Pronađite čvor i čvor triju brojeva. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) – definicija, primjeri i svojstva

Mnogi djelitelji

Razmotrimo sljedeći problem: nađi djelitelj broja 140. Očito, broj 140 nema jedan djelitelj, već nekoliko. U takvim slučajevima se kaže da problem postoji gomila odluke. Pronađimo ih sve. Prije svega, rastavimo ovaj broj na jednostavne faktore:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Sada možemo lako zapisati sve djelitelje. Počnimo s primarnim faktorima, to jest onima koji su prisutni u gore navedenom proširenju:

Zatim zapisujemo one koji su dobiveni množenjem prostih djelitelja po parovima:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Zatim - oni koji sadrže tri prosta djelitelja:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Na kraju, ne zaboravimo jedinicu i sam razloženi broj:

Svi djelitelji koje smo pronašli su u obliku gomila djelitelja broja 140 koji se piše u vitičastim zagradama:

Skup djelitelja broja 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Radi lakše percepcije, ovdje smo zapisali djelitelje ( elementi skupa) uzlaznim redoslijedom, ali, općenito govoreći, to nije potrebno. Dodatno uvodimo notnu kraticu. Umjesto “Skup djelitelja broja 140” pisat ćemo “D(140)”. Tako,

Na isti način možete pronaći skup djelitelja za bilo koji drugi prirodni broj. Na primjer, od razgradnje

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

dobivamo:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Od skupa svih djelitelja treba razlikovati skup prostih djelitelja koji su za brojeve 140 i 105 jednaki:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Posebno treba naglasiti da se u rastavljanju broja 140 na proste faktore dva pojavljuju dva puta, dok je u skupu PD(140) samo jedan. Skup PD(140) je, u suštini, sve odgovore na problem: “Nađite prosti faktor broja 140.” Jasno je da isti odgovor ne treba ponavljati više puta.

Smanjenje razlomaka. Najveći zajednički djelitelj

Razmotrimo razlomak

Znamo da se ovaj razlomak može smanjiti za broj koji je i djelitelj brojnika (105) i djelitelj nazivnika (140). Pogledajmo skupove D(105) i D(140) i zapišimo njihove zajedničke elemente.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Zajednički elementi skupova D(105) i D(140) =

Posljednja jednakost može se napisati još kraće, naime:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Ovdje posebna ikona "∩" ("vrećica s rupom prema dolje") označava da se iz dva skupa ispisana na suprotnim stranama moraju odabrati samo zajednički elementi. Unos “D(105) ∩ D(140)” glasi “ križanje skupovi De od 105 i De od 140.”

[Usput imajte na umu da možete izvoditi razne binarne operacije sa skupovima, gotovo kao s brojevima. Druga uobičajena binarna operacija je Unija, što je označeno ikonom “∪” (“vrećica s rupom prema gore”). Unija dva skupa uključuje sve elemente obaju skupova:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Dakle, otkrili smo da je razlomak

može se smanjiti za bilo koji od brojeva koji pripadaju skupu

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

i ne može se smanjiti ni za jedan drugi prirodni broj. Evo svih mogućih prečaca (osim nezanimljivog skraćivanja za jedan):

Očito je najpraktičnije razlomak smanjiti za što veći broj. U ovom slučaju, ovo je broj 35, za koji se kaže da je najveći zajednički djelitelj (GCD) brojevi 105 i 140. Ovo se piše kao

GCD(105, 140) = 35.

Međutim, u praksi, ako su nam dana dva broja i trebamo pronaći njihov najveći zajednički djelitelj, ne bismo trebali konstruirati nikakve skupove. Dovoljno je jednostavno rastaviti oba broja na proste faktore i istaknuti one od tih faktora koji su zajednički za obje dekompozicije, na primjer:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Množenjem podcrtanih brojeva (u bilo kojem od proširenja) dobivamo:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Naravno, moguće je da će biti više od dva podcrtana faktora:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Iz ovoga je jasno da

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Posebno treba spomenuti situaciju kada uopće nema zajedničkih čimbenika i nema se što istaknuti, na primjer:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

U ovom slučaju,

GCD(42, 55) = 1.

Pozivaju se dva prirodna broja za koje je GCD jednak jedan međusobno prosti. Ako od takvih brojeva napravite razlomak, npr.

onda je takav razlomak nesvodljiv.

