Автомат удирдлагын системийн тогтвортой байдлын гол нөхцөл. Өөрөө явагч бууны үзүүлэлтүүдийн түүний тогтвортой байдалд үзүүлэх нөлөө

Хяналтын систем (Зураг 1.14, а) нь түүний алдаа нь тогтвортой эсвэл тогтворгүй байж болох үед тэнцвэрт байдалд байна. Хэрэв хөдөлгөгч хүч тодорхой хэмжээгээр өөрчлөгдсөний дараа (хөтөгчийн босоо амыг өнцгөөр эргүүлэх) чийгшүүлсэн түр зуурын үйл явцын үр дүнд систем (Зураг 2.1, a, b) тэнцвэрт байдалд буцаж ирвэл энэ нь Тэнцвэрийн төлөв нь тогтвортой бөгөөд системийг тогтвортой гэж нэрлэдэг. Хэрэв хөдөлгөгч хүч бага зэрэг өөрчлөгдсөний дараа (тэнцвэрийн төлөв байдлаас систем хазайсан) систем нь тэнцвэрийн анхны төлөв рүү чиглээгүй, харин тэнцвэрийн уналтгүй хэлбэлзэл юм. хяналттай хэмжигдэхүүн үүн дотор үүсдэг (Зураг 2.1, в, г) эсвэл өөрчлөлт нь энэ систем дэх тэнцвэрийн төлөв байдал тогтворгүй бөгөөд системийг тогтворгүй гэж нэрлэснээс хамааралгүй байх болно.

Тогтвортой ба тогтворгүй тэнцвэрийн төлөв байдлын дүрслэлийг бөмбөгний гадаргуугийн системийг авч үзье. Хотгорт байрлуулсан бөмбөг (Зураг 3.1, а) гадны нөлөөний нөлөөн дор хазайсны дараа анхны байдалдаа буцаж ирдэг тул тогтвортой тэнцвэрт байдалд байна. Бөмбөлөг гадаргуугийн систем тогтвортой байна. Уулын дээд цэгт байрлах бөмбөг (Зураг, тогтворгүй тэнцвэрт байрлалд байна: бага зэрэг хазайлт).

Цагаан будаа. 3.1. Бөмбөг-гадаргуугийн системийн тэнцвэрийн төлөв байдлын тогтвортой байдлын үзэл баримтлалд: a - тогтвортой төлөв; б - тогтворгүй байдал; c - бага зэрэгт тогтвортой, том хазайлтанд тогтворгүй төлөв.

Энэ төлөв байдал, бөмбөг нь гадаргуугийн налуугаар эргэлдэж, анхны байрлалдаа буцаж ирэхгүй. Харж байгаа систем тогтворгүй байна.

Иймээс тогтвортой байдал гэдэг нь системийг энэ төлөвөөс нь салгаж, эзний өөрчлөлт эсвэл эвдэрсэн нөлөөллийн нөлөөг зогсоосны дараа өмнөх тэнцвэрт байдалдаа орох шинж чанарыг ойлгодог.

Зөвхөн тогтвортой систем л ажилладаг. Иймд автомат удирдлагын онолын нэг гол ажил бол автомат удирдлагын системийн тогтвортой байдлыг судлах явдал юм. Динамик системийн тогтвортой байдлын онолын үндэс суурийг Акад боловсруулсан. А.М.Ляпунов "Хөдөлгөөний тогтвортой байдлын ерөнхий асуудал" (1892) бүтээлдээ. Энэхүү ажлын үр дүнд бий болсон тогтвортой байдлын үзэл баримтлал нь дараах байдалтай байна.

Хэрэв системийг шугаман дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлсон бол түүний тогтвортой байдал нь эвдрэлийн хэмжээнээс хамаардаггүй. Жижиг эвдрэлийн үед тогтвортой байдаг шугаман систем нь том эвдрэлийн үед ч тогтвортой байх болно. Шугаман бус систем нь бага зэргийн эвдрэлийн үед тогтвортой, том бол тогтворгүй байж болно. Ийм шугаман бус системийн жишээ бол ханын цаг юм. Хэрэв хөдөлгөөнгүй дүүжинд сул түлхэлт өгвөл дүүжин хэд хэдэн удаа дүүжин зогсох болно, өөрөөр хэлбэл систем нь бага зэргийн эвдрэлийн үед тогтвортой байна. Хэрэв дүүжинд илүү хүчтэй импульс өгвөл шархны цагны сүүлчийнх нь унтрахгүй хэлбэлзлийг гүйцэтгэж эхэлдэг. Үүний үр дүнд систем нь их хэмжээний эвдрэлийн үед тогтворгүй байдаг. Гүдгэр биений дээд хэсэгт байрлах хотгорт байрлуулсан бөмбөгийг авч үзэх замаар жижиг, их хэмжээний цочролын үед тогтворгүй байдаг шугаман бус системийн тухай тодорхой ойлголтыг өгдөг (Зураг 3.1, в). Хотгорын ирмэгээс хэтрэхгүй жижиг хазайлтын хувьд бөмбөг нь анхны байрлалдаа буцаж ирдэг, өөрөөр хэлбэл бөмбөгний гадаргуугийн систем тогтвортой байна. Хэрэв энэ нь хотгорын ирмэгээс хазайвал бөмбөг анхны байрлалдаа буцаж ирэхгүй - систем тогтворгүй байна. Тиймээс шугаман бус системүүдийн хувьд тогтвортой байдлыг жижиг эвдрэлийн хувьд, тухайлбал, бага зэрэгт тогтвортой байдал, том эвдрэлийн үед тогтвортой байдал, өөрөөр хэлбэл, том байдлын хувьд тогтвортой байдлыг тусад нь судалдаг.

Ляпуновын теоремын дагуу шугаман бус системүүдийн бага зэргийн эвдрэлийн үед тогтвортой байдлыг тэдгээрийн шугаман тэгшитгэлээр дүгнэж болох бөгөөд энэ нь тэнцвэрийн төлөвөөс бага зэрэг хазайсан үед системийн үйл ажиллагааг маш нарийн дүрсэлсэн байдаг. Их хэмжээний эвдрэлийн үед шугаман бус системийн тогтвортой байдлыг тодорхойлохын тулд шугаман бус динамикийн анхны тэгшитгэлийг ашиглах шаардлагатай. Ихэнх практик тохиолдлуудад жижиг хазайлтуудад тогтвортой байдаг системүүд нь үйл ажиллагааны явцад нэлээд том хазайлттай байсан ч тогтвортой байдаг тул шугаман тэгшитгэлийн судалгаанд үндэслэн эдгээр системийн тогтвортой байдлын асуудлыг шийдэж болно.

Тогтвортой байдлын асуудал нь ихэвчлэн хаалттай автомат удирдлагын системд санал хүсэлтийн нөлөөгөөр үүсдэг. Тиймээс ирээдүйд тогтвортой байдлыг судлах аргууд нь бүх нийтийнх боловч хаалттай системийн жишээн дээр тогтвортой байдлыг судалдаг.

Автомат удирдлагын системийн тогтвортой байдал нь системийн хамгийн чухал шинж чанаруудын нэг юм, учир нь системийн гүйцэтгэл үүнээс хамаарна. Тогтвортой байдалгүй систем нь хяналтын асуудлыг үр дүнтэй шийдэж чадахгүй. Тогтвортой байдлын дутагдал нь хяналтын процессын явцад системийг өөрөө устгах эсвэл хяналтын объектыг устгахад хүргэдэг тул тогтворгүй системийг ашиглах нь зохисгүй юм.

Автомат удирдлагын системийн тогтвортой байдал - энэ бол агаарын системийн өмч юм

системийг анхны тэнцвэрт байдалд хүргэсэн нөлөөлөл зогссоны дараа тэнцвэрийн анхны төлөв рүү эргэдэг.

Тогтвортой ба тогтворгүй системийн жишээ бол 60-р зурагт үзүүлсэн хотгор ба гүдгэр гадаргуу дээр байрлах бөмбөгний систем юм.

Зураг.60. Системийн жишээ: a) тогтвортой; б) тогтворгүй

Зураг 60а-д, хотгор гадаргуу дээр байрлаж, тодорхой хүчээр хажуу тийш нүүлгэн шилжүүлсэн бөмбөг гадны нөлөөлөл дууссаны дараа анхны тэнцвэрт байдалдаа буцаж ирнэ. Гадаргуу дээр үрэлт байхгүй эсвэл түүний хамгийн бага утга байхгүй тохиолдолд бөмбөг анхны тэнцвэрийн байрлал руу буцах хүртэл тэнцвэрийн байрлалын эргэн тойронд богино хэлбэлзэл хийнэ (муруй 1 - суларсан хэлбэлзлийн процесс). Өндөр үрэлтийн үед бөмбөг нь хэлбэлзэлгүйгээр анхны тэнцвэрийн байрлал руу буцах болно (муруй 2 - апериод үйл явц). Хэрэв үрэлтийн утга нь маш их байвал бөмбөг анхны тэнцвэрийн байрлал руу буцаж ирэхгүй (муруй 3), харин тэнцвэрийн байрлалд ойрхон бүс рүү буцах болно. Харгалзан үзсэн тохиолдолд тогтвортой тогтолцоо байна. Тогтвортой автомат удирдлагын системд үүнтэй төстэй түр зуурын процессууд (нассан хэлбэлзэл ба апериод) явагддаг.

Зураг 60б-д гүдгэр гадаргуу дээр байрлаж, тодорхой хүчээр хажуу тийш нүүлгэсэн бөмбөг анхны тэнцвэрийн байрлал руу буцаж ирэхгүй (муруй 4) тул систем тогтворгүй байна. Тогтворгүй системд түр зуурын үйл явц нь ялгаатай хэлбэлзэл (муруй 5) эсвэл периодик (муруй 4) хэлбэрээр явагддаг.

