Az automatikus vezérlőrendszerek stabilitásának fő feltétele. Az önjáró fegyver paramétereinek hatása a stabilitására

A nyomkövető rendszer (1.14. ábra, a) egyensúlyi állapotban van, amikor a hibája lehet stabil vagy instabil. Ha a hajtóerő némi változása (a hajtótengely szögben történő elforgatása) után a rendszer egy csillapított tranziens folyamat eredményeként (2.1. ábra, a, b) egyensúlyi állapotba kerül, akkor ez Az egyensúlyi állapot stabil, és a rendszert stabilnak nevezzük, amikor a hajtóerő enyhe változása (a rendszer eltérése az egyensúlyi állapottól) után a rendszer nem az eredeti egyensúlyi állapot felé hajlik, hanem a rendszer csillapítatlan oszcillációi. szabályozott mennyiség keletkezik benne (2.1. ábra, c, d), vagy a változás független attól, hogy ebben a rendszerben az egyensúlyi állapot instabil, és a rendszert instabilnak nevezzük.

A stabil és instabil egyensúlyi állapotok vizuális ábrázolását a gömbfelület rendszer figyelembevételével adjuk meg. A mélyedésbe helyezett labda (3.1. ábra, a) stabil egyensúlyi állapotban van, mivel külső hatás hatására elhajlása után visszaáll eredeti állapotába. A golyós felületű rendszer stabil. A domb tetején található labda (ábra: instabil egyensúlyi helyzetben van: enyhe eltérés a

Rizs. 3.1. A gömbfelület rendszer egyensúlyi állapotai stabilitásának fogalmához: a - stabil állapot; b - instabil állapot; c - egy állapot, amely stabil kis és instabil nagy eltérések esetén.

ezt az állapotot, és a labda legurul a felszín lejtőjén, és nem tér vissza eredeti helyzetébe. A vizsgált rendszer instabil.

Stabilitás alatt tehát egy rendszer azon tulajdonságát értjük, hogy visszatér a korábbi egyensúlyi állapotába, miután ebből az állapotból kiemeli, és megállítja a mester változását vagy a zavaró hatás hatását.

Csak egy stabil rendszer működik. Ezért az automatikus vezérlés elméletének egyik fő feladata az automatikus vezérlőrendszerek stabilitásának vizsgálata. A dinamikus rendszerek stabilitásának szigorú elméletének alapjait az Acad. A. M. Lyapunov „A mozgásstabilitás általános problémája” (1892) című munkájában. Az ebből a munkából kirajzolódó fenntarthatósági koncepciók a következők.

Ha a rendszert lineáris differenciálegyenlet írja le, akkor stabilitása nem függ a zavarás mértékétől. Az a lineáris rendszer, amely kis zavarok esetén stabil, nagy zavarok esetén is stabil lesz. A nemlineáris rendszerek kis zavarok esetén stabilak, nagyok esetén instabilok lehetnek. Ilyen nemlineáris rendszerre példa a falióra. Ha egy álló ingára ​​gyenge lökést adnak, akkor az inga több lendítés után megáll, azaz kis zavarok esetén is stabil a rendszer. Ha erősebb impulzust kap az inga, akkor az utolsó tekercselt óra csillapítatlan lengéseket kezd végrehajtani. Következésképpen a rendszer instabil nagy zavarok esetén. Egyértelmű képet kapunk a nemlineáris rendszerekről, amelyek stabilak kis és instabil nagy perturbációk esetén, ha figyelembe vesszük a gömböt, amely egy domború test tetején lévő mélyedésbe van helyezve (3.1. ábra, c). Kisebb, a mélyedés szélét meg nem haladó eltérések esetén a labda visszaáll az eredeti helyzetébe, azaz stabil a labdafelület rendszer. Ha eltér a mélyedés szélén, a labda nem tér vissza eredeti helyzetébe - a rendszer instabil. Ezért a nemlineáris rendszerek esetében a stabilitást külön vizsgálják kis zavarok esetén, azaz a stabilitást kicsiben, és a stabilitást nagy zavarok esetén, azaz a stabilitást nagyban.

Ljapunov tétele szerint a nemlineáris rendszerek kis zavarok melletti stabilitása a linearizált egyenleteik alapján ítélhető meg, amelyek meglehetősen pontosan leírják a rendszerek viselkedését az egyensúlyi állapottól való kis eltérések mellett. A nemlineáris rendszerek nagy zavarok melletti stabilitásának meghatározásához az eredeti nemlineáris dinamikai egyenleteket kell használni. A legtöbb gyakorlati esetben a kis eltérésekre stabil rendszerek bizonyulnak stabilnak még az üzem közben lehetséges meglehetősen nagy eltérések esetén is, így ezeknek a rendszereknek a stabilitásának kérdése linearizált egyenletek tanulmányozása alapján megoldható.

A stabilitás problémája általában zárt automata vezérlőrendszereknél merül fel a visszacsatolás hatására. Ezért a jövőben a stabilitást zárt rendszerek példáin keresztül tanulmányozzák, bár a stabilitás vizsgálatának módszerei univerzálisak.

Az automata vezérlőrendszer stabilitása a rendszer egyik legfontosabb jellemzője, mert a rendszer teljesítménye attól függ. Egy rendszer, amelyből hiányzik a stabilitás, nem tudja hatékonyan megoldani a szabályozási problémát. A stabilitás hiánya magának a rendszernek a tönkremeneteléhez is vezethet a vezérlési folyamat során, vagy a vezérlőobjektum megsemmisüléséhez, ezért instabil rendszerek használata nem megfelelő.

Automatikus vezérlőrendszer stabilitása - ez a levegőrendszer tulajdonsága

a rendszert a kezdeti egyensúlyi állapotba hozó hatás megszűnése után forogjon a kezdeti egyensúlyi állapotba.

A stabil és instabil rendszerekre példa a homorú és domború felületen elhelyezkedő labda rendszere, amelyet a 60. ábra mutat be.

60. ábra. Példák a rendszerekre: a) stabil; b) instabil

A 60a. ábrán egy homorú felületen elhelyezett és bizonyos erő hatására oldalra eltolt golyó a külső hatás befejeződése után visszatér eredeti egyensúlyi helyzetébe. A felületen kialakuló súrlódás vagy annak minimális értéke hiányában a labda az egyensúlyi helyzet körül rövid oszcillációkat hajt végre, amíg vissza nem tér az eredeti egyensúlyi helyzetbe (1. görbe – csillapított oszcillációs folyamat). Nagy súrlódás esetén a golyó rezgések nélkül visszatér a kezdeti egyensúlyi helyzetbe (2. görbe – időszakos folyamat). Ha a súrlódási érték nagyon nagy, előfordulhat, hogy a golyó nem tér vissza a kezdeti egyensúlyi helyzetbe (3. görbe), hanem az egyensúlyi helyzethez közeli tartományba kerül vissza. Ebben az esetben van egy stabil rendszer. A stabil automata vezérlőrendszerekben hasonló tranziens folyamatok fordulnak elő (csillapított oszcillációs és időszakos).

A 60b. ábrán egy domború felületen elhelyezkedő és bizonyos erő hatására oldalra eltolt golyó nem tér vissza a kezdeti egyensúlyi helyzetbe (4. görbe), így a rendszer instabil. Instabil rendszerekben a tranziens folyamatok divergens oszcillációk (5. görbe) vagy aperiodikus (4. görbe) formájában fordulnak elő.

Az ACS instabilitása általában egy nagyon erős visszacsatolási hatás miatt következik be. A dinamikus instabilitás okai általában egy zárt hurkú rendszer linkjeinek jelentős tehetetlenségi jellemzői, amelyek miatt a visszacsatoló jel oszcillációs üzemmódban annyira elmarad a bemeneti jeltől, hogy azzal fázisban van. Kiderül, hogy a negatív visszacsatolás természete felveszi a karaktert

pozitív.

