Potenciálna energia rotačného pohybu. Kinetická energia rotujúceho telesa

Úlohy

1. Určte, koľkokrát je efektívna hmotnosť väčšia ako tiažová hmotnosť vlaku s hmotnosťou 4000 ton, ak hmotnosť kolies je 15 % hmotnosti vlaku. Kolesá považujte za disky s priemerom 1,02 m Ako sa zmení odpoveď, ak bude priemer kolies polovičný?

2. Určte zrýchlenie, s ktorým sa pár kolies s hmotnosťou 1200 kg kotúľa dolu kopcom so sklonom 0,08. Kolesá považujte za disky. Koeficient valivého odporu 0,004. Určite adhéznu silu medzi kolesami a koľajnicami.

3. Určte zrýchlenie, s ktorým sa pár kolies s hmotnosťou 1400 kg valí do kopca so sklonom 0,05. Koeficient odporu 0,002. Aký by mal byť koeficient adhézie, aby sa kolesá nešmýkali? Kolesá považujte za disky.

4. Určte, akým zrýchlením sa valí auto s hmotnosťou 40 ton dolu kopcom so sklonom 0,020, ak má osem kolies s hmotnosťou 1200 kg a priemerom 1,02 m. Určte adhéznu silu kolies ku koľajnici. Koeficient odporu 0,003.

5. Určte tlakovú silu brzdových doštičiek na pneumatiky, ak vlak s hmotnosťou 4000 ton brzdí so zrýchlením 0,3 m/s 2 . Moment zotrvačnosti jedného páru kolies je 600 kg m 2, počet náprav je 400, súčiniteľ klzného trenia podložky 0,18 a súčiniteľ valivého odporu 0,004.

6. Určte brzdnú silu pôsobiacu na štvornápravový automobil s hmotnosťou 60 ton na brzdovú plošinu zvážnice, ak rýchlosť na trati 30 m klesla z 2 m/s na 1,5 m/s. Moment zotrvačnosti jedného páru kolies je 500 kg m2.

7. Rýchlomer lokomotívy ukázal zvýšenie rýchlosti vlaku v priebehu jednej minúty z 10 m/s na 60 m/s. Je pravdepodobné, že pár hnacích kolies skĺzol. Určte moment síl pôsobiacich na kotvu elektromotora. Moment zotrvačnosti dvojkolesia je 600 kg m 2, kotvy 120 kg m 2. Prevodový pomer je 4,2. Prítlačná sila na koľajnice je 200 kN, súčiniteľ šmykového trenia kolies na koľajnici je 0,10.

11. KINETICKÁ ENERGIA OTÁČANIA

POHYBY

Odvoďme vzorec pre kinetickú energiu rotačného pohybu. Nechajte teleso otáčať sa uhlovou rýchlosťou ω vzhľadom na pevnú os. Každá malá častica telesa prechádza translačným pohybom v kruhu s rýchlosťou kde RI - vzdialenosť k osi rotácie, polomer obežnej dráhy. Kinetická energia častíc omši m i rovná . Celková kinetická energia systému častíc sa rovná súčtu ich kinetických energií. Zhrňme vzorce pre kinetickú energiu častíc telesa a vyberme polovicu druhej mocniny uhlovej rýchlosti, ktorá je rovnaká pre všetky častice, ako znamienko súčtu, . Súčet súčinov hmotností častíc štvorcami ich vzdialeností od osi rotácie je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os rotácie. . takže, kinetická energia telesa otáčajúceho sa vzhľadom na pevnú os sa rovná polovici súčinu momentu zotrvačnosti telesa vzhľadom na os a druhej mocniny uhlovej rýchlosti otáčania:

Pomocou rotujúcich telies možno ukladať mechanickú energiu. Takéto telesá sa nazývajú zotrvačníky. Zvyčajne sú to telesá revolúcie. Použitie zotrvačníkov na hrnčiarskom kruhu je známe už od staroveku. V spaľovacích motoroch pri silovom zdvihu piest odovzdáva mechanickú energiu zotrvačníku, ktorý potom vykonáva prácu na otáčaní hriadeľa motora počas troch nasledujúcich zdvihov. V matriciach a lisoch je zotrvačník poháňaný do rotácie elektromotorom s relatívne malým výkonom, akumuluje mechanickú energiu počas takmer celej otáčky a v krátkom momente nárazu ju uvoľňuje do lisovacej práce.