ACS-ийн тогтворгүй байдал нь дүрмээр бол маш хүчтэй санал хүсэлтийн нөлөөнөөс болж үүсдэг. Динамик тогтворгүй байдлын шалтгаан нь ихэвчлэн хаалттай хэлхээний системийн холбоосуудын мэдэгдэхүйц инерцийн шинж чанар бөгөөд үүний улмаас хэлбэлзлийн горим дахь эргэх дохио нь оролтын дохионоос маш их хоцрогдсон тул үүнтэй ижил үе шатанд ордог. Сөрөг санал хүсэлтийн мөн чанар нь зан авирыг авдаг

эерэг.

Тогтвортой байдал, тогтворгүй байдлын математик тодорхойлолтыг бүтээцгээе. Системийн тогтвортой байдал нь зөвхөн түүний чөлөөт хөдөлгөөний шинж чанараас хамаардаг тул системийн энэхүү чөлөөт хөдөлгөөнийг нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

шинж чанарын тэгшитгэлийг дараах илэрхийллээр илэрхийлнэ.

Нэг төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг (2.19.) дараах хэлбэрээр үзүүлье.

Хаана C k - анхны нөхцлөөс хамааран тогтмолууд, p k шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс юм.

Онцлог тэгшитгэлийн үндэс нь нарийн төвөгтэй байж болно ( p k = α k ± jβ k ), хүчинтэй ( p k = α k ) эсвэл төсөөлөлтэй ( p k = jβ к ). Нарийн төвөгтэй үндэс нь үргэлж хос хосолсон байдаг, i.e. Хэрэв эерэг төсөөлөлтэй тэгшитгэлийн язгуур байвал ижил үнэмлэхүй утгатай, харин сөрөг төсөөллийн хэсэг байх нь гарцаагүй. y(t) цагт т → ∞ -аас (2.21.) нь зөвхөн гишүүн бүрт тэглэх хандлагатай байна С к э п к т → 0. Энэ функцын шинж чанар нь язгуурын төрлөөс хамаарна. Үндэс байршлын боломжит тохиолдлууд p k нарийн төвөгтэй хавтгай ба тэдгээрийн холбогдох функцууд y(t) = C k e p k t Зураг 61-д үзүүлэв. Функцуудын харагдах байдлыг эллипс дотор харуулав.

Зураг.61. Онцлог тэгшитгэлийн үндэсийн байршлын нөлөө

системийн чөлөөт хөдөлгөөний бүрэлдэхүүн хэсгүүд

61-р зурагт хэрэв бодит язгуур тус бүрийг p k= α к (2.21.) илэрхийллийн хувьд нэр томьёо нь:

y k (t) = C k eα к т(2.22.)

дараа нь α хүртэл< 0 (үндэс х 1) функц дээр т→ ∞ үед тэглэх хандлагатай болно α k > 0 (үндэс х 3 ) функц хязгааргүй, хэзээ нэмэгдэх болно α k = 0 (үндэс х 2) функц тогтмол хэвээр байх болно.

Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл нь нийлмэл үндэстэй бол хос бүр нь нийлмэл нийлмэл үндэстэй болно p k, k+1 = α к ± jβ к , тэдгээрт тохирох хоёр нэр томъёо байх бөгөөд эдгээрийг нэгтгэж, дараах илэрхийлэл хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Энэ функц нь экспоненциал хэлбэлзэлтэй далайц ба давтамжтай синусоид юм β к . Хоёр цогц язгуурын сөрөг бодит хэсгийн хувьд α k, k+1< 0 , (үндэс х 4 Тэгээд p5 ) функцын хэлбэлзлийн бүрэлдэхүүн хэсэг нь задрах ба эерэг бодит хэсэгтэй α k, k+1 > 0 , (үндэс х 8 Тэгээд х 9 ) хэлбэлзлийн далайц хязгааргүй нэмэгдэнэ. Нарийн төвөгтэй үндэс нь бодит хэсэг байхгүй тохиолдолд α k, k+1 = 0 (үндэс х 6 Тэгээд p7 ), i.e. зөвхөн төсөөллийн үндэс байгаа тохиолдолд функц нь давтамжтай тасралтгүй синусоид байх болно β к .

Тогтвортой байдлын тодорхойлолт дээр үндэслэн хэрэв тэнцвэрийн анхны байрлалыг тэг гэж үзвэл тогтвортой системүүдийн хувьд гаралтын параметрийн утга цаг хугацааны явцад тэг байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. систем өөрөө тэнцвэрт байдалдаа эргэн орно. Үүний зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийн бүх гишүүн (2.21.) цаг хугацааны явцад тэг болох хандлагатай байдаг бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн сөрөг бодит язгуураар хүрч болох ба нийлмэл язгуурууд сөрөг бодит хэсэгтэй байх ёстой. Наад зах нь нэг эерэг бодит язгуур эсвэл эерэг бодит хэсэг бүхий хос цогц язгуур байгаа нь системийн гаралтын параметрийн утга анхны утга руугаа буцаж ирэхгүй байх болно, өөрөөр хэлбэл. систем тогтворгүй болно.

62-р зурагт үзүүлсэн нийлмэл хавтгай дээрх шинж чанарын тэгшитгэлийн язгууруудын байршлыг шинжлэхэд шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх язгуурууд зүүн хагас хавтгайд байгаа бөгөөд тэдгээр нь бүгд сөрөг бодит эсвэл сөрөг байвал ACS тогтвортой болохыг анзаарч болно. сөрөг бодит хэсэгтэй цогцолбор. Баруун талын хагас хавтгайд дор хаяж нэг үндэс байгаа нь системийн тогтворгүй байдлыг илтгэнэ.

Системийн тогтвортой байдал нь зөвхөн системийн шинж чанарыг тодорхойлсон шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын төрлөөс хамаарах системийн дотоод шинж чанар бөгөөд гадны нөлөөллөөс хамаардаггүй. Системийн тогтвортой байдлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол тэгшитгэлийн бүх язгууруудын зүүн (сөрөг) хагас хавтгай дахь байрлал юм.

Системийн тогтвортой байдал эсвэл тогтворгүй байдлыг хангах шинж чанарын тэгшитгэлийн эерэг ба сөрөг язгуурууд байрладаг эерэг ба сөрөг хагас хавтгай нь төсөөллийн тэнхлэгээр тусгаарлагдана ± jβ . Энэ тэнхлэг нь тогтвортой байдлын хил хязгаар тул хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл нь нэг хос цэвэр төсөөллийн үндэстэй бол. p k, k+1 =± jβ к , болон бусад үндэс нь сөрөг хагас хавтгайд байгаа бол систем нь давтамжтай унтрахгүй хэлбэлзэлтэй байдаг. ω = β k. Энэ тохиолдолд систем нь дээр байна гэж ерөнхийдөө хүлээн зөвшөөрдөг хэлбэлзлийн тогтвортой байдлын хязгаар .

Цэг β = 0 төсөөллийн тэнхлэг дээр тэг язгууртай тохирч байна. Нэг тэг язгууртай тэгшитгэлийг at гэж үзнэ Апериодын тогтвортой байдлын хязгаар , мөн хоёр тэг үндэс байгаа тохиолдолд систем тогтворгүй байна.

Зураг.62. Тогтвортой системийн шинж чанарын тэгшитгэлийн язгууруудын байршил

нарийн төвөгтэй хавтгай

Бараг бүх бодит автомат удирдлагын системийн тэгшитгэлүүд нь шугаман биш, харин шугаман тэгшитгэлийг ашиглан шугаман тэгшитгэл болгон бууруулсан гэдгийг мартаж болохгүй, тиймээс шугаманчлалын явцад гаргасан таамаглал нь системийн тогтвортой байдлыг зөв тодорхойлоход нөлөөлж болно.

1892 онд А.М.Ляпунов "Хөдөлгөөний тогтвортой байдлын ерөнхий асуудал" хэмээх бүтээлдээ шугаман тэгшитгэлийн хувьд дараахь дүгнэлтийг хийсэн теоремыг нотолсон болно.

1. Системийн шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх бодит язгуур сөрөг байвал системийг тогтвортой гэж үзнэ.

2. Системийн шинж чанарын тэгшитгэлийн ядаж нэг бодит язгуур эерэг байвал системийг тогтворгүй гэж үзнэ.

3. Шугаманжсан системийн шинж чанарын тэгшитгэл нь дор хаяж нэг тэг язгуур эсвэл нэг хос төсөөлөлтэй язгууртай бол бодит системийн тогтвортой байдлыг шугаман тэгшитгэлээс дүгнэж болохгүй.

Тиймээс анхны шугаман бус тэгшитгэлийн шинжилгээнд үндэслэн бодит системийн тогтвортой байдлын талаархи дүгнэлтийг хийх ёстой бөгөөд системийн тогтворгүй байдал эсвэл тогтвортой байдлыг тодорхойлохын тулд бодит язгуурын эерэг (сөрөг) байдлыг тодорхойлоход хангалттай байх болно. шинж чанарын тэгшитгэл.

Тогтвортой байдлын шалгуур Автомат удирдлагын онолд шинж чанарын тэгшитгэлийн язгуурын шинж тэмдгийг шийдвэрлэхгүйгээр тодорхойлдог тодорхой дүрмийг нэрлэнэ үү. Тогтвортой байдлын хувьд алгебрийн болон давтамжийн шалгуур байдаг.

