Potencijalna energija rotacijskog gibanja. Kinetička energija rotirajućeg tijela

Zadaci

1. Odredite koliko je puta efektivna masa veća od gravitacijske mase vlaka mase 4000 tona, ako masa kotača iznosi 15% mase vlaka. Smatrajmo da su kotači diskovi promjera 1,02 m. Kako će se promijeniti odgovor ako je promjer kotača upola manji?

2. Odredite akceleraciju kojom se par kotača mase 1200 kg kotrlja niz brdo nagiba 0,08. Kotače smatrajte diskovima. Koeficijent otpora kotrljanja 0,004. Odredite silu prianjanja između kotača i tračnica.

3. Odredite akceleraciju kojom se par kotača mase 1400 kg kotrlja uzbrdo s nagibom 0,05. Koeficijent otpora 0,002. Koliki treba biti koeficijent prianjanja da kotači ne proklizavaju? Kotače smatrajte diskovima.

4. Odredi kojim se ubrzanjem kotrlja automobil mase 40 tona niz brdo nagiba 0,020, ako ima osam kotača mase 1200 kg i promjera 1,02 m. Odredi silu prianjanja kotača na tračnice. Koeficijent otpora 0,003.

5. Odredite silu pritiska kočnih pločica na gume ako vlak mase 4000 tona koči akceleracijom 0,3 m/s 2 . Moment tromosti jednog para kotača je 600 kg m 2, broj osovina je 400, koeficijent trenja klizanja podloge je 0,18, a koeficijent otpora kotrljanja je 0,004.

6. Odredite silu kočenja koja djeluje na četveroosovinsko vozilo mase 60 tona na kočnoj platformi grbe ako se brzina na stazi od 30 m smanjila s 2 m/s na 1,5 m/s. Moment tromosti jednog para kotača je 500 kg m 2.

7. Brzinomjer lokomotive pokazao je povećanje brzine vlaka unutar jedne minute s 10 m/s na 60 m/s. Vrlo je vjerojatno da je par pogonskih kotača proklizao. Odredite moment sila koje djeluju na armaturu elektromotora. Moment inercije kotača je 600 kg m 2, armature 120 kg m 2. Prijenosni omjer je 4,2. Sila pritiska na tračnice je 200 kN, koeficijent trenja klizanja kotača po tračnici je 0,10.

11. KINETIČKA ENERGIJA ROTACIJSKE

POKRETANJA

Izvedimo formulu za kinetičku energiju rotacijskog gibanja. Neka tijelo rotira kutnom brzinom ω u odnosu na fiksnu os. Svaka mala čestica tijela se translatorno giba po kružnici brzinom gdje r i – udaljenost do osi rotacije, radijus orbite. Kinetička energija čestice mase m i jednak . Ukupna kinetička energija sustava čestica jednaka je zbroju njihovih kinetičkih energija. Zbrojimo formule za kinetičku energiju čestica nekog tijela i kao znak zbroja izuzmemo polovinu kvadrata kutne brzine, koja je jednaka za sve čestice, . Zbroj umnožaka masa čestica i kvadrata njihovih udaljenosti od osi rotacije je moment tromosti tijela u odnosu na os rotacije. . Tako, kinetička energija tijela koje rotira u odnosu na nepomičnu os jednaka je polovici umnoška momenta tromosti tijela u odnosu na os i kvadrata kutne brzine rotacije:

Uz pomoć rotirajućih tijela može se pohraniti mehanička energija. Takva se tijela nazivaju zamašnjaci. Obično su to tijela revolucije. Upotreba zamašnjaka u lončarskom kolu poznata je od davnina. U motorima s unutarnjim izgaranjem, tijekom takta snage, klip predaje mehaničku energiju zamašnjaku, koji zatim obavlja rad na rotaciji osovine motora u tri uzastopna takta. U matricama i prešama, zamašnjak se pokreće u rotaciju elektromotorom relativno male snage, akumulira mehaničku energiju tijekom gotovo punog okretaja i, u kratkom trenutku udarca, oslobađa je na rad štancanja.