Općenito govoreći, pravilo za smanjivanje razlomaka može se napisati na sljedeći način:

Ovdje se pretpostavlja da a I b su prirodni brojevi, a cijeli razlomak je pozitivan. Dodamo li sada znak minus objema stranama te jednakosti, dobit ćemo odgovarajuće pravilo za negativne razlomke.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Najmanji zajednički višekratnik

Pretpostavimo da trebate izračunati zbroj dva razlomka:

Već znamo kako se nazivnici rastavljaju na proste faktore:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Iz ovog rastavljanja odmah slijedi da je, da bi se razlomci doveli na zajednički nazivnik, dovoljno brojnik i nazivnik prvog razlomka pomnožiti s 2 ∙ 2 (umnožak nenaglašenih prostih faktora drugog nazivnika), i brojnik i nazivnik drugog razlomka za 3 (“proizvod” nenaglašenih prostih faktora prvog nazivnika). Kao rezultat toga, nazivnici oba razlomka postat će jednaki broju koji se može predstaviti na sljedeći način:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Lako je vidjeti da su oba izvorna nazivnika (i 105 i 140) djelitelji broja 420, a broj 420 je pak višekratnik oba nazivnika - i to ne samo višekratnik, već je najmanji zajednički višekratnik (NOC) brojevi 105 i 140. Zapisuje se ovako:

LCM(105, 140) = 420.

Pogledamo li pobliže razlaganje brojeva 105 i 140, vidimo da

105 ∙ 140 = GCD(105, 140) ∙ GCD(105, 140).

Slično, za proizvoljne prirodne brojeve b I d:

b ∙ d= LOC( b, d) ∙ GCD( b, d).

Sada dovršimo zbrajanje naših razlomaka:

Ali mnogi prirodni brojevi djeljivi su i drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 djeljiv je s 1, s 2, s 3, s 4, s 6, s 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv s cijelim (za 12 to su 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Djelitelj prirodnog broja a- je prirodni broj koji dijeli zadani broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva djelitelja naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke faktore. Ovi brojevi su: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a I b- ovo je broj s kojim su oba dana podijeljena bez ostatka a I b.

Zajednički višekratnici nekoliko brojeva je broj koji je djeljiv svakim od tih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju to je 90. Taj se broj naziva najmanjizajednički višekratnik (CMM).

LCM je uvijek prirodan broj koji mora biti veći od najvećeg od brojeva za koje je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

Komutativnost:

Asocijativnost:

Konkretno, ako su i međusobno prosti brojevi, tada:

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva m I n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m I n. Štoviše, skup zajedničkih višekratnika m, n podudara se sa skupom višekratnika LCM( m, n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teorijskih funkcija brojeva.

Tako, Čebiševljeva funkcija. I:

To proizlazi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je poznat najveći zajednički djelitelj, možete koristiti njegovu vezu s LCM-om:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

Gdje p 1 ,...,p k- razni prosti brojevi, i d 1 ,...,d k I e 1 ,...,e k— nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nule ako odgovarajući prost broj nije u proširenju).

Zatim NOC ( a,b) izračunava se po formuli:

Drugim riječima, LCM dekompozicija sadrži sve proste faktore uključene u barem jednu od dekompozicija brojeva a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog množitelja.

Primjer:

Izračunavanje najmanjeg zajedničkog višekratnika nekoliko brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračuna LCM dvaju brojeva:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastaviti brojeve na proste faktore;

- najveće razlaganje (umnožak faktora najvećeg broja zadanih) prenijeti na faktore željenog umnoška, ​​a zatim dodati faktore iz razlaganja ostalih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili se pojavljuju u njemu manje puta;

— rezultirajući umnožak prostih faktora bit će LCM zadanih brojeva.

Svaka dva ili više prirodnih brojeva imaju svoj LCM. Ako brojevi nisu višekratnici jedan drugoga ili nemaju iste faktore u proširenju, tada je njihov LCM jednak umnošku tih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjuju se faktorom 3 (broj 21), dobiveni umnožak (84) bit će najmanji broj djeljiv s 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjuju se faktorom 5 broja 25, dobiveni umnožak 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je svim zadanim brojevima bez ostatka. Ovo je najmanji mogući umnožak (150, 250, 300...) koji je višekratnik svih zadanih brojeva.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti brojevi, pa je njihov LCM jednak umnošku zadanih brojeva.

Pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, trebate pomnožiti sve te brojeve zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM) nekoliko brojeva, trebate:

1) predstaviti svaki broj kao umnožak njegovih prostih faktora, na primjer:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapiši sve proste djelitelje (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) odaberite najveći stupanj svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) umnožite ove moći.

Primjer. Odredite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Riješenje. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Školarci dobivaju puno zadataka iz matematike. Među njima vrlo često postoje problemi sa sljedećom formulacijom: postoje dva značenja. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva? Potrebno je biti sposoban za obavljanje takvih zadataka, jer se stečene vještine koriste za rad s razlomcima s različitim nazivnicima. U ovom članku ćemo pogledati kako pronaći LOC i osnovne pojmove.

Prije pronalaženja odgovora na pitanje kako pronaći LCM, potrebno je definirati pojam višestruke. Najčešće formulacija ovog koncepta zvuči ovako: višekratnik određene vrijednosti A je prirodni broj koji će bez ostatka biti djeljiv s A. Dakle, za 4 višekratnici će biti 8, 12, 16, 20, i tako dalje, do tražene granice.

U ovom slučaju, broj djelitelja za određenu vrijednost može biti ograničen, ali višekratnika je beskonačno mnogo. Tu je i ista vrijednost za prirodne vrijednosti. Ovo je pokazatelj koji je podijeljen na njih bez ostatka. Nakon što smo razumjeli koncept najmanje vrijednosti za određene pokazatelje, prijeđimo na to kako je pronaći.

Pronalaženje NOO-a

Najmanji višekratnik dva ili više eksponenata je najmanji prirodni broj koji je u cijelosti djeljiv sa svim navedenim brojevima.

Postoji nekoliko načina da se pronađe takva vrijednost, razmotrite sljedeće metode:

1. Ako su brojevi mali, napiši na crtu sve one koji su s njim djeljivi. Nastavite tako dok ne pronađete nešto zajedničko među njima. U pisanju se označavaju slovom K. Na primjer, za 4 i 3 najmanji višekratnik je 12.
2. Ako su oni veliki ili trebate pronaći višekratnik 3 ili više vrijednosti, tada biste trebali koristiti drugu tehniku ​​koja uključuje rastavljanje brojeva na proste faktore. Najprije izložite najveću s popisa, a zatim sve ostale. Svaki od njih ima svoj broj množitelja. Kao primjer, rastavimo 20 (2*2*5) i 50 (5*5*2). Za manji podcrtajte faktore i dodajte ih najvećem. Rezultat će biti 100, što će biti najmanji zajednički višekratnik gornjih brojeva.
3. Kod pronalaženja 3 broja (16, 24 i 36) principi su isti kao i za druga dva. Proširimo svaki od njih: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. U proširenje najvećeg nisu ušle samo dvije dvojke iz proširenja broja 16. Zbrojimo ih i dobijemo 144, što je najmanji rezultat za prethodno navedene brojčane vrijednosti.

Sada znamo koja je opća tehnika za pronalaženje najmanje vrijednosti za dvije, tri ili više vrijednosti. Međutim, postoje i privatne metode, pomoć u traženju NOC-a ako prethodni ne pomognu.

Kako pronaći GCD i NOC.

Privatne metode pronalaženja

Kao i kod svakog matematičkog dijela, postoje posebni slučajevi pronalaženja LCM-a koji pomažu u određenim situacijama:

• ako je jedan od brojeva djeljiv s ostalima bez ostatka, tada mu je najmanji višekratnik tih brojeva jednak (LCM od 60 i 15 je 15);
• relativno prosti brojevi nemaju zajedničkih prostih faktora. Njihova najmanja vrijednost jednaka je umnošku tih brojeva. Dakle, za brojeve 7 i 8 to će biti 56;
• isto pravilo vrijedi i za druge slučajeve, uključujući posebne, o kojima se može pročitati u stručnoj literaturi. Tu treba uključiti i slučajeve dekompozicije kompozitnih brojeva, koji su tema pojedinih članaka, pa čak i doktorskih disertacija.

Posebni slučajevi su rjeđi od standardnih primjera. Ali zahvaljujući njima, možete naučiti raditi s frakcijama različitih stupnjeva složenosti. To posebno vrijedi za razlomke, gdje postoje nejednaki nazivnici.

