斜めに投げた体の動き。水平線に斜めに投げられた体の動き！キネマティクスは簡単です

1972年ミュンヘンオリンピックのバスケットボールトーナメントの決勝戦終了まで残り3秒。アメリカ人 - 米国チーム - はすでに勝利を祝っていました！私たちのチーム - ソ連代表チーム - は偉大な夢のチームに対して約 10 ポイントを獲得しました...

試合終了数分前。しかし、最終的にすべてのアドバンテージを失ったため、彼女はすでに 1 ポイントを 49:50 で失っていました。次に起こったことは信じられないほどでした！ Ivan Edeshko はエンドラインの後ろからアメリカ人のリングの下のエリア全体にボールを投げ、センターの Alexander Belov が 2 人の対戦相手に囲まれたボールを受け取り、バスケットに入れます。 51:50 - 私たちはオリンピックチャンピオンです!!!

当時子供だった私は、最も強い感情を経験しました-最初は失望と恨み、そして狂った喜びです！このエピソードの感動的な記憶は、私の心に一生刻み込まれます! 「アレクサンダー・ベロフのゴールデンスロー」のリクエストについては、インターネットでビデオをご覧ください。後悔することはありません。

その後、アメリカ人は敗北を認めず、銀メダルの受け取りを拒否しました。プレイヤーがしたことを 3 秒で行うことは可能ですか? 物理を覚えよう！

この記事では、地平線に対して斜めに投げられた物体の動きを考え、初期データのさまざまな組み合わせでこの問題を解決するための Excel プログラムを作成し、上記の質問に答えようとします。

これは物理学ではかなり有名な問題です。私たちの場合、地平線に対して斜めに投げられた体はバスケットボールです。 Ivan Edeshko によってコート全体に投げられ、Alexander Belov の手に落ちたボールの初速、時間、弾道を計算します。

バスケットボールの飛行の数学と物理学。

以下の式と計算式エクセルは、物体が地平線に対して斜めに投げられ、空気摩擦の影響を考慮せずに放物線の軌道に沿って飛行するという幅広い問題に共通しています。

計算スキームを下の図に示します。 MS Excel または OOo Calc を起動します。

初期データ:

1. 私たちは地球上にいて、弾道問題（地球の重力場における物体の動き）を考えているので、まず重力場の主な特徴である自由落下加速度を書き留めます。 g m/s 2 で

セル D3: 9,81

2. バスケットボールコートのサイズは、長さ28メートル、幅15メートルです。反対側のエンドラインからリングまでの、コートをほぼ横切るボールの水平方向の飛距離バツメートルで書く

セル D4: 27,000

3. Edeshko が約 2 メートルの高さから投げ、Belov がちょうどリングの高さのどこかでボールをキャッチしたと仮定すると、バスケットボールのフープの高さが 3.05 メートルの場合、出発点と到着点の間の距離はボールは垂直に1メートルになります。垂直変位を書き留めましょう yメートル単位

セル D5: 1,000

4. ビデオでの私の測定によると、ボールの出発角度は α 0 Edeshkoの手から20°を超えませんでした。この値を入力してください

セル D6: 20,000

計算結果:

空気抵抗を考慮せずに、地平線に対して斜めに投げられた物体の動きを表す基本方程式:

バツ =v0* cos α 0 *t

y =v0*罪 α 0 *t -g *t 2 /2

5. 時間を表現しよう t最初の式から 2 番目の式に代入し、ボールの初速を計算します。 v 0 m/sで

セル D8: =(D3*D4^2/2/COS (ラジアン(D6))^2/(D4*TAN (ラジアン(D6))-D5))^0.5 =21,418

v0 =(g *x 2 /(2*(cosα 0 ) 2 *(x *tgα 0 -y)) 0.5

6. エデシュコの手からベロフの手までのボールの飛行時間 t今すぐ知って、数秒で計算 v 0 , 最初の式から

セル D9: =D4/D8/COS (ラジアン(D6)) =1,342

t = バツ /(v 0 * コスα 0 )

7. ボールの速度の方向の角度を見つける α 私私たちにとって興味のあるポイントで。これを行うには、最初の方程式のペアを次の形式で記述します。

y =x *tgα 0 -g *x 2 /(2*v 0 2*(cosα 0 ) 2)

これが放物線の方程式、つまり飛行経路です。

関心のある点での放物線に対する接線の傾斜角を見つける必要があります-これが角度になります α 私. これを行うには、接線の勾配の正接である導関数を取得します。

y' =tgα 0 -g *x /(v 0 2*(cosα 0 ) 2)

ベロフの手にボールが到達する角度を計算する α 私度で

セル D10: =ATAN (TAN (RADIANS(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (RADIANS(D6))^2)/PI()*180 =-16,167

α 私 = arctgy ’ = arctg(tgα 0 — g * バツ /(v 0 2 *(コスα 0 ) 2))

