Бүх геометрийн дүрсүүдийн талбайн томъёо. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Талбайн томъёоЭнэ нь Евклидийн хавтгайн дүрсүүдийн тодорхой ангилалд тодорхойлогдсон, 4 нөхцөлийг хангасан бодит үнэ цэнэтэй функц болох зургийн талбайг тодорхойлох шаардлагатай.

1. Эерэг байдал - Талбай нь тэгээс бага байж болохгүй;
2. Хэвийн байдал - хажуугийн нэгжтэй квадрат нь 1 талбайтай;
3. Тохиромжтой байдал - конгруент тоо нь тэнцүү талбайтай;
4. Нэмэлт байдал - нийтлэг дотоод цэггүй 2 дүрсийн нэгдлийн талбай нь эдгээр зургийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Дэлхийг хэрхэн хэмжих тухай мэдлэг эрт дээр үеэс бий болж, геометрийн шинжлэх ухаанд аажмаар бүрэлдэн тогтсон. Энэ үгийг грек хэлнээс "газар хайгуул" гэж орчуулдаг.

Дэлхийн хавтгай хэсгийн урт ба өргөнийг хэмжих хэмжүүр нь талбай юм. Математикийн хувьд үүнийг ихэвчлэн Латин үсгээр S (Англи хэлний "дөрвөлжин" - "талбай", "дөрвөлжин") эсвэл Грек үсгээр σ (сигма) гэж тэмдэглэдэг. S нь хавтгай дээрх дүрсийн талбай эсвэл биеийн гадаргуугийн талбайг илэрхийлдэг бөгөөд σ нь физик дэх утасны хөндлөн огтлолын талбай юм. Эдгээр нь гол тэмдэг юм, гэхдээ бусад байж болох ч, жишээлбэл, материалын бат бэхийн талбарт A нь профилын хөндлөн огтлолын хэсэг юм.

-тай холбоотой

Тооцооллын томъёо

Энгийн дүрсүүдийн талбарыг мэдсэнээр та илүү төвөгтэй дүрсүүдийн параметрүүдийг олох боломжтой.. Эртний математикчид үүнийг хялбархан тооцоолох томьёог боловсруулжээ. Ийм дүрс нь гурвалжин, дөрвөлжин, олон өнцөгт, тойрог юм.

Нарийн төвөгтэй хавтгай дүрсийн талбайг олохын тулд түүнийг гурвалжин, трапец, тэгш өнцөгт гэх мэт олон энгийн дүрст хуваадаг. Дараа нь математикийн аргыг ашиглан энэ зургийн талбайн томъёог гаргаж авдаг. Үүнтэй төстэй аргыг зөвхөн геометрт төдийгүй математик шинжилгээнд муруйгаар хязгаарлагдсан дүрсүүдийн талбайг тооцоолоход ашигладаг.

Гурвалжин

Хамгийн энгийн дүрс болох гурвалжингаар эхэлцгээе. Тэдгээр нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг. AB=a, BC=b ба AC=c (∆ ABC) талуудтай дурын ABC гурвалжинг ав. Түүний талбайг олохын тулд сургуулийн математикийн хичээлээс мэддэг синус ба косинусын теоремуудыг эргэн санацгаая. Бүх тооцооллыг орхиж, бид дараах томъёонд хүрнэ.

• S=√ - Хүн бүрт мэддэг Хэроны томьёо, энд p=(a+b+c)/2 нь гурвалжны хагас периметр;
• S=a h/2, энд h нь a тал руу буулгасан өндөр;
• S=a b (sin γ)/2, энд γ нь a ба b талуудын хоорондох өнцөг;
• S=a b/2, хэрэв ∆ ABC тэгш өнцөгт бол (энд a ба b нь хөл);
• S=b² (sin (2 β))/2, хэрэв ∆ ABC нь ижил өнцөгт байвал (энд b нь "ташааны" нэг, β нь гурвалжны "таша" хоорондын өнцөг);
• S=a² √¾, хэрэв ∆ ABC тэнцүү талт бол (энд a нь гурвалжны тал юм).

