Евклидийн орон зай. Шугаман алгебр

4-р бүлэг
Евклидан орон зай

Аналитик геометрийн хичээлээс уншигчид хоёр чөлөөт векторын скаляр үржвэрийн тухай ойлголт, заасан скаляр үржвэрийн дөрвөн үндсэн шинж чанарыг мэддэг. Энэ бүлэгт дурын шинж чанартай шугаман орон зайг судалсан бөгөөд тэдгээрийн элементүүдийн хувьд ямар нэгэн байдлаар (ямар ч хамаагүй) дүрмийг тодорхойлсон бөгөөд эдгээр элементүүдийн скаляр үржвэр гэж нэрлэгддэг тоотой аль ч хоёр элементийг холбодог. Энэ тохиолдолд энэ дүрэм нь хоёр чөлөөт векторын скаляр үржвэрийг бүрдүүлэх дүрэмтэй ижил дөрвөн шинж чанартай байх нь чухал юм. Энэ дүрмийг тодорхойлсон шугаман орон зайг Евклидийн орон зай гэж нэрлэдэг. Энэ бүлэгт дурын Евклидийн орон зайн үндсэн шинж чанаруудыг тайлбарлана.

§ 1. Бодит Евклидийн орон зай ба түүний хамгийн энгийн шинж чанарууд

1. Бодит Евклидийн орон зайн тодорхойлолт.Бодит шугаман орон зайг R гэж нэрлэдэг жинхэнэ Евклидийн орон зай(эсвэл зүгээр л Евклидийн орон зай) дараах хоёр шаардлагыг хангасан бол.
I. Энэ х ба у орон зайн дурын хоёр элемент нь нэртэй бодит тоотой холбогдох дүрэм байдаг скаляр бүтээгдэхүүнЭдгээр элементүүдээс (x, y) тэмдгээр тэмдэглэнэ.
P. Энэ дүрэм нь дараах дөрвөн аксиомд хамаарна.
1°. (x, y) = (y, x) (коммутатив шинж чанар эсвэл тэгш хэм);
2°. (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (тараах шинж чанар);
3°. (λ x, y) = λ (x, y) ямар ч бодит λ;
4°. (x, x) > 0 хэрэв x нь тэг биш элемент бол; (x, x) = 0 хэрэв x нь тэг элемент бол.
Бид Евклидийн орон зайн тухай ойлголтыг танилцуулахдаа зөвхөн судалж буй объектуудын шинж чанараас гадна элементүүдийн нийлбэр, элементийн үржвэрийг тоо, тоогоор бий болгох дүрмийн тодорхой төрлөөс хийсвэрлэдэг гэдгийг онцлон тэмдэглэж байна. элементүүдийн скаляр үржвэр (эдгээр дүрмүүд нь шугаман орон зайн найман аксиом ба дөрвөн аксиомын скаляр үржвэрийг хангах нь чухал юм).
Хэрэв судалж буй объектын шинж чанар, жагсаасан дүрмийн төрлийг зааж өгсөн бол Евклидийн орон зайг нэрлэнэ. тодорхой.
Тодорхой Евклидийн орон зайн жишээг өгье.
Жишээ 1. Бүх чөлөөт векторуудын шугаман B 3 орон зайг авч үзье. Бид дурын хоёр векторын скаляр үржвэрийг аналитик геометрийн аргаар (өөрөөр хэлбэл эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэр) тодорхойлно. Аналитик геометрийн явцад 1°-4° аксиомуудын тодорхойлогдсон скаляр үржвэрийн үнэн зөвийг нотолсон ("Аналитик геометр" дугаарын 2-р бүлгийн §2, 3-р зүйлийг үзнэ үү). Иймд скаляр үржвэртэй B 3 орон зай нь Евклидийн орон зай юм.
Жишээ 2. a ≤ t ≤ b сегмент дээр тодорхойлогдсон ба үргэлжилсэн бүх x(t) функцүүдийн хязгааргүй хэмжээст шугаман C [a, b] орон зайг авч үзье. Бид x(t) ба y(t) хоёр функцын скаляр үржвэрийг эдгээр функцүүдийн үржвэрийн интеграл (а-аас b хүртэлх мужид) гэж тодорхойлдог.

1°-4° аксиомуудын тодорхойлогдсон скаляр үржвэрийн үнэн зөвийг энгийн аргаар шалгана. Үнэн хэрэгтээ, аксиом 1 ° -ийн хүчинтэй байдал нь тодорхой юм; 2° ба 3° аксиомын хүчинтэй байдал нь тодорхой интегралын шугаман шинж чанараас хамаарна; 4° аксиомын хүчинтэй байдал нь x 2 (t) үргэлжилсэн сөрөг бус функцийн интеграл нь сөрөг биш бөгөөд энэ функц нь a ≤ t ≤ b сегмент дээр тэгтэй ижил тэнцүү байх үед л алга болдог (харна уу). дугаар "Математик анализын үндэс", I хэсэг, 1-р догол мөрний 1° ба 2° шинж чанарууд §6-р бүлгийн 10) (өөрөөр хэлбэл энэ нь авч үзэж буй орон зайн тэг элемент юм).
Ийнхүү тодорхойлогдсон скаляр үржвэртэй C[a, b] орон зай байна хязгааргүй хэмжээст Евклидийн орон зай.
Жишээ 3. Дараах Евклидийн орон зайн жишээнд дурын хоёр элементийн скаляр үржвэр нь x = (x 1, x 2,..., x n) ба y n бодит тооны эмх цэгцтэй цуглуулгаас бүрдсэн n хэмжээст шугаман орон зайг A n өгч байна. = (y 1, y 2 ,...,y n) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

Ийм тодорхойлогдсон скаляр бүтээгдэхүүний хувьд аксиом 1°-ийн хүчинтэй байдал нь ойлгомжтой; 2 ° ба 3 ° аксиомуудын хүчинтэй байдлыг хялбархан шалгаж болно, зөвхөн элементүүдийг нэмэх, тэдгээрийг тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийн тодорхойлолтыг санаарай.

(x 1 , x 2 ,...,x n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n) ,

λ (x 1, x 2,..., x n) = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n);

эцэст нь, (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2 нь үргэлж сөрөг бус тоо бөгөөд зөвхөн x 1 = x нөхцөлд алга болно гэдгээс 4° аксиомын хүчинтэй байдал үүсдэг. 2 = .. = x n = 0.
Энэ жишээнд авч үзсэн Евклидийн орон зайг ихэвчлэн E n тэмдгээр тэмдэглэдэг.
Жишээ 4. А n шугаман орон зайд бид дурын хоёр элементийн скаляр үржвэрийг танилцуулна x = (x 1, x 2,..., x n) ба y = (y 1, y 2,..., y n) ) хамаарал биш (4.2), гэхдээ өөр, илүү ерөнхий байдлаар.
Үүнийг хийхийн тулд n дарааллын квадрат матрицыг авч үзье

(4.3) матрицыг ашиглан x 1, x 2,..., x n n хувьсагчийн хувьд хоёрдугаар эрэмбийн нэгэн төрлийн олон гишүүнт зохиоё.

