Gaussova metóda pre figuríny: príklady riešení. Riešenie s konkrétnymi príkladmi

V tomto prípade okrem splnenia požiadavky a kk0 pri implementácii vzorcov (6) sa kladú dodatočné požiadavky, aby vedúci (hlavný) prvok v aktuálnom stĺpci v procese transformácií pôvodnej matice mal maximálnu absolútnu hodnotu. To sa dosiahne aj preusporiadaním riadkov matice.

Príklad. Na ilustráciu výhod modifikovanej Gaussovej metódy zvážte systém tretieho rádu:

Priamy ťah Gaussovej metódy

Vylučujeme X 1 z druhej a tretej rovnice. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu číslom 0,3 a pridajte ju k druhej a potom vynásobte prvú rovnicu číslom (–0,5) a pridajte ju k tretej. V dôsledku toho dostaneme

(b)

Druhá rovnica sa nenahrádza treťou, pretože výpočty sa vykonávajú v rámci presnej aritmetiky.

Vynásobením druhej rovnice číslom 25 a jej pripočítaním k tretej dostaneme

(V)

Reverzná Gaussova metóda

Vykonávame výpočty začínajúce od poslednej rovnice vo výslednom systéme:

Nahradením výsledného riešenia do pôvodného systému sme presvedčení o jeho pravdivosti.

Teraz zmeníme koeficienty sústavy tak, aby sme zachovali predchádzajúce riešenie, ale pri výpočte použijeme zaokrúhľovanie v rámci aritmetiky s pohyblivou rádovou čiarkou pri zachovaní piatich číslic. Tomu bude zodpovedať nasledujúci systém

(G)

Priama metóda pre systém ( G) zopakujeme použitím podobnej technológie s pôvodným systémom ( A).

(d)

Po odstránení X 2, tretia rovnica bude mať tvar (zvyšok zostane nezmenený)

15005 X 3 = 15004. (e)

Vykonaním spätného pohybu dostaneme

Je zrejmé, že získané riešenia a [–0,35; -1,4; 0,99993] sú odlišné. Dôvodom je malá hodnota vedúceho prvku v druhej transformačnej rovnici v ( d). Aby sme to odstránili, preusporiadame v ( d) druhý a tretí riadok


(a)

Pre tento systém po vylúčení X 2 z tretej rovnice, bude mať nasledujúci tvar

6,002 X 3 = 6,002. (h)

V tomto prípade vykonajte spätný pohyb

dostaneme riešenie systému ( G), ktorý sa presne zhoduje s riešením pôvodného systému.

Riešenie systému ( G) sme použili upravenú Gaussovu metódu, v ktorej by mal byť maximálny prvok v aktuálnom stĺpci na diagonále.

Zoberme si blokovú schému modifikovanej Gaussovej metódy (obr. 2.1).

Ryža. 2.1. Bloková schéma modifikovanej Gaussovej metódy

Analyzujme navrhovanú schému na príklade systému n=3 (=0,001)

(8)

;. (*)

Blokovať 1. Zadanie počiatočných údajov: n- poradie systému, A– matica koeficientov pre neznáme, b– vektor voľných termínov.

Blokovať 2. I-tý cyklus zdvihu dopredu (pre k, meniace sa od 1 po predposlednú hodnotu, t.j. predtým n–1) poskytuje vylúčenie z hlavnej uhlopriečky matice A element a kk=0 vďaka hľadaniu maximálneho prvku a kk v aktuálnom stĺpci, uskutočnené v blokoch 36 pomocou slučky II.

Potom sa vykonajú výpočty pomocou vzorcov (6) dopredného Gaussovho pohybu v blokoch cyklov IV a V.

Urobme analýzu blok po bloku v prostredí uvažovaných cyklov IV na príklade (8).

Blokovať 3p =k = 1

Vstup do cyklu II

Blokovať 4m =k+1 = 2 až n = 3

Blokovať 5a 11 = 2 <a 21 = 4 z (*)

Blokovať 6p= 2

Blokovať 4m= 2+1 = 3

Blokovať 5a 21 = 4 <a 31 = 6 z (*)

Blokovať 6p= 3

Opustením cyklu II a vstupom do cyklu III vykonajú bloky 710 permutáciu riadkov matice A prvok po prvku

Blokovať 7j= 1 (j od 1 do 3)

Blokovať 8 r = a 11 = 2 z (*)

Blokovať 9 a 11 = a 31 = 6

Blokovať 10 a 31 = r

Blokovať 7 j = 2

Blokovať 8 r = a 12 = 1

Blokovať 9 a 12 = a 32 = 5

Blokovať 10 a 32 = r = 1

Blokovať 7j= 3 a analogicky r=a 13 ;a 13 =a 33 ;a 33 =r= −1.

Výstupný cyklus III a vstup Blokovať 11 a ďalšie 1213 vykonávajú podobné preusporiadanie hodnôt voľných členov

r=b 1 = 1;b 1 = b 3 = 14;b 3 = r = 1.

Vstup do IV cyklu s upraveným systémom

;; (**)

na prepočet b 2 vektory

m=k+1 = 1+1 = 2 až n= 3

c = a mk / a kk = a 21 / a 11 = 4/6 z (**)

b 2 =b 2 –c b 1 = 6 – 4/614 = −20/6 z (**)

Zadanie vnorenej slučky V na prepočet druhého riadku

i = 1 (i od 1 do 3); a 21 = a 21 – s  a 11 = 4 – 4/6  6 = 0;

i = 2; a 22 = a 22 – s  a 12 = 6 – 4/6  5 = 16/6;

i = 3; a 23 = a 23 – s  a 13 = 2 – 4/6  8 = −20/6.

Výstup z cyklu V a vstup do cyklu IV

m= 3;c=a 31 /a 11 = 2/6.

Prihlásiť sa Blokovať 16

b 3 =b 3 –c b 1 = 1 – 2/614 = −22/6.

Opustenie cyklu IV a vstup do cyklu V a vstup Blokovať 17

i = 1 (i od 1 do 3); a 31 = a 31 – s  a 11 = 2 – 2/6  6 = 0;

i = 2; a 32 = a 32 – s  a 12 = 1 – 2/6  5 = −4/6;

i = 3; a 33 = a 33 – s  a 13 = −1 – 2/6  8 = −22/6.

Výstup z cyklu V s transformovaným systémom

;
; (***)

a linkový vstup A v cykle I

k = 2;p =k = 2;m =k+1 = 3; vchod do Blokovať 5

| a 22 | < |a 32 | = | 6. 16. | > | 4/6 | od (***).

Výstup z cyklu II a vstup do cyklu III

j = 2 (j od 2 do 3);

r = a kj = a 22 = 16/6; a 22 = a 22 ; a 22 = r= 16/6; od (***)

r=a 23 = −20/6;a 23 =a 23 ;a 23 =r= -20/6; od (***)

V tomto prípade je na diagonále maximálny prvok, takže zámena 2. a 3. riadku sa nevykoná.

Výstup z cyklu III a vstup do cyklu Ic Blokovať 11

r=b 2 ;b 2 = b 2 ;b 2 = r = -20/6.

Voľný člen b 2 zostáva na mieste.

Vstup do cyklu IV

m=k+1 = 2+1 = 3;

c = a mk / a kk = a 32 / a 22 = (–4/6) / (16/6); od (***)

b 3 =b 3 –c b 2 = −22/6 – (–1/4)(–20/6) = −27/6 z (***)

Opustenie cyklu IV a vstup do cyklu V

i = 2 (i od 2 do 3); a 32 = a 32 – s  a 22 = −4/6 – (–1/4)  16/6 = 0;

i= 3;a 33 =a 33 –sa 23 = −22/6 – (–1/4)(–20/6) = −27/6.

