Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга. Хаалттай домэйн дэх хоёр хувьсагчийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын В14 даалгаварт та нэг хувьсагчийн функцийн хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгыг олох хэрэгтэй. Энэ бол математикийн дүн шинжилгээнээс харахад маш өчүүхэн асуудал бөгөөд ийм учраас ахлах сургуулийн төгсөгч бүр үүнийг ердийн байдлаар шийдэж сурах боломжтой бөгөөд сурах ёстой. 2011 оны 12-р сарын 7-нд Москвад болсон математикийн оношлогооны ажлын үеэр сургуулийн сурагчид шийдэж байсан хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг олох интервалаас хамааран дараах стандарт алгоритмуудын аль нэгийг энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

I. Сегмент дээрх функцийн хамгийн том буюу хамгийн бага утгыг олох алгоритм:

Функцийн деривативыг ол.
Функцийн тодорхойлолтын өгөгдсөн сегмент болон мужид хамаарахыг экстремум гэж сэжиглэж буй цэгүүдээс сонгоно уу.
Утгыг тооцоолох функцууд(үүсмэл биш!) эдгээр цэгүүдэд.
Хүлээн авсан утгуудын дотроос хамгийн том эсвэл хамгийн жижигийг сонго, энэ нь хүссэн зүйл байх болно.

Жишээ 1.Функцийн хамгийн бага утгыг ол
y = x 3 – 18x 2 + 81xсегмент дээр + 23.

Шийдэл:Бид сегмент дээрх функцийн хамгийн бага утгыг олох алгоритмыг дагаж мөрддөг.

Функцийн хамрах хүрээ хязгаарлагдахгүй: D(y) = Р.
Функцийн дериватив нь дараахтай тэнцүү байна. чи' = 3x 2 – 36x+ 81. Функцийн деривативыг тодорхойлох муж мөн хязгаарлагдмал биш: D(y') = Р.
Деривативын тэг: чи' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0 гэсэн үг x 2 – 12x+ 27 = 0, эндээс x= 3 ба x= 9, бидний интервалд зөвхөн орно x= 9 (экстремумын хувьд сэжигтэй нэг цэг).
Бид функцийн утгыг экстремумын сэжигтэй цэг болон завсарын ирмэг дээр олдог. Тооцоолоход хялбар болгох үүднээс бид функцийг дараах хэлбэрээр илэрхийлнэ. y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
- y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Тиймээс олж авсан утгуудын хамгийн бага нь 23 байна. Хариулт: 23.

II. Функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олох алгоритм:

Функцийн тодорхойлолтын мужийг ол.
Функцийн деривативыг ол.
Экстремумын сэжигтэй цэгүүдийг (функцийн дериватив алга болох цэгүүд болон хоёр талт төгсгөлтэй дериватив байхгүй цэгүүдийг) тодорхойлох.
Эдгээр цэгүүд болон функцийн тодорхойлолтын мужийг тооны шулуун дээр тэмдэглэж, тэмдгүүдийг тодорхойлно уу дериватив(функц биш!) үүссэн интервалууд дээр.
Үнэт зүйлсийг тодорхойлох функцууд(үүсмэл биш!) хамгийн бага цэгүүдэд (үүсмэлийн тэмдэг хасахаас нэмэх хүртэл өөрчлөгдөх цэгүүд) эдгээр утгуудын хамгийн бага нь функцийн хамгийн бага утга байх болно. Хэрэв хамгийн бага цэг байхгүй бол функц нь хамгийн бага утгагүй болно.
Үнэт зүйлсийг тодорхойлох функцууд(үүсмэл биш!) хамгийн их цэгүүдэд (үүсмэлийн тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдөх цэгүүд) эдгээр утгуудын хамгийн том нь функцийн хамгийн том утга байх болно. Хэрэв хамгийн их цэг байхгүй бол функц хамгийн их утгагүй болно.

Жишээ 2.Функцийн хамгийн том утгыг ол.

$\blacktrianglerright$  сегмент дээрх функцийн хамгийн том/бага утгыг олохын тулд энэ сегмент дээрх функцийн графикийг схемээр дүрслэх шаардлагатай.
Энэ дэд сэдвийн асуудлуудад үүнийг дериватив ашиглан хийж болно: нэмэгдүүлэх ($f">0$ ) ба буурах ($f") интервалыг ол.<0$ ) функции, критические точки (где $f"=0$ или $f"$ не существует).

