Hlavná podmienka stability automatických riadiacich systémov. Vplyv parametrov samohybného dela na jeho stabilitu

Sledovací systém (obr. 1.14, a) je v rovnovážnom stave, keď jeho chyba môže byť stabilná alebo nestabilná. Ak sa po nejakej zmene hnacej sily (pootočenie hnacieho hriadeľa o uhol) systém v dôsledku tlmeného prechodového procesu (obr. 2.1, a, b) vráti do rovnovážneho stavu, potom tento rovnovážny stav je stabilný a sústava sa nazýva stabilná, keď po miernej zmene hnacej sily (odchýlenie sústavy od rovnovážneho stavu) sústava neinklinuje k pôvodnému rovnovážnemu stavu, ale k netlmenému kmitaniu sústavy. vznikajú v ňom regulované veličiny (obr. 2.1, c, d) alebo zmena bude nezávislá od toho, že rovnovážny stav v tomto systéme je nestabilný a systém sa nazýva nestabilný.

Vizuálne znázornenie stabilných a nestabilných rovnovážnych stavov je dané uvažovaním systému guľôčkový povrch. Guľa umiestnená v priehlbine (obr. 3.1, a) je v stabilnom rovnovážnom stave, pretože po jej vychýlení pod vplyvom vonkajšieho vplyvu sa vráti do pôvodného stavu. Systém guľôčkovej plochy je stabilný. Guľa, ktorá sa nachádza v najvyššom bode kopca (obr., je v nestabilnej rovnovážnej polohe: mierna odchýlka od

Ryža. 3.1. Ku koncepcii stability rovnovážnych stavov systému guľa-plocha: a - stabilný stav; b - nestabilný stav; c - stav, ktorý je stabilný pre malé a nestabilný pre veľké odchýlky.

v tomto stave sa lopta bude kotúľať po svahu povrchu a nevráti sa do svojej pôvodnej polohy. Uvažovaný systém je nestabilný.

Stabilita je teda chápaná ako vlastnosť systému vrátiť sa do predchádzajúceho rovnovážneho stavu po jeho odstránení z tohto stavu a zastavení zmeny majstra alebo vplyvu rušivého vplyvu.

Funkčný je len stabilný systém. Preto jednou z hlavných úloh teórie automatického riadenia je štúdium stability automatických riadiacich systémov. Základy rigoróznej teórie stability dynamických systémov vypracoval akad. A. M. Lyapunov vo svojej práci „Všeobecný problém stability pohybu“ (1892). Koncepty udržateľnosti, ktoré vychádzajú z tejto práce, sú nasledovné.

Ak je systém opísaný lineárnou diferenciálnou rovnicou, potom jeho stabilita nezávisí od veľkosti poruchy. Lineárny systém, ktorý je stabilný pri malých poruchách, bude stabilný aj pri veľkých. Nelineárne systémy môžu byť stabilné pri malých poruchách a nestabilné pri veľkých poruchách. Príkladom takéhoto nelineárneho systému sú nástenné hodiny. Ak sa na stacionárne kyvadlo zatlačí slabý tlak, kyvadlo sa po niekoľkých výkyvoch zastaví, t.j. systém je stabilný aj pri malých poruchách. Ak dostane kyvadlo silnejší impulz, potom posledné navinuté hodiny začnú vykonávať netlmené kmity. V dôsledku toho je systém pri veľkých poruchách nestabilný. Jasná predstava o nelineárnych systémoch, ktoré sú stabilné pri malých a nestabilných pri veľkých poruchách, je daná zvážením gule umiestnenej v priehlbine umiestnenej v hornej časti konvexného telesa (obr. 3.1, c). Pri malých odchýlkach nepresahujúcich okraj priehlbiny sa gulička vráti do svojej pôvodnej polohy, t.j. systém gulička-plocha je stabilný. Ak sa odchýli za okraj priehlbiny, gulička sa nevráti do pôvodnej polohy – systém je nestabilný. Preto sa pre nelineárne systémy stabilita študuje oddelene pre prípad malých porúch, t. j. stabilita v malých a stabilita pri veľkých poruchách, t. j. stabilita vo veľkých.

Podľa Ljapunovovej vety možno stabilitu nelineárnych systémov pri malých poruchách posudzovať podľa ich linearizovaných rovníc, ktoré celkom presne popisujú správanie systémov pri malých odchýlkach od rovnovážneho stavu. Na určenie stability nelineárnych systémov pri veľkých poruchách je potrebné použiť pôvodné rovnice nelineárnej dynamiky. Vo väčšine praktických prípadov sa systémy, ktoré sú stabilné pre malé odchýlky, ukážu ako stabilné aj pre pomerne veľké odchýlky možné počas prevádzky, a preto je možné otázku stability týchto systémov vyriešiť na základe štúdia linearizovaných rovníc.

Problém stability zvyčajne vzniká v uzavretých automatických riadiacich systémoch vplyvom spätnej väzby. Preto sa v budúcnosti stabilita študuje na príkladoch uzavretých systémov, hoci metódy na štúdium stability sú univerzálne.

Stabilita automatického riadiaceho systému je jednou z najdôležitejších charakteristík systému, pretože výkon systému závisí od toho. Systém, ktorému chýba stabilita, nedokáže efektívne vyriešiť problém s ovládaním. Nedostatok stability môže viesť aj k zničeniu samotného systému počas procesu riadenia alebo zničeniu objektu riadenia, preto je použitie nestabilných systémov nevhodné.

Stabilita automatického riadiaceho systému - je to vlastnosť vzduchového systému

otočiť do počiatočného stavu rovnováhy po zániku vplyvu, ktorý priviedol systém do stavu počiatočnej rovnováhy.

Príkladom stabilných a nestabilných systémov je systém gule umiestnenej na konkávnom a konvexnom povrchu, znázornený na obrázku 60.

Obr.60. Príklady systémov: a) stabilné; b) nestabilné

Na obrázku 60a sa guľa umiestnená na konkávnom povrchu a posunutá do strany určitou silou vráti do svojej pôvodnej rovnovážnej polohy po skončení vonkajšieho vplyvu. Pri absencii trenia na povrchu alebo jeho minimálnej hodnoty bude loptička vykonávať krátke oscilácie okolo rovnovážnej polohy až do návratu do pôvodnej rovnovážnej polohy (krivka 1 - tlmený oscilačný proces). Pri veľkom trení sa loptička vráti do počiatočnej rovnovážnej polohy bez oscilácií (krivka 2 - aperiodický proces). Ak je hodnota trenia veľmi veľká, gulička sa nemusí vrátiť do počiatočnej rovnovážnej polohy (krivka 3), ale vráti sa do oblasti blízkej rovnovážnej polohe. V posudzovanom prípade ide o stabilný systém. V stabilných automatických riadiacich systémoch sa vyskytujú podobné prechodné procesy (tlmené oscilačné a aperiodické).

Na obrázku 60b sa gulička umiestnená na konvexnom povrchu a posunutá do strany určitou silou nevráti do počiatočnej rovnovážnej polohy (krivka 4), takže systém je nestabilný. V nestabilných systémoch prebiehajú prechodné procesy vo forme divergentných oscilácií (krivka 5) alebo aperiodických (krivka 4).