Алгебрийн шалгуур Системийн тогтвортой байдал нь шинж чанарын тэгшитгэл дэх коэффициентүүдийн тодорхой утгуудад үндэс сөрөг байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл юм.

Давтамжийн шалгуур системийн тогтвортой байдал, системийн тогтвортой байдал нь системийн давтамжийн шинж чанарын хэлбэрээс хамааралтай болохыг тогтоосон.

Тогтвортой байдал гэдэг нь ямар нэг шалтгаанаар энэ горимоос хазайсан тохиолдолд системийн нэрлэсэн горим руу буцах чадварыг хэлнэ.

Тогтвортой байдлын шаардлага нь бүх өөрөө явагч бууны хувьд заавал байх ёстой.

Тогтвортой байдлын хатуу тодорхойлолтыг А.М. Ляпунов "Хөдөлгөөний тогтвортой байдлын ерөнхий асуудал" бүтээлдээ (19-р зууны сүүлч)

Системийн динамикийг тэгшитгэлээр тодорхойл

y - гаралтын утга

x- оролтын хэмжээ

y ( би ) , x ( j ) - дериватив.

Энэ систем нь нэрлэсэн үйлдлийн горимтой гэж үзье цагт n (т), нэрлэсэн оролтын нөлөөгөөр өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог X n (т) болон нэрлэсэн анхны нөхцөл.

(2)

Нэрлэсэн анхны нөхцлүүдийг (2) практикт хадгалахад хэцүү байдаг тул системд "хазайсан" анхны нөхцөлүүд байдаг.

(3)

Нэрлэсэн горимын хувьд тэгшитгэл хүчинтэй байна:

Татгалзсан анхны нөхцөлүүд нь татгалзсан горимтой тохирч байна.

Татгалзсан горимын хувьд тэгшитгэл хүчинтэй байна:

(6)

(5) тэгшитгэлээс (4) тэгшитгэлийг хасаад бид (7) авна.

Тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Нэрлэсэн горим цагт n (т) Ляпунов тогтвортой байна, хэрэв нэрлэсэн нэрлэсэн анхны нөхцлөөс (2) хангалттай бага зөрүүтэй аливаа татгалзсан эхний нөхцлийн хувьд (3) бүх t > 0 бол z(t) бага байна.

Хэрэв нэрлэсэн горим нь Ляпуновын дагуу тогтвортой бөгөөд нэгэн зэрэг хязгаартай бол
, дараа нь нэрлэсэн горимыг дуудна асимптотын хувьд тогтвортой.

Хэрэв нэрлэсэн анхны нөхцлөөс (2) хүссэнээр бага зэрэг ялгаатай анхны нөхцөлүүд (3) байгаа бол, мөн нэгэн зэрэг
зарим жижиг, урьдчилан тодорхойлсон утгаас их болж, дараа нь нэрлэсэн горим цагт n (т) дуудсан тогтворгүй.

(7)-аас зан төлөв нь дараах байдалтай байна z(т) оролтын нөлөөллийн төрлөөс бүрэн хамааралгүй X n (т) .

Энэ нь дараах дүгнэлтэд хүргэдэг: аль нэг системд (1) тэдгээр нь асимптотын хувьд тогтвортой байна Бүгдөөр өөр оролтод тохирох нэрлэсэн горимууд X n (т), эсвэл тэд бүгд тогтворгүй байдаг.

Тиймээс бид түүний аль нэг горимын тухай биш харин системийн тогтвортой байдал эсвэл тогтворгүй байдлын талаар ярьж болно.

Энэ нь ACS-ийн судалгааны хамрах хүрээг багасгасан чухал дүгнэлт юм.

Харамсалтай нь энэ нь зөвхөн шугаман өөрөө явагч бууны хувьд хүчинтэй.

Шугаман өөрөө явагч бууны тогтвортой байдлын шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл.

Шугаман системийн асимптотик тогтвортой байдлын хувьд шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх язгуур байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

сөрөг бодит хэсэг байх болно.

Тогтмол коэффициент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл гэдгийг мэддэг

1. Үндэс нь жинхэнэ байг.

At

- мөн энэ нь нэрлэсэн горимоос хазайлт юм.

2. Хэрэв үндэс нь нарийн төвөгтэй бол.

Тогтвортой байдлын зайлшгүй нөхцөл.

(1), (8) системийн асимптот тогтвортой байдлын хувьд шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд ижил тэмдэгтэй байх шаардлагатай.

Тогтвортой байдлын геометрийн тайлбар

ACS-ийн тогтвортой байдлыг хангахын тулд шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс нь язгуурын цогц хавтгайн зүүн хагас хавтгайд байрлах нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

ACS тогтвортой байдлын шалгуур.

Эдгээр нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндсийг олохгүйгээр өөрөө явагч бууны тогтвортой байдлын талаархи асуултанд хариулах боломжийг олгодог хиймэл техник юм. үндэсийн жинхэнэ хэсгүүдийн шинж тэмдгийг тодорхойлох.

Тогтвортой байдлын хоёр төрлийн шалгуур:

1). Алгебрийн тогтвортой байдлын шалгуур (Hurwitz тогтвортой байдлын шалгуур).

Онцлогийн тэгшитгэл өгье.

Өөрөө явагч бууны тогтвортой байдлын хувьд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

1). Тиймээс шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд ижил тэмдэгтэй байна -
(
систем тогтвортой биш байна)

2). Тодорхой дүрмийн дагуу эмхэтгэсэн Хурвицын үндсэн тодорхойлогч ба түүний бүх жижиг диагональууд нь коэффициентийн тэмдэгтэй байх болно - тэдгээр нь тэгээс их байх болно.

Хурвицын үндсэн тодорхойлолтыг бичих дүрэм.

1). Тодорхойлогчийн үндсэн диагональ дагуу шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд нь индексүүдийн өсөх дарааллаар байрлана. а 1 .

2). Үндсэн диагональ дээрх тодорхойлогч дахь орон зайг индексийн өсөлтийн дарааллаар шинж чанарын тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дүүргэнэ.

3). Үндсэн диагональ доорх тодорхойлогч дахь орон зайг индексүүдийн буурах дарааллаар шинж чанарын тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дүүргэнэ.

4). Тодорхойлогч дотор байх ёстой хэмжээнээс их индекстэй коэффициентүүд гарч ирэх газрууд nба бага тэг,тэгээр дүүргэсэн

Тиймээс Хурвицын үндсэн тодорхойлогч нь дараах хэлбэртэй байна.

A=
>0

Хэрэв өөрөө явагч буу тогтвортой байна

1). Онцлог тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүд тэгээс их байна ( 0!)

,
, ….

2). Хурвицын гол тодорхойлогч ба түүний бүх диагональ минорууд > 0.

,
,
, ….

Жишээнүүдийг харцгаая.

1.

1.

2.

Хоёрдахь эрэмбийн ACS-ийн тогтвортой байдлын хувьд тогтвортой байдлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол шинж чанарын тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн эерэг байдал юм.

1.
i=0…3

2.

Гурав дахь эрэмбийн системийн тогтвортой байдлын зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол коэффициентүүдийн эерэг байдал ба дотоод нөхцлийн бүтээгдэхүүн юм.
туйлын нэр томъёоны бүтээгдэхүүнээс илүү байх ёстой
шинж чанарын тэгшитгэл.

,

,
,

Мөн Роутын алгебрийн шалгуур гэж бий. Энэ бол Hurwitz-ийн ижил шалгуур боловч тогтвортой байдлыг тодорхойлох хөтөлбөрийг бий болгоход ашиглахад тохиромжтой байдлаар зохион байгуулагдсан.

Гурав дахь эрэмбийн системүүдийн Вышнеградскийн тогтвортой байдлын шалгуур.

Вышнеградский I.A. Vyshnegradsky параметрийн хавтгай гэж нэрлэгддэг тогтвортой байдлын хил хязгаарыг дүрслэхийг санал болгов.

Гурав дахь зэрэглэлийн шинж чанарын тэгшитгэлтэй болцгооё.

Үүнийг орлуулалт ашиглан хувиргацгаая:

Дараа нь иймэрхүү харагдах болно:

А 1 ТэгээдА 2 Vyshnegradsky параметрүүд (хэмжээгүй хэмжигдэхүүнүүд) гэж нэрлэгддэг бөгөөд тэдгээрийн хавтгайд тогтвортой байдлын хил хязгаарыг бий болгодог.

Хувирсан тэгшитгэлд Хурвицийн тогтвортой байдлын шалгуурыг хэрэглэцгээе

эсвэл А 1 А 2 > 1

Тогтвортой байдлын хязгаарт
.

Эндээс
- тогтвортой байдлын хил дээрх тэгшитгэл

Онцлогийн тэгшитгэлийн коэффициентуудаас бид тодорхойлно А 1 Тэгээд А 2 . Хэрэв цэг нь гиперболын доор байвал өөрөө явагч буу тогтвортой, хэрэв цэг нь өндөр байвал тогтворгүй болно.

ХУУДАС \* НЭГДСЭН FORMAT 14

Лекц №4

Өөрөө явагч бууны тогтвортой байдал

Эвдрэл арилсаны дараа системийн анхны байдалдаа орох шинж чанарыг тогтвортой байдал гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт.

1 ба 2-р муруй нь тогтвортой системийг, 3 ба 4-р муруй нь тогтворгүй системийг тодорхойлдог.ε

Тогтвортой байдлын хил дээр 5 ба 6-р системүүд 5 - төвийг сахисан систем, 6 - хэлбэлзлийн тогтвортой байдлын хязгаар.

