Графік рівняння y x у квадраті. Функція у = х2 та її графік - Гіпермаркет знань
Як написати графік функції y=x у квадраті+2x-5? і отримав найкращу відповідь
Відповідь від Олексій Попов (Океан)[гуру]
Функція квадратична та її графік парабола. Знайдемо координати вершини цієї параболи Х = -2/2 = -1 У = 1-2-5 = -6 (треба у формулу y = x у квадраті +2x-5 замість Х підставити "-1" і обчислити). Зазначаємо вершину параболи А (-1; -6) у системі координат. І від цієї точки (від точки А) відзначаємо точки знайдені за формулою y = x у квадраті тобто точки (1; 1) (-1; 1) (2; 4) (-2; 4) (3; 9) ( -3; 9) Увага! Усі ці точки відкладаємо від вершини параболи, від точки А (а не від точки О, початку координат)
Відповідь від Єергій Черевань[майстер]
Візьми х = 0 - це буде початок графіка, а потім бери 4 точки х = 1, х = -1, х = 2 і х = -2 і буд графік, називається парабола
Відповідь від Олена Федюкіна[гуру]
квадратична функція, графіг парабола, вітр вгору. Вершини поосі х = -1, по осі у = -5.
Відповідь від Ганна Єгорова[гуру]
y=x у квадраті+2x-5 графік-парабола, гілки якої спрямовані вгору (a=1 більше за нуль) , знаходиш вершину параболи: m= -b ділене на 2a - це координата по осі x - буде -1; координата по y: підставляєш у свою функцію: буде -6, значить вершина параболи (-1;-6) далі креслиш таблицю зі значеннями x і y, наприклад, при x=-3, y=-2;x=-2, y =-5; x=-1,y=-6; x=0, y=-5; x=1, y=-2; x=2, y=3далі відзначай ці точки на координатній площині і з'єднуй)))
Відповідь від Bibi[гуру]
у = x кв. +2х-5, виділивши квадрат двочлена, отримаємо у = (х +1) у кв. -6 Звідси випливає, що вершина (-1;-6). Графіком функції є парабола. Гілки параболи спрямовані вертикально нагору, тому що перед дужкою (а) немає мінуса.
Відповідь від 2 відповіді[гуру]
Вітання! Ось добірка тем із відповідями на Ваше запитання: Як накреслити графік функції y=x у квадраті+2x-5?
Раніше ми вивчали інші функції, наприклад лінійну, нагадаємо її стандартний вигляд:
звідси очевидна принципова відмінність - у лінійній функції хстоїть у першому ступені, а в тій новій функції, до вивчення якої ми приступаємо, хстоїть у другому ступені.
Нагадаємо, що графіком лінійної функції є пряма лінія, а графіком функції, як ми побачимо, є крива, яка називається параболою.
Почнемо з того, що з'ясуємо, звідки з'явилася формула . Пояснення таке: якщо нам заданий квадрат зі стороною а, то площу його ми можемо обчислити так:
Якщо ми змінюватимемо довжину сторони квадрата, то і його площа змінюватиметься.
Отже, наведено одну з причин, через яку вивчається функція
Нагадаємо, що змінна х- це незалежна змінна, або аргумент, у фізичній інтерпретації це може бути, наприклад, час. Відстань це навпаки залежна змінна, вона залежить від часу. Залежною змінною або функцією називається змінна у.
Це закон відповідності, за яким кожному значенню хставиться у відповідність єдине значення у.
Будь-який закон відповідності має задовольняти вимогу єдиності від аргументу до функції. У фізичній інтерпретації це виглядає досить зрозуміло на прикладі залежності відстані від часу: у кожний момент часу ми знаходимося на якійсь конкретній відстані від початкового пункту, і неможливо одночасно в момент часу t знаходиться і за 10 і 20 кілометрів від початку шляху.
У той самий час кожне значення функції може досягатися за кількох значеннях аргументу.
Отже, потрібно побудувати графік функції , при цьому скласти таблицю. Потім за графіком досліджувати функцію та її властивості. Але вже до побудови графіка на вигляд функції ми можемо дещо сказати про її властивості: очевидно, що уне може набувати негативних значень, оскільки
Отже, складемо таблицю:
Мал. 1
За графіком неважко відзначити такі характеристики:
Ось у- це вісь симетрії графіка;
Вершина параболи – точка (0; 0);
Ми бачимо, що функція набуває лише невід'ємних значень;
На проміжку, де 
функція зменшується, але в проміжку, де функція зростає;
Найменше значення функція набуває у вершині, 
;
Найбільшого значення функції немає;
Приклад 1
Умова:
Рішення:
Оскільки хза умовою змінюється на конкретному проміжку, можемо сказати про функції, що вона зростає та змінюється на проміжку . Функція має на цьому проміжку мінімальне значення та максимальне значення
Мал. 2. Графік функції y = x 2 x ∈
Приклад 2
Умова:Знайти найбільше та найменше значення функції:
Рішення:
хзмінюється на проміжку, значить узменшується на проміжку поки що і зростає на проміжку поки що.