エクセルでの計算は原則として完了です。

その他の支払いオプション:

書かれたプログラムを使用すると、初期データの他の組み合わせですばやく簡単に計算を実行できます。

水平を考えてみましょうバツ = 27メートル , 垂直 y = 1mの飛距離と初速 v 0 = 毎秒25メートル。

飛行時間を見つける必要があります tと出発角度 α 0 そして到着 α 私

MS Excelの「パラメータの選択」というサービスを利用してみましょう。使用方法については、いくつかのブログ記事で繰り返し詳しく説明しています。このサービスの使用について詳しく読むことができます。

セル D6 の値の選択を変更して、セル D8 の値を 25,000 に設定します。その結果が下の写真です。

このバージョンの Excel での計算の初期データ (前のバージョンと同様) は、青い枠で強調表示され、結果は赤い四角形の枠で囲まれています。

テーブルに食器を並べるエクセル明るい青緑色で塗りつぶされたセルの 1 つの変更された値を選択することにより、明るい黄色で塗りつぶされたセルの 1 つに関心のある値を入力します。 10 種類のソースデータを使用して、水平線に対して斜めに投げられたボディ!!!

質問への回答:

記事の冒頭で提起された質問に答えましょう。 Ivan Edeshko が送ったボールは、計算によると 1.342 秒で Belov に飛んだ。アレクサンダー・ベロフはボールをキャッチし、着地し、ジャンプして投げました。このすべてのために、彼は時間の「海」を持っていました-1.658秒！これで本当に余裕の時間です！フレームごとのビデオフレームの詳細ビューは、上記を確認します。プレーヤーが前線から対戦相手のバックボードにボールを届け、リングに投げ込むのに 3 秒で十分でした。金でバスケットボールの歴史に名を刻みました!

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キネマティクスは簡単です！

投げた後、飛行中は体に重力がかかる フィートそして空気抵抗の力 FC.
体の動きが低速で発生する場合、通常、計算時に空気抵抗力は考慮されません。
したがって、重力のみが体に作用すると仮定できます。つまり、投げられた体の動きは フリーフォール.
これが自由落下なら、投げた物体の加速度は自由落下の加速度に等しい g.
地球の表面に対して低い高度では、重力 Ft は実質的に変化しないため、体は一定の加速度で移動します。

したがって、地平線に対してある角度で投げられた物体の動きは、自由落下の一種です。 一定の加速度と曲線軌道による動き(速度ベクトルと加速度ベクトルの方向が一致しないため)。

ベクトル形式でのこの動きの式: 物体の軌道は、ベクトル Fт と Vo を通る平面にある放物線です。
通常、投げられた物体の原点が座標の原点として選択されます。

任意の時点で、方向への体の速度の変化は加速度と一致します。

軌道の任意の点における物体の速度ベクトルは、ベクトル V x とベクトル V y の 2 つの成分に分解できます。
任意の時点で、物体の速度はこれらのベクトルの幾何学的和として決定されます。

図によると、座標軸 OX および OY 上の速度ベクトルの射影は次のようになります。

任意の瞬間の速度の計算:

任意の時点でのボディの変位の計算:

体の動きの軌跡の各点は、X 座標と Y 座標に対応します。

いつでも投げられた体の座標の計算式:

運動方程式から、最大飛行距離 L を計算する式を導き出すことができます。

および最大飛行高度 H:

追記
1. 初速度 Vo が等しい場合の飛行範囲:
- 最初の投球角度が 0 o から 45 o に増加すると、増加します。
- 最初の投球角度が 45 o から 90 o に増加すると減少します。

2. 初投角が同じ場合、初速度 Vo が大きいほど飛距離 L は大きくなります。

3. 地平線に対して斜めに投げられた物体の運動の特殊なケースは、 体を水平に投げる動き、最初の投球角度はゼロです。

フリーフォールとは？これは、空気抵抗がない状態での物体の地球への落下です。つまり、虚無に陥る。もちろん、空気抵抗がないということは、通常の地球ではあり得ない真空です。したがって、空気抵抗の力は無視できるほど小さいので、ここでは考慮しません。

重力加速度

ピサの斜塔で有名な実験を行ったガリレオ・ガリレイは、質量に関係なく、すべての物体が同じように地球に落ちることを発見しました。つまり、すべての物体について、自由落下の加速度は同じです。伝説によると、科学者はその後、さまざまな質量のボールを塔から投げました。

重力加速度

自由落下の加速度 - すべての物体が地球に落下する加速度。

自由落下の加速度は 9.81 m s 2 にほぼ等しく、文字 g で表されます。精度が基本的に重要でない場合、重力による加速度が 10 m s 2 に切り上げられることがあります。

地球は完全な球体ではなく、地球の表面上のさまざまな点で、座標と海抜の高さに応じて g の値が異なります。したがって、最大の自由落下加速度は極 (≈ 9, 83 m s 2) であり、最小は赤道 (≈ 9, 78 m s 2) です。

フリーフォール本体

自由落下の簡単な例を考えてみましょう。物体が高さ h から初速度ゼロで落下するとします。ピアノを高さ h まで上げて、静かに手放したとします。

自由落下 - 一定の加速度を伴う直線運動。体の初期位置の点から地球に座標軸を向けましょう。直線的な等加速度運動の運動学の公式を適用すると、次のように書くことができます。

h = v 0 + g t 2 2 .