Készítsük el a stabilitás és instabilitás matematikai leírását. Mivel egy rendszer stabilitása csak a szabad mozgás természetétől függ, a rendszernek ez a szabad mozgása homogén differenciálegyenlettel írható le:

karakterisztikus egyenlet, amely a következő kifejezéssel lesz ábrázolva:

Mutassuk be a (2.19.) homogén differenciálegyenlet általános megoldását a következő formában:

Ahol C k – állandók a kezdeti feltételektől függően, p k a karakterisztikus egyenlet gyökerei.

A karakterisztikus egyenlet gyökerei összetettek lehetnek ( p k = α k ± jβ k ), érvényes ( p k = α k ) vagy képzeletbeli ( p k = jβ k ). Az összetett gyökök mindig páronként konjugáltak, azaz. ha van egy egyenletnek egy gyöke pozitív képzeletbeli résszel, akkor biztosan létezik gyök, amelynek abszolút értéke azonos, de negatív képzeletbeli rész. y(t) nál nél t → ∞ -tól (2.21.) csak akkor fog nullázni, ha minden tag S k e p k t → 0. Ennek a függvénynek a jellege a gyökér típusától függ. A gyökér elhelyezkedésének lehetséges esetei p k a komplex síkon és a hozzájuk tartozó függvények y(t) = C e p k t A függvények megjelenését a 61. ábra mutatja be az ellipsziseken belül.

61. ábra. A karakterisztikus egyenlet gyökeinek elhelyezkedésének hatása a

a rendszer szabad mozgásának összetevői

A 61. ábra azt mutatja, hogy ha minden valódi gyökér p k= α k a (2.21.) kifejezésnél a kifejezés megfelel:

y k (t) = C k eα k t(2.22.)

majd at α to< 0 (gyökér p 1) funkció at t→ ∞ nullára hajlamos lesz, amikor α k > 0 (gyökér 3. o ) a függvény korlátozás nélkül fog növekedni, és mikor α k = 0 (gyökér p 2) a függvény állandó marad.

Ha a karakterisztikus egyenletnek összetett gyökei vannak, akkor minden konjugált komplex gyökérpárnak p k, k+1 = α k ± jβ k , két kifejezés fog megfelelni nekik, amelyek kombinálhatók és a következő kifejezésként ábrázolhatók:

Ez a függvény exponenciálisan változó amplitúdójú és frekvenciájú szinuszos β k . Két összetett gyök negatív valós részére α k, k+1< 0 , (gyökerek 4. o És p5 ) a függvény oszcillációs komponense csökkenni fog, és pozitív valós résszel α k, k+1 > 0 , (gyökerek 8. o És 9. o ) a rezgések amplitúdója korlátlanul nő. Komplex gyökerek valós részének hiányában α k, k+1 = 0 (gyökerek 6. o És p7 ), azaz csak képzeletbeli gyökök jelenlétében a függvény egy folytonos szinusz lesz egy frekvenciával β k .

A stabilitás definíciója alapján, ha a kezdeti egyensúlyi helyzetet nullának vesszük, akkor stabil rendszerek esetén a kimeneti paraméter értékének idővel nullára kell irányulnia, pl. a rendszer magától visszatér egyensúlyi helyzetébe. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy a (2.21.) differenciálegyenlet megoldásának minden tagja az idő múlásával nullára hajlamos, ami az egyenlet negatív valós gyökeivel érhető el, és az összetett gyököknek negatív valós része kell legyen. Legalább egy pozitív valós gyök vagy egy pozitív valós résszel rendelkező komplex gyökpár megléte oda vezet, hogy a rendszer kimeneti paraméterének értéke nem tér vissza eredeti értékére, azaz. a rendszer instabil lesz.

A 62. ábrán bemutatott karakterisztikus egyenlet gyökeinek komplex síkon való elhelyezkedését elemezve észrevehető, hogy az ACS akkor stabil, ha a karakterisztikus egyenlet összes gyöke a bal félsíkban van és mindegyik negatív valós ill. komplex negatív valós résszel. Legalább egy gyökér jelenléte a jobb félsíkban jellemzi a rendszer instabilitását.

A rendszer stabilitása a rendszer belső tulajdonsága, amely csak a rendszer tulajdonságait leíró karakterisztikus egyenlet gyökeinek típusától függ, és nem függ külső hatásoktól. A rendszer stabilitásának szükséges és elégséges feltétele az egyenlet összes gyökének helyzete a bal (negatív) félsíkban.

A pozitív és negatív félsíkokat, amelyekben a karakterisztikus egyenlet pozitív vagy negatív gyökerei találhatók, biztosítva a rendszer stabilitását vagy instabilitását, a képzeletbeli tengely választja el egymástól ± jβ . Ez a tengely a stabilitási határ, tehát ha a karakterisztikus egyenletnek egy pár tisztán képzeletbeli gyöke van p k, k+1 =± jβ k , és a többi gyök a negatív félsíkban van, akkor a rendszerre jellemző a csillapítatlan rezgések jelenléte frekvenciával ω = β k. Általánosan elfogadott, hogy ebben az esetben a rendszer a oszcillációs stabilitási határ .

Pont β = 0 a képzeletbeli tengelyen a nulla gyökérnek felel meg. Azt az egyenletet, amelynek egy nulla gyöke van, at-nek tekintjük időszakos stabilitási határ , és két nulla gyökér jelenlétében a rendszer instabil.

62. ábra. Egy stabil rendszer karakterisztikus egyenletének gyökeinek elhelyezkedése on

összetett sík

Ne felejtsük el, hogy szinte az összes valós automata vezérlőrendszer egyenlete nem lineáris, hanem linearizálással lineáris egyenletekre redukálódik, ezért a linearizálás során tett feltételezések befolyásolhatják a rendszer stabilitásának meghatározásának helyességét.

A. M. Ljapunov 1892-ben „A mozgásstabilitás általános problémája” című munkájában bizonyítja a tételt, amelyben a következő következtetéseket vonták le a linearizált egyenletekre:

1. Ha egy rendszer karakterisztikus egyenletének minden valós gyöke negatív, akkor a rendszert stabilnak tekintjük.

2. Ha a rendszer karakterisztikus egyenletének legalább egy valós gyöke pozitív, akkor a rendszer instabilnak tekinthető.

3. Ha egy linearizált rendszer karakterisztikus egyenletének van legalább egy nulla gyöke vagy egy pár képzeletbeli gyök, akkor a valós rendszer stabilitása nem ítélhető meg a linearizált egyenletből.

Következésképpen az eredeti nemlineáris egyenlet elemzése alapján következtetést kell levonni a valós rendszerek stabilitására vonatkozóan, és a rendszer instabilitásának vagy stabilitásának meghatározásához elegendő a rendszer valós gyökereinek pozitivitásának (negatívságának) azonosítása. a karakterisztikus egyenlet.

Fenntarthatósági kritériumok nevezzen meg bizonyos szabályokat, amelyek alapján az automatikus vezérlés elméletében a karakterisztikus egyenlet gyökeinek előjeleit meghatározzák annak megoldása nélkül! A stabilitásnak algebrai és gyakorisági kritériumai vannak.

Algebrai kritériumok a rendszer stabilitása szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a gyökök negatívak legyenek a karakterisztikus egyenlet együtthatóinak bizonyos értékeire.

Gyakorisági kritériumok a rendszer stabilitását, megállapították a rendszer stabilitásának a rendszer frekvenciakarakterisztikájának alakjától való függését.

A stabilitás a rendszer azon képessége, hogy visszatérjen a névleges üzemmódba, ha valamilyen okból eltér ettől az üzemmódtól.

