凸多角形とは。 多角形、凸多角形、四角形
8年生の学校での幾何学の授業で、生徒は初めて凸多角形の概念に慣れます。 すぐに彼らは、この数字が非常に興味深い特性を持っていることを知るでしょう. どんなに複雑であっても、凸多角形のすべての内角と外角の合計は、厳密に定義された値になります。 この記事では、数学と物理学の家庭教師が、凸多角形の角度の合計について説明します。
凸多角形の内角の和
この式を証明する方法は？
このステートメントの証明に進む前に、凸面と呼ばれる多角形を思い出してください。 多角形は、その辺のいずれかを含む線の 1 つの辺に完全にある場合、凸面と呼ばれます。 たとえば、次の図に示されているもの:
ポリゴンが指定された条件を満たさない場合、それは非凸と呼ばれます。 たとえば、次のようにします。
凸多角形の内角の和は で、 は多角形の辺の数です。
この事実の証明は、すべての学童によく知られている、三角形の角度の和に関する定理に基づいています。 この定理はご存知だと思います。 三角形の内角の和は です。
アイデアは、凸多角形を複数の三角形に分割することです。 これはさまざまな方法で行うことができます。 どの方法を選択するかによって、証拠はわずかに異なります。
1. ある頂点から引き出されたすべての可能な対角線によって、凸多角形を三角形に分割します。 次に、n-gon が三角形に分割されることを理解するのは簡単です。
さらに、結果として得られるすべての三角形のすべての角度の合計は、n 角形の角度の合計に等しくなります。 結局のところ、結果の三角形の各角度は、凸多角形の部分的な角度です。 つまり、必要な金額は に等しくなります。
2.凸多角形の内側の点を選択して、すべての頂点に接続することもできます。 次に、n-gon を三角形に分割します。
さらに、この場合のポリゴンの角度の合計は、これらすべての三角形のすべての角度の合計から中心角を差し引いたものに等しくなり、これは に等しくなります。 つまり、希望する量は再び に等しくなります。
凸多角形の外角の和
ここで、「凸多角形の外角の和はいくつですか?」という質問を自問してみましょう。 この質問は、次のように答えることができます。 各外側のコーナーは、対応する内側のコーナーに隣接しています。 したがって、次のようになります。
次に、すべての外角の合計は です。 つまり、 に等しいです。
とても面白い結果です。 任意の凸 n 角形のすべての外側の角を順番に順番に脇に置くと、その結果、平面全体が正確に塗りつぶされます。
この興味深い事実は、次のように説明できます。 ポイントにマージするまで、凸多角形のすべての辺を比例的に削減しましょう。 これが発生した後、すべての外側のコーナーが互いに分離され、プレーン全体が埋められます。
興味深い事実ですね。 そして、幾何学にはそのような事実がたくさんあります。 ですから、親愛なる学生の皆さん、幾何学を学びましょう!
凸多角形の角度の合計が何に等しいかに関する資料は、Sergey Valerievich によって作成されました。
多角形の凸面の決定。
Kyrus-Back アルゴリズムは、ウィンドウとして使用される凸多角形を想定しています。
しかし、実際には多角形で切れてしまうという問題はかなりの頻度で発生し、凸かどうかの情報は最初から特定されていません。 この場合、クリッピング手順を開始する前に、指定されたポリゴンが凸面であるかどうかを判断する必要があります。
多角形の凸性のいくつかの定義を与えましょう
次の条件のいずれかが満たされる場合、多角形は凸面と見なされます。
1) 凸多角形では、すべての頂点が任意のエッジを含む線の片側 (指定されたエッジの内側) に配置されます。
2) 多角形の内角はすべて 180°未満です。
3) 多角形の頂点を結ぶすべての対角線は、この多角形の内側にあります。
4) 多角形のすべての角が同じ方向にバイパスされます (図 3.3‑1)。
最後の凸性基準の分析表現を作成するために、ベクトル積を使用します。
ベクトル積 W 2 つのベクトル a と b (図 3.3-2 a) 次のように定義されます。
A x 、a y 、a z および b x 、b y 、b z aと b,
- 私, j, k– 座標軸 X 、 Y 、 Z に沿った単位ベクトル。
 |
米。3.3 ‑ 1
米。3.3 ‑ 2
多角形の 2 次元表現を 3 次元座標系 X 、Y 、Z の XY 座標平面での表現と考えると (図 3.3-2 b )、外積の形成の式ベクトルの うと Ⅴ、ここでベクトル うと Ⅴはポリゴンの角を形成する隣接するエッジであり、行列式として次のように記述できます。
外積ベクトルは、因子ベクトルが配置されている平面に対して垂直です。 積ベクトルの方向は、ギムレット規則または右ねじの規則によって決定されます。
図に示したケースの場合。 3.3‑2 b)、ベクトル W、ベクトルのベクトル積に対応 Ⅴ, う, Z座標軸の方向と同じ方向性になります。