Урагшаа харахад ийм олон гишүүнтийг нэрлэдэг болохыг бид тэмдэглэж байна квадрат хэлбэр((4.3) матрицаар үүсгэгдсэн) (квадрат хэлбэрийг энэ номын 7-р бүлэгт системтэйгээр судалсан).
Квадрат хэлбэрийг (4.4) гэж нэрлэдэг эерэг тодорхой, хэрэв энэ нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш x 1, x 2,..., x n хувьсагчдын бүх утгуудын хувьд хатуу эерэг утгуудыг авдаг бол (энэ номын 7-р бүлэгт шаардлагатай бөгөөд хангалттай. квадрат хэлбэрийн эерэг тодорхой байдлын нөхцөлийг зааж өгнө).
x 1 = x 2 = ... = x n = 0-ийн хувьд квадрат хэлбэр (4.4) мэдээж тэгтэй тэнцүү тул бид үүнийг хэлж болно. эерэг тодорхой
квадрат хэлбэр нь зөвхөн x нөхцөлд алга болно 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Бид матриц (4.3) нь хоёр нөхцлийг хангасан байхыг шаарддаг.
1°. Эерэг тодорхой квадрат хэлбэрийг үүсгэсэн (4.4).
2°. Энэ нь тэгш хэмтэй байсан (үндсэн диагональтай харьцуулахад), i.e. a ik = a ki нөхцөл i = 1, 2,..., n ба k = I, 2,..., n-ийн хувьд бүгд хангагдсан.
1° ба 2° нөхцлийг хангасан матриц (4.3) ашиглан бид дурын хоёр элементийн скаляр үржвэрийг тодорхойлно x = (x 1, x 2,..., x n) ба y = (y 1, y 2,..) ,y n) орон зайн A n харьцаагаар

1°-4° бүх аксиомын тодорхойлогдсон скаляр үржвэрийн үнэн зөвийг шалгахад хялбар байдаг. Үнэн хэрэгтээ 2° ба 3° аксиомууд нь бүрэн дурын матрицад хүчинтэй байх нь ойлгомжтой (4.3); 1° аксиомын хүчинтэй байдал нь матрицын (4.3) тэгш хэмийн нөхцлөөс, аксиом 4°-ийн хүчинтэй байдал нь скаляр үржвэр (x, x) болох квадрат хэлбэр (4.4) эерэг байдгаас үүснэ. тодорхой.
Тиймээс (4.3) матриц нь тэгш хэмтэй, түүгээр үүсгэгдсэн квадрат хэлбэр нь эерэг тодорхойлогдсон тохиолдолд тэгш хэмтэй (4.5) скаляр үржвэртэй A n орон зай нь Евклидийн орон зай юм.
Хэрэв бид ижил төстэй матрицыг матриц (4.3) гэж авбал (4.4) хамаарал (4.2) болж хувирч, жишээ 3-т авч үзсэн Евклидийн орон зай E n-ийг олж авна.
2. Дурын Евклидийн орон зайн хамгийн энгийн шинж чанарууд.Энэ догол мөрөнд заасан шинж чанарууд нь хязгаарлагдмал ба хязгааргүй хэмжээсийн бүрэн дурын Евклидийн орон зайд хүчинтэй байна.
Теорем 4.1.Дурын Евклидийн орон зайн x ба y хоёр элементийн хувьд дараахь тэгш бус байдал үүснэ.

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

Коши-Буняковскийн тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг.
Баталгаа.Аливаа бодит λ тооны хувьд скаляр үржвэрийн 4° аксиомын хүчинд тэгш бус байдал (λ x - y, λ x - y) > 0 нь 1°-3° аксиомуудын ачаар хамгийн сүүлийн тэгш бус байдал байж болно гэж дахин бичсэн

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

Сүүлчийн дөрвөлжин гурвалжны сөрөг биш байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл нь түүний ялгаварлагчийн эерэг бус байдал, өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдал (х, х) = 0 тохиолдолд квадрат гурвалжин шугаман функц болж доройтож, харин энэ тохиолдолд x элемент тэг тул (x, y ) = 0 ба тэгш бус байдал (4.7) мөн үнэн)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

Тэгш бус байдал (4.6) нь (4.7) -аас шууд гарч ирнэ. Теорем нь батлагдсан.
Бидний дараагийн ажил бол үзэл баримтлалыг нэвтрүүлэх явдал юм хэм хэмжээ(эсвэл урт) элемент бүрийн. Үүний тулд шугаман нормын орон зай гэсэн ойлголтыг танилцуулж байна.
Тодорхойлолт.Шугаман орон зай R гэж нэрлэгддэг хэвийн болгосон, дараах хоёр шаардлагыг хангасан бол.
I. R зайны х элемент бүр нь нэртэй бодит тоотой холбогдох дүрэм байдаг норм(эсвэл урт) заасан элементийн ба ||x|| тэмдгээр тэмдэглэнэ.
P. Энэ дүрэм нь дараах гурван аксиомд хамаарна.
1°. ||x|| Хэрэв x нь тэг биш элемент бол > 0; ||x|| x нь тэг элемент бол = 0;
2°. ||λ x|| = |λ | ||x|| дурын х элемент ба ямар ч бодит тоо λ;
3°. дурын хоёр х ба у элементийн хувьд дараах тэгш бус байдал үнэн байна

||x + y || ≤ ||x|| + ||y ||, (4.8)

гурвалжингийн тэгш бус байдал (эсвэл Минковскийн тэгш бус байдал) гэж нэрлэдэг..
Теорем 4.2. Ямар ч х элементийн норм нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог бол Евклидийн дурын орон зайг норм гэж үзнэ

Баталгаа.(4.9) хамаарлаар тодорхойлсон нормын хувьд нормын орон зайн тодорхойлолтоос 1°-3° аксиом хүчинтэй болохыг батлахад хангалттай.
1° аксиомын нормын хүчинтэй байдал нь скаляр үржвэрийн 4° аксиомоос шууд дагалддаг. 2° аксиомын нормын хүчинтэй байдал нь скаляр үржвэрийн 1° ба 3° аксиомуудаас бараг шууд дагадаг.
Норматив, өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдал (4.8) -ын хувьд аксиом 3 ° -ын хүчинтэй эсэхийг шалгахад хэвээр байна. Бид Коши-Буняковскийн тэгш бус байдалд (4.6) найдах болно, бид үүнийг хэлбэрээр дахин бичих болно.

Сүүлийн тэгш бус байдал, скаляр үржвэрийн 1°-4° аксиом ба нормын тодорхойлолтыг ашиглан бид олж авна.

Теорем нь батлагдсан.
Үр дагавар.(4.9) хамаарлаар тодорхойлогддог элементийн норм бүхий Евклидийн дурын орон зайд x ба y хоёр элементийн хувьд гурвалжны тэгш бус байдал (4.8) явагдана.