$\blacktrianglerright$ Функц нь зөвхөн  сегментийн дотоод цэгүүдэд төдийгүй түүний төгсгөлд хамгийн том/хамгийн бага утгыг авч болохыг мартаж болохгүй.

$\blacktrianglerright$ Функцийн хамгийн том/бага утга нь координатын утга юм $y=f(x)$ .

$\blacktrianglerright$ $f(t(x))$ цогц функцийн деривативыг дүрмийн дагуу олно. \[(\Том(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Функц ) f(x) & \text(Derivative ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(массив) \quad \quad \quad \quad \begin(array)(|r|c|c|) \hline & \text(Функц ) f(x) & \text(Үсмэл ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(массив)\]

Даалгавар 1 №2357

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ

$[-10; -2]$ сегмент дээрх $y = e^(x^2 - 4)$ функцийн хамгийн бага утгыг ол.

ODZ: $x$ - дур зоргоороо.

1) \

\ Тиймээс $x = 0$ хувьд $y" = 0$ байна.

3) $[-10; -2]$ авч үзэж буй сегмент дээрх тогтмол тэмдэгт $y"$ интервалуудыг олцгооё:

4) $[-10; -2]$ сегмент дээрх графикийн тойм зураг:

Ийнхүү функц нь $[-10; -2]$ үед $x = -2$ үед хамгийн бага утгадаа хүрдэг.

\ Нийт: $1$ – $[-10; -2]$ дээрх $y$ функцийн хамгийн бага утга.

Хариулт: 1

Даалгавар 2 №2355

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ

$y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)$сегмент дээр $[-1; 1]$ .

ODZ: $x$ - дур зоргоороо.

1) \

Чухал цэгүүдийг (өөрөөр хэлбэл функцийн үүсмэл нь $0$-тай тэнцүү эсвэл байхгүй байгаа дотоод цэгүүдийг олцгооё): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\]Дериватив нь дурын $x$ -д байдаг.

2) $y"$ тогтмол тэмдгийн интервалуудыг олцгооё:

3) $[-1; 1]$ авч үзэж буй сегмент дээрх тогтмол тэмдэгт $y"$ интервалуудыг олцгооё:

4) $[-1; 1]$ сегмент дээрх графикийн тойм зураг:

Тиймээс функц нь $[-1; 1]$ үед $x = -1$ эсвэл $x = 1$ үед хамгийн их утгадаа хүрдэг. Эдгээр цэгүүдийн функцын утгыг харьцуулж үзье.

\ Нийт: $2$ – $[-1; 1]$ дээрх $y$ функцийн хамгийн том утга.

Хариулт: 2

Даалгавар 3 №2356

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ

 сегмент дээрх $y = \cos 2x$ функцийн хамгийн бага утгыг ол.

ODZ: $x$ - дур зоргоороо.

1) \

Чухал цэгүүдийг (өөрөөр хэлбэл функцийн үүсмэл нь $0$-тай тэнцүү эсвэл байхгүй байгаа дотоод цэгүүдийг олцгооё): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Зүүн баруун сум\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\]Дериватив нь дурын $x$ -д байдаг.

2) $y"$ тогтмол тэмдгийн интервалуудыг олцгооё:

(энд деривативын тэмдгүүд ээлжлэн солигдох хязгааргүй тооны интервалууд байдаг).

3)  авч үзэж буй сегмент дээрх тогтмол тэмдэгт $y"$ интервалуудыг олцгооё:

4)  сегмент дээрх графикийн тойм зураг:

Тиймээс функц нь  дээр $x = \dfrac(\pi)(2)$ дээр хамгийн бага утгад хүрдэг.

\ Нийт: $-1$ –  дээрх $y$ функцийн хамгийн бага утга.

Хариулт: -1

Даалгавар 4 №915

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ

Функцийн хамгийн том утгыг ол

$y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)$.

ODZ: $2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0$ . ODZ-ийг шийдье:

1) $2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)$ , дараа нь $y(t)=-\log_(17)t$ гэж тэмдэглэе.