この場合、ベクトル係数の Z 軸上の射影がゼロに等しいという事実を考慮すると、ベクトル積は次のように表すことができます。
(3.3-1)
単位ベクトル k常に正であるため、ベクトルの符号 wベクトル積は、上式の行列式 D の符号によってのみ決定されます。 なお、ベクトル積の性質から、因子ベクトルを並べ替えるときは、 うと Ⅴベクトル記号 w逆に変わります。
このことから、ベクトルとして Ⅴと う多角形の 2 つの隣接するエッジを考慮すると、ベクトル積のベクトルの列挙の順序は、多角形の考慮される角またはこの角を形成するエッジのバイパスに従って配置できます。 これにより、多角形の凸性を決定するための基準としてルールを使用できます。
多角形のエッジのすべてのペアについて、次の条件が満たされる場合:
 |
個々の角度のベクトル積の符号が一致しない場合、多角形は凸面ではありません。
ポリゴンのエッジは端点の座標として指定されるため、行列式を使用して外積の符号を決定する方が便利です。
平面上の点の凸集合。
平面または 3 次元空間内の点の集合を 凸面、このセットの任意の 2 点が、完全にこのセット内にある線分で接続できる場合。
定理 1. 有限個の凸集合の交点は凸集合です。
結果。有限個の凸集合の交点は凸集合です。
コーナーポイント。
凸集合の境界点を 角度のある、それを通る線分を描くことができる場合、そのすべての点が指定されたセットに属していません。
さまざまな形状のセットは、有限または無限の数のコーナー ポイントを持つことができます。
凸多角形。
ポリゴンと呼ばれる 凸面、隣接する 2 つの頂点を通る各線の片側にある場合。
定理: 凸 n 角形の角度の和は 180° *(n-2)
6) 2 変数の m 個の線形不等式の解法
2 つの変数を持つ m 個の線形不等式のシステムが与えられた場合
一部またはすべての不等式の符号が ≥ である可能性があります。
X1OX2 座標系の最初の不等式を考えてみましょう。 直線を作ろう
それが境界線です。
この直線は平面を 2 つの半平面 1 と 2 に分割します (図 19.4)。
半平面 1 には原点が含まれ、半平面 2 には原点が含まれていません。
与えられた半平面が境界線のどちら側にあるかを判断するには、平面上の任意の点 (より良いのは原点) を取り、この点の座標を不等式に代入する必要があります。 不等式が真の場合、半平面はこの点に向かって回転し、そうでない場合は、その点から反対方向に回転します。
図中の半平面の方向は矢印で示されています。
定義 15. 系の各不等式の解は、境界線を含み、その片側に位置する半平面です。
定義 16. それぞれがシステムの対応する不等式によって決定される半平面の交点は、システムの解領域 (SR) と呼ばれます。
定義 17. 非負の条件 (xj ≥ 0、j =) を満たすシステムの解領域は、非負または許容解 (ODS) の領域と呼ばれます。
不等式のシステムが一貫している場合、OP と ODE は多面体、境界のない多面体領域、または単一の点にすることができます。
不等式のシステムが矛盾している場合、OR と ODR は空のセットになります。
例 1
解決。 最初の不等式の OR を求めましょう: x1 + 3x2 ≥ 3. 境界線 x1 + 3x2 - 3 = 0 を作成しましょう (図 19.5)。 点 (0,0) の座標を次の不等式に代入します: 1∙0 + 3∙0 > 3; 点 (0,0) の座標はそれを満たさないため、不等式 (19.1) の解は、点 (0,0) を含まない半平面になります。
同様に、システムの残りの不等式に対する解決策を見つけます。 不等式系の OP と ODE は凸多面体 ABCD であることがわかります。
多面体の頂点を見つけます。 点 A は線の交点として定義されます
系を解くと、A(3/7, 6/7) が得られます。
線の交点として点Bを見つけます
システムから B(5/3, 10/3) を取得します。 同様に、点 C と D の座標を見つけます: C(11/4; 9/14)、D(3/10; 21/10)。
例 2. 不等式のシステムの OR と ODR を求める
解決。 直線を作成し、不等式 (19.5)-(19.7) の解を決定しましょう。 OR と ODR は、それぞれ非有界多面体領域 ACFM と ABDEKM です (図 19.6)。
例 3. 不等式のシステムの OR と ODR を求める
解決。 不等式 (19.8)-(19.10) の解を見つけます (図 19.7)。 OP は境界のない多面体領域 ABC を表します。 ODR - ポイント B。
例 4. 不等式の系の OP と ODS を求める
解決。 直線を構築したら、システムの不等式に対する解決策を見つけます。 OR と ODR は両立しません (図 19.8)。
演習
不等式のシステムの OR と ODR を求める
定理。 xn ® a の場合、 .