Brojni su pokušaji korištenja rotirajućih zamašnjaka za pogon vozila: automobila, autobusa. Zovu se mahomobili, žiromobili. Stvoreno je mnogo takvih eksperimentalnih strojeva. Obećavajuće bi bilo koristiti zamašnjake za akumulaciju energije tijekom kočenja električnih vlakova kako bi se akumulirana energija koristila tijekom naknadnog ubrzanja. Poznato je da se skladištenje energije na zamašnjaku koristi u vlakovima podzemne željeznice u New Yorku.

Izraz za kinetičku energiju rotirajućeg tijela, uzimajući u obzir da je linearna brzina proizvoljne materijalne točke koja čini tijelo jednaka u odnosu na os rotacije, ima oblik

gdje je moment tromosti tijela u odnosu na odabranu os rotacije, njegova kutna brzina u odnosu na tu os i kutni moment tijela u odnosu na os rotacije.

Ako tijelo podliježe translatornom rotacijskom gibanju, tada izračun kinetičke energije ovisi o izboru pola u odnosu na koji se opisuje gibanje tijela. Krajnji rezultat će biti isti. Dakle, ako se za okruglo tijelo koje se kotrlja brzinom v bez klizanja s polumjerom R i koeficijentom tromosti k, uzme pol u njegovom CM, u točki C, tada je njegov moment tromosti , a kutna brzina vrtnje oko osi C je . Tada je kinetička energija tijela .

Ako se pol uzme u točki O dodira između tijela i površine kroz koju prolazi trenutna os rotacije tijela, tada će njegov moment tromosti u odnosu na os O postati jednak . Tada će kinetička energija tijela, uzimajući u obzir da su kutne brzine rotacije tijela iste u odnosu na paralelne osi i tijelo vrši čistu rotaciju oko O osi, biti jednaka . Rezultat je isti.

Teorem o kinetičkoj energiji tijela koje izvodi složeno gibanje imat će isti oblik kao i za njegovo translatorno gibanje: .

Primjer 1. Tijelo mase m pričvršćeno je za kraj niti omotane oko cilindričnog bloka radijusa R i mase M. Tijelo se podigne na visinu h i otpusti (slika 65). Nakon neelasticnog trzaja niti, tijelo i blok odmah se pocinju kretati zajedno. Kolika će se toplina osloboditi pri trzaju? Kolika će biti akceleracija tijela i napetost konca nakon trzaja? Kolika će biti brzina tijela i put koji ono prijeđe nakon trzaja niti nakon vremena t?

S obzirom: M, R, m, h, g, t. Pronaći: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Riješenje: Brzina tijela prije trzaja niti. Nakon trzaja niti blok i tijelo će prijeći u rotacijsko gibanje u odnosu na os bloka O i ponašat će se kao tijela s momentima tromosti u odnosu na tu os jednakim i . Njihov ukupni moment tromosti oko osi rotacije.

Trzaj navoja je brz proces i pri trzaju se odvija zakon održanja kutne količine gibanja sustava blok-tijelo, koji zbog činjenice da se tijelo i blok odmah nakon trzaja počnu gibati zajedno ima oblik : . Odakle početna kutna brzina rotacije bloka? , i početna linearna brzina tijela .

Kinetička energija sustava, zbog očuvanja njegove količine gibanja, neposredno nakon trzaja niti, jednaka je . Toplina koja se oslobađa tijekom trzaja prema zakonu održanja energije

Dinamičke jednadžbe gibanja tijela sustava nakon trzaja niti ne ovise o njihovoj početnoj brzini. Za blok ima oblik ili, i za tijelo. Zbrajanjem ove dvije jednadžbe dobivamo . Odakle dolazi ubrzanje gibanja tijela? Napetost konca

Kinematičke jednadžbe gibanja tijela nakon trzaja imat će oblik , gdje su poznati svi parametri.

Odgovor: . .

Primjer 2. Dva okrugla tijela s koeficijentima tromosti (šuplji cilindar) i (lopta) smještena u podnožju nagnute ravnine s kutom nagiba α javljaju identične početne brzine usmjerene prema gore duž nagnute ravnine. Do koje visine i za koje vrijeme će se tijela podići do te visine? Kolika su ubrzanja tijela koja se dižu? Koliko se puta razlikuju visine, vremena i ubrzanja uspona tijela? Tijela se kreću po kosoj ravnini bez klizanja.

