Egy geometriai sorozat n számának összege. Geometriai progresszió
A geometriai progresszió olyan numerikus sorozat, amelynek első tagja nem nulla, és minden további tag egyenlő az előző taggal, megszorozva ugyanazzal a nullától eltérő számmal. A geometriai progressziót b1,b2,b3, …, bn, …
A geometriai progresszió tulajdonságai
A geometriai hiba bármely tagjának az előző tagjához viszonyított aránya azonos számmal, azaz b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ez közvetlenül következik az aritmetikai sorozat definíciójából. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének. Általában a geometriai progresszió nevezőjét q betűvel jelöljük.
A geometriai progresszió megadásának egyik módja, ha megadjuk annak első tagját b1 és a q geometriai hiba nevezőjét. Például b1=4, q=-2. Ez a két feltétel határozza meg a geometriai progressziót 4, -8, 16, -32, ….
Ha q>0 (q nem egyenlő 1-gyel), akkor a progresszió monoton sorozat. Például a 2, 4,8,16,32, ... sorozat egy monoton növekvő sorozat (b1=2, q=2).
Ha a geometriai hibában a nevező q=1, akkor a geometriai progresszió minden tagja egyenlő lesz egymással. Ilyen esetekben a progressziót állandó sorozatnak mondják.
A progresszió n-edik tagjának képlete
Ahhoz, hogy egy számsorozat (bn) geometriai progresszió legyen, szükséges, hogy minden tagja a másodiktól kezdve a szomszédos tagok geometriai középértéke legyen. Vagyis teljesíteni kell a következő egyenletet - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), bármely n>0 esetén, ahol n az N természetes számok halmazához tartozik.
A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete:
bn=b1*q^(n-1), ahol n az N természetes számok halmazába tartozik.
Nézzünk egy egyszerű példát:
Geometriai haladásban b1=6, q=3, n=8 keresse meg bn-t.
Használjuk a geometriai progresszió n-edik tagjának képletét.
Aritmetikai és geometriai progressziók
Elméleti információk
Elméleti információk
Aritmetikai progresszió |
Geometriai progresszió |
|
Meghatározás |
Aritmetikai progresszió a n egy olyan sorozat, amelyben minden egyes tag a másodiktól kezdve egyenlő az ugyanahhoz a számhoz hozzáadott előző taggal d (d- progresszió különbség) |
Geometriai progresszió b n nem nulla számok sorozata, amelyek minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő az előző taggal, megszorozva ugyanazzal a számmal q (q- progresszió nevezője) |
Ismétlődési képlet |
Bármilyen természetes n |
Bármilyen természetes n |
Formula n-edik tag |
a n = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Jellegzetes tulajdonság |  |
|
| Az első n tag összege |  |
 |
Példák feladatokra megjegyzésekkel
1. Feladat
aritmetikai progresszióban ( a n) egy 1 = -6, a 2
Az n-edik tag képlete szerint:
a 22 = egy 1+ d (22 - 1) = egy 1+ 21 d
Feltétel szerint:
egy 1= -6, akkor a 22= -6 + 21 d.
Meg kell találni a progressziók különbségét:
d = a 2-1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Válasz: a 22 = -48.
2. feladat
Keresse meg a geometriai progresszió ötödik tagját: -3; 6;...
1. módszer (az n-tag képlet használatával)
A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete szerint:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Mert b 1 = -3,
2. módszer (ismétlődő képlet használatával)
Mivel a progresszió nevezője -2 (q = -2), akkor:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Válasz: b 5 = -48.
3. feladat
aritmetikai progresszióban ( a n ) a 74 = 34; egy 76= 156. Keresse meg ennek a progressziónak a hetvenötödik tagját!
Egy aritmetikai progresszió esetén a jellemző tulajdonság alakja 
.
Ebből adódóan:
.
Helyettesítsük be az adatokat a képletbe:
Válasz: 95.
4. feladat
aritmetikai progresszióban ( a n ) a n= 3n - 4. Határozzuk meg az első tizenhét tag összegét!
Egy aritmetikai sorozat első n tagjának összegének meghatározásához két képletet használunk:
.
Melyikük kényelmesebb ebben az esetben?
Feltétel szerint az eredeti progresszió n-edik tagjának képlete ismert ( a n) a n= 3n - 4. Azonnal megtalálhatja és egy 1, És egy 16 anélkül, hogy megtalálná d. Ezért az első képletet fogjuk használni.
Válasz: 368.
5. feladat
aritmetikai progresszióban ( a n) egy 1 = -6; a 2= -8. Keresse meg a progresszió huszonkettedik tagját.
Az n-edik tag képlete szerint:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = egy 1+ 21d.
Feltétel szerint, ha egy 1= -6, akkor a 22= -6 + 21d. Meg kell találni a progressziók különbségét:
d = a 2-1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Válasz: a 22 = -48.
6. feladat
A geometriai progresszió több egymást követő tagja van felírva:
Keresse meg az x-szel jelzett progresszió tagját!
Megoldáskor az n-edik tag képletét használjuk b n = b 1 ∙ q n - 1 geometriai progressziókhoz. A progresszió első tagja. A q progresszió nevezőjének megtalálásához vegyük a progresszió adott tagját, és el kell osztani az előzővel. Példánkban vehetünk és oszthatunk vele. Azt kapjuk, hogy q = 3. A képletbe n helyett 3-at cserélünk be, mivel meg kell találni egy adott geometriai folyamat harmadik tagját.
A talált értékeket behelyettesítve a képletbe, a következőt kapjuk:
.
Válasz: .