Дөрвөн өнцөгт

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d гэсэн дөрвөн өнцөгт ABCD байг. Дурын 4 өнцөгтийн S талбайг олохын тулд диагональаар нь S1 ба S2 талбайнууд нь ерөнхийдөө тэнцүү биш хоёр гурвалжинд хуваах хэрэгтэй.

Дараа нь томьёог ашиглан тэдгээрийг тооцоолж, нэмнэ үү, өөрөөр хэлбэл S=S1+S2. Гэсэн хэдий ч, хэрэв 4-гон нь тодорхой ангилалд хамаарах бол түүний талбайг өмнө нь мэдэгдэж байсан томъёог ашиглан олж болно.

• S=(a+c) h/2=e h, хэрэв тетрагон нь трапец бол (энд a ба c нь суурь, e нь трапецын дунд шугам, h нь трапецын суурийн аль нэгэнд буулгасан өндөр;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, хэрэв ABCD нь параллелограмм бол (энд φ нь a ба b талуудын хоорондох өнцөг, h нь a тал руу унасан өндөр, d1 ба d2 диагональ);
• S=a b=d²/2, хэрэв ABCD нь тэгш өнцөгт бол (d нь диагональ);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, хэрэв ABCD нь ромб бол (a нь ромбын тал, φ нь түүний нэг өнцөг, P нь периметр);
• S=a²=P²/16=d²/2, хэрэв ABCD нь квадрат бол.

Олон өнцөгт

Математикчид n-gon-ийн талбайг олохын тулд үүнийг хамгийн энгийн тэнцүү тоонууд болох гурвалжин болгон хувааж, тус бүрийн талбайг олж, дараа нь нэмнэ. Гэхдээ хэрэв олон өнцөгт нь ердийн ангилалд хамаарах бол дараах томъёог ашиглана уу.

S=a n h/2=a² n/=P²/, энд n нь олон өнцөгтийн оройнуудын (эсвэл талуудын) тоо, a нь n өнцөгтийн тал, P нь периметр, h нь апотем, өөрөөр хэлбэл a. олон өнцөгтийн төвөөс аль нэг тал руу нь 90° өнцгөөр зурсан сегмент.

Тойрог

Тойрог бол хязгааргүй олон талтай төгс олон өнцөгт юм. Хязгааргүй хандлагатай n талуудын тоо бүхий олон өнцөгтийн талбайн томъёоны баруун талд байгаа илэрхийллийн хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд олон өнцөгтийн периметр нь R радиустай тойргийн урт болж хувирах бөгөөд энэ нь бидний тойргийн хил болох ба P=2 π R-тэй тэнцүү болно. Дээрх томьёонд энэ илэрхийллийг орлуул. Бид авах болно:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Энэ илэрхийллийн хязгаарыг n→∞ гэж олъё. Үүнийг хийхийн тулд n→∞-ийн lim (cos (180°/n)) нь cos 0°=1-тэй тэнцүү (lim нь хязгаарын тэмдэг), n→∞-ийн хувьд lim = lim гэдгийг харгалзан үзнэ. 1/π-тэй тэнцүү (бид π rad=180° харьцааг ашиглан градусын хэмжигдэхүүнийг радиан болгон хувиргаж, x→∞ дээр эхний гайхалтай хязгаар lim (sin x)/x=1-ийг ашигласан). Хүлээн авсан утгыг S-ийн сүүлчийн илэрхийлэлд орлуулснаар бид сайн мэддэг томъёонд хүрнэ.

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Нэгж

Системийн болон системийн бус хэмжилтийн нэгжийг ашигладаг. Системийн нэгжүүд нь SI (System International)-д хамаардаг. Энэ нь квадрат метр (кв. метр, м²) бөгөөд үүнээс гаргаж авсан нэгжүүд: мм², см², км².

Квадрат миллиметрээр (мм²), жишээлбэл, цахилгаан инженерийн утаснуудын хөндлөн огтлолын талбайг, квадрат см (см²) - бүтцийн механик дахь цацрагийн хөндлөн огтлол, квадрат метр (м²) -ээр хэмждэг. орон сууц эсвэл байшинд, квадрат километр (км²) - газарзүйн хувьд .