Nestabilita ACS spravidla vzniká v dôsledku veľmi silného spätného účinku. Príčinou dynamickej nestability sú zvyčajne výrazné zotrvačné charakteristiky článkov systému s uzavretou slučkou, vďaka ktorým spätnoväzbový signál v oscilačnom režime natoľko zaostáva za vstupným signálom, že je s ním vo fáze. Ukazuje sa, že charakter negatívnej spätnej väzby preberá charakter

pozitívne.

Vytvorme matematický popis stability a nestability. Keďže stabilita systému závisí len od povahy jeho voľného pohybu, tento voľný pohyb systému možno opísať homogénnou diferenciálnou rovnicou:

charakteristická rovnica, ktorá bude reprezentovaná nasledujúcim výrazom:

Uveďme všeobecné riešenie homogénnej diferenciálnej rovnice (2.19.) v tomto tvare:

Kde C k – konštanty v závislosti od počiatočných podmienok, p k sú koreňmi charakteristickej rovnice.

Korene charakteristickej rovnice môžu byť zložité ( p k = α k ± jβ k ), platné ( p k = α k ) alebo imaginárny ( p k = jβ k ). Komplexné korene sú vždy párovo konjugované, t.j. ak existuje koreň rovnice s kladnou imaginárnou časťou, potom určite bude existovať koreň s rovnakou absolútnou hodnotou, ale so zápornou imaginárnou časťou. y(t) pri t → ∞ od (2.21.) bude mať tendenciu k nule len vtedy, keď každý člen S k e p k t → 0. Povaha tejto funkcie bude závisieť od typu koreňa. Možné prípady umiestnenia koreňa p k na komplexnej rovine a im zodpovedajúce funkcie y(t) = Cep kt sú zobrazené na obrázku 61. Vzhľad funkcií je znázornený vo vnútri elipsy.

Obr.61. Vplyv umiestnenia koreňov charakteristickej rovnice na

komponenty voľného pohybu systému

Obrázok 61 ukazuje, že ak každý skutočný koreň p k= α k pre výraz (2.21.) bude výraz zodpovedať:

yk(t) = Ckeα k t(2.22.)

potom o α až< 0 (koreň p 1) funkcia pri t→ ∞ bude mať tendenciu k nule, keď a k > 0 (koreň p 3 ) funkcia sa zvýši bez obmedzenia a kedy a k = 0 (koreň p 2) funkcia zostane konštantná.

Ak má charakteristická rovnica komplexné korene, potom každý pár združených komplexných koreňov p k, k+1 = α k ± jβ k , budú im zodpovedať dva pojmy, ktoré možno kombinovať a reprezentovať ako nasledujúci výraz:

Táto funkcia je sínusoida s exponenciálne meniacou sa amplitúdou a frekvenciou β k . Pre negatívnu skutočnú časť dvoch zložitých koreňov a k, k+1< 0 , (korene p 4 A p5 ) oscilačná zložka funkcie sa rozpadne a s kladnou reálnou časťou a k, k+1 > 0 , (korene p 8 A p 9 ) amplitúda kmitov sa bude neobmedzene zvyšovať. Pri absencii skutočnej časti zložitých koreňov a k, k+1 = 0 (korene p 6 A p7 ), t.j. v prítomnosti iba imaginárnych koreňov bude funkciou súvislá sínusoida s frekvenciou β k .

Ak vychádzame z definície stability, ak sa za počiatočnú rovnovážnu polohu berie nula, tak pre stabilné systémy by hodnota výstupného parametra mala časom smerovať k nule, t.j. systém sa sám vráti do svojej rovnovážnej polohy. Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou na to je, že všetky členy riešenia diferenciálnej rovnice (2.21.) majú časom tendenciu k nule, čo sa dá dosiahnuť zápornými reálnymi koreňmi rovnice a komplexné korene musia mať zápornú reálnu časť. Existencia aspoň jedného kladného reálneho koreňa alebo dvojice komplexných koreňov s kladnou reálnou časťou povedie k tomu, že hodnota výstupného parametra systému sa nevráti na pôvodnú hodnotu, t.j. systém bude nestabilný.

Analýzou umiestnenia koreňov charakteristickej rovnice v komplexnej rovine, znázornenej na obrázku 62, si možno všimnúť, že ACS je stabilný, ak sú všetky korene charakteristickej rovnice v ľavej polrovine a všetky sú záporné reálne alebo komplex s negatívnou reálnou časťou. Prítomnosť aspoň jedného koreňa v pravej polrovine bude charakterizovať nestabilitu systému.

Stabilita systému je vnútornou vlastnosťou systému, závisí len od typu koreňov charakteristickej rovnice, ktorá popisuje vlastnosti systému, a nezávisí od vonkajších vplyvov. Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou stability sústavy je poloha všetkých koreňov rovnice v ľavej (zápornej) polrovine.

Kladná a záporná polrovina, v ktorej sa nachádzajú kladné alebo záporné korene charakteristickej rovnice, zabezpečujúce stabilitu alebo nestabilitu systému, sú oddelené pomyselnou osou ± jp . Táto os je hranicou stability, teda ak má charakteristická rovnica jeden pár čisto imaginárnych koreňov p k, k+1 =± jβ k , a ostatné korene sú v zápornej polrovine, potom je systém charakterizovaný prítomnosťou netlmených kmitov s frekvenciou ω = β k. Všeobecne sa uznáva, že v tomto prípade je systém na hranica oscilačnej stability .

Bodka β = 0 na pomyselnej osi zodpovedá nulovému koreňu. Rovnica, ktorá má jeden nulový koreň, sa považuje za at limit aperiodickej stability a v prítomnosti dvoch nulových koreňov je systém nestabilný.

Obr.62. Umiestnenie koreňov charakteristickej rovnice stabilného systému na

komplexná rovina

Nezabudnite, že rovnice takmer všetkých skutočných automatických riadiacich systémov nie sú lineárne, ale sú redukované na lineárne rovnice pomocou linearizácie, preto predpoklady vykonané počas linearizácie môžu ovplyvniť správnosť určenia stability systému.

A. M. Lyapunov v roku 1892 vo svojej práci „Všeobecný problém stability pohybu“ poskytol dôkaz teorému, v ktorom boli urobené nasledujúce závery pre linearizované rovnice:

1. Ak sú všetky skutočné korene charakteristickej rovnice systému záporné, potom sa systém považuje za stabilný.

2. Ak je aspoň jeden reálny koreň charakteristickej rovnice systému kladný, potom sa systém považuje za nestabilný.

3. Ak má charakteristická rovnica linearizovaného systému aspoň jeden nulový koreň alebo jeden pár imaginárnych koreňov, potom z linearizovanej rovnice nemožno posúdiť stabilitu reálneho systému.

Následne je potrebné urobiť záver o stabilite reálnych systémov na základe analýzy pôvodnej nelineárnej rovnice a na určenie nestability alebo stability systému bude postačujúce identifikovať pozitivitu (negativitu) reálnych koreňov charakteristickú rovnicu.

Kritériá trvalej udržateľnosti vymenovať určité pravidlá, podľa ktorých sa v teórii automatického riadenia určujú znamienka koreňov charakteristickej rovnice bez jej riešenia. Existujú algebraické a frekvenčné kritériá stability.

Algebraické kritériá stabilita systému je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou, aby korene boli pre určité hodnoty koeficientov v charakteristickej rovnici záporné.

Frekvenčné kritériá stability systému sa zistila závislosť stability systému od tvaru frekvenčných charakteristík systému.