A stabilitási követelmények minden önjáró fegyverre kötelezőek.

A fenntarthatóság szigorú meghatározását A.M. Ljapunov „A mozgás stabilitásának általános problémája” című munkájában (XIX. század vége)

Leírjuk a rendszer dinamikáját az egyenlettel

y - kimeneti érték

x- bemeneti mennyiség

y ( én ) , x ( j ) - származékok.

Tételezzük fel, hogy ennek a rendszernek névleges üzemmódja van nál nél n (t), amelyet a névleges bemeneti hatás egyedileg határoz meg x n (t) és a névleges kezdeti feltételek.

(2)

Mivel a névleges kezdeti feltételeket (2) a gyakorlatban nehéz fenntartani, a rendszerben „eltérés” kezdeti feltételek vannak.

(3)

A névleges módra az egyenlet érvényes:

Az elutasított kezdeti feltételek megfelelnek az elutasított módnak.

Az elutasított módra az egyenlet érvényes:

(6)

Ha kivonjuk a (4) egyenletet az (5) egyenletből, megkapjuk (7)

Vezessünk be egy definíciót.

Névleges mód nál nél n (t) Ljapunov istálló, ha bármely elutasított kezdeti feltételre (3), amely elég kevéssé különbözik a névleges névleges kezdeti feltételektől (2), akkor minden t > 0 esetén z(t) kicsi lesz.

Ha a névleges mód Ljapunov szerint stabil és egyben a határ
, akkor a névleges módot hívják tünetmentesen stabil.

Ha vannak olyan kezdeti feltételek (3), amelyek a kívánt mértékben eltérnek a névleges kezdeti feltételektől (2), ugyanakkor
nagyobb lesz, mint valami kis, előre meghatározott érték, akkor a névleges mód nál nél n (t) hívott instabil.

A (7)-ből az következik, hogy a viselkedés z(t) teljesen független a bemeneti hatás típusától x n (t) .

Ebből a következő következtetés adódik: vagy az (1) rendszerben aszimptotikusan stabilak Minden a különböző bemeneteknek megfelelő névleges üzemmódok x n (t), vagy mind instabil.

Ezért beszélhetünk a rendszer stabilitásáról vagy instabilitásáról, nem pedig egyik módozatáról.

Ez egy fontos megállapítás, amely csökkenti az ACS-kutatás hatókörét.

Sajnos csak lineáris önjáró fegyverekre érvényes.

A lineáris önjáró fegyverek stabilitásának szükséges és elégséges feltételei.

A lineáris rendszerek aszimptotikus stabilitásához szükséges és elegendő, hogy a karakterisztikus egyenlet minden gyöke.

negatív valós része lenne.

Ismeretes, hogy egy állandó együtthatójú differenciálegyenlet megoldása

1. Legyenek valódiak a gyökerek.

Nál nél

- ez pedig eltérés a névleges módtól.

2. Ha a gyökerek összetettek.

A stabilitás elengedhetetlen feltétele.

Az (1), (8) rendszer aszimptotikus stabilitásához szükséges, hogy a karakterisztikus egyenlet minden együtthatója azonos előjelű legyen.

A stabilitási feltétel geometriai értelmezése

Az ACS stabilitásához szükséges és elegendő, hogy a karakterisztikus egyenlet gyökei a gyökök komplex síkjának bal félsíkjában helyezkedjenek el.

ACS stabilitási kritériumok.

Ezek mesterséges technikák, amelyek lehetővé teszik a karakterisztikus egyenlet gyökereinek megtalálása nélkül az önjáró fegyverek stabilitásával kapcsolatos kérdések megválaszolását, pl. határozza meg a gyökerek valódi részeinek jeleit.

Kétféle stabilitási kritérium:

1). Algebrai stabilitási kritérium (Hurwitz stabilitási kritérium).

Adjunk meg egy karakterisztikus egyenletet.

Az önjáró fegyverek stabilitásához szükséges és elegendő:

1). Hogy a karakterisztikus egyenlet minden együtthatója azonos előjelű legyen -
(
a rendszer nem stabil)

2). A fő Hurwitz-determináns, amelyet egy bizonyos szabály szerint állítanak össze, és annak minden kisebb átlója az együtthatók előjelét viselné - nagyobbak lennének nullánál.

A Hurwitz fő definíciójának megírásának szabályai.

1). A determináns főátlója mentén a karakterisztikus egyenlet összes együtthatója az indexek növekvő sorrendjében helyezkedik el, kezdve a 1 .

2). A determináns főátló feletti tereit a karakterisztikus egyenlet együtthatói töltik ki az indexek növekedésének sorrendjében.

3). A determináns főátló alatti tereit a karakterisztikus egyenlet együtthatói töltik ki az indexek csökkenő sorrendjében.

4). A determináns azon helyek, ahol a kelleténél nagyobb indexű együtthatók jelennek meg nés kevesebb nulla, tele nullákkal

Így a fő Hurwitz-determináns alakja a következő:

A=
>0

Az önjáró fegyver stabil, ha

1). A karakterisztikus egyenlet összes együtthatója nagyobb nullánál ( 0!)

,
, ….

2). A fő Hurwitz-determináns és minden átlós minorja >0.

,
,
, ….

Nézzünk példákat.

1.

1.

2.

Egy másodrendű ACS stabilitásához a stabilitás szükséges és elégséges feltétele a karakterisztikus egyenlet együtthatóinak pozitivitása.

1.
i=0…3

2.

A harmadrendű rendszerek stabilitásának szükséges és elégséges feltétele az együtthatók pozitivitása és a belső tagok szorzata
többnek kell lennie, mint a szélső kifejezések szorzata
karakterisztikus egyenlet.

,

,
,

Van még Routh algebrai kritériuma. Ez ugyanaz a Hurwitz-kritérium, de úgy van megszervezve, hogy kényelmesen használható legyen stabilitás-meghatározó programok létrehozására.

Vyshnegradsky stabilitási kritérium harmadrendű rendszerekre.

Vyshnegradsky I.A. javasolta a stabilitási határ ábrázolását az úgynevezett Vyshnegradsky paramétersíkon.

Legyen egy harmadik fokú karakterisztikus egyenletünk.

Alakítsuk át helyettesítéssel:

Akkor így fog kinézni:

A 1 ÉsA 2 Vishnegradsky paramétereknek (dimenzió nélküli mennyiségeknek) nevezzük, amelyek síkjában a stabilitási határ megépül.

Alkalmazzuk a Hurwitz-stabilitási kritériumot a transzformált egyenletre

vagy A 1 A 2 > 1

A stabilitás határán
.

Innen
- egyenlet a stabilitási határon

A karakterisztikus egyenlet együtthatóiból határozzuk meg A 1 És A 2 . Ha a pont a hiperbola alatt van, az önjáró fegyver stabil, ha a hegy magasabb, akkor instabil.

OLDAL \* MERGEFORMAT 14

4. sz. előadás

Önjáró fegyver stabilitása

A rendszernek azt a tulajdonságát, hogy a zavar megszüntetése után visszatér eredeti állapotába, stabilitásnak nevezzük.

Meghatározás.

Az 1. és 2. görbe egy stabil rendszert, a 3. és 4. görbe az instabil rendszereket jellemzi.ε

5. és 6. rendszer a stabilitás határán 5 - semleges rendszer, 6 - oszcillációs stabilitási határ.

Legyen az ACS differenciálegyenlete operátor alakban a következő

Ekkor a differenciálegyenlet (rendszermozgás) megoldása két részből áll A bemeneti művelettel azonos típusú kényszermozgás.

