Šta je konveksni poligon. Poligon, konveksni poligon, četvorougao

U 8. razredu, na časovima geometrije u školi, učenici se po prvi put upoznaju sa pojmom konveksnog mnogougla. Vrlo brzo će saznati da ova figura ima vrlo zanimljivo svojstvo. Bez obzira koliko složen bio, zbir svih unutrašnjih i vanjskih uglova konveksnog poligona poprima strogo definiranu vrijednost. U ovom članku nastavnik matematike i fizike govori o tome koliki je zbir uglova konveksnog poligona.

Zbir unutrašnjih uglova konveksnog poligona

Kako dokazati ovu formulu?

Prije nego što pređemo na dokaz ove tvrdnje, prisjetimo se koji se poligon naziva konveksan. Poligon se naziva konveksan ako u potpunosti leži na jednoj strani linije koja sadrži bilo koju od njegovih strana. Na primjer, onaj prikazan na ovoj slici:

Ako poligon ne zadovoljava navedeni uvjet, onda se naziva nekonveksan. Na primjer, ovako:

Zbir unutarnjih uglova konveksnog poligona je , gdje je broj strana poligona.

Dokaz ove činjenice zasniva se na teoremi o zbiru uglova u trouglu, dobro poznatoj svim školarcima. Siguran sam da vam je poznata ova teorema. Zbir unutrašnjih uglova trokuta je .

Ideja je da se konveksni poligon podeli na više trouglova. To se može učiniti na različite načine. Ovisno o tome koju metodu odaberemo, dokazi će biti malo drugačiji.

1. Podijelite konveksni poligon na trouglove svim mogućim dijagonalama povučenim iz nekog vrha. Lako je shvatiti da će tada naš n-ugao biti podijeljen na trokute:

Štaviše, zbir svih uglova svih rezultirajućih trouglova jednak je zbiru uglova našeg n-ugla. Na kraju krajeva, svaki ugao u rezultirajućim trouglovima je parcijalni ugao u našem konveksnom poligonu. To jest, potreban iznos je jednak .

2. Također možete odabrati tačku unutar konveksnog poligona i povezati je sa svim vrhovima. Tada će naš n-ugao biti podijeljen na trokute:

Štaviše, zbir uglova našeg poligona u ovom slučaju će biti jednak zbiru svih uglova svih ovih trokuta minus centralni ugao, koji je jednak . Odnosno, željeni iznos je opet jednak .

Zbir vanjskih uglova konveksnog poligona

Postavimo sada sebi pitanje: "Koliko je zbir vanjskih uglova konveksnog mnogougla?" Na ovo pitanje se može odgovoriti na sljedeći način. Svaki vanjski ugao graniči sa odgovarajućim unutrašnjim uglom. Stoga je jednako:

Tada je zbir svih vanjskih uglova . To jest, jednako je .

To je vrlo smiješan rezultat. Ako odložimo redom jedan za drugim sve vanjske uglove bilo kojeg konveksnog n-ugla, tada će kao rezultat biti ispunjena upravo cijela ravan.

Ova zanimljiva činjenica može se ilustrovati na sljedeći način. Hajde da proporcionalno smanjimo sve strane nekog konveksnog poligona dok se ne spoji u tačku. Nakon što se to dogodi, svi vanjski uglovi će se odvojiti jedan od drugog i tako ispuniti cijelu ravan.

Zanimljiva činjenica, zar ne? A takvih činjenica u geometriji ima puno. Zato naučite geometriju, dragi učenici!

Materijal o tome čemu je jednak zbir uglova konveksnog mnogougla pripremio je Sergej Valerijevič

Određivanje konveksnosti poligona.

Kyrus-Back algoritam pretpostavlja da se konveksni poligon koristi kao prozor.

Međutim, u praksi se često javlja problem odsijecanja poligonom, a informacija o tome da li je konveksan ili nije u početku nije specificirana. U tom slučaju, prije početka postupka klipinga, potrebno je utvrditi da li je dati poligon konveksan ili ne.

