielu na množstve peňazí, ktoré prehrali traja zlí hráči za hodinu.

Počas dlhého časového obdobia sú celkové výhry hráča súčtom jeho matematických očakávaní v jednotlivých rukách. Čím viac rúk hráte s pozitívnym očakávaním, tým viac vyhrávate a naopak, čím viac rúk hráte s negatívnym očakávaním, tým viac prehrávate. V dôsledku toho by ste si mali vybrať hru, ktorá môže maximalizovať vaše pozitívne očakávania alebo negovať vaše negatívne očakávania, aby ste mohli maximalizovať svoje hodinové výhry.

Pozitívne matematické očakávania v hernej stratégii

Ak viete počítať karty, môžete mať oproti kasínu výhodu, pokiaľ si vás nevšimnú a vyhodia vás von. Kasína milujú opitých hráčov a netolerujú hráčov počítania kariet. Výhoda vám umožní viackrát vyhrať, ako časom prehrať. Dobrá správa peňazí pomocou výpočtov očakávanej hodnoty vám môže pomôcť získať väčší zisk z vašej výhody a znížiť straty. Bez výhody je lepšie dať peniaze na charitu. V hre na burze je výhoda daná herným systémom, ktorý vytvára väčšie zisky ako straty, cenové rozdiely a provízie. Žiadna správa peňazí nemôže zachrániť zlý herný systém.

Pozitívne očakávanie je definované ako hodnota väčšia ako nula. Čím väčšie je toto číslo, tým silnejšie sú štatistické očakávania. Ak je hodnota menšia ako nula, matematické očakávanie bude tiež záporné. Čím väčší modul zápornej hodnoty, tým horšia situácia. Ak je výsledok nula, potom je čakanie vyrovnané. Vyhrať môžete len vtedy, keď máte pozitívne matematické očakávania a rozumný herný systém. Hra podľa intuície vedie ku katastrofe.

Matematické očakávania a obchodovanie s akciami

Matematické očakávanie je pomerne široko používaný a obľúbený štatistický ukazovateľ pri obchodovaní na burze na finančných trhoch. V prvom rade sa tento parameter používa na analýzu úspešnosti obchodovania. Nie je ťažké uhádnuť, že čím je táto hodnota vyššia, tým viac dôvodov považovať študovaný odbor za úspešný. Samozrejme, analýzu práce obchodníka nie je možné vykonať iba pomocou tohto parametra. Vypočítaná hodnota však v kombinácii s inými metódami hodnotenia kvality práce môže výrazne zvýšiť presnosť analýzy.

Matematické očakávanie sa často počíta v službách sledovania obchodných účtov, čo vám umožňuje rýchlo vyhodnotiť prácu vykonanú na vklade. Výnimkou sú stratégie, ktoré využívajú „vysedenie“ neziskových obchodov. Obchodník môže mať nejaký čas šťastie, a preto v jeho práci nemusia byť vôbec žiadne straty. V tomto prípade sa nebude možné riadiť iba matematickým očakávaním, pretože sa nebudú brať do úvahy riziká použité v práci.

V obchodovaní na trhu sa matematické očakávanie najčastejšie používa pri predpovedaní ziskovosti akejkoľvek obchodnej stratégie alebo pri predpovedaní príjmu obchodníka na základe štatistických údajov z jeho predchádzajúceho obchodovania.

Pokiaľ ide o správu peňazí, je veľmi dôležité pochopiť, že pri obchodovaní s negatívnymi očakávaniami neexistuje žiadna schéma správy peňazí, ktorá by určite mohla priniesť vysoké zisky. Ak budete pokračovať v hraní na burze za týchto podmienok, potom bez ohľadu na to, ako spravujete svoje peniaze, prídete o celý svoj účet, bez ohľadu na to, aký veľký bol na začiatku.

Táto axióma platí nielen pre hry alebo obchody s negatívnymi očakávaniami, ale aj pre hry s rovnakými šancami. Šancu na zisk z dlhodobého hľadiska teda máte len vtedy, ak obchodujete s kladnou očakávanou hodnotou.

Rozdiel medzi negatívnym očakávaním a pozitívnym očakávaním je rozdiel medzi životom a smrťou. Nezáleží na tom, aké pozitívne alebo negatívne je očakávanie; Dôležité je len to, či je to pozitívne alebo negatívne. Preto by ste si pred zvažovaním správy peňazí mali nájsť hru s pozitívnym očakávaním.