Оператор хэлбэрийн ACS-ийн дифференциал тэгшитгэлийг хэлбэртэй болгоё

Дараа нь дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл (системийн хөдөлгөөн) нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ Оролтын үйлдэлтэй ижил төрлийн албадан хөдөлгөөн.

Олон үндэс байхгүй тохиолдолд Cби -анхны нөхцлөөс тодорхойлогддог тогтмол интеграци;

 1 ,  2 …,  n шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс

Онцлог шинж тэмдгийн үндэсийн байршил

цогцолбор хавтгай дээрх системийн тэгшитгэл

Онцлогийн тэгшитгэлийн үндэс нь эвдрэлийн төрлөөс эсвэл үүнээс хамаардаггүй

Анхны нөхцөл, a нь зөвхөн a коэффициентээр тодорхойлогддог 0 , a 1 , a 2 ,…, a n , өөрөөр хэлбэл системийн параметр ба бүтэц.

1-үндэс бодит, тэгээс их;

2-үндэс бодит, тэгээс бага;

3-үндэс нь тэг;

4-хоёр тэг үндэс;

5-жинхэнэ хэсэг нь болох нийлмэл хоёр нийлмэл үндэс

Эерэг;

6-хоёр цогц коньюгат үндэс, бодит хэсэг нь сөрөг;

7-хоёр төсөөллийн коньюгат үндэс.

Тогтвортой байдлын шинжилгээний аргууд:

1. Шууд (дифференциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд үндэслэсэн);
2. Шууд бус (тогтвортой байдлын шалгуур).

А.М-ийн теоремууд. Ляпунова.

Теорем 1.

Теорем 2.

Тэмдэглэл:

1. Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс дунд хоёр ба түүнээс дээш тэг үндэс байвал систем тогтворгүй байна.
2. Хэрэв нэг үндэс нь тэг, бусад нь зүүн талын хагас хавтгайд байвал систем нь төвийг сахисан байна.
3. Хэрэв 2 үндэс нь төсөөллийн коньюгат бөгөөд бусад нь зүүн хагас хавтгайд байгаа бол систем нь тогтвортой байдлын хэлбэлзлийн хил дээр байна.

ACS тогтвортой байдлын шалгуур.

Тогтвортой байдлын шалгуур нь шинж чанарын тэгшитгэлийн үндсийг тооцоолохгүйгээр системийн тогтвортой байдлыг тодорхойлох боломжийг олгодог дүрэм юм.

1877 онд Зам суулгасан:

1. Хурвицийн тогтвортой байдлын шалгуур

Шалгуурыг 1895 онд боловсруулсан.

Хаалттай системийн шинж чанарын тэгшитгэлийг тодорхойлъё: бид тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруулна a 0 >0.

Дараах дүрмийн дагуу Хурвицын үндсэн тодорхойлогчийг байгуулъя.

Үндсэн диагоналын дагуу тэгшитгэлийн коэффициентүүдийг хоёр дахь хэсгээс сүүлчийнх хүртэл бичнэ, диагональаас дээшхи багана нь өсөх индекстэй коэффициентүүдээр, диагональаас доош багана нь буурах индекстэй коэффициентүүдээр дүүргэгдэнэ. Тэгшитгэлд ямар нэг коэффициент байхгүй, 0 ба түүнээс дээш индекстэй коэффициентүүдийн оронд n тэг гэж бичнэ.

Хурвицын үндсэн тодорхойлогчийн диагональ минорууд эсвэл хамгийн энгийн тодорхойлогчдыг тодруулцгаая.

Шалгуурын томъёолол.

Хоёрдугаар дарааллаас өндөр системүүдийн хувьд шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх коэффициентүүдийн эерэг үзүүлэлтээс гадна дараахь тэгш бус байдлыг хангасан байх ёстой.

1. Гурав дахь дарааллын системүүдийн хувьд:
2. Дөрөв дэх дарааллын системүүдийн хувьд:
3. Тав дахь эрэмбийн системүүдийн хувьд:

1. Зургаа дахь дарааллын системүүдийн хувьд:

Жишээ. Хурвицын дагуу системийн тогтвортой байдлыг судлах шинж чанарын тэгшитгэлийг өгсөн болно.

Тогтвортой системүүдийн хувьд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай ба

2. Роутын шалгуур

Роутын шалгуурыг өндөр эрэмбийн системийн тогтвортой байдлыг судлахад ашигладаг.

Шалгуур томъёолол:

Роутын хүснэгт.

Хүснэгтийг бөглөх алгоритм: эхний ба хоёр дахь мөрөнд тэгш, сондгой индекс бүхий тэгшитгэлийн коэффициентүүд орно; Үлдсэн эгнээний элементүүдийг дараах дүрмийн дагуу тооцоолно.

Шалгуурын давуу тал: ямар ч дарааллын системийн тогтвортой байдлыг судлах боломжтой.

2. Nyquist тогтвортой байдлын шалгуур

Аргументийн зарчим

Frequentist аргууд нь аргументийн зарчим дээр суурилдаг.

Дараах хэлбэрийн олон гишүүнтийн шинж чанаруудад дүн шинжилгээ хийцгээе.

Хаана  i - тэгшитгэлийн үндэс

Нарийн төвөгтэй хавтгайд үндэс бүр нь тодорхой цэгтэй тохирч байна. Геометрийн хувьд үндэс бүрi эхээс цэг хүртэл зурсан вектороор дүрсэлж болно би : | i | - векторын урт, argi - вектор ба х тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн хоорондох өнцөг. D(p)-ийг Фурье орон зайд буулгая, тэгвэл j -  i - анхан шатны вектор.

Энгийн векторуудын төгсгөлүүд нь төсөөллийн тэнхлэг дээр байна.

Векторын хэмжээ ба аргумент (үе шат)

Векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх чиглэлийг ЭЕРЭГ гэж авна. Дараа нь солих үед энгийн вектор бүрээс ( j  -  i ) өнцгөөр + эргэх болно хэрэв  i зүүн хагас хавтгайд байрладаг.

D ( )=0 нь m байна баруун хагас хавтгайд үндэс болон n - м үндэс нь зүүн тийш, дараа нь нэмэгдэнэ -аас D(j) векторын аргументыг өөрчлөх ) (эргэлтийн өнцөг D(j ), энгийн векторуудын аргументуудын өөрчлөлтийн нийлбэртэй тэнцүү) байх болно

Аргументийн зарчим:

Нээлттэй хэлхээний давтамжийн шинж чанарын төрлийг ашиглан хаалттай системийн тогтвортой байдлыг үнэлэх боломжтой тул Nyquist шалгуур нь ACS-ийн нээлттэй хэлхээний давтамжийн шинж чанарт суурилдаг.

Nyquist шалгуурыг дараах шалтгааны улмаас инженерийн практикт өргөн ашигладаг.

1. Хаалттай төлөвт байгаа системийн тогтвортой байдлыг түүний нээлттэй хэлхээний давтамж дамжуулах функцээр судалдаг бөгөөд энэ функц нь ихэвчлэн энгийн хүчин зүйлээс бүрддэг. Коэффициент нь системийн бодит параметрүүд бөгөөд тэдгээрийг тогтвортой байдлын нөхцлөөс сонгох боломжийг олгодог.
2. Тогтвортой байдлыг судлахын тулд та системийн хамгийн төвөгтэй элементүүдийн (хяналтын объект, гүйцэтгэх байгууллага) туршилтаар олж авсан давтамжийн шинж чанарыг ашиглаж болох бөгөөд энэ нь олж авсан үр дүнгийн нарийвчлалыг нэмэгдүүлдэг.
3. Тогтвортой байдлыг LFC ашиглан судалж болно, бүтэц нь энгийн.
4. Тогтвортой байдлын хязгаарыг тодорхойлоход тохиромжтой.

1. Нээлттэй төлөвт систем тогтвортой

Туслах функцийг танилцуулж, орлуулъя p  j  , тэгвэл

Аргументийн зарчмын дагуу аргументыг өөрчлөх D(j ) ба D з (j  ) 0-д байна<  <  тэнцүү Дараа нь энэ нь годограф юм W 1 (j  ) гарал үүслийг хамрах ёсгүй.

Шинжилгээ, тооцоог хялбарчлахын тулд радиус векторын гарал үүслийг координатын эхлэлээс (-1,) цэг рүү шилжүүлье. j 0), туслах функцийн оронд W 1 (j  ) бид нээлттэй давталтын системийн AFC-г ашигладаг W (j  ).

Шалгуур No1-ийн томъёолол

Жишээ.

Цэгээс зүүн тийш AFC-ийн эерэг ба сөрөг шилжилтийн тооны зөрүүг анхаарна уу (-1, j 0) тэгтэй тэнцүү байна.

2. Нээлттэй төлөвт байгаа төсөөллийн тэнхлэг дээр туйлтай систем

AFC системийн тогтвортой байдалд дүн шинжилгээ хийхийн тулд тэдгээрийг хязгааргүй том радиустай тойргоор нэмж оруулсан болно. 0 0 туйл дээр эерэг бодит хагас тэнхлэг рүү цагийн зүүний эсрэг, харин цэвэр төсөөллийн язгуурын хувьд - AFC-ийн тасалдалын цэг дээр цагийн зүүний дагуу хагас тойргийн дагуу.

2-р шалгуур үзүүлэлтийг томъёолох

1. Завсарлагатай нээлттэй хэлхээний систем

Илүү ерөнхий тохиолдол - нээлттэй давталтын системийн дамжуулах функцийн хуваагч нь баруун хагас хавтгайд байрлах үндсийг агуулдаг. Нээлттэй систем дэх тогтворгүй байдал нь хоёр шалтгааны улмаас үүсдэг.

