Геометр прогрессийн n тооны нийлбэр. Геометрийн прогресс

Геометр прогресс гэдэг нь тоон дараалал бөгөөд эхний гишүүн нь тэг биш бөгөөд дараагийн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнийг тэг биш ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Геометрийн прогрессийг b1,b2,b3, …, bn, … гэж тэмдэглэнэ.

Геометр прогрессийн шинж чанарууд

Геометрийн алдааны аль нэг гишүүний өмнөх гишүүнтэй харьцуулсан харьцаа нь ижил тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Энэ нь арифметик прогрессийн тодорхойлолтоос шууд гардаг. Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн геометр прогрессийн хуваагчийг q үсгээр тэмдэглэдэг.

Геометр прогрессийг тодорхойлох аргуудын нэг нь түүний эхний гишүүн b1 болон геометрийн алдааны хуваагчийг зааж өгөх явдал юм. Жишээлбэл, b1=4, q=-2. Эдгээр хоёр нөхцөл нь 4, -8, 16, -32, ... геометрийн прогрессийг тодорхойлдог.

Хэрэв q>0 (q нь 1-тэй тэнцүү биш) бол прогресс нь монотон дараалал болно. Жишээлбэл, 2, 4,8,16,32, ... гэсэн дараалал нь нэг хэвийн өсөлттэй дараалал (b1=2, q=2).

Хэрэв геометрийн алдааны хуваагч q=1 байвал геометр прогрессийн бүх гишүүн тэнцүү байна. Ийм тохиолдолд дэвшилтийг тогтмол дараалал гэж нэрлэдэг.

Прогрессийн n-р гишүүний томъёо

Тоон дараалал (bn) нь геометрийн прогресс байхын тулд түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн хөрш гишүүдийн геометрийн дундаж байх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, n нь N натурал тооны олонлогт хамаарах дурын n>0-ийн хувьд (b(n+1))^2 = bn * b(n+2) тэгшитгэлийг биелүүлэх шаардлагатай.

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо нь:

bn=b1*q^(n-1), энд n нь N натурал тооны олонлогт хамаарна.

Энгийн жишээг харцгаая:

Геометр прогрессоор b1=6, q=3, n=8 bn-ийг ол.

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог ашиглая.

Арифметик ба геометрийн прогрессууд

Онолын мэдээлэл

	Арифметик прогресс	Геометрийн прогресс
Тодорхойлолт	Арифметик прогресс a nгэдэг нь хоёр дахь гишүүнээс эхлэн өмнөх гишүүн нь ижил тоонд нэмэгдсэнтэй тэнцүү байх дараалал юм г (г- явцын зөрүү)	Геометрийн прогресс б нЭнэ нь тэгээс өөр тооны дараалал бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнтэй ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. q (q- прогрессийн хуваагч)
Дахин давтагдах томъёо	Аливаа байгалийн хувьд n a n + 1 = a n + d	Аливаа байгалийн хувьд n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Томъёоны n-р гишүүн	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Онцлог шинж чанар
Эхний n гишүүний нийлбэр

Тайлбар бүхий даалгаврын жишээ

Дасгал 1

Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6, a 2

n-р гишүүний томъёоны дагуу:

а 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 д

Нөхцөлөөр:

a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21 d .

Прогрессийн ялгааг олох шаардлагатай:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Хариулт: а 22 = -48.

Даалгавар 2

Геометр прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол: -3; 6;.....

1-р арга (n-н хугацааны томъёог ашиглан)

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёоны дагуу:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Учир нь б 1 = -3,

2-р арга (давтагдах томъёог ашиглах)

Прогрессийн хуваагч нь -2 (q = -2) тул:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Хариулт: б 5 = -48.

Даалгавар 3

Арифметик прогрессоор ( a n ) a 74 = 34; нь 76= 156. Энэ прогрессийн далан тав дахь гишүүнийг ол.

