Шугаман тэгшитгэлийг жишээгээр шийдвэрлэх. Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 2-р тэгшитгэлийг шийдэх 4

Нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл нь хаалт нээж, ижил төстэй нэр томъёог авчирсны дараа хэлбэрийг авна

ax + b = 0, энд a ба b нь дурын тоо, гэж нэрлэдэг шугаман тэгшитгэл үл мэдэгдэх нэгтэй. Өнөөдөр бид эдгээр шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг олж мэдэх болно.

Жишээлбэл, бүх тэгшитгэлүүд:

2x + 3= 7 – 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - шугаман.

Тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах үл мэдэгдэх утгыг нэрлэнэ шийдвэр эсвэл тэгшитгэлийн үндэс .

Жишээлбэл, 3x + 7 = 13 тэгшитгэлд үл мэдэгдэх х-ийн оронд бид 2-ын тоог орлуулбал 3 2 +7 = 13 зөв тэгшитгэлийг авна. Энэ нь x = 2 утга нь шийдэл эсвэл үндэс гэсэн үг юм. тэгшитгэлийн.

Мөн x = 3 утга нь 3x + 7 = 13 тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргадаггүй, учир нь 3 2 +7 ≠ 13. Энэ нь x = 3 утга нь тэгшитгэлийн шийдэл эсвэл үндэс биш гэсэн үг юм.

Аливаа шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүргэдэг

ax + b = 0.

Тэгшитгэлийн зүүн талаас чөлөөт гишүүнийг баруун тийш шилжүүлж, b-ийн урд талын тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилье.

Хэрэв a ≠ 0 бол x = ‒ b/a болно .

Жишээ 1. 3x + 2 =11 тэгшитгэлийг шийд.

Тэгшитгэлийн зүүн талаас 2-ыг баруун тийш шилжүүлж, 2-ын урд талын тэмдгийг эсрэгээр нь сольж, бид олж авна.
3x = 11 - 2.

Тэгвэл хасалтыг хийцгээе
3х = 9.

X-ийг олохын тулд та бүтээгдэхүүнийг мэдэгдэж буй хүчин зүйлээр хуваах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл
x = 9:3.

Энэ нь x = 3 утга нь тэгшитгэлийн шийдэл буюу үндэс гэсэн үг юм.

Хариулт: x = 3.

Хэрэв a = 0 ба b = 0 бол, тэгвэл бид 0x = 0 тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй, учир нь бид дурын тоог 0-ээр үржүүлэхэд 0 гарах боловч b нь мөн 0-тэй тэнцүү. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь дурын тоо юм.

Жишээ 2. 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 тэгшитгэлийг шийд.

Хаалтуудыг өргөжүүлье:
5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Энд зарим ижил төстэй нэр томъёо байна:
0x = 0.

Хариулт: x - дурын тоо.

Хэрэв a = 0 ба b ≠ 0 бол, тэгвэл бид 0x = - b тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь бид дурын тоог 0-ээр үржүүлэхэд 0, харин b ≠ 0 болно.

Жишээ 3. x + 8 = x + 5 тэгшитгэлийг шийд.

Зүүн талд үл мэдэгдэх, баруун талд чөлөөт нэр томъёо агуулсан нэр томъёог бүлэглэе.
x – x = 5 – 8.

Энд зарим ижил төстэй нэр томъёо байна:
0х = ‒ 3.

Хариулт: шийдэл байхгүй.

Асаалттай Зураг 1 шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх диаграммыг үзүүлэв

Нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий схемийг зурцгаая. Жишээ 4-ийн шийдлийг авч үзье.

Жишээ 4. Бид тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё

1) Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг 12-той тэнцүү хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрээр үржүүлнэ.

2) Буурсны дараа бид авдаг
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Үл мэдэгдэх болон чөлөөт нэр томъёо агуулсан нэр томъёог салгахын тулд хаалт нээнэ үү:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Нэг хэсэгт үл мэдэгдэх нэр томьёо, нөгөө хэсэгт үнэ төлбөргүй нэр томъёог бүлэглэе.
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя:
- 22х = - 154.

6) - 22-т хуваавал бид авна
x = 7.

Таны харж байгаагаар тэгшитгэлийн үндэс нь долоо юм.

Ерөнхийдөө ийм Дараах схемийг ашиглан тэгшитгэлийг шийдэж болно:

a) тэгшитгэлийг бүхэл тоонд нь оруулах;

б) хаалтуудыг нээх;

в) тэгшитгэлийн нэг хэсэгт үл мэдэгдэх, нөгөө хэсэгт чөлөөт нэр томъёог агуулсан нэр томъёог бүлэглэх;

г) ижил төстэй гишүүдийг авчрах;

д) ижил төстэй нөхцлүүдийг авчирсны дараа олж авсан ах = b хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийд.