7. feladat
Az n-edik tag képletével megadott számtani progressziók közül válassza ki azt, amelyre a feltétel teljesül a 27 > 9:
Mivel az adott feltételnek teljesülnie kell a progresszió 27. tagjára, ezért mind a négy progresszióban n helyett 27-et cserélünk. A negyedik lépésben a következőket kapjuk:
.
Válasz: 4.
8. feladat
Számtani haladásban egy 1= 3, d = -1,5. Adja meg n legnagyobb értékét, amelyre az egyenlőtlenség érvényes a n > -6.
Szóval, üljünk le, és kezdjünk el néhány számot írni. Például:
Bármilyen számot írhatsz, és annyi lehet, amennyit akarsz (esetünkben ilyenek vannak). Akárhány számot írunk, mindig meg tudjuk mondani, hogy melyik az első, melyik a második, és így tovább az utolsóig, vagyis meg tudjuk őket számozni. Ez egy példa egy számsorozatra:
Számsorozat számok halmaza, amelyek mindegyikéhez egyedi szám rendelhető.
Például a sorozatunkhoz:
A hozzárendelt szám csak egy számra vonatkozik a sorozatban. Más szóval, nincs három másodperces szám a sorozatban. A második szám (mint a th szám) mindig ugyanaz.
A számot tartalmazó számot a sorozat n-edik tagjának nevezzük.
Általában a teljes sorozatot valamilyen betűvel hívjuk (például), és ennek a sorozatnak minden tagja ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával: .
A mi esetünkben:
A progresszió leggyakoribb típusai az aritmetikai és a geometriai. Ebben a témában a második típusról fogunk beszélni - geometriai progresszió.
Miért van szükség a geometriai progresszióra és annak története?
Már az ókorban is a Pisai Leonardo (ismertebb nevén Fibonacci) olasz matematikus szerzetes foglalkozott a kereskedelem gyakorlati szükségleteivel. A szerzetes azzal a feladattal állt szemben, hogy megállapítsa, mi a legkisebb súlyszám, amellyel egy termék lemérhető? Fibonacci műveiben bebizonyítja, hogy egy ilyen súlyrendszer optimális: Ez az egyik első olyan helyzet, amelyben az embereknek olyan geometriai haladással kellett megküzdeniük, amelyről valószínűleg már hallottál, és legalább általánosan értesz hozzá. Miután teljesen megértette a témát, gondolja át, miért optimális egy ilyen rendszer?
Jelenleg az életgyakorlatban a geometriai progresszió banki pénzbefektetéskor nyilvánul meg, amikor a számlán az előző időszakra felhalmozott összegre halmozódik fel a kamat. Vagyis ha egy takarékpénztárban lekötött betétre helyez el pénzt, akkor egy év múlva a betét az eredeti összeggel nő, pl. az új összeg megegyezik a járulék szorzatával. Egy másik évben ez az összeg növekszik, i.e. az ekkor kapott összeget ismét megszorozzák és így tovább. Hasonló helyzetet írnak le az ún kamatos kamat– a százalékot minden alkalommal a számlán lévő összegből veszik, figyelembe véve a korábbi kamatokat. Ezekről a feladatokról egy kicsit később lesz szó.
Sok egyszerűbb eset van, amikor geometriai progressziót alkalmaznak. Például az influenza terjedése: az egyik ember megfertőzte a másikat, ők pedig megfertőztek egy másikat, és így a fertőzés második hulláma egy ember, és ő fertőzött meg egy másikat... és így tovább. .
Egyébként a pénzügyi piramis, ugyanaz az MMM, egy egyszerű és száraz számítás, amely egy geometriai progresszió tulajdonságain alapul. Érdekes? Találjuk ki.
Geometriai progresszió.
Tegyük fel, hogy van egy számsorunk:
Azonnal azt válaszolod, hogy ez egyszerű, és egy ilyen sorozat neve a tagok különbségével van. Mit szólsz ehhez:
Ha kivonja az előző számot a következő számból, látni fogja, hogy minden alkalommal, amikor új különbséget kap (és így tovább), de a sorozat határozottan létezik, és könnyen észrevehető - minden következő szám többszöröse az előzőnek!
Az ilyen típusú számsorokat ún geometriai progresszióés ki van jelölve.
A geometriai progresszió () egy numerikus sorozat, amelynek első tagja nullától eltérő, és minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének.
A megszorítások, hogy az első tag ( ) nem egyenlő, és nem véletlenszerűek. Tegyük fel, hogy nincs ilyen, és az első tag még mindig egyenlő, és q egyenlő, hmm.. legyen, akkor kiderül:
Fogadja el, hogy ez már nem fejlődés.
Amint érti, ugyanazt az eredményt kapjuk, ha nullától eltérő szám van, a. Ezekben az esetekben egyszerűen nem lesz előrehaladás, mivel a teljes számsor vagy csak nulla lesz, vagy egy szám, és az összes többi nulla lesz.
Most beszéljünk részletesebben a geometriai progresszió nevezőjéről, vagyis az o-ról.
Ismételjük meg: - ez a szám hányszor változik minden következő tag? geometriai progresszió.
Szerinted mi lehet? Ez így van, pozitív és negatív, de nem nulla (erről egy kicsit feljebb beszéltünk).
Tegyük fel, hogy a miénk pozitív. Legyen esetünkben a. Mennyi a második tag értéke és? Könnyen válaszolhatsz erre:
Úgy van. Ennek megfelelően, ha, akkor a progresszió minden további tagjának ugyanaz az előjele - ők pozitívak.
Mi van, ha negatív? Például a. Mennyi a második tag értéke és?