1. Тогтворгүй холбоосууд байгаагийн үр дагавар;
2. Эерэг эсвэл сөрөг санал хүсэлтэд хамрагдсан холбоосуудын тогтвортой байдал алдагдсаны үр дагавар.

X Хэдийгээр орон нутгийн санал хүсэлтийн хэлхээнд тогтворгүй байдал үүссэн тохиолдолд онолын хувьд хаалттай төлөвт байгаа бүхэл бүтэн систем тогтвортой байж болох ч бодит байдал дээр ийм тохиолдол нь хүсээгүй бөгөөд зөвхөн тогтвортой орон нутгийн санал хүсэлтийг ашиглахаас зайлсхийх хэрэгтэй. Энэ нь хүсээгүй шинж чанарууд, ялангуяа системд ихэвчлэн байдаг шугаман бус байдлыг харгалзан зарим горимд тогтвортой байдал алдагдах, өөрөө хэлбэлзэл үүсэхэд хүргэдэг нөхцөлт тогтвортой байдлын дүр төрхөөр тайлбарлагддаг. Тиймээс, дүрмээр бол системийг тооцоолохдоо үндсэн санал хүсэлт нээлттэй үед тогтвортой байх орон нутгийн санал хүсэлтийг сонгодог..

Олон гишүүнт шинж чанарыг бичье D(х ) нээлттэй давталтын системтэйм эерэг бодит хэсэгтэй үндэс.

Дараа нь

Орлуулах тусламжийн функц p  j  Тогтвортой хаалттай системүүдийн аргументийн зарчмын дагуу аргумент дахь дараах өөрчлөлтийг хийх ёстой

Шалгуур үзүүлэлт No3-ын томъёолол

Я.З. Цыпкина

LFC-ийн Nyquist шалгуур

Тайлбар: астатик системийн LFC-ийн фазын шинж чанарыг монотон зүсэлт + нэмж оруулсан болно /2 үед  0.

Үнэхээр тогтвортойТэд нээлттэй хэлхээний олз буурахад тогтвортой хэвээр байгаа системийг нэрлэдэг, эс тэгвээс систем нь нөхцөлт тогтвортой байна.

Параметрүүдээ өөрчилснөөр тогтворжсон системүүдийг гэнэбүтцийн хувьд тогтвортой, эс бөгөөс бүтцийн хувьд тогтворгүй.

Тогтвортой байдлын хязгаар

Хэвийн үйл ажиллагааны хувьд аливаа ACS-ийг тогтвортой байдлын хил хязгаараас зайлуулж, хангалттай тогтвортой байдлын хязгаартай байх ёстой. Үүний хэрэгцээ нь дараахь шалтгаанаас үүдэлтэй.

1. ACS элементүүдийн тэгшитгэл нь дүрмээр бол тэдгээрийг эмхэтгэхдээ хоёрдогч хүчин зүйлийг харгалзан үздэггүй;
2. Тэгшитгэлийг шугаман болгох үед ойролцоолох алдаа улам нэмэгддэг;
3. Элементүүдийн параметрүүдийг зарим алдаагаар тодорхойлдог;
4. Нэг төрлийн элементүүдийн параметрүүд нь технологийн өөрчлөлттэй байдаг;
5. Ашиглалтын явцад элементүүдийн параметрүүд нь хөгшрөлтийн улмаас өөрчлөгддөг.

Инженерийн тооцооллын практикт тогтвортой байдлын хязгаарыг тодорхойлох хамгийн өргөн хэрэглэгддэг зүйл бол нээлттэй давталтын системийн AFC-ийн координаттай (-1,) чухал цэгээс зайд үндэслэн NYQVIST шалгуур үзүүлэлт юм. j 0), үүнийг хоёр үзүүлэлтээр үнэлдэг: фазын тогтвортой байдлын маржин ба модулийн тогтвортой байдлын маржин (далайцаар)Х.

ATS нь хамгийн багадаа тогтвортой байдлын хязгаартай байхын тулд ба Х , нээлттэй хэлхээний AFC, хэрэв тогтвортой байдлын шалгуур хангагдсан бол Зураг дээр сүүдэрлэсэн цагирагны хэсгийг оруулах ёсгүй. 1, хаанаХ харьцаагаар тодорхойлогддог

Тогтвортой байдлыг нөхцөлт тогтвортой системүүдийн LFC-ээр тодорхойлдог бол хамгийн багадаа тогтвортой байдлын маржиныг баталгаажуулна. ба h шаардлагатай тул:

a) h  L  - h-ийн хувьд фазын давтамжийн шинж чанар нь тэгш бус байдлыг хангасанθ > -180  +  эсвэл θ< -180  -  , өөрөөр хэлбэл Зураг дээрх 1-р сүүдэрт ороогүй. 2;

б) -180  +   θ  -180  -  үед далайц-давтамжийн шинж чанар нь тэгш бус байдлыг хангасанЛ< - h или L >h , өөрөөр хэлбэл 2-р зурагт 2" ба 2" сүүдэртэй хэсгүүдэд ороогүй.

Үнэмлэхүй тогтвортой системийн хувьд тогтвортой байдлын хязгаар ба h-ийг Зураг дээр үзүүлсний дагуу тодорхойлно. 3:

1. Үе шат

1. Модулийн ирмэг h =- L (ω -π), энд ω -π θ=-180 байх давтамж˚ .

Тогтвортой байдлын хязгаарын шаардлагатай утга нь ACS-ийн ангилал, зохицуулалтын чанарт тавигдах шаардлагаас хамаарна. Ойролцоогоор ийм байх ёстой =30  60  ба h =6  20дБ.

Далайц дахь хамгийн бага зөвшөөрөгдөх тогтвортой байдлын хязгаар нь 6 дБ-ээс багагүй байх ёстой (өөрөөр хэлбэл нээлттэй давталтын системийн дамжуулах коэффициент нь эгзэгтэй утгын хагас), фазын хувьд 25-аас багагүй байх ёстой. 30  .

Цэвэр саатал бүхий системийн тогтвортой байдал

Хэрэв нээлттэй давталтын системийн AFC нь (-1,) цэгээр дамжин өнгөрвөл. j 0), дараа нь систем тогтвортой байдлын ирмэг дээр байна.

Хэрэв хэлхээнд 1-ээс бага дамжуулах коэффициент бүхий инерцигүй холбоосыг бусад төрлийн залруулга хийх боломжтой бол цэвэр сааталтай системийг тогтвортой болгож болно.

Бүтцийн хувьд тогтвортой ба тогтворгүй системүүд

Системийн чанарыг (тогтвортой байдлын хувьд) өөрчлөх нэг арга бол нээлттэй хэлхээний системийн дамжуулах коэффициентийг өөрчлөх явдал юм.

Хэзээ k L ( ) өсөх эсвэл унах болно. Хэрэв k өсөх, L ( ) өсөх ба  дундаж нэмэгдэх боловч систем тогтворгүй хэвээр байх болно. Хэрэвк буурвал системийг тогтвортой болгох боломжтой. Энэ бол системийг засах арга замуудын нэг юм.

Системийн параметрүүдийг өөрчлөх замаар тогтвортой болгох боломжтой системийг БҮТЭЦИЙН ТОГТВОРТОЙ гэж нэрлэдэг.

Эдгээр системүүдийн хувьд нээлттэй давталтын дамжуулалтын чухал харьцаа байдаг.К шүүмжлэл. Энэ нь систем тогтвортой байдлын ирмэг дээр байх үеийн дамжуулалтын коэффициент юм.

Бүтцийн хувьд тогтворгүй системүүд байдаг - эдгээр нь системийн параметрүүдийг өөрчлөх замаар тогтвортой болгох боломжгүй системүүд боловч тогтвортой байдлын хувьд системийн бүтцийг өөрчлөх шаардлагатай байдаг.

Жишээ.

Гурван тохиолдлыг авч үзье:

1. Болъё

Дараа нь

Системийн тогтвортой байдлыг шалгацгаая.

Δ = a 3 Δ 2 >0.

k rs.cr тодорхойлох. тэгтэй тэнцүүлье 2 .

Дараа нь

Хэзээ хэзээ

Холболтын параметрүүдийг өөрчлөх замаар тогтворжуулах боломжтой тул авч үзэж буй систем нь БҮТЭЦИЙН ТОГТВОРТОЙ юм.

1. Тэдгээрийг эхний тохиолдолтой адил байг.

Одоо хяналтын суваг дээр статик алдаа байхгүй.

Хурвицын тогтвортой байдлын нөхцөл:

 2 байг =0, хэрэв систем тогтворгүй бол.

1-р зэрэглэлийн астатизмтай энэ систем БҮТЭЦИЙН ТОГТВОРТОЙ.

1. Болъё

Систем үргэлж тогтворгүй байдаг. Энэ систем нь Бүтцийн хувьд тогтворгүй.

Өөрөө явагч бууны тогтвортой байдал

Дамжуулах функцийн тэг ба туйлууд

Дамжуулах функцийн тоологч дахь олон гишүүнтийн язгуурыг дуудна тэг, хуваагч дахь олон гишүүнтийн үндэс нь байна туйлдамжуулах функц. Польшууд нэгэн зэрэг шинж чанарын тэгшитгэлийн үндэс, эсвэл онцлог тоо.

Хэрэв шилжүүлгийн функцийн тоо ба хуваагчийн үндэс нь зүүн хагас хавтгайд байрладаг бол (тоологч ба хуваагчийн үндэс дээд хагас хавтгайд байрладаг) холбоосыг нэрлэнэ. хамгийн бага үе шат.

