Okomitost vektora u prostoru. Nalaženje vektora okomitog na zadani vektor, primjeri i rješenja
upute
Ako je izvorni vektor prikazan na crtežu u pravokutnom dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu i tamo treba konstruirati okomit, pođite od definicije okomitosti vektora na ravninu. Ona kaže da kut između takvog para usmjerenih segmenata mora biti jednak 90°. Može se konstruirati beskonačan broj takvih vektora. Stoga povucite okomicu na izvorni vektor na bilo kojem prikladnom mjestu u ravnini, položite na nju segment jednak duljini danog uređenog para točaka i dodijelite jedan od njegovih krajeva kao početak okomitog vektora. Učinite to pomoću kutomjera i ravnala.
Ako je izvorni vektor dan dvodimenzionalnim koordinatama ā = (X₁;Y₁), pretpostavimo da skalarni umnožak para okomitih vektora mora biti jednak nuli. To znači da trebate odabrati za željeni vektor ō = (X₂,Y₂) takve koordinate da će vrijediti jednakost (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. To se može učiniti ovako: odaberite bilo koji vrijednost različitu od nule za koordinatu X₂ i izračunajte koordinatu Y₂ pomoću formule Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Na primjer, za vektor ā = (15;5) postojat će vektor ō, s apscisom jednakom jedan i ordinatom jednakom -(15*1)/5 = -3, tj. ō = (1;-3).
Za trodimenzionalni i svaki drugi ortogonalni koordinatni sustav vrijedi isti nužan i dovoljan uvjet za okomitost vektora - njihov skalarni produkt mora biti jednak nuli. Stoga, ako je početni usmjereni segment zadan koordinatama ā = (X₁,Y₁,Z₁), odaberite za uređeni par točaka ō = (X₂,Y₂,Z₂) okomite na njega takve koordinate koje zadovoljavaju uvjet (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Najlakši način je dodijeliti pojedinačne vrijednosti X₂ i Y₂ i izračunati Z₂ iz pojednostavljene jednakosti Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X1+Y1)/ Z1. Na primjer, za vektor ā = (3,5,4) to će poprimiti sljedeći oblik: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Zatim uzmite apscisu i ordinatu okomit vektor kao jedan, au ovom slučaju bit će jednak -(3+5)/4 = -2.
Izvori:
- nađi vektor ako je okomit
Zovu se okomiti vektor, kut između kojih je 90º. Okomiti vektori se konstruiraju pomoću alata za crtanje. Ako su njihove koordinate poznate, tada se analitičkim metodama može provjeriti ili pronaći okomitost vektora.
Trebat će vam
- - kutomjer;
- - kompas;
- - vladar.
upute
Postavite ga na početnu točku vektora. Nacrtaj kružnicu proizvoljnog radijusa. Zatim konstruirajte dvije sa središtima u točkama gdje je prva kružnica sijekla pravac na kojem leži vektor. Polumjeri tih kružnica moraju biti međusobno jednaki i veći od prve izgrađene kružnice. U točkama sjecišta kružnica konstruirajte ravnu liniju koja će biti okomita na izvorni vektor u njegovom ishodištu i na nju ucrtajte vektor okomit na ovaj.
Odredite vektor okomit na onaj čije su koordinate i jednake (x;y). Da biste to učinili, pronađite par brojeva (x1;y1) koji bi zadovoljili jednakost x x1+y y1=0. U tom će slučaju vektor s koordinatama (x1;y1) biti okomit na vektor s koordinatama (x;y).
Ovaj članak otkriva značenje okomitosti dvaju vektora na ravninu u trodimenzionalnom prostoru i pronalaženje koordinata vektora okomitog na jedan ili cijeli par vektora. Tema je primjenjiva na probleme koji uključuju jednadžbe pravaca i ravnina.