証拠。 xn ® a から . 同じ時に：
それらの。 、つまり . 定理は証明されました。
定理。 xn ® a の場合、シーケンス (xn) は有界です。
逆のステートメントは真ではないことに注意してください。 シーケンスの有界性は、その収束を意味しません。
たとえば、シーケンスに制限はありませんが、
ベキ級数への機能拡張。
べき級数における関数の展開は、関数の学習、微分、積分、微分方程式の解法、極限の計算、関数の近似値の計算など、さまざまな問題を解決するために非常に重要です。
合計すると、次のようになります。
積分を使用して関数をシリーズに展開する方法を検討してください。
積分の助けを借りて、導関数の級数での展開が既知であるか、または簡単に見つけることができるような関数を級数で展開することが可能です。
関数の微分を見つけ、それを 0 から x の範囲内で積分します。
ポリゴンの概念
定義 1
ポリゴン隣接するセグメントが 1 つの直線上にない、ペアワイズに相互接続されたセグメントで構成される、平面内の幾何学的図形と呼ばれます。
この場合、セグメントは呼び出されます 多角形の側面、そしてそれらの端は ポリゴン頂点.
定義 2
$n$-gon は $n$ 個の頂点を持つ多角形です。
ポリゴンの種類
定義 3
多角形がその辺を通る線の片側に常にある場合、その多角形は呼び出されます 凸面（図1）。
図 1. 凸多角形
定義 4
多角形が、その辺を通る少なくとも 1 つの直線の反対側にある場合、その多角形は非凸と呼ばれます (図 2)。
図 2. 非凸多角形
多角形の角度の合計
角形の角度の和に関する定理を紹介します。
定理 1
凸角形の角度の合計は、次のように定義されます。
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
証拠。
凸多角形 $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ が与えられたとしましょう。 その頂点 $A_1$ を指定されたポリゴンの他のすべての頂点に接続します (図 3)。
図 3
このような接続により、$n-2$ 個の三角形が得られます。 それらの角度を合計すると、指定された -gon の角度の合計が得られます。 三角形の角度の合計は $(180)^0,$ であるため、凸角形の角度の合計は次の式によって決定されます。
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
定理は証明されました。
四角形の概念
$2$ の定義を使用すると、四角形の定義を簡単に導入できます。
定義 5
四角形は $4$ の頂点を持つ多角形です (図 4)。
図 4. 四角形
四角形の場合、凸四角形と非凸四角形の概念は同様に定義されます。 凸四角形の古典的な例は、正方形、長方形、台形、ひし形、平行四辺形です (図 5)。
図 5. 凸状の四角形
定理 2
凸四角形の角度の合計は $(360)^0$ です
証拠。
定理 $1$ により、凸角形の角度の和は次の式で決まることがわかります。
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
したがって、凸四角形の角度の和は
\[\左(4-2\右)\cdot (180)^0=(360)^0\]
定理は証明されました。
凸四角形は、頂点で互いに接続された 4 つの辺からなる図形であり、辺と一緒に 4 つの角度を形成しますが、四角形自体は、その辺の 1 つが存在する直線に対して常に同じ平面にあります。 言い換えれば、図全体がそのいずれかの側面の片側にあります。
連絡先
ご覧のとおり、定義は非常に覚えやすいものです。
基本的なプロパティとタイプ
私たちが知っているほとんどすべての図形は、4 つの角と辺から構成され、凸状の四角形に帰することができます。 以下を区別できます。
- 平行四辺形;
- 四角;
- 矩形;
- 台形;
- ひし形。
これらすべての図形は、四角形であるという事実だけでなく、凸形でもあるという事実によっても結合されています。 図を見てください：
図は凸台形を示しています. ここでは、台形が同じ平面上またはセグメントの片側にあることがわかります。 同様の操作を実行すると、他のすべての面の場合、台形が凸であることがわかります。
平行四辺形は凸四角形ですか.