Үндэсний зүүн хагас хавтгайтай харьцах Рүндэсийн дээд хагас хавтгай (Зураг 2.2.1) нь, эсвэл гэж тайлбарладаг. , өөрөөр хэлбэл векторыг цагийн зүүний дагуу эргүүлснээр векторыг авна. Үүний үр дүнд зүүн хагас хавтгайгаас бүх векторууд дээд хагас хавтгай дахь векторууд руу ирдэг.

Хамгийн бага бус үе шат ба тогтворгүй холбоосууд

Дээр дурдсан байрлалын болон ялгах төрлүүдийн холбоосууд нь тогтвортой холбоосууд буюу өөрийгөө тэгшлэх холбоосуудыг хэлнэ.

Доод өөрийгөө тэгшлэхЭнэ нь холболтын оролтын утгын хязгаарлагдмал өөрчлөлт эсвэл саад болох нөлөө бүхий шинэ тогтвортой төлөвийн утгад аяндаа хүрэх чадварыг хэлнэ. Дүрмээр бол өөрийгөө зохицуулах гэсэн нэр томъёо нь зохицуулалтад хамаарах холбоосуудад ашиглагддаг.

Оролтын утгын хязгаарлагдмал өөрчлөлт нь холбоосыг шинэ тогтвортой байдалд хүргэхгүй байх холбоосууд байдаг бөгөөд гаралтын утга нь цаг хугацааны явцад хязгааргүй өсөх хандлагатай байдаг. Жишээлбэл, эдгээрт нэгтгэх төрлийн холбоосууд орно.

Энэ үйл явц бүр ч илүү тод илэрдэг холбоосууд байдаг. Энэ нь шинж чанарын тэгшитгэлд эерэг бодит хэсэг бүхий эерэг бодит буюу нийлмэл язгуурууд байгаагаар тайлбарлагддаг (шилжүүлэх функцийн хуваагч нь тэгтэй тэнцүү), үүний үр дүнд холбоосыг дараах байдлаар ангилах болно. тогтворгүй холбоосууд.

Жишээлбэл, дифференциал тэгшитгэлийн хувьд , бидэнд шилжүүлэх функц байна эерэг бодит язгууртай шинж чанарын тэгшитгэл. Энэ холбоос нь дамжуулах функцтэй инерцийн холбоостой ижил далайц-давтамжийн шинж чанартай байдаг. Гэхдээ эдгээр холбоосуудын фазын давтамжийн шинж чанарууд ижил байна. Инерцийн холбоосын хувьд бидэнд байна . Дамжуулах функцтэй холбоосын хувьд бидэнд байна

тэдгээр. илүү үнэмлэхүй утга.

Үүнтэй холбогдуулан тогтворгүй холбоосууд нь бүлэгт хамаардаг хамгийн бага фазын холбоос биш.

Хамгийн бага фазын бус холбоосууд нь шилжүүлгийн функцийн тоологч дахь эерэг бодит хэсэгтэй (дифференциал тэгшитгэлийн баруун талд харгалзах) бодит эерэг язгуур эсвэл цогц язгууртай тогтвортой холбоосуудыг агуулдаг.

Жишээлбэл, дамжуулах функцтэй холбоос хамгийн бага бус фазын холбоосын бүлэгт хамаарна. Давтамж дамжуулах функцийн модуль нь дамжуулах функцтэй холбоосын давтамж дамжуулах функцийн модультай давхцдаг . Гэхдээ эхний холбоосын фазын шилжилт үнэмлэхүй утгаараа илүү байна:

Хамгийн бага фазын холбоосууд нь ижил далайцын давтамжийн шинж чанартай харгалзах холбоосуудтай харьцуулахад бага фазын шилжилттэй байдаг.

Тэд систем гэж хэлдэг тогтвортойэсвэл гаднах эвдрэлийг арилгасны дараа анхны байдалдаа орсон бол өөрөө тэгшлэх чадвартай.

Чөлөөт төлөвт байгаа системийн хөдөлгөөнийг нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлдог тул тогтвортой системийн математик тодорхойлолтыг дараах байдлаар томъёолж болно.

Хэрэв нөхцөл хангагдсан бол системийг асимптотик тогтвортой гэж нэрлэдэг (2.9.1)

Ерөнхий шийдлийн дүн шинжилгээнээс (1.2.10) тогтвортой байдлын зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлийг доор харуулав.

Системийн тогтвортой байдлыг хангахын тулд шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх үндэс нь хатуу сөрөг бодит хэсгүүдтэй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. Төлөөлөгч би , I = 1…n. (2.9.2)

Тодорхой болгохын тулд шинж чанарын тэгшитгэлийн үндсийг ихэвчлэн 2.9.1а-р зурагт комплекс хавтгайд дүрсэлсэн болно. Шаардлагатай, хангалттай зүйлийг хийх үед

Зураг 8.12. Үндэс онгоц

онцлог

тэгшитгэл А(х) = 0

OU - тогтвортой байдлын бүс

Гурав дахь нөхцөл (2.9.2) нь бүх үндэс нь төсөөллийн тэнхлэгийн зүүн талд байрладаг, i.e. тогтвортой байдлын чиглэлээр.

Иймд (2.9.2) нөхцөлийг дараах байдлаар томъёолж болно.

Тогтвортой байдлын хувьд шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх үндэс зүүн хагас хавтгайд байрлах нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Тогтвортой байдлын хатуу ерөнхий тодорхойлолт, шугаман бус системийн тогтвортой байдлыг судлах аргууд, шугаман системийн тогтвортой байдлын талаархи дүгнэлтийг анхны шугаман бус системд шилжүүлэх боломжийг Оросын эрдэмтэн А.М.

Практикт тогтворжилтыг шинж чанарын тэгшитгэлийн үндсийг шууд олохгүйгээр тогтвортой байдлын шалгуур гэж нэрлэгддэг шууд бус байдлаар тодорхойлдог. Үүнд алгебрийн шалгуурууд орно: Стодолын нөхцөл, Хурвиц, Михайловын шалгуур, түүнчлэн Найквистын давтамжийн шалгуур. Энэ тохиолдолд Nyquist шалгуур нь хаалттай циклийн системийн тогтвортой байдлыг AFC эсвэл нээлттэй давталтын системийн логарифмын шинж чанараар тодорхойлох боломжийг олгодог.

Стодолын нөхцөл байдал

Энэ нөхцлийг 19-р зууны төгсгөлд Словакийн математикч Стодола олж авсан. Энэ нь системийн тогтвортой байдлын нөхцлийг ойлгох арга зүйн үүднээс сонирхолтой юм.

Системийн шинж чанарын тэгшитгэлийг хэлбэрээр бичье

D(p) = a 0 х n +a 1 х n- 1 +…а n = 0. (2.9.3)

Стодолын хэлснээр тогтвортой байдлын хувьд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай боловч хангалттай биш юм а 0 > 0 бусад бүх коэффициентүүд эерэг байсан, өөрөөр хэлбэл.

а 1 > 0 ,..., а n > 0.

Хэрэгцээдараах байдлаар үүсгэж болно.

Хэрэв систем тогтвортой байвал шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх үндэс нь , i.e. зүүний үзэлтнүүд юм.

Шаардлагатай байдлын нотолгоо нь энгийн зүйл юм. Безоутын теоремын дагуу шинж чанарын олон гишүүнтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

, өөрөөр хэлбэл, бодит тоо байг, ба - цогц коньюгат үндэс. Дараа нь

Энэ нь бодит коэффициент бүхий олон гишүүнтийн хувьд нийлмэл язгуурууд хос хосолдог болохыг харуулж байна. Түүгээр ч зогсохгүй хэрэв , дараа нь эерэг коэффициенттэй олон гишүүнтийн үржвэр байгаа бөгөөд энэ нь зөвхөн эерэг коэффициенттэй олон гишүүнтийг өгдөг.

Бүтэлгүйтэл Stodola-ийн нөхцөл байдал нь нөхцөл байдал нь бүх зүйлийг баталгаажуулдаггүй. Үүнийг градусын олон гишүүнтийг авч үзэх замаар тодорхой жишээ ашиглан баталгаажуулж болно.

Энэ тохиолдолд Stodola нөхцөл шаардлагатай бөгөөд хангалттай гэдгийг анхаарна уу. Үүнээс үүдэлтэй. Хэрэв , тэгвэл тэгвэл .

Учир нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёоны шинжилгээнээс тухайн нөхцөлийн хүрэлцээ мөн гарч ирнэ.

Стодолагийн нөхцөл байдлаас хоёр чухал үр дагавар гарч ирдэг.

1. Хэрэв нөхцөл хангагдсан бөгөөд систем тогтворгүй бол шилжилтийн процесс нь хэлбэлзлийн шинж чанартай байна. Энэ нь эерэг коэффициент бүхий тэгшитгэл нь бодит эерэг үндэстэй байж чадахгүй гэсэн үг юм. Тодорхойлолтоор бол үндэс нь олон гишүүнт шинж чанарыг алга болгодог тоо юм. Ямар ч эерэг тоо эерэг коэффициенттэй олон гишүүнтийг алга болгож чадахгүй, өөрөөр хэлбэл түүний үндэс болно.

2. Сөрөг санал хүсэлтийн үед шинж чанарын олон гишүүнтийн коэффициентүүдийн эерэг байдал (тус тусад нь Stodola нөхцөлийн биелэлт) хангагдана. хаалттай гогцооны дагуу сондгой тооны урвуу дохионы тохиолдолд. Энэ тохиолдолд олон гишүүнт шинж чанар. Үгүй бол үүнтэй төстэй зүйлийг авчирсны дараа зарим коэффициентүүд сөрөг болж магадгүй юм.