Nekoliko primjera

Pogledajmo nekoliko primjera koji će vam pomoći razumjeti načelo pronalaženja najmanjeg višekratnika:

1. Pronađite LOC (35; 40). Prvo rastavljamo 35 = 5*7, zatim 40 = 5*8. Najmanjem broju dodajte 8 i dobit ćete LOC 280.
2. NOK (45; 54). Svaki od njih rastavljamo: 45 = 3*3*5 i 54 = 3*3*6. Dodamo broj 6 na 45. Dobijemo LCM jednak 270.
3. Pa, posljednji primjer. Postoje 5 i 4. Njihovi prosti višekratnici ne postoje, tako da će najmanji zajednički višekratnik u ovom slučaju biti njihov umnožak, koji je jednak 20.

Zahvaljujući primjerima, možete razumjeti kako se nalazi NOC, koje su nijanse i koje je značenje takvih manipulacija.

Pronalaženje NOC-a puno je lakše nego što se na prvi pogled čini. Da biste to učinili, koriste se i jednostavno proširenje i množenje jednostavnih vrijednosti jedna s drugom. Sposobnost rada s ovim dijelom matematike pomaže u daljnjem proučavanju matematičkih tema, posebno razlomaka različitih stupnjeva složenosti.

Ne zaboravite povremeno rješavati primjere različitim metodama; to razvija vaš logički aparat i omogućuje vam pamćenje brojnih pojmova. Nauči kako pronaći takav eksponent i bit ćeš dobar u ostalim matematičkim dijelovima. Sretno učenje matematike!

Video

Ovaj će vam video pomoći razumjeti i zapamtiti kako pronaći najmanji zajednički višekratnik.

Tema “Više brojeva” obrađuje se u 5. razredu srednje škole. Cilj mu je unaprijediti pismene i usmene vještine matematičkog računanja. U ovoj lekciji uvode se novi pojmovi - “višebrojevi” i “djelitelji”, uvježbava se tehnika pronalaženja djelitelja i višekratnika prirodnog broja te sposobnost pronalaženja LCM na različite načine.

Ova tema je vrlo važna. Znanje o njemu može se primijeniti pri rješavanju primjera s razlomcima. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik izračunavanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

Višekratnik A je cijeli broj koji je djeljiv s A bez ostatka.

Svaki prirodni broj ima beskonačan broj svojih višekratnika. Sam se smatra najmanjim. Višekratnik ne može biti manji od samog broja.

Morate dokazati da je broj 125 višekratnik broja 5. Da biste to učinili, morate prvi broj podijeliti s drugim. Ako je 125 djeljivo s 5 bez ostatka, tada je odgovor da.

Ova metoda je primjenjiva za male brojeve.

Postoje posebni slučajevi kada se izračunava LOC.

1. Ako trebate pronaći zajednički višekratnik 2 broja (na primjer, 80 i 20), gdje je jedan od njih (80) djeljiv s drugim (20), tada je ovaj broj (80) najmanji višekratnik ovih dva broja.

LCM(80, 20) = 80.

2. Ako dva nemaju zajednički djelitelj, onda možemo reći da je njihov LCM produkt ta dva broja.

LCM(6, 7) = 42.

Pogledajmo posljednji primjer. 6 i 7 u odnosu na 42 su djelitelji. Dijele višekratnik broja bez ostatka.

U ovom primjeru, 6 i 7 su upareni faktori. Njihov umnožak jednak je najvećem višestrukom broju (42).

Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom ili s 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostali se nazivaju kompozitni.

Drugi primjer uključuje određivanje je li 9 djelitelj od 42.

42:9=4 (ostatak 6)

Odgovor: 9 nije djelitelj broja 42 jer odgovor ima ostatak.

Djeljenik se razlikuje od višekratnika po tome što je djelitelj broj kojim se dijele prirodni brojevi, a sam višekratnik je djeljiv tim brojem.

Najveći zajednički djelitelj brojeva a I b, pomnožen njihovim najmanjim višekratnikom, dat će proizvod samih brojeva a I b.

Naime: nd (a, b) x nd (a, b) = a x b.

Zajednički višekratnici za složenije brojeve nalaze se na sljedeći način.

Na primjer, pronađite LCM za 168, 180, 3024.

Rastavljamo te brojeve na jednostavne faktore i pišemo ih kao produkt potencija:

168=2³x3¹x7¹

2⁴h3³h5¹h7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120.

Najveći zajednički djelitelj

Definicija 2

Ako je prirodni broj a djeljiv s prirodnim brojem $b$, tada se $b$ naziva djeliteljem od $a$, a $a$ se zove višekratnik od $b$.