Stabilita je schopnosť systému vrátiť sa do nominálneho režimu, ak sa z nejakého dôvodu odchýli od tohto režimu.

Požiadavky na stabilitu sú povinné pre všetky samohybné delá.

Prísnu definíciu udržateľnosti dal A.M. Lyapunov vo svojej práci „Všeobecný problém stability pohybu“ (koniec 19. storočia)

Nech je dynamika systému opísaná rovnicou

r - výstupná hodnota

X- vstupné množstvo

r ( i ) , X ( j ) - deriváty.

Predpokladajme, že tento systém má nominálny prevádzkový režim pri n (t), ktorý je jednoznačne určený nominálnym vstupným vplyvom X n (t) a nominálne počiatočné podmienky.

(2)

Keďže nominálne počiatočné podmienky (2) sa v praxi ťažko udržiavajú, v systéme sú „odchýlené“ počiatočné podmienky.

(3)

Pre nominálny režim platí rovnica:

Zamietnuté počiatočné podmienky zodpovedajú odmietnutému režimu.

Pre odmietnutý režim platí rovnica:

(6)

Odčítaním rovnice (4) od rovnice (5) dostaneme (7)

Uveďme definíciu.

Nominálny režim pri n (t) Stajňa Lyapunov, ak pre akékoľvek zamietnuté počiatočné podmienky (3), ktoré sa dostatočne líšia od nominálnych nominálnych počiatočných podmienok (2), pre všetky t > 0 bude z(t) malé.

Ak je nominálny režim stabilný podľa Lyapunova a zároveň limit
, potom sa zavolá nominálny režim asymptoticky stabilný.

Ak existujú počiatočné podmienky (3), ktoré sa líšia tak málo, ako je požadované od nominálnych počiatočných podmienok (2), a súčasne
sa stane väčším ako nejaká malá, vopred určená hodnota, potom nominálny režim pri n (t) volal nestabilná.

Z (7) vyplýva, že správanie z(t) úplne nezávislé od typu vstupného vplyvu X n (t) .

To vedie k nasledujúcemu záveru: buď v systéme (1) sú asymptoticky stabilné Všetky nominálne režimy zodpovedajúce rôznym vstupom X n (t), alebo sú všetky nestabilné.

Preto môžeme hovoriť o stabilite alebo nestabilite systému a nie o žiadnom z jeho režimov.

Toto je dôležité zistenie, ktoré znižuje rozsah výskumu ACS.

Bohužiaľ platí len pre lineárne samohybné delá.

Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre stabilitu lineárnych samohybných zbraní.

Pre asymptotickú stabilitu lineárnych systémov je potrebné a postačujúce, aby všetky korene charakteristickej rovnice.

bude mať negatívnu skutočnú časť.

Je známe, že riešenie diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi

1. Nech sú korene skutočné.

O

- a to je odchýlka od nominálneho režimu.

2. Ak sú korene zložité.

Nevyhnutná podmienka stability.

Pre asymptotickú stabilitu sústavy (1), (8) je potrebné, aby všetky koeficienty charakteristickej rovnice mali rovnaké znamienko.

Geometrická interpretácia podmienky stability

Pre stabilitu ACS je potrebné a postačujúce, aby korene charakteristickej rovnice boli umiestnené v ľavej polrovine komplexnej roviny koreňov.

Kritériá stability ACS.

Ide o umelé techniky, ktoré umožňujú bez hľadania koreňov charakteristickej rovnice odpovedať na otázky o stabilite samohybných zbraní, t.j. určiť znaky skutočných častí koreňov.

Dva typy kritérií stability:

1). Algebraické kritérium stability (Hurwitzovo kritérium stability).

Dajme charakteristickú rovnicu.

Pre stabilitu samohybných zbraní je potrebné a postačujúce:

1). Aby všetky koeficienty charakteristickej rovnice mali rovnaké znamienko -
(
systém nie je stabilný)

2). Hlavný Hurwitzov determinant zostavený podľa určitého pravidla a všetky jeho vedľajšie uhlopriečky by mali znamienko koeficientov - boli by väčšie ako nula.

Pravidlá písania hlavnej definície Hurwitza.

1). Pozdĺž hlavnej uhlopriečky determinantu sú všetky koeficienty charakteristickej rovnice umiestnené vo vzostupnom poradí indexov, počnúc od a 1 .

2). Priestory v determinante nad hlavnou diagonálou sú vyplnené koeficientmi charakteristickej rovnice v poradí rastúcich indexov.

3). Priestory v determinante pod hlavnou diagonálou sú vyplnené koeficientmi charakteristickej rovnice v zostupnom poradí indexov.

4). Miesta v determinante, kde by sa mali objaviť koeficienty s indexmi väčšími, ako by mali n a menej nula, vyplnené nulami

Hlavný Hurwitzov determinant má teda tvar:

A=
>0

Samohybná pištoľ je stabilná, ak

1). Všetky koeficienty charakteristickej rovnice sú väčšie ako nula ( 0!)

,
, ….

2). Hlavný Hurwitzov determinant a všetky jeho diagonálne vedľajšie > 0.

,
,
, ….

Pozrime sa na príklady.

1.

1.

2.

Pre stabilitu ACS druhého rádu je nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou stability kladnosť koeficientov charakteristickej rovnice.

1.
i=0…3

2.

Nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou stability systémov tretieho rádu je kladnosť koeficientov a súčin interných pojmov
musí byť viac než len produkt extrémnych pojmov
charakteristická rovnica.

,

,
,

Existuje aj Routhovo algebraické kritérium. Toto je rovnaké Hurwitzovo kritérium, ale organizované tak, že je vhodné ho použiť na vytváranie programov na určenie stability.

Vyšnegradské kritérium stability pre systémy tretieho rádu.

Vyshnegradsky I.A. navrhol znázorniť hranicu stability na takzvanej Vyshnegradského parametrickej rovine.

Majme charakteristickú rovnicu tretieho stupňa.

Transformujme to pomocou substitúcie:

Potom to bude vyzerať takto:

A 1 AA 2 sa nazývajú Vyšnegradského parametre (bezrozmerné veličiny), v rovine ktorých je zostrojená hranica stability.

Aplikujme Hurwitzovo kritérium stability na transformovanú rovnicu

alebo A 1 A 2 > 1

Na hranici stability
.

Odtiaľ
- rovnica na hranici stability

Z koeficientov charakteristickej rovnice určíme A 1 A A 2 . Ak je bod pod hyperbolou, samohybné delo je stabilné, ak je bod vyššie, je nestabilné.

STRÁNKA \* MERGEFORMAT 14

Prednáška č.4

Stabilita samohybného dela

Vlastnosť systému vrátiť sa do pôvodného stavu po odstránení poruchy sa nazýva stabilita.

Definícia.

Krivky 1 a 2 charakterizujú stabilný systém, krivky 3 a 4 charakterizujú nestabilné systémy.ε

Systémy 5 a 6 na hranici stability 5 - neutrálny systém, 6 - limit oscilačnej stability.

Nech má diferenciálna rovnica ACS vo forme operátora tvar

Potom sa riešenie diferenciálnej rovnice (pohyb systému) skladá z dvoch častí Nútený pohyb rovnakého typu ako vstupná akcia.