Existujú početné pokusy použiť rotujúce zotrvačníky na pohon vozidiel: autá, autobusy. Nazývajú sa mahomobily, gyromobily. Takýchto experimentálnych strojov bolo vytvorených veľa. Sľubné by bolo využitie zotrvačníkov na akumuláciu energie pri brzdení elektrických vlakov, aby sa akumulovaná energia využila pri následnej akcelerácii. Je známe, že zásobník energie zotrvačníka sa používa vo vlakoch metra v New Yorku.

Výraz pre kinetickú energiu rotujúceho telesa, berúc do úvahy, že lineárna rýchlosť ľubovoľného hmotného bodu tvoriaceho teleso je rovná osi rotácie, má tvar

kde je moment zotrvačnosti telesa voči zvolenej osi rotácie, jeho uhlová rýchlosť voči tejto osi a moment hybnosti telesa voči osi rotácie.

Ak teleso prechádza translačným rotačným pohybom, potom výpočet kinetickej energie závisí od výberu pólu, vzhľadom na ktorý je pohyb telesa opísaný. Konečný výsledok bude rovnaký. Takže, ak pre okrúhle teleso valiace sa rýchlosťou v bez skĺznutia s polomerom R a koeficientom zotrvačnosti k, pól sa vezme v jeho CM, v bode C, potom jeho moment zotrvačnosti je , a uhlová rýchlosť otáčania okolo osi C je . Potom je kinetická energia telesa .

Ak je pól zachytený v bode O kontaktu medzi telesom a povrchom, cez ktorý prechádza okamžitá os rotácie telesa, potom sa jeho moment zotrvačnosti vzhľadom na os O rovná. . Potom sa kinetická energia telesa, berúc do úvahy, že uhlové rýchlosti otáčania telesa sú rovnaké vzhľadom na rovnobežné osi a teleso vykonáva čistú rotáciu okolo osi O, rovná . Výsledok je rovnaký.

Veta o kinetickej energii telesa vykonávajúceho zložitý pohyb bude mať rovnakú formu ako jeho translačný pohyb: .

Príklad 1 Teleso s hmotnosťou m je pripevnené ku koncu závitu navinutého okolo valcového bloku s polomerom R a hmotnosťou M. Telo sa zdvihne do výšky h a uvoľní (obr. 65). Po nepružnom trhnutí nite sa telo a blok okamžite začnú pohybovať spolu. Koľko tepla sa uvoľní počas trhnutia? Aké bude zrýchlenie tela a napnutie nite po trhnutí? Aká bude rýchlosť telesa a vzdialenosť, ktorú prejde po trhnutí závitu po čase t?

Dané: M, R, m, h, g, t. Nájsť: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Riešenie: Rýchlosť tela pred trhnutím nite. Po trhnutí závitu sa blok a teleso dostanú do rotačného pohybu vzhľadom na os bloku O a budú sa správať ako telesá s momentmi zotrvačnosti vzhľadom na túto os rovnými a . Ich celkový moment zotrvačnosti okolo osi otáčania.

Trhanie nite je rýchly proces a pri trhnutí dochádza k zákonu zachovania momentu hybnosti sústavy blok-telo, ktorý vďaka tomu, že sa telo a blok ihneď po trhnutí začnú pohybovať spolu, má tvar : . Odkiaľ pochádza počiatočná uhlová rýchlosť otáčania bloku? a počiatočná lineárna rýchlosť telesa .

Kinetická energia sústavy je vďaka zachovaniu momentu hybnosti bezprostredne po trhnutí závitu rovná . Teplo uvoľnené pri trhnutí podľa zákona zachovania energie

Dynamické pohybové rovnice telies sústavy po trhnutí závitu nezávisia od ich počiatočnej rýchlosti. Pre blok má tvar alebo, a pre telo. Sčítaním týchto dvoch rovníc dostaneme . Odkiaľ pochádza zrýchlenie pohybu tela? Napätie nite

Kinematické rovnice pohybu tela po trhnutí budú mať tvar , kde sú známe všetky parametre.

odpoveď: . .

Príklad 2. Dve okrúhle telesá s koeficientmi zotrvačnosti (dutý valec) a (guľa) umiestnené na základni naklonenej roviny s uhlom sklonu α vykazujú rovnaké počiatočné rýchlosti smerujúce nahor pozdĺž naklonenej roviny. Do akej výšky a za aký čas sa telesá do tejto výšky zdvihnú? Aké sú zrýchlenia stúpajúcich telies? Koľkokrát sa líšia výšky, časy a zrýchlenia telies? Telesá sa pohybujú po naklonenej rovine bez skĺznutia.

