Хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлүүд. Тогтмол коэффициент бүхий шугаман дифференциал тэгшитгэл

Энэ нийтлэлд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх асуудлыг авч үзнэ. Онолыг өгөгдсөн асуудлын жишээнүүдийн хамт авч үзэх болно. Тодорхой бус нэр томъёог тайлахын тулд дифференциал тэгшитгэлийн онолын үндсэн тодорхойлолт, ойлголтын тухай сэдвийг судлах шаардлагатай.

y "" + p · y " + q · y = f (x) хэлбэрийн тогтмол коэффициент бүхий хоёрдугаар эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг (LDE) авч үзье, энд p ба q нь дурын тоо, одоо байгаа f функц байна. (x) нь x интегралчлалын интервал дээр тасралтгүй байна.

LNDE-ийн ерөнхий шийдлийн теоремын томъёолол руу шилжье.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU-ийн шийдлийн ерөнхий теорем

Теорем 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн x интервал дээр байрлах ерөнхий шийдэл. . . + f 0 (x) · y = f (x) x интервал дээрх тасралтгүй интегралын коэффициенттэй f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ба тасралтгүй функц f (x) нь LOD ба зарим нэг тодорхой y ~ шийдтэй тохирч байгаа у 0 ерөнхий шийдийн нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд анхны нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл нь y = y 0 + у ~.

Энэ нь ийм 2-р эрэмбийн тэгшитгэлийн шийдэл y = y 0 + y ~ хэлбэртэй болохыг харуулж байна. y 0-ийг олох алгоритмыг тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тухай өгүүллээр авч үзнэ. Үүний дараа бид y ~-ийн тодорхойлолт руу шилжих хэрэгтэй.

LPDE-ийн тодорхой шийдлийг сонгох нь тэгшитгэлийн баруун талд байрлах боломжтой f (x) функцийн төрлөөс хамаарна. Үүний тулд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдлүүдийг тусад нь авч үзэх шаардлагатай.

f (x)-ийг n-р зэргийн олон гишүүнт гэж үзэхэд f (x) = P n (x) y ~ = Q n (x) хэлбэрийн томъёог ашиглан LPDE-ийн тодорхой шийдийг олно. ) x γ, энд Q n ( x) нь n зэрэгтэй олон гишүүнт, r нь шинж чанарын тэгшитгэлийн тэг язгуурын тоо юм. y ~ утга нь тодорхой шийдэл y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , дараа нь олон гишүүнтээр тодорхойлогддог боломжит коэффициентүүд.
Q n (x), бид y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээс тодорхойгүй коэффициентүүдийн аргыг ашиглан олдог.

Жишээ 1

Коши теоремыг ашиглан тооцоолно y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Шийдэл

Өөрөөр хэлбэл y "" - 2 y " = x 2 + 1 тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлд шилжих шаардлагатай бөгөөд энэ нь өгөгдсөн y (0) нөхцлийг хангах болно. = 2, y "(0) = 1 4 .

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь y 0 тэгшитгэл эсвэл нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн тодорхой шийдэлтэй y ~, өөрөөр хэлбэл у = у 0 + у ~ тэгшитгэлд тохирох ерөнхий шийдийн нийлбэр юм.

Эхлээд бид LNDU-ийн ерөнхий шийдлийг, дараа нь тодорхой шийдлийг олох болно.

y 0-ийг олохоор үргэлжлүүлье. Онцлог тэгшитгэлийг бичих нь үндсийг олоход тусална. Бид үүнийг ойлгодог

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Үндэс нь өөр, бодитой гэдгийг бид олж мэдсэн. Тиймээс бичье

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

y ~ ийг олцгооё. Эндээс харахад өгөгдсөн тэгшитгэлийн баруун тал нь 2-р зэргийн олон гишүүнт байвал язгууруудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байна. Эндээс бид y ~-ийн тодорхой шийдэл байх болно

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, A, B, C-ийн утгууд нь тодорхойлогдоогүй коэффициентүүдийг авдаг.

Тэдгээрийг y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 хэлбэрийн тэгшитгэлээс олъё.

Дараа нь бид үүнийг олж авна:

y ~ "" - 2 у ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Х-ийн ижил илтгэгчтэй коэффициентүүдийг тэнцүүлэхдээ бид шугаман илэрхийллийн системийг олж авна - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Аль нэг аргаар шийдэхдээ коэффициентийг олоод бичнэ: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4, y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 х 3 - 1 4 х 2 - 3 4 х.

