Kondisi utama untuk stabilitas sistem kendali otomatis. Pengaruh parameter senjata self-propelled terhadap stabilitasnya

Sistem pelacakan (Gbr. 1.14, a) berada dalam keadaan setimbang ketika kesalahannya bisa stabil atau tidak stabil. Jika, setelah beberapa perubahan gaya penggerak (rotasi poros penggerak pada suatu sudut), sistem, sebagai akibat dari proses transien teredam (Gbr. 2.1, a, b), kembali ke keadaan setimbang, maka ini keadaan setimbang stabil dan sistem disebut stabil. Jika, setelah sedikit perubahan gaya penggerak (penyimpangan sistem dari keadaan setimbang), sistem tidak cenderung ke keadaan setimbang semula, melainkan osilasi yang tidak teredam. besaran terkendali muncul di dalamnya (Gbr. 2.1, c, d) atau perubahannya tidak bergantung pada kenyataan bahwa keadaan kesetimbangan dalam sistem ini tidak stabil dan sistem tersebut disebut tidak stabil.

Representasi visual keadaan keseimbangan stabil dan tidak stabil diberikan dengan mempertimbangkan sistem permukaan bola. Sebuah bola yang ditempatkan dalam depresi (Gbr. 3.1, a) berada dalam keadaan setimbang yang stabil, karena setelah dibelokkan di bawah pengaruh pengaruh luar, bola akan kembali ke keadaan semula. Sistem permukaan bola stabil. Bola yang terletak di puncak bukit (Gbr., berada dalam posisi keseimbangan tidak stabil: sedikit menyimpang dari

Beras. 3.1. Untuk konsep stabilitas keadaan setimbang sistem permukaan bola: a - keadaan stabil; b - keadaan tidak stabil; c - keadaan yang stabil terhadap penyimpangan kecil dan tidak stabil terhadap penyimpangan besar.

keadaan ini, dan bola akan menggelinding menuruni kemiringan permukaan dan tidak akan kembali ke posisi semula. Sistem yang dipertimbangkan tidak stabil.

Dengan demikian, stabilitas dipahami sebagai sifat suatu sistem untuk kembali ke keadaan setimbang sebelumnya setelah dikeluarkan dari keadaan ini dan menghentikan perubahan induk atau pengaruh pengaruh yang mengganggu.

Hanya sistem stabil yang berfungsi. Oleh karena itu, salah satu tugas utama teori kendali otomatis adalah mempelajari stabilitas sistem kendali otomatis. Fondasi teori stabilitas sistem dinamis yang ketat dikembangkan oleh Acad. A. M. Lyapunov dalam karyanya “Masalah Umum Stabilitas Gerak” (1892). Konsep keberlanjutan yang muncul dari pekerjaan ini adalah sebagai berikut.

Jika sistem digambarkan dengan persamaan diferensial linier, maka kestabilannya tidak bergantung pada besarnya gangguan. Sistem linier yang stabil pada gangguan kecil juga akan stabil pada gangguan besar. Sistem nonlinier dapat stabil pada gangguan kecil dan tidak stabil pada gangguan besar. Contoh sistem nonlinier adalah jam dinding. Jika gaya dorong lemah diberikan pada bandul stasioner, maka bandul tersebut, setelah melakukan beberapa kali ayunan, akan berhenti, yaitu sistem stabil pada gangguan kecil. Jika impuls yang lebih kuat diberikan ke pendulum, maka jam luka terakhir mulai melakukan osilasi yang tidak teredam. Akibatnya, sistem menjadi tidak stabil jika terjadi gangguan besar. Gagasan yang jelas tentang sistem nonlinier yang stabil pada gangguan kecil dan tidak stabil pada gangguan besar diberikan dengan mempertimbangkan sebuah bola yang ditempatkan dalam cekungan yang terletak di bagian atas benda cembung (Gbr. 3.1, c). Untuk penyimpangan kecil yang tidak melebihi tepi depresi, bola kembali ke posisi semula, yaitu sistem permukaan bola stabil. Jika menyimpang melampaui tepi depresi, bola tidak kembali ke posisi semula - sistem tidak stabil. Oleh karena itu, untuk sistem nonlinier, stabilitas dipelajari secara terpisah untuk kasus gangguan kecil, yaitu stabilitas pada gangguan kecil, dan stabilitas pada gangguan besar, yaitu stabilitas pada gangguan besar.

Menurut teorema Lyapunov, stabilitas sistem nonlinier dalam gangguan kecil dapat dinilai dari persamaan liniernya, yang cukup akurat menggambarkan perilaku sistem dalam penyimpangan kecil dari keadaan setimbang. Untuk menentukan kestabilan sistem nonlinier pada gangguan besar, perlu menggunakan persamaan dinamika nonlinier asli. Dalam sebagian besar kasus praktis, sistem yang stabil terhadap deviasi kecil menjadi stabil bahkan terhadap deviasi yang cukup besar yang mungkin terjadi selama operasi, dan oleh karena itu pertanyaan tentang stabilitas sistem ini dapat diselesaikan berdasarkan studi persamaan linier.

Masalah stabilitas biasanya muncul pada senjata self-propelled tertutup karena pengaruh umpan balik. Oleh karena itu, di masa depan, stabilitas dipelajari dengan menggunakan contoh sistem tertutup, meskipun metode untuk mempelajari stabilitas bersifat universal.

Stabilitas sistem kendali otomatis merupakan salah satu karakteristik sistem yang paling penting, karena kinerja sistem bergantung padanya. Suatu sistem yang tidak memiliki stabilitas tidak dapat menyelesaikan masalah pengendalian secara efisien. Kurangnya stabilitas juga dapat mengakibatkan rusaknya sistem itu sendiri selama proses pengendalian atau rusaknya objek kendali, sehingga penggunaan sistem yang tidak stabil menjadi tidak tepat.

Stabilitas sistem kontrol otomatis - ini adalah properti sistem udara

berputar ke keadaan setimbang awal setelah berhentinya pengaruh yang membawa sistem ke keadaan setimbang awal.

Contoh sistem stabil dan tidak stabil adalah sistem bola yang terletak pada permukaan cekung dan cembung, disajikan pada Gambar 60.

Gambar.60. Contoh sistem: a) stabil; b) tidak stabil

Pada Gambar 60a, sebuah bola yang terletak pada permukaan cekung dan dipindahkan ke samping oleh gaya tertentu akan kembali ke posisi setimbang semula setelah pengaruh luar berakhir. Dengan tidak adanya gesekan pada permukaan atau nilai minimumnya, bola akan melakukan osilasi pendek di sekitar posisi setimbang hingga kembali ke posisi setimbang semula (kurva 1 - proses osilasi teredam). Dengan gesekan yang tinggi, bola akan kembali ke posisi setimbang awal tanpa osilasi (kurva 2 - proses aperiodik). Jika nilai gesekannya sangat besar, maka bola tidak mungkin kembali ke posisi setimbang awal (kurva 3), tetapi akan kembali ke daerah yang dekat dengan posisi setimbang. Dalam kasus yang dipertimbangkan, terdapat sistem yang stabil. Dalam sistem kendali otomatis yang stabil, proses transien serupa terjadi (osilasi teredam dan aperiodik).

Pada Gambar 60b, sebuah bola yang terletak pada permukaan cembung dan dipindahkan ke samping oleh gaya tertentu tidak akan kembali ke posisi setimbang awal (kurva 4), sehingga sistem tidak stabil. Pada sistem tidak stabil, proses transien terjadi dalam bentuk osilasi divergen (kurva 5) atau osilasi aperiodik (kurva 4).