Neka su $a$ i $b$ prirodni brojevi. Broj $c$ naziva se zajedničkim djeliteljem i $a$ i $b$.

Skup zajedničkih djelitelja brojeva $a$ i $b$ je konačan, jer nijedan od tih djelitelja ne može biti veći od $a$. To znači da među tim djeliteljima postoji najveći, koji se naziva najvećim zajedničkim djeliteljem brojeva $a$ i $b$ i označava se sljedećim oznakama:

$GCD\(a;b)\ ili \D\(a;b)$

Za pronalazak najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja potrebno je:

1. Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 1

Odredite NNO brojeva $121$ i $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Odaberite brojeve koji su uključeni u proširenje ovih brojeva

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$GCD=2\cdot 11=22$

Primjer 2

Nađite NOD monoma $63$ i $81$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo:

Rastavimo brojeve na proste faktore

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Odabiremo brojeve koji su uključeni u proširenje tih brojeva

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Pronađimo umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najveći zajednički djelitelj.

$GCD=3\cdot 3=9$

Gcd dvaju brojeva možete pronaći na drugi način, korištenjem skupa djelitelja brojeva.

Primjer 3

Odredite NNO brojeva $48$ i $60$.

Riješenje:

Pronađimo skup djelitelja broja $48$: $\lijevo\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\desno\)$

Pronađimo sada skup djelitelja broja $60$:$\ \lijevo\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\desno\) $

Pronađimo presjek ovih skupova: $\lijevo\((\rm 1,2,3,4,6,12)\desno\)$ - ovaj skup će odrediti skup zajedničkih djelitelja brojeva $48$ i $60 $. Najveći element u ovom skupu bit će broj $12$. To znači da je najveći zajednički djelitelj brojeva $48$ i $60$ 12$.

Definicija NPL-a

Definicija 3

Zajednički višekratnici prirodnih brojeva$a$ i $b$ je prirodni broj koji je višekratnik i $a$ i $b$.

Zajednički višekratnici brojeva su brojevi koji su djeljivi s izvornim brojevima bez ostatka. Na primjer, za brojeve $25$ i $50$, zajednički višekratnici će biti brojevi $50,100,150,200$, itd.

Najmanji zajednički višekratnik nazivat ćemo najmanji zajednički višekratnik i označavat ćemo ga LCM$(a;b)$ ili K$(a;b).$

Da biste pronašli LCM dva broja, trebate:

1. Rastavite brojeve na proste faktore
2. Napiši faktore koji su dio prvog broja i dodaj im faktore koji su dio drugog, a nisu dio prvog broja.

Primjer 4

Pronađite LCM brojeva $99$ i $77$.

Pronaći ćemo prema predstavljenom algoritmu. Za ovo

Rastavite brojeve na proste faktore

99$=3\cdot 3\cdot 11$

Zapišite čimbenike uključene u prvi

dodajte im množitelje koji su dio drugog, a ne dio prvog

Pronađite umnožak brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj bit će željeni najmanji zajednički višekratnik

NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sastavljanje popisa djelitelja brojeva često je vrlo naporan zadatak. Postoji način da se pronađe GCD koji se zove Euklidov algoritam.

Izjave na kojima se temelji Euklidov algoritam:

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi, a $a\vtočkice b$, onda je $D(a;b)=b$

Ako su $a$ i $b$ prirodni brojevi takvi da je $b

Koristeći $D(a;b)= D(a-b;b)$, možemo sukcesivno smanjivati ​​brojeve koje razmatramo dok ne dođemo do para brojeva tako da je jedan od njih djeljiv s drugim. Tada će manji od tih brojeva biti željeni najveći zajednički djelitelj za brojeve $a$ i $b$.

Svojstva GCD i LCM

1. Svaki zajednički višekratnik $a$ i $b$ djeljiv je s K$(a;b)$
2. Ako je $a\vtočkica b$ , tada je K$(a;b)=a$

Ako je K$(a;b)=k$ i $m$ prirodan broj, tada je K$(am;bm)=km$

Ako je $d$ zajednički djelitelj za $a$ i $b$, tada je K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ako $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , tada je $\frac(ab)(c)$ zajednički višekratnik $a$ i $b$

Za sve prirodne brojeve $a$ i $b$ vrijedi jednakost

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Svaki zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$ je djelitelj broja $D(a;b)$