上は平行四辺形の画像です。 図からわかるように、 平行四辺形も凸. 線分AB、BC、CD、ADが置かれている線に関して図を見ると、これらの線から常に同じ平面上にあることが明らかになります。 平行四辺形の主な特徴は、対角が互いに等しいのと同じように、その辺が対ごとに平行で等しいことです。
ここで、正方形または長方形を想像してください。 それらの主な特性によると、それらは平行四辺形でもあります。つまり、すべての辺が対になって平行に配置されています。 長方形の場合のみ、辺の長さが異なる可能性があり、角度が直角 (90 度に等しい) であり、正方形はすべての辺が等しく、角も直角である長方形であり、長さが平行四辺形の辺と角度は異なる場合があります。
その結果、四角形のすべての 4 つのコーナーの合計 360 度に等しくなければなりません. これを決定する最も簡単な方法は、長方形を使用することです。長方形の 4 つの角はすべて直角、つまり 90 度に等しくなります。 これらの 90 度の角度の合計は 360 度になります。つまり、90 度を 4 回足すと、目的の結果が得られます。
凸四角形の対角線の性質
凸四角形の対角線が交わる. 実際、この現象は視覚的に観察できます。図を見てください。
左の図は、凸でない四角形または四角形を示しています。 あなたの好きなように。 ご覧のとおり、少なくともすべてではなく、対角線が交差していません。 右側は凸四角形です。 ここで、対角線が交差する性質はすでに観察されています。 同じ特性は、四角形の凸性の兆候と見なすことができます。
四角形の凸性のその他の特性と兆候
具体的には、この用語によると、特定のプロパティや機能に名前を付けるのは非常に困難です。 このタイプのさまざまな種類の四角形に従って分離する方が簡単です。 平行四辺形から始めることができます。 これが四角形であることはすでにわかっていますが、その辺は対ごとに平行で等しいです。 同時に、これには、平行四辺形の対角線が互いに交差する性質と、図形自体の凸性の符号も含まれます。平行四辺形は常に同じ平面内にあり、任意の面に対して片側にありますその側面の。
そう、 主な機能と特性は次のとおりです。
- 四角形の角度の合計は 360 度です。
- 図の対角線は一点で交差します。
矩形. この図は、平行四辺形と同じ特性と機能をすべて備えていますが、すべての角度は 90 度に等しくなっています。 したがって、名前、長方形。
正方形、同じ平行四辺形、しかしその角は長方形のように正しいです。 このため、正方形が長方形と呼ばれることはめったにありません。 しかし、すでに上に挙げたものに加えて、正方形の主な際立った特徴は、その 4 つの辺がすべて等しいことです。
台形は非常に興味深い図形です。. これも四角形で凸面です。 この記事では、図の例を使用して台形について既に検討しました。 彼女も凸であることは明らかです。 主な違い、したがって台形の記号は、その辺の長さと値の角度が絶対に等しくない可能性があることです。 この場合、図形は、図形を形成する線分に沿って任意の 2 つの頂点を結ぶ直線に関して、常に同じ平面上にとどまります。
菱形も同様に興味深い人物です. ひし形の一部は正方形と見なすことができます。 菱形の兆候は、その対角線が交差するだけでなく、菱形の角を半分に分割し、対角線自体が直角に交差する、つまり垂直であるという事実です。 菱形の辺の長さが等しい場合、対角線も交点で半分に分割されます。
三角筋または凸菱形 (ひし形)辺の長さが異なる場合があります。 しかし同時に、菱形自体の主な特性と特徴、および凸性の特徴と特性の両方が保持されます。 つまり、対角線が角を二等分し、直角に交差することがわかります。
今日の課題は、凸四角形とは何か、それらが何であるか、そしてそれらの主な特徴と特性を考察し、理解することでした. 注意！ 凸四角形の角度の合計は 360 度であることをもう一度思い出してください。 たとえば、図形の周囲の長さは、図形を形成するすべてのセグメントの長さの合計に等しくなります。 四角形の周長と面積を計算する式については、次の記事で説明します。
凸四角形の種類
