Metode rješavanja eksponencijalnih nejednadžbi. Rješavanje eksponencijalnih nejednadžbi: osnovne metode

Lekcija i prezentacija na temu: "Eksponencijalne jednadžbe i eksponencijalne nejednadžbe"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u Internet trgovini Integrala za 11. razred
Interaktivni priručnik za razrede 9-11 "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za razrede 10-11 "Logaritmi"

Definicija eksponencijalnih jednadžbi

Definicija. Jednadžbe oblika: $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdje su $a>0$, $a≠1$ nazivaju se eksponencijalne jednadžbe.

Podsjećajući na teoreme koje smo proučavali u temi "Eksponencijalna funkcija", možemo uvesti novi teorem:
Teorema. Eksponencijalna jednadžba $a^(f(x))=a^(g(x))$, gdje je $a>0$, $a≠1$ ekvivalentna je jednadžbi $f(x)=g(x) $.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Tada se naša jednadžba može prepisati: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2h+0,2=0,2$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.

C) Izvorna jednadžba je ekvivalentna jednadžbi: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ i $x_2=-3$.
Odgovor: $x_1=6$ i $x_2=-3$.

Primjer.
Riješite jednadžbu: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Riješenje:
Izvedimo niz radnji uzastopno i dovedimo obje strane naše jednadžbe na iste baze.
Izvršimo nekoliko operacija na lijevoj strani:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Prijeđimo na desnu stranu:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Izvorna jednadžba je ekvivalentna jednadžbi:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odgovor: $x=0$.

Primjer.
Riješite jednadžbu: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Riješenje:
Prepišimo našu jednadžbu: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Izvršimo promjenu varijabli, neka je $a=3^x$.
U novim varijablama jednadžba će imati oblik: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ i $a_2=3$.
Izvršimo obrnutu promjenu varijabli: $3^x=-12$ i $3^x=3$.
U prošloj lekciji smo naučili da eksponencijalni izrazi mogu imati samo pozitivne vrijednosti, sjetite se grafikona. To znači da prva jednadžba nema rješenja, druga jednadžba ima jedno rješenje: $x=1$.
Odgovor: $x=1$.

Podsjetimo se kako rješavati eksponencijalne jednadžbe:
1. Grafička metoda. Predstavljamo obje strane jednadžbe u obliku funkcija i gradimo njihove grafove, pronalazimo točke sjecišta grafova. (Ovu smo metodu koristili u prošloj lekciji).
2. Načelo jednakosti pokazatelja. Načelo se temelji na činjenici da su dva izraza s istim bazama jednaka ako i samo ako su stupnjevi (eksponenti) tih baza jednaki. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metoda zamjene varijable. Ovu metodu treba koristiti ako jednadžba pri zamjeni varijabli pojednostavljuje svoj oblik i puno ju je lakše riješiti.

Primjer.
Riješite sustav jednadžbi: $\begin (slučajevi) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \kraj (slučajevi)$.
Riješenje.
Razmotrimo obje jednadžbe sustava zasebno:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Razmotrimo drugu jednadžbu:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Upotrijebimo metodu promjene varijabli, neka je $y=2^(x+y)$.
Tada će jednadžba poprimiti oblik:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ i $y_2=-3$.
Prijeđimo na početne varijable, iz prve jednadžbe dobivamo $x+y=2$. Druga jednadžba nema rješenja. Tada je naš početni sustav jednadžbi ekvivalentan sustavu: $\begin (slučajevi) x+3y=0, \\ x+y=2. \kraj (slučajevi)$.
Oduzmemo drugu od prve jednadžbe, dobivamo: $\begin (slučajevi) 2y=-2, \\ x+y=2. \kraj (slučajevi)$.
$\početak (slučajevi) y=-1, \\ x=3. \kraj (slučajevi)$.
Odgovor: $(3;-1)$.

Eksponencijalne nejednakosti

Teorema. Ako je $a>1$, tada je eksponencijalna nejednadžba $a^(f(x))>a^(g(x))$ ekvivalentna nejednadžbi $f(x)>g(x)$.
Ako $0 a^(g(x))$ je ekvivalentno nejednakosti $f(x)

Primjer.
Riješite nejednadžbe:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Riješenje.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Naša nejednakost je ekvivalentna nejednakosti:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5 $.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) U našoj jednadžbi, baza je kada stupanj manji od 1, tada je pri zamjeni nejednadžbe ekvivalentnom potrebno promijeniti predznak.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Naša nejednakost je ekvivalentna nejednakosti:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Upotrijebimo metodu intervalnog rješenja:
Odgovor: $(-∞;-5]U)