Ketidakstabilan ACS biasanya timbul karena efek umpan balik yang sangat kuat. Penyebab ketidakstabilan dinamis biasanya merupakan karakteristik inersia yang signifikan dari tautan sistem loop tertutup, yang menyebabkan sinyal umpan balik dalam mode osilasi sangat tertinggal di belakang sinyal masukan sehingga sefase dengannya. Ternyata umpan balik negatif tersebut bersifat negatif

positif.

Mari kita buat deskripsi matematis tentang stabilitas dan ketidakstabilan. Karena kestabilan suatu sistem hanya bergantung pada sifat gerak bebasnya, maka gerak bebas sistem ini dapat dijelaskan dengan persamaan diferensial homogen:

persamaan karakteristik, yang akan diwakili oleh ekspresi berikut:

Mari kita sajikan solusi umum persamaan diferensial homogen (2.19.) dalam bentuk berikut:

Di mana Ck – konstanta tergantung pada kondisi awal, hal adalah akar persamaan karakteristik.

Akar persamaan karakteristik bisa jadi rumit ( p k = α k ± jβ k ), sah ( pk = αk ) atau imajiner ( hal = jβ k ). Akar kompleks selalu terkonjugasi berpasangan, mis. jika suatu akar persamaan mempunyai bagian imajiner positif, maka pasti terdapat akar persamaan yang nilai absolutnya sama, tetapi bagian imajinernya negatif. kamu(t) pada T → ∞ dari (2.21.) akan cenderung nol hanya pada setiap suku S ke p k t → 0. Sifat fungsi ini akan bergantung pada jenis root. Kemungkinan kasus lokasi root hal pada bidang kompleks dan fungsinya yang sesuai y(t) = Ce pk t disajikan pada Gambar 61. Tampilan fungsi ditunjukkan di dalam elips.

Gambar.61. Pengaruh letak akar-akar persamaan karakteristik pada

komponen pergerakan bebas sistem

Gambar 61 menunjukkan bahwa jika setiap akar real hal= α k untuk ekspresi (2.21.) istilahnya akan sesuai:

yk (t) = C ke eα kt(2.22.)

lalu di α ke< 0 (akar P 1) fungsi di T→ ∞ akan cenderung nol ketika α k > 0 (akar hal 3 ) fungsinya akan meningkat tanpa batas, dan kapan k = 0 (akar P 2) fungsinya akan tetap konstan.

Jika persamaan karakteristik mempunyai akar kompleks, maka setiap pasangan akar kompleks konjugasi pk, k+1 = α k ± jβ k , akan ada dua istilah yang bersesuaian dengannya, yang dapat digabungkan dan direpresentasikan sebagai ekspresi berikut:

Fungsi ini berbentuk sinusoidal dengan amplitudo dan frekuensi yang bervariasi secara eksponensial β k . Untuk bagian nyata negatif dari dua akar kompleks α k, k+1< 0 , (akar hal 4 Dan hal5 ) komponen osilasi dari fungsi tersebut akan meluruh, dan dengan bagian real positif α k, k+1 > 0 , (akar hal 8 Dan hal 9 ) amplitudo osilasi akan meningkat tanpa batas. Dengan tidak adanya bagian nyata dari akar kompleks α k, k+1 = 0 (akar hal 6 Dan hal7 ), yaitu jika hanya terdapat akar imajiner, fungsinya akan menjadi sinusoidal kontinu dengan frekuensi β k .

Berdasarkan definisi stabilitas, jika posisi keseimbangan awal dianggap nol, maka untuk sistem stabil nilai parameter keluaran harus cenderung nol seiring waktu, yaitu. sistem akan kembali ke posisi setimbangnya dengan sendirinya. Kondisi yang perlu dan cukup untuk hal ini adalah bahwa semua suku penyelesaian persamaan diferensial (2.21.) cenderung nol seiring waktu, yang dapat dicapai dengan akar real negatif dari persamaan tersebut, dan akar kompleks harus memiliki bagian nyata negatif. Adanya paling sedikit satu akar real positif atau sepasang akar kompleks dengan bagian real positif akan mengakibatkan nilai parameter keluaran sistem tidak akan kembali ke nilai semula, yaitu. sistem akan menjadi tidak stabil.

Menganalisis letak akar-akar persamaan karakteristik pada bidang kompleks yang disajikan pada Gambar 62, terlihat bahwa ACS stabil jika semua akar persamaan karakteristik berada pada setengah bidang kiri dan semuanya real negatif atau kompleks dengan bagian nyata negatif. Kehadiran setidaknya satu akar di setengah bidang kanan akan mencirikan ketidakstabilan sistem.

Stabilitas suatu sistem merupakan sifat internal sistem, hanya bergantung pada jenis akar persamaan karakteristik yang menggambarkan sifat-sifat sistem, dan tidak bergantung pada pengaruh luar. Kondisi perlu dan cukup untuk kestabilan sistem adalah posisi semua akar persamaan pada setengah bidang kiri (negatif).

Setengah bidang positif dan negatif, di mana akar positif atau negatif dari persamaan karakteristik berada, yang menjamin stabilitas atau ketidakstabilan sistem, dipisahkan oleh sumbu imajiner ± jβ . Sumbu ini merupakan batas kestabilan, sehingga persamaan karakteristik mempunyai sepasang akar imajiner murni pk, k+1 =± jβ k , dan akar-akar lainnya berada pada setengah bidang negatif, maka sistem tersebut ditandai dengan adanya osilasi tak teredam dengan frekuensi ω = βk. Secara umum diterima bahwa dalam hal ini sistemnya aktif batas stabilitas osilasi .

Dot β = 0 pada sumbu imajiner berhubungan dengan akar nol. Persamaan yang mempunyai satu akar nol dianggap berada di batas kestabilan aperiodik , dan dengan adanya dua akar nol, sistem menjadi tidak stabil.

Gambar.62. Letak akar-akar persamaan karakteristik sistem stabil pada

bidang kompleks

Jangan lupa bahwa persamaan hampir semua sistem kendali otomatis nyata tidak linier, tetapi direduksi menjadi persamaan linier dengan menggunakan linierisasi, oleh karena itu asumsi yang dibuat selama linierisasi dapat mempengaruhi kebenaran penentuan kestabilan sistem.

A. M. Lyapunov pada tahun 1892, dalam karyanya “Masalah Umum Stabilitas Gerak,” memberikan bukti teorema, di mana kesimpulan berikut dibuat untuk persamaan linier:

1. Jika semua akar real persamaan karakteristik suatu sistem bernilai negatif, maka sistem tersebut dianggap stabil.

2. Jika paling sedikit satu akar real persamaan karakteristik sistem bernilai positif, maka sistem tersebut dianggap tidak stabil.

3. Jika persamaan karakteristik suatu sistem yang dilinearisasi mempunyai paling sedikit satu akar nol atau sepasang akar imajiner, maka kestabilan sistem nyata tidak dapat dinilai dari persamaan yang dilinearisasi tersebut.

Oleh karena itu, kesimpulan tentang stabilitas sistem nyata harus dibuat berdasarkan analisis persamaan nonlinier asli, dan untuk menentukan ketidakstabilan atau stabilitas sistem, cukup dengan mengidentifikasi positif (negatif) dari akar real. persamaan karakteristik.

Kriteria keberlanjutan sebutkan aturan-aturan tertentu yang dalam teori kendali otomatis tanda-tanda akar persamaan karakteristik ditentukan tanpa menyelesaikannya. Ada kriteria aljabar dan frekuensi untuk stabilitas.

Kriteria aljabar kestabilan suatu sistem merupakan syarat perlu dan cukup agar akar-akarnya bernilai negatif untuk nilai koefisien tertentu dalam persamaan karakteristik.

Kriteria frekuensi stabilitas sistem, ketergantungan stabilitas sistem pada bentuk karakteristik frekuensi sistem telah ditetapkan.