Ak túto hru nemáte, potom vás nezachráni všetok money management na svete. Na druhej strane, ak máte pozitívne očakávania, môžete ich pomocou správneho hospodárenia s peniazmi premeniť na funkciu exponenciálneho rastu. Nezáleží na tom, aké malé je pozitívne očakávanie! Inými slovami, nezáleží na tom, aký ziskový je obchodný systém založený na jedinom kontrakte. Ak máte systém, ktorý vyhráva 10 USD za kontrakt na obchod (po províziách a sklze), môžete použiť techniky správy peňazí, aby bol ziskovejší ako systém, ktorý má priemerne 1 000 USD na obchod (po odpočítaní provízií a sklzu).

Nie je dôležité, nakoľko bol systém ziskový, ale nakoľko sa dá povedať, že systém bude v budúcnosti vykazovať aspoň minimálny zisk. Preto najdôležitejšou prípravou, ktorú môže obchodník urobiť, je zabezpečiť, aby systém v budúcnosti vykazoval pozitívnu očakávanú hodnotu.

Aby ste mali v budúcnosti pozitívnu očakávanú hodnotu, je veľmi dôležité neobmedzovať stupne voľnosti vášho systému. To sa dosiahne nielen odstránením alebo znížením počtu parametrov, ktoré sa majú optimalizovať, ale aj znížením čo najväčšieho počtu systémových pravidiel. Každý parameter, ktorý pridáte, každé pravidlo, ktoré urobíte, každá malá zmena, ktorú vykonáte v systéme, znižuje počet stupňov voľnosti. V ideálnom prípade musíte vybudovať pomerne primitívny a jednoduchý systém, ktorý bude trvalo generovať malé zisky na takmer akomkoľvek trhu. Opäť je dôležité, aby ste pochopili, že nezáleží na tom, aký ziskový je systém, pokiaľ je ziskový. Peniaze, ktoré zarobíte pri obchodovaní, budú zarobené prostredníctvom efektívneho money managementu.

Obchodný systém je jednoducho nástroj, ktorý vám dáva pozitívnu očakávanú hodnotu, aby ste mohli využívať správu peňazí. Systémy, ktoré fungujú (vykazujú aspoň minimálne zisky) len na jednom alebo niekoľkých trhoch, prípadne majú rôzne pravidlá či parametre pre rôzne trhy, s najväčšou pravdepodobnosťou nebudú fungovať v reálnom čase dostatočne dlho. Problém väčšiny technicky orientovaných obchodníkov je, že trávia príliš veľa času a úsilia optimalizáciou rôznych pravidiel a hodnôt parametrov obchodného systému. To dáva úplne opačné výsledky. Namiesto plytvania energiou a počítačovým časom na zvyšovanie ziskov obchodného systému nasmerujte svoju energiu na zvyšovanie úrovne spoľahlivosti získavania minimálneho zisku.

S vedomím, že správa peňazí je len hra s číslami, ktorá si vyžaduje použitie pozitívnych očakávaní, môže obchodník prestať hľadať „svätý grál“ obchodovania s akciami. Namiesto toho môže začať testovať svoju obchodnú metódu, zistiť, nakoľko je táto metóda logická a či dáva pozitívne očakávania. Správne metódy správy peňazí, aplikované na akékoľvek, dokonca aj veľmi priemerné obchodné metódy, urobia zvyšok práce samy.

Aby každý obchodník uspel vo svojej práci, potrebuje vyriešiť tri najdôležitejšie úlohy: . Zabezpečiť, aby počet úspešných transakcií prevýšil nevyhnutné chyby a nesprávne výpočty; Nastavte si obchodný systém tak, aby ste mali možnosť zarábať peniaze čo najčastejšie; Dosahujte stabilné pozitívne výsledky z vašich operácií.

A tu, pre nás pracujúcich obchodníkov, môže matematické očakávanie veľmi pomôcť. Tento pojem je jedným z kľúčových v teórii pravdepodobnosti. S jeho pomocou môžete poskytnúť priemerný odhad nejakej náhodnej hodnoty. Matematické očakávanie náhodnej premennej je podobné ako ťažisko, ak si všetky možné pravdepodobnosti predstavíte ako body s rôznou hmotnosťou.