Гэсэн хэдий ч заримдаа системийн бус хэмжилтийн нэгжийг ашигладаг, тухайлбал: нэхэх, ар (а), га (га) ба акр (ac). Дараах харилцааг танилцуулъя.

• 1 зуун метр квадрат=1 a=100 м²=0,01 га;
• 1 га=100 a=100 акр=10000 м²=0,01 км²=2,471 акр;
• 1 ac = 4046.856 м² = 40.47 a = 40.47 акр = 0.405 га.

Геометрийн дүрсийн талбай- энэ зургийн хэмжээг харуулсан геометрийн дүрсийн тоон шинж чанар (энэ зургийн хаалттай контураар хязгаарлагдсан гадаргуугийн хэсэг). Талбайн хэмжээг түүнд агуулагдах квадрат нэгжийн тоогоор илэрхийлнэ.

Гурвалжингийн талбайн томъёо

1. Гурвалжны талбайн хажуу ба өндрийн томъёо
   Гурвалжны талбайгурвалжны хажуугийн урт ба энэ тал руу татсан өндрийн уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү
   
2. Гурван тал ба тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо
   
3. Гурван тал ба бичээстэй тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо
   Гурвалжны талбайгурвалжны хагас периметр ба бичээстэй тойргийн радиусын үржвэртэй тэнцүү байна.
   
S нь гурвалжны талбай,
- гурвалжны талуудын урт,
- гурвалжны өндөр,
- талуудын хоорондох өнцөг ба,
- бичээстэй тойргийн радиус,
R - тойргийн радиус,

Квадрат талбайн томъёо

1. Хажуугийн уртаас хамааран дөрвөлжин талбайн томъёо
   Дөрвөлжин талбайтүүний хажуугийн уртын квадраттай тэнцүү байна.
2. Диагональ уртын дагуу квадратын талбайн томъёо
   Дөрвөлжин талбайтүүний диагональ уртын квадратын хагастай тэнцүү байна.
   

   S=	1	2
   	2

хаана S - талбайн талбай,
- талбайн хажуугийн урт,
- квадратын диагональ урт.

Тэгш өнцөгтийн талбайн томъёо

Тэгш өнцөгтийн талбайтүүний зэргэлдээх хоёр талын уртын үржвэртэй тэнцүү байна

S нь тэгш өнцөгтийн талбай,
- тэгш өнцөгтийн талуудын урт.

Параллелограммын талбайн томьёо

1. Хажуугийн урт ба өндрийг харгалзан параллелограммын талбайн томъёо
   Параллелограммын талбай
2. Хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг дээр суурилсан параллелограммын талбайн томъёо
   Параллелограммын талбайталуудын уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
   

   a b sin α

S нь параллелограммын талбай,
- параллелограммын талуудын урт;
- параллелограммын өндрийн урт,
- параллелограммын талуудын хоорондох өнцөг.

Ромбын талбайн томъёо

1. Хажуугийн урт ба өндрөөс хамааран ромбын талбайн томъёо
   Ромбын талбайтүүний хажуугийн урт ба энэ тал руу буулгасан өндрийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
2. Хажуугийн урт ба өнцгийг харгалзан ромбын талбайн томъёо
   Ромбын талбайнь түүний хажуугийн уртын квадрат ба ромбын талуудын хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү байна.
3. Диагональуудын урт дээр үндэслэн ромбын талбайн томъёо
   Ромбын талбайтүүний диагональуудын уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.
S нь ромбын талбай,
- ромбын хажуугийн урт,
- ромбын өндрийн урт,
- ромбын талуудын хоорондох өнцөг;
1, 2 - диагональуудын урт.

Трапец хэлбэрийн талбайн томъёо

1. Трапецын Хэроны томъёо

   Энд S нь трапецын талбай,
   - трапецын суурийн урт;
   - трапецын хажуугийн урт;