Pribor za matematiku. Matematički znakovi

Balagin Viktor

S otkrićem matematičkih pravila i teorema, znanstvenici su došli do novih matematičkih zapisa i znakova. Matematički znakovi su simboli namijenjeni bilježenju matematičkih pojmova, rečenica i izračuna. U matematici se za skraćivanje zapisa i točnije izražavanje tvrdnje koriste posebni simboli. Osim brojeva i slova raznih abeceda (latinica, grčka, hebrejska), matematički jezik koristi mnoge posebne simbole izmišljene u posljednjih nekoliko stoljeća.

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

MATEMATIČKI SIMBOLI.

Obavio sam posao

Učenik 7. razreda

GBOU srednja škola br. 574

Balagin Viktor

Akademska godina 2012-2013

MATEMATIČKI SIMBOLI.

1. Uvod

Riječ matematika došla je do nas iz starogrčkog, gdje je μάθημα značilo „učiti“, „steći znanje“. A onaj tko kaže: “Ne treba mi matematika, neću postati matematičar” nije u pravu.” Matematika je svima potrebna. Otkrivajući čudesan svijet brojeva koji nas okružuje, uči nas jasnijem i dosljednijem razmišljanju, razvija misao, pažnju, njeguje ustrajnost i volju. M. V. Lomonosov je rekao: "Matematika dovodi um u red." Jednom riječju, matematika nas uči naučiti stjecati znanje.

Matematika je prva znanost koju je čovjek mogao savladati. Najstarija aktivnost bilo je brojanje. Neka su primitivna plemena brojala predmete pomoću prstiju na rukama i nogama. Slika na stijeni koja je do danas preživjela iz kamenog doba prikazuje broj 35 u obliku 35 štapića nacrtanih u nizu. Možemo reći da je 1 štapić prvi matematički simbol.

Matematičko “pismo” koje sada koristimo - od označavanja nepoznanica slovima x, y, z do znaka integrala - razvijalo se postupno. Razvoj simbolike pojednostavio je rad s matematičkim operacijama i pridonio razvoju same matematike.

Od starogrčkog "simbol" (grč. simbolon - znak, predznak, lozinka, amblem) - znak koji je povezan s predmetnošću koju označava na način da se značenje znaka i njegov predmet predstavljaju samo samim znakom i otkrivaju samo njegovim tumačenjem.

S otkrićem matematičkih pravila i teorema, znanstvenici su došli do novih matematičkih zapisa i znakova. Matematički znakovi su simboli namijenjeni bilježenju matematičkih pojmova, rečenica i izračuna. U matematici se za skraćivanje zapisa i točnije izražavanje tvrdnje koriste posebni simboli. Osim brojeva i slova raznih abeceda (latinica, grčka, hebrejska), matematički jezik koristi mnoge posebne simbole izmišljene u posljednjih nekoliko stoljeća.

2. Znakovi za zbrajanje i oduzimanje

Povijest matematičke notacije počinje u paleolitu. Iz tog vremena datiraju kamenje i kosti s urezima za brojanje. Najpoznatiji primjer jeIshango kost. Čuvena kost iz Ishanga (Kongo), koja datira otprilike 20 tisuća godina prije Krista, dokazuje da je čovjek već u to vrijeme izvodio prilično složene matematičke operacije. Zarezi na kostima služili su za zbrajanje i aplicirani su u skupinama, simbolizirajući zbrajanje brojeva.

Drevni Egipat već je imao mnogo napredniji sustav notacije. Na primjer, uAhmesov papirussimbol zbrajanja koristi sliku dviju nogu koje hodaju naprijed preko teksta, a simbol oduzimanja koristi dvije noge koje hodaju unatrag.Stari Grci označavali su zbrajanje pisanjem jedan pored drugog, ali su povremeno koristili simbol kose crte “/” i polueliptičnu krivulju za oduzimanje.

Simboli za aritmetičke operacije zbrajanja (plus “+’’) i oduzimanja (minus “-‘’) toliko su česti da gotovo nikada ne razmišljamo o tome da nisu uvijek postojali. Podrijetlo ovih simbola nije jasno. Jedna verzija je da su se prije koristili u trgovini kao znakovi dobiti i gubitka.

Također se vjeruje da naš znakdolazi od jednog oblika riječi "et", što na latinskom znači "i". Izraz a+b ovako je pisalo na latinskom: a i b . Postupno, zbog česte upotrebe, od znaka " et "ostaje samo" t "koji se vremenom pretvorio u"+ ". Prva osoba koja je možda koristila znakkao skraćenica za et, bio je astronom Nicole d'Oresme (autor Knjige o nebu i svijetu) sredinom četrnaestog stoljeća.

Krajem petnaestog stoljeća francuski matematičar Chiquet (1484.) i Talijan Pacioli (1494.) koristili su "'' ili " ’’ (što označava „plus”) za zbrajanje i „'' ili " '' (što označava "minus") za oduzimanje.

Oznaka oduzimanja bila je zbunjujuća jer umjesto jednostavnog "” u njemačkim, švicarskim i nizozemskim knjigama ponekad su koristili simbol “÷’’, koji sada koristimo za označavanje podjele. Nekoliko knjiga iz sedamnaestog stoljeća (kao što su Descartes i Mersenne) koriste dvije točke "∙ ∙'' ili tri točke "∙ ∙ ∙'' za označavanje oduzimanja.

Prva uporaba modernog algebarskog simbola "” odnosi se na njemački algebarski rukopis iz 1481. koji je pronađen u knjižnici u Dresdenu. U latinskom rukopisu iz istog vremena (također iz knjižnice u Dresdenu), postoje oba znaka: ""I" - ". Sustavna uporaba znakova "" i " - " za zbrajanje i oduzimanje nalaze se uJohann Widmann. Njemački matematičar Johann Widmann (1462-1498) prvi je koristio oba znaka za označavanje prisutnosti i odsutnosti studenata na svojim predavanjima. Istina, postoje informacije da je ove znakove "posudio" od malo poznatog profesora na Sveučilištu u Leipzigu. Godine 1489. u Leipzigu je objavio prvu tiskanu knjigu (Mercantile Arithmetic - “Trgovačka aritmetika”), u kojoj su prisutna oba znaka. I , u djelu “Brz i ugodan račun za sve trgovce” (c. 1490.)

Kao povijesnu zanimljivost vrijedi istaknuti da je i nakon usvajanja znakanisu svi koristili ovaj simbol. Sam Widmann predstavio ga je kao grčki križ(znak koji danas koristimo), kod kojeg je horizontalni potez ponekad nešto duži od okomitog. Neki matematičari, poput Recorda, Harriota i Descartesa, koristili su isti znak. Drugi (kao što su Hume, Huygens i Fermat) koristili su latinski križ "†", ponekad postavljen vodoravno, s prečkom na jednom ili drugom kraju. Konačno, neki (kao što je Halley) koristili su više dekorativni izgled " ».

3.Znak jednakosti

Znak jednakosti u matematici i drugim egzaktnim znanostima piše se između dva izraza jednake veličine. Diofant je prvi upotrijebio znak jednakosti. Jednakost je označio slovom i (od grčkog isos - jednak). Uantička i srednjovjekovna matematikajednakost se označavala verbalno, na primjer, est egale, ili su koristili kraticu "ae" od latinskog aequalis - "jednak". Drugi jezici također su koristili prva slova riječi "jednak", ali to nije bilo općenito prihvaćeno. Znak jednakosti "=" uveo je 1557. velški liječnik i matematičarRobert Rekord(Zapis R., 1510-1558). U nekim slučajevima matematički simbol za označavanje jednakosti bio je simbol II. Record je uveo simbol "=" s dvije jednake vodoravne paralelne crte, mnogo duže od onih koje se koriste danas. Engleski matematičar Robert Record prvi je upotrijebio simbol jednakosti, argumentirajući riječima: “nema dva objekta ne mogu biti jednakija jedan drugome od dva paralelna segmenta.” Ali još uvijek unutraXVII stoljećeRene Descarteskoristio kraticu “ae’’.Francois VietZnak jednakosti označavao je oduzimanje. Neko je vrijeme širenje simbola Rekord bilo spriječeno činjenicom da se isti simbol koristio za označavanje paralelizma ravnih linija; Na kraju je odlučeno da simbol paralelizma bude okomit. Znak je postao raširen tek nakon rada Leibniza na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće, odnosno više od 100 godina nakon smrti osobe koja ga je prva upotrijebila u tu svrhu.Robert Rekord. Na njegovom nadgrobnom spomeniku nema riječi - samo znak jednakosti urezan u njega.

Srodni simboli za označavanje približne jednakosti "≈" i identiteta "≡" vrlo su mladi - prvi je 1885. uveo Günther, drugi 1857.Riemann

4. Znakovi množenja i dijeljenja

Znak množenja u obliku križa ("x") uveo je anglikanski svećenik-matematičarWilliam Oughtred V 1631. Prije njega se za znak množenja koristilo slovo M, iako su predložene i druge oznake: simbol pravokutnika (Erigon, ), zvjezdica ( Johann Rahn, ).

Kasnije Leibnizkrižić je zamijenjen točkom (kraj17. stoljeće), kako ga ne biste pobrkali sa slovom x ; prije njega se takva simbolika nalazila međuRegiomontana (15. stoljeće) i engleski znanstvenikThomas Herriot (1560-1621).

Za označavanje radnje dijeljenjaUredipreferirana kosa crta. Dvotočka je počela označavati podjeluLeibniz. Prije njih često se koristilo i slovo D. Počevši odFibonacci, koristi se i razlomačka crta koja se koristila u arapskim djelima. Podjela u obliku uputni znak ("÷") uveo švicarski matematičarJohann Rahn(oko 1660.)

5. Predznak postotka.

Stoti dio cjeline, uzet kao jedinica. Sama riječ "postotak" dolazi od latinskog "pro centum", što znači "na sto". Godine 1685. u Parizu je objavljena knjiga Mathieu de la Porte (1685.) “Priručnik komercijalne aritmetike”. Na jednom mjestu se govorilo o postocima, koji su tada nazivani “cto” (skraćeno od cento). Međutim, slagač je ovo "cto" zamijenio za razlomak i ispisao "%". Dakle, zbog tipfelera, ovaj znak je ušao u upotrebu.