Ez egy teljesen más történet
Próbáld meg számolni ennek a haladásnak a feltételeit. mennyit kaptál? Nekem van. Így ha, akkor a geometriai progresszió tagjainak előjelei váltakoznak. Azaz, ha a tagjainál váltakozó előjelű progressziót lát, akkor annak nevezője negatív. Ez a tudás segíthet abban, hogy próbára tegye magát a témával kapcsolatos problémák megoldása során.
Most gyakoroljunk egy kicsit: próbáljuk meg meghatározni, hogy mely számsorozatok geometriai, és melyek aritmetikai sorozatok:
Megvan? Hasonlítsuk össze a válaszainkat:
- Geometriai progresszió – 3, 6.
- Aritmetikai progresszió – 2, 4.
- Ez sem nem aritmetikai, sem nem geometriai sorozat – 1, 5, 7.
Térjünk vissza az utolsó folyamatunkhoz, és próbáljuk megtalálni a tagját, akárcsak az aritmetikainál. Amint azt már sejtette, kétféleképpen lehet megtalálni.
Minden tagot egymás után szorozunk meg.
Tehát a leírt geometriai progresszió edik tagja egyenlő.
Ahogy már sejtette, most maga fog levezetni egy képletet, amely segít megtalálni a geometriai progresszió bármely tagját. Vagy már kifejlesztetted magadnak, leírva, hogyan találhatod meg lépésről lépésre a th tagot? Ha igen, akkor ellenőrizze érvelésének helyességét.
Illusztráljuk ezt azzal a példával, hogy megtaláljuk ennek a progressziónak a tizedik tagját:
Más szavakkal:
Keresse meg saját maga az adott geometriai progresszió tagjának értékét!
Megtörtént? Hasonlítsuk össze a válaszainkat:
Vegye figyelembe, hogy pontosan ugyanazt a számot kapta, mint az előző módszernél, amikor szekvenciálisan megszoroztuk a geometriai progresszió minden korábbi tagjával.
Próbáljuk meg „személyteleníteni” ezt a képletet – fogalmazzuk meg általános formában, és kapjuk meg:
A származtatott képlet minden értékre igaz - pozitív és negatív is. Ellenőrizze ezt saját maga úgy, hogy kiszámítja a geometriai progresszió tagjait a következő feltételekkel: , a.
számoltál? Hasonlítsuk össze az eredményeket:
Egyetértenek azzal, hogy egy progresszió tagját ugyanúgy meg lehet találni, mint egy tagot, azonban fennáll a hibás számítás lehetősége. És ha már megtaláltuk a geometriai progresszió th tagját, akkor mi lehetne egyszerűbb, mint a képlet „csonka” részének használata.
Végtelenül csökkenő geometriai progresszió.
Nemrég beszéltünk arról, hogy lehet nagyobb vagy kisebb, mint nulla, azonban vannak speciális értékek, amelyeknél a geometriai progressziót ún. végtelenül csökkenő.
Szerinted miért adják ezt a nevet?
Először írjunk fel néhány tagokból álló geometriai progressziót.
Akkor mondjuk:
Látjuk, hogy minden következő tag egy tényezővel kisebb, mint az előző, de lesz-e szám? Azonnal nemmel válaszol. Ezért végtelenül csökken - csökken és csökken, de soha nem lesz nulla.
Annak érdekében, hogy világosan megértsük, hogyan néz ki ez vizuálisan, próbáljunk meg rajzolni egy grafikont a fejlődésünkről. Tehát esetünkben a képlet a következő formában jelenik meg:
A grafikonokon megszoktuk, hogy a függőséget ábrázoljuk:
A kifejezés lényege nem változott: az első bejegyzésben megmutattuk egy geometriai sorozat tagjának értékének a sorszámától való függését, a második bejegyzésben pedig egyszerűen egy geometriai sorozat tagjának értékét vettük , és a sorszámot nem úgy jelölte meg, hanem mint. Már csak egy grafikont kell felépíteni.
Lássuk, mit kaptál. Íme a grafikon, amit kitaláltam:
Látod? A függvény csökken, nullára hajlik, de soha nem lépi át, tehát végtelenül csökken. Jelöljük a grafikonon a pontjainkat, és ezzel együtt mit jelent a koordináta és a jelentése:
Próbáljon meg sematikusan ábrázolni egy geometriai progresszió grafikonját, ha az első tagja is egyenlő. Elemezze, mi a különbség az előző grafikonunkhoz képest?
Sikerült? Íme a grafikon, amit kitaláltam:
Most, hogy teljesen megértette a geometriai progresszió témájának alapjait: tudja, mi az, tudja, hogyan találja meg a tagját, és azt is tudja, mi az a végtelenül csökkenő geometriai progresszió, térjünk át fő tulajdonságára.
A geometriai progresszió tulajdonsága.
Emlékszel az aritmetikai sorozat tagjainak tulajdonságára? Igen, igen, hogyan lehet megkeresni egy bizonyos számú progresszió értékét, ha ennek a progressziónak vannak előző és következő értékei. Emlékszel? Ez:
Most pontosan ugyanezzel a kérdéssel állunk szemben a geometriai progresszió feltételeivel kapcsolatban. Egy ilyen képlet levezetéséhez kezdjünk el rajzolni és érvelni. Meglátod, nagyon egyszerű, és ha elfelejted, magad is kiszedheted.
Vegyünk egy másik egyszerű geometriai progressziót, amelyben ismerjük és. Hogyan lehet megtalálni? Az aritmetikai progresszióval könnyű és egyszerű, de mi van itt? Valójában a geometriában sincs semmi bonyolult - csak le kell írni minden nekünk adott értéket a képlet szerint.