Dajemo neke definicije konveksnosti poligona

Poligon se smatra konveksnim ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

1) u konveksnom poligonu, svi vrhovi se nalaze na jednoj strani prave koja nosi bilo koju ivicu (sa unutrašnje strane date ivice);

2) svi unutrašnji uglovi poligona su manji od 180o;

3) sve dijagonale koje spajaju vrhove poligona leže unutar ovog poligona;

4) svi uglovi poligona se zaobilaze u istom pravcu (sl. 3.3-1).

Da bismo razvili analitičku reprezentaciju posljednjeg kriterija konveksnosti, koristimo vektorski proizvod.

vektorski proizvod W dva vektora a i b (Slika 3.3-2 a) definirano kao:

A x ,a y ,a z i b x ,b y ,b z a i b,

- i, j, k– jedinični vektori duž koordinatnih osa X , Y , Z .

Rice.3.3 ‑ 1

Rice.3.3 ‑ 2

Ako dvodimenzionalni prikaz poligona uzmemo u obzir kao njegov prikaz u XY koordinatnoj ravni trodimenzionalnog koordinatnog sistema X ,Y ,Z (sl. 3.3-2 b), onda se izraz za formiranje poprečnog proizvoda vektora U i V, gdje su vektori U i V su susjedne ivice koje čine ugao poligona, mogu se zapisati kao determinanta:

Vektor unakrsnog proizvoda je okomit na ravan u kojoj se nalaze faktorski vektori. Smjer vektora proizvoda određen je pravilom gimleta ili pravilom desnog vijka.

Za slučaj prikazan na sl. 3.3‑2 b ), vektor W, što odgovara vektorskom proizvodu vektora V, U, imat će istu usmjerenost kao i smjer Z koordinatne ose.

Uzimajući u obzir činjenicu da su projekcije vektora-faktora na osi Z u ovom slučaju jednake nuli, vektorski proizvod se može predstaviti kao:

(3.3-1)

Jedinični vektor k uvijek pozitivan, otuda i predznak vektora w vektorski proizvod će biti određen samo predznakom determinante D u gornjem izrazu. Imajte na umu da, na osnovu svojstva vektorskog proizvoda, prilikom preuređivanja faktorskih vektora U i V vektorski znak w promeniće se u suprotno.

Iz ovoga slijedi da ako kao vektori V i U ako uzmemo u obzir dva susjedna ruba poligona, onda se redosled nabrajanja vektora u vektorskom proizvodu može postaviti u skladu sa zaobilaženjem razmatranog ugla poligona ili ivica koje čine ovaj ugao. Ovo nam omogućava da koristimo pravilo kao kriterij za određivanje konveksnosti poligona:

ako je za sve parove ivica poligona ispunjen sljedeći uvjet:

Ako se znaci vektorskih proizvoda za pojedinačne kutove ne podudaraju, poligon nije konveksan.

Budući da su rubovi poligona specificirani kao koordinate njihovih krajnjih tačaka, pogodnije je koristiti determinantu za određivanje znaka unakrsnog proizvoda.

Konveksan skup tačaka na ravni.

Skup tačaka u ravni ili u trodimenzionalnom prostoru naziva se konveksan, ako bilo koje dvije točke ovog skupa mogu biti povezane segmentom koji u potpunosti leži u ovom skupu.

Teorema 1. Presjek konačnog broja konveksnih skupova je konveksan skup.

Posljedica. Presjek konačnog broja konveksnih skupova je konveksan skup.

kutne tačke.

Poziva se granična tačka konveksnog skupa ugaona, ako je kroz njega moguće povući segment čije sve tačke ne pripadaju datom skupu.

Skupovi različitih oblika mogu imati konačan ili beskonačan broj kutnih tačaka.

Konveksni poligon.

Poligon pozvao konveksan, ako leži na jednoj strani svake linije koja prolazi kroz njena dva susjedna vrha.

Teorema: Zbir uglova konveksnog n-ugla je 180˚ *(n-2)

6) Rješavanje sistema od m linearnih nejednačina sa dvije varijable

Dat je sistem od m linearnih nejednačina sa dvije varijable

Znaci nekih ili svih nejednakosti mogu biti ≥.

Razmotrimo prvu nejednakost u X1OX2 koordinatnom sistemu. Hajde da napravimo pravu liniju

koja je granična linija.

Ova prava linija dijeli ravan na dvije poluravnine 1 i 2 (slika 19.4).