Pri absencii viacerých koreňov, kde C i - konštantné integrácie určené z počiatočných podmienok,

 1 ,  2 …,  n korene charakteristickej rovnice

Umiestnenie koreňov charakteristiky

rovnice sústavy v komplexnej rovine

Korene charakteristickej rovnice nezávisia ani od typu poruchy, ani od

počiatočné podmienky, a sú určené len koeficientmi a 0 , a 1 , a 2 ,…, a n , teda parametre a štruktúra systému.

1-koreň skutočný, väčší ako nula;

2-koreňový skutočný, menej ako nula;

3-odmocnina je nula;

4-dva nulové korene;

5-dva komplexne konjugované korene, ktorých skutočná časť je

Pozitívny;

6-dva komplexne konjugované korene, ktorých skutočná časť je negatívna;

7-dva imaginárne konjugované korene.

Metódy analýzy stability:

1. Priame (založené na riešení diferenciálnych rovníc);
2. Nepriame (kritériá stability).

Teorémy A.M. Lyapunova.

Veta 1.

Veta 2.

Poznámky:

1. Ak medzi koreňmi charakteristickej rovnice sú dva alebo viac nulových koreňov, potom je systém nestabilný.
2. Ak je jeden koreň nula a všetky ostatné sú v ľavej polrovine, potom je systém neutrálny.
3. Ak sú 2 korene imaginárne konjugované a všetky ostatné sú v ľavej polrovine, potom je systém na oscilačnej hranici stability.

Kritériá stability ACS.

Kritérium stability je pravidlo, ktoré umožňuje určiť stabilitu systému bez výpočtu koreňov charakteristickej rovnice.

V roku 1877 Nainštalovaný smer:

1. Hurwitzovo kritérium stability

Kritérium bolo vyvinuté v roku 1895.

Nech je definovaná charakteristická rovnica uzavretého systému: rovnicu zredukujeme do tvaru tak, že a 0 > 0.

Zostavme hlavný Hurwitz determinant podľa nasledujúceho pravidla:

Pozdĺž hlavnej uhlopriečky sú koeficienty rovnice zapísané od druhého po posledný, stĺpce hore od uhlopriečky sú vyplnené koeficientmi s rastúcimi indexmi a stĺpce dole od diagonály sú vyplnené koeficientmi s klesajúcimi indexmi. Pri absencii akéhokoľvek koeficientu v rovnici a namiesto koeficientov s indexmi menšími ako 0 a viac n napíšte nulu.

Vyzdvihnime diagonálne vedľajšie alebo najjednoduchšie determinanty v hlavnom Hurwitzovom determinante:

Formulácia kritéria.

Pre systémy vyššie ako druhého rádu musia byť okrem kladnosti všetkých koeficientov charakteristickej rovnice splnené aj tieto nerovnosti:

1. Pre systémy tretieho rádu:
2. Pre systémy štvrtého rádu:
3. Pre systémy piateho rádu:

1. Pre systémy šiesteho rádu:

Príklad. Na štúdium stability systému podľa Hurwitza je daná charakteristická rovnica.

Pre stabilné systémy je potrebné a

2. Smerové kritérium

Kritérium Routh sa používa na štúdium stability systémov vysokého rádu.

Formulácia kritéria:

Smerový stôl.

Algoritmus na vyplnenie tabuľky: prvý a druhý riadok obsahujú koeficienty rovnice s párnymi a nepárnymi indexmi; prvky zostávajúcich riadkov sa vypočítajú podľa nasledujúceho pravidla:

Výhoda kritéria: možno študovať stabilitu systémov akéhokoľvek rádu.

2. Nyquistovo kritérium stability

Princíp argumentácie

Frekventistické metódy sú založené na princípe argumentácie.

Analyzujme vlastnosti polynómu v tvare:

Kde i - korene rovnice

V komplexnej rovine každý koreň zodpovedá dobre definovanému bodu. Geometricky každý koreň i môže byť reprezentovaný ako vektor nakreslený od začiatku k bodu ja: | i | - dĺžka vektora, arg i - uhol medzi vektorom a kladným smerom osi x. Mapujme D(p) do Fourierovho priestoru, potom kde j -  i - elementárny vektor.

Konce elementárnych vektorov sú na imaginárnej osi.

Veľkosť vektora a argument (fáza)

Smer otáčania vektora proti smeru hodinových ručičiek sa považuje za POZITÍVNY. Potom pri zmene od do každého elementárneho vektora ( j  -  i ) sa otočí o uhol + ak  i leží v ľavej polrovine.

Nech D ( )=0 má m korene v pravej polrovine a n - m korene vľavo, potom s pribúdajúcimi od zmeniť argument vektora D(j ) (uhol natočenia D(j ), rovná súčtu zmien v argumentoch elementárnych vektorov) bude

Princíp argumentácie:

Nyquistovo kritérium je založené na frekvenčných charakteristikách otvoreného okruhu ACS, pretože typ frekvenčných charakteristík otvoreného okruhu možno použiť na posúdenie stability uzavretého systému.

Nyquistovo kritérium je široko používané v inžinierskej praxi z nasledujúcich dôvodov:

1. Stabilita systému v uzavretom stave je študovaná frekvenčnou prenosovou funkciou jeho otvoreného obvodu a táto funkcia sa najčastejšie skladá z jednoduchých faktorov. Koeficienty sú skutočné parametre systému, čo vám umožňuje vybrať ich z podmienok stability.
2. Na štúdium stability môžete použiť experimentálne získané frekvenčné charakteristiky najzložitejších prvkov systému (riadiaci objekt, výkonný orgán), čo zvyšuje presnosť získaných výsledkov.
3. Stabilitu možno študovať pomocou LFC, ktorých konštrukcia je jednoduchá.
4. Je vhodné určiť rozpätie stability.

1. Systém je stabilný v otvorenom stave

Zavedieme pomocnú funkciu a nahraďme p  j  , teda

Podľa princípu argumentu zmena argumentu D(j ) a D з (j  ) pri 0<  <  rovná sa Potom to je hodograf W 1 (j  ) nesmie presahovať začiatok.

Pre zjednodušenie analýzy a výpočtov posuňme počiatok vektora polomeru z počiatku súradníc do bodu (-1, j 0) a namiesto pomocnej funkcie W 1 (j  ) používame AFC systému s otvorenou slučkou W (j  ).

Formulácia kritéria č. 1

Príklady.

Všimnite si, že rozdiel v počte pozitívnych a negatívnych prechodov AFC naľavo od bodu (-1, j 0) sa rovná nule.

2. Systém s pólmi na pomyselnej osi v otvorenom stave

Na analýzu stability systému AFC sú doplnené o kruh s nekonečne veľkým polomerom at 0 proti smeru hodinových ručičiek ku kladnej skutočnej poloosi na nulových póloch a v prípade čisto imaginárnych koreňov - polkruhom v smere hodinových ručičiek v bode diskontinuity AFC.

Formulácia kritéria č. 2

1. Systém s prerušovaným otvoreným okruhom

Všeobecnejší prípad - menovateľ prenosovej funkcie systému s otvorenou slučkou obsahuje korene ležiace v pravej polrovine. Vzhľad nestability v systéme s otvorenou slučkou je spôsobený dvoma dôvodmi:

1. Dôsledok prítomnosti nestabilných odkazov;
2. Dôsledok straty stability odkazov pokrytých pozitívnou alebo negatívnou spätnou väzbou.