Výstup z cyklu V a výstup z cyklu I.

Reverzná Gaussova metóda

IN Bloky Je implementovaných 1924 vzorcov (7).

IN Blokovať 19 z poslednej rovnice sa zistí hodnota X n (n= 3)

X 3 =b n / a nn =b 3 / a 33 = (–27/6) / (–27/6) = 1.

Vstup do cyklu VI( Blokovať 20), v ktorom je hodnota premennej slučky k sa líši od n–1 až 1 v krokoch (–1)

Blokovať 21 s = 0

Vstup do cyklu VII( Blokovať 22)

i = k+1 = 2+1 = 3; n = 3; s = s + a ki  X i = 0 + a 23 X 3 = −20/6 1 = −20/6.

Výjazd z cyklu VII Blokovať 24 za cyklusVI:

k = 2; X 2 = (b k–s)/ a nn = (b 2 – s)/ a 22 = (–20/6 +20/6)/a 22 = 0.

k=k–1 = 2–1 = 1;

i = k + 1 = 2; s = 0 + a 12 X 2 = 5  0 = 0;

i = k + 1 = 3; s = 0 + a 13 X 3 = 8  1 = 8;

X 1 = (b 1 – s)/ a 11 = (14 – 8) / 6 = 1.

Výstup z posledného cyklu VII.

IN Blokovať 25 (cyklus vynechaný) sa výsledné riešenie vektora SLAE zobrazí na obrazovke tie. X i ,i=1, ...,n. V našom prípade (1; 0; 1).

V tomto článku je metóda považovaná za metódu riešenia systémov lineárnych rovníc (SLAE). Metóda je analytická, to znamená, že vám umožňuje napísať algoritmus riešenia vo všeobecnej forme a potom tam nahradiť hodnoty z konkrétnych príkladov. Na rozdiel od maticovej metódy alebo Cramerových vzorcov sa pri riešení sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy dá pracovať aj s takými, ktoré majú nekonečný počet riešení. Alebo ho nemajú vôbec.

Čo znamená riešiť pomocou Gaussovej metódy?

Najprv musíme napísať náš systém rovníc do Vyzerá to takto. Vezmite systém:

Koeficienty sa zapisujú vo forme tabuľky a voľné termíny sa zapisujú do samostatného stĺpca vpravo. Stĺpec s voľnými výrazmi je pre pohodlie oddelený Matica, ktorá obsahuje tento stĺpec, sa nazýva rozšírená.

Ďalej je potrebné zredukovať hlavnú maticu s koeficientmi na horný trojuholníkový tvar. Toto je hlavný bod riešenia systému pomocou Gaussovej metódy. Jednoducho povedané, po určitých manipuláciách by matica mala vyzerať tak, že jej ľavá spodná časť obsahuje iba nuly:

Ak potom novú maticu napíšete znova ako sústavu rovníc, všimnete si, že posledný riadok už obsahuje hodnotu jedného z koreňov, ktorá sa potom dosadí do vyššie uvedenej rovnice, nájde sa ďalší koreň atď.

Toto je najvšeobecnejší popis riešenia Gaussovou metódou. Čo sa stane, ak systém zrazu nemá riešenie? Alebo ich je nekonečne veľa? Na zodpovedanie týchto a mnohých ďalších otázok je potrebné samostatne zvážiť všetky prvky použité pri riešení Gaussovej metódy.

Matrice, ich vlastnosti

V matrici nie je skrytý význam. Je to jednoducho pohodlný spôsob zaznamenávania údajov pre následné operácie s ním. Nemusia sa ich báť ani školáci.

Matica je vždy obdĺžniková, pretože je pohodlnejšia. Dokonca aj v Gaussovej metóde, kde všetko spočíva v zostrojení matice trojuholníkového tvaru, sa v položke objaví obdĺžnik, len s nulami na mieste, kde nie sú žiadne čísla. Nuly sa nemusia písať, ale sú implikované.

Matica má veľkosť. Jeho „šírka“ je počet riadkov (m), „dĺžka“ je počet stĺpcov (n). Potom veľkosť matice A (na ich označenie sa zvyčajne používajú veľké latinské písmená) označíme ako A m×n. Ak m=n, potom je táto matica štvorcová a m=n je jej poradie. Podľa toho môže byť ľubovoľný prvok matice A označený číslami riadkov a stĺpcov: a xy; x - číslo riadku, zmeny, y - číslo stĺpca, zmeny.

B nie je hlavným bodom rozhodnutia. V zásade možno všetky operácie vykonávať priamo so samotnými rovnicami, no zápis bude oveľa ťažkopádnejší a bude sa v ňom oveľa ľahšie zmiasť.

Determinant

Matica má tiež determinant. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť. Teraz nie je potrebné zisťovať jeho význam, môžete jednoducho ukázať, ako sa vypočíta, a potom povedať, aké vlastnosti matice určuje. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť determinant, je cez uhlopriečky. V matici sú nakreslené imaginárne uhlopriečky; prvky umiestnené na každom z nich sa vynásobia a potom sa pridajú výsledné produkty: uhlopriečky so sklonom doprava - so znamienkom plus, so sklonom doľava - so znamienkom mínus.

Je mimoriadne dôležité poznamenať, že determinant možno vypočítať iba pre štvorcovú maticu. Pre pravouhlú maticu môžete urobiť nasledovné: vybrať najmenší z počtu riadkov a počtu stĺpcov (nech je k) a potom náhodne označiť k stĺpcov a k riadkov v matici. Prvky v priesečníku vybratých stĺpcov a riadkov vytvoria novú štvorcovú maticu. Ak je determinantom takejto matice nenulové číslo, nazýva sa základná minor pôvodnej pravouhlej matice.

Predtým, ako začnete riešiť sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy, nezaškodí vypočítať determinant. Ak sa ukáže, že je nula, potom môžeme okamžite povedať, že matica má buď nekonečný počet riešení, alebo žiadne. V takom smutnom prípade treba ísť ďalej a dozvedieť sa o hodnosti matice.

Klasifikácia systému

Existuje niečo ako hodnosť matice. Toto je maximálne poradie jej nenulového determinantu (ak si pamätáme na základnú menšiu, môžeme povedať, že hodnosť matice je poradie základne minor).

Na základe situácie s hodnosťou možno SLAE rozdeliť na:

• Spoločný. U V spoločných systémoch sa hodnosť hlavnej matice (pozostávajúcej len z koeficientov) zhoduje s hodnosťou rozšírenej matice (so stĺpcom voľných členov). Takéto systémy majú riešenie, ale nie nevyhnutne jedno, preto sa spoločné systémy navyše delia na:
• - istý- majúci jediné riešenie. V určitých systémoch sú poradie matice a počet neznámych (alebo počet stĺpcov, čo je to isté) rovnaké;
• - nedefinované - s nekonečným množstvom riešení. Poradie matíc v takýchto systémoch je menšie ako počet neznámych.
• Nekompatibilné. U V takýchto systémoch sa poradie hlavnej a rozšírenej matice nezhoduje. Nekompatibilné systémy nemajú riešenie.

Gaussova metóda je dobrá, pretože pri riešení umožňuje získať buď jednoznačný dôkaz nekonzistentnosti sústavy (bez výpočtu determinantov veľkých matíc), alebo riešenie vo všeobecnej forme pre sústavu s nekonečným počtom riešení.