Цаашид бид ямар ч бодит Евклидийн орон зайд энэ орон зайн дурын х ба у хоёр элементийн хоорондох өнцгийн тухай ойлголтыг нэвтрүүлж болохыг тэмдэглэж байна. Вектор алгебртай бүрэн зүйрлэвэл бид дууддаг өнцөгэлементүүдийн хоорондох φ XТэгээд цагт(0-ээс π хооронд хэлбэлздэг) өнцөг бөгөөд косинус нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Бидний өнцгийн тодорхойлолт зөв, учир нь Коши-Буняковскийн тэгш бус байдлын улмаас (4.7") сүүлчийн тэгшитгэлийн баруун талд байгаа бутархай нь модулийн хувьд нэгээс хэтрэхгүй байна.
Дараа нь бид эдгээр элементүүдийн скаляр үржвэр (x, y) тэгтэй тэнцүү (энэ тохиолдолд өнцгийн косинус (φ элементүүдийн хоорондох φ)) Евклидийн орон зайн дурын х ба у элементийг Е ортогональ гэж нэрлэхийг зөвшөөрнө. x ба y нь тэгтэй тэнцүү байх болно).
Дахин вектор алгебрийг татахын тулд хоёр ортогональ элементийн x + y нийлбэрийг x ба у элементүүд дээр баригдсан тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз гэж нэрлэе.
Евклидийн орон зайд Пифагорын теорем хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу: гипотенузын квадрат нь хөлний квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Үнэн хэрэгтээ, х ба у нь ортогональ ба (х, у) = 0 тул аксиом болон нормын тодорхойлолтын ачаар

||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.

Энэ үр дүн нь x 1, x 2,..., x n хос тэгш өнцөгт элементүүдэд ерөнхийлсөн: хэрэв z = x 1 + x 2 + ...+ x n бол

||x|| 2 = (x 1 + x 2 + ...+ x n, x 1 + x 2 + ...+ x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( x n,x n) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.

Дүгнэж хэлэхэд бид өмнөх догол мөрөнд авч үзсэн тодорхой Евклидийн орон зай тус бүрийн норм, Коши-Буняковскийн тэгш бус байдал ба гурвалжингийн тэгш бус байдлыг бичнэ.
Скаляр үржвэрийн ердийн тодорхойлолт бүхий бүх чөлөөт векторуудын Евклидийн орон зайд векторын норм нь түүний урт |a|-тай давхцаж, Коши-Буняковскийн тэгш бус байдал ((a,b) 2 ≤ | a|. 2 |b |, мөн гурвалжингийн тэгш бус байдал нь |a + b| ≤ |a | b | хэлбэртэй байна. гурвалжны нэг тал нь нөгөө хоёр талын нийлбэрээс хэтрэхгүй байх явдал).
Скаляр үржвэртэй (4.1) a ≤ t ≤ b сегмент дээр үргэлжилсэн бүх функцийн x = x(t) C [a, b] Евклидийн орон зайд x = x(t) элементийн норм нь , -тэй тэнцүү байна. Коши-Буняковский ба гурвалжингийн тэгш бус байдал нь хэлбэртэй байна

Эдгээр тэгш бус байдал хоёулаа математик шинжилгээний янз бүрийн салбаруудад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
Скаляр үржвэртэй (4.2) n бодит тооны эрэмбэлэгдсэн цуглуулгын Евклидийн орон зайд E n-д дурын элементийн х = (x 1 , x 2 ,..., x n) норм тэнцүү байна.

Эцэст нь скаляр үржвэртэй (4.5) n бодит тооны эмх цэгцтэй цуглуулгуудын Евклидийн орон зайд дурын элементийн х = (x 1, x 2,..., x n) норм нь 0-тэй тэнцүү байна (бид танд сануулж байна. энэ тохиолдлын матриц (4.3) нь тэгш хэмтэй бөгөөд эерэг тодорхой квадрат хэлбэрийг (4.4) үүсгэдэг).

Коши-Буняковский ба гурвалжингийн тэгш бус байдал нь хэлбэртэй байна

Ийм вектор орон зайд харгалзах. Энэ нийтлэлд эхний тодорхойлолтыг эхлэлийн цэг болгон авах болно.

$n$-хэмжээт Евклидийн орон зайг тэмдэглэнэ $\backslash mathbb\; E^n,$тэмдэглэгээг мөн ихэвчлэн ашигладаг $\backslash mathbb\; R^n$(хэрэв тухайн орон зай нь Евклидийн бүтэцтэй гэдэг нь контекстээс тодорхой байвал).

Албан ёсны тодорхойлолт

Евклидийн орон зайг тодорхойлохын тулд скаляр үржвэрийг үндсэн ойлголт болгон авах нь хамгийн хялбар арга юм. Евклидийн вектор орон зай нь бодит тоонуудын талбар дээрх хязгаарлагдмал хэмжээст вектор орон зай гэж тодорхойлогддог бөгөөд тэдгээрийн векторууд дээр бодит утгатай функц тодорхойлогддог. $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$дараах гурван шинж чанартай:

• Хоёр шугаман байдал: дурын векторын хувьд $u,v,w$мөн аливаа бодит тоонуудын хувьд $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$Тэгээд $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Тэгш хэм: дурын векторын хувьд $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• Эерэг баталгаа: хэнд ч $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$болон $(u,u)\; =\; 0\backslash Баруун\; сум\; u=0.$

Евклидийн орон зайн жишээ - координатын орон зай $\backslash mathbb\; R^n,$бодит тоонуудын боломжит бүх багцуудаас бүрдэнэ $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$томъёогоор тодорхойлогддог скаляр бүтээгдэхүүн $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

Урт ба өнцөг

Евклидийн орон зайд тодорхойлсон скаляр үржвэр нь урт ба өнцгийн геометрийн ойлголтыг нэвтрүүлэхэд хангалттай юм. Вектор урт $у$гэж тодорхойлсон $\backslash sqrt((u,u))$болон томилогдсон $|у|.$Скаляр үржвэрийн эерэг тодорхой байдал нь тэгээс өөр векторын урт нь тэгээс өөр байх баталгааг өгдөг бөгөөд хоёр шугаман байдлаас үүдэн гарч ирдэг. $|au|=|a||u|,$өөрөөр хэлбэл пропорциональ векторуудын урт нь пропорциональ байна.

Векторуудын хоорондох өнцөг $у$Тэгээд $v$томъёогоор тодорхойлно $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash баруун).$Косинусын теоремоос үзэхэд хоёр хэмжээст Евклидийн орон зайд ( Евклидийн хавтгай) өнцгийн энэ тодорхойлолт нь ердийнхтэй давхцаж байна. Гурван хэмжээст орон зайн адил тэгш өнцөгт векторуудыг хоорондын өнцөг нь тэнцүү векторууд гэж тодорхойлж болно. $\backslash frac(\backslash pi)(2).$

Коши-Буняковский-Шварцын тэгш бус байдал ба гурвалжингийн тэгш бус байдал

Дээр өгөгдсөн өнцгийн тодорхойлолтод нэг цоорхой үлдсэн байна: тулд $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash баруун)$тодорхойлсон байна, энэ нь зайлшгүй шаардлагатай тэгш бус байдал $\backslash left|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$Энэхүү тэгш бус байдал нь дурын Евклидийн орон зайд байдаг бөгөөд үүнийг Коши-Буняковский-Шварцын тэгш бус байдал гэж нэрлэдэг. Энэ тэгш бус байдлаас эргээд гурвалжингийн тэгш бус байдал үүсдэг. $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$Гурвалжны тэгш бус байдал нь дээр дурдсан уртын шинж чанаруудын хамт векторын урт нь Евклидийн вектор орон зайн норм ба функц гэсэн үг юм. $d(x,y)=|x-y|$Евклидийн орон зайн хэмжүүрийн орон зайн бүтцийг тодорхойлдог (энэ функцийг Евклидийн хэмжүүр гэж нэрлэдэг). Ялангуяа элементүүдийн хоорондох зай (цэг) $x$Тэгээд $y$координатын орон зай $\backslash mathbb\; R^n$томъёогоор өгөгдөнө $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2).$