S obzirom: . Pronaći:

Riješenje: Na tijelo djeluju: gravitacija m g, reakcija nagnute ravnine N, i sila trenja spojke (slika 67). Rad normalne reakcije i sila trenja prianjanja (na mjestu prianjanja tijela i ravnine nema klizanja i ne oslobađa se toplina) jednaki su nuli: , dakle, za opisivanje gibanja tijela moguće je koristiti zakon održanja energije: . Gdje .

Vremena i ubrzanja gibanja tijela pronaći ćemo iz kinematičkih jednadžbi . Gdje , . Omjer visina, vremena i ubrzanja diznih tijela:

Odgovor: , , , .

Primjer 3. Metak mase , koji leti brzinom, pogađa središte kuglice mase M i polumjera R, pričvršćene za kraj šipke mase m i duljine l, obješene u točki O svojim drugim krajem, i izleti iz nje s brzinom (slika 68). Odredite kutnu brzinu rotacije sustava štap-kuglica neposredno nakon udara i kut otklona štapa nakon udara metka.

S obzirom: . Pronaći:

Riješenje: Momenti tromosti štapa i kuglice u odnosu na točku ovjesa O štapa prema Steinerovom teoremu: i . Ukupni moment tromosti sustava štap-lopta . Udarac metka je brz proces, pri čemu se odvija zakon održanja kutne količine gibanja sustava metak-šipka-loptica (tijela nakon sudara ulaze u rotacijsko gibanje): . Odakle dolazi kutna brzina gibanja sustava štap-kuglica neposredno nakon udara?

Položaj CM sustava štap-kugla u odnosu na točku ovjesa O: . Zakon održanja energije za CM sustava nakon udara, uzimajući u obzir zakon održanja kutne količine gibanja sustava pri udaru, ima oblik . Odakle se podiže visina CM sustava nakon udara? . Kut otklona štapa nakon udara određen je stanjem .

Odgovor: , , .

Primjer 4. Blok je silom N pritisnut na okruglo tijelo mase m i polumjera R, s koeficijentom tromosti k, koje rotira kutnom brzinom . Koliko će vremena trebati da se cilindar zaustavi i koliko će se topline osloboditi kada jastučić za to vrijeme trlja o cilindar? Koeficijent trenja između bloka i cilindra je .

S obzirom: Pronaći:

Riješenje: Rad sile trenja prije nego što se tijelo zaustavi prema teoremu o kinetičkoj energiji jednak je . Toplina koja se oslobađa tijekom rotacije .

Jednadžba rotacijskog gibanja tijela ima oblik . Odakle dolazi kutno ubrzanje njegove spore rotacije? . Vrijeme potrebno da se tijelo okrene dok se ne zaustavi.

Odgovor: , .

Primjer 5. Okruglo tijelo mase m i polumjera R s koeficijentom tromosti k vrti se kutnom brzinom u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i postavlja se na vodoravnu površinu uz okomitu stijenku (slika 70). Koliko će vremena trebati da se tijelo zaustavi i koliko će okretaja napraviti prije nego što se zaustavi? Kolika će se količina topline osloboditi pri trljanju tijela o podlogu za to vrijeme? Koeficijent trenja tijela o podlogu jednak je .

S obzirom: . Pronaći:

Riješenje: Toplina koja se oslobađa tijekom rotacije tijela do njegovog zaustavljanja jednaka je radu sila trenja, što se može pronaći pomoću teorema o kinetičkoj energiji tijela. Imamo.

Horizontalna ravna reakcija. Sile trenja koje djeluju na tijelo s vodoravne i okomite površine jednake su: i .Iz sustava ovih dviju jednadžbi dobivamo i .

Uzimajući u obzir ove relacije, jednadžba rotacijskog gibanja tijela ima oblik (. Odakle je kutno ubrzanje rotacije tijela jednako. Tada je vrijeme rotacije tijela prije nego što se zaustavi, a broj okretaja koje pravi.

Odgovor: , , , .

Primjer 6. Okruglo tijelo s koeficijentom tromosti k kotrlja se bez klizanja s vrha polukugle polumjera R koja stoji na vodoravnoj površini (slika 71). Na kojoj visini i kojom brzinom će se otrgnuti od polutke i kojom brzinom pasti na vodoravnu površinu?