Чухал цэгүүдийг (өөрөөр хэлбэл функцийн үүсмэл нь $0$-тай тэнцүү эсвэл байхгүй байгаа дотоод цэгүүдийг олцгооё): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Зүүн баруун сум\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– ODZ дээр $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ язгуурыг олох болно. $2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0$ үед $y$ функцийн дериватив байхгүй, гэхдээ энэ тэгшитгэл нь сөрөг дискриминанттай тул шийдэл байхгүй. Функцийн хамгийн том/бага утгыг олохын тулд түүний график схемийн дагуу хэрхэн харагдахыг ойлгох хэрэгтэй.

2) $y"$ тогтмол тэмдгийн интервалуудыг олцгооё:

3) Графикийн тойм зураг:

Тиймээс функц нь $x = \dfrac(\sqrt(2))(2)$ үед хамгийн их утгадаа хүрнэ:

$y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\баруун) = -\log_(17)1 = 0$,

Нийт: $0$ – функцийн хамгийн том утга $y$ .

Хариулт: 0

Даалгавар 5 №2344

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалттай тэнцэнэ

Функцийн хамгийн бага утгыг ол

$y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)$.

ODZ: $x^2 + 8x + 19 > 0$ . ODZ-ийг шийдье:

1) $x^2 + 8x + 19=t(x)$ , дараа нь $y(t)=\log_(3)t$ гэж тэмдэглэе.

Чухал цэгүүдийг (өөрөөр хэлбэл функцийн үүсмэл нь $0$-тай тэнцүү эсвэл байхгүй байгаа дотоод цэгүүдийг олцгооё): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– ODZ дээр, тэндээс бид үндэсийг олдог $x = -4$ . $x^2 + 8x + 19 = 0$ үед $y$ функцийн дериватив байхгүй, гэхдээ энэ тэгшитгэл нь сөрөг дискриминанттай тул шийдэлгүй байна. Функцийн хамгийн том/бага утгыг олохын тулд түүний график схемийн дагуу хэрхэн харагдахыг ойлгох хэрэгтэй.

2) $y"$ тогтмол тэмдгийн интервалуудыг олцгооё:

3) Графикийн тойм зураг:

Тиймээс $x = -4$ нь $y$ функцийн хамгийн бага цэг бөгөөд үүн дээр хамгийн бага утгад хүрнэ:

$y(-4) = \log_(3)3 = 1$ .

Нийт: $1$ – функцийн хамгийн бага утга $y$ .

Хариулт: 1

Даалгавар 6 №917

Даалгаврын түвшин: Улсын нэгдсэн шалгалтаас илүү хэцүү

Функцийн хамгийн том утгыг ол

$y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))$.

Практик талаас нь авч үзвэл функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд деривативыг ашиглах нь хамгийн их сонирхол татдаг. Энэ юутай холбоотой вэ? Ашиг нэмэгдүүлэх, зардлыг багасгах, тоног төхөөрөмжийн оновчтой ачааллыг тодорхойлох ... Өөрөөр хэлбэл, амьдралын олон салбарт бид зарим параметрүүдийг оновчтой болгох асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. Эдгээр нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох даалгавар юм.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ихэвчлэн тодорхой X интервалаар хайдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд энэ нь функцын бүхэл бүтэн муж эсвэл тодорхойлолтын домэйны нэг хэсэг юм. X интервал нь өөрөө сегмент, нээлттэй интервал байж болно , хязгааргүй интервал.

Энэ нийтлэлд бид нэг хувьсагчийн y=f(x) тодорхой тодорхойлогдсон функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох талаар ярих болно.

Хуудасны навигаци.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга - тодорхойлолт, дүрслэл.

Үндсэн тодорхойлолтуудыг товчхон авч үзье.

Функцийн хамгийн том утга хэнд ч зориулсан тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Функцийн хамгийн бага утга X интервал дээрх y=f(x)-ийг ийм утга гэнэ хэнд ч зориулсан тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Эдгээр тодорхойлолтууд нь зөн совинтой байдаг: функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь абсцисса дээр авч үзэж буй интервал дээрх хамгийн том (хамгийн бага) хүлээн зөвшөөрөгдсөн утга юм.

Хөдөлгөөнгүй цэгүүд- эдгээр нь функцийн дериватив тэг болох аргументийн утгууд юм.

Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олоход яагаад суурин цэгүүд хэрэгтэй вэ? Энэ асуултын хариултыг Фермагийн теоремоор өгсөн болно. Энэ теоремоос хэрэв дифференциалагдах функц нь аль нэг цэгт экстремум (орон нутгийн минимум эсвэл орон нутгийн максимум) байвал энэ цэг нь хөдөлгөөнгүй байна гэсэн үг. Тиймээс функц нь ихэвчлэн X интервал дээрх хамгийн том (хамгийн бага) утгыг энэ интервалаас хөдөлгөөнгүй цэгүүдийн аль нэгэнд авдаг.

Түүнчлэн, функц нь энэ функцийн анхны дериватив байхгүй, функц өөрөө тодорхойлогддог цэгүүдэд ихэвчлэн хамгийн том, хамгийн бага утгуудыг авч болно.

Энэ сэдвээр хамгийн түгээмэл асуултуудын нэг болох "Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг тодорхойлох боломжтой юу" гэсэн асуултанд нэн даруй хариулъя. Үгүй ээ, үргэлж биш. Заримдаа X интервалын хил нь функцийн тодорхойлолтын хүрээний хилтэй давхцдаг эсвэл X интервал нь хязгааргүй байдаг. Хязгааргүй болон тодорхойлолтын хүрээн дэх зарим функцууд нь хязгааргүй том ба хязгааргүй жижиг утгыг хоёуланг нь авч болно. Эдгээр тохиолдолд функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгын талаар юу ч хэлж чадахгүй.

Тодорхой болгохын тулд бид график дүрслэлийг өгөх болно. Зургийг харвал олон зүйл илүү тодорхой болно.

Сегмент дээр

Эхний зурагт функц нь сегмент дотор байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y) ба хамгийн бага (min y) утгуудыг авдаг [-6;6].

Хоёрдахь зурагт үзүүлсэн тохиолдлыг авч үзье. сегментийг өөрчилье. Энэ жишээнд функцийн хамгийн бага утгыг хөдөлгөөнгүй цэг дээр, хамгийн том утгыг интервалын баруун хилтэй харгалзах абсцисс бүхий цэг дээр олж авна.

Зураг 3-т [-3;2] сегментийн хилийн цэгүүд нь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгад харгалзах цэгүүдийн абсциссууд байна.

Нээлттэй интервал дээр

Дөрөв дэх зурагт функц нь нээлттэй интервал (-6;6) дотор байрлах суурин цэгүүдэд хамгийн том (max y) ба хамгийн бага (min y) утгуудыг авдаг.

Интервал дээр хамгийн том утгын талаар дүгнэлт хийх боломжгүй.

Хязгааргүйд

Долдугаар зурагт үзүүлсэн жишээн дээр функц нь абсцисса x=1 байх хөдөлгөөнгүй цэг дээр хамгийн том утгыг (max y) авах ба интервалын баруун хил дээр хамгийн бага утгыг (min y) олж авна. Хасах хязгааргүй үед функцын утга асимптотоор y=3-д ойртоно.

Интервалд функц нь хамгийн бага эсвэл хамгийн том утгад хүрдэггүй. Баруун талаас х=2 ойртох тусам функцын утгууд нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байдаг (х=2 шугам нь босоо асимптот), абсцисса нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай тул функцын утга нь асимптотоор y=3-д ойртоно. Энэ жишээний график дүрслэлийг Зураг 8-д үзүүлэв.

Сегмент дээрх тасралтгүй функцын хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритм.

Хэсэг дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох алгоритмыг бичье.

Бид функцийн тодорхойлолтын домэйныг олж, бүх сегментийг агуулж байгаа эсэхийг шалгана.
Бид эхний дериватив байхгүй, сегментэд агуулагдах бүх цэгүүдийг олдог (ихэвчлэн ийм цэгүүдийг модулийн тэмдгийн дор аргументтай функцууд болон бутархай-рациональ илтгэгчтэй чадлын функцүүдэд олдог). Хэрэв ийм цэг байхгүй бол дараагийн цэг рүү шилжинэ үү.
Бид сегмент дотор байрлах бүх суурин цэгүүдийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд бид үүнийг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, тохирох үндсийг сонгоно. Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг байхгүй эсвэл тэдгээрийн аль нь ч сегментэд ороогүй бол дараагийн цэг рүү шилжинэ.
Бид функцийн утгыг сонгосон суурин цэгүүд (хэрэв байгаа бол), эхний дериватив байхгүй цэгүүд (хэрэв байгаа бол), түүнчлэн x = a ба x = b цэгүүдэд тооцдог.
Функцийн олж авсан утгуудаас бид хамгийн том ба хамгийн жижиг утгыг сонгоно - тэдгээр нь функцийн шаардлагатай хамгийн том ба хамгийн бага утгууд байх болно.