Kérdezheti, mit tegyünk most ez ellen? Igen, nagyon egyszerű. Először ábrázoljuk ezeket a képleteket egy képen, és próbáljunk meg velük különféle manipulációkat végezni az érték elérése érdekében.
Elvonatkozzunk a számunkra adott számoktól, és csak a képleten keresztüli kifejezésükre koncentráljunk. Meg kell találnunk a narancssárga színnel kiemelt értéket a mellette lévő kifejezések ismeretében. Próbáljunk meg velük különféle akciókat végrehajtani, aminek eredményeként kaphatunk.
Kiegészítés.
Próbáljunk meg két kifejezést hozzáadni, és a következőt kapjuk:
Ebből a kifejezésből, mint láthatja, semmilyen módon nem tudjuk kifejezni, ezért megpróbálunk egy másik lehetőséget - a kivonást.
Kivonás.
Mint látható, ezt sem tudjuk kifejezni, ezért próbáljuk ezeket a kifejezéseket megszorozni egymással.
Szorzás.
Most alaposan nézzük meg, hogy mi áll rendelkezésünkre, ha megszorozzuk a kapott geometriai progresszió tagjait a keresendővel összehasonlítva:
Képzeld, miről beszélek? Helyesen, hogy megtaláljuk, a kívánt számmal szomszédos geometriai progressziószámok négyzetgyökét kell megszoroznunk egymással:
Tessék. Te magad vezetted le a geometriai progresszió tulajdonságát. Próbálja meg általános formában leírni ezt a képletet. Megtörtént?
Elfelejtette a feltételt? Gondolja át, miért fontos, például próbálja meg kiszámolni. Mi fog történni ebben az esetben? Így van, teljes hülyeség, mert a képlet így néz ki:
Ennek megfelelően ne felejtse el ezt a korlátozást.
Most számoljuk ki, hogy ez mivel egyenlő
Helyes válasz - ! Ha nem felejtette el a második lehetséges értéket a számítás során, akkor remekül megy, és azonnal továbbléphet az edzésre, ha pedig elfelejtette, olvassa el az alábbiakban leírtakat, és figyeljen arra, hogy miért kell mindkét gyökeret leírni a válasz.
Rajzoljuk meg mindkét geometriai progressziónkat – az egyiket értékkel, a másikat pedig egy értékkel, és ellenőrizzük, hogy mindkettőnek van-e létjogosultsága:
Annak ellenőrzéséhez, hogy létezik-e ilyen geometriai progresszió, meg kell nézni, hogy minden adott tagja azonos-e? Számítsa ki a q-t az első és a második esetre!
Látod, miért kell két választ írnunk? Mert a keresett kifejezés előjele attól függ, hogy pozitív vagy negatív! És mivel nem tudjuk, hogy mi az, mindkét választ plusz és mínusz ponttal kell írnunk.
Most, hogy elsajátította a főbb pontokat és levezette a geometriai progresszió tulajdonságának képletét, keresse meg, ismerje meg és
Hasonlítsa össze válaszait a helyes válaszokkal:
Mit gondolsz, mi lenne, ha nem a kívánt szám mellett, hanem attól egyenlő távolságra adnánk meg a geometriai progresszió tagjainak értékeit. Például meg kell találnunk, és adott és. Használhatjuk ebben az esetben az általunk levezetett képletet? Ugyanígy próbálja megerősíteni vagy cáfolni ezt a lehetőséget, és leírja, hogy az egyes értékek miből állnak, ahogyan a képlet eredeti származtatásakor, at.
Mit kaptál?
Most nézze meg újra figyelmesen.
és ennek megfelelően:
Ebből arra következtethetünk, hogy a képlet működik nem csak a szomszéddal a geometriai progresszió kívánt tagjaival, hanem azzal is egyenlő távolságra abból, amit a tagok keresnek.
Így a kezdeti képletünk a következő alakot ölti:
Vagyis ha az első esetben ezt mondtuk, akkor most azt mondjuk, hogy bármely kisebb természetes számmal egyenlő lehet. A lényeg, hogy mindkét megadott számnál ugyanaz legyen.
Gyakorolj konkrét példákkal, csak légy nagyon óvatos!
- , . Megtalálja.
- , . Megtalálja.
- , . Megtalálja.
Határozott? Remélem, rendkívül figyelmes voltál, és észrevettél egy kis fogást.
Hasonlítsuk össze az eredményeket.
Az első két esetben nyugodtan alkalmazzuk a fenti képletet, és a következő értékeket kapjuk:
A harmadik esetben, amikor alaposan megvizsgáljuk a nekünk adott számok sorszámait, megértjük, hogy azok nem egyforma távolságra vannak a keresett számtól: ez az előző szám, de egy helyen el lett távolítva, tehát képlet alkalmazása nem lehetséges.
Hogyan lehet megoldani? Valójában nem olyan nehéz, mint amilyennek látszik! Írjuk fel, hogy miből áll az egyes nekünk adott szám és a keresett szám.
Tehát van és. Lássuk, mit tehetünk velük? -vel osztást javaslok. Kapunk:
Adatainkat behelyettesítjük a képletbe:
A következő lépés, amit megtalálhatunk, az - ehhez a kapott szám kockagyökét kell venni.
Most pedig nézzük meg újra, mi van. Megvan, de meg kell találnunk, és ez viszont egyenlő:
A számításhoz minden szükséges adatot megtaláltunk. Helyettesítsd be a képletbe:
A mi válaszunk: .