X Hoci teoreticky môže byť celý systém v zatvorenom stave stabilný v prítomnosti nestability v lokálnom spätnoväzbovom obvode, v praxi je takýto prípad nežiaduci a treba sa mu vyhnúť pokusom o použitie iba stabilných lokálnych spätných väzieb. Vysvetľuje sa to prítomnosťou nežiaducich vlastností, najmä výskytom podmienenej stability, ktorá vzhľadom na nelinearity zvyčajne prítomné v systéme môže v niektorých režimoch viesť k strate stability a vzniku vlastných oscilácií. Preto sa spravidla pri výpočte systému vyberajú také lokálne spätné väzby, ktoré by boli stabilné, keď je hlavná spätná väzba otvorená.

Nech je charakteristický polynóm D(str ) systém s otvorenou slučkou má m korene s pozitívnou skutočnou časťou.

Potom

Pomocná funkcia výmeny p  j  podľa princípu argumentácie pre stabilné uzavreté systémy by mali mať nasledujúcu zmenu argumentácie pri

Formulácia kritéria č. 3

Formulácia Ya.Z. Tsypkina

Nyquistovo kritérium pre LFC

Poznámka: fázová charakteristika LFC astatických systémov je doplnená o monotónny úsek + /2 pri  0.

Absolútne udržateľnéNazývajú systém, ktorý zostáva stabilný pri akomkoľvek znížení zosilnenia otvoreného okruhu, inak je systém podmienečne stabilný.

Systémy, ktoré sa dajú stabilizovať zmenou ich parametrov, sa nazývajúkonštrukčne stabilný, inak štrukturálne nestabilné.

Okraje stability

Pre normálnu prevádzku musí byť akýkoľvek ACS odstránený z hranice stability a musí mať dostatočnú rezervu stability. Potreba je z nasledujúcich dôvodov:

1. Rovnice prvkov ACS sa spravidla idealizujú pri ich zostavovaní;
2. Pri linearizácii rovníc sa aproximačné chyby ďalej zvyšujú;
3. Parametre prvkov sú určené s určitou chybou;
4. Parametre prvkov rovnakého typu majú technologické rozdiely;
5. Počas prevádzky sa parametre prvkov menia v dôsledku starnutia.

V praxi inžinierskych výpočtov sa najčastejšie používa určenie rozpätia stability na základe kritéria NYQVIST na základe vzdialenosti AFC systému s otvorenou slučkou od kritického bodu so súradnicami (-1, j 0), ktorý sa posudzuje podľa dvoch ukazovateľov: rozpätie stability fázy a rezerva stability v module (v amplitúde) H.

Aby mal ATS rezervy stability aspoň a H , AFC jeho otvoreného okruhu, ak je splnené kritérium stability, by nemalo vstupovať do časti krúžku, ktorá je zatienená na obr. 1, kde H je určený vzťahom

Ak je stabilita určená LFC podmienečne stabilných systémov, potom zabezpečiť rezervy stability minimálne a h je potrebné, aby:

a) pre h  L  - h fázovo-frekvenčná charakteristika splnila nerovnostiθ > -180  +  alebo θ< -180  -  , t.j. nevstúpil do tieňovanej oblasti 1 na obr. 2;

b) pri -180  +   θ  -180  -  amplitúdovo-frekvenčná charakteristika splnila nerovnosti L< - h или L >h , t.j. nevstúpil do tieňovaných oblastí 2" a 2" na obr.

Pre absolútne stabilný systém, rezervy stability a h sú určené tak, ako je znázornené na obr. 3:

1. Fázový okraj

1. Modulo margin h =- L (ω -π), kde ω -π frekvencia, pri ktorej θ=-180˚ .

Požadované hodnoty hraníc stability závisia od triedy ATS a požiadaviek na kvalitu regulácie. Približne by to malo byť = 30  60  a h = 6  20 dB.

Minimálne prípustné hranice stability v amplitúde nesmú byť menšie ako 6 dB (to znamená, že koeficient prenosu systému s otvorenou slučkou je polovica kritickej hodnoty) a vo fáze nie menej ako 25 30  .

Stabilita systému s čistým oneskorením

Ak AFC systému s otvorenou slučkou prechádza cez bod (-1, j 0), potom je systém na hranici stability.

Systém s čistým oneskorením môže byť stabilný, ak je v obvode zahrnuté spojenie bez zotrvačnosti s koeficientom prenosu menším ako 1. Sú možné aj iné typy korekčných zariadení.

Štrukturálne stabilné a konštrukčne nestabilné systémy

Jedným zo spôsobov, ako zmeniť kvalitu systému (z hľadiska stability), je zmena koeficientu prenosu systému s otvorenou slučkou.

Keď k L ( ) bude stúpať alebo klesať. Ak k nárast, L ( ) stúpa a  priem sa zvýši, ale systém zostane nestabilný. Ak k znížiť, potom môže byť systém stabilný. Toto je jeden zo spôsobov nápravy systému.

Systémy, ktoré sa dajú stabilizovať zmenou parametrov systému, sa nazývajú ŠTRUKTURÁLNE UDRŽATEĽNÉ.

Pre tieto systémy existuje kritický prenosový pomer s otvorenou slučkou. K krit. toto je koeficient prenosu, keď je systém na hranici stability.

Existujú ŠTRUKTURÁLNE NESTABILNÉ systémy - sú to systémy, ktoré sa nedajú stabilizovať zmenou parametrov systému, ale pre stabilitu je potrebné zmeniť štruktúru systému.

Príklad.

Zoberme si tri prípady:

1. Nechaj

Potom

Skontrolujeme stabilitu systému.

A = a3 A2 >0.

Na určenie k rs.cr. rovnajme sa nule 2 .

Potom

Kedy kedy

Uvažovaný systém je ŠTRUKTURÁLNE STABILNÝ, keďže ho možno stabilizovať zmenou parametrov spojov.

1. Nech sú rovnaké ako v prvom prípade.

Teraz nie je žiadna statická chyba na riadiacom kanáli.

Podmienky stability Hurwitz:

Nechajte  2 =0, potom ak je systém nestabilný.

Tento systém s astatizmom 1. rádu je ŠTRUKTURÁLNE STABILNÝ.

1. Nechaj

Systém je vždy nestabilný. Tento systém je ŠTRUKTURÁLNE NESTABNÝ.

Stabilita samohybného dela

Nuly a póly prenosovej funkcie

Korene polynómu v čitateli prenosovej funkcie sa nazývajú nuly, a korene polynómu v menovateli sú palice prenosová funkcia. Poliaci zároveň korene charakteristickej rovnice, alebo charakteristické čísla.

Ak korene čitateľa a menovateľa prenosovej funkcie ležia v ľavej polrovine (zatiaľ čo korene čitateľa a menovateľa ležia v hornej polrovine), potom sa väzba nazýva minimálna fáza.

Korešpondencia s ľavou polrovinou koreňov R horná polrovina koreňov (obr. 2.2.1) sa vysvetľuje tým, že, príp , t.j. vektor sa získa z vektora jeho otočením o uhol v smere hodinových ručičiek. Výsledkom je, že všetky vektory z ľavej polroviny sa dostanú do vektorov v hornej polrovine.

Neminimálna fáza a nestabilné spojenia

Prepojenia pozičných a diferenciačných typov diskutovaných vyššie patria k stabilným prepojeniam alebo k samonivelačným prepojeniam.