Dané: . Nájsť:

Riešenie: Na teleso pôsobí: gravitácia m g, reakcia naklonenej roviny N a trecia sila spojky (obr. 67). Práca normálnej reakcie a adhézna trecia sila (nedochádza k skĺznutiu a neuvoľňuje sa žiadne teplo v mieste adhézie telesa a roviny.) sú rovné nule: , preto na opis pohybu telies možno použiť zákon zachovania energie: . Kde .

Časy a zrýchlenia pohybu telies nájdeme z kinematických rovníc . Kde , . Pomer výšok, časov a zrýchlení zdvíhacích telies:

Odpoveď: , , , .

Príklad 3. Guľka s hmotnosťou letiaca rýchlosťou narazí do stredu gule s hmotnosťou M a polomerom R, pripevnenej ku koncu tyče s hmotnosťou m a dĺžky l, zavesenej v bode O za jej druhý koniec, a vyletí z nej. s rýchlosťou (obr. 68). Nájdite uhlovú rýchlosť otáčania systému tyč-guľa bezprostredne po dopade a uhol vychýlenia tyče po dopade strely.

Dané: . Nájsť:

Riešenie: Momenty zotrvačnosti tyče a gule vzhľadom na závesný bod O tyče podľa Steinerovej vety: a . Celkový moment zotrvačnosti systému tyč-guľa . Náraz strely je rýchly proces a platí zákon zachovania momentu hybnosti sústavy strela-tyč-guľa (telesá po zrážke vstupujú do rotačného pohybu): . Odkiaľ pochádza uhlová rýchlosť pohybu systému tyč-guľa bezprostredne po náraze?

Poloha CM systému tyč-guľa vzhľadom na závesný bod O: . Zákon zachovania energie pre CM systému po náraze, berúc do úvahy zákon zachovania momentu hybnosti systému pri náraze, má tvar . Odkiaľ stúpa výška CM systému po náraze? . Uhol vychýlenia tyče po dopade je určený stavom .

odpoveď: , , .

Príklad 4. Blok sa silou N pritlačí na okrúhle teleso s hmotnosťou m a polomerom R s koeficientom zotrvačnosti k, ktoré sa otáča uhlovou rýchlosťou . Ako dlho bude trvať, kým sa valec zastaví a koľko tepla sa uvoľní, keď sa podložka počas tejto doby otiera o valec? Koeficient trenia medzi blokom a valcom je .

Dané: Nájsť:

Riešenie: Práca vykonaná trecou silou pred zastavením telesa podľa vety o kinetickej energii sa rovná . Teplo uvoľnené počas otáčania .

Rovnica rotačného pohybu telesa má tvar . Odkiaľ pochádza uhlové zrýchlenie jeho pomalého otáčania? . Čas, ktorý telo potrebuje na otáčanie, kým sa nezastaví.

Odpoveď: , .

Príklad 5. Kruhové teleso s hmotnosťou m a polomerom R s koeficientom zotrvačnosti k sa roztočí na uhlovú rýchlosť proti smeru hodinových ručičiek a umiestni sa na vodorovnú plochu priľahlú k zvislej stene (obr. 70). Ako dlho bude trvať, kým sa telo zastaví a koľko otáčok urobí, kým sa zastaví? Aké množstvo tepla sa uvoľní, keď sa telo počas tejto doby trie o povrch? Koeficient trenia telesa na povrchu sa rovná .

Dané: . Nájsť:

Riešenie: Teplo uvoľnené pri otáčaní telesa až do jeho zastavenia sa rovná práci trecích síl, ktoré možno nájsť pomocou vety o kinetickej energii telesa. Máme.

Reakcia v horizontálnej rovine. Trecie sily pôsobiace na teleso z vodorovných a zvislých plôch sú rovnaké: a .Zo sústavy týchto dvoch rovníc získame a .

Ak vezmeme do úvahy tieto vzťahy, rovnica rotačného pohybu telesa má tvar (. Odkiaľ sa uhlové zrýchlenie otáčania telesa rovná. Potom čas otáčania telesa pred jeho zastavením a počet otáčok robí.

Odpoveď: , , , .

Príklad 6. Kruhové teleso s koeficientom zotrvačnosti k sa bez skĺznutia odvaľuje z vrcholu pologule s polomerom R stojacej na vodorovnej ploche (obr. 71). V akej výške a akou rýchlosťou sa odtrhne od pologule a akou rýchlosťou dopadne na vodorovnú plochu?