Stabilitas adalah kemampuan suatu sistem untuk kembali ke mode nominal jika menyimpang dari mode ini karena alasan tertentu.

Persyaratan stabilitas adalah wajib untuk semua senjata self-propelled.

Definisi tegas tentang keberlanjutan diberikan oleh A.M. Lyapunov dalam karyanya “Masalah Umum Stabilitas Gerakan” (akhir abad ke-19)

Biarkan dinamika sistem dijelaskan dengan persamaan

kamu - nilai keluaran

X- jumlah masukan

kamu ( Saya ) , X ( J ) - turunan.

Mari kita asumsikan bahwa sistem ini memiliki mode operasi nominal pada N (T), yang secara unik ditentukan oleh pengaruh masukan nominal X N (T) dan kondisi awal nominal.

(2)

Karena kondisi awal nominal (2) sulit dipertahankan dalam praktiknya, kondisi awal yang “menyimpang” ada dalam sistem.

(3)

Untuk modus nominal persamaannya valid:

Kondisi awal yang ditolak sesuai dengan mode ditolak.

Untuk mode ditolak persamaannya valid:

(6)

Kurangi persamaan (4) dari persamaan (5), kita peroleh (7)

Mari kita perkenalkan definisinya.

Modus nominal pada N (T) Lyapunov stabil, jika untuk setiap kondisi awal yang ditolak (3), yang berbeda cukup kecil dari kondisi awal nominal (2), untuk semua t > 0, z(t) akan menjadi kecil.

Jika mode nominal stabil menurut Lyapunov dan sekaligus batasnya
, maka mode nominal dipanggil stabil secara asimtotik.

Jika terdapat kondisi awal (3) yang berbeda sesedikit yang diinginkan dari kondisi awal nominal (2), dan pada saat yang bersamaan
menjadi lebih besar dari suatu nilai kecil yang telah ditentukan, maka modus nominalnya pada N (T) ditelepon tidak stabil.

Dari (7) berikut ini perilaku z(T) sepenuhnya independen dari jenis pengaruh masukan X N (T) .

Hal ini mengarah pada kesimpulan berikut: baik dalam sistem (1) keduanya stabil secara asimtotik Semua mode nominal sesuai dengan input yang berbeda X N (T), atau semuanya tidak stabil.

Oleh karena itu, kita dapat berbicara tentang stabilitas atau ketidakstabilan sistem, dan bukan tentang salah satu modenya.

Ini adalah temuan penting yang mengurangi ruang lingkup penelitian ACS.

Sayangnya, ini hanya berlaku untuk senjata self-propelled linier.

Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk stabilitas senjata self-propelled linier.

Untuk stabilitas asimtotik sistem linier, semua akar persamaan karakteristik harus dan cukup.

akan memiliki bagian nyata negatif.

Diketahui penyelesaian persamaan diferensial dengan koefisien konstan

1. Biarkan akarnya menjadi nyata.

Pada

- dan ini merupakan penyimpangan dari mode nominal.

2. Jika akarnya rumit.

Kondisi yang diperlukan untuk stabilitas.

Untuk kestabilan asimtotik sistem (1), (8), semua koefisien persamaan karakteristik harus mempunyai tanda yang sama.

Interpretasi geometris dari kondisi stabilitas

Untuk kestabilan ACS, akar persamaan karakteristik harus ditempatkan pada setengah bidang kiri bidang kompleks akar.

Kriteria stabilitas ACS.

Ini adalah teknik buatan yang memungkinkan, tanpa menemukan akar persamaan karakteristik, untuk menjawab pertanyaan tentang stabilitas senjata self-propelled, yaitu. tentukan tanda-tanda bagian nyata akar.

Dua jenis kriteria stabilitas:

1). Kriteria stabilitas aljabar (kriteria stabilitas Hurwitz).

Biarkan persamaan karakteristik diberikan.

Untuk stabilitas senjata self-propelled, perlu dan cukup:

1). Sehingga semua koefisien persamaan karakteristik mempunyai tanda yang sama -
(
sistem tidak stabil)

2). Penentu utama Hurwitz, disusun menurut aturan tertentu, dan semua diagonal minornya akan memiliki tanda koefisien - koefisiennya akan lebih besar dari nol.

Aturan penulisan definisi utama Hurwitz.

1). Sepanjang diagonal utama determinan, semua koefisien persamaan karakteristik disusun dalam urutan indeks menaik, dimulai dengan A 1 .

2). Ruang pada determinan di atas diagonal utama diisi dengan koefisien persamaan karakteristik dalam urutan indeks menaik.

3). Ruang pada determinan di bawah diagonal utama diisi dengan koefisien persamaan karakteristik dalam urutan indeks yang menurun.

4). Tempat di determinan dimana koefisien dengan indeks lebih besar dari yang seharusnya muncul N dan kurang nol, diisi dengan angka nol

Jadi, determinan utama Hurwitz berbentuk:

SEBUAH=
>0

Senjata self-propelled stabil jika

1). Semua koefisien persamaan karakteristik lebih besar dari nol ( 0!)

,
, ….

2). Penentu utama Hurwitz dan semua minor diagonalnya > 0.

,
,
, ….

Mari kita lihat contohnya.

1.

1.

2.

Untuk stabilitas ACS orde kedua, kondisi stabilitas yang diperlukan dan cukup adalah kepositifan koefisien persamaan karakteristik.

1.
saya=0…3

2.

Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk stabilitas sistem orde ketiga adalah kepositifan koefisien dan produk suku internal
pasti ada lebih dari hasil perkalian suku-suku ekstrim
persamaan karakteristik.

,

,
,

Ada juga kriteria aljabar Routh. Ini adalah kriteria Hurwitz yang sama, tetapi disusun sedemikian rupa sehingga mudah digunakan untuk membuat program untuk menentukan stabilitas.

Kriteria stabilitas Vyshnegradsky untuk sistem orde ketiga.

Vyshnegradsky I.A. mengusulkan untuk menggambarkan batas stabilitas pada apa yang disebut bidang parameter Vyshnegradsky.

Mari kita punya persamaan karakteristik derajat ketiga.

Mari kita ubah menggunakan substitusi:

Maka akan terlihat seperti:

A 1 DanA 2 disebut parameter Vyshnegradsky (kuantitas tak berdimensi), pada bidang di mana batas stabilitas dibangun.

Mari kita terapkan kriteria stabilitas Hurwitz pada persamaan yang ditransformasikan

atau A 1 A 2 > 1

Pada batas stabilitas
.

Dari sini
- persamaan pada batas stabilitas

Dari koefisien persamaan karakteristik kita tentukan A 1 Dan A 2 . Jika titiknya di bawah hiperbola, senjata self-propelled tersebut stabil; jika titiknya lebih tinggi, berarti tidak stabil.

HALAMAN \* MERGEFORMAT 14

Kuliah nomor 4

Stabilitas senjata self-propelled

Sifat suatu sistem untuk kembali ke keadaan semula setelah gangguan dihilangkan disebut stabilitas.

Definisi.

Kurva 1 dan 2 mencirikan sistem yang stabil, kurva 3 dan 4 mencirikan sistem yang tidak stabil.ε

Sistem 5 dan 6 berada di batas stabilitas 5 - sistem netral, 6 - batas stabilitas osilasi.

Biarkan persamaan diferensial ACS dalam bentuk operator berbentuk

Maka penyelesaian persamaan diferensial (gerakan sistem) terdiri dari dua bagian Gerakan paksa yang jenisnya sama dengan aksi masukan.