Elementárne transformácie

Predtým, ako pristúpite priamo k riešeniu systému, môžete ho urobiť menej ťažkopádnym a pohodlnejším pre výpočty. Dosahuje sa to elementárnymi transformáciami – takými, že ich implementácia nijako nemení konečnú odpoveď. Treba poznamenať, že niektoré z uvedených elementárnych transformácií sú platné len pre matice, ktorých zdrojom bol SLAE. Tu je zoznam týchto transformácií:

1. Preusporiadanie strún. Je zrejmé, že ak zmeníte poradie rovníc v systémovom zázname, riešenie to nijako neovplyvní. Riadky v matici tohto systému je teda možné aj prehadzovať, samozrejme, netreba zabúdať ani na stĺpec voľných výrazov.
2. Násobenie všetkých prvkov reťazca určitým koeficientom. Veľmi nápomocný! Môže sa použiť na zmenšenie veľkých čísel v matici alebo odstránenie núl. Mnohé rozhodnutia sa ako obvykle nezmenia, ale ďalšie operácie budú pohodlnejšie. Hlavná vec je, že koeficient sa nerovná nule.
3. Odstránenie riadkov s proporcionálnymi faktormi. To čiastočne vyplýva z predchádzajúceho odseku. Ak majú dva alebo viac riadkov v matici proporcionálne koeficienty, potom keď sa jeden z riadkov vynásobí/vydelí koeficientom proporcionality, získajú sa dva (alebo opäť viac) absolútne identické riadky a ďalšie riadky sa dajú odstrániť, čím zostane len jeden.
4. Odstránenie nulového riadku. Ak sa pri transformácii niekde získa riadok, v ktorom sú všetky prvky vrátane voľného člena nulové, potom sa takýto riadok môže nazvať nula a vyhodiť z matice.
5. Pridanie prvkov v jednom riadku prvkov druhého (v zodpovedajúcich stĺpcoch), vynásobených určitým koeficientom. Najnezrejmejšia a najdôležitejšia premena zo všetkých. Stojí za to venovať sa tomu podrobnejšie.

Pridanie reťazca vynásobeného faktorom

Pre ľahšie pochopenie stojí za to rozobrať tento proces krok za krokom. Z matice sú prevzaté dva riadky:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Povedzme, že musíte pridať prvý k druhému, vynásobený koeficientom "-2".

a" 21 = a 21 + -2xa 11

a" 22 = a 22 + -2 x a 12

a" 2n = a 2n + -2xa 1n

Potom sa druhý riadok v matici nahradí novým a prvý zostane nezmenený.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Treba poznamenať, že koeficient násobenia možno zvoliť tak, že v dôsledku pridania dvoch riadkov sa jeden z prvkov nového riadku rovná nule. Preto je možné získať rovnicu v systéme, kde bude o jednu neznámu menej. A ak dostanete dve takéto rovnice, potom je možné operáciu vykonať znova a získať rovnicu, ktorá bude obsahovať o dve neznáme menej. A ak zakaždým otočíte jeden koeficient zo všetkých riadkov, ktoré sú pod pôvodným, na nulu, potom môžete, ako po schodoch, zísť na úplný spodok matice a získať rovnicu s jednou neznámou. Toto sa nazýva riešenie systému pomocou Gaussovej metódy.

Všeobecne

Nech existuje systém. Má m rovníc a n neznámych koreňov. Môžete to napísať nasledovne:

Hlavná matica je zostavená zo systémových koeficientov. Stĺpec voľných výrazov sa pridá do rozšírenej matice a pre pohodlie je oddelený čiarou.

• prvý riadok matice sa vynásobí koeficientom k = (-a 21 /a 11);
• pridá sa prvý upravený riadok a druhý riadok matice;
• namiesto druhého riadku sa do matice vloží výsledok doplnenia z predchádzajúceho odseku;
• teraz je prvý koeficient v novom druhom riadku a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Teraz sa vykoná rovnaká séria transformácií, je zahrnutý iba prvý a tretí riadok. V súlade s tým je v každom kroku algoritmu prvok a 21 nahradený prvkom 31. Potom sa všetko opakuje pre 41, ... a m1. Výsledkom je matica, kde prvý prvok v riadkoch je nula. Teraz musíte zabudnúť na riadok číslo jedna a vykonať rovnaký algoritmus, počnúc riadkom dva:

• koeficient k = (-a 32 /a 22);
• druhý upravený riadok sa pridá k „aktuálnemu“ riadku;
• výsledok sčítania sa dosadí do tretieho, štvrtého atď. riadku, pričom prvý a druhý zostanú nezmenené;
• v riadkoch matice sú prvé dva prvky už rovné nule.

Algoritmus sa musí opakovať, kým sa neobjaví koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To znamená, že poslednýkrát bol algoritmus vykonaný iba pre nižšiu rovnicu. Teraz matica vyzerá ako trojuholník alebo má stupňovitý tvar. V spodnom riadku je rovnosť a mn × x n = b m. Koeficient a voľný člen sú známe a pomocou nich sa vyjadruje koreň: x n = b m /a mn. Výsledný koreň sa dosadí do horného riadku, aby sa zistilo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. A tak ďalej analogicky: v každom ďalšom riadku je nový koreň a po dosiahnutí „vrcholu“ systému môžete nájsť veľa riešení. Bude to jediné.

Keď neexistujú riešenia

Ak sa v jednom z riadkov matice všetky prvky okrem voľného člena rovnajú nule, potom rovnica zodpovedajúca tomuto riadku vyzerá ako 0 = b. Nemá to riešenie. A keďže takáto rovnica je zahrnutá v systéme, potom je množina riešení celého systému prázdna, to znamená, že je degenerovaná.

Keď existuje nekonečné množstvo riešení

Môže sa stať, že v danej trojuholníkovej matici nie sú riadky s jedným koeficientovým prvkom rovnice a jedným voľným členom. Existujú iba riadky, ktoré by po prepísaní vyzerali ako rovnica s dvoma alebo viacerými premennými. To znamená, že systém má nekonečné množstvo riešení. V tomto prípade môže byť odpoveď daná vo forme všeobecného riešenia. Ako to spraviť?

Všetky premenné v matici sú rozdelené na základné a voľné. Základné sú tie, ktoré stoja „na okraji“ riadkov v matici krokov. Ostatné sú zadarmo. Vo všeobecnom riešení sa základné premenné zapisujú cez voľné.

Pre pohodlie je matica najprv prepísaná späť do systému rovníc. Potom v poslednej z nich, kde presne ostala len jedna základná premenná, zostane na jednej strane a všetko ostatné sa prenesie na druhú. Toto sa robí pre každú rovnicu s jednou základnou premennou. Potom v zostávajúcich rovniciach, kde je to možné, sa namiesto základnej premennej dosadí pre ňu získaný výraz. Ak je výsledkom opäť výraz obsahujúci len jednu základnú premennú, je opäť vyjadrený odtiaľ atď., kým sa každá základná premenná nezapíše ako výraz s voľnými premennými. Toto je všeobecné riešenie SLAE.

Môžete tiež nájsť základné riešenie systému - zadajte voľným premenným ľubovoľné hodnoty a potom pre tento konkrétny prípad vypočítajte hodnoty základných premenných. Existuje nekonečné množstvo konkrétnych riešení, ktoré možno poskytnúť.

Riešenie s konkrétnymi príkladmi

Tu je systém rovníc.

Pre pohodlie je lepšie okamžite vytvoriť maticu

Je známe, že pri riešení Gaussovou metódou zostane rovnica zodpovedajúca prvému riadku na konci transformácií nezmenená. Preto bude výhodnejšie, ak bude ľavý horný prvok matice najmenší - potom sa prvé prvky zostávajúcich riadkov po operáciách zmenia na nulu. To znamená, že v zostavenej matici bude výhodné umiestniť druhý riadok na miesto prvého.

druhý riadok: k = (-a21/a11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

tretí riadok: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Teraz, aby ste sa nenechali zmiasť, musíte napísať maticu s medzivýsledkami transformácií.

Je zrejmé, že takáto matica môže byť pohodlnejšia na vnímanie pomocou určitých operácií. Môžete napríklad odstrániť všetky „mínusy“ z druhého riadku vynásobením každého prvku „-1“.