初速度がゼロなので、次のように書き直します。

ここから、物体が高さ h から落下する時間の式が見つかります。

その v \u003d g t を考慮して、落下時の体の速度、つまり最大速度を見つけます。

v = 2 時間 g · g = 2 時間 g .

同様に、ある初速度で垂直に上向きに投げられた物体の運動を考えることができます。たとえば、ボールを上に投げます。

体を投げた点から垂直上向きを座標軸とする。今度は体の動きが一様に遅くなり、スピードが落ちます。最高点では、体の速度はゼロです。運動学的公式を使用して、次のように記述できます。

v = 0 を代入すると、体が最大の高さまで上昇する時間がわかります。

立ち下がり時間は立ち上がり時間と一致し、体は t = 2 v 0 g 後に地球に戻ります。

垂直に投げられた物体の最大高さ:

下の図を見てみましょう。これは、加速度 a = - g の 3 つのケースの運動の体速度のグラフを示しています。この例ではすべての数値が四捨五入され、自由落下の加速度が 10 m s 2 に等しいと指定した後、それぞれについて考えてみましょう。

最初のグラフは、特定の高さからの初速度なしの物体の落下です。立ち下がり時間 t p = 1 秒。式とグラフから、体が落ちた高さがh = 5 mに等しいことは簡単にわかります。

2 番目のグラフは、初速度 v 0 = 10 m s で垂直に上向きに投げられた物体の動きです。最大持ち上げ高さ h = 5 m. 上昇時間と下降時間 t p = 1 秒.

3 番目のグラフは、最初のグラフの続きです。落下する物体は表面から跳ね返り、その速度は急激に反対の符号に変わります。体のさらなる動きは、2番目のグラフに従って考えることができます。

物体の自由落下の問題は、地平線に対して特定の角度で投げられた物体の運動の問題と密接に関連しています。したがって、放物線軌道に沿った動きは、垂直軸と水平軸の周りの 2 つの独立した動きの合計として表すことができます。

O Y 軸に沿って、物体は加速度 g で一様に加速されて移動します。この移動の初速度は v 0 y です。 O X 軸に沿った移動は、初期速度 v 0 x で均一かつ直線的です。

O X 軸に沿った移動の条件:

x 0 = 0; v 0 x = v 0 cos α ; x = 0 .

O Y 軸に沿った移動の条件:

y 0 = 0; v 0 y = v 0 sin α ; a y = - g .

地平線に対して斜めに投げられた物体の運動の公式を示します。

本体飛行時間：

t = 2 v 0 sin α g .

本体飛距離：

L \u003d v 0 2 sin 2 α g。

最大飛行範囲は、角度 α = 45° で達成されます。

L m a x = v 0 2 g .

最高の持ち上がる高さ:

h \u003d v 0 2 sin 2 α 2 g。

実際の状況では、地平線に対して斜めに投げられた物体の動きは、空気と風の抵抗により、放物線とは異なる軌道をたどる可能性があることに注意してください。宇宙に投げ出された物体の動きの研究は、特別な科学である弾道学です。

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物体が水平線に対して斜めに投げられると、飛行中に重力と空気抵抗の影響を受けます。抵抗力を無視すると、残る力は重力だけです。したがって、ニュートンの第 2 法則により、物体は自由落下の加速度と同じ加速度で動きます。座標軸 ax = 0、y = - g 上の加速度投影。

図 1. 地平線に対して斜めに投げられた物体の運動学的特性

質点の複雑な動きは、座標軸に沿った独立した動きの強制として表すことができ、異なる軸の方向では、動きのタイプが異なる場合があります。私たちの場合、飛翔体の運動は、水平軸（X軸）に沿った等速運動と垂直軸（Y軸）に沿った等加速度運動の2つの独立した運動の重ね合わせとして表すことができます（図1）。 .