Энэ оруулгыг тогтмол коэффициент бүхий анхны шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл гэж нэрлэдэг.

y (0) = 2, y "(0) = 1 4 нөхцөлийг хангасан тодорхой шийдлийг олохын тулд утгуудыг тодорхойлох шаардлагатай. C 1Тэгээд C 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x хэлбэрийн тэгшитгэл дээр үндэслэсэн.

Бид үүнийг олж авдаг:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Бид үүссэн C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 хэлбэрийн тэгшитгэлийн системтэй ажилладаг бөгөөд үүнд C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 байна.

Кошигийн теоремыг ашиглавал бидэнд ийм байна

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Хариулт: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

f (x) функцийг n зэрэгтэй олон гишүүнт ба илтгэгч f (x) = P n (x) · e a x үржвэрээр дүрслэхэд бид хоёр дахь эрэмбийн LPDE-ийн тодорхой шийдэл нь байх болно. y ~ = e a x · Q n ( x) x γ хэлбэрийн тэгшитгэл, энд Q n (x) нь n-р зэргийн олон гишүүнт, r нь α-тай тэнцүү шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм.

Q n (x) -д хамаарах коэффициентүүдийг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэлээр олно.

Жишээ 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Ерөнхий тэгшитгэл нь y = y 0 + y ~ байна. Заасан тэгшитгэл нь LOD y "" - 2 y " = 0-тэй тохирч байна. Өмнөх жишээнээс харахад түүний үндэс нь тэнцүү байна. k 1 = 0ба k 2 = 2 ба y 0 = C 1 + C 2 e 2 x шинж чанарын тэгшитгэлээр.

Тэгшитгэлийн баруун тал нь x 2 + 1 · e x байгааг харж болно. Эндээс LPDE-ийг y ~ = e a x · Q n (x) · x γ-ээр дамжуулан олно, энд Q n (x) нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт бөгөөд энд α = 1 ба r = 0, учир нь шинж чанарын тэгшитгэл нь тийм биш юм. 1-тэй тэнцүү үндэстэй байна. Эндээс бид үүнийг олж авдаг

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C нь y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x тэгшитгэлээр олдох үл мэдэгдэх коэффициентүүд юм.

Ойлголоо

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 у ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Бид ижил коэффициент бүхий үзүүлэлтүүдийг тэнцүүлж, шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг. Эндээс бид A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Хариулт: y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 нь LNDDE-ийн тодорхой шийдэл болох нь тодорхой бөгөөд y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - хоёр дахь эрэмбийн нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл.

Функцийг f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x гэж бичихэд, ба А 1Тэгээд ДАХЬ 1тоонууд бол LPDE-ийн хэсэгчилсэн шийдлийг y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ хэлбэрийн тэгшитгэл гэж үзэх ба энд A ба B нь тодорхойгүй коэффициент гэж тооцогддог ба r нь тоо юм. ± i β-тэй тэнцүү шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой цогц коньюгат үндэс. Энэ тохиолдолд коэффициентийн хайлтыг y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэл ашиглан гүйцэтгэнэ.

Жишээ 3

y "" + 4 у = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Шинж чанар тэгшитгэлийг бичихийн өмнө бид y 0-ийг олно. Дараа нь

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Бид хос хосолсон цогц үндэстэй. Хувиргаад авцгаая:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь хосолсон хос ± 2 i, дараа нь f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) гэж үзнэ. Энэ нь y ~-ийн хайлтыг y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x-ээс хийх болно гэдгийг харуулж байна. Үл мэдэгдэх Бид y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) хэлбэрийн тэгшитгэлээс А ба В коэффициентийг хайх болно.

Хөрвүүлье:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2) x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Тэгвэл энэ нь ойлгомжтой

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Синус ба косинусын коэффициентийг тэнцүүлэх шаардлагатай. Бид маягтын системийг авдаг:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Эндээс y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x болно.