Dané: k, g, R. Nájsť:

Riešenie: Na telo pôsobia sily . Práca a 0, (nedochádza k šmýkaniu a neuvoľňuje sa teplo v mieste priľnutia pologule a gule) teda na opis pohybu telesa je možné použiť zákon zachovania energie. Druhý Newtonov zákon pre CM telesa v bode jeho oddelenia od pologule, berúc do úvahy, že v tomto bode má tvar , odkiaľ . Zákon zachovania energie pre počiatočný bod a bod oddelenia telesa má tvar . Preto výška a rýchlosť oddelenia tela od pologule sú rovnaké, .

Po oddelení telesa od pologule sa mení iba jeho translačná kinetická energia, preto má zákon zachovania energie pre body oddelenia a pádu telesa na zem tvar . Odkiaľ, berúc do úvahy dostaneme . Pre teleso kĺzajúce po povrchu pologule bez trenia platí k=0 a , , .

odpoveď: , , .

Mechanika.

Otázka č.1

Referenčný systém. Inerciálne referenčné systémy. Princíp relativity Galileo - Einstein.

Referenčný rámec- ide o súbor telies, vo vzťahu ku ktorým sa opisuje pohyb daného telesa a súradnicový systém s ním spojený.

Inerciálny referenčný systém (IRS) je systém, v ktorom je voľne sa pohybujúce teleso v stave pokoja alebo rovnomerného priamočiareho pohybu.

Galileo-Einsteinov princíp relativity- Všetky prírodné javy v akejkoľvek inerciálnej vzťažnej sústave sa vyskytujú rovnakým spôsobom a majú rovnakú matematickú formu. Inými slovami, všetky ISO sú rovnaké.

Otázka č.2

Pohybová rovnica. Druhy pohybu tuhého telesa. Hlavná úloha kinematiky.

Pohybové rovnice hmotného bodu:

- kinematická pohybová rovnica

Druhy pohybu tuhého telesa:

1) Translačný pohyb – akákoľvek priamka nakreslená v tele sa pohybuje rovnobežne sama so sebou.

2) Rotačný pohyb – ľubovoľný bod tela sa pohybuje po kružnici.

φ = φ(t)

Hlavná úloha kinematiky- ide o získanie časovej závislosti rýchlosti V = V(t) a súradníc (alebo polomerového vektora) r = r(t) hmotného bodu zo známej časovej závislosti jeho zrýchlenia a = a(t) a známe počiatočné podmienky V 0 a r 0 .

Otázka č.7

Pulz (Množstvo pohybu) je vektorová fyzikálna veličina charakterizujúca mieru mechanického pohybu telesa. V klasickej mechanike sa hybnosť telesa rovná súčinu hmotnosti m to poukazuje na jeho rýchlosť v, smer impulzu sa zhoduje so smerom vektora rýchlosti:

V teoretickej mechanike generalizovaný impulz je čiastočná derivácia Lagrangianu systému vzhľadom na zovšeobecnenú rýchlosť

Ak Lagrangian systému nezávisí od niektorých zovšeobecnené súradnice, potom kvôli Lagrangeove rovnice .

Pre voľnú časticu má Lagrangeova funkcia tvar: , teda:

Nezávislosť lagrangea uzavretého systému od jeho polohy v priestore vyplýva z vlastnosti homogénnosť priestoru: pre dobre izolovaný systém jeho správanie nezávisí od toho, kde v priestore ho umiestnime. Autor: Noetherova veta Z tejto homogenity vyplýva zachovanie nejakej fyzikálnej veličiny. Táto veličina sa nazýva impulz (obyčajný, nie zovšeobecnený).

V klasickej mechanike komplet impulz sústava hmotných bodov sa nazýva vektorová veličina rovnajúca sa súčtu súčinov hmotností hmotných bodov a ich rýchlosti:

podľa toho sa veličina nazýva hybnosť jedného hmotného bodu. Ide o vektorovú veličinu smerujúcu rovnakým smerom ako rýchlosť častice. Medzinárodná sústava jednotiek (SI) jednotka impulzu je kilogram-meter za sekundu(kg m/s)

Ak máme čo do činenia s telesom konečnej veľkosti, na určenie jeho hybnosti je potrebné rozložiť teleso na malé časti, ktoré možno považovať za hmotné body a sčítať ich, výsledkom je:

Impulz systému, ktorý nie je ovplyvnený žiadnymi vonkajšími silami (alebo sú kompenzované) uložené na čas:

Zachovanie hybnosti v tomto prípade vyplýva z druhého a tretieho Newtonovho zákona: napísaním druhého Newtonovho zákona pre každý z hmotných bodov tvoriacich systém a sčítaním všetkých hmotných bodov tvoriacich systém na základe tretieho Newtonovho zákona získame rovnosť (* ).