したがって、物体の速度投影は、次のように時間とともに変化します。

ここで、$v_0$ は初速、$(\mathbf \alpha )$ は投射角度です。

原点を選択すると、初期座標 (図 1) は $x_0=y_0=0$ になります。次に、次のようになります。

(1)

式 (1) を分析してみましょう。投げられた物体の運動時間を決定しましょう。これを行うには、y 座標をゼロに設定します。着地の瞬間、体の高さはゼロ。ここから、飛行時間を取得します。

高さがゼロに等しい時間の 2 番目の値はゼロに等しく、これは投げる瞬間に対応します。この値には物理的な意味もあります。

飛行距離は、最初の式 (1) から得られます。飛行範囲は、飛行終了時の x 座標の値です。 $t_0$ に等しい時点で。値 (2) を最初の式 (1) に代入すると、次のようになります。

この式から、最大の飛距離は投射角 45 度で達成されることがわかります。

投擲体の最大揚程は、第２式（１）から求めることができる。これを行うには、飛行時間の半分 (2) に等しい時間の値をこの式に代入する必要があります。飛行高度が最大になるのは軌道の中間点です。計算を実行すると、

方程式 (1) から、物体軌道の方程式を得ることができます。運動中の物体の x 座標と y 座標を関連付ける方程式。これを行うには、最初の式 (1) から時間を表す必要があります。

それを2番目の式に代入します。次に、次のようになります。

この方程式が軌道方程式です。これは、二次項の前の「-」記号で示されているように、枝が下にある放物線の方程式であることがわかります。ここでは、投射角 $\alpha $ とその関数は単なる定数であることに注意してください。定数。

物体は水平線に対して $(\mathbf \alpha )$ の角度で速度 v0 で投げられます。飛行時間 $t = 2 s$。体はどの高さ Hmax まで上昇しますか?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

身体運動の法則は次のとおりです。

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

初期速度ベクトルは OX 軸と角度 $(\mathbf \alpha )$ を形成します。その結果、

\ \ \

石が山の頂上から水平線に対して角度 = 30$()^\circ$ で初速度 $v_0 = 6 m/s$ で投げられます。傾斜面の角度 = 30$()^\circ$. 石は投げた地点からどのくらいの距離に落ちますか?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

投げる点に座標の原点を置きましょう。OX は傾斜面に沿って下に、OY は傾斜面に垂直に上に置きます。動きの運動学的特徴:

運動の法則:

$$\left\( \begin(配列)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

$t_B$ の結果の値を代入すると、$S$ が見つかります。

物体が速度で地平線に対して角度 α で投げられるとします。前の場合と同様に、空気抵抗は無視します。動きを説明するには、Ox と Oy の 2 つの座標軸を選択する必要があります (図 29)。

図29

原点はボディの初期位置と互換性があります。 Oy 軸と Ox 軸上の初期速度の射影: , . 加速度予測: 、

次に、物体の運動は次の方程式で記述されます。

(8)

(9)

これらの式から、物体は水平方向に一様に動き、垂直方向に一様に加速されることがわかります。

体の軌跡は放物線になります。放物線の頂点にあることを考慮すると、体が放物線の頂点に達するまでにかかる時間を見つけることができます。

t 1 の値を式 (8) に代入すると、体の最大高さがわかります。

最大持ち上げ高さ。

t \u003d t 2で座標y 2 \u003d 0という条件から、体の飛行時間を見つけます。その結果、 . したがって、 - 体の飛行時間。この式を式 (10) と比較すると、t 2 =2t 1 であることがわかります。

最大高さからの体の移動時間 t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1 . したがって、体が最大の高さまでどれくらいの時間上昇し、この高さからどれくらいの時間下降します。時間 t 2 の値を x 座標の方程式 (6) に代入すると、次のことがわかります。

- 体の範囲。

軌道の任意の点での瞬間速度は、軌道の接線方向に向けられ (図 29 を参照)、速度係数は次の式によって決定されます。

したがって、地平線に対して斜めまたは水平方向に投げられた物体の動きは、2 つの独立した動き - 水平方向の均一な動きと垂直方向の均一な加速 - の結果として考えることができます (初期速度のない自由落下または垂直に上向きに投げられた物体の動き)。）。

運動学的問題の目標となるものを考えてみましょう。

1. 運動量の変化に興味があるかもしれません 動きのプロセス、つまり座標、速度、加速度、および対応する角度値の変化に関する情報を取得します。

2.多くの問題では、たとえば、地平線に対してある角度での物体の動きの問題では、物理量の値について学ぶ必要があります 特定の州：航続距離、最大上昇高度など

3. 物体が複数の動き (たとえば、ボールの転がり) に同時に関与する場合、または複数の物体の相対運動が考慮される場合、変位、速度、および加速度 (直線および角度) の間の関係を確立することが必要になります。すなわち方程式を見つける キネマティック接続.

運動学にはさまざまな問題がありますが、それらを解決するための次のアルゴリズムを提案できます。

1. ボディの初期位置と初期状態を示す概略図を作成します。と。

2. 問題の状況の分析に基づいて基準フレームを選択します。これを行うには、参照体を選択し、座標系をそれに関連付けて、座標の原点、座標軸の方向、時間参照の開始の瞬間を示す必要があります。正の方向を選択すると、移動方向 (速度) または加速度の方向によって誘導されます。

3. 運動の法則に基づいて、すべての物体についてベクトル形式の連立方程式を構成し、次にスカラー形式でこれらのベクトル運動方程式を座標軸に射影します。これらの方程式を書くとき、それらに含まれるベクトル量の射影の記号「+」と「-」に注意を払う必要があります。

4.答えは（一般的な用語で）分析式の形で得られ、最後に数値計算を行う必要があります。

例 4時速 54 km の速度で移動する列車の窓際に座っている乗客は、時速 36 km、長さ 250 m の対向列車が通過するのをどのくらいの時間見ることができますか?