Хариулт:Тогтмол коэффициент бүхий анхны хоёр дахь эрэмбийн LDDE-ийн ерөнхий шийдлийг авч үзнэ

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) үед у ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m болно. (x) cos (β x) x γ r нь α ± i β-тэй тэнцүү, P n (x), Q k (x) гэсэн тэгшитгэлтэй холбоотой нийлмэл хос язгууруудын тоо юм. L m (x) ба Нм(х)нь n, k, m, m зэрэгтэй олон гишүүнт, энд m = m a x (n, k). Коэффициент олох Лм(х)Тэгээд Нм(х) y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) тэгшитгэл дээр үндэслэн хийгдсэн.

Жишээ 4

y "" + 3 у " + 2 у = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Нөхцөл байдлаас харахад ойлгомжтой

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Тэгвэл m = m a x (n, k) = 1 байна. Бид эхлээд дараах хэлбэрийн шинж чанарын тэгшитгэлийг бичих замаар y 0-ийг олно.

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Үндэс нь бодит бөгөөд тодорхой гэдгийг бид олж мэдсэн. Эндээс y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Дараа нь y ~ хэлбэрийн нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл дээр суурилсан ерөнхий шийдлийг хайх шаардлагатай.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C) x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

α ± i β = 3 ± 5 · i гэсэн шинж чанарын тэгшитгэлтэй холбоотой хос коньюгат үндэс байхгүй тул A, B, C нь коэффициент, r = 0 гэдгийг мэддэг. Үр дүнгийн тэгшитгэлээс бид эдгээр коэффициентийг олно.

y ~ "" - 3 у ~ " + 2 у ~ = - e 3 x ((38 x + 45) син (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (() A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x +) D) нүгэл (5 х))) = - e 3 х ((38 х + 45) нүгэл (5 х) + (8 х - 5) cos (5 х))

Дериватив болон ижил төстэй нэр томъёог олох нь өгдөг

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Коэффициентийг тэгшитгэсний дараа бид маягтын системийг олж авна

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Бүх зүйлээс үүнийг дагадаг

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) гэм (5 x))

Хариулт:Одоо бид өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олж авлаа.

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNU-г шийдвэрлэх алгоритм

Тодорхойлолт 1

Шийдлийн бусад төрлийн f (x) функц нь шийдлийн алгоритмыг дагаж мөрдөхийг шаарддаг:

харгалзах шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олох, энд y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, энд y 1Тэгээд y 2 LODE-ийн шугаман бие даасан хэсэгчилсэн шийдлүүд, C 1Тэгээд C 2дурын тогтмол гэж үздэг;
LNDE-ийн ерөнхий шийдэл болгон батлах y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 "(х) хэлбэрийн системээр функцийн деривативыг тодорхойлох x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , ба олох функцууд C 1 (x)ба С 2 (х) интеграцчлалаар дамжуулан.

Жишээ 5

y "" + 36 у = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x-ийн ерөнхий шийдийг ол.

Шийдэл

Бид өмнө нь y 0, y "" + 36 y = 0 гэж бичээд шинж чанарын тэгшитгэлийг бичиж эхэлнэ. Бичиж шийдье:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = нүгэл (6 x)

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) гэж бичнэ. Дериватив функцүүдийн тодорхойлолт руу шилжих шаардлагатай байна C 1 (x)Тэгээд C2(x)тэгшитгэл бүхий системийн дагуу:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (нүгэл (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 нүгэл (6 х) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

талаар шийдвэр гаргах хэрэгтэй C 1" (x)Тэгээд C 2" (x)ямар ч аргыг ашиглан. Дараа нь бид бичнэ:

C 1 " (x) = - 4 нүгэл 2 (6 х) + 2 нүгэл (6 х) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 нүгэл (6 х) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Тэгшитгэл бүрийг нэгтгэсэн байх ёстой. Дараа нь бид үүссэн тэгшитгэлийг бичнэ.

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Үүнээс үзэхэд ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 нүгэл (6 x)

Хариулт: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 х)

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэг төрлийн бус хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг (LNDE-2) шийдвэрлэх үндэс (PC)

$p$ ба $q$ тогтмол коэффициент бүхий 2-р эрэмбийн LDDE нь $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ хэлбэртэй, $f\left(x) \right)$ нь тасралтгүй функц юм.

PC-тэй LNDU 2-ын тухайд дараах хоёр мэдэгдэл үнэн байна.