Dengan tidak adanya banyak akar di mana C Saya -integrasi konstan ditentukan dari kondisi awal,

 1 ,  2 …,  n akar persamaan karakteristik

Letak akar cirinya

persamaan sistem pada bidang kompleks

Akar persamaan karakteristik tidak bergantung pada jenis gangguan atau pun

kondisi awal, a hanya ditentukan oleh koefisien a 0 , sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah n , yaitu parameter dan struktur sistem.

1-root nyata, lebih besar dari nol;

2-root nyata, kurang dari nol;

3-root adalah nol;

4-dua akar nol;

5-dua akar konjugat kompleks yang bagian realnya adalah

Positif;

6-dua akar konjugat kompleks, yang bagian realnya negatif;

7-dua akar konjugat imajiner.

Metode Analisis Stabilitas:

1. Langsung (berdasarkan penyelesaian persamaan diferensial);
2. Tidak langsung (kriteria stabilitas).

Teorema A.M. Lyapunova.

Teorema 1.

Teorema 2.

Catatan:

1. Jika di antara akar-akar persamaan karakteristik terdapat dua atau lebih akar nol, maka sistem tersebut tidak stabil.
2. Jika salah satu akar bernilai nol dan akar lainnya berada pada setengah bidang kiri, maka sistem tersebut netral.
3. Jika 2 akar merupakan konjugat imajiner, dan sisanya berada pada setengah bidang kiri, maka sistem berada pada batas kestabilan osilasi.

Kriteria stabilitas ACS.

Kriteria stabilitas adalah aturan yang memungkinkan seseorang menentukan stabilitas suatu sistem tanpa menghitung akar persamaan karakteristik.

Pada tahun 1877 Routh diinstal:

1. Kriteria stabilitas Hurwitz

Kriteria ini dikembangkan pada tahun 1895.

Biarkan persamaan karakteristik sistem tertutup didefinisikan: kita mereduksi persamaan tersebut ke bentuk sehingga sebuah 0 >0.

Mari kita buat determinan utama Hurwitz menurut aturan berikut:

Sepanjang diagonal utama dituliskan koefisien-koefisien persamaan, mulai dari detik sampai terakhir, kolom-kolom di atas diagonal diisi dengan koefisien-koefisien yang indeksnya meningkat, dan kolom-kolom di bawah diagonalnya diisi dengan koefisien-koefisien yang indeksnya menurun. Dengan tidak adanya koefisien apa pun dalam persamaan dan sebagai ganti koefisien dengan indeks kurang dari 0 atau lebih n tulis nol.

Mari kita soroti minor diagonal atau determinan paling sederhana dalam determinan utama Hurwitz:

Perumusan kriteria.

Untuk sistem yang lebih tinggi dari orde kedua, selain kepositifan semua koefisien persamaan karakteristik, pertidaksamaan berikut harus dipenuhi:

1. Untuk sistem orde ketiga:
2. Untuk sistem orde keempat:
3. Untuk sistem orde kelima:

1. Untuk sistem orde keenam:

Contoh. Persamaan karakteristik diberikan untuk mempelajari kestabilan sistem menurut Hurwitz.

Untuk sistem yang stabil diperlukan dan

2. Kriteria kasar

Kriteria Routh digunakan untuk mempelajari stabilitas sistem tingkat tinggi.

Rumusan kriteria:

meja Routh.

Algoritma pengisian tabel: baris pertama dan kedua berisi koefisien persamaan dengan indeks genap dan ganjil; elemen baris yang tersisa dihitung berdasarkan aturan berikut:

Keuntungan dari kriteria ini: stabilitas sistem dengan tatanan apa pun dapat dipelajari.

2. Kriteria stabilitas Nyquist

Prinsip argumen

Metode frequentist didasarkan pada prinsip argumen.

Mari kita menganalisis sifat-sifat polinomial yang bentuknya:

Dimana  i - akar persamaan

Pada bidang kompleks, setiap akar berhubungan dengan suatu titik yang terdefinisi dengan baik. Secara geometris, setiap akari dapat direpresentasikan sebagai vektor yang ditarik dari titik asal ke titik saya : | i | - panjang vektor, argi - sudut antara vektor dan arah positif sumbu x. Mari kita petakan D(p) ke dalam ruang Fourier, lalu di mana j -  saya - vektor dasar.

Ujung-ujung vektor elementer berada pada sumbu imajiner.

Besaran vektor, dan argumen (fase)

Arah putaran vektor berlawanan arah jarum jam dianggap POSITIF. Lalu saat berganti dari ke setiap vektor dasar ( j  -  saya ) akan berputar membentuk sudut + jika  saya terletak di setengah bidang kiri.

Misalkan D ( )=0 mempunyai m akar di setengah bidang kanan dan n - m akar di sebelah kiri, lalu meningkat dari untuk mengubah argumen vektor D(j ) (sudut rotasi D(j ), sama dengan jumlah perubahan argumen vektor elementer) adalah

Prinsip argumen:

Kriteria Nyquist didasarkan pada karakteristik frekuensi rangkaian terbuka ACS, karena jenis karakteristik frekuensi rangkaian terbuka dapat digunakan untuk menilai stabilitas sistem tertutup.

Kriteria Nyquist banyak digunakan dalam praktik teknik karena alasan berikut:

1. Stabilitas suatu sistem dalam keadaan tertutup dipelajari oleh fungsi transfer frekuensi rangkaian terbukanya, dan fungsi ini paling sering terdiri dari faktor sederhana. Koefisien adalah parameter nyata dari sistem, yang memungkinkan Anda memilihnya dari kondisi stabilitas.
2. Untuk mempelajari stabilitas, Anda dapat menggunakan karakteristik frekuensi yang diperoleh secara eksperimental dari elemen paling kompleks dari sistem (objek kontrol, badan eksekutif), yang meningkatkan keakuratan hasil yang diperoleh.
3. Stabilitas dapat dipelajari dengan menggunakan LFC, yang konstruksinya sederhana.
4. Lebih mudah untuk menentukan margin stabilitas.

1. Sistem stabil dalam keadaan terbuka

Mari kita perkenalkan fungsi tambahan dan ganti p  j  , lalu

Menurut prinsip argumen, mengubah argumen D(j ) dan D з (j  ) pada 0<  <  sama dengan Maka itulah hodografnya W 1 (j  ) tidak boleh menjangkau asal.

Untuk mempermudah analisa dan perhitungan, mari kita geser titik asal vektor jari-jari dari titik asal koordinat ke titik (-1, J 0), dan sebagai pengganti fungsi bantu W 1 (j  ) kami menggunakan AFC dari sistem loop terbuka W (j  ).

Rumusan kriteria No.1

Contoh.

Perhatikan bahwa perbedaan jumlah transisi positif dan negatif AFC ke kiri titik (-1, j 0) sama dengan nol.

2. Suatu sistem yang mempunyai kutub-kutub pada sumbu imajinernya dalam keadaan terbuka

Untuk menganalisis kestabilan sistem AFC, sistem tersebut dilengkapi dengan lingkaran dengan radius yang sangat besar di 0 berlawanan arah jarum jam dengan setengah sumbu nyata positif pada kutub nol, dan dalam kasus akar imajiner murni - setengah lingkaran searah jarum jam pada titik diskontinuitas AFC.

Rumusan kriteria No.2

1. Sistem sirkuit terbuka intermiten

Kasus yang lebih umum - penyebut fungsi transfer sistem loop terbuka berisi akar-akar yang terletak pada setengah bidang kanan. Munculnya ketidakstabilan pada sistem loop terbuka disebabkan oleh dua alasan:

1. Konsekuensi dari adanya tautan yang tidak stabil;
2. Konsekuensi dari hilangnya stabilitas tautan yang diliputi oleh umpan balik positif atau negatif.