6.Znak beskonačnosti

Sadašnji simbol beskonačnosti "∞" je ušao u upotrebuJohn Wallis godine 1655. John Wallisobjavio veliku raspravu "Aritmetika beskonačnog" (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata), gdje je upisao simbol koji je izmisliobeskonačnost. Još uvijek nije poznato zašto je odabrao baš ovaj znak. Jedna od najmjerodavnijih hipoteza povezuje podrijetlo ovog simbola s latiničnim slovom "M", kojim su Rimljani označavali broj 1000.Simbol beskonačnosti četrdesetak godina kasnije matematičar Bernoulli nazvao je "lemniscus" (lat. vrpca).

Druga verzija kaže da osmica prenosi glavno svojstvo koncepta "beskonačnosti": kretanje beskrajno . Po linijama broja 8 možete se kretati beskonačno, kao na biciklističkoj stazi. Kako uneseni znak ne bi zamijenili s brojem 8, matematičari su ga odlučili postaviti vodoravno. Dogodilo se. Ova oznaka je postala standardna za svu matematiku, ne samo za algebru. Zašto beskonačnost nije predstavljena nulom? Odgovor je očit: kako god okrenete broj 0, neće se promijeniti. Stoga je izbor pao na 8.

Druga opcija je zmija koja proždire vlastiti rep, što je tisuću i pol godina prije Krista u Egiptu simboliziralo razne procese koji nisu imali početka ni kraja.

Mnogi vjeruju da je Möbiusova traka praotac simbolabeskonačnost, jer je simbol beskonačnosti patentiran nakon izuma uređaja Mobiusove trake (nazvane po matematičaru iz devetnaestog stoljeća Mobiusu). Möbiusova traka je traka papira koja je zakrivljena i spojena na svojim krajevima tvoreći dvije prostorne plohe. Međutim, prema dostupnim povijesnim podacima, simbol beskonačnosti počeo se koristiti za predstavljanje beskonačnosti dva stoljeća prije otkrića Möbiusove trake

7. Znakovi kut a i okomito sti

simboli " kutak"I" okomito"izumljen u 1634francuski matematičarPierre Erigon. Njegov simbol okomitosti bio je obrnut i nalikovao je slovu T. Simbol kuta nalikovao je ikoni, dao mu moderan oblikWilliam Oughtred ().

8. Potpiši se paralelizam I

simbol " paralelizam» poznata od davnina, koristila seČaplja I Papus iz Aleksandrije. U početku je simbol bio sličan trenutnom znaku jednakosti, ali s pojavom potonjeg, da bi se izbjegla zabuna, simbol je okrenut okomito (Uredi(1677), Kersey (John Kersey ) i drugi matematičari 17. stoljeća)

9. Pi

Prvo je nastala općeprihvaćena oznaka broja jednakog omjeru opsega kruga i njegovog promjera (3,1415926535...).William Jones V 1706, uzimajući prvo slovo grčkih riječi περιφέρεια -krug i περίμετρος - perimetar, odnosno opseg. Svidjela mi se ova kratica.Euler, čiji su radovi čvrsto učvrstili naziv.

10. Sinus i kosinus

Zanimljiv je izgled sinusa i kosinusa.

Sinus iz latinskog - sinus, šupljina. Ali ovo ime ima dugu povijest. Indijski matematičari postigli su veliki napredak u trigonometriji oko 5. stoljeća. Sama riječ "trigonometrija" nije postojala; uveo ju je Georg Klügel 1770.) Ono što sada zovemo sinus otprilike odgovara onome što su Hindusi zvali ardha-jiya, prevedeno kao polužica (tj. pola akorda). Zbog kratkoće, jednostavno su ga nazvali jiya (žica). Kada su Arapi prevodili djela Hindusa sa sanskrta, nisu prevodili “niz” na arapski, već su riječ jednostavno transkribirali arapskim slovima. Rezultat je bio jiba. Ali budući da u slogovnom arapskom pisanju kratki samoglasnici nisu označeni, ono što zapravo ostaje je j-b, što je slično drugoj arapskoj riječi - jaib (šupljina, njedra). Kad je Gerard iz Cremone u 12. stoljeću Arape prevodio na latinski, riječ je preveo kao sinus, što na latinskom znači i sinus, udubljenje.

Kosinus se pojavio automatski, jer Hindusi su ga zvali koti-jiya ili skraćeno ko-jiya. Koti je zakrivljeni kraj luka na sanskrtu.Suvremeni stenografski zapisi i uveo William Oughtredi utkani u djela Euler.

Oznaka tangent/kotangens ima mnogo kasnije porijeklo (engleska riječ tangent dolazi od latinskog tangere - dodirivati). Čak ni sada ne postoji jedinstvena oznaka - u nekim zemljama češće se koristi oznaka tan, u drugima - tg

11. Kratica “Što je trebalo dokazati” (itd.)

« Quod erat demonstrandum "(quol erat lamonstranlum).
Grčki izraz znači "ono što je trebalo dokazati", a latinski znači "ono što je trebalo pokazati". Ovom formulom završava svako matematičko promišljanje velikog grčkog matematičara stare Grčke Euklida (3. st. pr. Kr.). Prevedeno s latinskog – što je i trebalo dokazati. U srednjovjekovnim znanstvenim raspravama ova se formula često pisala u skraćenom obliku: QED.

12. Matematička notacija.

13. Zaključak

Matematička znanost neophodna je za civilizirano društvo. Matematika je sadržana u svim znanostima. Matematički jezik miješa se s jezikom kemije i fizike. Ali mi to ipak razumijemo. Možemo reći da zajedno sa svojim materinjim govorom počinjemo učiti jezik matematike. Tako je matematika neraskidivo ušla u naše živote. Zahvaljujući matematičkim otkrićima iz prošlosti, znanstvenici stvaraju nove tehnologije. Preživjela otkrića omogućuju rješavanje složenih matematičkih problema. I drevni matematički jezik nam je jasan, i otkrića su nam zanimljiva. Zahvaljujući matematici Arhimed, Platon i Newton otkrili su fizičke zakone. Proučavamo ih u školi. U fizici također postoje simboli i pojmovi svojstveni fizikalnoj znanosti. Ali matematički jezik nije izgubljen među fizičkim formulama. Naprotiv, ove formule nije moguće napisati bez znanja matematike. Povijest čuva znanje i činjenice za buduće generacije. Za nova otkrića potrebno je daljnje proučavanje matematike. Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Matematički simboli Rad je završio učenik 7. razreda škole br. 574 Balagin Victor

Simbol (grč. symbolon - znak, predznak, lozinka, amblem) je znak koji je povezan s predmetnošću koju označuje na način da se značenje znaka i njegov predmet predstavljaju samo samim znakom i otkrivaju samo njegovim tumačenje. Znakovi su matematički simboli namijenjeni bilježenju matematičkih pojmova, rečenica i izračuna.

Dio Ishangove kosti Ahmesovog papirusa

+ − Znakovi plus i minus. Zbrajanje se označavalo slovom p (plus) ili latinskom riječju et (veznik “i”), a oduzimanje slovom m (minus). Izraz a + b napisan je na latinskom ovako: a et b.

Zapis oduzimanja. ÷ ∙ ∙ ili ∙ ∙ ∙ René Descartes Maren Mersenne

Stranica iz knjige Johanna Widmanna. Godine 1489. Johann Widmann objavio je prvu tiskanu knjigu u Leipzigu (Mercantile Arithmetic - “Komercijalna aritmetika”), u kojoj su bili prisutni i znak + i -.

Zapis zbrajanja. Christiaan Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley

Znak jednakosti Diofant je prvi upotrijebio znak jednakosti. Jednakost je označio slovom i (od grčkog isos - jednak).

Znak jednakosti Predložio ga je 1557. engleski matematičar Robert Record “Nema dva predmeta koja mogu biti jednakija jedan drugome od dva paralelna segmenta.” U kontinentalnoj Europi znak jednakosti uveo je Leibniz

× ∙ Znak množenja uveo je 1631. William Oughtred (Engleska) u obliku kosog križa. Leibniz je križ zamijenio točkom (kraj 17. stoljeća) kako ga ne bi zamijenio sa slovom x. William Oughtred Gottfried Wilhelm Leibniz

postotak. Mathieu de la Porte (1685). Stoti dio cjeline, uzet kao jedinica. “postotak” - “pro centum”, što znači “po sto”. "cto" (skraćeno od cento). Daktilografkinja je zamijenila "cto" za razlomak i upisala "%".

Beskonačnost. John Wallis John Wallis predstavio je simbol koji je izmislio 1655. godine. Zmija koja je proždirala svoj rep simbolizirala je razne procese koji nemaju ni početka ni kraja.

Simbol beskonačnosti počeo se koristiti za predstavljanje beskonačnosti dva stoljeća prije otkrića Möbiusove trake.Möbiusova traka je traka papira koja je zakrivljena i spojena na svojim krajevima, tvoreći dvije prostorne plohe. August Ferdinand Mobius

Kut i okomica. Simbole je 1634. izumio francuski matematičar Pierre Erigon. Erigonov simbol kuta podsjećao je na ikonu. Simbol okomitosti je obrnut i nalikuje slovu T. Tim je znakovima njihov moderni oblik dao William Oughtred (1657.).

Paralelizam. Simbol su koristili Heron iz Aleksandrije i Papus iz Aleksandrije. U početku je simbol bio sličan trenutnom znaku jednakosti, ali s pojavom potonjeg, da bi se izbjegla zabuna, simbol je okrenut okomito. Heron iz Aleksandrije

Pi. π ≈ 3,1415926535... William Jones 1706. godine π εριφέρεια je kružnica, a π ερίμετρος je perimetar, odnosno opseg. Euleru se svidjela ova kratica, čiji su radovi konačno učvrstili oznaku. William Jones

sin Sinus i kosinus cos Sinus (od lat.) – sinus, šupljina. Kochi-jiya, ili skraćeno ko-jiya. Coty - zakrivljeni kraj luka Modernu stenografsku notaciju uveo je William Oughtred i utvrdio je u djelima Eulera. “Arha-jiva” - kod Indijanaca - “polužica” Leonard Euler William Oughtred

Što je bilo potrebno dokazati (itd.) “Quod erat demonstrandum” QED. Ovom formulom završava svaki matematički argument velikog matematičara stare Grčke Euklida (3. st. pr. Kr.).