Сегмент дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох жишээг шийдвэрлэх алгоритмд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Жишээ.

Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол

сегмент дээр;
сегмент дээр [-4;-1] .

Шийдэл.

Функцийн тодорхойлолтын домэйн нь тэгээс бусад бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц юм. Хоёр сегмент хоёулаа тодорхойлолтын домэйнд багтдаг.

Функцийн деривативыг ол:

Функцийн дериватив нь сегмент ба [-4;-1] бүх цэгүүдэд байгаа нь ойлгомжтой.

Бид тэгшитгэлээс суурин цэгүүдийг тодорхойлно. Зөвхөн жинхэнэ үндэс нь x=2. Энэ суурин цэг нь эхний сегментэд ордог.

Эхний тохиолдолд бид функцийн утгыг сегментийн төгсгөл ба суурин цэг дээр тооцоолно, өөрөөр хэлбэл x=1, x=2 ба x=4:

Тиймээс функцийн хамгийн их утга x=1, хамгийн бага утгад хүрнэ – x=2 үед.

Хоёрдахь тохиолдолд бид функцийн утгыг зөвхөн сегментийн төгсгөлд тооцоолно [-4;-1] (энэ нь нэг суурин цэг агуулаагүй тул):

Энэ үйлчилгээгээр та боломжтой функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол Word дээр форматлагдсан шийдэл бүхий нэг хувьсагч f(x). Хэрэв f(x,y) функц өгөгдсөн бол хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох шаардлагатай. Та мөн нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн интервалыг олж болно.

Функцийг оруулах дүрэм:

Нэг хувьсагчийн функцийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл

f" 0 (x *) = 0 тэгшитгэл нь нэг хувьсагчийн функцийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл, өөрөөр хэлбэл x * цэг дээр функцийн эхний дериватив алга болох ёстой. Энэ нь функц ажиллахгүй x c хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг тодорхойлдог. нэмэгдүүлэх эсвэл бууруулах.

Нэг хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл

F 0 (x) нь D олонлогт хамаарах х-тэй харьцуулахад хоёр дахин дифференциал болно. Хэрэв x * цэг дээр нөхцөл хангагдсан бол:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Дараа нь x * цэг нь функцийн орон нутгийн (дэлхий) хамгийн бага цэг юм.

Хэрэв x * цэг дээр нөхцөл хангагдсан бол:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Дараа нь x * цэг нь орон нутгийн (дэлхийн) дээд хэмжээ юм.

Жишээ №1. Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол: сегмент дээр.
Шийдэл.

Чухал цэг нь нэг x 1 = 2 (f’(x)=0). Энэ цэг нь сегментэд хамаарна. (0∉ тул x=0 цэг нь чухал биш).
Бид сегментийн төгсгөл ба эгзэгтэй цэг дэх функцийн утгыг тооцоолно.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Хариулт: f min = 5 / 2 үед x=2; f max =9 үед x=1

Жишээ №2. Дээд эрэмбийн деривативуудыг ашиглан y=x-2sin(x) функцийн экстремумыг ол.
Шийдэл.
Функцийн деривативыг ол: y’=1-2cos(x) . Критик цэгүүдийг олъё: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Бид y’’=2sin(x), тооцоолно, энэ нь x= π / 3 +2πk, k∈Z нь функцийн хамгийн бага цэгүүд гэсэн үг; , энэ нь x=- π / 3 +2πk, k∈Z нь функцийн хамгийн их цэгүүд юм.