Próbáljon meg saját maga megoldani egy másik hasonló problémát:
Adott: ,
Megtalálja:
mennyit kaptál? Nekem van - .
Amint látja, alapvetően szüksége van rá emlékezz csak egy képletre- . Az összes többit bármikor nehézség nélkül visszavonhatja. Ehhez egyszerűen írja fel a legegyszerűbb geometriai progressziót egy papírra, és írja le, hogy az egyes számok mekkora számmal egyenlők a fent leírt képlet szerint.
Egy geometriai progresszió tagjainak összege.
Most nézzük meg azokat a képleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy gyorsan kiszámítsuk egy adott intervallumban a geometriai progresszió tagjainak összegét:
Egy véges geometriai haladás tagösszegének képletének levezetéséhez szorozzuk meg a fenti egyenlet összes részét ezzel. Kapunk:
Nézd meg alaposan: mi a közös az utolsó két képletben? Így van, például a közös tagok, és így tovább, kivéve az első és az utolsó tagot. Próbáljuk meg kivonni az 1-et a 2. egyenletből. Mit kaptál?
Most fejezze ki a geometriai progresszió tagját a képlettel, és helyettesítse az eredményül kapott kifejezést az utolsó képletünkkel:
Csoportosítsa a kifejezést. Meg kell szerezned:
Már csak annyit kell tenni, hogy kifejezzük:
Ennek megfelelően ebben az esetben.
Mi van ha? Milyen képlet működik akkor? Képzeljünk el egy geometriai progressziót itt. Írd őt körül? Azonos számok sorozata helyes, így a képlet így fog kinézni:
Számos legenda kering mind az aritmetikai, mind a geometriai progresszióról. Az egyik Set legendája, a sakk megalkotója.
Sokan tudják, hogy a sakkjátékot Indiában találták fel. Amikor a hindu király találkozott vele, el volt ragadtatva a nő szellemességétől és a lehetséges pozíciók sokféleségétől. Miután megtudta, hogy az egyik alattvalója találta fel, a király úgy döntött, hogy személyesen jutalmazza meg. Magához hívta a feltalálót, és megparancsolta neki, hogy kérjen tőle mindent, amit csak akar, megígérte, hogy a legügyesebb vágyat is teljesíti.
Seta gondolkodási időt kért, és amikor másnap Seta megjelent a király előtt, meglepte a királyt kérésének példátlan szerénységével. Azt kérte, hogy adjon egy szem búzát a sakktábla első mezőjére, egy búzaszemet a másodikra, egy búzaszemet a harmadikra, egy negyedikre stb.
A király dühös volt, és elűzte Sethet, mondván, hogy a szolga kérése méltatlan a király nagylelkűségéhez, de megígérte, hogy a szolga megkapja a gabonáját a tábla minden négyzetére.
És most a kérdés: a geometriai progresszió tagjainak összegének képletével számítsa ki, hány szemcsét kell kapnia Sethnek?
Kezdjük az érvelést. Mivel a feltétel szerint Seth búzaszemet kért a sakktábla első mezőjére, a másodikra, a harmadikra, a negyedikre stb., akkor azt látjuk, hogy a probléma geometriai haladásról szól. Mit jelent ebben az esetben?
Jobb.
A sakktábla összes négyzete. Illetve,. Minden adatunk megvan, csak be kell dugni a képletbe és kiszámolni.
Ahhoz, hogy legalább megközelítőleg elképzeljük egy adott szám „skáláját”, transzformáljuk a fok tulajdonságait:
Persze ha akarod, elővehetsz egy számológépet, és kiszámolhatod, hogy milyen számra kerülsz, ha pedig nem, akkor szavamat kell fogadnod: a kifejezés végső értéke ez lesz.
Azaz:
kvintimillió kvadrillió billió milliárd millió ezer.
Fú) Ha el akarja képzelni ennek a számnak a hatalmasságát, akkor becsülje meg, mekkora istállóra lenne szükség a teljes gabonamennyiség befogadásához.
Ha az istálló m magas és m széles, akkor a hosszának km-re kellene nyúlnia, azaz. kétszer olyan messze van a Földtől a Napig.
Ha a király erős lenne a matematikában, akkor meghívhatta volna magát a tudóst is, hogy számolja meg a szemeket, mert egy millió szem megszámlálásához legalább egy nap fáradhatatlan számolásra van szüksége, és tekintettel arra, hogy meg kell számolni a kvintilliókat, a szemeket. egész életében számolni kellett volna.
Most oldjunk meg egy egyszerű feladatot egy geometriai progresszió tagok összegével.
A Vasya 5A osztály tanulója megbetegedett influenzában, de továbbra is iskolába jár. Vasya minden nap két embert fertőz meg, akik viszont további két embert, és így tovább. Csak emberek vannak az osztályban. Hány nap múlva lesz influenzás az egész osztály?
Tehát a geometriai progresszió első tagja Vasya, azaz egy személy. A geometriai progresszió harmadik tagja az a két ember, akiket megfertőzött érkezése első napján. A továbbhaladási időszakok összege megegyezik az 5A tanulók számával. Ennek megfelelően olyan fejlődésről beszélünk, amelyben:
Helyettesítsük be az adatainkat a geometriai progresszió tagjainak összegének képletébe:
Az egész osztály megbetegszik napokon belül. Nem hisz a képleteknek és a számoknak? Próbáld meg te magad ábrázolni a tanulók „fertőzöttségét”. Megtörtént? Nézd meg, hogy néz ki nekem:
Számolja ki saját maga, hogy hány napba telik, amíg a tanulók megbetegednek az influenzában, ha mindegyik megfertőz egy embert, és csak egy ember volt az osztályban.