Pod samonivelačný sa vzťahuje na schopnosť spojenia spontánne dospieť k novej ustálenej hodnote s obmedzenou zmenou vstupnej hodnoty alebo rušivým vplyvom. Typicky sa termín samozarovnávanie používa pre odkazy, ktoré podliehajú regulácii.

Existujú spojenia, v ktorých obmedzená zmena vstupnej hodnoty nespôsobí prechod spojenia do nového ustáleného stavu a výstupná hodnota má tendenciu neobmedzene rásť v priebehu času. Patria sem napríklad prepojenia integračného typu.

Existujú prepojenia, v ktorých je tento proces ešte výraznejší. Vysvetľuje sa to prítomnosťou kladných reálnych alebo komplexných koreňov s kladnou reálnou časťou v charakteristickej rovnici (menovateľ prenosovej funkcie sa rovná nule), v dôsledku čoho bude odkaz klasifikovaný ako nestabilné odkazy.

Napríklad v prípade diferenciálnej rovnice , máme prenosovú funkciu a charakteristickú rovnicu s kladným skutočným koreňom. Toto spojenie má rovnakú amplitúdovo-frekvenčnú charakteristiku ako zotrvačné spojenie s prenosovou funkciou. Ale fázové frekvenčné charakteristiky týchto spojení sú rovnaké. Pre zotrvačné spojenie máme . Pre prepojenie s prenosovou funkciou máme

tie. väčšiu absolútnu hodnotu.

V tomto ohľade patria do skupiny nestabilné prepojenia nie prepojenia s minimálnou fázou.

Medzi neminimálne fázové väzby patria aj stabilné väzby, ktoré majú skutočné kladné korene alebo komplexné korene s kladnou reálnou časťou v čitateli prenosovej funkcie (zodpovedajúcej pravej strane diferenciálnej rovnice).

Napríklad prepojenie s prenosovou funkciou patrí do skupiny neminimálnych fázových spojov. Modul funkcie prenosu frekvencie sa zhoduje s modulom funkcie prenosu frekvencie spoja s prenosovou funkciou . Ale fázový posun prvého spojenia je väčší v absolútnej hodnote:

Minimálne fázové spoje majú menšie fázové posuny v porovnaní so zodpovedajúcimi spojmi, ktoré majú rovnaké amplitúdové frekvenčné charakteristiky.

Hovoria, že systém stabilný alebo má samonivelačný, ak sa po odstránení vonkajšieho rušenia vráti do pôvodného stavu.

Keďže pohyb systému vo voľnom stave je opísaný homogénnou diferenciálnou rovnicou, matematická definícia stabilného systému môže byť formulovaná nasledovne:

Systém sa nazýva asymptoticky stabilný, ak je splnená podmienka (2.9.1)

Z analýzy všeobecného riešenia (1.2.10) vyplýva nevyhnutná a postačujúca podmienka stability:

Pre stabilitu systému je potrebné a postačujúce, aby všetky korene charakteristickej rovnice mali striktne záporné reálne časti, t.j. Rep i , ja = 1…n. (2.9.2)

Kvôli prehľadnosti sú korene charakteristickej rovnice zvyčajne znázornené v komplexnej rovine na obr. 2.9.1a. Keď robíte to, čo je potrebné a dostatočné

Obr.8.12. Koreňová rovina

charakteristický

rovnice A(p) = 0

OU - región stability

Treťou podmienkou (2.9.2) je, že všetky korene ležia naľavo od pomyselnej osi, t.j. v oblasti udržateľnosti.

Preto môže byť podmienka (2.9.2) formulovaná nasledovne.

Pre stabilitu je potrebné a postačujúce, aby sa všetky korene charakteristickej rovnice nachádzali v ľavej polrovine.

Prísnu všeobecnú definíciu stability, metódy štúdia stability nelineárnych systémov a možnosť rozšírenia záveru o stabilite linearizovaného systému na pôvodný nelineárny systém podal ruský vedec A. M.

V praxi sa stabilita často určuje nepriamo pomocou takzvaných kritérií stability bez priameho nájdenia koreňov charakteristickej rovnice. Patria sem algebraické kritériá: Stodolova podmienka, Hurwitzove a Michajlovove kritériá, ako aj Nyquistovo frekvenčné kritérium. V tomto prípade Nyquistovo kritérium umožňuje určiť stabilitu systému s uzavretou slučkou pomocou AFC alebo pomocou logaritmických charakteristík systému s otvorenou slučkou.

Stodola stav

Podmienku získal slovenský matematik Stodola koncom 19. storočia. Je to zaujímavé z metodologického hľadiska pre pochopenie podmienok stability systému.

Zapíšme charakteristickú rovnicu sústavy do tvaru

D(p) = a 0 p n + a 1 p n- 1 +…a n = 0. (2.9.3)

Pre stabilitu je to podľa Stodolu potrebné, ale nie postačujúce a 0 > 0 všetky ostatné koeficienty boli striktne kladné, t.j.

a 1 > 0 ,..., a n > 0.

Nevyhnutnosť môžu byť vytvorené takto:

Ak je sústava stabilná, tak všetky korene charakteristickej rovnice majú , t.j. sú ľavičiari.

Dôkaz nevyhnutnosti je elementárny. Podľa Bezoutovej vety možno charakteristický polynóm znázorniť ako

Nech je , t.j. reálne číslo, a – komplexne konjugované korene. Potom

To ukazuje, že v prípade polynómu s reálnymi koeficientmi sú komplexné korene párovo konjugované. Navyše, ak , potom máme súčin polynómov s kladnými koeficientmi, čo dáva polynóm iba s kladnými koeficientmi.

Neúspech Stodolovou podmienkou je, že podmienka nezaručuje, že všetko . Dá sa to overiť na konkrétnom príklade zvážením polynómu stupňa .

Všimnite si, že v prípade Stodolovej podmienky je nevyhnutná aj postačujúca. Vyplýva to z. Ak , tak a tak .

Pretože z analýzy vzorca pre korene kvadratickej rovnice vyplýva aj dostatočnosť podmienky.

Zo Stodolovho stavu vyplývajú dva dôležité dôsledky.

1. Ak je podmienka splnená a systém je nestabilný, tak proces prechodu má oscilačnú povahu. Vyplýva to zo skutočnosti, že rovnica s kladnými koeficientmi nemôže mať reálne kladné korene. Podľa definície je koreň číslo, vďaka ktorému zmizne charakteristický polynóm. Žiadne kladné číslo nemôže zaniknúť polynóm s kladnými koeficientmi, teda byť jeho koreňom.

2. Kladnosť koeficientov charakteristického polynómu (resp. splnenie Stodolovej podmienky) je zabezpečená pri negatívnej spätnej väzbe, t.j. v prípade nepárneho počtu inverzií signálu pozdĺž uzavretej slučky. V tomto prípade charakteristický polynóm. V opačnom prípade a po prinesení podobných by sa niektoré koeficienty mohli ukázať ako negatívne.

Upozorňujeme, že negatívna spätná väzba nevylučuje možnosť nesplnenia Stodolovej podmienky. Napríklad, ak , a , potom v prípade jedinej negatívnej spätnej väzby . V tomto polynóme je koeficient at rovný nule. Neexistujú žiadne záporné koeficienty, ale podmienka nie je splnená, pretože si vyžaduje prísne plnenie nerovností.