Отже, межі зміни х, а межі зміни уа, отже, на даному проміжку існує і мінімальне значення функції , і максимальне
Мал. 3. Графік функції y = x 2 x ∈ [-3; 2]
Проілюструємо той факт, що те саме значення функції може досягатися при кількох значеннях аргументу.
Виберемо на площині прямокутну систему координат і відкладатимемо на осі абсцис значення аргументу х, але в осі ординат - значення функції у = f(х).
Графіком функції y = f(x)називається безліч всіх точок, у яких абсциси належать області визначення функції, а ординати дорівнюють відповідним значенням функції.
Іншими словами, графік функції y = f(х) - це безліч усіх точок площини, координати х, уяких задовольняють співвідношення y = f(x).
На рис. 45 та 46 наведено графіки функцій у = 2х + 1і у = х 2 - 2х.
Строго кажучи, слід розрізняти графік функції (точне математичне визначення якого було дано вище) і накреслену криву, яка завжди дає лише більш менш точний ескіз графіка (та й те, як правило, не всього графіка, а лише його частини, розташованого в кінцевій частини площини). Надалі, однак, ми зазвичай говоритимемо «графік», а не «ескіз графіка».
За допомогою графіка можна знаходити значення функції у точці. Саме, якщо точка х = аналежить області визначення функції y = f(x), то для знаходження числа f(а)(тобто значення функції у точці х = а) слід вчинити так. Потрібно через крапку з абсцисою х = апровести пряму, паралельну осі ординат; ця пряма перетне графік функції y = f(x)в одній точці; ордината цієї точки і буде, з визначення графіка, дорівнює f(а)(Рис. 47).
Наприклад, для функції f(х) = х 2 - 2xза допомогою графіка (рис. 46) знаходимо f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 і т.д.
Графік функції наочно ілюструє поведінку та властивості функції. Наприклад, із розгляду рис. 46 ясно, що функція у = х 2 - 2хнабуває позитивних значень при х< 0 і при х > 2, Негативні - при 0< x < 2; наименьшее значение функция у = х 2 - 2хприймає за х = 1.
Для побудови графіка функції f(x)потрібно знайти всі точки площини, координати х,уяких задовольняють рівняння y = f(x). Найчастіше це зробити неможливо, оскільки таких точок нескінченно багато. Тому графік функції зображують приблизно з більшою або меншою точністю. Найпростішим є метод побудови графіка за кількома точками. Він у тому, що аргументу хнадають кінцеве число значень - скажімо, х 1, х 2, x 3, ..., х k і становлять таблицю, до якої входять вибрані значення функції.
Таблиця виглядає так:
Склавши таку таблицю, ми можемо намітити кілька точок графіка функції y = f(x). Потім, з'єднуючи ці точки плавною лінією, ми отримуємо приблизний вид графіка функції y = f(x).
Слід зазначити, що метод побудови графіка за кількома точками дуже ненадійний. Насправді поведінка графіка між наміченими точками та поведінка його поза відрізком між крайніми зі взятих точок залишається невідомою.
Приклад 1. Для побудови графіка функції y = f(x)хтось склав таблицю значень аргументу та функції:
Відповідні п'ять точок показано на рис. 48.
На підставі розташування цих точок він зробив висновок, що графік функції є прямою (показану на рис. 48 пунктиром). Чи можна вважати цей висновок надійним? Якщо немає додаткових міркувань, які б підтверджували цей висновок, його навряд чи можна вважати надійним. надійним.
Для обґрунтування свого твердження розглянемо функцію
.
Обчислення показують, що значення цієї функції в точках -2, -1, 0, 1, 2 описуються наведеною вище таблицею. Однак графік цієї функції не є прямою лінією (він показаний на рис. 49). Іншим прикладом може бути функція y = x + l + sinπx;її значення теж описуються наведеною вище таблицею.
Ці приклади показують, що у «чистому» вигляді метод побудови графіка за кількома точками ненадійний. Тому для побудови графіка заданої функції, як правило, надходять у такий спосіб. Спочатку вивчають властивості цієї функції, з допомогою яких можна побудувати ескіз графіка. Потім, обчислюючи значення функції кількох точках (вибір яких залежить від встановлених властивостей функції), знаходять відповідні точки графіка. І, нарешті, через побудовані точки проводять криву, використовуючи властивості цієї функції.