Сөрөг санал хүсэлт нь Stodola нөхцөлийг биелүүлэхгүй байх боломжийг үгүйсгэхгүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээ нь, хэрэв , болон , дараа нь нэг сөрөг хариу гарсан тохиолдолд . Энэ олон гишүүнтэд at коэффициент нь тэгтэй тэнцүү байна. Сөрөг коэффициент байхгүй, гэхдээ тэгш бус байдлыг чанд дагаж мөрдөх шаардлагатай тул нөхцөл хангагдаагүй байна.

Үүнийг дараах жишээ баталж байна.

Жишээ 2.9.1. Зураг дээрх хэлхээнд Stodola нөхцөлийг хэрэглэнэ. 2.9.2.

Нээлттэй давталтын нэгжийн сөрөг санал хүсэлтийн системийн дамжуулах функц нь тэнцүү бөгөөд хаалттай циклийн системийн шинж чанарын тэгшитгэл нь тоологч ба хуваагчийн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл.

D(p) = p 2 +k 1 к 2 = 0.

Гишүүн байхгүй болохоор Рнэгдүгээр зэрэгт ( а 1 = 0), тэгвэл Stodola нөхцөл хангагдаагүй бөгөөд систем тогтворгүй байна. Энэ систем нь ямар ч параметрийн утга агуулаагүй тул бүтцийн хувьд тогтворгүй байдаг к 1 ба к 2 нь тогтвортой байж чадахгүй.

Системийг тогтвортой болгохын тулд та нэмэлт холболт эсвэл залруулах холбоосыг нэвтрүүлэх хэрэгтэй, i.e. системийн бүтцийг өөрчлөх. Үүнийг жишээгээр харуулъя. Зураг дээр. 2.9.3. шууд гинжин холбоосыг дамжуулах функцтэй цуваа холбосон холбоосоор төлөөлдөг ба . Эхний танилцуулгатай зэрэгцээ нэмэлт холболт бий.

П
Нэгж сөрөг холболтын дагуух системийн нээлттэй давталтын дамжуулах функц ба хаалттай циклийн системийн шинж чанарын тэгшитгэл нь тус тус тэнцүү байна.

,

Одоо Стодолагийн нөхцөл байдал хэнд ч сэтгэл хангалуун байна . Хоёрдахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хувьд энэ нь зөвхөн шаардлагатай төдийгүй хангалттай бөгөөд эерэг үр ашгийн хүчин зүйлүүдэд систем тогтвортой байдаг.

2.9.4-т дараалсан албадан холбоосыг хэлхээнд оруулсан болно. Энэ тохиолдолд нээлттэй хэлхээний нэг сөрөг холболтын системийн дамжуулах функц нь тэнцүү байна мөн хаалттай системийн шинж чанарын тэгшитгэл нь тэнцүү байна

Өмнөхтэй адил систем нь аливаа эерэг байдлын хувьд тогтвортой байна.

Русс-Хюрвицийн тогтвортой байдлын шалгуур

Математикч Русс (Англи) болон Хурвиц (Швейцарь) нар энэ шалгуурыг ойролцоогоор нэгэн зэрэг боловсруулсан. Ялгаа нь тооцооллын алгоритмд байсан. Бид Хурвицын томъёолол дахь шалгууртай танилцах болно.

Хурвицын хэлснээр тогтвортой байдлын хувьд энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм а 0 > 0 Хурвиц тодорхойлогч  =  nболон түүний бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд  1 ,  2 ,...,  n -1 хатуу эерэг байсан, i.e.

(2.9.4)

Коэффициентүүд нь үндсэн диагональ дагуу байрладаг тул Хурвиц тодорхойлогчийн бүтцийг санахад хялбар байдаг. А 1 ,… , А n, мөрүүд нь нэгээр тусгаарлагдсан коэффициентуудыг агуулж байвал тэдгээр нь дууссан бол хоосон зайг тэгээр дүүргэнэ.

Жишээ 2.9.2. Хурвицын тогтвортой байдлыг судлахын тулд шууд гинжин хэлхээнд гурван инерцийн холбоосыг агуулсан нэгж сөрөг эргэх холбоо бүхий системийг судлахын тулд нээлттэй давталтын системийн дамжуулах функц (2.9.5) хэлбэртэй байна.

Хаалттай системийн шинж чанарын тэгшитгэлийг тоологч ба хуваагчийн нийлбэрээр (2.9.5) бичье.

Тиймээс,

Хурвиц тодорхойлогч ба түүний багачууд нь хэлбэртэй байна

харгалзан үзнэ а 0 > 0, Хурвиц тодорхойлогч ба насанд хүрээгүй хүмүүсийн хатуу эерэг байдал (2.9.6) нь Стодолын нөхцөл ба үүнээс гадна нөхцөлийг илэрхийлдэг. а 1 а 2 - а 0 а 3 > 0 бөгөөд энэ нь коэффициентүүдийн утгыг орлуулсны дараа өгдөг

(Т 1 Т 2 + Т 1 Т 3 +Т 2 Т 3 )(Т 1 +Т 2 +Т 3 ) > Т 1 Т 2 Т 3 (1+ к) . (2.9.7)

Үүнээс харахад нэмэгдэж байгаа нь харагдаж байна кТэгш бус байдал (2.9.7) хангагдахаа больсон тул систем тогтвортой байдлаас тогтворгүй рүү шилжиж болно.

Системийн алдаагаар дамжуулах функц нь тэнцүү байна

Эхийн эцсийн утгын тухай теоремийн дагуу нэг алхамын дохиог боловсруулахад тогтворжсон төлөвийн алдаа 1/(1+)-тэй тэнцүү байна. к). Үүний үр дүнд тогтвортой байдал, нарийвчлал хоёрын хооронд зөрчил илэрч байна. Алдааг багасгахын тулд та нэмэгдүүлэх хэрэгтэй к, гэхдээ энэ нь тогтвортой байдал алдагдахад хүргэдэг.

Аргументийн зарчим ба Михайловын тогтвортой байдлын шалгуур

Михайловын шалгуур нь аргумент гэж нэрлэгддэг зарчим дээр суурилдаг.

Безоутын теоремын дагуу хэлбэрээр илэрхийлж болох хаалттай циклийн системийн шинж чанарын олон гишүүнтийг авч үзье.

D(p) = a 0 х n +a 1 х n- 1 +…+а n = a 0 (х - х 1 )…(p - p n ).

Сэлгээ хийцгээе p = j

D(ж ) = a 0 (ж ) n +a 1 (ж ) n- 1 +…+а n = a 0 (ж -х 1 )…(ж -х n ) = X( )+jY( ).

Тодорхой утгын хувьд  параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн цогцолбор хавтгай дээрх цэгтэй байна

Э
өөрчлөгдвөл  --аас  хооронд байвал Михайловын муруй, өөрөөр хэлбэл годограф зурагдана. Векторын эргэлтийг судалцгаая D(ж ) өөрчлөгдөх үед  --аас  хүртэл, өөрөөр хэлбэл, бид вектор аргументийн өсөлтийг олно (аргумент нь векторуудын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү): .

At  = -  ялгаа вектор, эхлэл нь цэг дээр байна Р i, мөн төсөөллийн тэнхлэг дээрх төгсгөл нь босоо доошоо чиглэсэн байна. Өсөх тусам  векторын төгсгөл нь төсөөллийн тэнхлэгийн дагуу гулсдаг ба хэзээ  =  вектор босоо дээшээ чиглэсэн байна. Хэрэв үндэс үлдсэн бол (Зураг 2.9.19a), дараа нь  arg = + , мөн үндэс нь зөв бол, дараа нь  arg = - .

Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл байгаа бол мзөв үндэс (тус тусад нь n - мзүүн), дараа нь .

Энэ бол маргааны зарчим юм. Жинхэнэ хэсгийг сонгохдоо X( ) мөн төсөөлөлтэй Y( ) бид хамааруулсан X( ) агуулсан бүх нэр томъёо j жигд зэрэгтэй, ба to Y( ) - хачин байдлаар. Тиймээс Михайловын муруй нь бодит тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна ( X( ) - тэгш, Y( ) - сондгой функц). Үүний үр дүнд хэрэв та өөрчлөгдвөл  0-ээс + хүртэл, дараа нь аргументийн өсөлт хагас дахин том болно. Үүнтэй холбогдуулан эцэст нь аргументийн зарчимдараах байдлаар томъёолсон . (2.9.29)

Хэрэв систем тогтвортой байвал, i.e. м= 0, дараа нь бид Михайловын тогтвортой байдлын шалгуурыг олж авна.

Михайловын хэлснээр тогтвортой байдлын хувьд энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм

, (2.9.30)

өөрөөр хэлбэл Михайловын муруйг дараалан өнгөрөх ёстой n

Михайловын шалгуурыг хэрэглэхийн тулд муруйг нарийн, нарийвчилсан бүтэцтэй болгох шаардлагагүй нь ойлгомжтой. Энэ нь координатын гарал үүслийг хэрхэн тойрон эргэлдэж байгаа, дамжуулалтын дараалал зөрчигдсөн эсэхийг тогтоох нь чухал юм. nцагийн зүүний эсрэг дөрөвний нэг.

Жишээ 2.9.6. 2.9.20-р зурагт үзүүлсэн системийн тогтвортой байдлыг шалгахын тулд Михайловын шалгуурыг ашиглана.