Több gyökér hiányában, ahol Cén - a kezdeti feltételekből meghatározott állandó integrációk,

 1 ,  2 …,  n a karakterisztikus egyenlet gyökerei

A jellemző gyökereinek elhelyezkedése

a rendszer egyenletei a komplex síkon

A karakterisztikus egyenlet gyökerei nem függnek sem a zavar típusától, sem attól

kezdeti feltételeket, a csak az a együtthatók határozzák meg 0, a 1, a 2,…, a n , vagyis a rendszer paraméterei és felépítése.

1-gyök valós, nagyobb, mint nulla;

2 gyökér valós, nullánál kisebb;

a 3-gyök nulla;

4-két nulla gyökér;

5-két összetett konjugált gyök, amelyek valós része

Pozitív;

6-két összetett konjugált gyök, amelyeknek valós része negatív;

7-két képzeletbeli konjugált gyök.

Stabilitáselemzési módszerek:

1. Közvetlen (differenciálegyenletek megoldásán alapul);
2. Közvetett (stabilitási kritériumok).

A.M. tételei Ljapunova.

1. tétel.

2. tétel.

Megjegyzések:

1. Ha a karakterisztikus egyenlet gyökei között kettő vagy több nulla gyök található, akkor a rendszer instabil.
2. Ha az egyik gyökér nulla, és az összes többi a bal félsíkban van, akkor a rendszer semleges.
3. Ha 2 gyök képzeletbeli konjugált, és az összes többi a bal félsíkban van, akkor a rendszer a stabilitás oszcillációs határán van.

ACS stabilitási kritériumok.

A stabilitási kritérium egy olyan szabály, amely lehetővé teszi egy rendszer stabilitásának meghatározását anélkül, hogy a karakterisztikus egyenlet gyökereit ki kellene számítani.

1877-ben Routh telepítve:

1. Hurwitz stabilitási kritérium

A kritériumot 1895-ben dolgozták ki.

Legyen definiálva egy zárt rendszer karakterisztikus egyenlete: redukáljuk az egyenletet alakra úgy, hogy a 0 >0.

Állítsuk össze a fő Hurwitz-determinánst a következő szabály szerint:

A főátló mentén az egyenlet együtthatóit írjuk fel, a másodiktól az utolsóig, az átlótól felfelé eső oszlopok növekvő indexű együtthatókkal, az átlótól lefelé pedig csökkenő indexű együtthatókkal. Ha az egyenletben nincs együttható, és olyan együtthatók helyett, amelyek indexe 0-nál kisebb vagy annál nagyobb n írjon nullát.

Kiemeljük az átlós minorokat vagy a fő Hurwitz-determináns legegyszerűbb determinánsait:

A kritérium megfogalmazása.

Másodrendűnél magasabb rendszerek esetén a karakterisztikus egyenlet összes együtthatójának pozitivitása mellett a következő egyenlőtlenségeket kell teljesíteni:

1. Harmadik rendű rendszerek esetén:
2. Negyedrendű rendszerek esetén:
3. Ötödik rendű rendszerek esetén:

1. Hatrendű rendszerek esetén:

Példa. Egy karakterisztikus egyenletet adunk a rendszer stabilitásának vizsgálatára Hurwitz szerint.

A stabil rendszerekhez szükséges és

2. Routh-kritérium

A Routh-kritérium a magasrendű rendszerek stabilitásának vizsgálatára szolgál.

Kritérium megfogalmazása:

Routh asztal.

A táblázat kitöltésének algoritmusa: az első és a második sor az egyenlet együtthatóit tartalmazza páros és páratlan indexekkel; a fennmaradó sorok elemeit a következő szabály szerint számítjuk ki:

A kritérium előnye: bármilyen rendű rendszerek stabilitása vizsgálható.

2. Nyquist stabilitási kritérium

Az érvelés elve

A frekventista módszerek az érvelés elvén alapulnak.

Elemezzük egy polinom tulajdonságait a következő alakban:

Hol i - az egyenlet gyökerei

A komplex síkon minden gyök egy jól meghatározott pontnak felel meg. Geometriailag minden gyökéri az origótól a pontig húzott vektorként ábrázolható i : |  i | - vektor hossza, argi - a vektor és az x tengely pozitív iránya közötti szög. Leképezzük D(p)-t a Fourier-térbe, ahol j -  i - elemi vektor.

Az elemi vektorok végei a képzeletbeli tengelyen vannak.

A vektor nagysága és az argumentum (fázis)

A vektor óramutató járásával ellentétes forgásirányát POZITÍVNAK vesszük. Majd váltáskor tól minden elemi vektorba ( j  -  i ) + szöget fog elfordulni , ha  i a bal félsíkban fekszik.

Legyen D ( )=0 m gyökerei a jobb félsíkban és n - m gyökerei a bal oldalon, majd növekvő -tól a D(j) vektor argumentumának megváltoztatásához ) (elfordulási szög D(j ), egyenlő az elemi vektorok argumentumaiban bekövetkezett változások összegével) lesz

Az érvelés elve:

A Nyquist-kritérium az ACS nyitott áramkörének frekvenciakarakterisztikáján alapul, mivel a nyitott áramkör frekvenciakarakterisztikájának típusa alapján meg lehet ítélni a zárt rendszer stabilitását.

A Nyquist-kritériumot széles körben használják a mérnöki gyakorlatban a következő okok miatt:

1. Egy rendszer zárt állapotú stabilitását a nyitott áramkörének frekvenciaátviteli függvénye vizsgálja, és ez a függvény legtöbbször egyszerű tényezőkből áll. Az együtthatók a rendszer valós paraméterei, ami lehetővé teszi, hogy a stabilitási feltételek közül kiválassza őket.
2. A stabilitás tanulmányozásához felhasználhatja a rendszer legösszetettebb elemeinek (vezérlő objektum, végrehajtó szerv) kísérletileg kapott frekvenciakarakterisztikáját, ami növeli a kapott eredmények pontosságát.
3. A stabilitást LFC-k segítségével lehet vizsgálni, amelyek felépítése egyszerű.
4. Kényelmes a stabilitási határok meghatározása.

1. Nyitott állapotban a rendszer stabil

Vezessünk be egy segédfunkciót és cseréljük ki p  j  , akkor

Az argumentum elv szerint a D(j) argumentum megváltoztatása ) és D з (j  ) 0-nál<  <  egyenlő Akkor ez a hodográf W 1 (j  ) nem terjedhet ki az eredetre.

Az elemzés és a számítások egyszerűsítése érdekében toljuk el a sugárvektor origóját a koordináták origójáról a pontra (-1, j 0), és a segédfunkció helyett W 1 (j  ) egy nyílt hurkú rendszer AFC-jét használjuk W (j  ).

1. számú kritérium megfogalmazása

Példák.

Vegye figyelembe, hogy az AFC pozitív és negatív átmeneteinek számának különbsége a ponttól balra (-1, j 0) egyenlő nullával.

2. Olyan rendszer, amelynek pólusai a képzeletbeli tengelyen nyitott állapotban vannak

Az AFC rendszer stabilitásának elemzéséhez ezeket egy végtelenül nagy sugarú körrel egészítik ki 0 az óramutató járásával ellentétes irányban a pozitív valós féltengellyel a nulla pólusoknál, és tisztán képzeletbeli gyökök esetén - az óramutató járásával megegyező irányban félkörrel az AFC szakadási pontjában.