Деякі (найпростіші і найчастіше використовувані) властивості функцій, застосовувані перебування ескізу графіка, ми розглянемо пізніше, тепер розберемо деякі часто застосовувані методи побудови графіків.
Графік функції у = | f (x) |.
Нерідко доводиться будувати графік функції y = | f (x)|, де f(х) -задана функція. Нагадаємо, як це робиться. За визначенням абсолютної величини числа можна написати
Це означає, що графік функції y = | f (x) |можна отримати з графіка, функції y = f(x)наступним чином: всі точки графіка функції у = f(х), у яких ординати невід'ємні, слід залишити без зміни; далі, замість точок графіка функції y = f(x), що мають негативні координати, слід побудувати відповідні точки графіка функції у = -f(x)(тобто частина графіка функції
y = f(x), що лежить нижче осі х,слід симетрично відобразити щодо осі х).
приклад 2.Побудувати графік функції у = | х |.
Беремо графік функції у = х(рис. 50, а) та частина цього графіка при х< 0 (що лежить під віссю х) симетрично відбиваємо щодо осі х. В результаті ми отримуємо графік функції у = | х |(Рис. 50, б).
Приклад 3. Побудувати графік функції y = | x 2 - 2x |.
Спочатку збудуємо графік функції y = x 2 – 2x.Графік цієї функції - парабола, гілки якої спрямовані вгору, вершина параболи має координати (1; -1), її графік перетинає вісь абсцис у точках 0 і 2. На проміжку (0; 2) фукція набуває негативних значень, тому саме цю частину графіка симетрично відобразимо щодо осі абсцис. На малюнку 51 побудовано графік функції у = | х 2 -2х |виходячи з графіка функції у = х 2 - 2x
Графік функції y = f(x) + g(x)
Розглянемо задачу побудови графіка функції y = f(x) + g(x).якщо задані графіки функцій y = f(x)і y = g(x).
Зауважимо, що область визначення функції y = |f(x) + g(х)| є безліч всіх тих значень х, для яких визначені обидві функції y = f(x) і у = g(х), тобто ця область визначення є перетином областей визначення, функцій f(x) і g(x).
Нехай крапки (х 0 , y 1) та (х 0, у 2) відповідно належать графікам функцій y = f(x)і y = g(х), Т. е. y 1 = f(x0), y2=g(х0).Тоді точка (x0;. y1 + y2) належить графіку функції у = f(х) + g(х)(бо f(х 0) + g(x 0) = y 1+y2),. причому будь-яка точка графіка функції y = f(x) + g(x)може бути отримана в такий спосіб. Отже, графік функції у = f(x) + g(x)можна отримати з графіків функцій y = f(x). і y = g(х)заміною кожної точки ( х n , у 1) графік функції y = f(x)точкою (х n, y 1 + y 2),де у 2 = g(x n), тобто зсувом кожної точки ( х n , у 1) графіка функції y = f(x)вздовж осі уна величину y 1 = g(х n). При цьому розглядаються лише такі точки х n для яких визначено обидві функції y = f(x)і y = g(x).
Такий метод побудови графіка функції y = f(x) + g(х) називається додаванням графіків функцій y = f(x)і y = g(x)
Приклад 4. На малюнку методом складання графіків побудовано графік функції
y = x + sinx.
При побудові графіка функції y = x + sinxми вважали, що f(x) = x,а g(x) = sinx.Для побудови графіка функції виберемо крапки з aбцисами -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значення f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxобчислимо у вибраних точках і результати помістимо у таблиці.
Побудова графіків функцій, що містять модулі, зазвичай викликає чималі труднощі у школярів. Проте все не так погано. Досить запам'ятати кілька алгоритмів вирішення таких завдань, і ви зможете легко побудувати графік навіть самій на вигляд складної функції. Давайте розберемося, що це за алгоритми.
1. Побудова графіка функції y = | f (x) |
Зауважимо, що безліч значень функцій y = | f (x) | : y ≥ 0. Таким чином, графіки таких функцій завжди розташовані повністю у верхній напівплощині.
Побудова графіка функції y = | f (x) | складається з наступних чотирьох простих етапів.
1) Побудувати акуратно та уважно графік функції y = f(x).
2) Залишити без зміни всі точки графіка, які знаходяться вище за осі 0x або на ній.
3) Частину графіка, що лежить нижче за осю 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.