X Meskipun secara teoritis seluruh sistem dalam keadaan tertutup dapat menjadi stabil dengan adanya ketidakstabilan pada rangkaian umpan balik lokal, dalam praktiknya kasus seperti itu tidak diinginkan dan harus dihindari dengan mencoba hanya menggunakan umpan balik lokal yang stabil. Hal ini dijelaskan oleh adanya sifat-sifat yang tidak diinginkan, khususnya munculnya stabilitas bersyarat, yang, mengingat nonlinier yang biasanya terdapat dalam sistem, dalam beberapa mode dapat menyebabkan hilangnya stabilitas dan munculnya osilasi mandiri. Oleh karena itu, sebagai suatu peraturan, ketika menghitung sistem, umpan balik lokal dipilih yang stabil ketika umpan balik utama terbuka.

Biarkan polinomial karakteristik D(hal ) sistem loop terbuka memiliki M akar dengan bagian real positif.

Kemudian

Fungsi bantuan penggantian p  j  menurut prinsip argumen untuk sistem tertutup yang stabil harus memiliki perubahan argumen berikut di

Rumusan kriteria No.3

Formulasi oleh Ya.Z. Tsypkina

Kriteria Nyquist untuk LFC

Catatan: karakteristik fase LFC sistem astatik dilengkapi dengan bagian monotonik + /2 pada  0.

Benar-benar berkelanjutanMereka menyebut sistem yang tetap stabil untuk setiap penurunan penguatan rangkaian terbuka, jika tidak, sistem tersebut stabil secara kondisional.

Sistem yang dapat dibuat stabil dengan mengubah parameternya disebutstabil secara struktural, jika tidak, secara struktural tidak stabil.

Margin stabilitas

Untuk pengoperasian normal, setiap ACS harus dikeluarkan dari batas stabilitas dan memiliki margin stabilitas yang cukup. Perlunya hal ini disebabkan oleh hal-hal sebagai berikut:

1. Persamaan elemen ACS, sebagai suatu peraturan, diidealkan; faktor sekunder tidak diperhitungkan saat menyusunnya;
2. Saat linierisasi persamaan, kesalahan perkiraan semakin meningkat;
3. Parameter elemen ditentukan dengan beberapa kesalahan;
4. Parameter elemen dari jenis yang sama memiliki variasi teknologi;
5. Selama operasi, parameter elemen berubah karena penuaan.

Dalam praktek perhitungan teknik, penentuan margin stabilitas yang paling banyak digunakan adalah berdasarkan kriteria NYQVIST, berdasarkan jarak AFC suatu sistem loop terbuka dari titik kritis dengan koordinat (-1, J 0), yang dinilai dengan dua indikator: margin stabilitas fase dan margin stabilitas dalam modulus (dalam amplitudo) H.

Agar ATS memiliki margin stabilitas minimal dan H , AFC dari rangkaian terbukanya, jika kriteria stabilitas terpenuhi, tidak boleh memasuki bagian cincin yang diarsir pada Gambar. 1, dimana H ditentukan oleh relasinya

Jika stabilitas ditentukan oleh LFC dari sistem yang stabil bersyarat, maka untuk memastikan margin stabilitas minimal dan h diperlukan agar:

a) untuk h  L  - h karakteristik frekuensi fase memenuhi ketidaksetaraanθ > -180  +  atau θ< -180  -  , yaitu tidak memasuki area yang diarsir 1 pada Gambar. 2;

b) pada -180  +   θ  -180  -  karakteristik frekuensi amplitudo memenuhi ketidaksetaraan L< - h или L >H , yaitu tidak memasuki area yang diarsir 2" dan 2" pada Gambar 2.

Untuk sistem yang benar-benar stabil, margin stabilitas dan h ditentukan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 3:

1. Margin fase

1. Margin modulo h =- L (ω -π), di mana ω -π frekuensi di mana θ=-180˚ .

Nilai margin stabilitas yang diperlukan bergantung pada kelas ATS dan persyaratan kualitas regulasi. Kira-kira seharusnya begitu =30  60  dan jam =6  20dB.

Margin stabilitas minimum yang diijinkan dalam amplitudo harus tidak kurang dari 6 dB (yaitu, koefisien transfer sistem loop terbuka adalah setengah dari nilai kritis), dan dalam fase tidak kurang dari 25 30  .

Stabilitas sistem dengan link tunda murni

Jika AFC sistem loop terbuka melalui titik (-1, J 0), maka sistem berada pada ambang stabilitas.

Suatu sistem dengan penundaan murni dapat dibuat stabil jika hubungan bebas inersia dengan koefisien transfer kurang dari 1 disertakan dalam rangkaian.

Sistem yang stabil secara struktural dan sistem yang tidak stabil secara struktural

Salah satu cara untuk mengubah kualitas sistem (dalam hal stabilitas) adalah dengan mengubah koefisien transfer sistem loop terbuka.

Ketika k L ( ) akan naik atau turun. Jika k meningkat, L ( ) naik dan  rata-rata akan meningkat, namun sistem akan tetap tidak stabil. Jika k menurun, maka sistem dapat dibuat stabil. Ini adalah salah satu cara untuk memperbaiki sistem.

Sistem yang dapat dibuat stabil dengan mengubah parameter sistem disebut BERKELANJUTAN STRUKTUR.

Untuk sistem ini terdapat rasio transfer loop terbuka yang kritis. K kritis. ini adalah koefisien transfer ketika sistem berada di ambang stabilitas.

Ada sistem yang SECARA STRUKTUR TIDAK STABIL - ini adalah sistem yang tidak dapat dibuat stabil dengan mengubah parameter sistem, tetapi untuk stabilitas perlu mengubah struktur sistem.

Contoh.

Mari kita pertimbangkan tiga kasus:

1. Membiarkan

Kemudian

Mari kita periksa stabilitas sistem.

Δ = a 3 Δ 2 >0.

Untuk menentukan k rs.cr. mari kita samakan dengan nol 2 .

Kemudian

Kapan kapan

Sistem yang dipertimbangkan STABIL SECARA STRUKTUR, karena dapat distabilkan dengan mengubah parameter tautan.

1. Biarkan semuanya sama seperti pada kasus pertama.

Sekarang tidak ada kesalahan statis pada saluran kontrol.

Kondisi stabilitas Hurwitz:

Misalkan  2 =0, maka jika sistem tidak stabil.

Sistem dengan astatisme orde 1 ini STABIL SECARA STRUKTUR.

1. Membiarkan

Sistem selalu tidak stabil. Sistem ini SECARA STRUKTUR TIDAK STABIL.

Stabilitas senjata self-propelled

Nol dan kutub fungsi transfer

Akar-akar polinomial pada pembilang fungsi transfer disebut angka nol, dan akar-akar polinomial penyebutnya adalah tiang fungsi alih. Polandia pada saat bersamaan akar persamaan karakteristik, atau nomor karakteristik.

Jika akar-akar pembilang dan penyebut suatu fungsi alih terletak pada setengah bidang kiri (sedangkan akar-akar pembilang dan penyebutnya terletak pada setengah bidang atas), maka hubungan tersebut disebut fase minimum.

Korespondensi dengan setengah bidang kiri akar R setengah bidang atas akar (Gbr. 2.2.1) dijelaskan oleh fakta bahwa, atau , yaitu suatu vektor diperoleh dari suatu vektor dengan cara memutarnya membentuk sudut searah jarum jam. Akibatnya, semua vektor dari setengah bidang kiri sampai ke vektor-vektor di setengah bidang atas.

Fase non-minimal dan tautan tidak stabil

Tautan dari tipe posisi dan pembeda yang dibahas di atas termasuk dalam tautan stabil, atau tautan self-leveling.