解決。固定基準フレームを地球、移動フレーム、つまり乗客がいる列車に接続しましょう。足し算の速度の法則によると、最初の列車に対する対向列車の速度はどこですか。 Ox 軸上の射影では:

最初の列車に対して対向列車が移動した経路は列車の長さに等しいので、時間は

例 5蒸気船は、ニジニ・ノヴゴロドからアストラハンまで5.0日、7.0日で戻ります。いかだはニジニ・ノヴゴロドからアストラハンまでどのくらい航海しますか? 駐車場と交通渋滞は除きます。

与えられた：t 1 \u003d 5日、t 2 \u003d 7日。

解決。固定座標系を海岸に、移動座標系を水に関連付けます。水の速度は常に同じであり、水に対するスチーマーの速度は一定であり、水に対するスチーマーの瞬間速度のモジュラスに等しいと仮定します。

いかだは川の流れの速さで海岸に対して相対的に移動するため、その移動時間はです。ここで、s は都市間の距離です。スチーマーが下流に移動するとき、その速度は速度の加算の法則に従うか、Ox 軸上の投影で:

ここで、は岸に対する船の速度、は川に対する船の速度です。

移動の時間を知ると、速度を見つけることができます。

式 (1) と (2) から、次のことがわかります。

蒸気船が流れに逆らって移動するとき、または Ox 軸上の投影で、は海岸に対する蒸気船の速度です。

一方で、。それで

について連立方程式 (3) および (4) を解くと、次のようになります。

筏の移動時間を求めましょう:

例 6均一に加速されたモーションでは、ボディは最初の 2 つの等しい連続した時間間隔 4.0 秒で、それぞれパス s 1 \u003d 24 m および s 2 \u003d 64 m を通過します。ボディの初速度と加速度を決定します。

与えられた：t 1 \u003d t 2 \u003d 4.0 s、s 1 \u003d 24 m、s 2 \u003d 64 m。

解決。 s 1 と (s 1 + s 2) の経路方程式をそれぞれ書きましょう。この場合初速は同じなので、

t1=t2 なので、

(1) を表現して (2) に代入すると、次のようになります。

次に初速

例 7車は、初速度 5.0 m/s で等加速度で直線軌道を移動し、最初の 1 秒間に 6.0 m の距離を走行しました.車の加速度、2 秒の終わりの瞬間速度、および2.0 秒の変位。

解決。最初の 1 秒間に身体が移動した経路がわかれば、加速度を求めることができます。

2 秒の終わりの速度は、次の式で求められます。

例 8 バツ）の形式はx \u003d A + Bt + Ct 3で、A \u003d 4 m、B \u003d 2m / s、C \u003d -0.5 m / s 3です。

時点ｔ１＝２ｃについて、以下を決定する。１）点の点ｘ１の座標。 2) 瞬間速度 v1; 3) 瞬間加速 1.

与えられた：x \u003d A + Bt + Ct 3、A \u003d 4 m、B \u003d 2 m / s、C \u003d -0.5 m / s 3、t 1 \u003d 2 s。

検索: x 1; v1; 1。

解決。 1. t の代わりに運動方程式に時間 t 1 の与えられた値を代入します: x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 3. 値A、B、C、t 1をこの式に代入し、計算を実行します：x 1 \u003d 4 m.

2.インスタントスピード：次に、時間 t 1 での瞬間速度は v 1 = B + 3Ct 1 2 です。ここで値B、C、t 1を代入しましょう：v 1 = - 4 m / s. マイナス記号は、時刻 t 1 =2 c で点が座標軸の負の方向に移動していることを示します。

3.瞬時の加速：時刻 t 1 での瞬間加速度は a 1 = 6Сt 1 です。値C、t 1を代入します：a 1 \u003d -6 m / s 2。マイナス記号は、加速度ベクトルの方向が座標軸の負の方向と一致することを示します。これは、この問題の条件下ではどの瞬間にも当てはまります。

例 9直線（軸）に沿った質点の運動方程式バツ）の形式はx \u003d A + Bt + Ct 2で、A \u003d 5 m、B \u003d 4m / s、C \u003d -1m / s 2です。 t 1 \u003d 1 cからt 2 \u003d 6 cまでの時間間隔の平均速度v xsrを決定します。

与えられた：x \u003d A + Bt + Ct 2、A \u003d 5m、B \u003d 4m / s、C \u003d - 1m / s 2、t 1 \u003d 1 c、t 2 \u003d 6 c。

検索: v xsr -? と xsr - ?