Razmotrit ćemo nužan i dovoljan uvjet okomitosti dvaju vektora, riješiti metodu nalaženja vektora okomitog na zadani te se dotaknuti situacija nalaženja vektora okomitog na dva vektora.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Potreban i dovoljan uvjet okomitosti dvaju vektora
Primijenimo pravilo o okomitim vektorima na ravninu iu trodimenzionalnom prostoru.
Definicija 1
Pod uvjetom da je kut između dva vektora različita od nule jednak 90 ° (π 2 radijana) naziva se okomito.
Što to znači iu kojim situacijama je potrebno znati njihovu okomitost?
Utvrđivanje okomitosti moguće je pomoću crteža. Kada crtate vektor na ravnini iz zadanih točaka, možete geometrijski izmjeriti kut između njih. Čak i ako se utvrdi okomitost vektora, to neće biti posve točno. Najčešće ti zadaci ne dopuštaju da to učinite pomoću kutomjera, pa je ova metoda primjenjiva samo kada se ništa drugo ne zna o vektorima.
Većina slučajeva dokazivanja okomitosti dva vektora različita od nule na ravnini ili u prostoru izvodi se pomoću nužan i dovoljan uvjet za okomitost dvaju vektora.
Teorem 1
Za njihovu okomitost dovoljan je skalarni umnožak dvaju vektora a → i b → jednak nuli da bi se zadovoljila jednakost a → , b → = 0.
Dokazi 1
Neka su zadani vektori a → i b → okomiti, tada ćemo dokazati jednakost a ⇀ , b → = 0 .
Iz definicije točkasti umnožak vektora znamo da je jednako umnožak duljina zadanih vektora i kosinusa kuta između njih. Prema uvjetu, a → i b → su okomiti, što znači, prema definiciji, kut između njih je 90 °. Tada imamo a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Drugi dio dokaza
Pod uvjetom da je a ⇀, b → = 0, dokažite okomitost a → i b →.
Zapravo, dokaz je suprotan od prethodnog. Poznato je da su a → i b → različiti od nule, što znači da iz jednakosti a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ nalazimo kosinus. Tada dobivamo cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Budući da je kosinus nula, možemo zaključiti da je kut a →, b → ^ vektora a → i b → jednak 90°. Po definiciji, ovo je nužno i dovoljno svojstvo.
Uvjet okomitosti na koordinatnu ravninu
Poglavlje skalarni produkt u koordinatama pokazuje nejednakost (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , koja vrijedi za vektore s koordinatama a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y), na ravnini i (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y za vektore a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) u prostoru. Potreban i dovoljan uvjet za okomitost dvaju vektora u koordinatnoj ravnini je a x · b x + a y · b y = 0, za trodimenzionalni prostor a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Provedimo to u praksi i pogledajmo primjere.
Primjer 1
Provjeriti svojstvo okomitosti dvaju vektora a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Riješenje
Da biste riješili ovaj problem, morate pronaći skalarni produkt. Ako je prema uvjetu jednak nuli, onda su okomiti.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Uvjet je ispunjen, što znači da su zadani vektori okomiti na ravninu.
Odgovor: da, zadani vektori a → i b → su okomiti.
Primjer 2
Zadani su koordinatni vektori i → , j → , k →. Provjerite mogu li vektori i → - j → i i → + 2 · j → + 2 · k → biti okomiti.
Riješenje
Da biste zapamtili kako se određuju vektorske koordinate, morate pročitati članak o vektorske koordinate u pravokutnom koordinatnom sustavu. Dakle, nalazimo da zadani vektori i → - j → i i → + 2 · j → + 2 · k → imaju odgovarajuće koordinate (1, - 1, 0) i (1, 2, 2). Zamijenimo brojčane vrijednosti i dobijemo: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Izraz nije jednak nuli, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, što znači da vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → nisu okomite, jer uvjet nije ispunjen.
Odgovor: ne, vektori i → - j → i i → + 2 · j → + 2 · k → nisu okomiti.