V relativistickej mechanike je trojrozmerná hybnosť systému neinteragujúcich hmotných bodov množstvo

,

Kde m i- hmotnosť i materiálny bod.

Pre uzavretý systém neinteragujúcich hmotných bodov je táto hodnota zachovaná. Trojrozmerná hybnosť však nie je relativisticky invariantná veličina, pretože závisí od referenčnej sústavy. Zmysluplnejšou veličinou bude štvorrozmerná hybnosť, ktorá je pre jeden hmotný bod definovaná ako

V praxi sa často používajú tieto vzťahy medzi hmotnosťou, hybnosťou a energiou častice:

V zásade platí, že pre systém neinteragujúcich hmotných bodov sa ich 4-momenty sčítavajú. Pre interagujúce častice v relativistickej mechanike je však potrebné brať do úvahy nielen hybnosť častíc, ktoré tvoria systém, ale aj hybnosť interakčného poľa medzi nimi. Oveľa zmysluplnejšou veličinou v relativistickej mechanike je preto tenzor hybnosti energie, ktorý plne spĺňa zákony zachovania.

Otázka č. 8

Moment zotrvačnosti- skalárna fyzikálna veličina, miera zotrvačnosti telesa pri rotačnom pohybe okolo osi, rovnako ako hmotnosť telesa je mierou jeho zotrvačnosti pri posuvnom pohybe. Charakterizované rozložením hmotností v tele: moment zotrvačnosti sa rovná súčtu súčinov elementárnych hmotností druhou mocninou ich vzdialeností k základnej množine

Axiálny moment zotrvačnosti

Axiálne momenty zotrvačnosti niektorých telies.

Moment zotrvačnosti mechanického systému vzhľadom k pevnej osi („axiálny moment zotrvačnosti“) je množstvo J a, ktorá sa rovná súčtu súčinov hmotností všetkých n hmotné body systému štvorcami ich vzdialeností od osi:

,

• m i- hmotnosť i bod,
• RI- vzdialenosť od i bod k osi.

Axiálny moment zotrvačnosti telo J a je mierou zotrvačnosti telesa pri rotačnom pohybe okolo osi, rovnako ako hmotnosť telesa je mierou jeho zotrvačnosti pri translačnom pohybe.

,

• dm = ρ dV- hmotnosť malého prvku objemu tela dV,
• ρ - hustota,
• r- vzdialenosť od prvku dV na os a.

Ak je teleso homogénne, teda jeho hustota je všade rovnaká

Odvodenie vzorca

dm a momenty zotrvačnosti DJ i. Potom

Tenkostenný valec (krúžok, obruč)

Odvodenie vzorca

Moment zotrvačnosti telesa sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti jeho častí. Rozdeľte tenkostenný valec na prvky s hmotou dm a momenty zotrvačnosti DJ i. Potom

Pretože všetky prvky tenkostenného valca sú v rovnakej vzdialenosti od osi otáčania, vzorec (1) sa transformuje do tvaru

Steinerova veta

Moment zotrvačnosti pevného telesa vzhľadom na ktorúkoľvek os závisí nielen od hmotnosti, tvaru a veľkosti telesa, ale aj od polohy telesa voči tejto osi. Podľa Steinerovej vety (Huygens-Steinerova veta) moment zotrvačnosti telo J vzhľadom na ľubovoľnú os sa rovná súčtu moment zotrvačnosti toto telo Jc vzhľadom na os prechádzajúcu cez ťažisko tela rovnobežnú s uvažovanou osou a súčinom hmotnosti tela m na štvorec vzdialenosti d medzi osami:

Ak je moment zotrvačnosti telesa vo vzťahu k osi prechádzajúcej ťažiskom telesa, potom sa moment zotrvačnosti vzhľadom na rovnobežnú os umiestnenú vo vzdialenosti od nej rovná

,

kde je celková telesná hmotnosť.