2. számú kritérium megfogalmazása

1. Szakaszos nyitott áramkörű rendszer

Egy általánosabb eset - egy nyílt hurkú rendszer átviteli függvényének nevezője a jobb félsíkban fekvő gyökereket tartalmazza. Az instabilitás megjelenését egy nyílt hurkú rendszerben két ok okozza:

1. Az instabil linkek jelenlétének következménye;
2. A pozitív vagy negatív visszajelzéssel érintett kapcsolatok stabilitásának elvesztésének következménye.

x Bár elméletileg az egész rendszer zárt állapotban stabil lehet a helyi visszacsatoló áramkör instabilitása esetén, a gyakorlatban egy ilyen eset nem kívánatos, és el kell kerülni, ha csak stabil helyi visszacsatolást próbálunk alkalmazni. Ezt a nemkívánatos tulajdonságok jelenléte magyarázza, különösen a feltételes stabilitás megjelenése, amely a rendszerben általában jelenlévő nemlinearitások miatt bizonyos üzemmódokban a stabilitás elvesztéséhez és önrezgések megjelenéséhez vezethet. Ezért a rendszer kiszámításakor általában olyan helyi visszacsatolásokat választanak ki, amelyek stabilak lennének, amikor a fő visszacsatolás nyitva van..

Legyen a karakterisztikus polinom D(o ) nyílt hurkú rendszer rendelkezik m gyökerei pozitív valós résszel.

Akkor

Csere segítő funkció p  j  a stabil zárt rendszerek argumentuma elve szerint a következő argumentumváltozással kell rendelkeznie: at

3. számú kritérium megfogalmazása

A Ya.Z. Tsypkina

Nyquist-kritérium az LFC-hez

Megjegyzés: az asztatikus rendszerek LFC fáziskarakterisztikáját egy monoton szakasz egészíti ki + /2  0-nál.

Abszolút fenntarthatóOlyan rendszert hívnak, amely stabil marad a nyitott áramköri erősítés bármilyen csökkenésekor, ellenkező esetben a rendszer feltételesen stabil.

A paramétereik megváltoztatásával stabillá tehető rendszereket hívjukszerkezetileg stabil, egyébként szerkezetileg instabil.

Stabilitási határok

A normál működéshez minden ACS-t el kell távolítani a stabilitási határtól, és elegendő stabilitási tartalékkal kell rendelkeznie. Ennek szükségességét a következő okok indokolják:

1. Az ACS-elemek egyenletei általában idealizáltak a másodlagos tényezők összeállításánál;
2. Az egyenletek linearizálása során a közelítési hibák tovább nőnek;
3. Az elemek paramétereit némi hibával határozzuk meg;
4. Az azonos típusú elemek paraméterei technológiai eltéréseket mutatnak;
5. Működés közben az elemek paraméterei az öregedés következtében megváltoznak.

A mérnöki számítások gyakorlatában a legelterjedtebb a stabilitási ráhagyás NYQVIST kritérium alapján történő meghatározása, amely egy nyílt hurkú rendszer AFC-jének a kritikus ponttól való távolsága alapján koordinátákkal (-1, j 0), amelyet két mutató alapján értékelnek: fázisstabilitási ráhagyás és stabilitási határ modulusban (amplitúdóban) H.

Annak érdekében, hogy az ATS stabilitási ráhagyása legalább legyen és H , a megszakadt áramkör AFC-je, ha a stabilitási kritérium teljesül, nem léphet be a gyűrűnek az ábrán árnyékolt részébe. 1, hol H összefüggés határozza meg

Ha a stabilitást a feltételesen stabil rendszerek LFC-je határozza meg, akkor legalább a stabilitási határok biztosításához és h szükséges ahhoz, hogy:

a) h  L  - h esetén a fázis-frekvencia karakterisztika kielégítette az egyenlőtlenségeketθ > -180  +  vagy θ< -180  -  , azaz ábra árnyékolt 1. területére nem jutott be. 2;

b) -180  +   θ  -180  -  az amplitúdó-frekvencia karakterisztika kielégítette az egyenlőtlenségeket L< - h или L >h , azaz nem jutott be a 2" és 2" árnyékolt területekre a 2. ábrán.

Egy abszolút stabil rendszerhez stabilitási határok és h értéket az ábra szerint határozzuk meg. 3:

1. Fázis margó

1. Modulomargó h =- L (ω -π), ahol ω -π frekvencia, amelyen θ=-180˚ .

A stabilitási határértékek az ACS osztályától és a szabályozás minőségére vonatkozó követelményektől függenek. Körülbelül annak kellene lennie =30  60  és h =6  20dB.

A minimálisan megengedett stabilitási határ amplitúdójában nem lehet kevesebb 6 dB-nél (azaz a nyílt hurkú rendszer átviteli együtthatója a kritikus érték fele), fázisban pedig legalább 25 30  .

A rendszer stabilitása tiszta késleltetési kapcsolattal

Ha egy nyílt hurkú rendszer AFC-je áthalad a ponton (-1, j 0), akkor a rendszer a stabilitás határán van.

Egy tiszta késleltetésű rendszer akkor tehető stabillá, ha az áramkörbe 1-nél kisebb átviteli együtthatójú tehetetlenségi láncot is beépítenek.

Szerkezetileg stabil és szerkezetileg instabil rendszerek

A rendszer minőségének (stabilitás szempontjából) megváltoztatásának egyik módja a nyílt hurkú rendszer átviteli együtthatójának megváltoztatása.

Amikor k L ( ) emelkedik vagy csökken. Ha k növekedés, L ( ) emelkedik és  átl növekedni fog, de a rendszer instabil marad. Ha k csökken, akkor a rendszer stabillá tehető. Ez a rendszer javításának egyik módja.

A rendszerparaméterek megváltoztatásával stabillá tehető rendszereket STRUKTURÁLISAN FENNTARTHATÓNAK nevezzük.

Ezeknél a rendszereknél kritikus nyílt hurkú átviteli arány van. K crit. ez az átviteli együttható, amikor a rendszer a stabilitás határán van.

Léteznek STRUKTURÁLISAN INSTABIL rendszerek - ezek olyan rendszerek, amelyeket a rendszer paramétereinek megváltoztatásával nem lehet stabilizálni, de a stabilitás érdekében a rendszer szerkezetét meg kell változtatni.

Példa.

Nézzünk három esetet:

1. Hadd

Akkor

Ellenőrizzük a rendszer stabilitását.

Δ = a 3 Δ 2 >0.

K rs.cr meghatározásához. egyenlővé tegyük a nullát 2 .

Akkor

Mikor mikor

A vizsgált rendszer STRUKTURÁLISAN STABIL, mivel a linkek paramétereinek változtatásával stabilizálható.

1. Legyenek ugyanazok, mint az első esetben.

Most már nincs statikus hiba a vezérlőcsatornán.

Hurwitz stabilitási feltételek:

Legyen  2 =0, akkor ha a rendszer instabil.

Ez az elsőrendű asztatizmussal rendelkező rendszer STRUKTURÁLISAN STABIL.

1. Hadd

A rendszer mindig instabil. Ez a rendszer STRUKTURÁLISAN INSTABIL.

Önjáró fegyver stabilitása

Az átviteli függvény nullai és pólusai

Az átviteli függvény számlálójában lévő polinom gyökeit nevezzük nullák, és a polinom gyökei a nevezőben: pólusokátviteli funkció. Lengyelek egyben a karakterisztikus egyenlet gyökerei, vagy jellemző számok.

Ha az átviteli függvény számlálójának és nevezőjének gyöke a bal félsíkban van (míg a számláló és nevező gyöke a felső félsíkban), akkor a kapcsolat ún. minimális fázis.

A gyökerek bal félsíkjának megfelelősége R a gyökerek felső félsíkja (2.2.1. ábra) azzal magyarázható, hogy ill. , azaz vektort az óramutató járásával megegyező szöggel elforgatva kapunk egy vektorból. Ennek eredményeként a bal félsík összes vektora a felső félsík vektoraihoz érkezik.

Nem minimális fázis és instabil kapcsolatok

A fentebb tárgyalt pozíciós és differenciáló típusok hivatkozásai stabil linkekre, vagy önszintező linkekre vonatkoznak.