Алгебрийн шинж чанарууд

Ортонормаль суурь

Холбогч зай ба операторууд

Аливаа вектор $x$Евклидийн орон зай нь шугаман функцийг тодорхойлдог $х^*$гэж тодорхойлсон энэ зай дээр $x^*(y)=(x,y).$Энэхүү харьцуулалт нь Евклидийн орон зай ба түүний хос орон зайн хоорондох изоморфизм бөгөөд тооцоололд саад учруулахгүйгээр тэдгээрийг тодорхойлох боломжийг олгодог. Ялангуяа коньюгат операторууд нь түүний хос дээр биш харин анхны орон зайд үйлчилдэг гэж үзэж болох бөгөөд өөрөө залгах операторууд нь тэдгээрийн коньюгатуудтай давхцдаг операторууд гэж тодорхойлж болно. Ортонормаль суурьт залгах операторын матрицыг анхны операторын матриц руу шилжүүлдэг ба өөрөө залгах операторын матриц нь тэгш хэмтэй байна.

Евклидийн орон зайн хөдөлгөөн

Жишээ

Евклидийн орон зайн жишээнүүдийн жишээ бол дараах орон зай юм.

• $\backslash mathbb\; E^1$хэмжээсүүд $1$ (бодит шугам)
• $\backslash mathbb\; E^2$хэмжээсүүд $2$ (Евклидийн хавтгай)
• $\backslash mathbb\; E^3$хэмжээсүүд $3$ (Евклидийн гурван хэмжээст орон зай)

Илүү хийсвэр жишээ:

• бодит олон гишүүнтийн орон зай $p(x)$зэрэглэлээс хэтрэхгүй $n$, скаляр үржвэр нь эцсийн сегмент дээрх бүтээгдэхүүний интеграл гэж тодорхойлогддог (эсвэл бүхэл бүтэн шугамын дагуу, гэхдээ хурдан муудах жингийн функцтэй, жишээ нь. $e^(-x^2)$).

Олон хэмжээст Евклидийн орон зай дахь геометрийн дүрсүүдийн жишээ

• Тогтмол олон хэмжээст олон талт (ялангуяа N хэмжээст шоо, N хэмжээст октаэдр, N хэмжээст тетраэдр)

Холбогдох тодорхойлолтууд

• Доод Евклидийн хэмжүүрдээр тайлбарласан хэмжүүр болон харгалзах Риманы хэмжүүр гэж ойлгож болно.

• Орон нутгийн Евклидийн үзэл гэж бид ихэвчлэн Риманы олон талт шүргэгч орон зай бүрийг тухайн цэгийн жижиг хөршид координат оруулах чадвартай (метрийн тэгш байдлын улмаас) бүх шинж чанаруудыг агуулсан Евклидийн орон зайг хэлнэ. зайг дээр дурдсанчлан (зарим хэмжээний дараалал хүртэл) илэрхийлнэ.

• Хэрэв хэмжигдэхүүн нь хаа сайгүй (эсвэл ядаж хязгаарлагдмал домэйн дээр) Евклидийн (хоёр дахь тодорхойлолтын утгаараа) байх координатуудыг оруулах боломжтой бол хэмжигдэхүүн орон зайг орон нутгийн хувьд Евклид гэж нэрлэдэг. тэг муруйлттай Риманы олон талт .

Хувилбар ба ерөнхий дүгнэлт

• Үндсэн талбарыг бодит тоонуудын талбараас нийлмэл тоонуудын талбар болгон орлуулах нь нэгдмэл (эсвэл Гермит) орон зайн тодорхойлолтыг өгдөг.
• Төгсгөлийн хэмжээст шаардлагаас татгалзсанаар Гильбертийн өмнөх орон зайн тодорхойлолтыг өгдөг.
• Скаляр бүтээгдэхүүний эерэг тодорхой байдлын шаардлагаас татгалзах нь псевдо-евклидийн орон зайг тодорхойлоход хүргэдэг.

"Евклидийн орон зай" өгүүллийн талаар тойм бичнэ үү.

Тэмдэглэл

Уран зохиол

• Гельфанд I. M.Шугаман алгебрийн лекц. - 5 дахь. - М .: Добросвет, MTsNMO, 1998. - 319 х. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А.И., Манин Ю.Шугаман алгебр ба геометр. - М.: Наука, 1986. - 304 х.