Хаалттай циклийн системийн шинж чанарын олон гишүүнт к 1 к 2 > 0 нь тогтвортой системтэй тохирч байгаа тул Stodola нөхцөл хангагдсан ба for n = 1 хангалттай. Та үндсийг нь шууд олох боломжтой Р 1 = - к 1 к 2 шаардлагатай бөгөөд хангалттай тогтвортой байдлын нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгаарай. Тиймээс Михайловын шалгуурыг ашиглах нь жишээ юм. Итгэж байна х= j , бид авдаг

Д(j ) = X( )+ jY( ),

Хаана X( ) = ; Ю( ) =  . (2.9.31)

Параметрийн тэгшитгэлийг (2.9.31) ашиглан Михайловын годографыг 2.9.21-р зурагт бүтээсэн бөгөөд үүнээс харахад өөрчлөлт хийх үед тодорхой харагдаж байна.  0-ээс  вектор хүртэл Д(j ) цагийн зүүний эсрэг + хүртэл эргэдэг  /2, өөрөөр хэлбэл. систем тогтвортой байна.

Nyquist тогтвортой байдлын шалгуур

TO Өмнө дурьдсанчлан, Nyquist шалгуур нь тогтвортой байдлын шалгууруудын дунд онцгой байр суурь эзэлдэг. Энэ нь нээлттэй давталтын системийн давтамжийн шинж чанарт үндэслэн хаалттай системийн тогтвортой байдлыг тодорхойлох боломжийг олгодог давтамжийн шалгуур юм. Энэ тохиолдолд систем нь нэг сөрөг эргэх хэлхээнд нээлттэй байна гэж үздэг (Зураг 2.9.22).

Nyquist шалгуурын нэг давуу тал нь нээлттэй циклийн системийн давтамжийн шинж чанарыг туршилтаар олж авах боломжтой юм.

Шалгуурыг гаргах нь аргументийн зарчмыг ашиглахад үндэслэсэн болно. Нээлттэй давталтын системийн дамжуулах функц (Зураг 2.9.22 дахь сөрөг эргэх холбоо бүхий нэг хэлхээгээр) тэнцүү байна.

Ингээд авч үзье. (2.9.32)

Хязгаарлагдмал зурвасын өргөнтэй бодит системийн хувьд нээлттэй хүрд дамжуулах функцийн хуваагчийн зэрэг Птоологчийн хүчнээс их, өөрөөр хэлбэл. n> . Иймд нээлттэй давталтын систем ба хаалттай гогцооны системийн шинж чанарын олон гишүүнтийн зэрэг нь ижил ба тэнцүү байна. n. (2.9.32)-д заасны дагуу нээлттэй давталтын системийн AFC-ээс AFC-д шилжих нь бодит хэсгийн 1-ээр нэмэгдэхийг хэлнэ, өөрөөр хэлбэл. координатын эхийг (-1, 0) цэг рүү шилжүүлэх, 2.9.23-р зурагт үзүүлэв.

Одоо битүү гогцооны систем тогтвортой, нээлттэй давталтын системийн шинж чанарын тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна гэж үзье. A(p) = 0 байна мзөв үндэс. Дараа нь аргументийн зарчмын дагуу (2.9.29) бид Nyquist-ийн дагуу хаалттай циклийн системийн тогтвортой байдлын шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлийг олж авдаг.

Тэдгээр. хаалттай циклийн системийн векторын тогтвортой байдлын хувьд В 1 (j ) хийх ёстой м/2 цагийн зүүний эсрэг бүтэн эргэх нь векторыг эргүүлэхтэй тэнцэнэ Впа z (j ) эгзэгтэй цэгтэй харьцуулахад (-1.0).

Практикт, дүрмээр бол нээлттэй давталтын систем нь тогтвортой байдаг, i.e. м= 0. Энэ тохиолдолд аргументийн өсөлт нь тэг, өөрөөр хэлбэл. Нээлттэй циклийн системийн AFC нь чухал цэгийг (-1.0) хамрах ёсгүй.

LAC болон LFC-ийн Nyquist шалгуур

Практикт нээлттэй давталтын системийн логарифмын шинж чанарыг илүү их ашигладаг. Иймд тэдгээрт тулгуурлан битүү хэлхээний системийн тогтвортой байдлыг тодорхойлохын тулд Nyquist шалгуурыг томъёолох нь зүйтэй. эгзэгтэй цэг (-1.0) -тай харьцуулахад AFC-ийн эргэлтийн тоо, үүнд хамрагдсан эсэх

бодит тэнхлэгийн интервалын эерэг ба сөрөг огтлолцлын тоо (-,-1) ба үүний дагуу -180° шугамын огтлолцол тухайн бүс дэх фазын шинж чанараас хамаарна. Л( )  0. Зураг 2.9.24-т AFC-г харуулсан ба бодит тэнхлэгийн сегментийн (-,-1) огтлолцлын тэмдгүүдийг харуулав.

Шударга дүрэм

эерэг ба сөрөг уулзваруудын тоо хаана байна.

2.9.24в-р зураг дээрх AFC дээр үндэслэн LAC болон LFC-ийг 2.9.25-т үзүүлсэн бөгөөд LFC дээр эерэг ба сөрөг уулзваруудыг тэмдэглэв. (-,-1) сегмент дээр модуль нэгээс их байгаа нь тохирч байна Л( ) > 0. Иймд Найквистын шалгуур:

Д хаалттай хэлхээний системийн тогтвортой байдлын хувьд нээлттэй хэлхээний системийн LFC хаана Л( ) > 0, -180° шугамын эерэг огтлолцол сөрөг хэсгүүдээс илүү байх ёстой.

Хэрэв нээлттэй давталтын систем тогтвортой байвал тухайн бүс дэх фазын шинж чанараар -180 ° шугамын эерэг ба сөрөг уулзваруудын тоо Л( ) > Хаалттай системийн тогтвортой байдлын хувьд 0 нь ижил байх ёстой эсвэл огтлолцол байхгүй байх ёстой.

Статик системийн Nyquist шалгуур

Ялангуяа астатик дарааллын системийн тохиолдлыг авч үзэх шаардлагатай r-тэй тэнцүү нээлттэй давталтын системийн дамжуулах функцтэй

.

Энэ тохиолдолд 0-д, өөрөөр хэлбэл, нээлттэй давталтын системийн далайц-фазын шинж чанар (APC) нь хязгааргүйд хүрдэг. Өмнө нь бид солихдоо AFH барьсан  --аас  хүртэл үргэлжилсэн муруй, хаагдсан  =  0. Одоо бас хаадаг  = 0, гэхдээ хязгааргүйд бөгөөд бодит тэнхлэгийн аль талд (хязгааргүйд зүүн эсвэл баруун талд) байгаа нь тодорхойгүй байна.

Зураг 2.9.19в-д энэ тохиолдолд ялгаварын векторын аргументийн өсөлтийг тооцоолоход тодорхойгүй байдал байгааг харуулж байна. Энэ нь одоо үргэлж төсөөллийн тэнхлэгийн дагуу байрладаг (давхцдаг j ). Зөвхөн тэгийг гатлахад чиглэл өөрчлөгддөг (энэ тохиолдолд векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлнэ  эсвэл цагийн зүүний дагуу -?), Тодорхой байхын тулд бид үндэс нь үлдсэн бөгөөд эхийг дугуйлах нь цагийн зүүний эсрэг хязгааргүй жижиг радиустай нумын дагуу явагдана гэж үздэг (+ эргүүлэх).  ). Үүний дагуу ойр орчимд  = 0 хэлбэрээр илэрхийлэгдэх болно

,

Хаана  = +  өөрчлөгдөх үед  - 0-ээс + 0 хүртэл. Сүүлийн илэрхийлэл нь тодорхойгүй байдлыг ийм байдлаар задруулснаар AFC өөрчлөлттэй эргэж байгааг харуулж байна.  -аас + 0 өнцгөөр - цагийн зүүний дагуу. Үүний дагуу баригдсан AFC нь байх ёстой  = 0 нь эерэг бодит хагас тэнхлэгийн цагийн зүүний эсрэг өнцгөөр хязгааргүй радиусын нумаар нэмэгддэг.

Модуль ба фазын тогтвортой байдлын хязгаар

Системийн параметрүүд өөрчлөгдөх үед тогтвортой байдлыг хангахын тулд тогтвортой байдлын хязгаарыг модуль болон үе шатанд оруулан дараах байдлаар тодорхойлно.

Модулийн тогтвортой байдлын хязгаарСистем тогтвортой байхын тулд олзыг хэдэн удаа эсвэл хэдэн децибелээр нэмэгдүүлэх эсвэл багасгахыг зөвшөөрч болохыг харуулдаг (тогтвортой байдлын хязгаарт байна). Үүнийг мин гэж тодорхойлсон ( Л 3 , Л 4) 2.9.25-р зурагт. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв та LFC-г өөрчлөхгүй бол LFC өсөх үед Л 4 таслах давтамж  cp цэг рүү шилжих болно  4 ба систем нь тогтвортой байдлын хил дээр байх болно. Хэрэв та LAX-ийг бууруулбал Л 3, дараа нь таслах давтамж зүүн тийш цэг рүү шилжинэ  3 ба систем нь мөн тогтвортой байдлын хил дээр байх болно. Хэрэв бид LAX-ийг бүр ч доогуур бууруулбал бүс нутагтаа Л( ) > 0 нь зөвхөн LFC шугамын сөрөг огтлолцол хэвээр байх болно -180 °, өөрөөр хэлбэл. Nyquist шалгуурын дагуу систем тогтворгүй болно.

Фазын тогтвортой байдлын маржинЭнэ нь систем тогтвортой байхын тулд (тогтвортой байдлын хил дээр байгаа) тогтмол олзоор фазын шилжилтийг хэр их хэмжээгээр нэмэгдүүлэх боломжтойг харуулж байна. Энэ нь нэмэлт гэж тодорхойлогддог  ( cf) -180 ° хүртэл.

Практик дээр Л  12-20 дБ,   20-30°.