Za zmienku tiež stojí, že v treťom riadku sú všetky prvky násobkami troch. Potom môžete reťazec skrátiť o toto číslo vynásobením každého prvku "-1/3" (mínus - súčasne, aby sa odstránili záporné hodnoty).

Vyzerá oveľa krajšie. Teraz musíme nechať prvý riadok na pokoji a pracovať s druhým a tretím. Úlohou je pridať druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobený takým koeficientom, aby sa prvok a 32 rovnal nule.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ak sa pri niektorých transformáciách odpoveď neukáže ako celé číslo, odporúča sa zachovať presnosť výpočtov ponechať je „tak ako je“, vo forme obyčajných zlomkov a až potom, keď dostanete odpovede, sa rozhodnite, či sa má zaokrúhliť a previesť na inú formu záznamu)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matica sa znova zapíše s novými hodnotami.

Ako vidíte, výsledná matica už má stupňovitý tvar. Preto nie sú potrebné ďalšie transformácie systému pomocou Gaussovej metódy. Tu môžete odstrániť celkový koeficient "-1/7" z tretieho riadku.

Teraz je všetko krásne. Zostáva len napísať maticu znova vo forme systému rovníc a vypočítať korene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7r + 11z = 24 (2)

Algoritmus, ktorým sa teraz budú hľadať korene, sa v Gaussovej metóde nazýva spätný pohyb. Rovnica (3) obsahuje hodnotu z:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

A prvá rovnica nám umožňuje nájsť x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Máme právo nazývať takýto systém spoločným, a dokonca určitým, to znamená, že má jedinečné riešenie. Odpoveď je napísaná v nasledujúcom tvare:

x1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Príklad neistého systému

Variant riešenia určitej sústavy Gaussovou metódou bol analyzovaný, teraz je potrebné zvážiť prípad, ak je sústava neistá, teda možno pre ňu nájsť nekonečne veľa riešení.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 6 x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Už samotný vzhľad systému je alarmujúci, pretože počet neznámych je n = 5 a poradie matice systému je už presne menšie ako toto číslo, pretože počet riadkov je m = 4, tj. najväčšie poradie determinant-štvorca je 4. To znamená, že existuje nekonečné množstvo riešení a musíte hľadať jeho všeobecný vzhľad. Umožňuje vám to Gaussova metóda pre lineárne rovnice.

Najprv sa ako obvykle zostaví rozšírená matica.

Druhý riadok: koeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. V treťom riadku je prvý prvok pred transformáciami, takže sa nemusíte ničoho dotýkať, musíte to nechať tak, ako je. Štvrtý riadok: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Postupným vynásobením prvkov prvého riadku každým z ich koeficientov a ich pridaním do požadovaných riadkov získame maticu nasledujúceho tvaru:

Ako vidíte, druhý, tretí a štvrtý riadok pozostávajú z prvkov, ktoré sú navzájom proporcionálne. Druhý a štvrtý sú vo všeobecnosti identické, takže jeden z nich je možné okamžite odstrániť a zvyšný vynásobiť koeficientom „-1“ a získať riadok číslo 3. A opäť z dvoch rovnakých riadkov ponechajte jeden.

Výsledkom je takáto matica. Zatiaľ čo systém ešte nie je zapísaný, je tu potrebné určiť základné premenné - tie, ktoré stoja pri koeficientoch a 11 = 1 a a 22 = 1, a voľné - všetky ostatné.

V druhej rovnici je len jedna základná premenná - x 2. To znamená, že sa odtiaľ dá vyjadriť zápisom cez premenné x 3, x 4, x 5, ktoré sú voľné.

Výsledný výraz dosadíme do prvej rovnice.

Výsledkom je rovnica, v ktorej je jedinou základnou premennou x 1 . Urobme s tým to isté ako s x 2.

Všetky základné premenné, z ktorých sú dve, sú vyjadrené tromi voľnými, teraz môžete odpoveď napísať vo všeobecnej forme.

Môžete tiež zadať jedno z konkrétnych riešení systému. V takýchto prípadoch sa ako hodnoty pre voľné premenné zvyčajne vyberajú nuly. Potom bude odpoveď:

16, 23, 0, 0, 0.

Príklad nekooperatívneho systému

Riešenie nekompatibilných sústav rovníc pomocou Gaussovej metódy je najrýchlejšie. Okamžite končí, akonáhle sa v niektorej z fáz získa rovnica, ktorá nemá riešenie. To znamená, že fáza výpočtu koreňov, ktorá je dosť dlhá a únavná, odpadá. Do úvahy prichádza nasledujúci systém:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ako obvykle je matica zostavená:

A je zredukovaný na stupňovitú formu:

k1 = -2k2 = -4

Po prvej transformácii obsahuje tretí riadok rovnicu tvaru

bez riešenia. V dôsledku toho je systém nekonzistentný a odpoveďou bude prázdna množina.

Výhody a nevýhody metódy

Ak si vyberiete metódu riešenia SLAE na papieri perom, metóda, o ktorej sa hovorí v tomto článku, vyzerá najatraktívnejšie. Je oveľa ťažšie zmiasť sa v elementárnych transformáciách, ako keď musíte manuálne hľadať determinant alebo nejakú záludnú inverznú maticu. Ak však používate programy na prácu s údajmi tohto typu, napríklad tabuľky, potom sa ukazuje, že takéto programy už obsahujú algoritmy na výpočet hlavných parametrov matíc - determinant, vedľajšie, inverzné atď. A ak ste si istí, že stroj tieto hodnoty vypočíta sám a nebude robiť chyby, je vhodnejšie použiť maticovú metódu alebo Cramerove vzorce, pretože ich aplikácia začína a končí výpočtom determinantov a inverzných matíc. .

Aplikácia

Keďže Gaussovo riešenie je algoritmus a matica je v skutočnosti dvojrozmerné pole, možno ho použiť pri programovaní. Ale keďže sa článok stavia ako návod „pre figuríny“, malo by sa povedať, že najjednoduchšie miesto na začlenenie metódy sú tabuľky, napríklad Excel. Opäť platí, že každý SLAE zadaný do tabuľky vo forme matice bude Excel považovať za dvojrozmerné pole. A na operácie s nimi existuje veľa pekných príkazov: sčítanie (môžete sčítať iba matice rovnakej veľkosti!), násobenie číslom, násobenie matíc (aj s určitými obmedzeniami), hľadanie inverzných a transponovaných matíc a hlavne , výpočet determinantu. Ak je táto časovo náročná úloha nahradená jediným príkazom, je možné určiť hodnosť matice oveľa rýchlejšie, a teda určiť jej kompatibilitu alebo nekompatibilitu.

Gaussova metóda je teda použiteľná na akýkoľvek systém lineárnych rovníc, je ideálna na riešenie systémov obsahujúcich viac ako tri lineárne rovnice. Vzhľadom na jednoduchosť a jednotnosť vykonávaných operácií je Gaussova metóda riešenia SLAE s číselnými koeficientmi vhodná na výpočet na elektronických počítačoch.

Výhody metódy:

a) menej prácne v porovnaní s inými metódami;

b) umožňuje jednoznačne určiť, či je systém kompatibilný alebo nie, a ak je kompatibilný, nájsť jeho riešenie;

c) umožňuje nájsť maximálny počet lineárne nezávislých rovníc - hodnosť matice systému.

Významnou nevýhodou tejto metódy je neschopnosť formulovať podmienky konzistentnosti a jednoznačnosti systému v závislosti od hodnôt koeficientov a voľných členov. Na druhej strane ani v prípade konkrétneho systému táto metóda neumožňuje nájsť všeobecné vzorce vyjadrujúce riešenie systému prostredníctvom jeho koeficientov a voľných členov, ktoré sú potrebné pre teoretické štúdium.