Primjer 3
Zadani su vektori a → = (1, 0, - 2) i b → = (λ, 5, 1). Odredite vrijednost λ pri kojoj su ti vektori okomiti.
Riješenje
Koristimo uvjet okomitosti dvaju vektora u prostoru u kvadratnom obliku, tada dobivamo
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Odgovor: vektori su okomiti na vrijednost λ = 2.
Postoje slučajevi kada je pitanje okomitosti nemoguće čak i pod nužnim i dovoljnim uvjetom. S obzirom na poznate podatke o tri stranice trokuta na dva vektora, moguće je pronaći kut između vektora i provjerite.
Primjer 4
Dan je trokut A B C sa stranicama A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Provjerite okomitost vektora A B → i A C →.
Riješenje
Ako su vektori A B → i A C → okomiti, trokut A B C smatramo pravokutnim. Zatim primjenjujemo Pitagorin teorem, gdje je B C hipotenuza trokuta. Jednakost B C 2 = A B 2 + A C 2 mora biti istinita. Slijedi da je 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. To znači da su A B i A C kraci trokuta A B C, dakle, A B → i A C → su okomite.
Važno je naučiti kako pronaći koordinate vektora okomitog na zadani. To je moguće iu ravnini iu prostoru, pod uvjetom da su vektori okomiti.
Nalaženje vektora okomitog na zadani u ravnini.
Vektor a → koji nije nula može imati beskonačan broj okomitih vektora na ravninu. Prikažimo to na koordinatnu liniju.
Zadan je vektor a → različit od nule koji leži na pravoj liniji a. Tada zadani b →, smješten na bilo kojem pravcu okomitom na pravac a, postaje okomit na a →. Ako je vektor i → okomit na vektor j → ili bilo koji od vektora λ · j → s λ jednakim bilo kojem realnom broju osim nule, tada pronalaženje koordinata vektora b → okomito na a → = (a x , a y ) svodi se na beskonačan skup rješenja. Ali potrebno je pronaći koordinate vektora okomitog na a → = (a x , a y) . Za to je potrebno zapisati uvjet okomitosti vektora u sljedećem obliku: a x · b x + a y · b y = 0. Imamo b x i b y, što su željene koordinate okomitog vektora. Kada je a x ≠ 0, vrijednost b y je različita od nule, a b x se može izračunati iz nejednakosti a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Za a x = 0 i a y ≠ 0, pridružujemo b x bilo koju vrijednost osim nule, a b y nalazimo iz izraza b y = - a x · b x a y .
Primjer 5
Zadan je vektor s koordinatama a → = (- 2 , 2) . Pronađite vektor okomit na ovo.
Riješenje
Označimo željeni vektor kao b → (b x , b y) . Njegove koordinate mogu se pronaći iz uvjeta da su vektori a → i b → okomiti. Tada dobivamo: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Dodijelimo b y = 1 i zamijenimo: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Dakle, iz formule dobivamo b x = - 2 - 2 = 1 2. To znači da je vektor b → = (1 2 , 1) vektor okomit na a → .
Odgovor: b → = (1 2 , 1) .
Ako se postavi pitanje o trodimenzionalnom prostoru, problem se rješava po istom principu. Za zadani vektor a → = (a x, a y, a z) postoji beskonačan broj okomitih vektora. Popravit ću ovo na trodimenzionalnoj koordinatnoj ravnini. Zadan je a → koji leži na pravcu a. Ravnina okomita na ravnicu a označena je s α. U tom slučaju svaki vektor b → koji nije nula iz ravnine α okomit je na a →.
Potrebno je pronaći koordinate b → okomito na vektor različit od nule a → = (a x , a y , a z) .