Зарим функц $U$ нь нэгэн төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн дурын хэсэгчилсэн шийдэл гэж үзье. Мөн $Y$ зарим функцийг харгалзах шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$-ийн ерөнхий шийдэл (GS) гэж үзье. Дараа нь -ийн GR LHDE-2 нь заасан хувийн болон ерөнхий шийдлүүдийн нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл $y=U+Y$.

Хэрэв 2-р эрэмбийн LMDE-ийн баруун тал нь функцүүдийн нийлбэр бол $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, дараа нь бид тохирох PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ болно. $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$ функц тус бүрд, дараа нь CR LNDU-2-г $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ хэлбэрээр бичнэ.

PC-тэй 2-р зэрэглэлийн LPDE-ийн шийдэл

Өгөгдсөн LNDU-2-ийн нэг буюу өөр PD $U$-ийн төрөл нь түүний баруун талын $f\left(x\right)$-ийн тодорхой хэлбэрээс хамаардаг нь ойлгомжтой. PD LNDU-2-ийг хайх хамгийн энгийн тохиолдлуудыг дараах дөрвөн дүрмийн хэлбэрээр томъёолсон болно.

Дүрэм №1.

LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй байх ба $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, өөрөөр хэлбэл үүнийг a $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд $Q_(n) \left(x\right)$ нь өөр байна. $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй олон гишүүнт ба $r$ нь харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн тэгтэй тэнцүү язгуурын тоо юм. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентийг тодорхойгүй коэффициентийн аргаар (Их Британи) олно.

Дүрэм №2.

LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ хэлбэртэй, энд $P_(n) \left( x\right)$ нь $n$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$ нь $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ хэлбэрээр эрэлхийлэх бөгөөд энд $Q_(n) ) \ left(x\right)$ нь $P_(n) \left(x\right)$-тай ижил зэрэгтэй өөр олон гишүүнт бөгөөд $r$ нь харгалзах LODE-2-ын онцлог тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. $\alpha $-тай тэнцүү. $Q_(n) \left(x\right)$ олон гишүүнтийн коэффициентүүдийг NC аргаар олно.

Дүрэм №3.

LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) хэлбэртэй байна. \баруун) $, энд $a$, $b$ болон $\beta$ нь мэдэгдэж байгаа тоонууд юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) хэлбэрээр хайж байна. \right )\cdot x^(r) $, энд $A$ ба $B$ нь үл мэдэгдэх коэффициент, $r$ нь $i\cdot-тэй тэнцүү харгалзах LODE-2-ын шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын тоо юм. \бета $. $A$ ба $B$ коэффициентүүдийг үл эвдэх аргыг ашиглан олно.

Дүрэм №4.

LNDU-2-ын баруун тал нь $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ хэлбэртэй байх ба энд $P_(n) \left(x\right)$ байна. $ n$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $P_(m) \left(x\right)$ нь $m$ зэрэгтэй олон гишүүнт юм. Дараа нь түүний PD $U$-г $U=e^(\альфа \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ хэлбэрээр хайж олох бөгөөд $Q_(s) \left(x\right)$ болон $ R_(s) \left(x\right)$ нь $s$ зэрэгтэй олон гишүүнт, $s$ тоо нь $n$ ба $m$ гэсэн хоёр тооны дээд тал нь, $r$ нь язгуурын тоо юм. $\alpha +i\cdot \beta $-тай тэнцүү харгалзах LODE-2-ийн шинж чанарын тэгшитгэлийн. $Q_(s) \left(x\right)$ ба $R_(s) \left(x\right)$ олон гишүүнтүүдийн коэффициентийг NC аргаар олно.

NK арга нь дараах дүрмийг хэрэгжүүлэхээс бүрдэнэ. LNDU-2 нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн шийдлийн хэсэг болох олон гишүүнтийн үл мэдэгдэх коэффициентийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

LNDU-2-ын зүүн талд ерөнхий хэлбэрээр бичигдсэн PD $U$-г орлуулах;
LNDU-2-ын зүүн талд, ижил хүчин чадалтай хялбаршуулсан болон бүлгийн нэр томъёог гүйцэтгэнэ $x$;
үр дүнгийн адилтгалд нэр томьёоны коэффициентийг зүүн ба баруун талын $x$ ижил чадалтай тэнцүүлэх;
үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн шугаман тэгшитгэлийн үр дүнгийн системийг шийд.