Alatt önszintező egy hivatkozás azon képességére utal, hogy a bemeneti érték korlátozott változásával vagy zavaró hatással spontán módon új állandósult állapothoz jut. Az önigazítás kifejezést általában a szabályozás alá eső hivatkozásokra használják.

Vannak olyan hivatkozások, amelyeknél a bemeneti érték korlátozott változása nem eredményezi azt, hogy a kapcsolat új állandósult állapotba kerüljön, és a kimeneti érték idővel korlátlanul nő. Ilyenek például az integráló típusú hivatkozások.

Vannak linkek, amelyeken ez a folyamat még hangsúlyosabb. Ez azzal magyarázható, hogy a karakterisztikus egyenletben pozitív valós vagy pozitív valós résszel rendelkező pozitív valós gyökök vannak (az átviteli függvény nevezője nulla), aminek eredményeként a kapcsolat a következőbe kerül besorolásra. instabil linkek.

Például a differenciálegyenlet esetében , megvan az átviteli függvény és egy karakterisztikus egyenlet pozitív valós gyökével. Ennek a kapcsolatnak ugyanaz az amplitúdó-frekvencia karakterisztikája, mint az átviteli függvényt tartalmazó tehetetlenségi kapcsolatnak. De ezeknek a kapcsolatoknak a fázis-frekvenciás jellemzői ugyanazok. A rendelkezésünkre álló inerciális kapcsolathoz . Egy átviteli funkcióval rendelkező linkhez rendelkezünk

azok. nagyobb abszolút érték.

Ebben a tekintetben az instabil linkek tartoznak a csoporthoz nem minimális fázisú kapcsolatok.

A nem minimumfázisú kapcsolatok közé tartoznak azok a stabil kapcsolatok is, amelyeknek valós pozitív gyökük van, vagy összetett gyökök pozitív valós résszel az átviteli függvény számlálójában (amely a differenciálegyenlet jobb oldalának felel meg).

Például egy hivatkozás átviteli funkcióval a nem minimális fáziskapcsolatok csoportjába tartozik. A frekvenciaátviteli függvény modulja egybeesik az átviteli funkcióval rendelkező kapcsolat frekvenciaátviteli funkciójának moduljával . De az első kapcsolat fáziseltolása abszolút értékben nagyobb:

A minimális fázisú összeköttetések fáziseltolása kisebb, mint az azonos amplitúdójú frekvencia-jellemzőkkel rendelkező megfelelő összeköttetésekkel.

Azt mondják, hogy a rendszer stabil vagy önbeállással rendelkezik, ha a külső zavar megszüntetése után visszatér eredeti állapotába.

Mivel egy rendszer mozgását szabad állapotban homogén differenciálegyenlet írja le, a stabil rendszer matematikai definíciója a következőképpen fogalmazható meg:

Egy rendszert aszimptotikusan stabilnak nevezünk, ha a feltétel teljesül (2.9.1)

Az általános megoldás (1.2.10.) elemzéséből a stabilitás szükséges és elégséges feltétele következik:

A rendszer stabilitásához szükséges és elegendő, hogy a karakterisztikus egyenlet minden gyökének szigorúan negatív valós része legyen, pl. ismétlés én , én = 1…n. (2.9.2)

Az érthetőség kedvéért a karakterisztikus egyenlet gyökereit a 2.9.1a. ábrán általában a komplex síkon ábrázoljuk. Amikor azt teszi, ami szükséges és elégséges

8.12. ábra. Gyökérsík

jellegzetes

egyenletek A(p) = 0

OU - stabilitási régió

A harmadik feltétel (2.9.2.) az, hogy minden gyökér a képzeletbeli tengely bal oldalán legyen, azaz. a fenntarthatóság terén.

Ezért a (2.9.2) feltétel a következőképpen fogalmazható meg.

A stabilitás érdekében szükséges és elegendő, hogy a karakterisztikus egyenlet minden gyöke a bal félsíkban legyen.

A stabilitás szigorú általános definícióját, a nemlineáris rendszerek stabilitásának tanulmányozásának módszereit és a linearizált rendszer stabilitására vonatkozó következtetés kiterjesztésének lehetőségét az eredeti nemlineáris rendszerre adta az orosz tudós, A. M. Lyapunov.

A gyakorlatban a stabilitást gyakran közvetetten határozzák meg, úgynevezett stabilitási kritériumok segítségével anélkül, hogy közvetlenül megtalálnák a karakterisztikus egyenlet gyökereit. Ide tartoznak az algebrai kritériumok: a Stodola-feltétel, a Hurwitz- és Mihajlov-kritérium, valamint a Nyquist-frekvenciás kritérium. Ebben az esetben a Nyquist-kritérium lehetővé teszi egy zárt hurkú rendszer stabilitásának meghatározását az AFC-vel vagy egy nyílt hurkú rendszer logaritmikus jellemzőivel.

Stodola állapot

A feltételt Stodola szlovák matematikus szerezte meg a 19. század végén. Módszertani szempontból érdekes a rendszerstabilitás feltételeinek megértéséhez.

Írjuk fel a rendszer karakterisztikus egyenletét a formába

D(p) = a 0 p n +a 1 p n- 1 +…a n = 0. (2.9.3)

Stodol szerint a stabilitáshoz szükséges, de nem elégséges az a 0 > 0 az összes többi együttható szigorúan pozitív volt, pl.

a 1 > 0 ,..., a n > 0.

Szükségességígy alakítható ki:

Ha a rendszer stabil, akkor a karakterisztikus egyenlet minden gyöke rendelkezik , azaz. baloldaliak.

A szükségesség bizonyítása elemi. Bezout tétele szerint a karakterisztikus polinom így ábrázolható

Legyen , azaz valós szám, és – összetett konjugált gyökerek. Akkor

Ez azt mutatja, hogy egy valós együtthatós polinom esetén a komplex gyökök páronként konjugáltak. Sőt, ha , akkor van egy pozitív együtthatós polinom szorzata, amely csak pozitív együtthatójú polinomot ad.

Kudarc Stodola feltétele, hogy a feltétel nem garantálja, hogy minden . Ezt egy konkrét példával ellenőrizhetjük, egy fokszámú polinom figyelembevételével.

Vegye figyelembe, hogy ebben az esetben a Stodola feltétel szükséges és elégséges is. Ebből következik. Ha , akkor és így .

Ugyanis a másodfokú egyenlet gyökeinek képletének elemzéséből a feltétel elégségessége is következik.

Stodola állapotából két fontos következmény következik.

1. Ha a feltétel teljesül és a rendszer instabil, akkor az átmenet folyamata oszcilláló jellegű. Ez abból a tényből következik, hogy egy pozitív együtthatójú egyenletnek nem lehet valódi pozitív gyökere. Definíció szerint a gyök olyan szám, amely a karakterisztikus polinomot eltünteti. Egyetlen pozitív szám sem tűnhet el egy pozitív együtthatójú polinomot, azaz nem lehet gyöke.

2. A karakterisztikus polinom együtthatóinak pozitivitása (illetve a Stodola feltétel teljesülése) negatív visszacsatolás esetén biztosított, i.e. zárt hurok mentén történő páratlan számú jelinverzió esetén. Ebben az esetben a karakterisztikus polinom. Ellenkező esetben, és hasonlók behozatala után néhány együttható negatívnak bizonyulhat.

Vegye figyelembe, hogy a negatív visszacsatolás nem zárja ki a Stodola-feltétel nem teljesülésének lehetőségét. Például ha , a , akkor egyetlen negatív visszacsatolás esetén . Ebben a polinomban az at együttható nullával egyenlő. Nincsenek negatív együtthatók, de ennek ellenére a feltétel nem teljesül, mivel az egyenlőtlenségek szigorú teljesítését igényli.