Okrem analytického riešenia SLAE sa Gaussova metóda používa aj na:

a) nájdenie inverznej matice k danej (k matici vpravo sa priradí jednotková matica rovnakej veľkosti ako pôvodná, potom sa pomocou Gaussovej-Jordanovej metódy zredukuje na jednotkovú maticu). výsledkom je, že namiesto pôvodnej jednotkovej matice vpravo je matica inverzná k pôvodnej:) ;

b) určenie poradia matice (podľa dôsledkov Kronecker-Capelliho vety sa poradie matice rovná počtu jej hlavných premenných);

c) numerické riešenie SLAE vo výpočtovej technike (kvôli chybe výpočtu sa používa Gaussova metóda s výberom hlavného prvku, ktorej podstatou je zvoliť ako hlavnú premennú v každom kroku tú, pri ktorej sa medzi zostávajúce riadky a stĺpce po vymazaní je maximálny koeficient modulu).

Existujú aj iné metódy na riešenie a štúdium systémov lineárnych rovníc, ktoré nemajú uvedené nevýhody. Tieto metódy sú založené na teórii matíc a determinantov.

Kombinatorika.

Koľkými spôsobmi môžu traja chlapci - Almas, Bolat, Sabyr - stáť v jednom rade? - Nie je to ťažké, napíšme si všetky možné prípady (kombinácie): ABS, ASB, BAS, BSA, SAB, SBA. Celkovo existuje šesť kombinácií.

Povedzme, že sa k nim pridal ďalší chlapec Dauren. Aké budú spôsoby usporiadania v tomto prípade? V šiestich možných prípadoch môže byť Dauren prvý, druhý, tretí alebo posledný:

DABS, DASB, DBAS, DBSA, DSAB, DSBA;
ADBS, ADSB, BDAS, BDSA, SDAB, SDBA;
ABDS, ASDB, BADS, BSDA, SADB, SBDA;
ABSD, ASBD, BASD, BSAD, SABD, SBAD.

Celkovo existuje 24 rôznych spôsobov. Čo ak zvýšime počet detí? Je ťažké zakaždým zapísať a zobraziť celkový počet. Musíme definovať počet spôsobov, nie typy spôsobov. Existujú iné metódy na určenie tohto čísla? - Jedzte. A v teórii pravdepodobnosti nás viac zaujíma počet spôsobov usporiadania ako typy usporiadania. Odvetvie matematiky nazývané kombinatorika umožňuje okamžite určiť počet takýchto spôsobov. Zoznámime sa so základnými pojmami kombinatoriky potrebnými na riešenie problémov v teórii pravdepodobnosti. Sú to permutácie, umiestnenia a kombinácie. Pozrime sa na každý zvlášť.

1. Preskupenie. Zvážte počet prípadov v predchádzajúcom probléme. Preusporiadali sme písmená A, B, C a spočítali počet možných kombinácií, bolo to 6. A keď sa počet chlapcov zvýšil o jedno, preusporiadali písmená A, B, C, D, zistili sme počet možných kombinácií, bolo 24.

DEFINÍCIA. Permutácia n rôznych prvkov je kombinácia, ktorá pozostáva z n prvkov a líši sa od seba iba v poradí ich usporiadania.

Počet permutácií n rôznych prvkov je označený Pn a vypočíta sa pomocou vzorca:

tu n! (čítaj „en faktoriál“) znamená súčin všetkých prirodzených čísel od 1 do n:

Je jasné, že jeden faktoriál sa rovná jednej, 1! = 1, zároveň sa v matematike všeobecne uznáva, že nulový faktoriál sa rovná jednej. A tak 0! = 1.

Vráťme sa k príkladu. Tu n=3. Preto môžete požadovaný počet permutácií nájsť pomocou vzorca (1): P 3 =3!=1 2 3=6. Podobne je počet permutácií štyroch písmen: P 4 =4!=1 2 3 4=24

Príklad 7. Nájdite hodnotu výrazu s faktoriálmi 8!/6! 2!

Najprv transformujeme 8!=1 2 3 4 5 6 7 8=6! 7 8

Nahraďte túto transformáciu výrazom a zjednodušte ho. 8!/6! 2 = 6! 7 8/6! 2=7 8/2=28

2. Umiestnenia. Pozrime sa na príklad. Koľko dvojciferných čísel (číslice sa neopakujú) je možné zapísať pomocou čísel 7, 8, 9. Dá sa to urobiť v dvoch fázach: prvou fázou je určenie počtu výberom desiatok miest čísla, tj. rovná sa 3 (ktorákoľvek z týchto 3 číslic môže obsadiť miesto v desiatkach) ; druhá fáza je určenie počtu jednotiek výberu číslic čísla, ktorá sa rovná 2 (akákoľvek číslica zo zvyšných dvoch môže zaberať číslicu jednotky). Podľa pravidla násobenia môžete z troch čísel urobiť spolu 3 2 = 6 rôznych dvojciferných čísel. Naozaj si to overíte priamym zapísaním týchto čísel 78, 79, 87, 89, 97, 98. Pri riešení úlohy sme zoradili dva prvky z troch a tieto kombinácie sa líšia buď zložením (78, 98), resp. v poradí ich usporiadania ( 78, 87).

DEFINÍCIA. Usporiadanie n prvkov podľa m prvkov (m n) sú kombinácie pozostávajúce z m prvkov prevzatých z daných n rôznych prvkov, ktoré sa navzájom líšia buď prvkami samotnými alebo poradím ich usporiadania.

Počet umiestnení n prvkov na m prvkov je označený a znie takto: „A from en to em“. Na nájdenie použite vzorec:

(15)

Pozrime sa na ďalší príklad. V 5. ročníku sa učí 10 predmetov. Koľkými spôsobmi možno zostaviť rozvrh, ak sú v ten deň 4 rôzne lekcie?

Na zistenie počtu spôsobov usporiadania 10 položiek po štyroch položkách používame vzorec (15) na zistenie počtu usporiadaní 10 položiek po 4 položky:

Takže 10 položiek zo 4 položiek možno usporiadať 5040 rôznymi spôsobmi.

3. Kombinácie. Príklad. Z uvedených troch čísel 7, 8, 9 musíte vyrobiť produkty dvoch rôznych čísel.

Ak vezmeme do úvahy komutatívnu vlastnosť násobenia, máme: 7 8=56, 7 9=63, 8 9=72. Pri riešení úlohy sme vybrali dva prvky z troch, pričom tieto kombinácie sa líšia iba zložením (78, 98) a ich umiestnenie nemá vplyv na produkt.

DEFINÍCIA. Kombinácia n prvkov z m prvkov (m n) sú kombinácie pozostávajúce z m prvkov prevzatých z daných n rôznych prvkov, ktoré sa navzájom líšia iba zložením.

Počet kombinácií n prvkov s m prvkami sa označuje a číta takto: „tse od en po em“. Na nájdenie použite vzorec:

(16)

V našom príklade n=3 a m=2. Potom

Pozrime sa na ďalší príklad. V triede je 25 žiakov, z toho 12 chlapcov. a) Je potrebné vytvoriť povinnosť dvoch ľudí, pričom dvojice by mali pozostávať buď z chlapcov alebo dievčat. b) Koľko skupín môže byť vytvorených pre službu, zložených z dvoch chlapcov a jedného dievčaťa?

Riešenie. a) Pri riešení tejto úlohy použijeme pravidlo sčítania a kombinačný vzorec. Najprv spočítajme, koľko párov sa dá vytvoriť z chlapcov (m 1) a dievčat (m 2), potom nájdime ich súčet (m=m 1 +m 2).