Napríklad moment zotrvačnosti tyče vo vzťahu k osi prechádzajúcej jej koncom sa rovná:

Rotačná energia

Kinetická energia rotačného pohybu- energia telesa spojená s jeho otáčaním.

Hlavnými kinematickými charakteristikami rotačného pohybu telesa sú jeho uhlová rýchlosť (ω) a uhlové zrýchlenie. Hlavné dynamické charakteristiky rotačného pohybu - moment hybnosti vzhľadom na os rotácie z:

K z = ja zω

a kinetickej energie

kde I z je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os otáčania.

Podobný príklad možno nájsť pri uvažovaní o rotujúcej molekule s hlavnými osami zotrvačnosti ja 1, ja 2 A ja 3. Rotačná energia takejto molekuly je daná výrazom

Kde ω 1, ω 2, A ω 3- hlavné zložky uhlovej rýchlosti.

Vo všeobecnosti sa energia počas rotácie s uhlovou rýchlosťou zistí podľa vzorca:

, Kde ja- tenzor zotrvačnosti.

Otázka č.9

Moment impulzu (moment hybnosti, moment hybnosti, orbitálny moment, moment hybnosti) charakterizuje veľkosť rotačného pohybu. Množstvo, ktoré závisí od toho, koľko hmoty sa otáča, ako je rozložená vzhľadom na os rotácie a akou rýchlosťou rotácia nastáva.

Treba poznamenať, že rotácia je tu chápaná v širokom zmysle, nielen ako pravidelná rotácia okolo osi. Napríklad, aj keď sa teleso pohybuje po priamke za ľubovoľný imaginárny bod, ktorý neleží na pohybovej línii, má tiež uhlovú hybnosť. Azda najväčšiu úlohu zohráva moment hybnosti pri popise skutočného rotačného pohybu. Je to však mimoriadne dôležité pre oveľa širšiu triedu problémov (najmä ak má problém stredovú alebo osovú symetriu, ale nielen v týchto prípadoch).

Zákon zachovania momentu hybnosti(zákon zachovania momentu hybnosti) - vektorový súčet všetkých momentov hybnosti vzhľadom na ľubovoľnú os pre uzavretý systém zostáva konštantný v prípade rovnováhy systému. V súlade s tým je moment hybnosti uzavretého systému vzhľadom na akúkoľvek nederiváciu momentu hybnosti vzhľadom na čas momentom sily:

Požiadavku na uzavretosť systému možno teda oslabiť na požiadavku, aby sa hlavný (celkový) moment vonkajších síl rovnal nule:

kde je moment jednej zo síl pôsobiacich na sústavu častíc. (Ale samozrejme, ak neexistujú žiadne vonkajšie sily, táto požiadavka je tiež splnená).

Matematicky zákon zachovania momentu hybnosti vyplýva z izotropie priestoru, teda z nemennosti priestoru vzhľadom na rotáciu o ľubovoľný uhol. Pri otočení o ľubovoľný nekonečne malý uhol sa vektor polomeru častice s číslom zmení o , a rýchlosť - . Lagrangeova funkcia systému sa takouto rotáciou nezmení, kvôli izotropii priestoru. Preto

1. Zvážte rotáciu telesa okolo nehybný os Z. Rozdeľme celé teleso na množinu elementárnych hmôt m i. Lineárna rýchlosť elementárnej hmotnosti m i– v i = w R i, kde R i– hmotnostná vzdialenosť m i od osi otáčania. Preto kinetická energia i elementárna hmotnosť sa bude rovnať . Celková kinetická energia tela: , tu je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os otáčania.

Kinetická energia telesa rotujúceho okolo pevnej osi sa teda rovná:

2. Teraz nechajte telo sa otáča vzhľadom k nejakej osi a sebe os sa pohybuje progresívne, pričom zostáva paralelný sám so sebou.

NAPRÍKLAD: Guľa, ktorá sa odvaľuje bez kĺzania, vykonáva rotačný pohyb a jej ťažisko, ktorým prechádza os otáčania (bod „O“), sa posúva translačne (obr. 4.17).

Rýchlosť i-že elementárna telesná hmotnosť sa rovná , kde je rýchlosť niektorého bodu „O“ telesa; – vektor polomeru, ktorý určuje polohu elementárnej hmoty vzhľadom k bodu „O“.

Kinetická energia elementárnej hmoty sa rovná:

POZNÁMKA: vektorový súčin sa zhoduje v smere s vektorom a má modul rovný (obr. 4.18).