Евклидийн орон зайг тодорхойлсон ишлэл

"Чамд ийм зүйл тохиолдож байна" гэж Наташа ахыгаа тэд буйдан дээр суухдаа хэлэв. "Чамд юу ч тохиолдохгүй юм шиг санагдаж байна. Энэ бүхэн юугаараа сайн байсан бэ? Зөвхөн уйтгартай биш, харин гунигтай байна уу?
- Мөн хэрхэн! - тэр хэлсэн. "Надад бүх зүйл сайхан байсан, бүгд хөгжилтэй байсан, гэхдээ би энэ бүхнээс аль хэдийн залхаж, хүн бүр үхэх хэрэгтэй болсон юм шиг санагдав." Нэг удаа би полк руу зугаалахаар яваагүй, гэхдээ тэнд хөгжим эгшиглэж байсан ... тэгээд би гэнэт уйдаж эхлэв ...
- Өө, би үүнийг мэднэ. Би мэднэ, би мэднэ гэж Наташа дуугаа хураав. - Би жаахан байсан, надад ийм зүйл тохиолдсон. Чи санаж байна уу, нэг удаа намайг чавганы төлөө шийтгэж, та нар бүгд бүжиглэж, би ангидаа суугаад уйлж байсан ч би хэзээ ч мартахгүй: би гунигтай байж, хүн бүрийг, өөрийгөө болон өөрийгөө өрөвдөж, бүгдийг өрөвдөж байсан. Хамгийн гол нь энэ нь миний буруу биш байсан" гэж Наташа хэлэв. "Чи санаж байна уу?
"Би санаж байна" гэж Николай хэлэв. “Би чам дээр сүүлд ирснээ санаж байна, би чамайг тайтгаруулахыг хүсч байсан бөгөөд би ичиж байсан. Бид аймаар хөгжилтэй байсан. Би тэр үед толгойтой тоглоомтой байсан бөгөөд үүнийг танд өгөхийг хүссэн юм. Чи санаж байна уу?
"Чи санаж байна уу" гэж Наташа бодсоор инээмсэглэн хэлэв, бид хэр удаан, эрт дээр үед бид маш бага байсан, авга ах биднийг оффис руу дуудаж, хуучин байшинд буцаж ирэхэд харанхуй байсан - бид ирээд гэнэт тэнд зогсож байна ...
"Арап" гэж Николай баяр хөөртэй инээмсэглэн "Би яаж санахгүй байна вэ?" Энэ нь хар арьстан байсан, эсвэл бид үүнийг зүүдэндээ харсан, эсвэл бидэнд хэлсэн гэдгийг би одоо ч мэдэхгүй.
- Тэр саарал байсан, санаж байна уу, цагаан шүдтэй байсан - Тэр зогсоод бидэн рүү харав ...
- Соня, чи санаж байна уу? - Николай асуув ...
"Тийм ээ, тийм ээ, би бас нэг зүйлийг санаж байна" гэж Соня айж хариулав ...
Наташа "Би аав, ээжээсээ энэ хар арьстны талаар асуусан" гэж хэлэв. -Тэд хар бараан байгаагүй гэж ярьдаг. Гэхдээ та санаж байна!
-Өө, би одоо түүний шүдийг яаж санаж байна.
-Ямар сонин юм бэ, зүүд шиг л байсан. Би үүнд дуртай.
"Бид үүдний танхимд өндөг өнхрүүлж байтал гэнэт хоёр хөгшин эмэгтэй хивсэн дээр эргэлдэж эхэлснийг санаж байна уу?" Тийм байсан уу, үгүй ​​юу? Ямар сайн байсныг санаж байна уу?
- Тийм ээ. Цэнхэр үслэг дээлтэй аав үүдний тавцан дээр буу хэрхэн буудсаныг санаж байна уу? "Тэд эргэлдэж, баяр баясгалантайгаар инээмсэглэн, дурсамжууд, гунигтай хуучин дурсамжууд биш, харин яруу найргийн залуу үеийн дурсамжууд, мөрөөдөл нь бодит байдалтай нийлдэг хамгийн алс холын өнгөрсөн үеийн сэтгэгдэл, ямар нэгэн зүйлд баярлан чимээгүйхэн инээв.
Тэдний дурсамж нийтлэг байсан ч Соня үргэлж тэдний ард хоцорчээ.
Соня тэдний санаж байсан зүйлсийн ихэнхийг санахгүй байсан бөгөөд санаж байсан зүйл нь тэдний мэдэрсэн яруу найргийн мэдрэмжийг төрүүлээгүй. Тэр зөвхөн тэдний баяр баясгалангаас таашаал авч, түүнийг дууриахыг хичээдэг байв.
Тэд Сонягийн анхны айлчлалыг санахад л тэр оролцсон. Соня Николайгаас хэрхэн айдаг тухайгаа, тэр хүрэм дээрээ утастай байсан тул асрагч түүнд бас утас оёно гэж хэлэв.
"Тэгээд би санаж байна: тэд намайг байцааны дор төрсөн гэж хэлсэн" гэж Наташа хэлэв, "тэр үед би үүнд итгэж зүрхлэхгүй байснаа санаж байна, гэхдээ энэ нь үнэн биш гэдгийг мэдэж байсан, би маш их ичиж байсан. ”
Энэ ярианы үеэр үйлчлэгчийн толгой буйдангийн өрөөний арын хаалгаар цухуйв. "Хатагтай, тэд азарган тахиа авчирсан" гэж охин шивнэв.
"Хэрэггүй ээ, Поля, надад үүнийг үүрээд өгөөч" гэж Наташа хэлэв.
Буйдан дээр өрнөж буй ярианы дундуур Диммлер өрөөнд орж ирэн буланд зогсож байсан ятга руу ойртлоо. Тэр даавууг тайлж, босоо ятга хуурамч дуу гаргав.
"Эдуард Карлыч, эрхэм Филд миний хайрт Ноктуриенийг тоглоорой" гэж зочны өрөөнөөс хөгшин гүнгийн дуу сонсогдов.
Диммлер чанга цохиод Наташа, Николай, Соня нар руу эргэж хараад: "Залуучууд аа, тэд ямар чимээгүй сууж байна!"
"Тийм ээ, бид философи хийж байна" гэж Наташа эргэн тойрноо хэсэг харан яриагаа үргэлжлүүлэв. Ярилцлага одоо мөрөөдлийн тухай байв.
Диммер тоглож эхлэв. Наташа чимээгүйхэн, хөлийнхөө үзүүрээр ширээн дээр очиж, лаа авч, гаргаад буцаж ирээд чимээгүйхэн байрандаа суув. Өрөөнд, ялангуяа тэдний сууж байсан буйдан дээр харанхуй байсан ч том цонхоор тэргэл сарны мөнгөн гэрэл шалан дээр тусав.
"Чи мэдэж байгаа, би бодож байна" гэж Наташа шивнэн хэлээд Николай, Соня хоёр руу ойртож, Диммлер аль хэдийн дуусаад сууж байхдаа чавхдасаа сул татаж, орхих эсвэл шинэ зүйл эхлүүлэхээр шийдэмгий байсангүй. чи санаж байна, чи бүгдийг санаж байна, чи намайг энэ ертөнцөд байхаас өмнө юу болсныг маш их санаж байна ...
"Энэ бол Метампсик" гэж үргэлж сайн сурч, бүх зүйлийг санаж байсан Соня хэлэв. -Египетчүүд бидний сүнс амьтад байдаг бөгөөд эргээд амьтан руу буцна гэж итгэдэг байсан.
"Үгүй ээ, бид амьтад байсан гэдэгт би итгэхгүй байна" гэж Наташа мөнөөх л шивнэхдээ хөгжим дуусч байсан ч бид энд тэнд сахиусан тэнгэр байсныг би баттай мэдэж байна. Бид бүгдийг санаж байна."
-Тантай нэгдэж болох уу? - гэж Диммлер чимээгүйхэн ойртон тэдний хажууд суув.
-Хэрэв бид сахиусан тэнгэр байсан бол яагаад доош унасан юм бэ? - гэж Николай хэлэв. - Үгүй ээ, ийм байж болохгүй!
"Доор биш, хэн чамд ингэж доогуур хэлсэн юм бэ?... Би яагаад өмнө нь ямар байсныг мэдэж байгаа юм" гэж Наташа итгэлтэйгээр эсэргүүцэв. - Эцсийн эцэст, сүнс бол үхэшгүй ... тиймээс, хэрэв би мөнх амьдарвал би урьд нь ингэж амьдарч, үүрд мөнхөд амьдарч байсан.
"Тийм ээ, гэхдээ бид үүрд мөнхийг төсөөлөхөд хэцүү байна" гэж Диммлер залуу хүмүүс рүү дөлгөөн, үл тоомсорлон инээмсэглэсэн боловч одоо тэдэн шиг чимээгүй, нухацтай ярьж байна.
– Мөнхийн амьдралыг төсөөлөхөд яагаад хэцүү байдаг вэ? - Наташа хэлэв. -Өнөөдөр болно, маргааш болно, үргэлж байх болно, өчигдөр ч байсан, өчигдөр ч байсан...
- Наташа! Одоо чиний ээлж. "Надад ямар нэг юм дуулаач" гэж гүнгийн хоолой сонсогдов. -Та нар хуйвалдагчид шиг сууж байсан.
- Ээж ээ! "Би үүнийг хийхийг хүсэхгүй байна" гэж Наташа хэлэв, гэхдээ тэр яг тэр үед бослоо.
Тэд бүгд, тэр ч байтугай дунд эргэм насны Диммлер ч гэсэн яриаг тасалж буйдангийн булангаас гарахыг хүссэнгүй, харин Наташа босож, Николай клавихорд дээр суув. Үргэлж байсан шигээ танхимын голд зогсоод резонанс хийх хамгийн тохиромжтой газрыг сонгон Наташа ээжийнхээ дуртай дууг дуулж эхлэв.
Тэрээр дуулахыг хүсэхгүй байгаа ч өмнө нь удаан хугацаанд дуулж байгаагүй, тэр оройн дуулснаас хойш багагүй хугацаа өнгөрчээ. Гүн Илья Андреич Митинкатай ярилцаж байсан оффисоос нь түүний дуулахыг сонсоод, оюутан шиг тоглох гэж яарч, хичээлээ дуусгаад үгэндээ эргэлзэж, менежерт тушаал өгөөд эцэст нь чимээгүй болов. , мөн Митинка ч бас сонсож, чимээгүйхэн инээмсэглэн, тооллын өмнө зогсов. Николай эгчээсээ нүд салгалгүй, түүнтэй хамт амьсгаа авав. Соня сонсож байхдаа найзтайгаа ямар том ялгаа байгааг, үеэл шигээ дур булаам байх нь ямар ч боломжгүй байсан тухай бодлоо. Хөгшин гүнж аз жаргалтай гунигтай инээмсэглэн, нулимс дуслуулан сууж, хааяа толгойгоо сэгсэрнэ. Тэрээр Наташа болон түүний залуу насны тухай, мөн Наташа ханхүү Андрейтэй удахгүй болох гэрлэлтэнд ямар нэгэн ер бусын, аймшигтай зүйл байсан талаар бодов.
Диммлер гүнгийн хажууд суугаад нүдээ анин сонсов.
"Үгүй ээ, гүнгийн авъяас" гэж тэр эцэст нь хэлэв, "энэ бол Европын авьяас, түүнд сурах зүйл алга, энэ зөөлөн, эмзэглэл, хүч чадал ..."
- Аа! "Би түүнээс яаж айж байна, би ямар их айж байна вэ" гэж гүнж хэнтэй ярьж байгаагаа санахгүй байна. Түүний эхийн зөн совин түүнд Наташад ямар нэг зүйл хэтэрхий их байгаа бөгөөд энэ нь түүнийг аз жаргалтай болгохгүй гэж хэлэв. Наташа дуулж дуусаагүй байтал урам зоригтой арван дөрвөн настай Петя өрөөнд орж ирэн муммерүүд ирлээ гэсэн мэдээг сонсов.
Наташа гэнэт зогсов.
- Тэнэг! - тэр ах руугаа хашгирч, сандал дээр гүйж очоод, дээр нь унаж, удаан хугацаанд зогсоож чадахгүй маш их уйлсан.
"Юу ч биш, ээж ээ, үнэхээр юу ч биш, яг л ийм: Петя намайг айлгасан" гэж тэр инээмсэглэхийг оролдсон боловч нулимс урсаж, уйлах нь хоолойг нь боогдуулж байв.
Хувцасласан зарц нар, баавгайнууд, туркууд, дэн буудлын эзэд, хатагтай нар, аймшигтай, хөгжилтэй, хүйтэн, хөгжилтэй байдлыг авчирч, эхлээд хонгилд аймшиггүй бөөгнөрөв; дараа нь нэг нэгнийхээ ард нуугдаж, тэднийг танхимд хүчээр оруулав; Эхлээд ичимхий, дараа нь улам бүр хөгжилтэй, найрсаг байдлаар дуу, бүжиг, найрал дуу, Христийн Мэндэлсний Баярын тоглоомууд эхлэв. Гүнж царайг таньж, хувцасласан хүмүүсийн өөдөөс инээж, зочны өрөөнд оров. Гүн Илья Андреич танхимд гялалзсан инээмсэглэлээр сууж, тоглогчдыг сайшаав. Залуус хаа нэгтээ алга болжээ.