Milyen értéket kaptál? Kiderült, hogy egy nap után mindenki rosszul lett.
Mint látható, egy ilyen feladat és a hozzá tartozó rajz egy piramishoz hasonlít, amelyben minden következő új embereket „hoz”. Előbb-utóbb azonban eljön az a pillanat, amikor ez utóbbi nem tud senkit vonzani. Esetünkben, ha azt képzeljük, hogy az osztály elszigetelődött, a származási személy zárja a láncot (). Így, ha egy személy részt vesz egy pénzügyi piramisban, amelyben pénzt adtak, ha két másik résztvevőt hoz, akkor az illető (vagy általában) nem hozna senkit, ennek megfelelően mindent elveszítene, amit ebbe a pénzügyi átverésbe fektetett.
Minden, amit fentebb elmondtunk, csökkenő vagy növekvő geometriai progresszióra vonatkozik, de, mint emlékszel, van egy speciális típusunk - egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió. Hogyan kell kiszámítani a tagok összegét? És miért vannak ennek a fajta progressziónak bizonyos jellemzői? Találjuk ki együtt.
Tehát először nézzük meg újra ezt a végtelenül csökkenő geometriai progresszió rajzát a példánkból:
Most nézzük meg a geometriai progresszió összegének képletét, amely egy kicsit korábban származott:
vagy
Mire törekszünk? Így van, a grafikon azt mutatja, hogy nullára hajlik. Azaz at, majdnem egyenlő lesz, illetve a kifejezés kiszámításakor majdnem megkapjuk. Ebben a tekintetben úgy gondoljuk, hogy egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének kiszámításakor ez a zárójel elhanyagolható, mivel egyenlő lesz.
- a képlet egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összege.
FONTOS! Csak akkor használjuk a képletet egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegére, ha a feltétel kifejezetten kimondja, hogy meg kell találnunk az összeget végtelen tagjainak száma.
Ha egy adott n szám van megadva, akkor az n tag összegének képletét használjuk, még akkor is, ha vagy.
Most pedig gyakoroljunk.
- Határozzuk meg a geometriai progresszió első tagjainak összegét a és -val.
- Határozzuk meg egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegét a és -val.
Remélem nagyon óvatos voltál. Hasonlítsuk össze a válaszainkat:
Most már mindent tud a geometriai progresszióról, és ideje áttérni az elméletről a gyakorlatra. A vizsgán a leggyakoribb geometriai progressziós problémák a kamatos kamat számítási problémák. Ezekről fogunk beszélni.
Problémák a kamatos kamat számításánál.
Valószínűleg hallottál már az úgynevezett kamatos kamatformuláról. Érted, mit jelent? Ha nem, akkor találjuk ki, mert ha megérted magát a folyamatot, azonnal megérted, mi köze a geometriai progressziónak ehhez.
Mindannyian bemegyünk a bankba, és tudjuk, hogy a betétekre különböző feltételek vonatkoznak: ez magában foglalja a futamidőt, a kiegészítő szolgáltatásokat és a kamatot, kétféle számítási módszerrel – egyszerű és összetett.
VAL VEL egyszerű érdeklődés többé-kevésbé minden világos: a kamat egyszer, a betéti futamidő végén halmozódik fel. Vagyis ha azt mondjuk, hogy 100 rubelt letétbe helyezünk egy évre, akkor azt csak az év végén írják jóvá. Ennek megfelelően a letét végére rubelt kapunk.
Kamatos kamat- ez egy lehetőség, amelyben ez megtörténik kamatkapitalizáció, azaz a betét összegéhez való hozzászámításukat és a bevétel későbbi kiszámítását nem a kezdeti, hanem a felhalmozott betét összegéből. A nagybetűs írás nem állandóan, hanem bizonyos gyakorisággal történik. Általában az ilyen időszakok egyenlőek, és a bankok leggyakrabban hónapot, negyedévet vagy évet használnak.
Tegyük fel, hogy évente ugyanazt a rubelt helyezzük el, de a betét havi tőkésítésével. Mit csinálunk?
Te mindent értesz itt? Ha nem, akkor nézzük meg lépésről lépésre.
Rubelt vittünk a bankba. A hónap végére a számlánkon kell lennie egy összegnek, amely a rubeleinkből és kamataiból áll, azaz:
Egyetért?
Kivehetjük a zárójelekből, és a következőt kapjuk:
Egyetértek, ez a képlet már jobban hasonlít ahhoz, amit az elején írtunk. Már csak a százalékok kiszámítása van hátra
A problémafelvetésben az éves díjakról van szó. Mint tudod, nem szorozunk - a százalékokat tizedes törtekre konvertáljuk, azaz:
Jobb? Most megkérdezheti, honnan jött a szám? Nagyon egyszerű!
Ismétlem: a problémafelvetés kb ÉVI felhalmozódó kamat HAVI. Tudniillik a hónapok évében ennek megfelelően a bank az éves kamat egy részét havonta számítja fel ránk:
Rájött? Most próbálja meg leírni, hogyan nézne ki a képletnek ez a része, ha azt mondanám, hogy a kamatot naponta számolják.
Sikerült? Hasonlítsuk össze az eredményeket:
Szép munka! Térjünk vissza a feladatunkhoz: írjuk meg, hogy a második hónapban mennyi kerül jóváírásra a számlánkon, figyelembe véve, hogy a felhalmozott betéti összeg után kamat keletkezik.
Íme, amit kaptam:
Vagy más szóval:
Úgy gondolom, hogy mindebben már észrevett egy mintát, és láttál geometriai haladást. Írd meg, hogy mekkora lesz a tagja, vagyis mennyi pénzt kapunk a hónap végén.