Di bawah meratakan diri mengacu pada kemampuan suatu tautan untuk secara spontan mencapai nilai kondisi mapan baru dengan perubahan terbatas pada nilai masukan atau pengaruh yang mengganggu. Biasanya, istilah penyelarasan diri digunakan untuk link yang tunduk pada regulasi.

Terdapat tautan yang perubahan terbatas pada nilai masukannya tidak menyebabkan tautan tersebut mencapai kondisi tunak baru, dan nilai keluarannya cenderung meningkat tanpa batas seiring waktu. Ini, misalnya, termasuk tautan bertipe integrasi.

Ada beberapa kaitan di mana proses ini bahkan lebih terasa. Hal ini dijelaskan dengan adanya akar real positif atau akar kompleks dengan bagian real positif dalam persamaan karakteristik (penyebut fungsi transfer sama dengan nol), sehingga link tersebut akan diklasifikasikan sebagai tautan yang tidak stabil.

Misalnya pada kasus persamaan diferensial , kami memiliki fungsi transfer dan persamaan karakteristik dengan akar real positif. Tautan ini mempunyai karakteristik frekuensi amplitudo yang sama dengan tautan inersia dengan fungsi transfer. Namun karakteristik frekuensi fase dari tautan ini sama. Untuk tautan inersia yang kami miliki . Untuk tautan dengan fungsi transfer yang kami miliki

itu. nilai absolut yang lebih besar.

Dalam hal ini, tautan tidak stabil termasuk dalam grup bukan tautan fase minimum.

Tautan fase non-minimum juga mencakup tautan stabil yang mempunyai akar real positif atau akar kompleks dengan bagian real positif pada pembilang fungsi transfer (sesuai dengan ruas kanan persamaan diferensial).

Misalnya link dengan fungsi transfer termasuk dalam kelompok tautan fase non-minimal. Modul fungsi transfer frekuensi bertepatan dengan modul fungsi transfer frekuensi dari link yang mempunyai fungsi transfer . Tetapi pergeseran fasa dari tautan pertama lebih besar nilai absolutnya:

Tautan fase minimum memiliki pergeseran fasa yang lebih kecil dibandingkan dengan tautan terkait yang memiliki karakteristik frekuensi amplitudo yang sama.

Mereka mengatakan bahwa sistem stabil atau memiliki self-leveling jika, setelah gangguan eksternal dihilangkan, ia kembali ke keadaan semula.

Karena gerak suatu sistem dalam keadaan bebas digambarkan dengan persamaan diferensial homogen, maka definisi matematis sistem stabil dapat dirumuskan sebagai berikut:

Suatu sistem disebut stabil asimtotik jika kondisinya terpenuhi (2.9.1)

Dari analisis solusi umum (1.2.10), kondisi stabilitas perlu dan cukup sebagai berikut:

Untuk kestabilan sistem, semua akar persamaan karakteristik harus memiliki bagian nyata yang sangat negatif, yaitu. Reputasi Saya , SAYA = 1…N. (2.9.2)

Untuk lebih jelasnya, akar persamaan karakteristik biasanya digambarkan pada bidang kompleks pada Gambar 2.9.1a. Ketika melakukan apa yang perlu dan cukup

Gambar 8.12. Bidang akar

ciri

persamaan A(P) = 0

OU - wilayah stabilitas

Kondisi ketiga (2.9.2) adalah semua akar terletak di sebelah kiri sumbu imajiner, yaitu. di bidang keberlanjutan.

Oleh karena itu, kondisi (2.9.2) dapat dirumuskan sebagai berikut.

Untuk kestabilan, semua akar persamaan karakteristik harus ditempatkan pada setengah bidang kiri.

Definisi umum yang ketat tentang stabilitas, metode untuk mempelajari stabilitas sistem nonlinier dan kemungkinan memperluas kesimpulan tentang stabilitas sistem linier ke sistem nonlinier asli diberikan oleh ilmuwan Rusia A.M.

Dalam praktiknya, stabilitas sering kali ditentukan secara tidak langsung, menggunakan apa yang disebut kriteria stabilitas tanpa secara langsung menemukan akar persamaan karakteristik. Ini termasuk kriteria aljabar: kondisi Stodola, kriteria Hurwitz dan Mikhailov, serta kriteria frekuensi Nyquist. Dalam hal ini, kriteria Nyquist memungkinkan seseorang untuk menentukan stabilitas sistem loop tertutup dengan AFC atau karakteristik logaritmik dari sistem loop terbuka.

Kondisi stodola

Kondisi tersebut diperoleh oleh ahli matematika Slovakia Stodola pada akhir abad ke-19. Hal ini menarik dari sudut pandang metodologis untuk memahami kondisi stabilitas sistem.

Mari kita tulis persamaan karakteristik sistem dalam bentuk

D(p) = sEBUAH 0 P N + sebuah 1 P N- 1 +…sebuah N = 0. (2.9.3)

Menurut Stodol, untuk stabilitas hal itu perlu, tetapi tidak cukup A 0 > 0 semua koefisien lainnya benar-benar positif, yaitu

A 1 > 0 ,..., A N > 0.

Kebutuhan dapat dibentuk seperti ini:

Jika sistem stabil, maka semua akar persamaan karakteristik memiliki , yaitu. adalah kaum kiri.

Bukti perlunya adalah dasar. Menurut teorema Bezout, polinomial karakteristik dapat direpresentasikan sebagai

Misalkan , yaitu bilangan real, dan – akar konjugasi kompleks. Kemudian

Hal ini menunjukkan bahwa dalam kasus polinomial dengan koefisien real, akar-akar kompleksnya adalah konjugasi berpasangan. Terlebih lagi, jika , maka kita mempunyai hasil kali polinomial dengan koefisien positif, yang menghasilkan polinomial hanya dengan koefisien positif.

Kegagalan Kondisi Stodola adalah kondisi tersebut tidak menjamin segalanya. Hal ini dapat dilihat pada contoh spesifik dengan mempertimbangkan polinomial derajat.

Perhatikan bahwa dalam kasus ini, kondisi Stodola perlu dan cukup. Ini mengikuti dari. Jika , maka dan begitu .

Sebab, dari analisis rumus akar-akar persamaan kuadrat juga mengikuti syarat kecukupan.

Dua konsekuensi penting muncul dari kondisi Stodola.

1. Jika syarat terpenuhi dan sistem tidak stabil, maka proses transisi bersifat osilasi. Hal ini menunjukkan bahwa persamaan dengan koefisien positif tidak dapat mempunyai akar-akar real positif. Menurut definisinya, akar adalah bilangan yang menghilangkan polinomial karakteristiknya. Tidak ada bilangan positif yang dapat menghilangkan polinomial dengan koefisien positif, yaitu menjadi akarnya.

2. Kepositifan koefisien polinomial karakteristik (masing-masing, pemenuhan kondisi Stodola) dipastikan dalam kasus umpan balik negatif, yaitu. dalam kasus jumlah inversi sinyal ganjil sepanjang loop tertutup. Dalam hal ini, polinomial karakteristik. Jika tidak, dan setelah membawa koefisien serupa, beberapa koefisien bisa menjadi negatif.

Perhatikan bahwa umpan balik negatif tidak mengecualikan kemungkinan tidak terpenuhinya kondisi Stodola. Misalnya, jika , a , maka dalam kasus umpan balik negatif tunggal . Dalam polinomial ini, koefisien pada sama dengan nol. Tidak ada koefisien negatif, namun kondisi tersebut tidak terpenuhi, karena memerlukan pemenuhan pertidaksamaan secara ketat.

Hal ini ditegaskan oleh contoh berikut.

Contoh 2.9.1. Terapkan kondisi Stodola ke rangkaian pada Gambar. 2.9.2.