解決。時間間隔 t 2 -t 1 の平均速度は、式 v cf = (x 2 -x 1) / (t 2 - t 1) によって決定されます。

x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 2 \u003d 8 m、x 2 \u003d A + Bt 2 + Ct 2 2 \u003d -7 m。

値 x 1 、 x 2 、 t 1 、 t 2 を代入して計算を行います: v xsr = -3 m/s.

例 10高さ h = 300 m でヘリコプターから荷物を落としました。 a) ヘリコプタが静止している。ｂ）ヘリコプタは速度ｖ 0 ＝５ｍ／ｓで降下する。３）ヘリコプタは速度ｖ 0 ＝５ｍ／ｓで上昇する。軸 s(t)、v(t)、a(t) の荷重の対応する動きをグラフィカルに説明します。

解決。 a) 静止したヘリコプタを離れた貨物は、自由落下します。自由落下の加速度 g で等速運動します。比率から移動時間を求めるオブジェクトの動きのグラフは、図の 1 でマークされています。

b) 一定の速度 v 0 \u003d 5 m / s で下降するヘリコプターを離れた荷物の動きは、一定の加速度 g で一様に加速された動きであり、次の式で表されます。

数値を代入すると、式 9.8t 2 +10t-600=0 が得られます。

負の結果には物理的な意味がないため、移動時間は t=7.57 秒です。

オブジェクトの動きのグラフは、図の 2 で示されています。

3) ヘリコプタを離れた貨物は一定の速度 v 0 =5 m/s で上昇し、2 つの段階で動きます。最初の段階では、負荷は一定の加速度 g で一様に移動し、速度とは逆向きで、次の式で表されます。

軌道の頂点では速度がゼロになるので、

システムの 2 番目の方程式を最初の方程式に代入すると、次の式が得られます。

第2段階 - 高さh 0 \u003d h + h 1 \u003d 300 + 1.28 \u003d 301.28 mからの自由落下。

なぜなら

オブジェクトの動きのグラフは、図の 3 で示されています。

例 11。 2 m/s の一定速度で降下する気球から、地面に対して 18 m/s の速度で荷重を垂直に上向きに投げます。荷重が上昇の最高点に達した瞬間のボールと荷重の間の距離を決定します。何時に重りがボールを通り過ぎて落下します。

与えられた: v 01 = 2 m/s、v 02 =18 m/s

検索: s-? τ-?

解決。 0Y 軸を垂直に上向きにします。原点は、荷重を投げた瞬間にボールがあった点 0 と互換性があります。

次に、貨物と気球の運動方程式：

荷重の移動速度は、法則 v 2 =v 02 - gt に従って変化します。

荷を持ち上げる際の最高点 v 2 =0。するとここまで持ち上げた時間 B点での荷重の座標

この間、気球はポイント A まで下降しました。その座標

ポイント A と B の間の距離:

時間間隔 τ の後、石がボールを通り過ぎるとき、物体の座標は同じになります: y 1C = y 2C;

例 12。飛行中に子午線に対して 30 度の角度で時速 27 km の北西風が吹いた場合、飛行機が北へ 300 km を 2 時間で飛行するには、どのような速度で、どのコースで飛行する必要がありますか?

与えられた: t=7.2∙10 3 秒; l=3・10 5 m; α=30° ≈ 0.52 ラジアン; v 2 ≒7.2 m/s。

検索: v 2 -? φ-?

解決。地球に接続された座標系で航空機の運動を考えてみましょう。

東の方向に OX 軸を描き、北の方向に OY 軸を描きましょう。次に、選択した座標系での航空機の速度

ここで v= l/t(2)

軸上の射影の式 (1)

OK: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;

OY: v= v 2 ·cosφ - v 1 ·cosα または v 1 ·sinα = v 2 ·sinφ, v 2 ·cosφ=v 1 ·cosα + v (3)

これらの方程式を項ごとに割ると、tgφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v)、

または考慮に入れる (2)

tgφ=v1・sinα/(v1・cosα+ l/t);

φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l/t) ≒0.078 ラジアン。

式 (3) の右部分と左部分を二乗し、結果の式を追加すると、

v 2 2 ・sin 2 φ + v 2 2 ・cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ・cosα + v) 2 ,

wherece 、または考慮に入れる (2)

例 13垂直に上向きに投げられた物体は、t=3 秒後に地面に戻ります。本体の高さと初速を求めよ。

解決。体の上方への動きは、加速と同様に遅くなります - gそして時間の経過とともに起こります t 1 であり、下向きの動きは加速度 g で一様に加速され、時間の間に発生します。 t 2. セクション AB と BA の動きを記述する方程式は、システムを形成します。

ｖ B ＝０なので、ｖ 0 ＝ｇｔ 1 である。システムの最初の方程式に v 0 を代入すると、が得られます。この式をシステムの 3 番目の式と比較すると、上昇時間は下降時間 t 1 =t 2 =t/2=1.5 秒に等しいと結論付けることができます。初速度と着陸時の速度は等しく、ｖ 0 ＝ｖ A ＝ｇｔ 1 ＝９．８・１．５＝１４．７ｍ／ｓである。