Сургуульд байхдаа ч бүх сурагчдад "Евклидийн геометр" гэсэн ойлголтыг танилцуулдаг бөгөөд түүний үндсэн заалтууд нь цэг, хавтгай, шулуун, хөдөлгөөн гэх мэт геометрийн элементүүд дээр суурилсан хэд хэдэн аксиом дээр төвлөрдөг. Тэд бүгд нийлээд эрт дээр үеэс "Евклидийн орон зай" гэж нэрлэгддэг орон зайг бүрдүүлдэг.

Векторуудын скаляр үржүүлэх зарчим дээр суурилдаг Евклид нь хэд хэдэн шаардлагыг хангасан шугаман (аффин) орон зайн онцгой тохиолдол юм. Нэгдүгээрт, векторуудын скаляр үржвэр нь туйлын тэгш хэмтэй, өөрөөр хэлбэл (x;y) координаттай вектор нь координаттай (y;x) вектортой тоон хувьд ижил боловч чиглэлийн эсрэг байна.

Хоёрдугаарт, хэрэв векторын скаляр үржвэрийг өөрөө хийвэл энэ үйлдлийн үр дүн эерэг байх болно. Цорын ганц үл хамаарах зүйл нь энэ векторын анхны болон эцсийн координат нь тэгтэй тэнцүү байх болно: энэ тохиолдолд түүний бүтээгдэхүүн өөрөө тэгтэй тэнцүү байх болно.

Гуравдугаарт, скаляр бүтээгдэхүүн нь тархалттай, өөрөөр хэлбэл координатынхаа аль нэгийг хоёр утгын нийлбэр болгон задлах боломжтой бөгөөд энэ нь векторуудын скаляр үржүүлгийн эцсийн үр дүнд өөрчлөлт оруулахгүй. Эцэст нь, дөрөвдүгээрт, векторуудыг ижил зүйлээр үржүүлэхэд тэдгээрийн скаляр үржвэр нь мөн адил хэмжээгээр нэмэгдэх болно.

Хэрэв эдгээр дөрвөн нөхцөл хангагдсан бол бид үүнийг Евклидийн орон зай гэж итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Практик талаас нь авч үзвэл Евклидийн орон зайг дараах тодорхой жишээгээр тодорхойлж болно.

1. Хамгийн энгийн тохиолдол бол геометрийн үндсэн хуулиудын дагуу тодорхойлогдсон скаляр үржвэртэй векторуудын багц байх явдал юм.
2. Хэрэв бид векторуудын тусламжтайгаар тэдгээрийн скаляр нийлбэр эсвэл үржвэрийг тодорхойлсон өгөгдсөн томъёо бүхий тодорхой тооны бодит тоонуудыг ойлгодог бол Евклидийн орон зайг олж авна.
3. Евклидийн орон зайн онцгой тохиолдлыг хоёр векторын скаляр урт тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд олж авсан тэг орон зай гэж нэрлэх ёстой.

Евклидийн орон зай нь хэд хэдэн өвөрмөц шинж чанартай байдаг. Нэгдүгээрт, скаляр хүчин зүйлийг скаляр үржвэрийн эхний болон хоёр дахь хүчин зүйлийн аль алинаас нь хаалтнаас гаргаж авах боломжтой бөгөөд үр дүнд нь ямар ч өөрчлөлт орохгүй. Хоёрдугаарт, скаляр бүтээгдэхүүний эхний элементийн тархалтын зэрэгцээ хоёр дахь элементийн тархалт бас ажилладаг. Үүнээс гадна векторуудын скаляр нийлбэрээс гадна векторыг хасах тохиолдолд тархалт бас тохиолддог. Эцэст нь, гуравдугаарт, скаляр векторыг тэгээр үржүүлэхэд үр дүн нь тэгтэй тэнцүү байх болно.