Pola ravan 1 sadrži ishodište, polovina ravni 2 ne sadrži ishodište.

Da biste odredili na kojoj strani granične linije se nalazi određena poluravnina, trebate uzeti proizvoljnu tačku na ravni (bolje, ishodište) i zamijeniti koordinate ove tačke u nejednakosti. Ako je nejednakost tačna, tada je poluravnina okrenuta prema ovoj tački, ako nije tačna, onda u suprotnom smjeru od tačke.

Smjer poluravnine na slikama je prikazan strelicom.

Definicija 15. Rješenje svake nejednakosti sistema je poluravan koja sadrži graničnu liniju i nalazi se na jednoj njenoj strani.

Definicija 16. Presjek poluravni, od kojih je svaka određena odgovarajućom nejednakošću sistema, naziva se površina rješenja sistema (SR).

Definicija 17. Područje rješenja sistema koji zadovoljava uslove nenegativnosti (xj ≥ 0, j =) naziva se površina nenegativnih, odnosno dopuštenih rješenja (ODS).

Ako je sistem nejednakosti konzistentan, onda OP i ODE mogu biti poliedar, neograničeno poliedarsko područje ili jedna tačka.

Ako je sistem nejednakosti nekonzistentan, onda su OR i ODR prazan skup.

Primjer 1

Rješenje. Nađimo ILI prve nejednakosti: x1 + 3x2 ≥ 3. Konstruirajmo graničnu liniju x1 + 3x2 - 3 = 0 (slika 19.5). Zameniti koordinate tačke (0,0) u nejednačinu: 1∙0 + 3∙0 > 3; pošto ga koordinate tačke (0,0) ne zadovoljavaju, onda je rješenje nejednakosti (19.1) poluravan koja ne sadrži tačku (0,0).

Slično, nalazimo rješenja za preostale nejednakosti sistema. Dobijamo da je OP i ODE sistema nejednačina konveksan poliedar ABCD.

Pronađite uglove poliedra. Tačka A je definisana kao tačka preseka linija

Rješavajući sistem, dobijamo A(3/7, 6/7).

Tačku B nalazimo kao tačku preseka pravih

Iz sistema dobijamo B(5/3, 10/3). Slično, nalazimo koordinate tačaka C i D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Primjer 2. Odrediti OR i ODR sistema nejednačina

Rješenje. Konstruirajmo prave i odredimo rješenja nejednačina (19.5)-(19.7). OR i ODR su neograničene poliedarske oblasti ACFM i ABDEKM, respektivno (slika 19.6).

Primjer 3. Odrediti OR i ODR sistema nejednačina

Rješenje. Nalazimo rješenja za nejednačine (19.8)-(19.10) (slika 19.7). OP predstavlja neograničeno poliedarsko područje ABC; ODR - tačka B.

Primjer 4. Odrediti OP i ODS sistema nejednakosti

Rješenje. Konstruisanjem pravih linija nalazimo rešenja za nejednakosti sistema. OR i ODR su nekompatibilni (slika 19.8).

VJEŽBE

Naći OR i ODR sistema nejednakosti

Teorema. Ako je xn ® a, onda .

Dokaz. Iz xn ® a slijedi da . U isto vrijeme:

One. , tj. . Teorema je dokazana.

Teorema. Ako je xn ® a, tada je niz (xn) ograničen.

Treba napomenuti da obrnuta izjava nije tačna, tj. ograničenost niza ne implicira njegovu konvergenciju.

Na primjer, slijed nema ograničenja

Proširenje funkcija u nizove stepena.

Proširenje funkcija u niz stepena je od velike važnosti za rješavanje različitih problema proučavanja funkcija, diferencijacije, integracije, rješavanja diferencijalnih jednadžbi, izračunavanja granica, izračunavanja približnih vrijednosti funkcije.

Ukupno dobijamo:

Razmislite o načinu proširenja funkcije u niz pomoću integracije.

Uz pomoć integracije moguće je proširiti u niz takvu funkciju za koju je proširenje u nizu njenog izvoda poznato ili se lako može pronaći.

Pronalazimo diferencijal funkcije i integriramo ga u rasponu od 0 do x.