S obzirom: k, g, R. Pronaći:

Riješenje: Na tijelo djeluju sile . Rad i 0, (na mjestu prianjanja polukugle i lopte nema klizanja i ne oslobađa se toplina) stoga je za opis gibanja tijela moguće koristiti zakon održanja energije. Newtonov drugi zakon za CM tijela u točki njegovog odvajanja od hemisfere, uzimajući u obzir da u ovoj točki ima oblik , odakle . Zakon održanja energije za početnu točku i točku razdvajanja tijela ima oblik . Otuda su visina i brzina odvajanja tijela od hemisfere jednake, .

Nakon odvajanja tijela od hemisfere mijenja se samo njegova translacijska kinetička energija, stoga zakon održanja energije za točke odvajanja i pada tijela na tlo ima oblik . Gdje, uzimajući u obzir, dolazimo . Za tijelo koje bez trenja klizi po površini hemisfere k=0 i , , .

Odgovor: , , .

Mehanika.

Pitanje broj 1

Referentni sustav. Inercijalni referentni sustavi. Načelo relativnosti Galileo - Einstein.

Referentni okvir- ovo je skup tijela u odnosu na koje se opisuje kretanje određenog tijela i koordinatni sustav koji je s njim povezan.

Inercijalni referentni sustav (IRS) je sustav u kojem se tijelo koje se slobodno kreće nalazi u stanju mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja.

Galileo-Einsteinov princip relativnosti- Sve prirodne pojave u bilo kojem inercijalnom referentnom okviru događaju se na isti način i imaju isti matematički oblik. Drugim riječima, svi ISO-ovi su jednaki.

Pitanje broj 2

Jednadžba gibanja. Vrste gibanja krutog tijela. Glavni zadatak kinematike.

Jednadžbe gibanja materijalne točke:

- kinematička jednadžba gibanja

Vrste gibanja krutog tijela:

1) Translatorno gibanje - bilo koja ravna crta povučena u tijelu kreće se paralelno sama sa sobom.

2) Rotacijsko kretanje - bilo koja točka tijela giba se po kružnici.

φ = φ(t)

Glavni zadatak kinematike- to je dobivanje vremenske ovisnosti brzine V = V(t) i koordinata (ili radijus vektora) r = r(t) materijalne točke iz poznate vremenske ovisnosti njezine akceleracije a = a(t) i poznati početni uvjeti V 0 i r 0 .

Pitanje broj 7

Puls (Količina kretanja) je vektorska fizikalna veličina koja karakterizira mjeru mehaničkog gibanja tijela. U klasičnoj mehanici, količina gibanja tijela jednaka je umnošku mase m ovu točku svojom brzinom v, smjer impulsa podudara se sa smjerom vektora brzine:

U teorijskoj mehanici generalizirani impuls je parcijalna derivacija Lagrangiana sustava s obzirom na generaliziranu brzinu

Ako Lagrangian sustava ne ovisi o nekim generalizirane koordinate, zatim zbog Lagrangeove jednadžbe .

Za slobodnu česticu Lagrangeova funkcija ima oblik: , dakle:

Neovisnost Lagrangiana zatvorenog sustava o njegovom položaju u prostoru slijedi iz svojstva homogenost prostora: za dobro izoliran sustav, njegovo ponašanje ne ovisi o tome gdje ga u prostoru smjestimo. Po Noetherov teorem Iz ove homogenosti slijedi očuvanje neke fizičke veličine. Ta se veličina naziva impuls (običan, ne generaliziran).