Жишээ 1

Даалгавар: олох OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Мөн PD олох. , $x=0$ бол $y=6$, $x=0$ бол $y"=1$ гэсэн эхний нөхцлүүдийг хангаж байна.

Бид харгалзах LOD-2-г бичнэ: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Онцлог тэгшитгэл: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Шинж чанар тэгшитгэлийн үндэс нь: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Эдгээр үндэс нь хүчинтэй бөгөөд ялгаатай. Тиймээс харгалзах LODE-2-ын OR нь дараах хэлбэртэй байна: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Энэхүү LNDU-2-ын баруун тал нь $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна. $\alpha =3$ экспонентийн коэффициентийг авч үзэх шаардлагатай. Энэ коэффициент нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэстэй давхцахгүй. Иймээс энэхүү LNDU-2-ын PD нь $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ хэлбэртэй байна.

Бид NC аргыг ашиглан $A$, $B$ коэффициентүүдийг хайх болно.

Бид Чех улсын анхны деривативыг оллоо:

$U"=\зүүн(A\cdot x+B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\баруун)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$

Бид Чех улсын хоёр дахь деривативыг олдог.

$U""=\зүүн(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot \left(e^(3\cdot x) \баруун)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\зүүн(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$

Өгөгдсөн NLDE-2 $y""-3\cdot y"-д $y""$, $y"$, $y$-ын оронд $U""$, $U"$, $U$ функцуудыг орлуулна. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $) Мөн $e^(3\cdot x) $ илтгэгчийг хүчин зүйл болгон оруулсан болно Бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд үүнийг орхиж болно:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\баруун)=36\cdot x+12.$

Бид үүссэн тэгш байдлын зүүн талд үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Бид NDT аргыг ашигладаг. Бид хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Энэ системийн шийдэл нь: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ бидний асуудлын хувьд дараах байдалтай байна: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Бидний асуудлын OR $y=Y+U$ дараах байдалтай байна: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан PD-ийг хайхын тулд бид OP-ийн $y"$ деривативыг олно.

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Бид $y$ ба $y"$-д $y=6$-г $x=0$-д, $y"=1$-ийг $x=0$-д орлуулна:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Бид тэгшитгэлийн системийг хүлээн авсан:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Үүнийг шийдье. Бид $C_(1) $-г Крамерын томьёог ашиглан олж, $C_(2) $-г эхний тэгшитгэлээс тодорхойлно.

$C_(1) =\frac(\left|\begin(массив)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|)(\зүүн|\ эхлэл(массив)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \төгсгөл(массив)\баруун|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Иймээс энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн PD нь дараах хэлбэртэй байна: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1) \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Тогтмол коэффициент бүхий хоёр дахь эрэмбийн нэгэн төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

Энд p ба q нь бодит тоо юм. Тогтмол коэффициент бүхий нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг хэрхэн шийддэг жишээг авч үзье.

Хоёр дахь эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуураас хамаарна. Онцлогийн тэгшитгэл нь k²+pk+q=0 тэгшитгэл юм.

1) Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь өөр бодит тоо байвал:

тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь дараах хэлбэртэй байна.

2) Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь бодит тоотой тэнцүү бол

(жишээ нь, ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү), дараа нь нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь:

3) Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь комплекс тоо бол

(жишээлбэл, хасах тоотой тэнцүү дискриминанттай), дараа нь нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг хэлбэрээр бичнэ.

Тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ

Нэг төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлүүдийг ол.

Бид шинж чанарын тэгшитгэлийг үүсгэдэг: k²-7k+12=0. Дискриминант нь D=b²-4ac=1>0 тул үндэс нь өөр бодит тоо байна.

Иймээс энэхүү нэгэн төрлийн 2-р эрэмбийн DE-ийн ерөнхий шийдэл нь байна

Онцлогийн тэгшитгэлийг зохиож, шийдье.

Үндэс нь бодитой бөгөөд тодорхой юм. Тиймээс бид нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэлтэй байна.

Энэ тохиолдолд шинж чанарын тэгшитгэл

Үндэс нь өөр бөгөөд хүчинтэй. Тиймээс 2-р эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл энд байна

Онцлогийн тэгшитгэл

Үндэс нь бодит ба тэнцүү тул энэхүү дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг дараах байдлаар бичнэ

Онцлогийн тэгшитгэл энд байна

Дискриминант нь сөрөг тоо тул шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь комплекс тоо юм.