Igen? Ellenőrizzük!
Amint látja, ha egyszerű kamattal egy évre pénzt tesz a bankba, rubelt kap, ha kamatos kamattal, akkor rubelt. A haszon csekély, de ez csak az év folyamán következik be, de hosszabb távon sokkal jövedelmezőbb a kapitalizáció:
Nézzünk egy másik típusú problémát a kamatos kamattal. Azok után, amiket kitalált, elemi lesz számodra. Tehát a feladat:
A Zvezda cég 2000-ben kezdett befektetni az iparágba, dollárban kifejezett tőkével. 2001 óta minden évben az előző évi tőkével megegyező nyereséget ért el. Mekkora profit lesz a Zvezda cégnek 2003 végén, ha a nyereséget nem vonják ki a forgalomból?
A Zvezda társaság tőkéje 2000-ben.
- a Zvezda társaság tőkéje 2001-ben.
- a Zvezda társaság tőkéje 2002-ben.
- a Zvezda társaság tőkéje 2003-ban.
Vagy írjuk röviden:
A mi esetünkben:
2000, 2001, 2002 és 2003.
Illetőleg:
rubel
Kérjük, vegye figyelembe, hogy ebben a feladatban nincs osztás sem szerint, sem szerint, mivel a százalékot ÉVESRE adjuk meg, és ÉVESRE számoljuk. Vagyis a kamatos kamattal kapcsolatos probléma olvasásakor figyeljen arra, hogy hány százalékot adnak meg és milyen időszakban számítják ki, és csak ezután folytassa a számításokat.
Most már mindent tudsz a geometriai progresszióról.
Kiképzés.
- Keresse meg a geometriai progresszió tagját, ha ismert, hogy és
- Adja meg a geometriai progresszió első tagjainak összegét, ha ismert, hogy és
- Az MDM Capital cég 2003-ban kezdett befektetni az iparágba, dollárban kifejezett tőkével. 2004 óta minden évben az előző évi tőkével megegyező nyereséget ért el. Az MSK Cash Flows vállalat 2005-ben kezdett befektetni az iparágba 10 000 dollár értékben, és 2006-ban kezdett el nyereséget termelni. Hány dollárral nagyobb az egyik cég tőkéje a másiknál 2007 végén, ha a nyereséget nem vonják ki a forgalomból?
Válaszok:
- Mivel a problémafelvetés nem mondja ki, hogy a progresszió végtelen, és meg kell találni egy adott számú tagjának összegét, a számítás a következő képlet szerint történik:
MDM Capital Company:2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- 100%-kal, azaz 2-szeresére nő.
Illetőleg:
rubel
MSK Cash Flows cég:2005, 2006, 2007.
- szorzattal növekszik.
Illetőleg:
rubel
rubel
Foglaljuk össze.
1) A geometriai progresszió ( ) olyan numerikus sorozat, amelynek első tagja nullától eltérő, és a másodiktól kezdve minden tag megegyezik az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének.
2) A geometriai progresszió tagjainak egyenlete: .
3) bármilyen értéket vehet fel, kivéve és.
- ha, akkor a progresszió minden további tagjának ugyanaz az előjele - azok pozitívak;
- ha, akkor a progresszió minden további tagja alternatív jelek;
- amikor – a progressziót végtelenül csökkenőnek nevezzük.
4) , at – a geometriai progresszió tulajdonsága (szomszédos tagok)
vagy
, at (egyenlő távolságra lévő kifejezések)
Ha megtaláltad, ne felejtsd el két válasznak kell lennie.
Például,
5) A geometriai progresszió tagjainak összegét a következő képlettel számítjuk ki:
vagy
vagy
FONTOS! Csak akkor használjuk a képletet egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegére, ha a feltétel kifejezetten kimondja, hogy végtelen számú tag összegét kell megtalálnunk.
6) A kamatos kamatfeladatokat a geometriai progresszió tizedik tagjának képletével is számítják, feltéve, hogy a pénzeszközöket nem vonták ki a forgalomból:
GEOMETRIAI PROGRESSZIÓ. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL
Geometriai progresszió( ) egy numerikus sorozat, amelynek első tagja nullától eltérő, és minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanazzal a számmal. Ezt a számot hívják geometriai progresszió nevezője.
A geometriai progresszió nevezője tetszőleges értéket vehet fel, kivéve és.
- Ha, akkor a progresszió minden további tagjának ugyanaz az előjele - pozitívak;
- ha, akkor a progresszió minden további tagja váltakozik az előjelekkel;
- amikor – a progressziót végtelenül csökkenőnek nevezzük.
A geometriai progresszió tagjainak egyenlete - .
Egy geometriai progresszió tagjának összege képlettel számolva:
vagy
Ha a progresszió végtelenül csökken, akkor:
Legyél YouClever diák,
Felkészülés a matematika egységes államvizsgára vagy egységes államvizsgára,
És korlátozás nélkül hozzáférhet a YouClever tankönyvhöz is...
Geometriai progresszió egy olyan számsorozat, amelyben minden tagot (a másodiktól kezdve) az előzőből kapunk úgy, hogy megszorozzuk ugyanazzal a számmal q ≠ 0. A q számot ún. névadó geometriai progresszió. A geometriai progresszió beállításához be kell állítania az első tagot egy 1-gyel és a nevezőt q.
A geometriai progresszió növekszik, ha q > 1, és csökken, ha 0< q < 1.
Példák a geometriai folyamatokra:
1. 2, 4, 8, 16… . Itt az első tag 1, a nevező pedig 2.