U klasičnoj mehanici, kompletan impuls sustavom materijalnih točaka naziva se vektorska veličina jednaka zbroju umnožaka masa materijalnih točaka i njihove brzine:

prema tome se veličina naziva momentom jedne materijalne točke. Ovo je vektorska veličina usmjerena u istom smjeru kao i brzina čestice. Jedinica za impuls Međunarodnog sustava jedinica (SI). kilogram-metar u sekundi(kg m/s)

Ako imamo posla s tijelom konačne veličine, za određivanje njegove količine gibanja potrebno je razbiti tijelo na male dijelove, koji se mogu smatrati materijalnim točkama i zbrojiti preko njih, kao rezultat dobivamo:

Impuls sustava na koji ne utječu vanjske sile (ili su one kompenzirane) spremljeno na vrijeme:

Očuvanje količine gibanja u ovom slučaju slijedi iz drugog i trećeg Newtonovog zakona: pisanjem drugog Newtonovog zakona za svaku od materijalnih točaka koje čine sustav i zbrajanjem svih materijalnih točaka koje čine sustav, na temelju trećeg Newtonovog zakona dobivamo jednakost (* ).

U relativističkoj mehanici, trodimenzionalni zamah sustava neinteragirajućih materijalnih točaka je količina

,

Gdje m i- težina ja th materijalnu točku.

Za zatvoreni sustav materijalnih točaka koje nisu u interakciji, ova vrijednost je sačuvana. Međutim, trodimenzionalni moment nije relativistički nepromjenjiva veličina, budući da ovisi o referentnom sustavu. Smislenija veličina bit će četverodimenzionalni moment, koji je za jednu materijalnu točku definiran kao

U praksi se često koriste sljedeći odnosi između mase, impulsa i energije čestice:

U principu, za sustav neinteragirajućih materijalnih točaka njihova 4-momenta se zbrajaju. Međutim, za međudjelovanje čestica u relativističkoj mehanici potrebno je uzeti u obzir ne samo količinu gibanja čestica koje čine sustav, već i količinu gibanja polja međudjelovanja između njih. Stoga je mnogo značajnija veličina u relativističkoj mehanici tenzor energije-momenta, koji u potpunosti zadovoljava zakone očuvanja.

Pitanje #8

Moment inercije- skalarna fizikalna veličina, mjera za tromost tijela pri rotacijskom gibanju oko osi, kao što je masa tijela mjera za njegovu tromost pri translatornom gibanju. Karakterizira ga raspodjela masa u tijelu: moment tromosti jednak je zbroju umnožaka elementarnih masa s kvadratom njihovih udaljenosti od osnovnog skupa

Aksijalni moment tromosti

Aksijalni momenti tromosti nekih tijela.

Moment tromosti mehaničkog sustava u odnosu na fiksnu os ("aksijalni moment tromosti") je količina J a, jednak zbroju proizvoda masa svih n materijalne točke sustava kvadratima njihovih udaljenosti od osi:

,

• m i- težina ja ta točka,
• r i- udaljenost od ja th točka na os.

Aksijalni moment inercije tijelo J a je mjera tromosti tijela u rotacijskom gibanju oko osi, kao što je masa tijela mjera njegove tromosti u translatornom gibanju.

,

• dm = ρ dV- masa malog elementa volumena tijela dV,
• ρ - gustoća,
• r- udaljenost od elementa dV do osi a.

Ako je tijelo homogeno, odnosno gustoća mu je posvuda jednaka, tada

Izvođenje formule

dm i momenti tromosti dJ i. Zatim

Cilindar tankih stijenki (prsten, obruč)

Izvođenje formule

Moment tromosti tijela jednak je zbroju momenata tromosti njegovih sastavnih dijelova. Cilindar tankih stijenki podijeliti na elemente s masom dm i momenti tromosti dJ i. Zatim

Budući da su svi elementi cilindra tankih stijenki na istoj udaljenosti od osi rotacije, formula (1) se pretvara u oblik

Steinerov teorem

Moment inerciječvrstog tijela u odnosu na bilo koju os ovisi ne samo o masi, obliku i veličini tijela, već io položaju tijela u odnosu na tu os. Prema Steinerovom teoremu (Huygens-Steinerov teorem), moment inercije tijelo J u odnosu na proizvoljnu os jednak je zbroju moment inercije ovo tijelo J c u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase tijela paralelno s razmatranom osi i umnožak mase tijela m po kvadratu udaljenosti d između osi:

Ako je moment tromosti tijela u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase tijela, tada je moment tromosti u odnosu na paralelnu os udaljenu od nje jednak

,

gdje je ukupna tjelesna masa.

Na primjer, moment tromosti štapa u odnosu na os koja prolazi kroz njegov kraj jednak je:

Rotacijska energija

Kinetička energija rotacijskog gibanja- energija tijela povezana s njegovom rotacijom.