Potvrdzuje to nasledujúci príklad.

Príklad 2.9.1. Aplikujte Stodolovu podmienku na obvod na obr. 2.9.2.

Prenosová funkcia systému negatívnej spätnej väzby jednotky s otvorenou slučkou sa rovná a charakteristická rovnica systému s uzavretou slučkou je súčtom čitateľa a menovateľa, t.j.

D(p) = p 2 +k 1 k 2 = 0.

Keďže neexistuje žiadny člen s R na prvom stupni ( a 1 = 0), potom Stodolova podmienka nie je splnená a systém je nestabilný. Tento systém je štrukturálne nestabilný, pretože nemá žiadne hodnoty parametrov k 1 a k 2 nemôže byť udržateľný.

Aby bol systém stabilný, je potrebné zaviesť dodatočné spojenie alebo opravné prepojenie, t.j. zmeniť štruktúru systému. Ukážme si to na príkladoch. Na obr. 2.9.3. priamy reťazový článok predstavujú články zapojené do série s prenosovými funkciami a . Paralelne s prvým úvodom existuje ďalšie spojenie.

P
Prenosová funkcia systému otvoreného jednotkovým záporným spojením a charakteristická rovnica uzavretého systému sú rovnaké

,

Teraz je Stodolova podmienka splnená pre každého . Keďže v prípade rovnice druhého stupňa je to nielen nevyhnutné, ale aj postačujúce, systém je stabilný pre akékoľvek pozitívne faktory zosilnenia.

Na obr. 2.9.4 je do obvodu zavedený sekvenčný vynucovací článok. Prenosová funkcia systému s jedným záporným spojením s otvoreným okruhom je v tomto prípade rovná a charakteristická rovnica uzavretého systému sa rovná

Podobne ako v predchádzajúcom je systém stabilný pre všetky pozitívne .

Kritérium stability Rouss-Hurwitz

Matematici Rouss (Anglicko) a Hurwitz (Švajčiarsko) vypracovali toto kritérium približne v rovnakom čase. Rozdiel bol vo výpočtovom algoritme. Zoznámime sa s kritériom v Hurwitzovej formulácii.

Pre stabilitu je podľa Hurwitza potrebné a postačujúce, že keď a 0 > 0 Hurwitzov determinant  =  n a všetkých jej hlavných maloletých  1 ,  2 ,...,  n -1 boli striktne pozitívne, t.j.

(2.9.4)

Štruktúra Hurwitzovho determinantu je ľahko zapamätateľná, keďže koeficienty sú umiestnené pozdĺž hlavnej diagonály A 1 ,… ,A n, riadky obsahujú koeficienty oddelené jednou, ak sú vyčerpané, prázdne miesta sú vyplnené nulami;

Príklad 2.9.2. Na štúdium stability Hurwitza systém s jednotkovou negatívnou spätnou väzbou, v priamom reťazci ktorého sú zahrnuté tri zotrvačné články, a preto má prenosová funkcia systému s otvorenou slučkou tvar (2.9.5)

Charakteristickú rovnicu uzavretého systému napíšme ako súčet čitateľa a menovateľa (2.9.5):

teda

Hurwitzov determinant a jeho minority majú tvar

vziať do úvahy a 0 > 0, striktná pozitivita Hurwitzovho determinantu a minors (2.9.6) implikuje Stodolovu podmienku a navyše podmienku a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0, čo po dosadení hodnôt koeficientov dáva

(T 1 T 2 + T 1 T 3 +T 2 T 3 )(T 1 +T 2 +T 3 ) > T 1 T 2 T 3 (1+ k) . (2.9.7)

Z toho vidno, že s pribúdajúcimi k systém sa môže zmeniť zo stabilného na nestabilný, pretože nerovnosť (2.9.7) prestane byť splnená.

Prenosová funkcia systému chybou sa rovná

Podľa vety o konečnej hodnote originálu bude chyba v ustálenom stave pri spracovaní jednokrokového signálu rovná 1/(1+ k). V dôsledku toho sa odhalí rozpor medzi stabilitou a presnosťou. Ak chcete znížiť chybu, musíte ju zvýšiť k ale to vedie k strate stability.

Argumentačný princíp a Michajlovove kritérium stability

Mikhailovovo kritérium je založené na takzvanom argumentačnom princípe.

Uvažujme charakteristický polynóm uzavretého systému, ktorý možno podľa Bezoutovej vety znázorniť v tvare

D(p) = a 0 p n + a 1 p n- 1 +…+ a n = a 0 (p - str 1 )…(p - str n ).

Urobme náhradu p = j

D(j ) = a 0 (j ) n + a 1 (j ) n- 1 +…+ a n = a 0 (j -p 1 )…(j -p n ) = X( )+jY( ).

Za konkrétnu hodnotu  má bod v komplexnej rovine danej parametrickými rovnicami

E
ak sa zmení  v rozsahu od - do , potom sa nakreslí Michajlovova krivka, teda hodograf. Poďme študovať rotáciu vektora D(j ) keď sa zmení  od - do , t.j. nájdeme prírastok argumentu vektora (argument sa rovná súčtu súčinu vektorov): .

O  = -  diferenčný vektor, ktorého začiatok je v bode R i a koniec na imaginárnej osi smeruje vertikálne nadol. Ako rastieš  koniec vektora sa posúva pozdĺž pomyselnej osi a kedy  =  vektor smeruje vertikálne nahor. Ak je koreň ponechaný (obr. 2.9.19a), tak  arg = + , a ak je koreň správny, potom  arg = - .

Ak charakteristická rovnica má m pravé korene (resp n - m vľavo), potom .

Toto je princíp argumentácie. Pri výbere skutočnej časti X( ) a imaginárne Y( ) sme pripisovali X( ) všetky výrazy obsahujúce j v rovnomernej miere a do Y( ) - do zvláštnej miery. Preto je Michajlovova krivka symetrická okolo skutočnej osi ( X( ) - dokonca, Y( ) – nepárna funkcia). V dôsledku toho, ak zmeníte  od 0 do +, potom bude prírastok argumentu polovičný. V tomto smere konečne princíp argumentácie formulované nasledovne . (2.9.29)

Ak je systém stabilný, t.j. m= 0, potom získame Michajlovovo kritérium stability.

Pre stabilitu je to podľa Michajlova nevyhnutné a postačujúce

, (2.9.30)

to znamená, že Michajlovova krivka musí postupne prejsť n

Je zrejmé, že na uplatnenie Michajlovovho kritéria nie je potrebná presná a detailná konštrukcia krivky. Je dôležité zistiť, ako prechádza okolo pôvodu súradníc a či nie je porušená postupnosť prechodu nštvrtiny proti smeru hodinových ručičiek.

Príklad 2.9.6. Na kontrolu stability systému podľa obr. 2.9.20 použite Michajlovovo kritérium.

Charakteristický polynóm systému s uzavretou slučkou pri k 1 k 2 > 0 zodpovedá stabilnému systému, teda Stodolova podmienka je splnená a pre n = 1 stačí. Môžete priamo nájsť koreň R 1 = - k 1 k 2 a uistite sa, že je splnená potrebná a dostatočná podmienka stability. Preto je použitie Michajlovho kritéria ilustratívne. Veriaci p= j , dostaneme

D(j ) = X( )+ jY( ),

Kde X( ) = ; Y( ) =  . (2.9.31)

Pomocou parametrických rovníc (2.9.31) bol zostrojený Michajlovov hodograf na obr. 2.9.21, z ktorého je zrejmé, že pri zmene  0 až  vektor D(j ) sa otáča proti smeru hodinových ručičiek na +  /2, t.j. systém je stabilný.