Ezt a következő példa is megerősíti.

Példa 2.9.1. Alkalmazza a Stodola-feltételt az ábra szerinti áramkörre. 2.9.2.

Nyílt hurkú egység negatív visszacsatolású rendszer átviteli függvénye egyenlő és egy zárt hurkú rendszer karakterisztikus egyenlete a számláló és a nevező összege, azaz.

D(p) = p 2 +k 1 k 2 = 0.

Mivel nincs tagja a R első fokon ( a 1 = 0), akkor a Stodola-feltétel nem teljesül, és a rendszer instabil. Ez a rendszer szerkezetileg instabil, mivel nincsenek paraméterértékek k 1 és k 2 nem lehet fenntartható.

Ahhoz, hogy a rendszer stabil legyen, be kell vezetni egy további kapcsolatot vagy javító hivatkozást, pl. megváltoztatni a rendszer szerkezetét. Mutassuk meg ezt példákkal. ábrán. 2.9.3. egy közvetlen láncszemet az átviteli függvényekkel és átviteli függvényekkel sorba kapcsolt láncszemek képviselnek. Az első bevezetéssel párhuzamosan van egy további kapcsolat is.

P
A nyílt hurkú rendszer átviteli függvénye egység negatív kapcsolaton és a zárt hurkú rendszer karakterisztikus egyenlete rendre egyenlő

,

Most a Stodola feltétel bármelyikre teljesül . Mivel egy másodfokú egyenlet esetén ez nem csak szükséges, hanem elégséges is, a rendszer minden pozitív erősítési tényezőre stabil.

A 2.9.4. ábrán egy szekvenciális kényszerítő kapcsolat van bevezetve az áramkörbe. A nyitott áramkörű egy negatív bekötési rendszer átviteli függvénye ebben az esetben egyenlő a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete pedig egyenlő

Az előzőhöz hasonlóan a rendszer stabil minden pozitív .

Rouss-Hurwitz stabilitási kritérium

Rouss (Anglia) és Hurwitz (Svájc) matematikusok megközelítőleg egy időben dolgozták ki ezt a kritériumot. A különbség a számítási algoritmusban volt. A kritériummal Hurwitz megfogalmazásában fogunk megismerkedni.

Hurwitz szerint a stabilitáshoz szükséges és elégséges, hogy mikor a 0 > 0 Hurwitz-determináns  =  nés annak összes jelentősebb kiskorúja  1 ,  2 ,...,  n -1 szigorúan pozitívak voltak, i.e.

(2.9.4)

A Hurwitz-determináns szerkezete könnyen megjegyezhető, mivel az együtthatók a főátló mentén helyezkednek el. A 1 ,… ,A n, a sorok eggyel elválasztott együtthatókat tartalmaznak, ha kimerültek, akkor az üres helyeket nullákkal töltjük ki.

2.9.2. példa. A Hurwitz-stabilitás vizsgálatához egy egység negatív visszacsatolású rendszert, amelynek közvetlen láncában három tehetetlenségi lánc szerepel, és ezért a nyílt hurkú rendszer átviteli függvénye a (2.9.5) alakot kapja.

Írjuk fel egy zárt rendszer karakterisztikus egyenletét a számláló és a nevező összegeként (2.9.5):

Ennélfogva,

A Hurwitz-determinánsnak és kiskorúinak a formája van

figyelembe véve a a 0 > 0, a Hurwitz-determináns és a mollok szigorú pozitivitása (2.9.6) magában foglalja a Stodola-feltételt és ezen felül a feltételt a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0, ami az együtthatók értékeinek behelyettesítése után ad

(T 1 T 2 + T 1 T 3 +T 2 T 3 )(T 1 +T 2 +T 3 ) > T 1 T 2 T 3 (1+ k) . (2.9.7)

Ebből látható, hogy a növekvő k a rendszer stabilból instabillá változhat, mivel a (2.9.7) egyenlőtlenség már nem teljesül.

A rendszer hibás átviteli függvénye egyenlő

Az eredeti végső értékére vonatkozó tétel szerint az egylépéses jel feldolgozásakor az állandósult állapot hibája egyenlő lesz 1/(1+ k). Következésképpen ellentmondás tárul fel a stabilitás és a pontosság között. A hiba csökkentése érdekében növelni kell k, de ez a stabilitás elvesztéséhez vezet.

Az érvelési elv és Mihajlov stabilitási kritérium

A Mihajlov-kritérium az úgynevezett érvelési elven alapul.

Tekintsük egy zárt hurkú rendszer karakterisztikus polinomját, amely Bezout tétele szerint alakban ábrázolható

D(p) = a 0 p n +a 1 p n- 1 +…+ a n =a 0 (p-p 1 )…(p–p n ).

Csináljunk egy cserét p = j

D(j ) = a 0 (j ) n +a 1 (j ) n- 1 +…+ a n =a 0 (j - p 1 )…(j - p n ) = X( )+jY( ).

Egy adott értékre  van egy pontja a paraméteres egyenletekkel megadott komplex síkon

E
ha változás  --től -ig terjedő tartományban, akkor a Mihajlov-görbe, azaz a hodográf lesz megrajzolva. Tanulmányozzuk a vektor forgását D(j ) amikor megváltozik  --től -ig, azaz megtaláljuk a vektor argumentum növekményét (az argumentum egyenlő a vektorok szorzatának összegével): .

Nál nél  = -  különbségvektor, melynek eleje a pontban van R i, és a képzeletbeli tengelyen lévő vége függőlegesen lefelé irányul. Ahogy nősz  a vektor vége a képzeletbeli tengely mentén csúszik, és mikor  =  a vektor függőlegesen felfelé irányul. Ha a gyökér megmarad (2.9.19a ábra), akkor  arg = + , és ha a gyökér helyes, akkor  arg = - .

Ha a karakterisztikus egyenlet rendelkezik m jobb gyökerek (ill n - m balra), akkor .

Ez az érvelés elve. A valós rész kiválasztásakor X( ) és képzeletbeli Y( ) tulajdonítottunk X( ) minden olyan kifejezést tartalmaz j egyenletes mértékben, és ahhoz Y( ) - páratlan mértékben. Ezért a Mihajlov-görbe szimmetrikus a valós tengelyre ( X( ) - még, Y( ) – páratlan függvény). Ennek eredményeként, ha megváltozik  0-tól +-ig, akkor az argumentumnövekmény fele akkora lesz. Ezzel kapcsolatban végre érvelés elve a következőképpen van megfogalmazva . (2.9.29)

Ha a rendszer stabil, pl. m= 0, akkor megkapjuk a Mihajlov-stabilitási kritériumot.

Mihajlov szerint a stabilitáshoz az szükséges és elegendő

, (2.9.30)

vagyis a Mihajlov-görbének egymás után át kell haladnia n

Nyilvánvalóan a Mihajlov-kritérium alkalmazásához nincs szükség a görbe pontos és részletes felépítésére. Fontos megállapítani, hogy a koordináták origója körül hogyan halad, és hogy az áthaladás sorrendje sérül-e n negyed az óramutató járásával ellentétes irányba.

Példa 2.9.6. Alkalmazza a Mikhailov-kritériumot a 2.9.20. ábrán látható rendszer stabilitásának ellenőrzésére.

Zárt hurkú rendszer karakterisztikus polinomja at k 1 k 2 > 0 stabil rendszernek felel meg, tehát a Stodola feltétel teljesül, és for n = 1 elég. Közvetlenül megtalálhatja a gyökeret R 1 = - k 1 k 2 és győződjön meg arról, hogy a szükséges és elegendő stabilitási feltétel teljesül. Ezért a Mihajlov-kritérium alkalmazása szemléletes. hinni p= j , kapunk

D(j ) = x( )+ jY( ),

Ahol X( ) = ; Y( ) =  . (2.9.31)

Paraméteres egyenletek (2.9.31) felhasználásával Mihajlov hodográfját a 2.9.21.  0-tól -ig vektor D(j ) az óramutató járásával ellentétes irányban forog a +-ig  /2, azaz a rendszer stabil.