Тиймээс Евклидийн орон зай нь векторуудын бие биенээсээ харьцангуй байрлалтай асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг хамгийн чухал геометрийн ойлголт бөгөөд скаляр үржвэр гэх мэт ямар ойлголтыг ашигладаг болохыг тодорхойлоход ашигладаг.

Евклидийн орон зай

Т.А. Волкова, Т.П. Книш.

БОЛОН дөрвөлжин хэлбэрүүд

Евклидийн орон зай

Санкт-Петербург

Шүүмжлэгч: Техникийн шинжлэх ухааны нэр дэвшигч, дэд профессор Шкадова А.Р.

Евклидийн орон зай ба квадрат хэлбэрүүд: лекцийн тэмдэглэл. – Санкт-Петербург: SPGUVK, 2012 – х.

Лекцийн тэмдэглэл нь 010400.62 "Хэрэглээний математик, компьютерийн шинжлэх ухаан" бакалаврын 2-р курс, 090900.62 "Мэдээллийн аюулгүй байдал" бакалаврын 1-р курсын оюутнуудад зориулагдсан болно.

Уг гарын авлагад 010400.62 чиглэлийн "Геометр ба алгебр" хичээлийн нэг хэсэг, 090900.62 чиглэлийн "Алгебр ба геометр" хичээлийн лекцийн иж бүрэн тэмдэглэл орсон болно мэргэшсэн байх ба оюутнууд, багш нар шалгалтанд бэлтгэхэд ашиглаж болно.

©Санкт-Петербург муж

Усны харилцааны их сургууль, 2012 он

Геометрийн объектуудын олон шинж чанарууд нь сегментүүдийн урт ба шулуун шугамын хоорондох өнцгийг хэмжих чадвартай нягт холбоотой байдаг. Шугаман орон зайд бид ийм хэмжилтийг хараахан хийж чадахгүй байгаа бөгөөд үүний үр дүнд шугаман орон зайн ерөнхий онолыг геометр болон бусад олон тооны математикийн шинжлэх ухаанд хэрэглэх хүрээ нэлээд нарийсч байна. Гэхдээ хоёр векторын скаляр үржвэрийн тухай ойлголтыг оруулснаар энэ хүндрэлийг арилгаж болно. Тодруулбал, шугаман хэмжээст бодит орон зай байг. Хос вектор бүрийг бодит тоотой холбож, энэ тоог дуудъя скаляр бүтээгдэхүүнвекторууд ба дараах шаардлагыг хангасан бол:

1. (коммутатив хууль).

3. ямар ч бодитой.

4. ямар ч тэг биш векторын хувьд.

Скаляр бүтээгдэхүүн нь үзэл баримтлалын онцгой тохиолдол юм Хоёр вектор аргументын тоон функц, өөрөөр хэлбэл утгууд нь тоонууд болох функцууд. Тиймээс бид скаляр үржвэрийг вектор аргументуудын тоон функц гэж нэрлэж болно, утгууд нь аргументуудын аль ч утгын хувьд хүчинтэй бөгөөд 1-4 шаардлагыг хангасан байна.

Скаляр үржвэр тодорхойлогдсон бодит шугаман орон зайг дуудах болно Евклидба -аар тэмдэглэгдэх болно.

Евклидийн орон зайд тэг вектор ба дурын векторын скаляр үржвэр нь тэгтэй тэнцүү болохыг анхаарна уу: . Үнэхээр, мөн шаардлагаар 3. Бид үүнийг ойлгодог гэж бодвол. Тиймээс, ялангуяа, .

1. цэг дээрх нийтлэг эхтэй геометрийн векторуудын ердийн гурван хэмжээст орон зай гэж үзье. Аналитик геометрийн хувьд ийм хоёр векторын скаляр үржвэр нь -тэй тэнцүү бодит тоо бөгөөд энд нь векторуудын урт ба , мөн векторуудын хоорондох өнцөг , -тэй тэнцүү байх ба энэ тооны хувьд бүх шаардлага 1 − 4 байх нь батлагдсан. сэтгэл хангалуун байна.

Тиймээс бидний оруулсан скаляр бүтээгдэхүүний тухай ойлголт нь геометрийн векторуудын скаляр үржвэрийн тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм.

2. Бодит координат бүхий хэмжээст мөрүүдийн орон зайг авч үзээд ийм эгнээний векторуудын хос бүрт бодит тоо онооно.

Энэ тоонд 1-4-ийн бүх шаардлагыг хангаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг.

мөн адил. Эцэст нь,

at дахь тоонуудын ядаж нэг нь тэгээс ялгаатай тул.

Эндээс бид энэ тоо нь тэмдэгт мөр векторуудын скаляр үржвэр бөгөөд ийм скаляр үржвэрийг нэвтрүүлсний дараа орон зай нь Евклид болж байгааг бид харж байна.

3. Шугаман бодит хэмжээст орон зай ба түүний суурь нь байг. Хос вектор бүрийг бодит тоотой холбоно. Дараа нь орон зай Евклид болж хувирна, өөрөөр хэлбэл тоо нь векторуудын скаляр үржвэр болно. Үнэхээр:

Бид өөр аргаар орон зайгаа Евклидийн орон зай болгон хувиргаж болно, жишээлбэл, хос вектор, бодит тоо оноож болно.

Ийм тооны хувьд скаляр үржвэрийг тодорхойлдог 1 - 4 бүх шаардлагыг хангаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Гэхдээ энд (ижил үндэслэлээр) бид өөр тоон функцийг тодорхойлсон тул өөр "хэмжих тодорхойлолт" бүхий өөр Евклидийн орон зайг олж авна.

4. Төгсгөлд нь ижил орон зай руу шилжиж, -ийн хувьд тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тоон функцийг авч үзье. 4-р шаардлага зөрчигдсөн тул энэ функц нь скаляр үржвэр байхаа больсон: үед вектор нь , a-тай тэнцүү байна. Тиймээс Евклидийн орон зайг эндээс авах боломжгүй.

Скаляр бүтээгдэхүүний тодорхойлолтод орсон 2 ба 3-р шаардлагыг ашиглан дараах томъёог олж авахад хялбар болно.

Энд , нь дурын хоёр векторын систем юм. Эндээс дурын суурь болон дурын хос векторын хувьд , , гэсэн нь гарч ирнэ.

Хаана. Тэгш байдлын баруун талын илэрхийлэл (1) нь олон гишүүнт бөгөөд ба гэж нэрлэдэг хоёр шугаман хэлбэр-аас ба (түүний нэр томьёо бүр нь шугаман, өөрөөр хэлбэл эхний зэрэгтэй, -тэй холбоотой болон -ын хувьд). Хоёр шугаман хэлбэрийг нэрлэдэг тэгш хэмтэй, хэрэв түүний коэффициент тус бүрийн хувьд тэгш хэмийн нөхцөл хангагдсан бол. Тиймээс, скаляр бүтээгдэхүүн дурын үндсэн дээр векторын координатын хоёр шугаман тэгш хэмт хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ , бодит магадлалаар. Гэхдээ энэ нь хангалтгүй хэвээр байна. Тухайлбал, тохиргоог хийснээр бид (1) тэгш байдлаас олж авдаг

§3. Вектор орон зайн хэмжээс ба суурь

Векторуудын шугаман хослол

Өчүүхэн ба энгийн бус шугаман хослол

Шугаман хамааралтай ба шугаман бие даасан векторууд

Векторуудын шугаман хамааралтай холбоотой вектор орон зайн шинж чанарууд

П- хэмжээст вектор орон зай

Вектор орон зайн хэмжээс

Векторыг суурь болгон задлах

§4. Шинэ суурь руу шилжих

Хуучин баазаас шинэ суурь руу шилжих матриц

Шинэ суурь дахь вектор координатууд

§5. Евклидийн орон зай

Скаляр бүтээгдэхүүн

Евклидийн орон зай

Векторын урт (норм).