Арифметик прогрессийн хувьд шинж чанар нь хэлбэртэй байна .

Тиймээс:

.

Өгөгдлийг томъёонд орлъё:

Хариулт: 95.

Даалгавар 4

Арифметик прогрессоор ( a n ) a n= 3n - 4. Эхний арван долоон гишүүний нийлбэрийг ол.

Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг олохын тулд дараах хоёр томъёог ашиглана.

.

Энэ тохиолдолд аль нь ашиглахад илүү тохиромжтой вэ?

Нөхцөлөөр анхны прогрессийн n-р гишүүний томъёо мэдэгдэж байна ( a n) a n= 3n - 4. Та нэн даруй олох боломжтой ба a 1, Мөн а 16олохгүйгээр d. Тиймээс бид эхний томъёог ашиглана.

Хариулт: 368.

Даалгавар 5

Арифметик прогрессоор ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. Прогрессийн хорин хоёр дахь гишүүнийг ол.

n-р гишүүний томъёоны дагуу:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 өдөр.

Нөхцөлөөр, хэрэв a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21d. Прогрессийн ялгааг олох шаардлагатай:

d = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Хариулт: а 22 = -48.

Даалгавар 6

Геометр прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг бичнэ.

х-ээр заасан прогрессийн гишүүнийг ол.

Шийдвэрлэхдээ бид n-р гишүүний томъёог ашиглана b n = b 1 ∙ q n - 1геометр прогрессийн хувьд. Прогрессийн эхний үе. q прогрессийн хуваагчийг олохын тулд өгөгдсөн прогрессийн аль нэг гишүүнийг авч өмнөх гишүүнд хуваах хэрэгтэй. Бидний жишээн дээр бид авч, хувааж болно. Бид q = 3 гэдгийг олж авна. Өгөгдсөн геометр прогрессийн гурав дахь гишүүнийг олох шаардлагатай тул томъёонд n-ийн оронд 3-ыг орлуулна.

Олсон утгыг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

.

Хариулт:.

Даалгавар 7

n-р гишүүний томъёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессуудаас нөхцөл хангагдсаныг сонго. а 27 > 9:

Өгөгдсөн нөхцөл нь прогрессийн 27-р гишүүний хувьд биелэх ёстой тул дөрвөн прогресс бүрт n-ийн оронд 27-г орлуулна. 4-р шатанд бид дараахь зүйлийг авна.

.

Хариулт: 4.

Даалгавар 8

Арифметик прогрессоор a 1= 3, d = -1.5. Тэгш бус байдал биелэх n-ийн хамгийн том утгыг тодорхойлно уу a n > -6.

Ингээд суугаад хэдэн тоо бичиж эхэлцгээе. Жишээлбэл:

Та ямар ч тоо бичиж болно, тэдгээрийн аль болох олон тоо байж болно (манай тохиолдолд тэдгээр нь байдаг). Хичнээн тоо бичсэн ч аль нь нэгдүгээрт, аль нь хоёрдугаарт байгааг, сүүлчийнх хүртэл нь ялгаж, өөрөөр хэлбэл дугаарлах боломжтой. Энэ бол тооны дарааллын жишээ юм:

Тооны дараалалнь тоонуудын багц бөгөөд тус бүрд нь өвөрмөц дугаар өгч болно.

Жишээлбэл, бидний дарааллын хувьд:

Өгөгдсөн дугаар нь дарааллын зөвхөн нэг дугаарт зориулагдсан болно. Өөрөөр хэлбэл, дараалалд хоёр дахь гурван тоо байдаггүй. Хоёрдахь тоо (дахь дугаар шиг) үргэлж ижил байдаг.

Тоотой тоог дарааллын n-р гишүүн гэнэ.

Бид ихэвчлэн дарааллыг бүхэлд нь ямар нэг үсгээр (жишээ нь,) дууддаг бөгөөд энэ дарааллын гишүүн бүр нь энэ гишүүний тоотой тэнцүү индекстэй ижил үсэг байна: .