Drevni matematički jezik nam je jasan. U fizici također postoje simboli i pojmovi svojstveni fizikalnoj znanosti. Ali matematički jezik nije izgubljen među fizičkim formulama. Naprotiv, ove formule nije moguće napisati bez znanja matematike.

Kao što znate, matematika voli preciznost i kratkoću - nije bez razloga jedna formula u usmenom obliku zauzela odlomak, a ponekad čak i cijelu stranicu teksta. Stoga su grafički elementi koji se koriste diljem svijeta u znanosti dizajnirani da povećaju brzinu pisanja i kompaktnost prikaza podataka. Osim toga, standardizirane grafičke slike može prepoznati izvorni govornik bilo kojeg jezika koji ima osnovno znanje iz odgovarajućeg područja.

Povijest matematičkih znakova i simbola seže stoljećima unatrag - neki od njih su izmišljeni nasumično i namijenjeni su označavanju drugih pojava; drugi su postali proizvod aktivnosti znanstvenika koji namjerno oblikuju umjetni jezik i vode se isključivo praktičnim razmatranjima.

Plus i minus

Povijest podrijetla simbola koji označavaju najjednostavnije aritmetičke operacije nije pouzdano poznata. Međutim, postoji prilično uvjerljiva hipoteza o podrijetlu znaka plus, koji izgleda kao prekrižene vodoravne i okomite crte. U skladu s njim, simbol dodavanja potječe iz latinske unije et, što se na ruski prevodi kao "i". Postupno, kako bi se ubrzao proces pisanja, riječ je skraćena u okomito orijentirani križ, nalik na slovo t. Najraniji pouzdani primjer takve redukcije potječe iz 14. stoljeća.

Općeprihvaćeni znak minus pojavio se, očito, kasnije. U 14., pa čak i u 15. stoljeću, brojni simboli korišteni su u znanstvenoj literaturi za označavanje operacije oduzimanja, a tek do 16. stoljeća su se "plus" i "minus" u svom modernom obliku počeli pojavljivati ​​zajedno u matematičkim djelima.

Množenje i dijeljenje

Začudo, matematički znakovi i simboli za ove dvije aritmetičke operacije danas nisu potpuno standardizirani. Popularni simbol za množenje je dijagonalni križ koji je predložio matematičar Oughtred u 17. stoljeću, a koji se može vidjeti, na primjer, na kalkulatorima. Na satovima matematike u školi ista se operacija obično prikazuje kao točka - ovu metodu predložio je Leibniz u istom stoljeću. Druga metoda predstavljanja je zvjezdica, koja se najčešće koristi u računalnim prikazima raznih izračuna. U istom 17. stoljeću predložio ga je Johann Rahn.

Za operaciju dijeljenja predviđen je znak kose crte (predložio Oughtred) i vodoravna crta s točkama iznad i ispod (simbol je uveo Johann Rahn). Prva opcija označavanja je popularnija, ali druga je također prilično česta.

Matematički znakovi i simboli te njihova značenja ponekad se mijenjaju tijekom vremena. Međutim, sve tri metode grafičkog prikazivanja množenja, kao i obje metode dijeljenja, danas su u jednoj ili drugoj mjeri valjane i relevantne.

Jednakost, identitet, jednakost

Kao i kod mnogih drugih matematičkih znakova i simbola, označavanje jednakosti izvorno je bilo verbalno. Dugo je općeprihvaćena oznaka bila kratica ae od latinskog aequalis ("jednak"). Međutim, u 16. stoljeću, velški matematičar po imenu Robert Record predložio je dvije vodoravne linije smještene jednu ispod druge kao simbol. Kao što je znanstvenik tvrdio, nemoguće je zamisliti nešto što je jednakije jedno drugom od dva paralelna segmenta.

Unatoč činjenici da je sličan znak korišten za označavanje paralelnih linija, novi simbol jednakosti postupno je postao raširen. Usput, znakovi poput "više" i "manje", koji prikazuju krpelje okrenute u različitim smjerovima, pojavili su se tek u 17.-18. stoljeću. Danas se svakom školarcu čine intuitivnima.

Nešto složeniji znakovi istovjetnosti (dvije valovite crte) i istovjetnosti (tri horizontalne paralelne crte) ušli su u upotrebu tek u drugoj polovici 19. stoljeća.

Znak nepoznatog - "X"

Povijest nastanka matematičkih znakova i simbola također sadrži vrlo zanimljive slučajeve promišljanja grafike kako se znanost razvija. Znak za nepoznato, danas nazvan "X", potječe s Bliskog istoka u osvit prošlog tisućljeća.

Još u 10. stoljeću u arapskom svijetu, poznatom u tom povijesnom razdoblju po svojim znanstvenicima, pojam nepoznatog označavao se riječju doslovno prevedenom kao “nešto” i koja počinje glasom “Š”. Radi uštede materijala i vremena, riječ u raspravama počela se skraćivati ​​na prvo slovo.

Mnogo desetljeća kasnije, pisani radovi arapskih znanstvenika završili su u gradovima Pirenejskog poluotoka, na području moderne Španjolske. Znanstvene rasprave počele su se prevoditi na nacionalni jezik, ali pojavila se poteškoća - u španjolskom ne postoji fonem "Š". Posuđene arapske riječi koje počinju njime pisane su prema posebnom pravilu i ispred njih je stajalo slovo X. Znanstveni jezik tog vremena bio je latinski, u kojem se odgovarajući znak naziva "X".

Dakle, znak, koji je na prvi pogled samo nasumično odabran simbol, ima duboku povijest i izvorno je bio skraćenica arapske riječi za "nešto".

Označavanje ostalih nepoznanica

Za razliku od "X", Y i Z, koji su nam poznati iz škole, kao i a, b, c, imaju mnogo prozaičniju priču o nastanku.

U 17. stoljeću Descartes je objavio knjigu pod nazivom Geometrija. U ovoj je knjizi autor predložio standardizaciju simbola u jednadžbama: u skladu s njegovom idejom, posljednja tri slova latinične abecede (počevši od "X") počela su označavati nepoznate vrijednosti, a prva tri - poznate vrijednosti.

Trigonometrijski pojmovi

Povijest takve riječi kao što je "sine" doista je neobična.

Odgovarajuće trigonometrijske funkcije izvorno su nazvane u Indiji. Riječ koja odgovara konceptu sinusa doslovno je značila "niz". U vrijeme procvata arapske znanosti, indijske rasprave su prevođene, a koncept, koji nije imao analoga u arapskom jeziku, je transkribiran. Igrom slučaja, ono što je izašlo u pismu nalikovalo je stvarnoj riječi "šupalj", čija semantika nije imala nikakve veze s izvornim pojmom. Kao rezultat toga, kada su arapski tekstovi prevedeni na latinski u 12. stoljeću, pojavila se riječ "sine", što znači "šupalj" i uspostavljena kao novi matematički koncept.

Ali matematički znakovi i simboli za tangens i kotangens još nisu standardizirani - u nekim zemljama obično se pišu kao tg, au drugima - kao tan.

Neki drugi znakovi

Kao što se može vidjeti iz gore opisanih primjera, pojava matematičkih znakova i simbola uglavnom se dogodila u 16.-17. stoljeću. U istom razdoblju pojavili su se danas poznati oblici bilježenja pojmova kao što su postotak, kvadratni korijen, stupanj.

Postotak, tj. stoti dio, dugo se označavao kao cto (skraćeno od latinskog cento). Vjeruje se da je danas općeprihvaćeni znak nastao kao rezultat tiskarske pogreške prije otprilike četiri stotine godina. Dobivena slika doživljena je kao uspješan način skraćivanja i prihvaćena.

Znak korijena izvorno je bilo stilizirano slovo R (skraćenica za latinsku riječ radix, "korijen"). Gornja traka, ispod koje je izraz danas napisan, služila je kao zagrada i bila je zaseban simbol, odvojen od korijena. Zagrade su izumljene kasnije - ušle su u široku upotrebu zahvaljujući radu Leibniza (1646.-1716.). Zahvaljujući njegovom radu, u znanost je uveden integralni simbol koji izgleda kao izduženo slovo S - skraćenica za riječ "zbir".

Naposljetku, znak za operaciju potenciranja izumio je Descartes, a modificirao Newton u drugoj polovici 17. stoljeća.

Kasnije oznake

Uzimajući u obzir da su poznate grafičke slike "plus" i "minus" uvedene u opticaj tek prije nekoliko stoljeća, ne čini se iznenađujućim da su se matematički znakovi i simboli koji označavaju složene pojave počeli koristiti tek u pretprošlom stoljeću.

Tako se faktorijel, koji izgleda kao uskličnik iza broja ili varijable, pojavio tek početkom 19. stoljeća. Otprilike u isto vrijeme pojavilo se veliko "P" za označavanje rada i simbol ograničenja.

Pomalo je čudno da su se znakovi za Pi i algebarski zbroj pojavili tek u 18. stoljeću - kasnije od, primjerice, integralnog simbola, iako se intuitivno čini da se češće koriste. Grafički prikaz omjera opsega i promjera dolazi od prvog slova grčkih riječi koje znače "opseg" i "perimetar". A znak "sigma" za algebarski zbroj predložio je Euler u posljednjoj četvrtini 18. stoljeća.

Nazivi simbola na različitim jezicima

Kao što znate, jezik znanosti u Europi stoljećima je bio latinski. Fizički, medicinski i mnogi drugi pojmovi često su posuđivani u obliku transkripcija, mnogo rjeđe - u obliku paus papira. Stoga se mnogi matematički znakovi i simboli na engleskom nazivaju gotovo isto kao na ruskom, francuskom ili njemačkom. Što je bit fenomena složenija, to je veća vjerojatnost da će imati isto ime na različitim jezicima.