Koncept poligona

Definicija 1

poligon naziva se geometrijska figura u ravni, koja se sastoji od parno povezanih segmenata, od kojih susjedni ne leže na jednoj pravoj liniji.

U ovom slučaju segmenti se pozivaju strane poligona, a njihovi krajevi su vrhovi poligona.

Definicija 2

$n$-ugao je poligon sa $n$ vrhovima.

Vrste poligona

Definicija 3

Ako poligon uvijek leži na jednoj strani bilo koje prave koja prolazi kroz njegove stranice, tada se poligon naziva konveksan(Sl. 1).

Slika 1. Konveksni poligon

Definicija 4

Ako poligon leži na suprotnim stranama barem jedne prave linije koja prolazi kroz njegove stranice, tada se poligon naziva nekonveksan (slika 2).

Slika 2. Nekonveksni poligon

Zbir uglova poligona

Uvodimo teoremu o zbiru uglova -ugla.

Teorema 1

Zbir uglova konveksnog -ugla je definisan na sledeći način

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Dokaz.

Neka nam je dat konveksan poligon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Povežite njegov vrh $A_1$ sa svim ostalim vrhovima datog poligona (slika 3).

Slika 3

Sa takvom vezom dobijamo $n-2$ trouglova. Zbrajanjem njihovih uglova dobijamo zbir uglova datog -ugla. Pošto je zbir uglova trougla $(180)^0,$ dobijamo da je zbir uglova konveksnog -ugla određen formulom

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorema je dokazana.

Koncept četverougla

Koristeći definiciju $2$, lako je uvesti definiciju četverougla.

Definicija 5

Četvorougao je mnogougao sa $4$ vrhovima (slika 4).

Slika 4. Četvorougao

Za četvorougao, pojmovi konveksnog četvorougla i nekonveksnog četvorougla su slično definisani. Klasični primjeri konveksnih četverouglova su kvadrat, pravougaonik, trapez, romb, paralelogram (slika 5).

Slika 5. Konveksni četverouglovi

Teorema 2

Zbir uglova konveksnog četvorougla je $(360)^0$

Dokaz.

Prema teoremi $1$, znamo da je zbir uglova konveksnog -ugla određen formulom

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Dakle, zbir uglova konveksnog četvorougla je

\[\lijevo(4-2\desno)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorema je dokazana.

Konveksni četverougao je lik koji se sastoji od četiri strane povezane jedna s drugom na vrhovima, tvoreći zajedno sa stranicama četiri ugla, dok je sam četverougao uvijek u istoj ravni u odnosu na pravu liniju na kojoj leži jedna od njegovih stranica. Drugim riječima, cijela figura se nalazi na jednoj strani bilo koje svoje strane.

U kontaktu sa

Kao što vidite, definiciju je prilično lako zapamtiti.

Osnovna svojstva i tipovi

Gotovo sve nama poznate figure, koje se sastoje od četiri ugla i stranice, mogu se pripisati konveksnim četverokutima. Može se razlikovati sljedeće:

1. paralelogram;
2. kvadrat;
3. pravougaonik;
4. trapez;
5. rhombus.

Sve ove figure objedinjuje ne samo činjenica da su četvorougaone, već i činjenica da su i konveksne. Pogledajte samo dijagram:

Na slici je prikazan konveksni trapez. Ovdje možete vidjeti da je trapez u istoj ravni ili na jednoj strani segmenta. Ako izvršite slične radnje, možete saznati da je u slučaju svih ostalih strana trapez konveksan.

Da li je paralelogram konveksan četvorougao?

Iznad je slika paralelograma. Kao što se vidi sa slike, paralelogram je takođe konveksan. Ako pogledate sliku s obzirom na prave na kojima leže segmenti AB, BC, CD i AD, postaje jasno da je od ovih pravih uvijek u istoj ravni. Glavne karakteristike paralelograma su da su njegove stranice u paru paralelne i jednake na isti način kao što su suprotni uglovi međusobno jednaki.

Sada zamislite kvadrat ili pravougaonik. Po svojim glavnim svojstvima, oni su i paralelogrami, odnosno sve su im stranice poređane u paru paralelno. Samo u slučaju pravougaonika dužine stranica mogu biti različite, a uglovi su pravi (jednaki 90 stepeni), kvadrat je pravougaonik u kojem su sve stranice jednake i uglovi su takođe pravi, dok su dužine stranice i uglovi paralelograma mogu biti različiti.