Vo vzťahu k obchodnej stratégii sa na hodnotenie jej efektívnosti najčastejšie používa matematické očakávanie zisku (alebo straty). Tento parameter je definovaný ako súčet súčinov daných úrovní zisku a straty a pravdepodobnosti ich výskytu. Napríklad vyvinutá obchodná stratégia predpokladá, že 37 % všetkých transakcií prinesie zisk a zvyšná časť – 63 % – bude nerentabilných. Priemerný príjem z úspešnej transakcie bude zároveň 7 USD a priemerná strata 1,4 USD. Vypočítajme matematické očakávania obchodovania pomocou tohto systému:

Čo toto číslo znamená? Hovorí sa v nej, že pri dodržaní pravidiel tohto systému dostaneme v priemere 1 708 dolárov z každej uzavretej transakcie. Keďže výsledné hodnotenie účinnosti je väčšie ako nula, takýto systém je možné použiť na skutočnú prácu. Ak sa v dôsledku výpočtu ukáže, že matematické očakávanie je záporné, znamená to už priemernú stratu a takéto obchodovanie povedie k krachu.

Výšku zisku na transakciu možno vyjadriť aj ako relatívnu hodnotu vo forme %. Napríklad:

– percento príjmu na 1 transakciu – 5 %;

– percento úspešných obchodných operácií – 62 %;

– percento straty na 1 transakciu – 3 %;

– percento neúspešných transakcií – 38 %;

To znamená, že priemerný obchod prinesie 1,96%.

Je možné vyvinúť systém, ktorý aj napriek prevahe nerentabilných obchodov prinesie pozitívny výsledok, keďže jeho MO>0.

Samotné čakanie však nestačí. Je ťažké zarobiť peniaze, ak systém dáva veľmi málo obchodných signálov. V tomto prípade bude jeho ziskovosť porovnateľná s bankovým úrokom. Nech každá operácia vyprodukuje v priemere len 0,5 dolára, ale čo ak systém zahŕňa 1000 operácií ročne? V relatívne krátkom čase to bude veľmi významná suma. Z toho logicky vyplýva, že za ďalšiu charakteristickú črtu dobrého obchodného systému možno považovať krátke obdobie držania pozícií.

Zdroje a odkazy

dic.academic.ru – akademický online slovník

mathematics.ru – vzdelávacia webová stránka v oblasti matematiky

nsu.ru – vzdelávacia stránka Štátnej univerzity v Novosibirsku

webmath.ru je vzdelávací portál pre študentov, uchádzačov a školákov.

Vzdelávacia matematická webová stránka exponenta.ru

ru.tradimo.com – bezplatná online obchodná škola

crypto.hut2.ru – multidisciplinárny informačný zdroj

poker-wiki.ru – bezplatná encyklopédia pokru

sernam.ru – Vedecká knižnica vybraných prírodovedných publikácií

reshim.su – webstránka VYRIEŠIME problémy s testovaním

unfx.ru – Forex na UNFX: školenia, obchodné signály, správa dôvery

slovopedia.com – Veľký encyklopedický slovník Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Váš sprievodca vo svete pokru

statanaliz.info – informačný blog “Štatistická analýza dát”

forex-trader.rf – Portál Forex-Trader

megafx.ru – aktuálna Forexová analytika

fx-by.com – všetko pre obchodníka

Ďalšou najdôležitejšou vlastnosťou náhodnej premennej po matematickom očakávaní je jej disperzia, definovaná ako stredná štvorcová odchýlka od priemeru:

Ak sa dovtedy označí, rozptyl VX bude očakávaná hodnota Toto je charakteristika „rozptylu“ rozdelenia X.

Ako jednoduchý príklad výpočtu rozptylu povedzme, že sme práve dostali ponuku, ktorú nemožno odmietnuť: niekto nám dal dva certifikáty na rovnakú lotériu. Organizátori lotérie predajú každý týždeň 100 tiketov, pričom sa zúčastňujú samostatného žrebovania. Losovanie vyberie jeden z týchto tiketov jednotným náhodným procesom – každý tiket má rovnakú šancu byť vybraný – a majiteľ tohto šťastného tiketu dostane sto miliónov dolárov. Zvyšných 99 majiteľov žrebov nevyhrá nič.

