Riešenie lineárnych rovníc s príkladmi. Riešenie rovníc s dvoma premennými Vyriešte rovnicu 2 4

Rovnica s jednou neznámou, ktorá po otvorení zátvoriek a prinesení podobných pojmov nadobudne tvar

ax + b = 0, kde a a b sú ľubovoľné čísla, sa nazýva lineárna rovnica s jednou neznámou. Dnes zistíme, ako vyriešiť tieto lineárne rovnice.

Napríklad všetky rovnice:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineárne.

Hodnota neznámej, ktorá mení rovnicu na skutočnú rovnosť, sa nazýva rozhodnutie alebo koreň rovnice .

Napríklad, ak do rovnice 3x + 7 = 13 namiesto neznámeho x dosadíme číslo 2, dostaneme správnu rovnosť 3 2 +7 = 13. To znamená, že hodnota x = 2 je riešením alebo koreňom rovnice.

A hodnota x = 3 nezmení rovnicu 3x + 7 = 13 na skutočnú rovnosť, pretože 3 2 +7 ≠ 13. To znamená, že hodnota x = 3 nie je riešením ani koreňom rovnice.

Riešenie akýchkoľvek lineárnych rovníc sa redukuje na riešenie rovníc vo forme

ax + b = 0.

Presuňme voľný člen z ľavej strany rovnice doprava, pričom znamienko pred b zmeníme na opačné, dostaneme

Ak a ≠ 0, potom x = ‒ b/a .

Príklad 1 Riešte rovnicu 3x + 2 =11.

Presuňme 2 z ľavej strany rovnice doprava, pričom znamienko pred 2 zmeníme na opačné, dostaneme
3x = 11 – 2.

Tak urobme odčítanie
3x = 9.

Ak chcete nájsť x, musíte rozdeliť produkt známym faktorom, tj
x = 9:3.

To znamená, že hodnota x = 3 je riešením alebo koreňom rovnice.

Odpoveď: x = 3.

Ak a = 0 a b = 0, potom dostaneme rovnicu 0x = 0. Táto rovnica má nekonečne veľa riešení, keďže keď vynásobíme ľubovoľné číslo 0, dostaneme 0, ale b sa tiež rovná 0. Riešením tejto rovnice je ľubovoľné číslo.

Príklad 2 Vyriešte rovnicu 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Rozšírime zátvorky:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Tu je niekoľko podobných výrazov:
0x = 0.

Odpoveď: x - ľubovoľné číslo.

Ak a = 0 a b ≠ 0, potom dostaneme rovnicu 0х = - b. Táto rovnica nemá riešenia, pretože keď vynásobíme ľubovoľné číslo 0, dostaneme 0, ale b ≠ 0.

Príklad 3 Vyriešte rovnicu x + 8 = x + 5.

Zoskupme výrazy obsahujúce neznáme na ľavej strane a voľné výrazy na pravej strane:
x – x = 5 – 8.

Tu je niekoľko podobných výrazov:
0х = ‒ 3.

Odpoveď: žiadne riešenia.

Zapnuté postava 1 ukazuje schému riešenia lineárnej rovnice

Zostavme si všeobecnú schému riešenia rovníc s jednou premennou. Pozrime sa na riešenie príkladu 4.

Príklad 4. Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť rovnicu

1) Vynásobte všetky členy rovnice najmenším spoločným násobkom menovateľov, ktorý sa rovná 12.

2) Po zmenšení dostaneme
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Ak chcete oddeliť výrazy obsahujúce neznáme a voľné výrazy, otvorte zátvorky:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Zoskupme do jednej časti výrazy obsahujúce neznáme a do druhej voľné výrazy:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Uveďme podobné pojmy:
- 22 x = - 154.

6) Vydelíme – 22, dostaneme
x = 7.

Ako vidíte, koreň rovnice je sedem.

Vo všeobecnosti takéto rovnice je možné riešiť pomocou nasledujúcej schémy:

a) priviesť rovnicu do jej celočíselného tvaru;

b) otvorte zátvorky;

c) zoskupiť členy obsahujúce neznámu v jednej časti rovnice a voľné členy v druhej;

d) priviesť podobných členov;

e) vyriešte rovnicu v tvare aх = b, ktorá bola získaná po prinesení podobných členov.

Táto schéma však nie je potrebná pre každú rovnicu. Pri riešení mnohých jednoduchších rovníc musíte začať nie od prvej, ale od druhej ( Príklad. 2), tretí ( Príklad. 13) a dokonca aj od piatej fázy, ako v príklade 5.

Príklad 5. Riešte rovnicu 2x = 1/4.

Nájdite neznámu x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Pozrime sa na riešenie niektorých lineárnych rovníc nájdených v hlavnej štátnej skúške.