Kao rezultat, zbir sva četiri ugla četverokuta mora biti jednak 360 stepeni. Najlakši način da se to odredi je pravougaonikom: sva četiri ugla pravougaonika su prava, odnosno jednaka 90 stepeni. Zbir ovih uglova od 90 stepeni daje 360 ​​stepeni, drugim rečima, ako dodate 90 stepeni 4 puta, dobijate željeni rezultat.

Svojstvo dijagonala konveksnog četvorougla

Dijagonale konveksnog četverokuta se sijeku. Zaista, ovaj fenomen se može promatrati vizualno, samo pogledajte sliku:

Slika lijevo prikazuje nekonveksni četverougao ili četverougao. Kako želiš. Kao što vidite, dijagonale se ne sijeku, barem ne sve. Na desnoj strani je konveksan četverougao. Ovdje je već uočeno svojstvo dijagonala da se sijeku. Isto svojstvo se može smatrati znakom konveksnosti četvorougla.

Ostala svojstva i znaci konveksnosti četverougla

Naime, prema ovom pojmu, vrlo je teško imenovati bilo koja specifična svojstva i karakteristike. Lakše je izolovati prema različitim vrstama četvorouglova ovog tipa. Možete početi sa paralelogramom. Već znamo da je ovo četverokutna figura čije su stranice parno paralelne i jednake. Istovremeno, ovo uključuje i svojstvo dijagonala paralelograma da se sijeku jedna s drugom, kao i znak konveksnosti same figure: paralelogram je uvijek u istoj ravni i na jednoj strani u odnosu na bilo koju njegovih strana.

dakle, poznate su glavne karakteristike i svojstva:

1. zbir uglova četvorougla je 360 ​​stepeni;
2. dijagonale figura se sijeku u jednoj tački.

Pravougaonik. Ova figura ima ista svojstva i karakteristike kao i paralelogram, ali su svi njeni uglovi jednaki 90 stepeni. Otuda i naziv, pravougaonik.

Kvadrat, isti paralelogram, ali njegovi uglovi su pravi, kao pravougaonik. Zbog toga se kvadrat rijetko naziva pravokutnikom. Ali glavna karakteristika kvadrata, pored onih koje su već navedene, jeste da su sve četiri njegove strane jednake.

Trapez je veoma zanimljiva figura.. Ovo je također četverougao i također konveksan. U ovom članku, trapez je već razmatran na primjeru crteža. Jasno je da je i ona konveksna. Glavna razlika, i, shodno tome, znak trapeza je da njegove strane ne mogu biti apsolutno jednake jedna drugoj po dužini, kao ni uglovi u vrijednosti. U ovom slučaju, figura uvijek ostaje u istoj ravni u odnosu na bilo koju od pravih linija koje spajaju bilo koja dva njegova vrha duž segmenata koji čine figuru.

Romb je jednako zanimljiva figura. Djelomično se romb može smatrati kvadratom. Znak romba je činjenica da njegove dijagonale ne samo da se sijeku, već i dijele uglove romba na pola, a same dijagonale se sijeku pod pravim kutom, odnosno okomite su. Ako su dužine stranica romba jednake, tada su i dijagonale podijeljene na pola na presjeku.

Deltoidi ili konveksni romboidi (rombusi) mogu imati različite dužine stranica. Ali u isto vrijeme, i dalje su očuvana i glavna svojstva i značajke samog romba i značajke i svojstva konveksnosti. To jest, možemo primijetiti da dijagonale sijeku uglove i sijeku pod pravim uglom.

Današnji zadatak je bio razmotriti i razumjeti šta su konveksni četvorouglovi, šta su i njihova glavna svojstva i svojstva. Pažnja! Vrijedno je još jednom podsjetiti da je zbir uglova konveksnog četvorougla 360 stepeni. Obim figura, na primjer, jednak je zbiru dužina svih segmenata koji čine figuru. Formule za izračunavanje perimetra i površine četverokuta bit će obrađene u sljedećim člancima.

Vrste konveksnih četvorouglova