Darček môžeme využiť dvoma spôsobmi: kúpiť si buď dva tikety v jednej lotérii, alebo po jednom na účasť v dvoch rôznych lotériách. Ktorá stratégia je lepšia? Skúsme to analyzovať. Aby sme to dosiahli, označme náhodnými premennými veľkosť našej výhry na prvom a druhom tikete. Predpokladaná hodnota v miliónoch je

a to isté platí pre Očakávané hodnoty sú aditívne, takže naša priemerná celková odmena bude

bez ohľadu na prijatú stratégiu.

Zdá sa však, že tieto dve stratégie sú odlišné. Poďme nad rámec očakávaných hodnôt a preštudujme si úplné rozdelenie pravdepodobnosti

Ak si kúpime dva tikety v jednej lotérii, tak naša šanca nič vyhrať bude 98% a 2% - šanca vyhrať 100 miliónov. Ak si kúpime tikety na rôzne žrebovania, čísla budú nasledovné: 98,01 % - šanca nič nevyhrať, čo je o niečo viac ako doteraz; 0,01% - šanca vyhrať 200 miliónov, tiež o niečo viac ako predtým; a šanca na výhru 100 miliónov je teraz 1,98%. V druhom prípade je teda rozdelenie magnitúdy o niečo viac rozptýlené; stredná hodnota, 100 miliónov dolárov, je o niečo menej pravdepodobná, zatiaľ čo extrémy sú pravdepodobnejšie.

Práve tento koncept šírenia náhodnej premennej má rozptyl odrážať. Meriame šírenie cez druhú mocninu odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania. Takže v prípade 1 bude rozptyl

v prípade 2 je rozptyl

Ako sme očakávali, druhá hodnota je o niečo väčšia, pretože distribúcia v prípade 2 je o niečo viac rozložená.

Keď pracujeme s rozptylmi, všetko je na druhú mocninu, takže výsledkom môžu byť pomerne veľké čísla. (Násobiteľ je jeden bilión, to by malo byť pôsobivé

aj hráči zvyknutí na veľké stávky.) Na prevod hodnôt do zmysluplnejšej pôvodnej stupnice sa často berie druhá odmocnina rozptylu. Výsledné číslo sa nazýva štandardná odchýlka a zvyčajne sa označuje gréckym písmenom a:

Štandardné odchýlky veľkosti pre naše dve lotériové stratégie sú . V niektorých ohľadoch je druhá možnosť asi 71 247 dolárov rizikovejšia.

Ako pomáha rozptyl pri výbere stratégie? Nie je to jasné. Stratégia s vyšším rozptylom je rizikovejšia; ale čo je lepšie pre našu peňaženku – risk alebo bezpečná hra? Nech máme možnosť kúpiť si nie dva lístky, ale všetkých sto. Potom by sme mohli zaručiť výhru v jednej lotérii (a rozptyl by bol nulový); alebo môžete hrať v stovke rôznych žrebovaní, pričom s pravdepodobnosťou nič nezískate, no máte nenulovú šancu na výhru až dolárov. Výber jednej z týchto alternatív presahuje rámec tejto knihy; všetko, čo tu môžeme urobiť, je vysvetliť, ako robiť výpočty.

V skutočnosti existuje jednoduchší spôsob výpočtu rozptylu ako priame použitie definície (8.13). (Existuje každý dôvod na podozrenie z nejakého druhu skrytej matematiky, inak, prečo by sa rozptyl v príkladoch lotérie ukázal ako celočíselný násobok?

keďže - konštantný; teda,

"Variancia je priemer druhej mocniny mínus druhá mocnina strednej hodnoty."

Napríklad v úlohe lotérie sa ukáže, že priemerná hodnota je alebo Odčítanie (druhá mocnina priemeru) dáva výsledky, ktoré sme už predtým získali zložitejším spôsobom.