身長

例 14動きの最後の 1 秒間の自由落下体は、途中で通過します。投げた高さと移動にかかった時間を求めよ。

解決。自由落下する物体の移動距離の時間依存性。パス全体の半分を構成する区間 BC は 1 秒で通過したため、パス AB の前半は時間 (t-1) 秒で通過しました。次に、BC セグメント上の動きはとして記述できます。

システムを解く

t 2 -4t+2=0 が得られます。この方程式の根は t 1 \u003d 3.41 s および t 2 \u003d 0.59 s です。 2 番目のルートは適していません。問題の状態に基づく移動時間は、1 秒を超える必要があります。したがって、物体は 3.41 秒間落下し、この間に経路を覆っています。

例 15高さ25mのタワーから水平に15m/sの速さで石を投げます。

見つけてください: 1) 石が動いている時間、2) 地面に落ちる距離、3) 地面に落ちる速度、4) 石の軌跡が地面に落ちた瞬間の地平線。空気抵抗は無視。

与えられた: H=25 m、v o =15 m/s

検索: t-? s x - ? v-? φ-?

解決。水平に投げられた石の動きは、水平方向の 2 つに分解できます。 s×と垂直シ:

ここで、t は移動時間です。

2）s x \u003d v o t \u003d 33.9 m;

3）v y \u003d gt \u003d 22.1 m / s;

4) sinφ= v y /v=0.827;

例 16高さ 25 m のタワーから速度 v x =10 m/s で物体を水平に投げます。

検索: 1) 物体が落下した時間 t、2) どのくらいの距離で lタワーの基部から落下します。3) 落下終了時の速度 v、4) 着陸地点で物体の軌道が地面となす角度。

解決。体の動きは複雑です。それは水平方向に沿って等速運動に参加し、垂直方向に沿って加速度 g で等速加速されます。したがって、セクション AB は次の式で表されます。

点 A の場合、これらの方程式は次の形式になります。

それで l\u003d 10 2.26 \u003d 22.6 m、および v y \u003d 9.8 2.26 \u003d 22.15 m / s。

それ以来

軌道が地球となす角度は、点 A における速度の三角形の角度 φ に等しく、その接線は、したがってφ=68.7°。

例 17。水平速度v x \u003d 10 m / sで投げられた物体の場合、移動開始からt \u003d 2秒後に、法線、接線、および全加速度、および軌道の曲率半径を見つけますこの点。

解決。鉛直速度成分 v y =gt=9.8∙2=19.6 m/s

点Aでの速度:

ベクトルは速度の三角形を形成し、ベクトルは加速度の三角形を形成します。図からわかるように、これらの三角形は相似です。つまり、辺が比例していることを意味します。

通常の加速度なので、軌道の曲率半径

例 18。水平に対して 40°の角度で 10 m/s の速度でボールを投げます。

検索: 1) ボールが上昇する高さ。 2）ボールを投げた場所から地面に落ちる距離、3）ボールが動いている時間。

与えられた： v o \u003d 10 m / s、α \u003d 40について。

検索: s y - ? s x - ? ん？

解決。 1) 水平線に対して角度 α で速度 v o で投げられた物体が上昇する最大高さ s y max を見つけましょう。 (図を参照):

v y \u003d v o sinα - gt; （1）

s y \u003d v o t∙sinα - gt 2 / 2. (2)

上部に v y = 0 であり、(1) から v o ∙sin𝛼 = gt 1 が得られるため、ボールを持ち上げる時間 t 1 =v o ∙sinα/g となります。 t 1 を (2) に代入すると、次のようになります。

s y max \u003d v o 2 ∙sin 2 α / (2g) \u003d 2.1 m。

2) 水平に対して斜めに投げられた物体の飛行距離 s x max を見つけます。

私たちは持っています： v x \u003d v o cosα , (3)

s x =v x t=v o t・cosα. （四）

物体は、時間 t 2 =2t 1 =2v o sinα/g で水平面に落下します。

t 2 を (4) に代入すると、s xmax = v o 2 sin2α/ g= 10.0m

3）t 2 \u003d 2t 1 \u003d 2v o sinα / g \u003d 1.3 s。

例 19。本体は、速度 v 0 =10 m/s 2 で、水平線に対して角度 α=30° で投げられます。体はどのくらいの高さまで上がりますか？投げたところからどれくらいの距離で地面に落ちるでしょうか？彼はどのくらい移動しますか?