Neka je b → zadan s koordinatama b x , b y i b z . Za njihovo pronalaženje potrebno je primijeniti definiciju uvjeta okomitosti dvaju vektora. Jednakost a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 mora biti zadovoljena. Iz uvjeta a → nije nula, što znači da jedna od koordinata ima vrijednost koja nije jednaka nuli. Pretpostavimo da je a x ≠ 0, (a y ≠ 0 ili a z ≠ 0). Dakle, imamo pravo cijelu nejednadžbu a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 podijeliti ovom koordinatom, dobivamo izraz b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . Dodjeljujemo bilo koju vrijednost koordinatama b y i b x, izračunavamo vrijednost b x na temelju formule, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Željeni okomiti vektor će imati vrijednost a → = (a x, a y, a z).
Pogledajmo dokaz na primjeru.
Primjer 6
Zadan je vektor s koordinatama a → = (1, 2, 3) . Nađi vektor okomit na zadani.
Riješenje
Označimo željeni vektor s b → = (b x , b y , b z) . Na temelju uvjeta da su vektori okomiti, skalarni produkt mora biti jednak nuli.
a ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Ako je vrijednost b y = 1, b z = 1, tada je b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Slijedi da su koordinate vektora b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → je jedan od vektora okomitih na zadani.
Odgovor: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Određivanje koordinata vektora okomitog na dva zadana vektora
Moramo pronaći koordinate vektora u trodimenzionalnom prostoru. Okomit je na nekolinearne vektore a → (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Pod uvjetom da su vektori a → i b → kolinearni, bit će dovoljno pronaći vektor okomit na a → ili b → u zadatku.
Pri rješavanju se koristi pojam vektorskog umnoška vektora.
Vektorski produkt vektora a → i b → je vektor koji je istovremeno okomit na a → i b →. Za rješavanje ovog problema koristi se vektorski produkt a → × b →. Za trodimenzionalni prostor ima oblik a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Pogledajmo detaljnije vektorski produkt koristeći primjer problema.
Primjer 7
Zadani su vektori b → = (0, 2, 3) i a → = (2, 1, 0). Pronađite koordinate bilo kojeg vektora okomitog na podatke istovremeno.
Riješenje
Za rješavanje trebate pronaći vektorski produkt vektora. (Pogledajte stavak izračunavanje determinante matrice pronaći vektor). Dobivamo:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Odgovor: (3 , - 6 , 4) - koordinate vektora koji je istovremeno okomit na zadane a → i b → .
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Uvjet da vektori budu okomiti
Vektori su okomiti ako i samo ako je njihov točkasti produkt nula.
Dana su dva vektora a(xa;ya) i b(xb;yb). Ovi će vektori biti okomiti ako je izraz xaxb + yayb = 0.
Vektori su paralelni ako je njihov umnožak nula
Jednadžba pravca na ravnini. Osnovni zadaci na ravnoj liniji u ravnini.
Bilo koja ravna crta na ravnini može se odrediti jednadžbom prvog reda Ax + By + C = 0, a konstante A i B nisu istovremeno jednake nuli, tj. A2 + B2 0. Ova jednadžba prvog reda naziva se opća jednadžba pravca. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C mogući su sljedeći posebni slučajevi: - C = 0, A 0, B 0 – pravac prolazi kroz ishodište - A = 0, B 0 , C 0 ( Po
C = 0) - pravac paralelan s osi Oy - B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0) - pravac paralelan s osi Oy - B = C = 0, A 0 - ravna crta se poklapa s osi Oy - A = C = 0, B 0 – ravna se poklapa s osi Ox. Jednadžba pravca može se prikazati u različitim oblicima ovisno o zadanim početnim uvjetima.
Ako je barem jedan od koeficijenata A, B, C razine Ax+By+C=0 jednak 0, razina
nazvao nepotpun. Po obliku jednadžbe pravca može se prosuditi njegov položaj na
spljoštenost OXU. Mogući slučajevi:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) zadovoljava ovu jednadžbu, što znači da je ravna
prolazi kroz ishodište
2 A=0 L: Vu+S=0 - normalna rotacija n=(0,B) je okomita na OX os odavde
slijedi da je pravac paralelan s osi OX
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - nazivna vrijednost n=(A,0) je okomita na OY os odavde
slijedi da je pravac paralelan s osi op-amp-a
4 A=0, C=0 L: Po=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - ne prolazi kroz ishodište i siječe se
obje osi.