Existuje však ešte jednoduchší vzorec, ktorý je použiteľný, keď počítame pre nezávislé X a Y. Máme

keďže, ako vieme, pre nezávislé náhodné premenné

„Rozptyl súčtu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu ich rozptylov, takže napríklad rozptyl sumy, ktorú možno vyhrať s jedným tiketom lotérie, sa rovná

Preto rozptyl celkových výhier za dva žreby v dvoch rôznych (nezávislých) lotériách bude Zodpovedajúca hodnota rozptylu pre nezávislé žreby bude

Rozptyl súčtu bodov hodených na dvoch kockách možno získať pomocou rovnakého vzorca, keďže ide o súčet dvoch nezávislých náhodných premenných. Máme

pre správnu kocku; teda v prípade posunutého ťažiska

teda ak majú obe kocky posunuté ťažisko. Všimnite si, že v druhom prípade je rozptyl väčší, hoci priemerná hodnota je 7 častejšie ako v prípade bežných kociek. Ak je naším cieľom hodiť viac šťastných sedmičiek, potom rozptyl nie je najlepším ukazovateľom úspechu.

Dobre, zistili sme, ako vypočítať rozptyl. Ale ešte sme nedali odpoveď na otázku, prečo je potrebné počítať rozptyl. Každý to robí, ale prečo? Hlavným dôvodom je Čebyševova nerovnosť, ktorá zakladá dôležitú vlastnosť rozptylu:

(Táto nerovnosť sa líši od Čebyševových nerovností pre sumy, s ktorými sme sa stretli v kapitole 2.) Na kvalitatívnej úrovni (8.17) uvádza, že náhodná premenná X zriedka nadobúda hodnoty ďaleko od svojho priemeru, ak je jej rozptyl VX malý. Dôkaz

riadenie je mimoriadne jednoduché. naozaj,

rozdelenie podľa dokončí dôkaz.

Ak matematické očakávanie označíme a a smerodajnú odchýlku a a dovtedy nahradíme v (8.17), podmienka sa zmení na teda, dostaneme z (8.17)

X teda bude ležať v rámci - násobkov štandardnej odchýlky svojho priemeru okrem prípadov, keď pravdepodobnosť nepresiahne Náhodná premenná bude ležať v rámci 2a aspoň 75 % pokusov; v rozsahu od do – aspoň na 99 %. Ide o prípady Čebyševovej nerovnosti.

Ak hodíte pár kockami raz, potom sa celkový súčet bodov vo všetkých hodoch takmer vždy približuje k tejto hodnote: rozptyl nezávislých hodov bude rozdiel v znamená štandardnú odchýlku všetkého

Preto z Čebyševovej nerovnosti dostaneme, že súčet bodov bude ležať medzi

aspoň na 99 % všetkých hodov správnymi kockami. Napríklad výsledok milióna hodov s pravdepodobnosťou vyššou ako 99 % bude medzi 6,976 milióna a 7,024 milióna.

Vo všeobecnosti nech X je ľubovoľná náhodná premenná v pravdepodobnostnom priestore Π s konečným matematickým očakávaním a konečnou smerodajnou odchýlkou ​​a. Potom môžeme zaviesť do úvahy pravdepodobnostný priestor Pn, ktorého elementárne udalosti sú -sekvencie, kde každá , a pravdepodobnosť je definovaná ako

Ak teraz definujeme náhodné premenné vzorcom

potom hodnotu

bude súčtom nezávislých náhodných veličín, čo zodpovedá procesu sčítania nezávislých realizácií hodnoty X na P. Matematické očakávanie sa bude rovnať a smerodajná odchýlka - ; teda priemerná hodnota realizácií,

sa bude pohybovať od do aspoň 99 % časového obdobia. Inými slovami, ak si vyberiete dostatočne veľkú, aritmetický priemer nezávislých testov bude takmer vždy veľmi blízko k očakávanej hodnote (V učebniciach teórie pravdepodobnosti je dokázaná ešte silnejšia veta, nazývaná silný zákon veľkých čísel; ale pre nás jednoduchý dôsledok Čebyševovej nerovnosti, ktorý sme práve vyňali.)