81, 27, 9, 3, 1, 1/3… . Itt az első tag 81, a nevező pedig 1/3.
Tehát a progresszió első tagja egyenlő egy 1-gyel, a második egy 1 q, a harmadik egy 1 q*q = a 1 q 2, a negyedik egy 1 q 2 *q = a 1 q 3 ... . És így, A progresszió n-edik tagját a következő képlettel számítjuk ki: a n = a 1 q n-1.
Nyilatkozat: Egy geometriai progresszió n tagjának összegét a képlet számítja ki
Sn = a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...+a 1 q n-1.
Megszorozzuk, így kapjuk:
S n q = a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...a 1 q n.
Most vonjuk ki S n q-t S n-ből.
Példák a geometriai progresszió problémáira.
1. Határozzuk meg a geometriai progresszió első 10 tagjának összegét, ha ismert, hogy a 1 = 3, q = 4!
2. Egy perc alatt a biomassza megduplázódik. Mennyi súlya lesz 5 perc múlva, ha a jelenlegi súlya 3 kg.
Olyan geometriai haladással van dolgunk, amelyben a 1 = 3 és q = 2. A probléma megoldásához meg kell találnunk ennek a haladásnak a hatodik tagját.
SZÁMsorrendek VI
l48. §. Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege
Eddig, amikor összegekről beszéltünk, mindig azt feltételeztük, hogy ezekben az összegekben a tagok száma véges (például 2, 15, 1000 stb.). De bizonyos problémák (különösen a felsőbb matematika) megoldása során végtelen számú tag összegével kell számolni.
S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Mik ezek az összegek? A-priory végtelen számú tag összege a 1 , a 2 , ..., a n , ... az S összeg határának nevezzük n első P számok mikor P -> ∞ :
S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Limit (2) természetesen létezhet, de lehet, hogy nem. Ennek megfelelően azt mondják, hogy az (1) összeg létezik vagy nem létezik.
Hogyan tudhatjuk meg, hogy minden konkrét esetben létezik-e az (1) összeg? A probléma általános megoldása messze túlmutat programunk keretein. Van azonban egy fontos speciális eset, amelyet most figyelembe kell vennünk. Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegzéséről lesz szó.
Hadd a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió. Ez azt jelenti, hogy | q |< 1. Сумма первых P ennek a progressziónak a feltételei egyenlőek
A változók határaira vonatkozó alaptételekből (lásd 136. §) a következőket kapjuk:
De 1 = 1, a qn = 0. Ezért
Tehát egy végtelenül csökkenő geometriai haladás összege egyenlő ennek a haladásnak az első tagjával, osztva eggyel, mínusz ennek a progressziónak a nevezője.
1) Az 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... geometriai haladás összege egyenlő
és a geometriai progresszió összege 12; -6; 3; - 3/2, ... egyenlő
2) Alakítson át egy 0,454545 ... egyszerű periodikus törtet közönségessé.
A probléma megoldásához képzeljük el ezt a törtet végtelen összegként:
Ennek az egyenlőségnek a jobb oldala egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege, amelynek első tagja 45/100, nevezője pedig 1/100. Ezért
A leírt módszerrel az egyszerű periodikus törtek közönséges törtekké alakításának általános szabálya érhető el (lásd II. fejezet, 38. §):
Egy egyszerű periodikus tört közönséges törté konvertálásához a következőképpen kell eljárnia: a számlálóba írja be a tizedes tört periódusát, a nevezőbe pedig - egy kilencből álló számot, ahány számjegy van a periódusban. a tizedes tört.
3) Alakítsa át a 0,58333 .... vegyes periodikus törtet közönséges törtté.
Képzeljük el ezt a törtet végtelen összegként:
Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán minden tag, 3/1000-től kezdve, végtelenül csökkenő geometriai progressziót alkot, amelynek első tagja 3/1000, nevezője pedig 1/10. Ezért
A leírt módszerrel a vegyes periodikus törtek közönséges törtekké való átalakításának általános szabálya érhető el (lásd II. fejezet, 38. §). Szándékosan nem mutatjuk be itt. Nem kell emlékezni erre a nehézkes szabályra. Sokkal hasznosabb tudni, hogy bármely kevert periodikus tört ábrázolható egy végtelenül csökkenő geometriai sorozat és egy bizonyos szám összegeként. És a képlet
egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegéhez természetesen emlékezned kell.
Gyakorlatként azt javasoljuk, hogy az alább közölt 995-1000. számú feladatokon kívül még egyszer forduljon a 301. számú feladat 38. §-ához.
Feladatok
995. Mit nevezünk egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének?
996. Határozza meg a végtelenül csökkenő geometriai progressziók összegét:
997. Milyen értékeken x progresszió
végtelenül csökken? Keresse meg egy ilyen haladás összegét.
998. Egyenlő oldalú háromszögben A új háromszöget írunk fel oldalai felezőpontjainak összekapcsolásával; ebbe a háromszögbe ugyanúgy új háromszöget írunk, és így tovább a végtelenségig.
a) ezen háromszögek kerületeinek összege;
b) területeik összege.
999. Négyzet oldallal A új négyzetet írunk fel oldalai felezőpontjainak összekapcsolásával; ebbe a négyzetbe ugyanúgy négyzetet írnak, és így tovább a végtelenségig. Határozzuk meg ezen négyzetek kerületének összegét és területük összegét!
1000. Állítsunk össze egy végtelenül csökkenő geometriai progressziót úgy, hogy összege 25/4, tagjai négyzetösszege pedig 625/24 legyen.