Glavne kinematičke karakteristike rotacijskog gibanja tijela su njegova kutna brzina (ω) i kutno ubrzanje. Glavne dinamičke karakteristike rotacijskog gibanja - kutni moment u odnosu na os rotacije z:

K z = Izω

i kinetička energija

gdje je I z moment tromosti tijela u odnosu na os rotacije.

Sličan primjer može se pronaći kada se razmatra rotirajuća molekula s glavnim osima tromosti ja 1, ja 2 I ja 3. Rotacijska energija takve molekule dana je izrazom

Gdje ω 1, ω 2, I ω 3- glavne komponente kutne brzine.

Općenito, energija tijekom rotacije s kutnom brzinom nalazi se formulom:

, Gdje ja- tenzor tromosti.

Pitanje broj 9

Trenutak impulsa (kutni moment, kutni moment, orbitalni moment, kutni moment) karakterizira količinu rotacijskog gibanja. Količina koja ovisi o tome koliko mase rotira, kako je raspoređeno u odnosu na os rotacije i kojom brzinom se rotacija odvija.

Valja napomenuti da se rotacija ovdje razumijeva u širem smislu, a ne samo kao pravilna rotacija oko osi. Na primjer, čak i kada se tijelo giba pravocrtno pored proizvoljne zamišljene točke koja ne leži na liniji gibanja, ono također ima kutni moment. Možda najveću ulogu ima kutni moment u opisivanju stvarnog rotacijskog gibanja. Međutim, to je izuzetno važno za puno širu klasu problema (osobito ako problem ima središnju ili aksijalnu simetriju, ali ne samo u tim slučajevima).

Zakon održanja kutne količine gibanja(zakon očuvanja kutne količine gibanja) - vektorski zbroj svih kutnih količina gibanja u odnosu na bilo koju os za zatvoreni sustav ostaje konstantan u slučaju ravnoteže sustava. U skladu s tim, kutna količina gibanja zatvorenog sustava u odnosu na bilo koju nederivaciju kutne količine gibanja u odnosu na vrijeme je moment sile:

Dakle, zahtjev da sustav bude zatvoren može se oslabiti na zahtjev da glavni (ukupni) moment vanjskih sila bude jednak nuli:

gdje je moment jedne od sila primijenjenih na sustav čestica. (Ali naravno, ako uopće nema vanjskih sila, ovaj je zahtjev također zadovoljen).

Matematički, zakon očuvanja kutne količine gibanja proizlazi iz izotropije prostora, odnosno iz nepromjenjivosti prostora u odnosu na rotaciju za proizvoljan kut. Kada se zakrene za proizvoljni infinitezimalni kut, radijus vektor čestice s brojem promijenit će se za , a brzina - . Lagrangeova funkcija sustava neće se promijeniti s takvom rotacijom, zbog izotropije prostora. Zato

1. Razmotrite rotaciju tijela oko sebe nepomična osi Z. Podijelimo cijelo tijelo na skup elementarnih masa m ja. Linearna brzina elementarne mase m ja– v i = w R ja, gdje je R ja– masena udaljenost m ja od osi rotacije. Prema tome, kinetička energija ja th elementarne mase bit će jednaka . Ukupna kinetička energija tijela: , ovdje je moment tromosti tijela u odnosu na os rotacije.

Dakle, kinetička energija tijela koje rotira oko nepomične osi jednaka je:

2. Sada neka tijelo okreće se u odnosu na neku os, i sebe pomicanja osi progresivno, ostajući paralelan sa samim sobom.

NA PRIMJER: Kuglica koja se kotrlja bez klizanja vrši rotacijsko gibanje, a njezino težište kroz koje prolazi os rotacije (točka “O”) se pomiče translatorno (sl. 4.17).

Ubrzati ja-da je elementarna masa tijela jednaka , gdje je brzina neke točke “O” tijela; – radijus vektor koji određuje položaj elementarne mase u odnosu na točku “O”.

Kinetička energija elementarne mase jednaka je:

NAPOMENA: vektorski produkt podudara se u smjeru s vektorom i ima modul jednak (sl. 4.18).