Niekedy nepoznáme charakteristiky pravdepodobnostného priestoru, ale potrebujeme odhadnúť matematické očakávanie náhodnej premennej X pomocou opakovaných pozorovaní jej hodnoty. (Napríklad by sme mohli chcieť priemernú teplotu januárového poludnia v San Franciscu; alebo by sme mohli chcieť poznať očakávanú dĺžku života, na ktorej by mali poisťovací agenti založiť svoje výpočty.) Ak máme k dispozícii nezávislé empirické pozorovania, môžeme predpokladať, že skutočné matematické očakávania sú približne rovnaké

Pomocou vzorca môžete odhadnúť aj rozptyl

Pri pohľade na tento vzorec si možno myslíte, že je v ňom typografická chyba; Zdalo by sa, že by tam mal byť ako v (8.19), keďže skutočná hodnota rozptylu je určená v (8.15) cez očakávané hodnoty. Avšak nahradenie tu za nám umožňuje získať lepší odhad, keďže z definície (8.20) vyplýva, že

Tu je dôkaz:

(Pri tomto výpočte sa spoliehame na nezávislosť pozorovaní, keď nahradíme )

V praxi sa na vyhodnotenie výsledkov experimentu s náhodnou premennou X zvyčajne vypočíta empirický priemer a empirická smerodajná odchýlka a potom sa odpoveď zapíše v tvare Tu sú napríklad výsledky hodu kockou, zrejme správne.

Koncept matematického očakávania možno zvážiť na príklade hodu kockou. Pri každom hode sa zaznamenávajú spadnuté body. Na ich vyjadrenie sa používajú prirodzené hodnoty v rozmedzí 1 – 6.

Po určitom počte hodov môžete pomocou jednoduchých výpočtov nájsť aritmetický priemer hodených bodov.

Rovnako ako výskyt ktorejkoľvek z hodnôt v rozsahu, aj táto hodnota bude náhodná.

Čo ak niekoľkokrát zvýšite počet hodov? Pri veľkom počte hodov sa aritmetický priemer bodov priblíži konkrétnemu číslu, ktoré sa v teórii pravdepodobnosti nazýva matematické očakávanie.

Matematickým očakávaním teda rozumieme priemernú hodnotu náhodnej premennej. Tento ukazovateľ možno prezentovať aj ako vážený súčet hodnôt pravdepodobných hodnôt.

Tento pojem má niekoľko synoným:

• priemerná hodnota;
• priemerná hodnota;
• indikátor centrálnej tendencie;
• prvý moment.

Inými slovami, nie je to nič iné ako číslo, okolo ktorého sú rozdelené hodnoty náhodnej premennej.

V rôznych sférach ľudskej činnosti budú prístupy k pochopeniu matematického očakávania trochu odlišné.

Dá sa považovať za:

• priemerný úžitok získaný z rozhodnutia, keď sa takéto rozhodnutie posudzuje z hľadiska teórie veľkých čísel;
• možná výška výhry alebo prehry (teória hazardu), vypočítaná v priemere pre každú stávku. V slangu znejú ako „výhoda hráča“ (pozitívna pre hráča) alebo „výhoda kasína“ (negatíva pre hráča);
• percento zisku získaného z výhier.

Očakávanie nie je povinné pre absolútne všetky náhodné premenné. Chýba pre tých, ktorí majú nezrovnalosť v zodpovedajúcom súčte alebo integráli.

Vlastnosti matematického očakávania

Ako každý štatistický parameter, aj matematické očakávanie má nasledujúce vlastnosti:

Základné vzorce pre matematické očakávania

Výpočet matematického očakávania je možné vykonať pre náhodné premenné charakterizované ako spojitosťou (vzorec A), tak aj diskrétnosťou (vzorec B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, kde xi sú hodnoty náhodnej premennej, pi sú pravdepodobnosti:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, kde f(x) je daná hustota pravdepodobnosti.

Príklady výpočtu matematického očakávania

Príklad A.

Je možné zistiť priemernú výšku trpaslíkov v rozprávke o Snehulienke. Je známe, že každý zo 7 trpaslíkov mal určitú výšku: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 a 0,81 m.

Algoritmus výpočtu je pomerne jednoduchý:

• nájdeme súčet všetkých hodnôt ukazovateľa rastu (náhodná premenná):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Výsledné množstvo vydeľte počtom trpaslíkov:
  6,31:7=0,90.

Priemerná výška škriatkov v rozprávke je teda 90 cm Inými slovami, toto je matematické očakávanie rastu škriatkov.