Приклад 1. Зобразити графік функції y = | x 2 - 4x + 3 |
1) Будуємо графік функції y = x 2 - 4x + 3. Очевидно, що графік цієї функції - парабола. Знайдемо координати всіх точок перетину параболи з осями координат та координати вершини параболи.
x 2 - 4x + 3 = 0.
x1=3, x2=1.
Отже, парабола перетинає вісь 0x у точках (3, 0) та (1, 0).
y = 0 2 - 4 · 0 + 3 = 3.
Отже, парабола перетинає вісь 0y у точці (0, 3).
Координати вершини параболи:
x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 - 4 · 2 + 3 = -1.
Отже, точка (2, -1) є вершиною даної параболи.
Малюємо параболу, використовуючи отримані дані (Рис. 1)
2) Частину графіка, що лежить нижче за осю 0x, відображаємо симетрично щодо осі 0x.
3) Отримуємо графік вихідної функції ( Мал. 2, зображено пунктиром).
2. Побудова графіка функції y = f(|x|)
Зауважимо, що функції виду y = f(|x|) є парними:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Отже, графіки таких функцій симетричні щодо осі 0y.
Побудова графіка функції y = f(|x|) складається з наступного нескладного ланцюжка процесів.
1) Побудувати графік функції y = f(x).
2) Залишити ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану у правій напівплощині.
3) Відобразити вказану у пункті (2) частину графіка симетрично осі 0y.
4) Як остаточний графік виділити об'єднання кривих, отриманих у пунктах (2) та (3).
Приклад 2. Зобразити графік функції y = x 2 - 4 · | + 3
Оскільки x 2 = |x| 2 то вихідну функцію можна переписати в наступному вигляді: y = | x | 2 - 4 · | x | + 3. А тепер можемо застосовувати запропонований вище алгоритм.
1) Будуємо акуратно та уважно графік функції y = x 2 – 4 · x + 3 (див. також Мал. 1).
2) Залишаємо ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану у правій напівплощині.
3) Відображаємо праву частину графіка симетрично осі 0y.
(Рис. 3).
Приклад 3. Зобразити графік функції y = log 2 | x |
Застосовуємо схему, дану вище.
1) Будуємо графік функції y = log 2 x (Рис. 4).
3. Побудова графіка функції y = | f ( | x |) |
Зауважимо, що функції виду y = | f ( | x |) | теж є парними. Справді, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = | f (| x |) | = y(x), і тому їх графіки симетричні щодо осі 0y. Безліч значень таких функцій: y ≥ 0. Отже, графіки таких функцій розташовані повністю у верхній півплощині.
Щоб побудувати графік функції y = |f(|x|)|, необхідно:
1) Побудувати акуратно графік функції y = f(|x|).
2) Залишити без змін ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній.
3) Частину графіка, розташовану нижче за осі 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x.
4) Як остаточний графік виділити об'єднання кривих, отриманих у пунктах (2) та (3).
Приклад 4. Зобразити графік функції y = | -x 2 + 2 | x | - 1 |.
1) Зауважимо, що x 2 = | x | 2 . Значить замість вихідної функції y = -x 2 + 2|x| - 1
можна використовувати функцію y=-|x| 2 + 2 | - 1, тому що їхні графіки збігаються.
Будуємо графік y = - | x | 2 + 2 | - 1. Для цього застосовуємо алгоритм 2.
a) Будуємо графік функції y = -x 2 + 2x - 1 (Рис. 6).
b) Залишаємо ту частину графіка, яка розташована у правій напівплощині.
c) Відображаємо отриману частину графіка симетрично до осі 0y.
d) Отриманий графік зображено на малюнку пунктиром (Мал. 7).
2) Вище осі 0х точок немає, крапки на осі 0х залишаємо без зміни.
3) Частину графіка, розташовану нижче за осю 0x, відображаємо симетрично щодо 0x.
4) Отриманий графік зображено на малюнку пунктиром (Рис. 8).
Приклад 5. Побудувати графік функції y = | (2 | x | - 4) / ( | X | + 3) |
1) Спочатку необхідно побудувати графік функції y = (2 | x | - 4) / ( | x | + 3). Для цього повертаємось до алгоритму 2.
a) Акуратно будуємо графік функції y = (2x - 4) / (x + 3) (рис. 9).
Зауважимо, що дана функція є дробово-лінійною та її графік є гіперболою. Для побудови кривої спочатку потрібно визначити асимптоти графіка. Горизонтальна – y = 2/1 (відношення коефіцієнтів при x у чисельнику та знаменнику дробу), вертикальна – x = -3.
2) Ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній, залишимо без змін.
3) Частину графіка, розташовану нижче за осі 0x, відобразимо симетрично щодо 0x.
4) Остаточний графік зображено малюнку (рис. 11).
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