Računalni zapis matematičkih simbola

Najjednostavniji matematički znakovi i simboli u Wordu označeni su uobičajenom kombinacijom tipki Shift+broj od 0 do 9 u ruskom ili engleskom rasporedu. Odvojeni ključevi rezervirani su za neke često korištene znakove: plus, minus, jednako, kosa crta.

Ako želite koristiti grafičke slike integrala, algebarskog zbroja ili produkta, Pi itd., trebate otvoriti karticu "Umetni" u Wordu i pronaći jedan od dva gumba: "Formula" ili "Simbol". U prvom slučaju otvorit će se konstruktor koji vam omogućuje da izgradite cijelu formulu unutar jednog polja, au drugom će se otvoriti tablica simbola u kojoj možete pronaći sve matematičke simbole.

Kako zapamtiti matematičke simbole

Za razliku od kemije i fizike, gdje broj simbola koje treba zapamtiti može premašiti stotinu jedinica, matematika operira s relativno malim brojem simbola. Najjednostavnije od njih učimo u ranom djetinjstvu, učeći zbrajati i oduzimati, a tek na fakultetu u određenim specijalnostima upoznajemo se s nekoliko složenih matematičkih znakova i simbola. Slike za djecu pomažu u nekoliko tjedana da postignu trenutno prepoznavanje grafičke slike potrebne operacije; može biti potrebno mnogo više vremena za ovladavanje vještinom izvođenja ovih operacija i razumijevanje njihove suštine.

Dakle, proces pamćenja znakova događa se automatski i ne zahtijeva puno truda.

Konačno

Vrijednost matematičkih znakova i simbola leži u činjenici da ih lako razumiju ljudi koji govore različite jezike i izvorni su govornici različitih kultura. Iz tog je razloga iznimno korisno razumjeti i moći reproducirati grafičke prikaze različitih pojava i operacija.

Visoka razina standardizacije ovih znakova uvjetuje njihovu primjenu u najrazličitijim područjima: u području financija, informacijske tehnologije, inženjeringa itd. Za sve koji se žele baviti poslovima vezanim uz brojeve i izračune, poznavanje matematičkih znakova i simbola a njihova značenja postaju vitalna nužnost .

Tečaj koristi geometrijski jezik, sastavljen od oznaka i simbola usvojenih u matematičkom tečaju (osobito u novom geometrijskom tečaju u srednjoj školi).

Cjelokupna raznolikost oznaka i simbola, kao i veza između njih, može se podijeliti u dvije skupine:

skupina I - oznake geometrijskih likova i odnosi među njima;

grupa II oznake logičkih operacija koje čine sintaktičku osnovu geometrijskog jezika.

Ispod je potpuni popis matematičkih simbola koji se koriste u ovom tečaju. Posebna pažnja posvećena je simbolima koji se koriste za označavanje projekcija geometrijskih likova.

Grupa I

SIMBOLI KOJI OZNAČAVAJU GEOMETRIJSKE LIKOVE I ODNOSE MEĐU NJIMA

A. Označavanje geometrijskih likova

1. Označena je geometrijska figura - F.

2. Bodovi se označavaju velikim slovima latinične abecede ili arapskim brojevima:

A, B, C, D, ... , L, M, N, ...

1,2,3,4,...,12,13,14,...

3. Pravci proizvoljno smješteni u odnosu na ravnine projekcija označeni su malim slovima latinične abecede:

a, b, c, d, ... , l, m, n, ...

Linije razine su označene: h - horizontalno; f- sprijeda.

Sljedeće oznake također se koriste za ravne linije:

(AB) - pravac koji prolazi kroz točke A i B;

[AB) - zraka s početkom u točki A;

[AB] - isječak ravne linije omeđen točkama A i B.

4. Površine su označene malim slovima grčke abecede:

α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...

Da bi se istaknuo način na koji je određena površina, potrebno je naznačiti geometrijske elemente kojima je određena, na primjer:

α(a || b) - ravnina α određena je paralelnim pravcima a i b;

β(d 1 d 2 gα) - površina β određena je vodilicama d 1 i d 2, generatorom g i ravninom paralelizma α.

5. Kutovi su naznačeni:

∠ABC - kut s vrhom u točki B, kao i ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...

6. Kutni: vrijednost (stupnjevna mjera) označena je znakom koji se nalazi iznad kuta:

Veličina kuta ABC;

Veličina kuta φ.

Pravi kut označen je kvadratom s točkom unutar njega

7. Udaljenosti između geometrijskih likova označene su s dva okomita segmenta - ||.

Na primjer:

|AB| - udaljenost između točaka A i B (duljina segmenta AB);

|Aa| - udaljenost od točke A do pravca a;

|Aα| - udaljenosti od točke A do površine α;

|ab| - razmak između pravaca a i b;

|αβ| udaljenost između površina α i β.

8. Za ravnine projekcije prihvaćaju se sljedeće oznake: π 1 i π 2, gdje je π 1 horizontalna ravnina projekcije;

π 2 - ravnina frontalne projekcije.

Prilikom zamjene ravnina projekcija ili uvođenja novih ravnina, potonje se označavaju s π 3, π 4 itd.

9. Osi projekcija su označene: x, y, z, gdje je x os apscisa; y - ordinatna os; z - aplicirana os.

Mongeov konstantni pravocrtni dijagram označen je s k.

10. Projekcije točaka, linija, površina, bilo koje geometrijske figure označene su istim slovima (ili brojevima) kao i izvornik, uz dodatak gornjeg indeksa koji odgovara ravnini projekcije na kojoj su dobiveni:

A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontalne projekcije točaka; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... frontalne projekcije točaka; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontalne projekcije pravaca; a" , b" , c", d" , ... , l" , m " , n" , ... frontalne projekcije pravaca; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... horizontalne projekcije površina; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... frontalne projekcije ploha.

11. Tragovi ravnina (ploha) označavaju se istim slovima kao horizontalni ili frontalni, uz dodatak indeksa 0α, čime se naglašava da ti pravci leže u ravnini projekcije i pripadaju ravnini (plohi) α.

Dakle: h 0α - horizontalni trag ravnine (plohe) α;

f 0α - frontalni trag ravnine (plohe) α.

12. Tragovi ravnih crta (crta) označavaju se velikim slovima, kojima počinju riječi koje određuju naziv (u latiničnoj transkripciji) ravnine projekcije koju pravac siječe, s indeksom koji označava pripadnost pravcu.

Na primjer: H a - horizontalni trag ravne linije (crte) a;

F a - frontalni trag ravne linije (linije) a.

13. Niz točaka, linija (bilo koji lik) označen je indeksima 1,2,3,..., n:

A 1, A 2, A 3,..., A n;

a 1 , a 2 , a 3 ,...,a n ;

α 1, α 2, α 3,..., α n;

F 1, F 2, F 3,..., F n, itd.

Pomoćna projekcija točke, dobivena kao rezultat transformacije za dobivanje stvarne vrijednosti geometrijske figure, označena je istim slovom s indeksom 0:

A 0, B 0, C 0, D 0,...

Aksonometrijske projekcije

14. Aksonometrijske projekcije točaka, linija, ploha označavaju se istim slovima kao i priroda s dodatkom superskripta 0:

A 0, B 0, C 0, D 0, ...

1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...

a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...

α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...

15. Sekundarne projekcije označene su dodavanjem superskripta 1:

A 1 0, B 1 0, C 1 0, D 1 0, ...

1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...

a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...

α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...

Radi lakšeg čitanja crteža u udžbeniku, pri oblikovanju ilustrativnog materijala koristi se nekoliko boja od kojih svaka ima određeno semantičko značenje: crne crte (točke) označavaju izvorne podatke; zelena boja se koristi za linije pomoćnih grafičkih konstrukcija; crvene linije (točke) prikazuju rezultate konstrukcija ili one geometrijske elemente na koje treba obratiti posebnu pozornost.

Apstraktna algebra koristi simbole kako bi pojednostavnila i skratila tekst, kao i standardnu ​​notaciju za neke grupe. Ispod je popis najčešćih algebarskih zapisa, odgovarajućih naredbi u ... Wikipediji

Matematičke oznake su simboli koji se koriste za kompaktno pisanje matematičkih jednadžbi i formula. Osim brojeva i slova raznih abeceda (latinica, uključujući u gotičkom stilu, grčka i hebrejska), ... ... Wikipedia

Članak sadrži popis često korištenih kratica matematičkih funkcija, operatora i drugih matematičkih pojmova. Sadržaj 1 Kratice 1.1 Latinica 1.2 Grčka abeceda ... Wikipedia

Unicode ili Unicode je standard za kodiranje znakova koji vam omogućuje predstavljanje znakova gotovo svih pisanih jezika. Standard je 1991. godine predložila neprofitna organizacija Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

Popis specifičnih simbola koji se koriste u matematici možete vidjeti u članku Tablica matematičkih simbola Matematička notacija (“jezik matematike”) složen je grafički sustav notacije koji se koristi za predstavljanje apstraktnih ... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima i druga značenja, pogledajte Plus minus (značenja). ± ∓ Znak plus minus (±) je matematički simbol koji se stavlja ispred nekog izraza i znači da vrijednost tog izraza može biti pozitivna ili ... Wikipedia

Potrebno je provjeriti kvalitetu prijevoda i članak uskladiti sa stilskim pravilima Wikipedije. Možete pomoći... Wikipedia

Ili su matematički simboli znakovi koji svojim argumentima simboliziraju određene matematičke operacije. Najčešći uključuju: Plus: + Minus: , − Znak množenja: ×, ∙ Znak dijeljenja: :, ∕, ÷ Podignite znak na... ... Wikipedia

Operacijski znakovi ili matematički simboli su znakovi koji svojim argumentima simboliziraju određene matematičke operacije. Najčešći su: Plus: + Minus: , − Znak množenja: ×, ∙ Znak dijeljenja: :, ∕, ÷ Znak konstrukcije... ... Wikipedia

Beskonačnost.J. Wallis (1655).

Prvi put pronađen u raspravi engleskog matematičara Johna Valisa "O konusnim presjecima".

Baza prirodnih logaritama. L. Eulera (1736).