Векторын уртын шинж чанарууд

Векторуудын хоорондох өнцөг

Ортогональ векторууд

Ортонормаль суурь

§ 3. Вектор орон зайн хэмжээс ба суурь

Талбай дээрх зарим вектор орон зайг (V, Å, ∘) авч үзье Р. V олонлогийн зарим элемент байг, i.e. векторууд.

Шугаман хослолвекторууд нь талбайн дурын элементүүдээр эдгээр векторуудын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцэх дурын вектор юм. Р(жишээ нь скаляр дээр):

Хэрэв бүх скалярууд тэгтэй тэнцүү бол ийм шугаман хослолыг нэрлэдэг өчүүхэн(хамгийн энгийн) ба .

Хэрэв дор хаяж нэг скаляр тэгээс өөр байвал шугаман хослолыг дуудна өчүүхэн бус.

Векторуудыг дууддаг шугаман бие даасан, хэрэв эдгээр векторуудын өчүүхэн шугаман хослол нь дараахтай тэнцүү бол:

Векторуудыг дууддаг шугаман хамааралтай, хэрэв эдгээр векторуудын ядаж нэг тривиаль бус шугаман хослол байвал .

Жишээ. Бодит тоонуудын дөрөв дахин эрэмблэгдсэн багцыг авч үзье - энэ нь бодит тоонуудын талбар дээрх вектор орон зай юм. Даалгавар: векторууд байгаа эсэхийг олж мэд , Тэгээд шугаман хамааралтай.

Шийдэл.

Эдгээр векторуудын шугаман хослолыг хийцгээе: , хаана нь үл мэдэгдэх тоо байна. Бид энэ шугаман хослолыг тэг вектортой тэнцүү байхыг шаарддаг: .

Энэ тэгшитгэлд бид векторуудыг тооны багана хэлбэрээр бичнэ.

Хэрэв энэ тэгш байдлыг хангасан тоонууд байгаа бөгөөд тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш бол энэ нь энгийн бус шугаман хослол бөгөөд векторууд нь шугаман хамааралтай байна.

Дараахыг хийцгээе.

Тиймээс шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд асуудал багасна.

Үүнийг шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Системийн өргөтгөсөн болон үндсэн матрицуудын зэрэглэлүүд нь үл мэдэгдэх тооноос бага, тэнцүү байдаг тул систем нь хязгааргүй тооны шийдлүүдтэй байдаг.

Let, дараа нь ба .

Тэгэхээр, эдгээр векторуудын хувьд утгын бус шугаман хослол байдаг, жишээ нь -д, тэг вектортой тэнцүү, энэ нь эдгээр векторууд шугаман хамааралтай гэсэн үг юм.

Заримыг нь тэмдэглэе векторуудын шугаман хамааралтай холбоотой вектор орон зайн шинж чанарууд:

1. Хэрэв векторууд нь шугаман хамааралтай бол ядаж нэг нь бусдын шугаман хослол байна.

2. Хэрэв векторуудын дунд тэг вектор байгаа бол эдгээр векторууд шугаман хамааралтай байна.

3. Зарим векторууд шугаман хамааралтай бол эдгээр векторууд бүгд шугаман хамааралтай байна.

V вектор орон зайг нэрлэнэ П- хэмжээст вектор орон зай, агуулж байгаа бол Пшугаман бие даасан векторууд ба дурын багц ( П+ 1) векторууд нь шугаман хамааралтай.

Тоо Пдуудсан вектор орон зайн хэмжээс, болон тэмдэглэгдсэн байна бүдэг(V)Англи хэлнээс "хэмжээ" - хэмжээс (хэмжилт, хэмжээ, хэмжээ, хэмжээ, урт гэх мэт).

Нийтлэг байдал Пшугаман бие даасан векторууд П-хэмжээт вектор орон зай гэж нэрлэдэг суурь.

Томъёог (*) гэж нэрлэдэг вектор задрал үндсэн дээр, болон тоонууд – вектор координатэнэ үндсэн дээр .

Вектор орон зай нь нэгээс олон эсвэл бүр хязгааргүй олон суурьтай байж болно. Шинэ суурь болгонд ижил вектор өөр өөр координаттай байх болно.

§ 4. Шинэ суурь руу шилжих

Шугаман алгебрийн хувьд хуучин суурь дахь координат нь мэдэгдэж байгаа бол векторын координатыг шинэ үндэслэлээр олох асуудал ихэвчлэн гарч ирдэг.

Заримыг нь харцгаая П-талбар дээрх хэмжээст вектор орон зай (V, +, ·). Р. Энэ орон зайд хуучин ба шинэ гэсэн хоёр суурь байх болтугай .

Даалгавар: шинэ үндэслэлээр векторын координатыг ол.

Хуучин суурь дахь шинэ суурийн векторууд дараах тэлэлттэй байг.

,

Матриц руу векторуудын координатыг системд бичсэн шиг мөрөөр биш, харин баганаар бичье.

Үүссэн матрицыг нэрлэнэ шилжилтийн матрицхуучин үндэслэлээс шинэ.

Шилжилтийн матриц нь хуучин болон шинэ суурь дээрх дурын векторын координатыг дараах хамаарлаар холбодог.

,

шинэ суурь дахь векторын хүссэн координатууд хаана байна.

Тиймээс вектор координатыг шинэ үндэслэлээр олох даалгавар нь матрицын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд буурдаг: , энд X– хуучин суурь дээрх вектор координатын матриц-багана, А- хуучин баазаас шинэ суурь руу шилжих матриц; X* – шинэ суурь дахь вектор координатын шаардлагатай матриц-багана. Матрицын тэгшитгэлээс бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тэгэхээр, вектор координат шинэ суурь дээртэгшитгэлээс олно:

.

Жишээ.Тодорхой үндэслэлээр вектор задралыг өгсөн болно.

Суурь дээрх векторын координатыг ол.

Шийдэл.

1. Шилжилтийн матрицыг шинэ суурь руу бичье, өөрөөр хэлбэл. Бид хуучин суурь дээрх векторуудын координатыг баганад бичнэ.

2. Матрицыг ол А –1:

3. Үржүүлэх үйлдлийг гүйцэтгэнэ үү, энд векторын координатууд байна:

Хариулах: .

§ 5. Евклидийн орон зай

Заримыг нь харцгаая П-бодит тооны талбар дээрх хэмжээст вектор орон зай (V, +, ·). Р. Энэ орон зайн зарим үндэс суурь болцгооё.

Энэ вектор орон зайд танилцуулъя хэмжүүр, өөрөөр хэлбэл Урт болон өнцгийг хэрхэн хэмжихийг тодорхойлъё. Үүний тулд бид скаляр бүтээгдэхүүний ойлголтыг тодорхойлдог.