Jednadžba pravca na ravnini koja prolazi kroz dvije zadane točke i: 
Kut između ravnina.
Izračunavanje determinanti
Izračun determinanti temelji se na njihovim poznatim svojstvima, koja vrijede za determinante svih redova. Ovo su svojstva:
1. Ako presložite dva retka (ili dva stupca) determinante, determinanta će promijeniti predznak.
2. Ako su odgovarajući elementi dva stupca (ili dva retka) determinante jednaki ili proporcionalni, tada je determinanta jednaka nuli.
3. Vrijednost determinante neće se promijeniti ako zamijenite retke i stupce, zadržavajući njihov redoslijed.
4. Ako svi elementi retka (ili stupca) imaju zajednički faktor, tada se on može izbaciti iz predznaka determinante.
5. Vrijednost determinante neće se promijeniti ako se odgovarajući elementi drugog retka (ili stupca) dodaju elementima jednog retka (ili stupca), pomnoženim s istim brojem.
Matrix i akcije iznad njih
Matrica- matematički objekt napisan u obliku pravokutne tablice brojeva (ili elemenata prstena) koji dopušta algebarske operacije (zbrajanje, oduzimanje, množenje itd.) između njega i drugih sličnih objekata. Tipično, matrice su predstavljene kao dvodimenzionalne (pravokutne) tablice. Ponekad se razmatraju višedimenzionalne matrice ili nepravokutne matrice.
Tipično, matrica je označena velikim slovom latinične abecede i istaknuta okruglim zagradama “(…)” (također označena uglatim zagradama “[…]” ili dvostrukim ravnim crtama “||…||”).
Brojevi koji čine matricu (elementi matrice) često se označavaju istim slovom kao i sama matrica, ali malim slovom (npr. a11 je element matrice A).
Svaki element matrice ima 2 indeksa (aij) - prvi “i” označava broj retka u kojem se element nalazi, a drugi “j” označava broj stupca. Kažu "dimenzionalna matrica", što znači da matrica ima m redaka i n stupaca. Uvijek u istoj matrici
Operacije na matricama
Neka su aij elementi matrice A, a bij elementi matrice B.
Linearne operacije:
Množenje matrice A brojem λ (simbol: λA) sastoji se od konstruiranja matrice B čiji se elementi dobivaju množenjem svakog elementa matrice A tim brojem, odnosno svaki element matrice B jednak je
Zbrajanje matrica A + B je operacija pronalaženja matrice C čiji su svi elementi jednaki parnom zbroju svih odgovarajućih elemenata matrica A i B, odnosno svaki element matrice C jednak je
Oduzimanje matrica A − B definirano je slično zbrajanju; to je operacija pronalaženja matrice C čiji elementi
Zbrajanje i oduzimanje dopušteno je samo za matrice iste veličine.
Postoji nula matrica Θ takva da njeno dodavanje drugoj matrici A ne mijenja A, tj.
Svi elementi nulte matrice jednaki su nuli.
Nelinearne operacije:
Množenje matrice (oznaka: AB, rjeđe sa znakom množenja) je operacija izračunavanja matrice C, čiji su elementi jednaki zbroju umnožaka elemenata u odgovarajućem retku prvog faktora i stupcu drugog faktora. .cij = ∑ aikbkj k
Prvi faktor mora imati isti broj stupaca kao broj redaka u drugom. Ako matrica A ima dimenziju B - , tada je dimenzija njihovog produkta AB = C. Množenje matrica nije komutativno.
Množenje matrice je asocijativno. Samo kvadratne matrice mogu se podići na potencije.