Гэсэн хэдий ч энэ схем нь тэгшитгэл бүрт шаардлагагүй юм. Олон энгийн тэгшитгэлийг шийдэхдээ та эхнийхээс биш, харин хоёр дахь хэсгээс эхлэх хэрэгтэй ( Жишээ. 2), гурав дахь ( Жишээ. 13) мөн 5-р жишээн дээрх шиг тав дахь шатнаас хүртэл.

Жишээ 5. 2х = 1/4 тэгшитгэлийг шийд.

Үл мэдэгдэх х = 1/4: 2-г ол.
x = 1/8 .

Улсын үндсэн шалгалтаас олдсон зарим шугаман тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг харцгаая.

Жишээ 6. 2 (x + 3) = 5 – 6x тэгшитгэлийг шийд.

2x + 6 = 5 - 6x

2х + 6х = 5 – 6

Хариулт: - 0.125

Жишээ 7.– 6 (5 – 3х) = 8х – 7 тэгшитгэлийг шийд.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Хариулт: 2.3

Жишээ 8. Тэгшитгэлийг шийд

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Жишээ 9. f (x + 2) = 3 7 бол f(6)-г ол

Шийдэл

Бид f(6)-г олох хэрэгтэй ба f (x + 2)-г мэдэж байгаа тул
дараа нь x + 2 = 6.

Бид x + 2 = 6 шугаман тэгшитгэлийг шийднэ.
бид x = 6 – 2, x = 4-ийг авна.

Хэрэв x = 4 бол
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Хариулт: 27.

Хэрэв танд асуулт байгаа бол эсвэл тэгшитгэлийн шийдлийг илүү сайн ойлгохыг хүсвэл ХУВААРЬ дахь миний хичээлд бүртгүүлээрэй. Би танд туслахдаа баяртай байх болно!

TutorOnline нь шугаман тэгшитгэл болон бусад зүйлийг ойлгоход тань туслах багш Ольга Александровнагийн шинэ видео хичээлийг үзэхийг зөвлөж байна.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

7-р ангийн математикийн хичээл дээр бид анх удаа уулзаж байна хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл, гэхдээ тэдгээрийг зөвхөн хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийн хүрээнд судалдаг. Тийм ч учраас тэдгээрийг хязгаарлаж буй тэгшитгэлийн коэффициентүүд дээр тодорхой нөхцлүүдийг оруулсан бүхэл бүтэн цуврал асуудлууд харагдахгүй байна. Нэмж дурдахад "Тэгшитгэлийг натурал буюу бүхэл тоогоор шийдэх" гэх мэт асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг үл тоомсорлодог боловч энэ төрлийн асуудлуудыг Улсын нэгдсэн шалгалтын материал, элсэлтийн шалгалтанд илүү олон удаа олдог.

Аль тэгшитгэлийг хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл гэж нэрлэх вэ?

Жишээлбэл, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, эсвэл xy = 12 тэгшитгэлүүд нь хоёр хувьсагчийн тэгшитгэл юм.

2x – y = 1 тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ нь x = 2 ба y = 3 үед үнэн болох тул хувьсагчийн энэ хос нь тухайн тэгшитгэлийн шийдэл болно.

Тиймээс хоёр хувьсагчтай аливаа тэгшитгэлийн шийдэл нь энэ тэгшитгэлийг жинхэнэ тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг хувьсагчдын утгууд (x; y) гэсэн дараалсан хосуудын багц юм.

Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэл нь:

A) нэг шийдэл байна.Жишээлбэл, x 2 + 5y 2 = 0 тэгшитгэл нь өвөрмөц шийдэлтэй (0; 0);

б) олон шийдэлтэй.Жишээлбэл, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 нь 4 шийдэлтэй байна: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) шийдэл байхгүй.Жишээлбэл, x 2 + y 2 + 1 = 0 тэгшитгэлд шийдэл байхгүй;

G) хязгааргүй олон шийдэлтэй.Жишээ нь, x + y = 3. Энэ тэгшитгэлийн шийдүүд нь нийлбэр нь 3-тай тэнцүү тоонууд байх болно. Энэ тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багцыг (k; 3 – k) хэлбэрээр бичиж болно, энд k нь дурын бодит байна. тоо.

Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь хүчин зүйлийн илэрхийлэлд суурилсан аргууд, бүтэн квадратыг тусгаарлах, квадрат тэгшитгэлийн шинж чанарыг ашиглах, хязгаарлагдмал илэрхийлэл, үнэлгээний аргууд юм. Тэгшитгэлийг ихэвчлэн үл мэдэгдэхийг олох системийг олж авах хэлбэр болгон хувиргадаг.

Factorization

Жишээ 1.

Тэгшитгэлийг шийд: xy – 2 = 2x – y.

Шийдэл.

Хүчин зүйлд хуваах зорилгоор бид нэр томъёог бүлэглэдэг:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Хаалт бүрээс нийтлэг хүчин зүйлийг гаргана:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Бидэнд:

y = 2, x – дурын бодит тоо эсвэл x = -1, y – дурын бодит тоо.

Тиймээс, Хариулт нь (x; 2), x € R ба (-1; y), y € R хэлбэрийн бүх хосууд юм.

Сөрөг бус тоонуудын тэгш байдал

Жишээ 2.

Тэгшитгэлийг шийд: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Шийдэл.

Бүлэглэх:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Одоо хаалт бүрийг квадрат ялгааны томъёог ашиглан нугалж болно.

(3х – 2) 2 + (2у – 3) 2 = 0.

Хоёр сөрөг бус илэрхийллийн нийлбэр нь зөвхөн 3x – 2 = 0, 2y – 3 = 0 үед л тэг болно.

Энэ нь x = 2/3, y = 3/2 гэсэн үг юм.

Хариулт: (2/3; 3/2).

Тооцооллын арга

Жишээ 3.

Тэгшитгэлийг шийд: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Шийдэл.

Хаалт бүрт бид бүрэн дөрвөлжин тэмдэглэнэ:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Тооцоолъё хаалтанд байгаа илэрхийллийн утга.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ба (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 бол тэгшитгэлийн зүүн тал үргэлж хамгийн багадаа 2 байна. Дараах тохиолдолд тэгш байдал боломжтой болно.

(x + 1) 2 + 1 = 1 ба (y – 2) 2 + 2 = 2 бөгөөд энэ нь x = -1, y = 2 гэсэн үг юм.

Хариулт: (-1; 2).

Хоёрдугаар зэргийн хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг шийдэх өөр аргатай танилцацгаая. Энэ арга нь тэгшитгэлийг дараах байдлаар авч үзэхээс бүрдэнэ зарим нэг хувьсагчийн хувьд квадрат.

Жишээ 4.

Тэгшитгэлийг шийд: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг х-ийн квадрат тэгшитгэл болгон шийдье. Ялгаварлагчийг олцгооё:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Тэгшитгэл нь зөвхөн D = 0, өөрөөр хэлбэл у = 4 үед л шийдтэй байх болно. Бид анхны тэгшитгэлд у-ийн утгыг орлуулж, x = 3 гэдгийг олно.

Хариулт: (3; 4).

Ихэнхдээ хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлд тэдгээрийг заадаг хувьсагчийн хязгаарлалт.

Жишээ 5.

Тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийд: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг x 2 = -5y 2 + 20x + 2 хэлбэрээр дахин бичье. Үүссэн тэгшитгэлийн баруун тал нь 5-д хуваагдахад 2-ын үлдэгдэл гарна. Тиймээс x 2 нь 5-д хуваагдахгүй. Харин a-ийн квадрат 5-д хуваагддаггүй тоо нь 1 эсвэл 4-ийн үлдэгдлийг өгдөг. Тиймээс тэгш байдал боломжгүй бөгөөд шийдэл байхгүй.

Хариулт: үндэс байхгүй.

Жишээ 6.

Тэгшитгэлийг шийд: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Шийдэл.

Хаалт бүр дэх бүтэн квадратуудыг тодруулцгаая:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Тэгшитгэлийн зүүн тал нь үргэлж 3-аас их буюу тэнцүү байна. Тэгш байж болно |x| – 2 = 0 ба у + 3 = 0. Тиймээс x = ± 2, у = -3.

Хариулт: (2; -3) ба (-2; -3).

Жишээ 7.

Тэгшитгэлийг хангадаг сөрөг бүхэл тоо (x;y) бүрийн хувьд
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, нийлбэрийг (x + y) тооцоол. Хариултдаа хамгийн бага дүнг бичнэ үү.

Шийдэл.

Бүрэн квадратуудыг сонгоцгооё:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ба y нь бүхэл тоо тул квадратууд нь мөн бүхэл тоо болно. Бид 1 + 36-г нэмбэл хоёр бүхэл тооны квадратуудын нийлбэр нь 37-той тэнцэнэ. Тиймээс:

(x – y) 2 = 36 ба (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ба (y + 2) 2 = 36.