Nyquist stabilitási kritérium

NAK NEK Mint már említettük, a Nyquist-kritérium különleges helyet foglal el a stabilitási kritériumok között. Ez egy olyan frekvenciakritérium, amely lehetővé teszi egy zárt hurkú rendszer stabilitásának meghatározását a nyílt hurkú rendszer frekvenciakarakterisztikája alapján. Ebben az esetben azt feltételezzük, hogy a rendszer az egyetlen negatív visszacsatoló áramkörben nyitott (2.9.22. ábra).

A Nyquist-kritérium egyik előnye, hogy egy nyílt hurkú rendszer frekvenciakarakterisztikája kísérletileg meghatározható.

A kritérium levezetése az érvelés elvének alkalmazásán alapul. A nyílt hurkú rendszer átviteli függvénye (a 2.9.22. ábra egyetlen negatív visszacsatoló áramkörén keresztül) egyenlő

Mérlegeljük. (2.9.32)

Valós, korlátozott sávszélességű rendszer esetén a nyílt hurkú átviteli függvény nevezőjének mértéke P nagyobb, mint a számláló hatványa, azaz. n> . Ezért a nyílt hurkú rendszer és a zárt hurkú rendszer karakterisztikus polinomjainak foka azonos és egyenlő n. A nyílt hurkú rendszer AFC-jéről az AFC-re való átállás a (2.9.32) szerint a reálrész 1-gyel történő növekedését jelenti, azaz. a koordináták origójának áthelyezése a (-1, 0) pontba, ahogy az a 2.9.23. ábrán látható.

Tegyük fel most, hogy a zárt hurkú rendszer stabil, és a nyílt hurkú rendszer karakterisztikus egyenlete A(p) = 0 rendelkezik m megfelelő gyökerek. Ekkor a (2.9.29) érvelési elvnek megfelelően egy szükséges és elégséges feltételt kapunk egy zárt hurkú rendszer stabilitásához Nyquist szerint.

Azok. zárt hurkú rendszervektor stabilitására W 1 (j ) meg kell tenni m/2 teljes fordulat az óramutató járásával ellentétes irányba, ami egyenértékű a vektor elforgatásával W pa z (j ) a kritikus ponthoz képest (-1,0).

A gyakorlatban általában a nyílt hurkú rendszer stabil, pl. m= 0. Ebben az esetben az argumentum növekménye nulla, azaz. A nyílt hurkú rendszer AFC-jének nem szabad lefednie a kritikus pontot (-1.0).

Nyquist-kritérium LAC és LFC esetében

A gyakorlatban gyakrabban használják a nyílt hurkú rendszer logaritmikus jellemzőit. Ezért célszerű ezek alapján megfogalmazni a Nyquist-kritériumot egy zárt hurkú rendszer stabilitásának meghatározására. Az AFC fordulatszáma a kritikus ponthoz viszonyítva (-1,0), és hogy lefedett-e vagy sem

függ a valós tengely (-,-1) intervallumának pozitív és negatív metszéspontjaitól, és ennek megfelelően a -180°-os egyenes metszéspontjaitól a tartomány fázisjellemzői által L( )  0 . A 2.9.24. ábra mutatja az AFC-t és a valós tengely szakaszának (-,-1) metszéspontjait.

Tisztességes szabály

ahol a pozitív és negatív metszéspontok száma.

A 2.9.24c ábrán látható AFC alapján a 2.9.25. ábrán látható LAC és LFC összeállításra kerül, és a pozitív és negatív metszéspontok meg vannak jelölve az LFC-n. A (-,-1) szegmensen a modul egynél nagyobb, ami megfelel L( ) > 0. Ezért a Nyquist-kritérium:

D A zárt hurkú rendszer stabilitásához egy nyílt hurkú rendszer LFC-je abban a régióban, ahol L( ) > 0, több pozitív metszéspontja kell, hogy legyen a -180°-os egyenesnek, mint negatívnak.

Ha a nyílt hurkú rendszer stabil, akkor a -180°-os vonal pozitív és negatív metszéspontjainak száma a fázisjellemzővel a régióban L( ) > A zárt hurkú rendszer stabilitásához a 0 azonos legyen, vagy ne legyenek kereszteződések.

Nyquist-kritérium egy asztatikus rendszerhez

Különösen fontos figyelembe venni az asztatikus rendrendszer esetét r nyílt hurkú rendszerátviteli függvénnyel egyenlő

.

Ebben az esetben 0-nál, azaz a nyílt hurkú rendszer amplitúdó-fázis karakterisztikája (APC) a végtelenbe megy. Korábban AFH-t építettünk váltáskor  --től -ig, és ez egy folytonos görbe volt, zárva a ponton  =  0. Most akkor is zár  = 0, de a végtelenben és nem világos, hogy a valós tengely melyik oldalán (a végtelenben a bal vagy a jobb oldalon?).

A 2.9.19c ábra szemlélteti, hogy ebben az esetben bizonytalanság van a különbségvektor argumentumának növekményének kiszámításában. Most mindig a képzeletbeli tengely mentén helyezkedik el (egybeesik a j ). Csak a nullát átlépve változik meg az irány (ebben az esetben a vektort az óramutató járásával ellentétes irányban forgatjuk el  vagy az óramutató járásával megegyező irányban -?), a határozottság érdekében konvencionálisan feltételezzük, hogy a gyök meg van hagyva, és az origó kerekítése egy végtelenül kicsi sugarú ív mentén történik az óramutató járásával ellentétes irányban (elforgatás +  ). Ennek megfelelően a közelben  = 0 lesz ábrázolva az alakban

,

Ahol  = +  amikor megváltozik  – 0-tól + 0-ig. Az utolsó kifejezés azt mutatja, hogy a bizonytalanság ilyen feltárásával az AFC változással fordul  – 0 és + 0 között szögenként – az óramutató járásával megegyező irányba. A megfelelően felépített AFC-nek kell lennie  = 0 kiegészül egy végtelen sugarú ívvel, amely szöget zár be, azaz az óramutató járásával ellentétes irányban a pozitív valós féltengelyhez képest.

Stabilitási határok modulus és fázis szerint

A stabilitás garantálása érdekében a rendszerparaméterek változása esetén a stabilitási ráhagyást modulban és fázisban a következők szerint határozzák meg.

Modulo stabilitási ráhagyás megmutatja, hogy hányszor vagy hány decibellel szabad növelni vagy csökkenteni az erősítést, hogy a rendszer stabil maradjon (a stabilitási határon van). Ez min( L 3 , L 4) a 2.9.25. Valóban, ha nem változtatja meg az LFC-t, akkor ha az LFC emelkedik L 4 vágási frekvencia  cp a lényegre fog lépni  4 és a rendszer a stabilitás határán lesz. Ha csökkenti a LAX-ot arra L 3, akkor a vágási frekvencia balra tolódik el a pontig  3 és a rendszer is a stabilitás határán lesz. Ha a LAX-ot még lejjebb eresztjük, akkor a régióban L( ) > A 0 csak az LFC egyenes negatív metszéspontja marad -180°, azaz. a Nyquist-kritérium szerint a rendszer instabillá válik.

Fázisstabilitási ráhagyás megmutatja, hogy mennyivel szabad a fáziseltolást állandó erősítéssel növelni, hogy a rendszer stabil maradjon (a stabilitási határon van). Kiegészítőként van meghatározva  ( cf) -180°-ig.

A gyakorlatról L  12-20 dB,   20-30°.