Transpozicija matrice (simbol: AT) je operacija u kojoj se matrica reflektira u odnosu na glavnu dijagonalu, tj.
Ako je A matrica veličine, tada je AT matrica veličine
Derivacija složene funkcije
Kompleksna funkcija ima oblik: F(x) = f(g(x)), tj. je funkcija funkcije. Na primjer, y = sin2x, y = ln(x2+2x), itd.
Ako u točki x funkcija g(x) ima derivaciju g"(x), a u točki u = g(x) funkcija f(u) ima derivaciju f"(u), tada je derivacija kompleksna funkcija f(g(x)) u točki x postoji i jednaka je f"(u)g"(x).
Implicitna derivacija funkcije
U mnogim problemima, funkcija y(x) je specificirana implicitno. Na primjer, za funkcije u nastavku
nemoguće je eksplicitno dobiti ovisnost y(x).
Algoritam za izračunavanje derivacije y"(x) iz implicitne funkcije je sljedeći:
Najprije morate razlikovati obje strane jednadžbe s obzirom na x, uz pretpostavku da je y diferencijabilna funkcija od x i koristeći pravilo za izračunavanje derivacije složene funkcije;
Riješite dobivenu jednadžbu za derivaciju y"(x).
Pogledajmo nekoliko primjera za ilustraciju.
Diferencirajte funkciju y(x) zadanu jednadžbom.
Razlikujmo obje strane jednadžbe s obzirom na varijablu x:
što dovodi do rezultata
Lapitalovo pravilo
L'Hopitalovo pravilo. Neka funkcija f(x) i g(x) ima u okolini. t-ki x0 pr-nye f' i g' isključujući mogućnost upravo ovog t-tu x0. Neka lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 tako da f(x)/g(x) za x®x0 daje 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), kada se poklapa s granicom omjera funkcije lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x®x0)f'(x)/g'(x) (5)
44
.1.(Kriterij za monotonost funkcije koja ima derivaciju na intervalu) Neka funkcija 
neprekidno uključeno
(a,b), i ima derivaciju f"(x) u svakoj točki. Zatim
1)f raste za (a,b) ako i samo ako
2) smanjuje se za (a,b) ako i samo ako
2. (Dovoljan uvjet za strogu monotonost funkcije koja ima derivaciju na intervalu) Neka funkcija 
kontinuirana je na (a,b) i ima derivaciju f"(x) u svakoj točki. Tada
1) ako tada f strogo raste na (a,b);
2) ako tada f strogo opada na (a,b).
Obrnuto, općenito govoreći, nije točno. Derivacija strogo monotone funkcije može nestati. Međutim, skup točaka u kojima derivacija nije nula mora biti gust na intervalu (a,b). Točnije, ima.
3. (Kriterij za strogu monotonost funkcije koja ima derivaciju na intervalu) Neka a derivacija f"(x) je definirana posvuda na intervalu. Tada f striktno raste na intervalu (a,b) ako i samo ako su zadovoljena sljedeća dva uvjeta:
Točkasti umnožak vektora. Kut između vektora. Uvjet paralelnosti ili okomitosti vektora.
Skalarni umnožak vektora je umnožak njihovih duljina i kosinusa kuta između njih:
Sljedeće tvrdnje dokazuju se na potpuno isti način kao u planimetriji:
Skalarni produkt dva vektora različita od nule je nula ako i samo ako su vektori okomiti.
Skalarni kvadrat vektora, odnosno skalarni umnožak samog sebe i sebe, jednak je kvadratu njegove duljine.
Skalarni umnožak dvaju vektora i njihovih koordinata može se izračunati pomoću formule
Vektori su okomiti ako i samo ako je njihov točkasti produkt nula. Primjer. S obzirom na dva vektora i . Ti će vektori biti okomiti ako je izraz x1x2 + y1y2 = 0. Kut između vektora koji nisu nula je kut između ravnih linija kojima su ti vektori vodiči. Prema definiciji, kut između bilo kojeg vektora i nultog vektora smatra se jednakim nuli. Ako je kut između vektora 90°, onda se takvi vektori nazivaju okomitima. Označit ćemo kut između vektora na sljedeći način:
ohm Da bismo to učinili, prvo uvodimo koncept segmenta.