Fungsi transfer sistem umpan balik negatif unit loop terbuka adalah sama dengan dan persamaan karakteristik sistem loop tertutup adalah jumlah dari pembilang dan penyebutnya, yaitu.

D(hal) = hal 2 +k 1 k 2 = 0.

Karena tidak ada anggota dengan R pada derajat pertama ( A 1 = 0), maka kondisi Stodola tidak terpenuhi dan sistem tidak stabil. Sistem ini secara struktural tidak stabil, karena tidak ada nilai parameternya k 1 dan k 2 tidak bisa berkelanjutan.

Untuk membuat sistem stabil, Anda perlu memperkenalkan koneksi tambahan atau tautan korektif, mis. mengubah struktur sistem. Mari kita tunjukkan ini dengan contoh. Pada Gambar. 2.9.3. tautan rantai langsung diwakili oleh tautan yang dihubungkan secara seri dengan fungsi transfer dan . Sejalan dengan perkenalan pertama, ada sambungan tambahan.

P
Fungsi transfer sistem loop terbuka sepanjang sambungan negatif satuan dan persamaan karakteristik sistem loop tertutup masing-masing sama dengan

,

Sekarang kondisi Stodola terpenuhi untuk semua orang . Karena dalam kasus persamaan derajat kedua hal ini tidak hanya perlu, tetapi juga cukup, sistem stabil terhadap faktor penguatan positif apa pun.

Pada Gambar 2.9.4, tautan gaya sekuensial dimasukkan ke dalam rangkaian. Fungsi alih sistem sambungan negatif tunggal rangkaian terbuka dalam hal ini adalah sama dengan dan persamaan karakteristik sistem tertutup adalah sama dengan

Mirip dengan yang sebelumnya, sistem ini stabil untuk semua hal positif.

Kriteria stabilitas Rouss-Hurwitz

Matematikawan Rouss (Inggris) dan Hurwitz (Swiss) mengembangkan kriteria ini pada waktu yang hampir bersamaan. Perbedaannya terletak pada algoritma perhitungannya. Kita akan mengenal kriteria dalam rumusan Hurwitz.

Menurut Hurwitz, untuk stabilitas diperlukan dan cukup kapan A 0 > 0 determinan Hurwitz  =  N dan semua anak di bawah umur utamanya  1 ,  2 ,...,  N -1 sangat positif, yaitu.

(2.9.4)

Struktur determinan Hurwitz mudah diingat, mengingat koefisiennya terletak di sepanjang diagonal utama A 1 ,… ,A N, garis-garis tersebut memuat koefisien-koefisien yang dipisahkan satu; jika habis, maka ruang kosong diisi dengan angka nol.

Contoh 2.9.2. Untuk mempelajari stabilitas Hurwitz suatu sistem dengan satuan umpan balik negatif, dalam rantai lurus yang mencakup tiga tautan inersia dan, oleh karena itu, fungsi transfer sistem loop terbuka memiliki bentuk (2.9.5)

Mari kita tulis persamaan karakteristik sistem tertutup sebagai jumlah pembilang dan penyebut (2.9.5):

Karena itu,

Penentu Hurwitz dan anak di bawah umurnya mempunyai bentuk

mempertimbangkan A 0 > 0, kepositifan ketat dari determinan Hurwitz dan minor (2.9.6) menyiratkan kondisi Stodola dan, sebagai tambahan, kondisi A 1 A 2 - A 0 A 3 > 0, yang setelah mensubstitusi nilai koefisien memberikan

(T 1 T 2 + T 1 T 3 +T 2 T 3 )(T 1 +T 2 +T 3 ) > T 1 T 2 T 3 (1+ k) . (2.9.7)

Dari sini terlihat bahwa semakin meningkat k sistem dapat berubah dari stabil menjadi tidak stabil, karena ketimpangan (2.9.7) tidak lagi terpenuhi.

Fungsi alih sistem karena kesalahan adalah sama dengan

Menurut teorema tentang nilai akhir aslinya, kesalahan kondisi tunak dalam pemrosesan sinyal langkah tunggal akan sama dengan 1/(1+ k). Akibatnya, muncul kontradiksi antara stabilitas dan akurasi. Untuk mengurangi kesalahan, Anda perlu meningkatkannya k, tetapi hal ini menyebabkan hilangnya stabilitas.

Prinsip argumen dan kriteria stabilitas Mikhailov

Kriteria Mikhailov didasarkan pada apa yang disebut prinsip argumen.

Mari kita perhatikan polinomial karakteristik sistem loop tertutup, yang menurut teorema Bezout, dapat direpresentasikan dalam bentuk

D(p) = sEBUAH 0 P N + sebuah 1 P N- 1 +…+ sebuah N =a 0 (hal - hal 1 )…(hal - hal N ).

Mari kita melakukan substitusi hal = j

D(j ) = sebuah 0 (J ) N + sebuah 1 (J ) N- 1 +…+ sebuah N =a 0 (J -P 1 )…(J -P N ) = X( )+jY( ).

Untuk nilai tertentu  mempunyai titik pada bidang kompleks yang diberikan oleh persamaan parametrik

E
jika berubah  dalam rentang - hingga , maka kurva Mikhailov, yaitu hodograf, akan digambar. Mari kita pelajari rotasi vektor D(j ) ketika itu berubah  dari - ke , yaitu, kita menemukan pertambahan argumen vektor (argumennya sama dengan jumlah perkalian vektor): .

Pada  = -  beda vektor yang titik awalnya ada di titik R i, dan ujung sumbu imajiner diarahkan vertikal ke bawah. Saat Anda tumbuh  ujung vektor meluncur sepanjang sumbu imajiner, dan kapan  =  vektor diarahkan vertikal ke atas. Jika akarnya tertinggal (Gbr. 2.9.19a), maka  argumen = + , dan jika akarnya benar, maka  argumen = - .

Jika persamaan karakteristik memiliki M akar kanan (masing-masing n - m kiri), lalu .

Inilah prinsip argumennya. Saat memilih bagian sebenarnya X( ) dan imajiner kamu( ) kami dikaitkan dengan X( ) semua istilah yang mengandung J sampai tingkat yang genap, dan sampai kamu( ) - sampai tingkat yang ganjil. Oleh karena itu, kurva Mikhailov simetris terhadap sumbu nyata ( X( ) - bahkan, kamu( ) – fungsi ganjil). Akibatnya, jika Anda berubah  dari 0 hingga +, maka kenaikan argumen akan menjadi setengahnya. Dalam hal ini, akhirnya prinsip argumen dirumuskan sebagai berikut . (2.9.29)

Jika sistem stabil, mis. M= 0, maka diperoleh kriteria stabilitas Mikhailov.

Menurut Mikhailov, untuk stabilitas itu perlu dan cukup

, (2.9.30)

artinya, kurva Mikhailov harus melewatinya secara berturut-turut N

Jelasnya, untuk menerapkan kriteria Mikhailov, konstruksi kurva yang tepat dan rinci tidak diperlukan. Penting untuk menentukan bagaimana hal itu terjadi di sekitar titik asal koordinat dan apakah urutan lintasannya dilanggar N seperempat berlawanan arah jarum jam.

Contoh 2.9.6. Terapkan kriteria Mikhailov untuk memeriksa stabilitas sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.9.20.

Polinomial karakteristik sistem loop tertutup di k 1 k 2 > 0 berhubungan dengan sistem yang stabil, sehingga kondisi Stodola terpenuhi, dan untuk N = 1 sudah cukup. Anda bisa langsung mencari akarnya R 1 = - k 1 k 2 dan pastikan bahwa kondisi stabilitas yang diperlukan dan cukup terpenuhi. Oleh karena itu, penerapan kriteria Mikhailov bersifat ilustratif. Percaya P= J , kita mendapatkan

D(J ) = X( )+ jY( ),

Di mana X( ) = ; Y( ) =  . (2.9.31)

Menggunakan persamaan parametrik (2.9.31), hodograf Mikhailov dibuat pada Gambar. 2.9.21, yang darinya jelas bahwa ketika berubah  vektor 0 sampai  D(J ) berputar berlawanan arah jarum jam sebesar +  /2, yaitu sistemnya stabil.