Matematička konstanta, transcendentni broj. Ovaj se broj ponekad naziva nepernati u čast škotskog znanstvenik Napier, autor djela "Opis nevjerojatne tablice logaritama" (1614.). Konstanta se prvi put prešutno pojavljuje u dodatku engleskom prijevodu Napierovog gore spomenutog djela, objavljenog 1618. Samu konstantu prvi je izračunao švicarski matematičar Jacob Bernoulli rješavajući problem granične vrijednosti prihoda od kamata.

2,71828182845904523...

Prva poznata upotreba ove konstante, gdje je bila označena slovom b, koji se nalazi u Leibnizovim pismima Huygensu, 1690.-1691. Pismo e Euler ga je počeo koristiti 1727. godine, a prva publikacija s ovim slovom bilo je njegovo djelo “Mehanika, ili znanost o gibanju, objašnjena analitički” iz 1736. godine. Odnosno, e obično se zove Eulerov broj. Zašto je odabrano pismo? e, točno nepoznato. Možda je to zbog činjenice da riječ počinje s njim eksponencijalni(“indikativno”, “eksponencijalno”). Druga je pretpostavka da su slova a, b, c I d već su se prilično široko koristili u druge svrhe, i e bilo je prvo "slobodno" pismo.

Omjer opsega i promjera. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Matematička konstanta, iracionalni broj. Broj "pi", stari naziv je Ludolphov broj. Kao i svaki iracionalni broj, π se predstavlja kao beskonačni neperiodični decimalni razlomak:

π =3,141592653589793...

Prvi put je oznaku ovog broja grčkim slovom π upotrijebio britanski matematičar William Jones u knjizi “Novi uvod u matematiku”, a postala je općeprihvaćena nakon rada Leonharda Eulera. Ova oznaka dolazi od početnog slova grčkih riječi περιφερεια - krug, periferija i περιμετρος - opseg. Johann Heinrich Lambert dokazao je iracionalnost broja π 1761. godine, a Adrienne Marie Legendre 1774. godine dokazala je iracionalnost broja π 2. Legendre i Euler pretpostavili su da π može biti transcendentalan, tj. ne može zadovoljiti niti jednu algebarsku jednadžbu s cjelobrojnim koeficijentima, što je naposljetku 1882. dokazao Ferdinand von Lindemann.

Imaginarna jedinica. L. Euler (1777., u tisku - 1794.).

Poznato je da jednadžba x 2 =1 ima dva korijena: 1 I -1 . Imaginarna jedinica je jedan od dva korijena jednadžbe x 2 = -1, označava se latiničnim slovom ja, drugi korijen: -i. Ovu oznaku predložio je Leonhard Euler, koji je za tu svrhu uzeo prvo slovo latinske riječi imaginarius(imaginaran). Također je proširio sve standardne funkcije na kompleksnu domenu, tj. skup brojeva koji se može predstaviti kao a+ib, Gdje a I b- realni brojevi. Pojam "kompleksni broj" u široku je upotrebu uveo njemački matematičar Carl Gauss 1831. godine, iako je pojam prije toga u istom značenju koristio francuski matematičar Lazare Carnot 1803. godine.

Jedinični vektori. W. Hamilton (1853).

Jedinični vektori često su povezani s koordinatnim osima koordinatnog sustava (osobito, s osi Kartezijevog koordinatnog sustava). Jedinični vektor usmjeren duž osi x, označeno ja, jedinični vektor usmjeren duž osi Y, označeno j, a jedinični vektor usmjeren duž osi Z, označeno k. Vektori ja, j, k nazivaju se jedinični vektori, imaju jedinične module. Pojam "ort" uveo je engleski matematičar i inženjer Oliver Heaviside (1892.), a oznaku ja, j, k- Irski matematičar William Hamilton.

Cijeli dio broja, antie. K.Gaussa (1808).

Cjelobrojni dio broja [x] broja x je najveći cijeli broj koji ne prelazi x. Dakle, =5, [-3,6]=-4. Funkcija [x] se također naziva "antier of x". Simbol funkcije cijelog dijela uveo je Carl Gauss 1808. Neki matematičari radije koriste umjesto toga oznaku E(x), koju je 1798. predložio Legendre.

Kut paralelnosti. N.I. Lobačevski (1835).

Na ravnini Lobačevskog – kut između pravcab, prolazeći kroz točkuOKOparalelno s pravcema, ne sadrži točkuOKO, a okomito odOKO na a. α - duljina ove okomice. Kako se točka udaljavaOKO od ravne linije akut paralelizma se smanjuje od 90° do 0°. Lobačevski je dao formulu za kut paralelnostiP( α )=2arctg e - α /q , Gdje q— neka konstanta povezana sa zakrivljenošću prostora Lobačevskog.

Nepoznate ili promjenjive količine. R. Descartes (1637).

U matematici, varijabla je veličina koju karakterizira skup vrijednosti koje može poprimiti. To može značiti i stvarnu fizičku veličinu, privremeno promatranu odvojeno od njezinog fizičkog konteksta, i neku apstraktnu količinu koja nema analoga u stvarnom svijetu. Pojam varijable nastao je u 17. stoljeću. u početku pod utjecajem zahtjeva prirodne znanosti, koja je u prvi plan stavila proučavanje kretanja, procesa, a ne samo stanja. Ovaj koncept zahtijevao je nove oblike za svoj izraz. Takve nove forme bile su algebra slova i analitička geometrija Renea Descartesa. Po prvi put je pravokutni koordinatni sustav i oznake x, y uveo Rene Descartes u svom djelu “Rasprava o metodi” 1637. godine. Pierre Fermat također je pridonio razvoju koordinatne metode, ali su njegovi radovi prvi put objavljeni nakon njegove smrti. Descartes i Fermat koristili su koordinatnu metodu samo u ravnini. Metodu koordinata za trodimenzionalni prostor prvi je upotrijebio Leonhard Euler već u 18. stoljeću.

Vektor. O. Cauchy (1853).

Od samog početka, vektor se shvaća kao objekt koji ima veličinu, smjer i (neobavezno) točku primjene. Začeci vektorskog računa javljaju se zajedno s geometrijskim modelom kompleksnih brojeva kod Gaussa (1831.). Hamilton je objavio razvijene operacije s vektorima kao dio svog kvaternionskog računa (vektor je formiran od imaginarnih komponenti kvaterniona). Hamilton je predložio termin vektor(od latinske riječi vektor, prijevoznik) i opisao neke operacije vektorske analize. Maxwell je koristio ovaj formalizam u svojim radovima o elektromagnetizmu, čime je skrenuo pažnju znanstvenika na novi račun. Ubrzo su izašli Gibbsovi Elementi vektorske analize (1880-ih), a zatim je Heaviside (1903.) vektorskoj analizi dao njen moderni izgled. Sam vektorski znak u upotrebu je uveo francuski matematičar Augustin Louis Cauchy 1853. godine.

Zbrajanje, oduzimanje. J. Widman (1489).

Znakovi plus i minus očito su izmišljeni u njemačkoj matematičkoj školi "Kosista" (to jest, algebraista). Koriste se u udžbeniku Jana (Johannesa) Widmanna Brz i ugodan račun za sve trgovce, objavljenom 1489. godine. Ranije se zbrajanje označavalo slovom str(od latinskog plus"više") ili latinska riječ et(veznik “i”), a oduzimanje - slov m(od latinskog minus"manje, manje") Za Widmanna, simbol plus zamjenjuje ne samo zbrajanje, već i veznik "i". Podrijetlo ovih simbola nije jasno, ali najvjerojatnije su prethodno korišteni u trgovanju kao pokazatelji dobiti i gubitka. Oba simbola ubrzo su postala uobičajena u Europi - s izuzetkom Italije, koja je nastavila koristiti stare oznake otprilike jedno stoljeće.

Množenje. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Znak množenja u obliku kosog križa uveo je 1631. godine Englez William Oughtred. Prije njega najčešće se koristilo slovo M, iako su predložene i druge oznake: simbol pravokutnika (francuski matematičar Erigon, 1634.), zvjezdica (švicarski matematičar Johann Rahn, 1659.). Kasnije je Gottfried Wilhelm Leibniz križ zamijenio točkom (krajem 17. stoljeća) kako ga ne bi brkao sa slovom x; prije njega takav se simbolizam nalazi kod njemačkog astronoma i matematičara Regiomontana (15. stoljeće) i engleskog znanstvenika Thomasa Herriota (1560. -1621.).

Podjela. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Oughtred koristio je kosu crtu / kao znak dijeljenja. Gottfried Leibniz počeo je dijeljenje označavati dvotočkom. Prije njih, slovo se također često koristilo D. Počevši od Fibonaccija, koristi se i vodoravna linija razlomka koju su koristili Heron, Diofant iu arapskim djelima. U Engleskoj i SAD-u postao je raširen simbol ÷ (obelus), koji je predložio Johann Rahn (vjerojatno uz sudjelovanje Johna Pella) 1659. godine. Pokušaj Američkog nacionalnog odbora za matematičke standarde ( Nacionalni odbor za matematičke zahtjeve) uklanjanje obelusa iz prakse (1923.) nije uspjelo.

postotak. M. de la Porte (1685).

Stoti dio cjeline, uzet kao jedinica. Sama riječ "postotak" dolazi od latinskog "pro centum", što znači "na sto". Godine 1685. u Parizu je objavljena knjiga Mathieua de la Portea “Priručnik komercijalne aritmetike”. Na jednom mjestu se govorilo o postocima, koji su tada nazivani “cto” (skraćeno od cento). Međutim, slagač je ovo "cto" zamijenio za razlomak i ispisao "%". Dakle, zbog tipfelera, ovaj znak je ušao u upotrebu.

Stupnjevi. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

Modernu oznaku eksponenta uveo je Rene Descartes u svom " Geometrija"(1637.), međutim, samo za prirodne potencije s eksponentima većim od 2. Kasnije je Isaac Newton proširio ovaj oblik notacije na negativne i frakcijske eksponente (1676.), čije je tumačenje već bilo predloženo u to vrijeme: flamanski matematičar i inženjer Simon Stevin, engleski matematičar John Wallis i francuski matematičar Albert Girard.