Na určenie, koľko párov možno vytvoriť z 12 chlapcov, použijeme vzorec na počítanie kombinácií 12 prvkov 2 prvkov

Môžete vytvoriť 78 rôznych párov dievčat. Potom môžu dvaja chlapci a dve dievčatá vytvoriť celkom m=66+78=144 rôznych párov.

b) Pri riešení tejto úlohy použijeme pravidlo násobenia a kombinačný vzorec. V skupine sú dvaja chlapci a jedno dievča. Najprv spočítajme, koľkými spôsobmi môžeme vybrať dvoch chlapcov z 12 chlapcov (m 1) a jedno dievča z 13 dievčat (m 2), potom získané výsledky vynásobíme (m=m 1 m 2).
Z 12 chlapcov možno vybrať 2 chlapcov 66 rôznymi spôsobmi. A z 13 dievčat je možné vybrať 1 dievča takto:

Potom je možné rôznymi spôsobmi vytvoriť skupinu dvoch chlapcov a jedného dievčaťa m=66 13=856.

Definícia matice. Determinanty druhého a tretieho rádu, ich hlavné vlastnosti. Vedľajšie a algebraické sčítania, rozšírenie determinantu v rade (stĺpci). Metódy výpočtu determinantov. Pojem determinantu n-tého rádu.

Definícia 1.1. Matrix nazývaná obdĺžniková tabuľka čísel.

Označenia: A – matica, - prvok matice, číslo riadku, v ktorom sa tento prvok nachádza, číslo príslušného stĺpca; m je počet riadkov matice, n je počet jej stĺpcov.

Definícia 1.2. Volajú sa čísla m a n rozmery matice.

Definícia 1.3. Matica sa nazýva námestie, ak m = n. Číslo n sa v tomto prípade nazýva v poriadkuštvorcovú maticu.

Každá štvorcová matica môže byť spojená s číslom, ktoré je jednoznačne určené pomocou všetkých prvkov matice. Toto číslo sa nazýva determinant.

Definícia 1.4 . Determinant druhého rádu je číslo získané pomocou prvkov štvorcovej matice 2. rádu takto:

.

V tomto prípade sa od súčinu prvkov nachádzajúcich sa na takzvanej hlavnej uhlopriečke matice (od ľavého horného do pravého dolného rohu) odpočítava súčin prvkov umiestnených na druhej alebo sekundárnej uhlopriečke. .

1. 2.

Definícia 1.5. Determinant tretieho rádu je číslo určené pomocou prvkov štvorcovej matice 3. rádu takto:

A', volal transponované vzhľadom na matricu A, ktorého prvky sú spojené s prvkami A pomer a` ij = a ji .

Dnes sa pozrieme na Gaussovu metódu na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc. O tom, aké sú tieto systémy, si môžete prečítať v predchádzajúcom článku venovanom riešeniu rovnakých SLAE pomocou Cramerovej metódy. Gaussova metóda nevyžaduje žiadne špecifické znalosti, potrebujete len pozornosť a dôslednosť. Napriek tomu, že z matematického hľadiska postačuje na jej uplatnenie školská príprava, študenti často len ťažko zvládajú túto metódu. V tomto článku sa ich pokúsime zredukovať na nič!

Gaussova metóda

M Gaussova metóda– najuniverzálnejšia metóda riešenia SLAE (s výnimkou veľmi veľkých systémov). Na rozdiel od toho, čo bolo diskutované vyššie, je vhodný nielen pre systémy, ktoré majú jediné riešenie, ale aj pre systémy, ktoré majú nekonečný počet riešení. Tu sú tri možné možnosti.

1. Systém má jedinečné riešenie (determinant hlavnej matice systému sa nerovná nule);
2. Systém má nekonečné množstvo riešení;
3. Neexistujú žiadne riešenia, systém je nekompatibilný.

Máme teda systém (nech má jedno riešenie) a ideme ho riešiť pomocou Gaussovej metódy. Ako to funguje?

Gaussova metóda pozostáva z dvoch etáp – doprednej a inverznej.

Priamy ťah Gaussovej metódy

Najprv si zapíšme rozšírenú maticu systému. Ak to chcete urobiť, pridajte stĺpec voľných členov do hlavnej matice.

Celá podstata Gaussovej metódy je priviesť túto maticu do stupňovitého (alebo, ako sa tiež hovorí, trojuholníkového) tvaru pomocou elementárnych transformácií. V tejto forme by pod (alebo nad) hlavnou uhlopriečkou matice mali byť iba nuly.

Čo môžeš urobiť:

1. Môžete zmeniť usporiadanie riadkov matice;
2. Ak sú v matici rovnaké (alebo proporcionálne) riadky, môžete odstrániť všetky okrem jedného;
3. Reťazec môžete násobiť alebo deliť ľubovoľným číslom (okrem nuly);
4. Nulové riadky sú odstránené;
5. K reťazcu môžete pripojiť reťazec vynásobený číslom iným ako nula.

Reverzná Gaussova metóda

Potom, čo takto transformujeme systém, jedna neznáma Xn sa stane známym a všetky zostávajúce neznáme môžete nájsť v opačnom poradí, dosadením už známych x do rovníc systému až po prvé.

Keď je internet vždy po ruke, môžete vyriešiť sústavu rovníc pomocou Gaussovej metódy online. Koeficienty stačí zadať do online kalkulačky. Ale musíte uznať, že je oveľa príjemnejšie uvedomiť si, že príklad nevyriešil počítačový program, ale váš vlastný mozog.

Príklad riešenia sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy

A teraz - príklad, aby bolo všetko jasné a zrozumiteľné. Nech je daný systém lineárnych rovníc a musíte ho vyriešiť pomocou Gaussovej metódy:

Najprv napíšeme rozšírenú maticu:

Teraz urobme premeny. Pamätáme si, že potrebujeme dosiahnuť trojuholníkový vzhľad matrice. Vynásobme 1. riadok (3). Vynásobte 2. riadok (-1). Pridajte 2. riadok k 1. a získajte:

Potom vynásobte 3. riadok (-1). Pridajme 3. riadok k 2.:

Vynásobme 1. riadok (6). Vynásobme 2. riadok (13). Pridajme 2. riadok k 1.:

Voila - systém je uvedený do vhodnej formy. Zostáva nájsť neznáme:

Systém v tomto príklade má jedinečné riešenie. Riešením systémov s nekonečným počtom riešení sa budeme venovať v samostatnom článku. Možno zo začiatku nebudete vedieť, kde začať s transformáciou matrixu, ale po vhodnom precvičení to pochopíte a rozlúsknete SLAE Gaussovou metódou ako orechy. A ak zrazu narazíte na SLA, ktorá sa ukáže ako príliš tvrdý oriešok, kontaktujte našich autorov! môžete zanechať žiadosť v korešpondenčnom úrade. Spolu vyriešime akýkoľvek problém!

Gaussova metóda ideálne na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE). V porovnaní s inými metódami má niekoľko výhod:

• po prvé, nie je potrebné najprv skúmať konzistenciu systému rovníc;
• po druhé, Gaussova metóda dokáže riešiť nielen SLAE, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych premenných a hlavná matica systému je nesingulárna, ale aj sústavy rovníc, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počet neznámych premenných alebo determinant hlavnej matice sa rovná nule;
• po tretie, Gaussova metóda vedie k výsledkom s relatívne malým počtom výpočtových operácií.

Stručný prehľad článku.

Najprv uvedieme potrebné definície a zavedieme notácie.

Ďalej popíšeme algoritmus Gaussovej metódy pre najjednoduchší prípad, teda pre sústavy lineárnych algebraických rovníc, počet rovníc, v ktorých sa zhoduje s počtom neznámych premenných a determinantom hlavnej matice sústavy je nerovná sa nule. Pri riešení takýchto sústav rovníc je najzreteľnejšie viditeľná podstata Gaussovej metódy, ktorou je postupná eliminácia neznámych premenných. Preto sa Gaussova metóda nazýva aj metóda postupnej eliminácie neznámych. Ukážeme si podrobné riešenia niekoľkých príkladov.