Эдгээр системийг шийдэж, x ба y нь сөрөг байгааг харгалзан бид шийдлүүдийг олдог: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Хариулт: -17.

Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хүндрэлтэй байгаа бол цөхрөл бүү зов. Бага зэрэг дасгал хийснээр та ямар ч тэгшитгэлийг даван туулж чадна.

Асуулт хэвээр байна уу? Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд бүртгүүлнэ үү.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

1. Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх.
2. Системийн тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмэх (хасах) аргаар системийг шийдвэрлэх.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд орлуулах аргаарТа энгийн алгоритмыг дагах хэрэгтэй:
1. Экспресс. Аливаа тэгшитгэлээс бид нэг хувьсагчийг илэрхийлдэг.
2. Орлуулах. Бид гарсан утгыг илэрхийлсэн хувьсагчийн оронд өөр тэгшитгэлд орлуулна.
3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийд. Бид системийн шийдлийг олдог.

Шийдэхийн тулд нэр томъёог нэмэх (хасах) аргаар системхэрэгтэй:
1. Бид ижил коэффициент гаргах хувьсагчийг сонго.
2. Бид тэгшитгэлийг нэмэх буюу хасахын үр дүнд нэг хувьсагчтай тэгшитгэл үүсдэг.
3. Үр дүнг нь шийд шугаман тэгшитгэл. Бид системийн шийдлийг олдог.

Системийн шийдэл нь функцийн графикуудын огтлолцох цэгүүд юм.

Жишээнүүдийг ашиглан системийн шийдлийг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ №1:

Орлуулах аргаар шийдье

2x+5y=1 (1 тэгшитгэл)
x-10y=3 (2-р тэгшитгэл)

1. Экспресс
Хоёр дахь тэгшитгэлд 1 коэффициенттэй х хувьсагч байгааг харж болно, энэ нь хоёр дахь тэгшитгэлээс х хувьсагчийг илэрхийлэхэд хамгийн хялбар гэсэн үг юм.
x=3+10y

2.Бид үүнийг илэрхийлсний дараа эхний тэгшитгэлд х хувьсагчийн оронд 3+10y-г орлуулна.
2(3+10y)+5y=1

3. Үүссэн тэгшитгэлийг нэг хувьсагчтай шийд.
2(3+10y)+5y=1 (хаалт нээх)
6+20ж+5у=1
25 нас=1-6
25y=-5 |: (25)
у=-5:25
y=-0.2

Тэгшитгэлийн системийн шийдэл нь графикуудын огтлолцлын цэгүүд тул бид x ба y-ийг олох хэрэгтэй, учир нь огтлолцлын цэг нь x ба y-ээс бүрддэг тул бид үүнийг илэрхийлсэн эхний цэг дээр y-г орлоно.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

Нэгдүгээрт бид x хувьсагч, хоёрдугаарт у хувьсагчийг бичдэг цэгүүдийг бичдэг заншилтай.
Хариулт: (1; -0.2)

Жишээ №2:

Нэр томьёогоор нэмэх (хасах) аргыг ашиглан шийдье.

3x-2y=1 (1 тэгшитгэл)
2x-3y=-10 (2-р тэгшитгэл)

1. Бид хувьсагчийг сонгосон, x-г сонгосон гэж бодъё. Эхний тэгшитгэлд х хувьсагч нь 3 коэффициенттэй, хоёр дахь нь - 2. Бид коэффициентүүдийг ижил болгох хэрэгтэй, үүний тулд бид тэгшитгэлийг үржүүлэх эсвэл дурын тоогоор хуваах эрхтэй. Бид эхний тэгшитгэлийг 2-оор, хоёр дахь нь 3-аар үржүүлж, нийт 6 коэффициентийг авна.

3x-2y=1 |*2
6х-4у=2

2х-3у=-10 |*3
6х-9у=-30

2. Х хувьсагчаас салахын тулд эхний тэгшитгэлээс хоёр дахьыг хасаад шугаман тэгшитгэлийг шийд.
__6x-4y=2

5у=32 | :5
y=6.4

3. x-г ол. Бид олсон y-г аль нэг тэгшитгэлд орлуулж, эхний тэгшитгэлд оруулъя.
3х-2у=1
3х-2*6.4=1
3х-12.8=1
3х=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

Уулзвар цэг нь x=4.6; y=6.4
Хариулт: (4.6; 6.4)

Та шалгалтандаа үнэ төлбөргүй бэлдмээр байна уу? Онлайн багш үнэгүй. Тоглоомгүй.