Pracovný vzorec - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Praktická implementácia matematického očakávania

Výpočet štatistického ukazovateľa matematického očakávania sa používa v rôznych oblastiach praktickej činnosti. V prvom rade hovoríme o komerčnej sfére. Koniec koncov, Huygensovo zavedenie tohto ukazovateľa je spojené s určením šancí, ktoré môžu byť priaznivé, alebo naopak nepriaznivé pre nejakú udalosť.

Tento parameter je široko používaný na hodnotenie rizík, najmä pokiaľ ide o finančné investície.
V podnikaní teda výpočet matematického očakávania pôsobí ako metóda hodnotenia rizika pri kalkulácii cien.

Tento ukazovateľ možno použiť aj na výpočet účinnosti určitých opatrení, napríklad ochrany práce. Vďaka nemu môžete vypočítať pravdepodobnosť výskytu udalosti.

Ďalšou oblasťou použitia tohto parametra je správa. Dá sa vypočítať aj pri kontrole kvality produktu. Napríklad pomocou mat. očakávania, môžete vypočítať možný počet vyrobených chybných dielov.

Matematické očakávanie sa ukazuje ako nevyhnutné aj pri štatistickom spracovaní výsledkov získaných počas vedeckého výskumu. Umožňuje vám vypočítať pravdepodobnosť požadovaného alebo nežiaduceho výsledku experimentu alebo štúdie v závislosti od úrovne dosiahnutia cieľa. Koniec koncov, jeho dosiahnutie môže byť spojené so ziskom a prospechom a jeho zlyhanie môže byť spojené so stratou alebo stratou.

Použitie matematických očakávaní na Forexe

Praktická aplikácia tohto štatistického parametra je možná pri vykonávaní transakcií na devízovom trhu. S jeho pomocou môžete analyzovať úspešnosť obchodných transakcií. Okrem toho zvýšenie hodnoty očakávania naznačuje zvýšenie ich úspechu.

Je tiež dôležité pamätať na to, že matematické očakávania by sa nemali považovať za jediný štatistický parameter používaný na analýzu výkonnosti obchodníka. Použitie niekoľkých štatistických parametrov spolu s priemernou hodnotou výrazne zvyšuje presnosť analýzy.

Tento parameter sa dobre osvedčil pri monitorovaní pozorovaní obchodných účtov. Vďaka nemu sa vykonáva rýchle posúdenie práce vykonanej na vkladovom účte. V prípadoch, keď je činnosť obchodníka úspešná a vyhýba sa stratám, sa neodporúča používať výlučne výpočet matematického očakávania. V týchto prípadoch sa neberú do úvahy riziká, čo znižuje účinnosť analýzy.

Vykonané štúdie taktiky obchodníkov naznačujú, že:

• Najúčinnejšie sú taktiky založené na náhodnom vstupe;
• Najmenej efektívna je taktika založená na štruktúrovaných vstupoch.

Pri dosahovaní pozitívnych výsledkov sú nemenej dôležité:

• taktiky riadenia peňazí;
• výstupné stratégie.

Pomocou takého ukazovateľa, ako je matematické očakávanie, môžete predpovedať, aký bude zisk alebo strata pri investovaní 1 dolára. Je známe, že tento ukazovateľ, vypočítaný pre všetky hry praktizované v kasíne, je v prospech podniku. To je to, čo vám umožňuje zarábať peniaze. V prípade dlhej série hier sa výrazne zvyšuje pravdepodobnosť, že klient príde o peniaze.

Hry, ktoré hrajú profesionálni hráči, sú obmedzené na krátke časové úseky, čo zvyšuje pravdepodobnosť výhry a znižuje riziko prehry. Rovnaký vzorec sa pozoruje pri vykonávaní investičných operácií.

Investor môže zarobiť značnú sumu tým, že má pozitívne očakávania a vykoná veľké množstvo transakcií v krátkom časovom období.

Očakávanie si možno predstaviť ako rozdiel medzi percentom zisku (PW) vynásobeným priemerným ziskom (AW) a pravdepodobnosťou straty (PL) vynásobenou priemernou stratou (AL).

Ako príklad môžeme uviesť: pozícia – 12,5 tisíc dolárov, portfólio – 100 tisíc dolárov, riziko vkladov – 1 %. Ziskovosť transakcií je 40 % prípadov s priemerným ziskom 20 %. V prípade straty je priemerná strata 5 %. Výpočet matematického očakávania pre transakciu dáva hodnotu 625 USD.