Na záver zvážime riešenie Gaussovou metódou systémov lineárnych algebraických rovníc, ktorých hlavná matica je buď pravouhlá alebo singulárna. Riešenie takýchto systémov má niektoré vlastnosti, ktoré podrobne preskúmame na príkladoch.

Navigácia na stránke.

Základné definície a zápisy.

Uvažujme sústavu p lineárnych rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n):

Kde sú neznáme premenné, sú čísla (reálne alebo komplexné) a sú voľné pojmy.

Ak , potom sa nazýva sústava lineárnych algebraických rovníc homogénne, inak - heterogénne.

Nazýva sa množina hodnôt neznámych premenných, pre ktoré sa všetky rovnice systému stávajú identitami rozhodnutie SLAU.

Ak existuje aspoň jedno riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc, potom sa nazýva kĺb, inak - nezlučiteľné.

Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý. Ak existuje viac riešení, potom sa volá systém neistý.

Hovoria, že systém je napísaný v súradnicový formulár, ak má formu
.

Tento systém v matricový formulár záznamov má tvar , kde - hlavná matica SLAE, - matica stĺpca neznámych premenných, - matica voľných členov.

Ak k matici A pridáme maticu-stĺpec voľných členov ako (n+1)-tý stĺpec, dostaneme tzv. rozšírená matica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných výrazov je oddelený zvislou čiarou od zostávajúcich stĺpcov, tj.

Štvorcová matica A sa nazýva degenerovať, ak je jeho determinant nula. Ak , potom sa volá matica A nedegenerované.

Treba poznamenať nasledujúci bod.

Ak vykonáte nasledujúce akcie so systémom lineárnych algebraických rovníc

• vymeniť dve rovnice,
• vynásobte obe strany akejkoľvek rovnice ľubovoľným a nenulovým reálnym (alebo komplexným) číslom k,
• k obom stranám akejkoľvek rovnice pridajte zodpovedajúce časti inej rovnice vynásobené ľubovoľným číslom k,

potom dostanete ekvivalentný systém, ktorý má rovnaké riešenia (alebo rovnako ako ten pôvodný nemá žiadne riešenia).

Pre rozšírenú maticu systému lineárnych algebraických rovníc budú tieto akcie znamenať vykonanie elementárnych transformácií s riadkami:

• výmena dvoch riadkov,
• vynásobením všetkých prvkov ľubovoľného radu matice T nenulovým číslom k,
• pridanie k prvkom ľubovoľného riadku matice zodpovedajúcich prvkov iného riadku, vynásobené ľubovoľným číslom k.

Teraz môžeme pristúpiť k popisu Gaussovej metódy.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych a hlavná matica sústavy je nesingulárna, pomocou Gaussovej metódy.

Čo by sme robili v škole, keby sme dostali za úlohu nájsť riešenie sústavy rovníc? .

Niektorí by to urobili.

Všimnite si, že pridaním ľavej strany prvej k ľavej strane druhej rovnice a pravej strany k pravej strane sa môžete zbaviť neznámych premenných x 2 a x 3 a okamžite nájsť x 1:

Nájdenú hodnotu x 1 =1 dosadíme do prvej a tretej rovnice sústavy:

Ak obe strany tretej rovnice sústavy vynásobíme -1 a pripočítame ich k príslušným častiam prvej rovnice, zbavíme sa neznámej premennej x 3 a môžeme nájsť x 2:

Výslednú hodnotu x 2 = 2 dosadíme do tretej rovnice a nájdeme zvyšnú neznámu premennú x 3:

Iní by postupovali inak.

Vyriešme prvú rovnicu systému vzhľadom na neznámu premennú x 1 a dosadíme výsledný výraz do druhej a tretej rovnice systému, aby sme z nich túto premennú vylúčili:

Teraz vyriešme druhú rovnicu systému pre x 2 a získaný výsledok dosadíme do tretej rovnice, aby sme z nej odstránili neznámu premennú x 2:

Z tretej rovnice sústavy je zrejmé, že x 3 =3. Z druhej rovnice zistíme a z prvej rovnice dostaneme .

Známe riešenia, však?

Najzaujímavejšie tu je, že druhá metóda riešenia je v podstate metóda postupnej eliminácie neznámych, teda Gaussova metóda. Keď sme vyjadrili neznáme premenné (najprv x 1, v ďalšom štádiu x 2) a dosadili ich do zvyšných rovníc systému, tým sme ich vylúčili. Eliminovali sme dovtedy, kým v poslednej rovnici nezostala iba jedna neznáma premenná. Proces postupného odstraňovania neznámych sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení pohybu vpred máme možnosť vypočítať neznámu premennú zistenú v poslednej rovnici. S jeho pomocou nájdeme ďalšiu neznámu premennú z predposlednej rovnice atď. Proces postupného hľadania neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice k prvej sa nazýva inverzná ku Gaussovej metóde.

Je potrebné poznamenať, že keď vyjadríme x 1 ako x 2 a x 3 v prvej rovnici a potom dosadíme výsledný výraz do druhej a tretej rovnice, nasledujúce akcie vedú k rovnakému výsledku:

Takýto postup tiež umožňuje eliminovať neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice systému:

Nuansy s elimináciou neznámych premenných pomocou Gaussovej metódy vznikajú vtedy, keď rovnice systému neobsahujú nejaké premenné.

Napríklad v SLAU v prvej rovnici nie je neznáma premenná x 1 (inými slovami, koeficient pred ňou je nula). Preto nemôžeme vyriešiť prvú rovnicu systému pre x 1, aby sme túto neznámu premennú odstránili zo zostávajúcich rovníc. Východiskom z tejto situácie je výmena rovníc systému. Keďže uvažujeme o sústavách lineárnych rovníc, ktorých determinanty hlavných matíc sú odlišné od nuly, vždy existuje rovnica, v ktorej je prítomná premenná, ktorú potrebujeme, a túto rovnicu môžeme preusporiadať do polohy, ktorú potrebujeme. Pre náš príklad stačí prehodiť prvú a druhú rovnicu sústavy , potom môžete vyriešiť prvú rovnicu pre x 1 a vylúčiť ju zo zostávajúcich rovníc systému (hoci x 1 už nie je prítomný v druhej rovnici).

Dúfame, že pochopíte podstatu.

Poďme popísať Algoritmus Gaussovej metódy.

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť systém n lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými tvaru , a nech je determinant jeho hlavnej matice odlišný od nuly.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Vylúčme neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Aby sme to dosiahli, do druhej rovnice systému pridáme prvú, vynásobenú , do tretej rovnice pridáme prvú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme prvú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výslednej sústavy, ktorá je vyznačená na obrázku

Aby sme to dosiahli, do tretej rovnice systému pridáme druhú, vynásobenú , do štvrtej rovnice pridáme druhú, vynásobenú , atď., K n-tej rovnici pridáme druhú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a . Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom podobne postupujeme aj s časťou sústavy označenou na obrázku

Pokračujeme teda v priamom postupe Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname obrátene Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n nájdeme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Z prvej rovnice nájdeme x 1 .

Pozrime sa na algoritmus na príklade.

Príklad.

Gaussova metóda.

Riešenie.