Nyquistovo kritérium stability

TO Ako už bolo uvedené, Nyquistovo kritérium zaujíma osobitné postavenie medzi kritériami stability. Toto je frekvenčné kritérium, ktoré vám umožňuje určiť stabilitu systému s uzavretou slučkou na základe frekvenčných charakteristík systému s otvorenou slučkou. V tomto prípade sa predpokladá, že systém je otvorený v obvode s jednou zápornou spätnou väzbou (obr. 2.9.22).

Jednou z výhod Nyquistovho kritéria je, že frekvenčné charakteristiky systému s otvorenou slučkou možno získať experimentálne.

Odvodenie kritéria je založené na využití princípu argumentácie. Prenosová funkcia systému s otvorenou slučkou (cez jediný obvod zápornej spätnej väzby na obr. 2.9.22) sa rovná

Uvažujme. (2.9.32)

V prípade skutočného systému s obmedzenou šírkou pásma, stupeň menovateľa funkcie prenosu s otvorenou slučkou P väčšia ako mocnina čitateľa, t.j. n> . Preto sú stupne charakteristických polynómov systému s otvorenou slučkou a systému s uzavretou slučkou rovnaké a rovnaké n. Prechod z AFC systému s otvorenou slučkou na AFC podľa (2.9.32) znamená zvýšenie reálnej časti o 1, t.j. posunutie začiatku súradníc do bodu (-1, 0), ako je znázornené na obr. 2.9.23.

Predpokladajme teraz, že systém s uzavretou slučkou je stabilný a charakteristická rovnica systému s otvorenou slučkou je stabilná A(p) = 0 má m pravé korene. Potom v súlade s argumentačným princípom (2.9.29) získame nevyhnutnú a postačujúcu podmienku stability systému uzavretej slučky podľa Nyquista.

Tie. pre stabilitu vektora systému s uzavretou slučkou W 1 (j ) musí urobiť m/2 plné otáčky proti smeru hodinových ručičiek, čo je ekvivalentné otočeniu vektora W pa z (j ) vzhľadom na kritický bod (-1,0).

V praxi je spravidla systém s otvorenou slučkou stabilný, t.j. m= 0. V tomto prípade je prírastok argumentu nula, t.j. AFC systému s otvorenou slučkou by nemal pokrývať kritický bod (-1,0).

Nyquistovo kritérium pre LAC a LFC

V praxi sa častejšie používajú logaritmické charakteristiky systému s otvorenou slučkou. Preto je vhodné formulovať Nyquistovo kritérium na určenie stability systému s uzavretou slučkou na ich základe. Počet otáčok AFC vzhľadom na kritický bod (-1,0) a či je alebo nie je pokrytý

závisí od počtu kladných a záporných priesečníkov intervalu (-,-1) reálnej osi a podľa toho aj priesečníkov priamky -180° fázovou charakteristikou v oblasti L( )  0. Obrázok 2.9.24 ukazuje AFC a ukazuje znamienka priesečníkov segmentu (-,-1) reálnej osi.

Spravodlivé pravidlo

kde je počet kladných a záporných priesečníkov.

Na základe AFC na obr. 2.9.24c sú skonštruované LAC a LFC, znázornené na obr. 2.9.25, a kladné a záporné priesečníky sú vyznačené na LFC. Na segmente (-,-1) je modul väčší ako jedna, čo zodpovedá L( ) > 0. Preto Nyquistovo kritérium:

D Pre stabilitu systému s uzavretou slučkou LFC systému s otvorenou slučkou v regióne, kde L( ) > 0, mala by mať viac kladných priesečníkov čiary -180° ako záporných.

Ak je systém s otvorenou slučkou stabilný, potom počet kladných a záporných priesečníkov čiary -180° fázovou charakteristikou v oblasti L( ) > 0 pre stabilitu systému s uzavretou slučkou by mala byť rovnaká alebo by nemali existovať žiadne križovatky.

Nyquistovo kritérium pre astatický systém

Zvlášť je potrebné zvážiť prípad astatického objednávkového systému r s funkciou prenosu systému s otvorenou slučkou rovnajúcou sa

.

V tomto prípade pri 0, t.j. amplitúdovo-fázová charakteristika (APC) systému s otvorenou slučkou ide do nekonečna. Predtým sme pri zmene stavali AFH  od - do  a bola to súvislá krivka, uzavretá pri  =  0. Teraz sa tiež zatvára pri  = 0, ale v nekonečne a nie je jasné, na ktorej strane reálnej osi (v nekonečne vľavo alebo vpravo?).

Obrázok 2.9.19c ukazuje, že v tomto prípade existuje neistota pri výpočte prírastku argumentu diferenčného vektora. Teraz sa vždy nachádza pozdĺž pomyselnej osi (zhoduje sa s j ). Až pri prekročení nuly sa zmení smer (v tomto prípade sa vektor otočí proti smeru hodinových ručičiek o  alebo v smere hodinových ručičiek o -?), Pre istotu konvenčne predpokladáme, že odmocnina je ľavá a zaokrúhľovanie počiatku prebieha pozdĺž oblúka s nekonečne malým polomerom proti smeru hodinových ručičiek (otočenie o +  ). Podľa toho v okolí  = 0 bude zastúpené vo formulári

,

Kde  = +  keď sa zmení  od – 0 do + 0. Posledný výraz ukazuje, že pri takomto zverejnení neistoty sa AFC zmení  od – 0 do + 0 na uhol – v smere hodinových ručičiek. Zodpovedajúcim spôsobom skonštruovaný AFC musí byť  = 0 je doplnený oblúkom s nekonečnom polomeru pod uhlom , t.j. proti smeru hodinových ručičiek ku kladnej skutočnej poloosi.

Hranice stability podľa modulu a fázy

Aby sa zaručila stabilita pri zmene parametrov systému, zavedú sa rezervy stability v module a fáze, ktoré sa určujú nasledovne.

Rozpätie stability modulu ukazuje, koľkokrát alebo koľko decibelov je dovolené zvýšiť alebo znížiť zosilnenie tak, aby systém zostal stabilný (je na hranici stability). Je definovaný ako min( L 3 , L 4) na obr. 2.9.25. V skutočnosti, ak nezmeníte LFC, potom keď LFC stúpne L 4 medzná frekvencia  cp sa presunie k bodu  4 a systém bude na hranici stability. Ak znížite LAX na L 3, potom sa medzná frekvencia posunie doľava k bodu  3 a systém bude tiež na hranici stability. Ak znížime LAX ešte nižšie, tak v regióne L( ) > 0 zostane len negatívny priesečník LFC priamky -180°, t.j. podľa Nyquistovho kritéria sa systém stane nestabilným.

Rozpätie stability fázy ukazuje, o koľko je prípustné zvýšiť fázový posun pri konštantnom zosilnení tak, aby systém zostal stabilný (je na hranici stability). Je definovaný ako doplnok  ( cf) až do -180°.

Na praxi L  12-20 dB,   20-30°.