Príklad 6. Riešte rovnicu 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Odpoveď: - 0,125

Príklad 7. Vyriešte rovnicu – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Odpoveď: 2.3

Príklad 8. Vyriešte rovnicu

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Príklad 9. Nájdite f(6), ak f (x + 2) = 3 7

Riešenie

Keďže potrebujeme nájsť f(6) a vieme f (x + 2),
potom x + 2 = 6.

Riešime lineárnu rovnicu x + 2 = 6,
dostaneme x = 6 – 2, x = 4.

Ak x = 4, potom
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

odpoveď: 27.

Ak máte ešte otázky alebo chcete riešeniu rovníc porozumieť dôkladnejšie, prihláste sa na moje hodiny v ROZVRHU. Rád vám pomôžem!

TutorOnline tiež odporúča pozrieť si novú video lekciu od našej lektorky Olgy Alexandrovny, ktorá vám pomôže pochopiť lineárne rovnice aj iné.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

V kurze matematiky 7. ročníka sa stretávame prvýkrát rovnice s dvoma premennými, ale skúmajú sa len v kontexte sústav rovníc s dvoma neznámymi. Preto celý rad problémov, v ktorých sa zavádzajú určité podmienky na koeficienty rovnice, ktoré ich obmedzujú, vypadáva z dohľadu. Okrem toho sa ignorujú aj metódy na riešenie problémov ako „Vyriešte rovnicu v prirodzených alebo celých číslach“, hoci problémy tohto druhu sa čoraz častejšie vyskytujú v materiáloch jednotných štátnych skúšok a pri prijímacích skúškach.

Ktorá rovnica sa bude nazývať rovnica s dvoma premennými?

Takže napríklad rovnice 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 alebo xy = 12 sú rovnice v dvoch premenných.

Zoberme si rovnicu 2x – y = 1. Platí, keď x = 2 a y = 3, takže táto dvojica premenných hodnôt je riešením danej rovnice.

Riešením akejkoľvek rovnice s dvoma premennými je teda množina usporiadaných párov (x; y), hodnôt premenných, ktoré menia túto rovnicu na skutočnú číselnú rovnosť.

Rovnica s dvoma neznámymi môže:

A) mať jedno riešenie. Napríklad rovnica x 2 + 5y 2 = 0 má jedinečné riešenie (0; 0);

b) mať viacero riešení. Napríklad (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 má 4 riešenia: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nemať riešenia. Napríklad rovnica x 2 + y 2 + 1 = 0 nemá riešenia;

G) má nekonečne veľa riešení. Napríklad x + y = 3. Riešeniami tejto rovnice budú čísla, ktorých súčet sa rovná 3. Množinu riešení tejto rovnice môžeme zapísať v tvare (k; 3 – k), kde k je ľubovoľné reálne číslo.

Hlavnými metódami riešenia rovníc s dvoma premennými sú metódy založené na faktoringových výrazoch, izolácii úplného štvorca, využívajúce vlastnosti kvadratickej rovnice, obmedzené výrazy a metódy odhadu. Rovnica sa zvyčajne transformuje do tvaru, z ktorého možno získať systém na hľadanie neznámych.

Faktorizácia

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: xy – 2 = 2x – y.

Riešenie.

Na účely faktorizácie zoskupujeme výrazy:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Z každej zátvorky vyberieme spoločný faktor:

y(x + 1) – 2 (x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Máme:

y = 2, x – ľubovoľné reálne číslo alebo x = -1, y – ľubovoľné reálne číslo.

teda odpoveďou sú všetky dvojice v tvare (x; 2), x € R a (-1; y), y € R.

Rovnosť nezáporných čísel s nulou

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Riešenie.

Zoskupenie:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Teraz je možné každú zátvorku zložiť pomocou vzorca na druhú druhú.

(3x – 2) 2 + (2 roky – 3) 2 = 0.

Súčet dvoch nezáporných výrazov je nula, len ak 3x – 2 = 0 a 2y – 3 = 0.

To znamená x = 2/3 a y = 3/2.

Odpoveď: (2/3; 3/2).

Metóda odhadu

Príklad 3

Vyriešte rovnicu: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Riešenie.

V každej zátvorke vyberieme celý štvorec:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Odhadnime význam výrazov v zátvorkách.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 a (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, potom je ľavá strana rovnice vždy aspoň 2. Rovnosť je možná, ak:

(x + 1) 2 + 1 = 1 a (y – 2) 2 + 2 = 2, čo znamená x = -1, y = 2.

Odpoveď: (-1; 2).

Zoznámime sa s ďalšou metódou riešenia rovníc s dvoma premennými druhého stupňa. Táto metóda pozostáva zo spracovania rovnice ako štvorec vzhľadom na nejakú premennú.

Príklad 4.

Vyriešte rovnicu: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Riešenie.

Riešime rovnicu ako kvadratickú rovnicu pre x. Poďme nájsť diskriminant:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Rovnica bude mať riešenie len vtedy, keď D = 0, teda ak y = 4. Hodnotu y dosadíme do pôvodnej rovnice a zistíme, že x = 3.