解決。初速度の水平成分と垂直成分

OA セクションの動きは、2 つの単純な動きに分解できます。水平方向に均一な動きと、垂直方向に均一に減速した動きです。

A点で

それでと

体が複数の動きに同時に参加する場合、身体は互いに独立してそれぞれに参加するため、セクションABの動きの時間は、下への動きの時間-t 2によって決まります。上に移動する時間と下に移動する時間は等しい、つまり、

均一な水平運動では、物体は経路の等しいセクションを等時間間隔で移動するため、

飛行範囲

身長

例 20。点は、法則 x=4(t-2) 2 に従って平面上を直線的に移動します。点の初速度 v 0 と加速度は? a? 運動の 5 秒目の開始点 v t =5 の瞬間速度を求めます。

解決。

1) なぜなら v=x' の場合、 v 0 =(4∙(t-2) 2)'=(4∙(t 2 -4t+4))'=(4t 2 -16t+16)'=8t-16

t=0 v 0 =-16 m/s で。

2) なぜなら a= の場合、a=(8t-16)'=8 m/s.

3) t=4 で、 5 秒が始まる前に 4 秒が経過しました。

v t \u003d 5 \u003d 8t-16 \u003d 8 ∙ 4-16 \u003d 32 m / s。

答え：初期ポイント速度 v 0 =-16 m/s、加速度 a=8 m/s、移動の 5 秒目の開始時のポイント速度 v t =5 =32 m/s。

例 21。質点の移動は次の式で表されます。ｂ）ｓ＝αｔ２＋βｔ。初速と終速の平均速度と算術平均を比較する v時間間隔 0 - t の cf。ここで、α と β は正の定数です。

解決。平均速度と瞬間速度の定義を思い出してください。

瞬間速度の式は、運動方程式を微分することによって得られます。

平均速度の式は、時間に対する曲線座標の変化の比率として見つかります。

算術平均速度の式を取得します。

問題の条件の質問に答えましょう。「a」の場合は平均速度と算術平均速度が一致せず、「b」の場合は一致することがわかります。

例 22。質点は、曲線軌道に沿って一様に移動します。軌道のどの時点で加速度が最大になりますか?

解決。曲線パスに沿って移動する場合、加速度は接線と法線の合計になります。接線加速度は、速度の値 (モジュラス) の変化速度を特徴付けます。速度が変化しない場合、接線加速度はゼロです。法線加速度は、軌道の曲率半径 a n = に依存します。 v 2/R. 曲率半径が最小の点で加速度が最大になります。ポイントCで。

例 23。質点は次の法則に従って移動します。

1) 加速度一定の運動の法則と比較して、初期座標、初期速度、初期加速度を求めます。速度射影の方程式を書き留めます。

解決。一定の加速度を伴う運動の法則は、

この方程式を問題条件の方程式と比較すると、次のようになります。

バツ 0 = - 1m、

v 0 x = 1 メートル/秒、

a x \u003d - 0.25 m / s 2.

問題が発生します: マイナス記号の意味は何ですか? ベクトルの射影が負になるのはいつですか? ベクトルが座標軸に対して向けられている場合のみ。

図に初期座標、速度、および加速度ベクトルを描いてみましょう。

速度の方程式を次の形式で書きます。

得られたデータを代入する（初期条件）

2) これらの量の定義を使用して、速度と加速度の時間依存性を見つけます。

解決。速度と加速度の瞬時値の定義を適用します。

微分すると、 v x \u003d 1-0.25t、a x \u003d - 0.25 m / s 2.

加速度は時間に依存しないことがわかります。

3) グラフ v x (t) と a x (t) を作成します。グラフの各セクションの動きを説明します。

解決。時間に対する速度の依存性は線形であり、グラフは直線です。

t \u003d 0 v x \u003d 1 m / sで。 t = 4 で v x = 0。

グラフから、セクション「a」では速度射影が正であり、その値が減少することがわかります。ポイントは x 軸の方向にゆっくりと移動します。セクション「b」では、速度投影は負であり、そのモジュラスは増加します。点は x 軸と反対方向に加速度を持って移動します。したがって、グラフと横軸との交点で、ターンが発生し、移動方向が変化します。

4) 転換点の座標と転換点までの経路を決定します。

解決。繰り返しますが、転換点では速度がゼロであることに注意してください。この状態では、運動方程式から次の式が得られます。

2 番目の式から、 t pov = 4 秒。 (この値を取得するために、グラフを作成して分析する必要がないことがわかります)。この値を最初の式に代入します: x pov \u003d -1 + 4-4 2 / 8 \u003d 1 m. ポイントがどのように移動したかを説明しましょう。

図からわかるように、ターンへのパスは座標の変化に等しくなります: s turn =x turn -x 0 =1-(-1)=2 m.

5) 点が原点を通過するのはどの時点か。

解決。運動方程式に x = 0 を入れると、二次方程式 0 \u003d -1 + t-t 2 / 8 または t 2 -8t + 8 \u003d 0 が得られます。この方程式には 2 つの根があります。 . t 1 \u003d 1.17 s、t 2 \u003d 6.83 s。実際、点は原点を 2 回通過します。「そこ」と「後ろ」に移動するときです。