Aritmetički korijen n-tu potenciju realnog broja A≥0, - nenegativan broj n-ti stupanj koji je jednak A. Aritmetički korijen 2. stupnja naziva se kvadratni korijen i može se napisati bez navođenja stupnja: √. Aritmetički korijen 3. stupnja naziva se kubni korijen. Srednjovjekovni matematičari (na primjer, Cardano) označavali su kvadratni korijen simbolom R x (od lat. Radix, korijen). Modernu notaciju prvi je upotrijebio njemački matematičar Christoph Rudolf, iz Cossističke škole, 1525. godine. Ovaj simbol dolazi od stiliziranog prvog slova iste riječi radix. Isprva nije bilo crte iznad radikalnog izraza; kasnije ga je uveo Descartes (1637.) za drugu svrhu (umjesto zagrada), a ta se značajka ubrzo stopila s korijenskim znakom. U 16. stoljeću kubni korijen se označavao na sljedeći način: R x .u.cu (od lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) počeo je koristiti poznati zapis za korijen proizvoljnog stupnja. Ovaj format uspostavljen je zahvaljujući Isaacu Newtonu i Gottfriedu Leibnizu.

Logaritam, decimalni logaritam, prirodni logaritam. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

Pojam "logaritam" pripada škotskom matematičaru Johnu Napieru ( “Opis nevjerojatne tablice logaritama”, 1614); nastao je kombinacijom grčkih riječi λογος (riječ, odnos) i αριθμος (broj). J. Napierov logaritam je pomoćni broj za mjerenje omjera dvaju brojeva. Modernu definiciju logaritma prvi je dao engleski matematičar William Gardiner (1742.). Po definiciji, logaritam broja b na temelju a (a ≠ 1, a > 0) - eksponent m, na koju broj treba podići a(naziva se baza logaritma) da biste dobili b. Određeni log a b. Tako, m = log a b, Ako a m = b.

Prve tablice decimalnih logaritama objavio je 1617. profesor matematike s Oxforda Henry Briggs. Stoga se u inozemstvu decimalni logaritmi često nazivaju Briggsovi logaritmi. Pojam “prirodni logaritam” uveli su Pietro Mengoli (1659.) i Nicholas Mercator (1668.), iako je londonski učitelj matematike John Spidell sastavio tablicu prirodnih logaritama još 1619. godine.

Sve do kraja 19. stoljeća nije postojao općeprihvaćeni zapis za logaritam, osnov a naznačeno lijevo i iznad simbola log, zatim iznad njega. Na kraju su matematičari došli do zaključka da je najprikladnije mjesto za bazu ispod crte, iza simbola log. Znak za logaritam - rezultat kratice riječi "logaritam" - pojavljuje se u različitim oblicima gotovo istodobno s pojavom prvih tablica logaritama, npr. Dnevnik- I. Keplera (1624.) i G. Briggsa (1631.), log- napisao B. Cavalieri (1632). Oznaka ul jer je prirodni logaritam uveo njemački matematičar Alfred Pringsheim (1893).

Sinus, kosinus, tangens, kotangens. W. Outred (sredina 17. st.), I. Bernoulli (18. st.), L. Euler (1748., 1753.).

Kratice za sinus i kosinus uveo je William Oughtred sredinom 17. stoljeća. Kratice za tangens i kotangens: tg, ctg uveo Johann Bernoulli u 18. stoljeću, postale su raširene u Njemačkoj i Rusiji. U drugim zemljama koriste se nazivi ovih funkcija tan, krevetić predložio Albert Girard još ranije, početkom 17. stoljeća. Leonhard Euler (1748., 1753.) doveo je teoriju trigonometrijskih funkcija u njen moderni oblik, a mi to dugujemo za konsolidaciju stvarnog simbolizma.Pojam "trigonometrijske funkcije" uveo je njemački matematičar i fizičar Georg Simon Klügel 1770. godine.

Indijski matematičari izvorno su nazvali sinusnu liniju "arha-jiva"(“polužica”, odnosno pola akorda), zatim riječ "archa" je odbačena i sinusna linija se počela nazivati ​​jednostavno "jiva". Arapski prevoditelji nisu preveli riječ "jiva" arapska riječ "vatar", označavajući niz i akord, i prepisan arapskim slovima i počeo se zvati sinusna linija "jiba". Budući da se u arapskom jeziku ne označavaju kratki samoglasnici, već dugo "i" u riječi "jiba" označen na isti način kao poluglasnik "th", Arapi su počeli izgovarati naziv sinusne linije "jibe", što doslovno znači “šupljina”, “sinus”. Kada su prevodili arapska djela na latinski, europski su prevoditelji prevodili tu riječ "jibe" latinska riječ sinus, imajući isto značenje.Pojam "tangenta" (od lat.tangente- dodirivanje) uveo je danski matematičar Thomas Fincke u svojoj knjizi The Geometry of the Round (1583).

Arksinus. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Inverzne trigonometrijske funkcije su matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama. Naziv inverzne trigonometrijske funkcije formira se od naziva odgovarajuće trigonometrijske funkcije dodavanjem prefiksa "luk" (od lat. luk- luk).Inverzne trigonometrijske funkcije obično uključuju šest funkcija: arksinus (arcsin), arkkosinus (arccos), arktangens (arctg), arkotangens (arcctg), arksekant (arcsec) i arkkosekant (arccosec). Posebne simbole za inverzne trigonometrijske funkcije prvi je upotrijebio Daniel Bernoulli (1729., 1736.).Način označavanja inverznih trigonometrijskih funkcija prefiksom luk(od lat. arcus, luk) pojavio se s austrijskim matematičarom Karlom Scherferom, a učvrstio ga je francuski matematičar, astronom i mehaničar Joseph Louis Lagrange. Mislilo se da, na primjer, obični sinus omogućuje pronalaženje tetive koja ga proteže duž kružnog luka, a inverzna funkcija rješava suprotan problem. Sve do kraja 19. stoljeća engleska i njemačka matematička škola predlagale su druge oznake: sin -1 i 1/sin, ali nisu široko korišteni.

Hiperbolički sinus, hiperbolički kosinus. V. Riccati (1757).

Povjesničari su otkrili prvu pojavu hiperboličkih funkcija u djelima engleskog matematičara Abrahama de Moivrea (1707., 1722.). Suvremenu definiciju i njihovu detaljnu studiju proveo je Talijan Vincenzo Riccati 1757. godine u svom djelu “Opusculorum”, a predložio je i njihove nazive: sh,CH. Riccati je pošao od razmatranja jedinične hiperbole. Samostalno otkriće i daljnje proučavanje svojstava hiperboličkih funkcija izvršio je njemački matematičar, fizičar i filozof Johann Lambert (1768.), koji je utvrdio široki paralelizam formula obične i hiperboličke trigonometrije. N.I. Lobačevski je kasnije upotrijebio ovaj paralelizam u pokušaju da dokaže dosljednost neeuklidske geometrije, u kojoj je obična trigonometrija zamijenjena hiperboličkom.

Kao što su trigonometrijski sinus i kosinus koordinate točke na koordinatnoj kružnici, hiperbolički sinus i kosinus su koordinate točke na hiperboli. Hiperboličke funkcije izražavaju se kao eksponencijal i usko su povezane s trigonometrijskim funkcijama: sh(x)=0,5(e x -e -x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Po analogiji s trigonometrijskim funkcijama, hiperbolički tangens i kotangens definirani su kao omjeri hiperboličkog sinusa i kosinusa, odnosno kosinusa i sinusa.

Diferencijal. G. Leibniz (1675, objavljen 1684).

Glavni, linearni dio inkrementa funkcije.Ako funkcija y=f(x) jedna varijabla x ima at x=x 0derivat, i prirastΔy=f(x 0 +?x)-f(x 0)funkcije f(x) može se prikazati u oblikuΔy=f"(x 0 )Δx+R(Δx) , gdje je član R infinitezimalno u usporedbi sΔx. Prvi člandy=f"(x 0 )Δxu ovom proširenju i naziva se diferencijalom funkcije f(x) u točkix 0. U djela Gottfrieda Leibniza, Jacoba i Johanna Bernoullija riječ"diferencija"korišten u značenju “prirasta”, I. Bernoulli ga je označio kroz Δ. G. Leibniz (1675., objavljen 1684.) koristio je oznaku za "infinitezimalnu razliku"d- prvo slovo riječi"diferencijal", formiran od njega iz"diferencija".

Neodređeni integral. G. Leibniz (1675, objavljen 1686).

Riječ "integral" prvi je upotrijebio u tisku Jacob Bernoulli (1690.). Možda je izraz izveden iz latinskog cijeli broj- cijeli. Prema drugoj pretpostavci, osnova je bila latinska riječ integro- dovesti u prijašnje stanje, vratiti. Znak ∫ koristi se za predstavljanje integrala u matematici i stilizirani je prikaz prvog slova latinske riječi suma - iznos. Prvi ga je upotrijebio njemački matematičar i utemeljitelj diferencijalnog i integralnog računa, Gottfried Leibniz, krajem 17. stoljeća. Još jedan od utemeljitelja diferencijalnog i integralnog računa, Isaac Newton, u svojim radovima nije predložio alternativnu simboliku za integral, iako je pokušao s raznim opcijama: okomitom crtom iznad funkcije ili kvadratnim simbolom koji stoji ispred funkcije ili graniči s njim. Neodređeni integral za funkciju y=f(x) je skup svih antiderivacija date funkcije.

Određeni integral. J. Fourier (1819-1822).

Određeni integral funkcije f(x) s donjom granicom a i gornja granica b može se definirati kao razlika F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , Gdje F(x)- neki antiderivat funkcije f(x) . Određeni integral a ∫ b f(x)dx brojčano jednaka površini figure ograničene osi x i ravnim linijama x=a I x=b i graf funkcije f(x). Dizajn određenog integrala u obliku koji nam je poznat predložio je francuski matematičar i fizičar Jean Baptiste Joseph Fourier početkom 19. stoljeća.

Izvedenica. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Derivacija je osnovni koncept diferencijalnog računa, karakterizira brzinu promjene funkcije f(x) kada se argument promijeni x . Definira se kao granica omjera prirasta funkcije i prirasta njezinog argumenta dok priraštaj argumenta teži nuli, ako takva granica postoji. Funkcija koja ima konačnu derivaciju u nekoj točki naziva se diferencijabilnom u toj točki. Proces izračuna derivacije naziva se diferencijacija. Obrnuti proces je integracija. U klasičnom diferencijalnom računu derivacija se najčešće definira kroz koncepte teorije limita, no povijesno se teorija limita pojavila kasnije od diferencijalnog računa.