Uzimajući u obzir ovu opasku, možemo to napisati , gdje je udaljenost mase od osi rotacije. U drugom članu vršimo cikličko preuređivanje faktora, nakon čega dobivamo

Da bismo dobili ukupnu kinetičku energiju tijela, zbrojimo ovaj izraz preko svih elementarnih masa, uzimajući konstantne faktore iza predznaka zbroja. Dobivamo

Zbir elementarnih masa je masa tijela “m”. Izraz je jednak umnošku mase tijela s radijus vektorom centra tromosti tijela (po definiciji centra tromosti). Konačno, moment tromosti tijela u odnosu na os koja prolazi kroz točku "O". Stoga možemo pisati

.

Ako za točku O uzmemo centar tromosti tijela “C”, radijus vektor će biti jednak nuli i drugi član će nestati. Zatim, označavajući kroz - brzinu centra inercije, i kroz - moment inercije tijela u odnosu na os koja prolazi kroz točku "C", dobivamo:

(4.6)

Dakle, kinetička energija tijela u ravninskom gibanju sastoji se od energije translatornog gibanja brzinom koja je jednaka brzini centra tromosti i energije rotacije oko osi koja prolazi kroz centar tromosti tijela.

Rad vanjskih sila pri rotacijskom gibanju krutog tijela.

Nađimo rad sila pri rotaciji tijela oko nepokretne Z osi.

Neka unutarnja sila i vanjska sila djeluju na masu (rezultirajuća sila leži u ravnini okomitoj na os rotacije) (sl. 4.19). Ove sile djeluju u vremenu dt posao:

Provodeći cikličko preuređivanje faktora u mješovitim produktima vektora, nalazimo:

gdje su , redom, momenti unutarnjih i vanjskih sila u odnosu na točku "O".

Zbrajanjem svih elementarnih masa dobivamo elementarni rad obavljen nad tijelom u vremenu dt:

Zbroj momenata unutarnjih sila je nula. Tada, označavajući ukupni moment vanjskih sila kroz , dolazimo do izraza:

.

Poznato je da je skalarni umnožak dva vektora skalar jednak umnošku modula jednog od vektora pomnoženog s projekcijom drugog na smjer prvog, uzimajući u obzir da , (smjerovi vektora Z osi podudaraju), dobivamo

,

ali w dt=d j, tj. kut za koji se tijelo okrene u vremenu dt. Zato

.

Predznak djela ovisi o predznaku M z, tj. od predznaka projekcije vektora na pravac vektora.

Dakle, kada tijelo rotira, unutarnje sile ne rade, a rad vanjskih sila određuje se formulom .

Rad obavljen u konačnom vremenskom razdoblju nalazi se integracijom

.

Ako projekcija rezultirajućeg momenta vanjskih sila na pravac ostane konstantna, tada se može uzeti iz predznaka integrala:

, tj. .

Oni. rad vanjske sile pri rotacijskom gibanju tijela jednak je umnošku projekcije momenta vanjske sile na smjer i kut rotacije.

S druge strane, rad vanjske sile koja djeluje na tijelo ide na povećanje kinetičke energije tijela (ili je jednak promjeni kinetičke energije tijela koje rotira). Pokažimo ovo:

;

Stoga,

. (4.7)

Na vlastitom:

Elastične sile;

Hookeov zakon.

Hidrodinamika

Strujni vodovi i cijevi.

Hidrodinamika proučava kretanje tekućina, ali njezini zakoni vrijede i za kretanje plinova. U stacionarnom strujanju fluida brzina njegovih čestica u svakoj točki prostora je veličina neovisna o vremenu i funkcija je koordinata. U ravnomjernom strujanju putanje čestica tekućine čine strujnicu. Kombinacija strujnih linija tvori strujnu cijev (slika 5.1). Pretpostavljamo da je tekućina nestlačiva, zatim volumen tekućine koja teče kroz presjeke S 1 i S 2 će biti isto. U sekundi će kroz ove dijelove proći volumen tekućine jednak

, (5.1)

gdje su i brzine fluida u presjecima S 1 i S 2 , a vektori i su definirani kao i , gdje su i normale na presjeke S 1 i S 2. Jednadžba (5.1) naziva se jednadžba kontinuiteta mlaza. Iz toga slijedi da je brzina fluida obrnuto proporcionalna presjeku strujne cijevi.

Bernoullijeva jednadžba.

Razmotrit ćemo idealnu nestlačivu tekućinu u kojoj nema unutarnjeg trenja (viskoznosti). Izaberimo tanku strujnu cijev u tekućini koja miruje (slika 5.2) s presjecima S 1 I S 2, okomito na strujnice. U presjeku 1 u kratkom vremenu tčestice će se pomaknuti na udaljenost l 1, i u odjeljku 2 - na udaljenosti l 2. Kroz obje dionice u vremenu t kroz njih će proći jednaki mali volumeni tekućine V= V 1 = V 2 i prenijeti puno tekućine m=rV, Gdje r- gustoća tekućine. Općenito, promjena mehaničke energije cijelog fluida u protočnoj cijevi između sekcija S 1 I S 2 koji se dogodio tijekom t, može se zamijeniti promjenom energije volumena V koji se dogodio kada je prešao iz odjeljka 1 u odjeljak 2. Takvim kretanjem promijenit će se kinetička i potencijalna energija tog volumena, te ukupna promjena njegove energije

, (5.2)

gdje je v 1 i v 2 - brzine čestica fluida u presjecima S 1 I S 2 odnosno; g- ubrzanje gravitacije; h 1 I h 2- visina središta sekcija.

U idealnom fluidu nema gubitaka trenjem, pa je povećanje energije DE mora biti jednak radu sila pritiska na dodijeljeni volumen. U nedostatku sila trenja, ovaj rad:

Izjednačujući desne strane jednakosti (5.2) i (5.3) i prenoseći članove s istim indeksima na jednu stranu jednakosti, dobivamo

. (5.4)

Sekcije cijevi S 1 I S 2 uzeti proizvoljno, stoga se može tvrditi da u bilo kojem dijelu strujne cijevi izraz vrijedi

. (5.5)

Jednadžba (5.5) naziva se Bernoullijeva jednadžba. Za horizontalnu struju h = konst a jednakost (5.4) poprima oblik

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

oni. pritisak je manji u onim točkama gdje je brzina veća.

Sile unutarnjeg trenja.

Pravu tekućinu karakterizira viskoznost, koja se očituje u činjenici da svako kretanje tekućine i plina spontano prestaje u nedostatku razloga koji su ga uzrokovali. Razmotrimo eksperiment u kojem se sloj tekućine nalazi iznad nepomične površine, a na njemu se kreće brzinom od , ploča koja pluta na njemu s površinom S(Slika 5.3). Iskustvo pokazuje da je za pomicanje ploče stalnom brzinom potrebno na nju djelovati silom. Budući da ploča ne dobiva akceleraciju, to znači da je djelovanje te sile uravnoteženo drugom, jednakom veličinom i suprotno usmjerenom silom, a to je sila trenja. . Newton je pokazao da sila trenja

, (5.7)

Gdje d- debljina sloja tekućine, h - koeficijent viskoznosti ili koeficijent trenja tekućine, predznak minus uzima u obzir različite smjerove vektora F tr I v o. Ako ispitate brzinu čestica tekućine na različitim mjestima sloja, ispada da se ona mijenja prema linearnom zakonu (slika 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Diferencirajući ovu jednakost, dobivamo dv/dz= v 0 /d. Imajući ovo na umu

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Gdje h- dinamički koeficijent viskoznosti. Veličina dv/dz naziva se gradijent brzine. Pokazuje koliko se brzo mijenja brzina u smjeru osi z. Na dv/dz= const gradijent brzine brojčano je jednak promjeni brzine v kada se mijenja z po jedinici. Stavimo numerički u formulu (5.8) dv/dz =-1 i S= 1, dobivamo h = F. iz čega slijedi fizičko značenje h: koeficijent viskoznosti numerički je jednak sili koja djeluje na sloj tekućine jedinične površine s gradijentom brzine jednakim jedinici. SI jedinica za viskoznost naziva se paskal sekunda (označava se Pa s). U CGS sustavu, jedinica viskoznosti je 1 pois (P), pri čemu je 1 Pa s = 10P.