Koeficient a 11 je nenulový, takže pristúpme k priamej progresii Gaussovej metódy, teda k vylúčeniu neznámej premennej x 1 zo všetkých rovníc systému okrem prvej. Ak to chcete urobiť, na ľavú a pravú stranu druhej, tretej a štvrtej rovnice pridajte ľavú a pravú stranu prvej rovnice, vynásobené , resp. a:

Neznáma premenná x 1 bola eliminovaná, prejdime k eliminácii x 2 . K ľavej a pravej strane tretej a štvrtej rovnice systému pridáme ľavú a pravú stranu druhej rovnice, vynásobené A :

Aby sme dokončili doprednú progresiu Gaussovej metódy, musíme z poslednej rovnice systému odstrániť neznámu premennú x 3. Pridajme k ľavej a pravej strane štvrtej rovnice, respektíve k ľavej a pravej strane tretej rovnice, vynásobené :

Môžete začať naopak Gaussovej metódy.

Z poslednej rovnice, ktorú máme ,
z tretej rovnice dostaneme,
z druhej,
z toho prvého.

Pre kontrolu môžete získané hodnoty neznámych premenných dosadiť do pôvodného systému rovníc. Všetky rovnice sa menia na identity, čo naznačuje, že riešenie pomocou Gaussovej metódy bolo nájdené správne.

odpoveď:

Teraz dajme riešenie rovnakého príkladu pomocou Gaussovej metódy v maticovom zápise.

Príklad.

Nájdite riešenie sústavy rovníc Gaussova metóda.

Riešenie.

Rozšírená matica systému má tvar . V hornej časti každého stĺpca sú neznáme premenné, ktoré zodpovedajú prvkom matice.

Priamy prístup Gaussovej metódy tu zahŕňa redukciu rozšírenej matice systému do lichobežníkového tvaru pomocou elementárnych transformácií. Tento proces je podobný eliminácii neznámych premenných, ktoré sme robili so systémom v súradnicovej forme. Teraz to uvidíte.

Transformujme maticu tak, aby všetky prvky v prvom stĺpci, počnúc druhým, boli nulové. Aby sme to dosiahli, k prvkom druhého, tretieho a štvrtého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku vynásobené , a podľa toho:

Potom transformujeme výslednú maticu tak, aby sa v druhom stĺpci všetky prvky, počnúc tretím, stali nulovými. To by zodpovedalo eliminácii neznámej premennej x 2 . Aby sme to dosiahli, k prvkom tretieho a štvrtého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku matice, vynásobené resp. A :

Zostáva vylúčiť neznámu premennú x 3 z poslednej rovnice systému. Aby sme to dosiahli, k prvkom posledného riadku výslednej matice pridáme zodpovedajúce prvky predposledného riadku, vynásobené :

Treba poznamenať, že táto matica zodpovedá systému lineárnych rovníc

ktorý bol získaný skôr po pohybe vpred.

Je čas obrátiť sa späť. V maticovom zápise inverzná metóda ku Gaussovej metóde zahŕňa transformáciu výslednej matice tak, aby matica označená na obrázku

sa stal diagonálnym, to znamená, že nadobudol formu

kde sú nejaké čísla.

Tieto transformácie sú podobné dopredným transformáciám Gaussovej metódy, ale nevykonávajú sa od prvého riadku po posledný, ale od posledného po prvý.

Pridajte k prvkom tretieho, druhého a prvého riadku zodpovedajúce prvky posledného riadku, vynásobené , ďalej a ďalej v tomto poradí:

Teraz pridajte k prvkom druhého a prvého riadku zodpovedajúce prvky tretieho riadku, vynásobené, resp.

V poslednom kroku reverznej Gaussovej metódy k prvkom prvého riadku pridáme zodpovedajúce prvky druhého radu, vynásobené:

Výsledná matica zodpovedá sústave rovníc , odkiaľ nájdeme neznáme premenné.

odpoveď:

POZNÁMKA.

Pri použití Gaussovej metódy na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc sa treba vyhnúť približným výpočtom, pretože to môže viesť k úplne nesprávnym výsledkom. Odporúčame nezaokrúhľovať desatinné miesta. Je lepšie prejsť z desatinných zlomkov na bežné zlomky.

Príklad.

Riešte sústavu troch rovníc pomocou Gaussovej metódy .

Riešenie.

Všimnite si, že v tomto príklade majú neznáme premenné iné označenie (nie x 1, x 2, x 3, ale x, y, z). Prejdime k obyčajným zlomkom:

Vylúčme neznáme x z druhej a tretej rovnice systému:

Vo výslednom systéme neznáma premenná y chýba v druhej rovnici, ale y je prítomná v tretej rovnici, preto prehoďme druhú a tretiu rovnicu:

Tým sa dokončí priama postupnosť Gaussovej metódy (nie je potrebné vylúčiť y z tretej rovnice, pretože táto neznáma premenná už neexistuje).

Začnime spätný pohyb.

Z poslednej rovnice zistíme ,
od predposledného


z prvej rovnice, ktorú máme

odpoveď:

X = 10, y = 5, z = -20.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych alebo hlavná matica sústavy je singulárna, pomocou Gaussovej metódy.

Sústavy rovníc, ktorých hlavná matica je pravouhlá alebo štvorcová singulárna, nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo môžu mať nekonečný počet riešení.

Teraz pochopíme, ako nám Gaussova metóda umožňuje stanoviť kompatibilitu alebo nekonzistenciu sústavy lineárnych rovníc av prípade jej kompatibility určiť všetky riešenia (alebo jedno riešenie).

Proces eliminácie neznámych premenných v prípade takýchto SLAE zostáva v zásade rovnaký. Je však potrebné podrobne uviesť niektoré situácie, ktoré môžu nastať.

Prejdime k najdôležitejšej fáze.

Predpokladajme teda, že systém lineárnych algebraických rovníc po dokončení doprednej progresie Gaussovej metódy nadobudne tvar a ani jedna rovnica nebola zredukovaná (v tomto prípade by sme dospeli k záveru, že systém je nekompatibilný). Vynára sa logická otázka: „Čo ďalej“?

Zapíšme si neznáme premenné, ktoré sú na prvom mieste vo všetkých rovniciach výsledného systému:

V našom príklade sú to x 1, x 4 a x 5. Na ľavých stranách rovníc sústavy necháme len tie členy, ktoré obsahujú zapísané neznáme premenné x 1, x 4 a x 5, zvyšné členy sa prenesú na pravú stranu rovníc s opačným znamienkom:

Neznámym premenným, ktoré sú na pravej strane rovníc, dajme ľubovoľné hodnoty, kde - ľubovoľné čísla:

Potom pravé strany všetkých rovníc našej SLAE obsahujú čísla a môžeme pristúpiť k obrátenej Gaussovej metóde.

Z poslednej rovnice sústavy, ktorú máme, z predposlednej rovnice, ktorú nájdeme, z prvej rovnice dostaneme

Riešením systému rovníc je množina hodnôt neznámych premenných

Dávať čísla rôzne hodnoty, získame rôzne riešenia sústavy rovníc. To znamená, že náš systém rovníc má nekonečne veľa riešení.

odpoveď:

Kde - ľubovoľné čísla.

Na konsolidáciu materiálu podrobne rozoberieme riešenia niekoľkých ďalších príkladov.

Príklad.

Vyriešte homogénny systém lineárnych algebraických rovníc Gaussova metóda.

Riešenie.

Vylúčme neznámu premennú x z druhej a tretej rovnice systému. Aby sme to dosiahli, na ľavú a pravú stranu druhej rovnice pridáme ľavú a pravú stranu prvej rovnice, vynásobené , a na ľavú a pravú stranu tretej rovnice pridáme ľavú a pravé strany prvej rovnice, vynásobené:

Teraz vylúčme y z tretej rovnice výsledného systému rovníc:

Výsledný SLAE je ekvivalentný systému .

Na ľavej strane systémových rovníc ponecháme len členy obsahujúce neznáme premenné x a y a členy s neznámou premennou z presunieme na pravú stranu: