Képletek minden geometriai alakzat területére. Hogyan számítsuk ki az ábra területét

Területi képlet szükséges egy ábra területének meghatározásához, amely egy valós értékű függvény, amely az euklideszi sík alakzatainak egy bizonyos osztályán van definiálva, és 4 feltételnek eleget tesz:

1. Pozitivitás – a terület nem lehet kisebb nullánál;
2. Normalizálás - az oldalegységgel rendelkező négyzet területe 1;
3. Egybevágóság – az egybevágó figurák területe egyenlő;
4. Additivitás - a közös belső pontok nélküli 2 figura egyesülésének területe megegyezik ezen figurák területének összegével.

A Föld mérésének ismerete az ókorban jelent meg, és fokozatosan formálódott a geometria tudományában. Ezt a szót görögül „földmérés”-nek fordítják.

A Föld lapos szakaszának kiterjedésének mértéke hosszban és szélességben a terület. A matematikában általában a latin S betűvel (az angol „square” - „terület”, „négyzet”) vagy a görög σ (szigma) betűvel jelölik. Az S egy síkon lévő ábra területét vagy egy test felületét jelöli, σ pedig egy huzal keresztmetszete a fizikában. Ezek a fő szimbólumok, bár lehetnek mások, például az anyagok szilárdsága terén, az A a profil keresztmetszete.

Kapcsolatban áll

Számítási képletek

Az egyszerű ábrák területeinek ismeretében megtalálhatja az összetettebbek paramétereit.. Az ókori matematikusok képleteket dolgoztak ki, amelyekkel könnyen kiszámíthatók. Ilyen alakok a háromszög, négyszög, sokszög, kör.

Egy összetett síkfigura területének meghatározásához sok egyszerű figurára kell felosztani, például háromszögekre, trapézokra vagy téglalapokra. Ezután matematikai módszerekkel képletet kapunk az ábra területére. Hasonló módszert alkalmaznak nemcsak a geometriában, hanem a matematikai elemzésben is a görbék által határolt ábrák területeinek kiszámítására.

Háromszög

Kezdjük a legegyszerűbb ábrával - egy háromszöggel. Téglalap alakúak, egyenlő szárúak és egyenlő oldalúak. Vegyünk egy tetszőleges ABC háromszöget, amelynek oldalai AB=a, BC=b és AC=c (∆ ABC). Területének megtalálásához idézzük fel az iskolai matematika tantárgyból ismert szinusz- és koszinusztételeket. Minden számítástól eltekintve a következő képletekhez jutunk:

• S=√ - mindenki által ismert Heron-képlet, ahol p=(a+b+c)/2 a háromszög fél kerülete;
• S=a h/2, ahol h az a oldalra süllyesztett magasság;
• S=a b (sin γ)/2, ahol γ az a és b oldalak közötti szög;
• S=a b/2, ha ∆ ABC négyszögletes (itt a és b lábak);
• S=b² (sin (2 β))/2, ha ∆ ABC egyenlő szárú (itt b az egyik „csípő”, β a háromszög „csípői” közötti szög);
• S=a² √¾, ha ∆ ABC egyenlő oldalú (itt a a háromszög egyik oldala).

Négyszög

Legyen egy ABCD négyszög AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Egy tetszőleges 4-szög S területének meghatározásához az átlójával két háromszögre kell osztani, amelyeknek S1 és S2 területe általában nem egyenlő.

Ezután a képletekkel számolja ki őket, és adja össze őket, azaz S=S1+S2. Ha azonban egy 4-szög egy bizonyos osztályba tartozik, akkor a területe megtalálható a korábban ismert képletekkel:

• S=(a+c) h/2=e h, ha a tetragon trapéz (itt a és c az alapok, e a trapéz középvonala, h a trapéz egyik alapjához süllyesztett magasság);
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ha ABCD paralelogramma (itt φ az a és b oldal közötti szög, h az a oldalra esett magasság, d1 és d2 átló);
• S=a b=d²/2, ha ABCD egy téglalap (d egy átló);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, ha ABCD egy rombusz (a a rombusz oldala, φ az egyik szöge, P a kerülete);
• S=a²=P²/16=d²/2, ha az ABCD négyzet.

Poligon

Az n-szög területének meghatározásához a matematikusok a legegyszerűbb egyenlő alakokra - háromszögekre - bontják, megkeresik mindegyik területét, majd összeadják őket. De ha a sokszög a szabályos osztályba tartozik, akkor használja a képletet:

S=a n h/2=a² n/=P²/, ahol n a sokszög csúcsainak (vagy oldalainak) száma, a az n-szög oldala, P a kerülete, h az apotéma, azaz a a sokszög közepétől annak egyik oldaláig 90°-os szögben húzott szakasz.

Kör

A kör egy tökéletes sokszög végtelen számú oldallal. Ki kell számolnunk a jobb oldali kifejezés határát egy olyan sokszög területének képletében, amelynek oldalai száma n a végtelen felé tart. Ebben az esetben a sokszög kerülete egy R sugarú kör hosszává változik, amely a körünk határa lesz, és egyenlő lesz P=2 π R értékkel. Helyettesítsük be ezt a kifejezést a fenti képletbe. Kapunk:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Határozzuk meg ennek a kifejezésnek az n→∞ határértékét. Ehhez figyelembe vesszük, hogy lim (cos (180°/n)) n→∞ esetén cos 0°=1 (lim a határ előjele), és lim = lim n→∞ esetén egyenlő 1/π (a fokmértéket radiánra alakítottuk, a π rad=180° összefüggést használva, és az első figyelemre méltó határértéket lim (sin x)/x=1 x→∞-nél alkalmaztuk). A kapott értékeket S utolsó kifejezésébe behelyettesítve a jól ismert képlethez jutunk:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Egységek

Szisztémás és nem rendszerszintű mértékegységeket használnak. A rendszeregységek az SI-hez (System International) tartoznak. Ez egy négyzetméter (négyzetméter, m²) és az abból származó mértékegységek: mm², cm², km².

Négyzetmilliméterben (mm²) mérik például a vezetékek keresztmetszeti területét az elektrotechnikában, négyzetcentiméterben (cm²) - a gerenda keresztmetszetét a szerkezeti mechanikában, négyzetméterben (m²) - lakásban vagy házban, négyzetkilométerben (km²) - a földrajzban .

Néha azonban nem rendszerszintű mértékegységeket használnak, mint például: szövés, ar (a), hektár (ha) és acre (ac). Mutassuk be a következő összefüggéseket:

• 100 négyzetméter = 1 a = 100 m² = 0,01 hektár;
• 1 ha=100 a=100 acre=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 hektár = 0,405 hektár.

Egy geometriai alakzat területe- egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely az ábra méretét mutatja (a felület egy része, amelyet az ábra zárt körvonala korlátoz). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

1. A háromszög területének képlete oldal és magasság szerint
   Egy háromszög területe egyenlő egy háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a felével
   
2. A háromszög területének képlete három oldal és a körülírt kör sugara alapján
   
3. A háromszög területének képlete a három oldal és a beírt kör sugara alapján
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
   
ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R - a körülírt kör sugara,

Négyzetterület képletek

1. A négyzet területének képlete oldalhosszonként
   Négyzet alakú terület egyenlő az oldala hosszának négyzetével.
2. Képlet egy négyzet területének az átlós hossz mentén
   Négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
   

   S=	1	2
   	2

ahol S a négyzet területe,
- a négyzet oldalának hossza,
- a négyzet átlójának hossza.

Téglalap terület képlete

Egy téglalap területe egyenlő két szomszédos oldala hosszának szorzatával

ahol S a téglalap területe,
- a téglalap oldalainak hossza.

Párhuzamos terület képletek

1. A paralelogramma területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
   Egy paralelogramma területe
2. A paralelogramma területének képlete két oldal és a köztük lévő szög alapján
   Egy paralelogramma területe egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a közöttük lévő szög szinuszával.
   

   a b sin α

ahol S a paralelogramma területe,
- a paralelogramma oldalainak hossza,
- a paralelogramma magasságának hossza,
- a paralelogramma oldalai közötti szög.

A rombusz területének képletei

1. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a magasság alapján
   Egy rombusz területe egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának a szorzatával.
2. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
   Egy rombusz területe egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
3. A rombusz területének képlete az átlók hossza alapján
   Egy rombusz területeátlói hosszának a felével egyenlő.
ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - átlók hossza.

Trapézfelület képletek

1. Heron képlete a trapézhoz

   ahol S a trapéz területe,
   - a trapéz alapjainak hossza,
   - a trapéz oldalainak hossza,