Kriteria stabilitas Nyquist

KE Seperti telah disebutkan, kriteria Nyquist menempati posisi khusus di antara kriteria stabilitas. Ini adalah kriteria frekuensi yang memungkinkan Anda menentukan stabilitas sistem loop tertutup berdasarkan karakteristik frekuensi sistem loop terbuka. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa sistem terbuka pada rangkaian umpan balik negatif tunggal (Gbr. 2.9.22).

Salah satu kelebihan kriteria Nyquist adalah karakteristik frekuensi sistem loop terbuka dapat diperoleh secara eksperimental.

Penurunan kriteria didasarkan pada penggunaan prinsip argumentasi. Fungsi transfer sistem loop terbuka (melalui rangkaian umpan balik negatif tunggal pada Gambar 2.9.22) adalah sama dengan

Mari kita pertimbangkan. (2.9.32)

Dalam kasus sistem nyata dengan bandwidth terbatas, derajat penyebut fungsi transfer loop terbuka P lebih besar dari pangkat pembilangnya, yaitu N> . Oleh karena itu, derajat polinomial karakteristik sistem loop terbuka dan sistem loop tertutup adalah sama dan setara N. Transisi dari AFC sistem loop terbuka ke AFC menurut (2.9.32) berarti peningkatan bagian nyata sebesar 1, yaitu. memindahkan titik asal koordinat ke titik (-1, 0), seperti terlihat pada Gambar 2.9.23.

Sekarang mari kita asumsikan bahwa sistem loop tertutup stabil, dan persamaan karakteristik sistem loop terbuka adalah SEBUAH(p) = 0 punya M akar yang benar. Kemudian sesuai dengan prinsip argumen (2.9.29), diperoleh kondisi perlu dan cukup untuk kestabilan sistem loop tertutup menurut Nyquist

Itu. untuk kestabilan vektor sistem loop tertutup W 1 (J ) harus dilakukan M/2 putaran penuh berlawanan arah jarum jam, yang setara dengan memutar vektor W pa z (J ) relatif terhadap titik kritis (-1.0).

Dalam praktiknya, sebagai suatu peraturan, sistem loop terbuka stabil, yaitu. M= 0. Dalam hal ini, pertambahan argumen adalah nol, yaitu. AFC dari sistem loop terbuka tidak boleh mencakup titik kritis (-1.0).

Kriteria Nyquist untuk LAC dan LFC

Dalam prakteknya, karakteristik logaritma dari sistem loop terbuka lebih sering digunakan. Oleh karena itu, disarankan untuk merumuskan kriteria Nyquist untuk menentukan stabilitas sistem loop tertutup berdasarkan kriteria tersebut. Jumlah putaran AFC relatif terhadap titik kritis (-1.0) dan tercakup atau tidak

bergantung pada jumlah perpotongan positif dan negatif interval (-,-1) sumbu nyata dan, karenanya, perpotongan garis -180° dengan karakteristik fasa di wilayah tersebut L( )  0 . Gambar 2.9.24 menunjukkan AFC dan menunjukkan tanda-tanda perpotongan segmen (-,-1) dari sumbu nyata.

Aturan yang adil

dimana adalah banyaknya perpotongan positif dan negatif.

Berdasarkan AFC pada Gambar 2.9.24c, LAC dan LFC dibangun, ditunjukkan pada Gambar 2.9.25, dan perpotongan positif dan negatif ditandai pada LFC. Pada segmen (-,-1) modulusnya lebih besar dari satu, yang bersesuaian dengan L( ) > 0. Oleh karena itu, Kriteria Nyquist:

D Untuk stabilitas sistem loop tertutup LFC dari sistem loop terbuka di wilayah dimana L( ) > 0, harus memiliki lebih banyak perpotongan positif pada garis -180° dibandingkan perpotongan negatif.

Jika sistem loop terbuka stabil, maka banyaknya perpotongan positif dan negatif garis -180° dengan karakteristik fasa pada daerah tersebut L( ) > 0 untuk kestabilan sistem lingkar tertutup harus sama atau tidak boleh ada perpotongan.

Kriteria Nyquist untuk sistem astatik

Penting untuk mempertimbangkan kasus sistem tatanan astatik R dengan fungsi transfer sistem loop terbuka sama dengan

.

Pada kasus ini pada 0, yaitu karakteristik fase amplitudo (APC) dari sistem loop terbuka menuju tak terhingga. Sebelumnya, kami membuat AFH saat berganti  dari - hingga  dan merupakan kurva kontinu, ditutup pada  =  0. Sekarang juga tutup pada  = 0, tetapi pada tak terhingga dan tidak jelas pada sisi sumbu nyata yang mana (pada tak terhingga di kiri atau di kanan?).

Gambar 2.9.19c menggambarkan bahwa dalam hal ini terdapat ketidakpastian dalam menghitung pertambahan argumen vektor selisih. Sekarang selalu terletak di sepanjang sumbu imajiner (bertepatan dengan J ). Hanya ketika melintasi nol arahnya berubah (dalam hal ini, vektor diputar berlawanan arah jarum jam  atau searah jarum jam sebesar -?), Untuk lebih jelasnya, kita asumsikan secara kondisional bahwa akar berada di kiri dan pembulatan titik asal terjadi sepanjang busur dengan radius sangat kecil berlawanan arah jarum jam (rotasi sebesar +  ). Oleh karena itu di sekitarnya  = 0 akan direpresentasikan dalam bentuk

,

Di mana  = +  ketika itu berubah  dari – 0 hingga + 0. Ekspresi terakhir menunjukkan bahwa dengan pengungkapan ketidakpastian seperti itu, AFC berubah dengan perubahan  dari – 0 hingga + 0 per sudut - searah jarum jam. AFC yang dibangun harus demikian  = 0 dilengkapi dengan busur berjari-jari tak terhingga yang membentuk sudut , yaitu berlawanan arah jarum jam terhadap sumbu semi real positif.

Margin stabilitas berdasarkan modulus dan fase

Untuk menjamin stabilitas ketika parameter sistem berubah, margin stabilitas diperkenalkan dalam modulus dan fase, ditentukan sebagai berikut.

Modulo margin stabilitas menunjukkan berapa kali atau berapa desibel diperbolehkan menambah atau mengurangi penguatan agar sistem tetap stabil (berada pada batas kestabilan). Ini didefinisikan sebagai min( L 3 , L 4) pada Gambar 2.9.25. Memang kalau LFC tidak diubah, nanti LFC naik L 4 frekuensi pemutusan  cp akan langsung ke intinya  4 dan sistem akan berada pada batas stabilitas. Jika Anda menurunkan LAX ke L 3, maka frekuensi cutoff akan bergeser ke kiri menuju titik  3 dan sistem juga akan berada pada batas stabilitas. Jika kita menurunkan LAX lebih rendah lagi, maka di wilayah tersebut L( ) > 0 hanya akan tetap menjadi perpotongan negatif garis LFC -180°, yaitu. menurut kriteria Nyquist, sistem akan menjadi tidak stabil.

Margin stabilitas fase menunjukkan seberapa besar diperbolehkannya peningkatan pergeseran fasa dengan penguatan konstan agar sistem tetap stabil (berada pada batas kestabilan). Ini didefinisikan sebagai tambahan  ( lih) hingga -180°.

Saat latihan L  12-20dB,   20-30°.