Berúc do úvahy túto poznámku, môžeme to napísať , kde je vzdialenosť hmoty od osi rotácie. V druhom člene urobíme cyklické preskupenie faktorov, po ktorom sa dostaneme

Aby sme získali celkovú kinetickú energiu telesa, spočítame tento výraz cez všetky elementárne hmotnosti, pričom konštantné faktory presahujú znamienko súčtu. Dostaneme

Súčet elementárnych hmotností je hmotnosť telesa „m“. Vyjadrenie sa rovná súčinu hmotnosti telesa s polomerovým vektorom stredu zotrvačnosti telesa (podľa definície stredu zotrvačnosti). Nakoniec moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os prechádzajúcu bodom „O“. Preto môžeme písať

.

Ak zoberieme stred zotrvačnosti telesa „C“ ako bod „O“, vektor polomeru sa bude rovnať nule a druhý člen zmizne. Potom, keď označíme cez – rýchlosť stredu zotrvačnosti a cez – moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os prechádzajúcu bodom „C“, dostaneme:

(4.6)

Kinetická energia telesa v rovinnom pohybe je teda zložená z energie translačného pohybu pri rýchlosti rovnajúcej sa rýchlosti stredu zotrvačnosti a z energie rotácie okolo osi prechádzajúcej stredom zotrvačnosti telesa.

Práca vonkajších síl pri rotačnom pohybe tuhého telesa.

Nájdite prácu vykonanú silami, keď sa teleso otáča okolo stacionárnej osi Z.

Na hmotu nech pôsobí vnútorná sila a vonkajšia sila (výsledná sila leží v rovine kolmej na os rotácie) (obr. 4.19). Tieto sily pôsobia v čase dt práca:

Po vykonaní cyklického preskupenia faktorov v zmiešaných produktoch vektorov zistíme:

kde , sú v tomto poradí momenty vnútorných a vonkajších síl vo vzťahu k bodu „O“.

Zhrnutím všetkých elementárnych hmôt dostaneme elementárnu prácu vykonanú na tele v čase dt:

Súčet momentov vnútorných síl je nulový. Potom, keď označíme celkový moment vonkajších síl cez , dospejeme k výrazu:

.

Je známe, že skalárny súčin dvoch vektorov je skalár rovný súčinu modulu jedného z vektorov vynásobeného priemetom druhého na smer prvého, pričom sa berie do úvahy, že , (smery os Z sa zhoduje), získame

,

ale w dt=d j, t.j. uhol, pod ktorým sa teleso otáča v čase dt. Preto

.

Znak diela závisí od znaku M z, t.j. od znamienka priemetu vektora do smeru vektora.

Takže keď sa teleso otáča, vnútorné sily nepracujú a práca vonkajších síl je určená vzorcom .

Práca vykonaná v konečnom časovom období sa nájde integráciou

.

Ak priemet výsledného momentu vonkajších síl do smeru zostáva konštantný, potom ho možno vyňať z integrálneho znamienka:

, t.j. .

Tie. práca vykonaná vonkajšou silou pri rotačnom pohybe telesa sa rovná súčinu priemetu momentu vonkajšej sily na smer a uhol otáčania.

Na druhej strane, práca vonkajšej sily pôsobiacej na teleso vedie k zvýšeniu kinetickej energie telesa (alebo sa rovná zmene kinetickej energie rotujúceho telesa). Ukážme si toto:

;

teda

. (4.7)

Sám za seba:

Elastické sily;

Hookov zákon.

Hydrodynamika

Prúdové vedenia a rúrky.

Hydrodynamika študuje pohyb kvapalín, no jej zákony platia aj pre pohyb plynov. V stacionárnom prúdení tekutiny je rýchlosť jej častíc v každom bode priestoru veličinou nezávislou od času a je funkciou súradníc. Pri rovnomernom prúdení tvoria trajektórie častíc tekutiny prúdnicu. Kombinácia prúdových vedení tvorí prúdovú elektrónku (obr. 5.1). Predpokladáme, že kvapalina je nestlačiteľná, potom objem kvapaliny pretekajúcej sekciami S 1 a S 2 bude rovnaký. Za sekundu prejde týmito úsekmi objem kvapaliny rovný

, (5.1)

kde a sú rýchlosti tekutín v úsekoch S 1 a S 2 a vektory a sú definované ako a , kde a sú normály k úsekom S 1 a S 2. Rovnica (5.1) sa nazýva rovnica kontinuity prúdu. Z toho vyplýva, že rýchlosť tekutiny je nepriamo úmerná prierezu prúdovej trubice.