Жишээ №3. x=0 цэгийн ойролцоох экстремум функцийг судал.
Шийдэл. Энд функцийн экстремумыг олох шаардлагатай. Хэрэв экстремум x=0 байвал түүний төрлийг (хамгийн бага ба хамгийн их) олоорой. Олдсон цэгүүдийн дунд x = 0 байхгүй бол f(x=0) функцийн утгыг тооцоол.
Өгөгдсөн цэгийн тал бүрийн дериватив нь тэмдгээ өөрчлөхгүй бол ялгах функцүүдийн хувьд боломжит нөхцөл байдал дуусахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: x 0 цэгийн нэг талд дур мэдэн жижиг хөршийн хувьд ийм тохиолдол гарч болно. хоёр талд дериватив өөрчлөлтийн тэмдэг. Эдгээр цэгүүдэд экстремум дахь функцийг судлах өөр аргыг ашиглах шаардлагатай байна.

Жишээ № 4. 49-ийн тоог үржвэр нь хамгийн их байх хоёр гишүүнд хуваа.
Шийдэл. Эхний гишүүнээр x-г тэмдэглэе. Дараа нь (49-х) нь хоёр дахь гишүүн юм.
Бүтээгдэхүүн нь хамгийн их байх болно: x·(49-x) → max

Функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утга нь авч үзсэн интервал дахь ордны хүлээн зөвшөөрөгдсөн хамгийн том (хамгийн бага) утга юм.

Функцийн хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг олохын тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.

Өгөгдсөн сегментэд ямар хөдөлгөөнгүй цэгүүд багтаж байгааг шалгана уу.
3-р алхамаас эхлэн сегментийн төгсгөл ба хөдөлгөөнгүй цэг дээрх функцийн утгыг тооцоол
Хүлээн авсан үр дүнгээс хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг сонгоно уу.

Хамгийн их буюу хамгийн бага оноог олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:

$f"(x)$ функцийн уламжлалыг ол
$f"(x)=0$ тэгшитгэлийг шийдэж хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол
Функцийн дериватив хүчин зүйл.
3-р алхам дахь тэмдэглэгээг ашиглан координатын шугамыг зурж, суурин цэгүүдийг байрлуулж, үүссэн интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлно.
Дүрмийн дагуу хамгийн их буюу хамгийн бага оноог ол: хэрэв тухайн үед дериватив тэмдэг нэмэхээс хасах хүртэл өөрчлөгдвөл энэ нь хамгийн дээд цэг болно (хэрэв хасахаас нэмэх бол энэ нь хамгийн бага цэг болно). Практикт сумны дүрсийг интервалаар ашиглах нь тохиромжтой байдаг: дериватив эерэг байх интервал дээр сумыг дээш, эсрэгээр зурдаг.

Зарим энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт:

Чиг үүрэг	Дериватив
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Ялгах үндсэн дүрмүүд

1. Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна

$(f(x) ± g(x))'= f'(x)± g'(x)$

$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Нийлбэр ба зөрүүний дериватив нь гишүүн бүрийн деривативтай тэнцүү байна

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Бүтээгдэхүүний дериватив.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ деривативыг ол

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Хэсгийн дериватив

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ деривативыг ол

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Цогц функцийн дериватив нь гадаад функцийн дериватив ба дотоод функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

$y=2x-ln⁡(x+11)+4$ функцийн хамгийн бага цэгийг ол

1. Функцийн ODZ-ийг ол: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ функцийн уламжлалыг ол.

3. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх замаар хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг ол

$(2x+21)/(x+11)=0$

Хэрэв тоологч нь тэг, хуваагч нь тэг биш бол бутархай нь тэгтэй тэнцүү байна.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Координатын шугамыг зурж, дээр нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг байрлуулж, үүссэн интервал дахь деривативын тэмдгүүдийг тодорхойлъё. Үүнийг хийхийн тулд хамгийн баруун талын мужаас дурын тоог дериватив болгон орлуулаарай, жишээлбэл, тэг.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Минимум цэг дээр дериватив тэмдэг хасахаас нэмэх рүү өөрчлөгддөг тул $-10.5$ цэг нь хамгийн бага цэг болно.

Хариулт: -10.5 доллар

$[-5;1]$ сегмент дээрх $y=6x^5-90x^3-5$ функцийн хамгийн их утгыг ол.

1. $y′=30x^4-270x^2$ функцийн уламжлалыг ол.

2. Деривативыг тэгтэй тэнцүүлж, суурин цэгүүдийг ол

$30x^4-270x^2=0$

Нийт хүчин зүйл $30x^2$-ыг хаалтнаас гаргая

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүү болгоё

$x^2=0; x-3=0; x+3=0$