Pojam “derivativa” uveo je Joseph Louis Lagrange 1797. godine, on također koristi označavanje izvedenice pomoću crte (1770., 1779.), a dy/dx- Gottfried Leibniz 1675. Način označavanja vremenske izvedenice točkom preko slova potječe od Newtona (1691).Ruski izraz "derivacija funkcije" prvi je upotrijebio ruski matematičarVasilij Ivanovič Viskovatov (1779.-1812.).

Parcijalna derivacija. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Za funkcije mnogih varijabli definirane su parcijalne derivacije - derivacije u odnosu na jedan od argumenata, izračunate pod pretpostavkom da su ostali argumenti konstantni. Oznake ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ g uveo francuski matematičar Adrien Marie Legendre 1786.; fx",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797., 1801.); ∂ 2 z/ ∂ x 2, ∂ 2 z/ ∂ x ∂ g- parcijalne derivacije drugog reda - njemački matematičar Carl Gustav Jacob Jacobi (1837.).

Razlika, prirast. I. Bernoulli (kraj 17. st. - prva polovica 18. st.), L. Euler (1755.).

Oznaku inkrementa slovom Δ prvi je upotrijebio švicarski matematičar Johann Bernoulli. Simbol delta ušao je u opću upotrebu nakon rada Leonharda Eulera 1755. godine.

Iznos. L. Eulera (1755).

Zbroj je rezultat zbrajanja veličina (brojeva, funkcija, vektora, matrica itd.). Za označavanje zbroja n brojeva a 1, a 2, ..., a n koristi se grčko slovo “sigma” Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a ja Znak Σ za zbroj uveo je Leonhard Euler 1755. godine.

Raditi. K.Gaussa (1812).

Proizvod je rezultat množenja. Za označavanje umnoška n brojeva a 1, a 2, ..., a n koristi se grčko slovo pi Π: a 1 · a 2 · ... · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Na primjer, 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Oznaku Π za umnožak uveo je njemački matematičar Carl Gauss 1812. godine. U ruskoj matematičkoj literaturi pojam "proizvod" prvi je put susreo Leontije Filipovič Magnicki 1703. godine.

Faktorijel. K. Crump (1808).

Faktorijel broja n (označava se n!, izgovara se "en faktorijel") umnožak je svih prirodnih brojeva do uključivo n: n! = 1·2·3·...·n. Na primjer, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. Po definiciji se pretpostavlja 0! = 1. Faktorijel je definiran samo za nenegativne cijele brojeve. Faktorijel od n jednak je broju permutacija od n elemenata. Na primjer, 3! = 6, zaista,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Svih šest i samo šest permutacija tri elementa.

Pojam "faktorijel" uveo je francuski matematičar i političar Louis Francois Antoine Arbogast (1800.), oznaka n! - francuski matematičar Christian Crump (1808.).

Modul, apsolutna vrijednost. K. Weierstrassa (1841).

Apsolutna vrijednost realnog broja x je nenegativan broj definiran na sljedeći način: |x| = x za x ≥ 0, i |x| = -x za x ≤ 0. Na primjer, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modul kompleksnog broja z = a + ib je realan broj jednak √(a 2 + b 2).

Vjeruje se da je pojam “modul” predložio engleski matematičar i filozof, Newtonov učenik, Roger Cotes. Gottfried Leibniz također je koristio ovu funkciju, koju je nazvao "modulus" i označio: mol x. Općeprihvaćenu oznaku za apsolutnu vrijednost uveo je 1841. njemački matematičar Karl Weierstrass. Za kompleksne brojeve ovaj koncept uveli su francuski matematičari Augustin Cauchy i Jean Robert Argan početkom 19. stoljeća. Godine 1903. austrijski znanstvenik Konrad Lorenz upotrijebio je istu simboliku za duljinu vektora.

Norma. E. Schmidta (1908).

Norma je funkcional definiran na vektorskom prostoru i generalizira koncept duljine vektora ili modula broja. Znak "norma" (od latinske riječi "norma" - "pravilo", "uzorak") uveo je njemački matematičar Erhard Schmidt 1908. godine.

Ograničiti. S. Lhuillier (1786), W. Hamilton (1853), mnogi matematičari (do početka XX. st.)

Limit je jedan od temeljnih pojmova matematičke analize, što znači da se određena vrijednost varijable u procesu svoje promjene promatrane neograničeno približava određenoj konstantnoj vrijednosti. Koncept granice je u drugoj polovici 17. stoljeća intuitivno koristio Isaac Newton, kao i matematičari 18. stoljeća poput Leonharda Eulera i Josepha Louisa Lagrangea. Prve rigorozne definicije granice niza dali su Bernard Bolzano 1816. i Augustin Cauchy 1821. Simbol lim (prva 3 slova iz latinske riječi limes - granica) pojavio se 1787. godine od strane švicarskog matematičara Simona Antoinea Jeana Lhuilliera, ali njegova upotreba još nije nalikovala modernoj. Izraz lim u poznatijem obliku prvi je upotrijebio irski matematičar William Hamilton 1853. godine.Weierstrass je uveo oznaku blisku modernoj, ali je umjesto poznate strelice koristio znak jednakosti. Strelica se pojavila početkom 20. stoljeća među nekoliko matematičara odjednom - na primjer, engleski matematičar Godfried Hardy 1908. godine.

Zeta funkcija, d Riemannova zeta funkcija. B. Riemanna (1857).

Analitička funkcija kompleksne varijable s = σ + it, za σ > 1, određena apsolutno i uniformno konvergentnim Dirichletovim redom:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

Za σ > 1 vrijedi prikaz u obliku Eulerovog produkta:

ζ(s) = Π str (1-p -s) -s,

gdje je proizvod preuzet preko svih prostih p. Zeta funkcija igra veliku ulogu u teoriji brojeva.Kao funkciju realne varijable, zeta funkciju uveo je 1737. (objavljena 1744.) L. Euler, koji je naznačio njezino proširenje u umnožak. Ovu funkciju su zatim razmatrali njemački matematičar L. Dirichlet i, posebno uspješno, ruski matematičar i mehaničar P.L. Čebišev pri proučavanju zakona raspodjele prostih brojeva. Međutim, najdublja svojstva zeta funkcije otkrivena su kasnije, nakon rada njemačkog matematičara Georga Friedricha Bernharda Riemanna (1859.), gdje je zeta funkcija razmatrana kao funkcija kompleksne varijable; Također je uveo naziv "zeta funkcija" i oznaku ζ(s) 1857. godine.

Gama funkcija, Eulerova Γ funkcija. A. Legendre (1814).

Gama funkcija je matematička funkcija koja proširuje koncept faktorijela na polje kompleksnih brojeva. Obično se označava s Γ(z). G-funkciju je prvi uveo Leonhard Euler 1729. godine; određuje se formulom:

Γ(z) = limn→∞ n!·n z /z(z+1)...(z+n).

Velik broj integrala, beskonačnih umnožaka i zbrojeva nizova izražava se kroz G-funkciju. Široko se koristi u analitičkoj teoriji brojeva. Naziv "Gama funkcija" i oznaku Γ(z) predložio je francuski matematičar Adrien Marie Legendre 1814. godine.

Beta funkcija, B funkcija, Euler B funkcija. J. Bineta (1839).

Funkcija dviju varijabli p i q, definirana za p>0, q>0 jednakošću:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Beta funkcija se može izraziti preko Γ-funkcije: B(p, q) = Γ(p)G(q)/G(p+q).Baš kao što je gama funkcija za cijele brojeve generalizacija faktorijela, beta funkcija je, u određenom smislu, generalizacija binomnih koeficijenata.

Beta funkcija opisuje mnoga svojstvaelementarne čestice sudjelovanje u snažna interakcija. Ovu značajku uočio je talijanski teorijski fizičarGabriele Veneziano 1968. godine. Ovo je označilo početak teorija struna.

Naziv "beta funkcija" i oznaku B(p, q) uveo je 1839. godine francuski matematičar, mehaničar i astronom Jacques Philippe Marie Binet.

Laplaceov operator, Laplasov. R. Murphy (1833).

Linearni diferencijalni operator Δ, koji dodjeljuje funkcije φ(x 1, x 2, ..., x n) od n varijabli x 1, x 2, ..., x n:

Δφ = ∂ 2 φ/∂h 1 2 + ∂ 2 φ/∂h 2 2 + ... + ∂ 2 φ/∂h n 2.

Konkretno, za funkciju φ(x) jedne varijable, Laplaceov operator koincidira s operatorom 2. derivacije: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Jednadžba Δφ = 0 obično se naziva Laplaceova jednadžba; Odatle potječu nazivi “Laplaceov operator” ili “Laplacian”. Oznaku Δ uveo je engleski fizičar i matematičar Robert Murphy 1833. godine.

Hamiltonov operator, nabla operator, Hamiltonijan. O. Heaviside (1892).

Vektorski diferencijalni operator forme

∇ = ∂/∂x ja+ ∂/∂y · j+ ∂/∂z · k,

Gdje ja, j, I k- koordinatni jedinični vektori. Osnovne operacije vektorske analize, kao i Laplaceov operator, izražavaju se na prirodan način kroz Nabla operator.

Godine 1853. irski matematičar William Rowan Hamilton uveo je ovaj operator i skovao simbol ∇ za njega kao obrnuto grčko slovo Δ (delta). Kod Hamiltona je vrh simbola bio usmjeren ulijevo, a kasnije, u radovima škotskog matematičara i fizičara Petera Guthriea Tatea, simbol je dobio svoj moderni oblik. Hamilton je ovaj simbol nazvao "atled" (riječ "delta" čitana unatrag). Kasnije su engleski znanstvenici, uključujući Olivera Heavisidea, počeli zvati ovaj simbol "nabla", prema nazivu slova ∇ u feničanskom alfabetu, gdje se pojavljuje. Podrijetlo slova povezuje se s glazbenim instrumentom kao što je harfa, ναβλα (nabla) na starogrčkom što znači "harfa". Operator je nazvan Hamiltonov operator ili nabla operator.