Bernoulliho rovnica.

Budeme uvažovať o ideálnej nestlačiteľnej kvapaline, v ktorej nedochádza k vnútornému treniu (viskozita). Vyberme si tenkoprúdovú trubicu v stacionárne prúdiacej kvapaline (obr. 5.2) s rezmi S 1 A S 2, kolmo na prúdnice. V priereze 1 v krátkom čase tčastice sa budú pohybovať na určitú vzdialenosť l 1 a v sekcii 2 - na diaľku l 2. Cez oba úseky v čase t prejdú rovnaké malé objemy kvapaliny V= V 1 = V 2 a preneste veľa tekutiny m=rV, Kde r- hustota kvapaliny. Vo všeobecnosti ide o zmenu mechanickej energie celej tekutiny v prietokovej trubici medzi sekciami S 1 A S 2, sa stalo v čase t, možno nahradiť zmenou objemovej energie V ku ktorému došlo, keď sa presunul z oddielu 1 do oddielu 2. Pri takomto pohybe sa zmení kinetická a potenciálna energia tohto objemu a celková zmena jeho energie

, (5.2)

kde v 1 a v 2 - rýchlosti častíc tekutiny v úsekoch S 1 A S 2 v tomto poradí; g- gravitačné zrýchlenie; h 1 A h 2- výška stredu sekcií.

V ideálnej kvapaline nedochádza k žiadnym stratám trením, takže nárast energie je DE sa musí rovnať práci vykonanej tlakovými silami na pridelený objem. Pri absencii trecích síl táto práca:

Vyrovnaním pravých strán rovnosti (5.2) a (5.3) a prenesením členov s rovnakými indexmi na jednu stranu rovnosti dostaneme

. (5.4)

Oddiely rúr S 1 A S 2 boli brané svojvoľne, preto možno tvrdiť, že v ktorejkoľvek sekcii aktuálnej trubice je výraz platný

. (5.5)

Rovnica (5.5) sa nazýva Bernoulliho rovnica. Pre horizontálne prúdenie h = konšt a rovnosť (5.4) má formu

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

tie. tlak je menší v tých bodoch, kde je rýchlosť väčšia.

Vnútorné trecie sily.

Skutočná kvapalina sa vyznačuje viskozitou, ktorá sa prejavuje tým, že akýkoľvek pohyb kvapaliny a plynu sa spontánne zastaví, ak neexistujú dôvody, ktoré ho spôsobili. Uvažujme o experimente, v ktorom sa vrstva kvapaliny nachádza nad stacionárnym povrchom a na jej vrchu sa pohybuje rýchlosťou , na nej plávajúca doska s povrchom S(obr. 5.3). Prax ukazuje, že na to, aby sa platňa pohybovala konštantnou rýchlosťou, je potrebné na ňu pôsobiť silou. Keďže doska nedostáva zrýchlenie, znamená to, že pôsobenie tejto sily je vyvážené inou, rovnako veľkú a opačne smerujúcou silou, ktorou je trecia sila. . Newton ukázal, že sila trenia

, (5.7)

Kde d- hrúbka vrstvy kvapaliny, h - koeficient viskozity alebo koeficient trenia kvapaliny, znamienko mínus zohľadňuje rôzne smery vektorov F tr A v o. Ak skúmate rýchlosť častíc kvapaliny na rôznych miestach vrstvy, ukáže sa, že sa mení podľa lineárneho zákona (obr. 5.3):

v(z) = = (vo/d)-z.

Rozlišovaním tejto rovnosti dostaneme dv/dz= v 0 /d. S týmto v hlave

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Kde h- dynamický viskozitný koeficient. Rozsah dv/dz nazývaný rýchlostný gradient. Ukazuje, ako rýchlo sa rýchlosť mení v smere osi z. O dv/dz= const gradient rýchlosti sa numericky rovná zmene rýchlosti v keď sa zmení z za jednotku. Dajme číselne do vzorca (5.8) dv/dz =-1 a S= 1, dostaneme h = F. to znamená fyzikálny význam h: koeficient viskozity sa číselne rovná sile, ktorá pôsobí na vrstvu kvapaliny s jednotkovou plochou s rýchlostným gradientom rovným jednotke. Jednotka viskozity SI sa nazýva pascalová sekunda (označuje sa Pa s). V systéme CGS je jednotkou viskozity 1 poise (P), pričom 1 Pa s = 10P.