Definicija 1
Isječak ćemo nazvati dio pravca koji je s obje strane omeđen točkama.
Definicija 2
Krajevi segmenta su točke koje ga ograničavaju.
Da bismo uveli definiciju vektora, jedan od krajeva segmenta nazivamo njegovim početkom.
Definicija 3
Vektorom (usmjerenim odsječkom) nazvat ćemo odsječak u kojem je naznačeno koja mu je granična točka početak, a koja kraj.
Napomena: \overline(AB) je vektor AB koji počinje u točki A i završava u točki B.
Inače, jednim malim slovom: \overline(a) (Sl. 1).
Definicija 4
Nultim vektorom nazvat ćemo svaku točku koja pripada ravnini.
Simbol: \overline(0) .
Uvedimo sada izravno definiciju kolinearnih vektora.
Uvest ćemo i definiciju skalarnog umnoška koja će nam kasnije trebati.
Definicija 6
Skalarni umnožak dva zadana vektora je skalar (ili broj) koji je jednak umnošku duljina ta dva vektora s kosinusom kuta između tih vektora.
Matematički bi to moglo izgledati ovako:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
Točkasti umnožak također se može pronaći koristeći vektorske koordinate kako slijedi
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Znak okomitosti kroz proporcionalnost
Teorem 1
Da bi vektori različiti od nule bili okomiti jedan na drugi, potrebno je i dovoljno da njihov skalarni umnožak tih vektora bude jednak nuli.
Dokaz.
Nužnost: Neka su nam zadani vektori \overline(α) i \overline(β) koji imaju koordinate (α_1,α_2,α_3) odnosno (β_1,β_2,β_3) i međusobno su okomiti. Zatim trebamo dokazati sljedeću jednakost
Kako su vektori \overline(α) i \overline(β) okomiti, kut između njih je 90^0. Nađimo skalarni produkt ovih vektora pomoću formule iz definicije 6.
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
Dostatnost: Neka jednakost bude istinita \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Dokažimo da će vektori \overline(α) i \overline(β) biti okomiti jedan na drugi.
Prema definiciji 6, jednakost će biti istinita
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
Stoga će vektori \overline(α) i \overline(β) biti okomiti jedan na drugi.
Teorem je dokazan.
Primjer 1
Dokažite da su vektori s koordinatama (1,-5,2) i (2,1,3/2) okomiti.
Dokaz.
Nađimo skalarni umnožak za ove vektore pomoću gore dane formule
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
To znači da su, prema teoremu 1, ti vektori okomiti.
Pronalaženje okomitog vektora na dva zadana vektora pomoću križnog umnoška
Uvedimo najprije koncept vektorskog produkta.
Definicija 7
Vektorski umnožak dvaju vektora bit će vektor koji će biti okomit na oba dana vektora, a njegova će duljina biti jednaka umnošku duljina tih vektora sa sinusom kuta između tih vektora, a također i ovaj vektor s dva početni ima istu orijentaciju kao Kartezijev koordinatni sustav.
Oznaka: \overline(α)h\overline(β) x.
Da bismo pronašli vektorski umnožak, upotrijebit ćemo formulu
\overline(α)h\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Budući da je vektor umnoška dvaju vektora okomit na oba vektora, to će biti vektor. To jest, da biste pronašli vektor okomit na dva vektora, samo trebate pronaći njihov vektorski produkt.
Primjer 2
Pronađite vektor okomit na vektore s koordinatama \overline(α)=(1,2,3) i \overline(β)=(-1,0,3)
Nađimo vektorski produkt ovih vektora.
\overline(α)h\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x