Odpoveď: (3; 4).

Často v rovniciach s dvoma neznámymi označujú obmedzenia premenných.

Príklad 5.

Riešte rovnicu celými číslami: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Riešenie.

Prepíšme rovnicu v tvare x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Pravá strana výslednej rovnice pri delení 5 dáva zvyšok 2. Preto x 2 nie je deliteľné 5. Ale druhá mocnina a číslo nedeliteľné 5 dáva zvyšok 1 alebo 4. Rovnosť teda nie je možná a neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: žiadne korene.

Príklad 6.

Vyriešte rovnicu: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Riešenie.

Zvýraznime celé štvorce v každej zátvorke:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ľavá strana rovnice je vždy väčšia alebo rovná 3. Rovnosť je možná za predpokladu, že |x| – 2 = 0 a y + 3 = 0. Teda x = ± 2, y = -3.

Odpoveď: (2; -3) a (-2; -3).

Príklad 7.

Pre každý pár záporných celých čísel (x;y), ktoré spĺňajú rovnicu
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, vypočítajte súčet (x + y). V odpovedi uveďte najmenšiu sumu.

Riešenie.

Vyberme celé štvorce:

(x2 – 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Keďže x a y sú celé čísla, ich druhé mocniny sú tiež celé čísla. Ak spočítame 1 + 36, dostaneme súčet druhých mocnín dvoch celých čísel rovný 37. Preto:

(x – y) 2 = 36 a (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 a (y + 2) 2 = 36.

Vyriešením týchto systémov a berúc do úvahy, že x a y sú záporné, nájdeme riešenia: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpoveď: -17.

Nezúfajte, ak máte problém vyriešiť rovnice s dvoma neznámymi. S trochou cviku zvládnete akúkoľvek rovnicu.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť rovnice v dvoch premenných?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

1. Riešenie sústavy substitučnou metódou.
2. Riešenie sústavy po členoch sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy.

Aby sme vyriešili sústavu rovníc substitučnou metódou musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1. Express. Z ľubovoľnej rovnice vyjadríme jednu premennú.
2. Náhradník. Výslednú hodnotu dosadíme do inej rovnice namiesto vyjadrenej premennej.
3. Vyriešte výslednú rovnicu s jednou premennou. Nájdeme riešenie systému.

Vyriešiť systém metódou sčítania (odčítania) po členoch potrebovať:
1. Vyberte premennú, pre ktorú urobíme identické koeficienty.
2. Sčítame alebo odčítame rovnice, čím vznikne rovnica s jednou premennou.
3. Vyriešte výsledok lineárna rovnica. Nájdeme riešenie systému.

Riešením systému sú priesečníky funkčných grafov.

Pozrime sa podrobne na riešenie systémov pomocou príkladov.

Príklad č. 1:

Riešime substitučnou metódou

2x+5y=1 (1 rovnica)
x-10y=3 (2. rovnica)

1. Express
Je vidieť, že v druhej rovnici je premenná x s koeficientom 1, čo znamená, že premennú x je najjednoduchšie vyjadriť z druhej rovnice.
x = 3 + 10 rokov

2.Po jej vyjadrení dosadíme do prvej rovnice namiesto premennej x 3+10y.
2(3+10r)+5y=1

3. Vyriešte výslednú rovnicu s jednou premennou.
2(3+10r)+5y=1 (otvorte zátvorky)
6 + 20 rokov + 5 rokov = 1
25r = 1-6
25r=-5 |: (25)
y=-5:25
y = -0,2

Riešením sústavy rovníc sú priesečníky grafov, preto potrebujeme nájsť x a y, pretože priesečník sa skladá z x a y, nájdime x, v prvom bode, kde sme to vyjadrili, dosadíme y.
x = 3 + 10 rokov
x=3+10*(-0,2)=1

Je zvykom písať body na prvom mieste píšeme premennú x a na druhom mieste premennú y.
Odpoveď: (1; -0,2)

Príklad č. 2:

Riešime pomocou metódy sčítania (odčítania) po členoch.

3x-2y=1 (1 rovnica)
2x-3y=-10 (2. rovnica)

1. Vyberieme premennú, povedzme, že zvolíme x. V prvej rovnici má premenná x koeficient 3, v druhej - 2. Musíme urobiť koeficienty rovnaké, na to máme právo rovnice vynásobiť alebo deliť ľubovoľným číslom. Prvú rovnicu vynásobíme 2 a druhú 3 a dostaneme celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Odčítajte druhú od prvej rovnice, aby ste sa zbavili premennej x.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y = 6,4

3. Nájdite x. Nájdené y dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, povedzme do prvej rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Priesečník bude x=4,6; y = 6,4
Odpoveď: (4,6; 6,4)

Chcete sa pripraviť na skúšky zadarmo? Doučovateľ online zadarmo. Nerobím si srandu.