Funkcija. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Matematički koncept koji odražava odnos između elemenata skupova. Možemo reći da je funkcija "zakon", "pravilo" prema kojem je svaki element jednog skupa (koji se naziva domena definicije) povezan s nekim elementom drugog skupa (koji se naziva domena vrijednosti). Matematički koncept funkcije izražava intuitivnu ideju o tome kako jedna veličina u potpunosti određuje vrijednost druge veličine. Često se izraz "funkcija" odnosi na numeričku funkciju; to jest, funkcija koja stavlja neke brojeve u korespondenciju s drugima. Dugo su vremena matematičari specificirali argumente bez zagrada, na primjer, ovako - φh. Ovu je oznaku prvi upotrijebio švicarski matematičar Johann Bernoulli 1718. godine.Zagrade su korištene samo u slučaju više argumenata ili ako je argument složen izraz. Odjeci tih vremena su snimke koje se i danas koristesin x, log xitd. Ali postupno je korištenje zagrada, f(x) postalo opće pravilo. A glavne zasluge za to pripadaju Leonhardu Euleru.

Jednakost. R. Zapis (1557).

Znak jednakosti predložio je velški liječnik i matematičar Robert Record 1557. godine; obris simbola bio je mnogo duži od sadašnjeg, jer je oponašao sliku dva paralelna segmenta. Autor je objasnio da na svijetu ne postoji ništa jednakije od dva paralelna segmenta iste duljine. Prije toga, u antičkoj i srednjovjekovnoj matematici jednakost se označavala verbalno (npr. est egale). U 17. stoljeću Rene Descartes počeo je koristiti æ (od lat. aequalis), a koristio je suvremeni znak jednakosti kako bi označio da koeficijent može biti negativan. François Viète koristio je znak jednakosti za označavanje oduzimanja. Simbol Rekord nije odmah postao raširen. Širenje simbola Rekord bilo je otežano činjenicom da se od davnina isti simbol koristio za označavanje paralelizma ravnih linija; Na kraju je odlučeno da simbol paralelizma bude okomit. U kontinentalnoj Europi znak "=" uveo je Gottfried Leibniz tek na prijelazu iz 17. u 18. stoljeće, odnosno više od 100 godina nakon smrti Roberta Recorda, koji ga je prvi upotrijebio u tu svrhu.

Približno jednako, približno jednako. A.Gunther (1882).

znak " ≈ " u upotrebu je kao simbol za odnos "približno jednako" uveo njemački matematičar i fizičar Adam Wilhelm Sigmund Günther 1882.

Više manje. T. Harriota (1631).

Ova dva znaka u upotrebu je uveo engleski astronom, matematičar, etnograf i prevoditelj Thomas Harriot 1631. godine, a prije toga su se koristile riječi “više” i “manje”.

Usporedivost. K.Gaussa (1801).

Usporedba je odnos između dva cijela broja n i m, što znači da je razlika n-m ovih brojeva podijeljena danim cijelim brojem a, koji se naziva modul usporedbe; piše: n≡m(mod a) i glasi “brojevi n i m su usporedivi po modulu a”. Na primjer, 3≡11(mod 4), budući da je 3-11 djeljivo s 4; brojevi 3 i 11 su usporedivi po modulu 4. Kongruencije imaju mnoga svojstva slična onima jednakosti. Tako se pojam koji se nalazi u jednom dijelu usporedbe može sa suprotnim predznakom prenijeti u drugi dio, a usporedbe s istim modulom se mogu zbrajati, oduzimati, množiti, oba dijela usporedbe mogu se množiti istim brojem itd. . Na primjer,

3≡9+2(mod 4) i 3-2≡9(mod 4)

Ujedno i istinite usporedbe. A iz para točnih usporedbi 3≡11(mod 4) i 1≡5(mod 4) slijedi sljedeće:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

Teorija brojeva bavi se metodama rješavanja raznih usporedbi, t.j. metode za pronalaženje cijelih brojeva koji zadovoljavaju usporedbe jednog ili drugog tipa. Modulo usporedbe prvi je upotrijebio njemački matematičar Carl Gauss u svojoj knjizi Arithmetic Studies iz 1801. godine. Također je predložio simbolizam za usporedbe koji je uspostavljen u matematici.

Identitet. B. Riemanna (1857).

Identitet je jednakost dva analitička izraza, važeća za sve dopuštene vrijednosti slova uključenih u njega. Jednakost a+b = b+a vrijedi za sve numeričke vrijednosti a i b, te je stoga identitet. Za bilježenje istovjetnosti u nekim se slučajevima od 1857. godine koristi znak “≡” (čitaj “identično jednak”), čiji je autor u ovoj uporabi njemački matematičar Georg Friedrich Bernhard Riemann. Možete zapisati a+b ≡ b+a.

Okomitost. P. Erigon (1634).

Okomitost je međusobni položaj dviju ravnina, ravnina ili pravca i ravnine, u kojem označeni likovi čine pravi kut. Znak ⊥ za označavanje okomitosti uveo je 1634. francuski matematičar i astronom Pierre Erigon. Pojam okomitosti ima niz generalizacija, ali sve one, u pravilu, prate znak ⊥.

Paralelizam. W. Outred (posmrtno izdanje 1677).

Paralelizam je odnos između pojedinih geometrijskih likova; na primjer ravno. Različito definiran ovisno o različitim geometrijama; na primjer, u geometriji Euklida i u geometriji Lobačevskog. Znak paralelizma poznat je od davnina, koristili su ga Heron i Papus iz Aleksandrije. U početku je simbol bio sličan sadašnjem znaku jednakosti (samo prošireniji), ali s dolaskom potonjeg, da bi se izbjegla zabuna, simbol je okrenut okomito ||. U ovom se obliku prvi put pojavio u posthumnom izdanju djela engleskog matematičara Williama Oughtreda 1677. godine.

Raskrižje, sindikat. J. Peano (1888).

Sjecište skupova je skup koji sadrži one i samo one elemente koji istovremeno pripadaju svim zadanim skupovima. Unija skupova je skup koji sadrži sve elemente izvornih skupova. Sjecište i unija također se nazivaju operacijama na skupovima koje pridružuju nove skupove određenim skupovima prema gore navedenim pravilima. Označava se s ∩ odnosno ∪. Na primjer, ako

A= (♠ ♣ ) I B= (♣ ♦),

Da

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Sadrži, sadrži. E. Schroeder (1890).

Ako su A i B dva skupa i nema elemenata u A koji ne pripadaju B, onda kažu da je A sadržan u B. Pišu A⊂B ili B⊃A (B sadrži A). Na primjer,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Simboli "sadrži" i "sadrži" pojavio se 1890. godine od strane njemačkog matematičara i logičara Ernsta Schroedera.

Pripadnost. J. Peano (1895).

Ako je a element skupa A, tada napišite a∈A i čitajte "a pripada A." Ako a nije element skupa A, napišite a∉A i pročitajte "a ne pripada A." U početku se odnosi "sadržano" i "pripada" ("je element") nisu razlikovali, no s vremenom je bilo potrebno razlikovati te pojmove. Simbol ∈ prvi je upotrijebio talijanski matematičar Giuseppe Peano 1895. godine. Simbol ∈ dolazi od prvog slova grčke riječi εστι - biti.

Kvantifikator univerzalnosti, kvantifikator postojanja. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Kvantifikator je opći naziv za logičke operacije koje označavaju domenu istinitosti predikata (matematičkog iskaza). Filozofi su dugo obraćali pozornost na logičke operacije koje ograničavaju područje istinitosti predikata, ali ih nisu identificirali kao zasebnu klasu operacija. Iako se kvantifikatorsko-logičke konstrukcije široko koriste kako u znanstvenom tako iu svakodnevnom govoru, njihova formalizacija dogodila se tek 1879. godine, u knjizi njemačkog logičara, matematičara i filozofa Friedricha Ludwiga Gottloba Fregea “Račun pojmova”. Fregeova notacija izgledala je kao glomazna grafička konstrukcija i nije bila prihvaćena. Kasnije je predloženo mnogo više uspješnih simbola, ali oznake koje su postale općeprihvaćene bile su ∃ za egzistencijalni kvantifikator (čitaj "postoji", "postoji"), koji je predložio američki filozof, logičar i matematičar Charles Peirce 1885., i ∀ za univerzalni kvantifikator (čitaj "bilo koji", "svaki", "svatko"), koji je oblikovao njemački matematičar i logičar Gerhard Karl Erich Gentzen 1935. godine po analogiji sa simbolom kvantifikatora postojanja (obrnuta prva slova engleskih riječi Postojanje (postojanje) i Any (bilo koji)). Na primjer, snimite

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

glasi ovako: “za bilo koje ε>0 postoji δ>0 tako da za sve x nije jednako x 0 i zadovoljava nejednakost |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Prazan set. N. Bourbaki (1939).

Skup koji ne sadrži niti jedan element. Znak praznog skupa uveden je u knjige Nicolasa Bourbakija 1939. godine. Bourbaki je kolektivni pseudonim grupe francuskih matematičara stvorenih 1935. godine. Jedan od članova grupe Bourbaki bio je Andre Weil, autor simbola Ø.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

U matematici se dokaz shvaća kao slijed razmišljanja izgrađenih na određenim pravilima, koji pokazuju da je određena izjava istinita. Od renesanse matematičari su kraj dokaza označavali kraticom "Q.E.D.", od latinskog izraza "Quod Erat Demonstrandum" - "Ono što je bilo potrebno dokazati". Prilikom stvaranja računalnog sustava rasporeda ΤΕΧ 1978., američki profesor informatike Donald Edwin Knuth koristio je simbol: ispunjeni kvadrat, takozvani "Halmosov simbol", nazvan po američkom matematičaru mađarskog podrijetla Paulu Richardu Halmosu. Danas se završetak dokaza obično označava simbolom Halmos. Kao alternativa koriste se drugi znakovi: prazan kvadrat, pravokutni trokut, // (dvije kose crte), kao i ruska kratica "ch.t.d."