Энэхүү нэгэн төрлийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь хэлбэртэй байна

Онцлогийн тэгшитгэл

Эндээс бид энэ дифференциалын ерөнхий шийдлийг олдог. тэгшитгэл:

Өөрийгөө шалгах жишээ.

PC-тэй LNDU 2-ын тухайд дараах хоёр мэдэгдэл үнэн байна.

PC-тэй 2-р зэрэглэлийн LPDE-ийн шийдэл

Дүрэм №1.

Дүрэм №2.

Дүрэм №3.

Дүрэм №4.

LNDU-2-ын зүүн талд ерөнхий хэлбэрээр бичигдсэн PD $U$-г орлуулах;
LNDU-2-ын зүүн талд, ижил хүчин чадалтай хялбаршуулсан болон бүлгийн нэр томъёог гүйцэтгэнэ $x$;
үр дүнгийн адилтгалд нэр томьёоны коэффициентийг зүүн ба баруун талын $x$ ижил чадалтай тэнцүүлэх;
үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн шугаман тэгшитгэлийн үр дүнгийн системийг шийд.

Жишээ 1

Бид харгалзах LOD-2-г бичнэ: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Бид NC аргыг ашиглан $A$, $B$ коэффициентүүдийг хайх болно.

Бид Чех улсын анхны деривативыг оллоо:

$U"=\зүүн(A\cdot x+B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\баруун)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$

Бид Чех улсын хоёр дахь деривативыг олдог.

$U""=\зүүн(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\баруун)\cdot \left(e^(3\cdot x) \баруун)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\зүүн(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\баруун)\cdot e^(3\cdot x) .$

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\баруун)=36\cdot x+12.$

Бид үүссэн тэгш байдлын зүүн талд үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Бид NDT аргыг ашигладаг. Бид хоёр үл мэдэгдэх шугаман тэгшитгэлийн системийг олж авдаг.

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Энэ системийн шийдэл нь: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ бидний асуудлын хувьд дараах байдалтай байна: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Бидний асуудлын OR $y=Y+U$ дараах байдалтай байна: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Өгөгдсөн анхны нөхцөлийг хангасан PD-ийг хайхын тулд бид OP-ийн $y"$ деривативыг олно.

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Бид $y$ ба $y"$-д $y=6$-г $x=0$-д, $y"=1$-ийг $x=0$-д орлуулна:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Бид тэгшитгэлийн системийг хүлээн авсан:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Үүнийг шийдье. Бид $C_(1) $-г Крамерын томьёог ашиглан олж, $C_(2) $-г эхний тэгшитгэлээс тодорхойлно.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл юм

,
Энд p ба q нь х хувьсагчийн функцууд юм.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл юм

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэл хэлбэрийн тэгшитгэл юм

q нэр томъёо (x)тэгшитгэлийн нэг төрлийн бус хэсэг гэж нэрлэдэг.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Энэ тэгшитгэлийг шийдэх гурван арга бий:

интеграцийн хүчин зүйлийн арга;

Шугаман дифференциал тэгшитгэлийг интегралчлах коэффициент ашиглан шийдвэрлэх

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг ашиглан шийдэх аргыг авч үзье нэгтгэх хүчин зүйл.
Анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлье (1) нэгтгэх хүчин зүйлээр
:
(2)
Дараа нь интегралын дериватив нь интегралтай тэнцүү болохыг анхаарна уу.

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу:

Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийн дагуу:

Орлуулах (2) :

Нэгтгэцгээе:

-ээр үржүүлнэ. Бид авдаг нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл:

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл

Анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг х-д хуваая:
(i) .
Дараа нь
;
.
Нэгтгэх хүчин зүйл:

Интегралчлагч хүчин зүйлийг ямар ч тогтмол (үүнд орно) үржүүлж болох тул модулийн тэмдгийг орхигдуулж болно. ± 1).
Үржүүлье (i)х 3 :
.
Бид деривативыг сонгодог.
;
.
Бид интегралын хүснэгтийг ашиглан интеграцчилдаг.
.
х-д хуваах 3 :
.

Хариулах

Лавлагаа:
Н.М. Гунтер, Р.О. Кузьмин, Дээд математикийн асуудлын цуглуулга, "Лан", 2003 он.