Манай тохиолдолд:

Прогрессийн хамгийн түгээмэл төрөл нь арифметик ба геометр юм. Энэ сэдвээр бид хоёр дахь төрлийн талаар ярих болно - геометрийн прогресс.

Геометрийн прогресс яагаад хэрэгтэй вэ, түүний түүх юу вэ?

Эрт дээр үед ч гэсэн Италийн математикч лам Пизагийн Леонардо (Фибоначчи гэгддэг) худалдааны практик хэрэгцээг авч үздэг байв. Бүтээгдхүүнийг жинлэхийн тулд хамгийн бага жин хэд байхыг тодорхойлох даалгавар ламын өмнө тулгарсан бэ? Фибоначчи өөрийн бүтээлүүддээ жингийн ийм систем нь оновчтой гэдгийг нотолж байна: Энэ бол хүмүүс геометрийн прогрессийг даван туулах ёстой байсан анхны нөхцөл байдлын нэг бөгөөд үүнийг та аль хэдийн сонссон бөгөөд наад зах нь ерөнхий ойлголттой байсан байх. Сэдвийг бүрэн ойлгосны дараа ийм систем яагаад оновчтой байдаг талаар бодож үзээрэй?

Одоогийн байдлаар амьдралын практикт геометрийн прогресс нь банкинд мөнгө байршуулах үед өмнөх хугацаанд дансанд хуримтлагдсан дүнгээс хүүгийн хэмжээ хуримтлагдсан үед илэрдэг. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та хадгаламжийн банкинд хугацаатай хадгаламжинд мөнгө байршуулсан бол жилийн дараа хадгаламж анхны хэмжээгээр нэмэгдэх болно, өөрөөр хэлбэл. шинэ дүн нь шимтгэлийг үржүүлсэнтэй тэнцүү байх болно. Өөр нэг жил энэ хэмжээ нэмэгдэх болно, өөрөөр хэлбэл. тухайн үед олж авсан дүнг дахин үржүүлнэ гэх мэт. Үүнтэй төстэй нөхцөл байдлыг тооцоолох асуудалд тайлбарласан болно нийлмэл хүү– өмнөх хүүг харгалзан дансанд байгаа мөнгөн дүнгээс хувь хэмжээг авна. Бид эдгээр ажлуудын талаар бага зэрэг дараа ярих болно.

Геометрийн прогрессийг ашиглах олон энгийн тохиолдол байдаг. Жишээлбэл, томуугийн тархалт: нэг хүн өөр хүнд халдварласан, тэд эргээд өөр хүнд халдварласан, улмаар халдварын хоёр дахь давалгаа нь хүн болж, тэд эргээд өөр хүнд халдварласан ... гэх мэт. .

Дашрамд хэлэхэд, санхүүгийн пирамид, ижил MMM нь геометрийн прогрессийн шинж чанарт суурилсан энгийн бөгөөд хуурай тооцоолол юм. Сонирхолтой юу? Үүнийг олж мэдье.

Геометрийн прогресс.

Бидэнд тооны дараалал байна гэж бодъё:

Энэ нь амархан бөгөөд ийм дарааллын нэр нь гишүүдийн зөрүүтэй байдаг гэж та шууд хариулах болно. Энэ талаар:

Хэрэв та өмнөх дугаарыг дараагийн тооноос хасвал шинэ ялгаа (гэх мэт) авах бүртээ дараалал нь гарцаагүй байгаа бөгөөд анзаарахад хялбар болохыг харах болно - дараагийн тоо бүр өмнөх тооноос хэд дахин их байна!

Энэ төрлийн тооны дарааллыг нэрлэдэг геометрийн прогрессболон томилогдсон.

Геометрийн прогресс () нь тоон дараалал бөгөөд эхний гишүүн нь тэгээс ялгаатай бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү, ижил тоогоор үржүүлдэг. Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.

Эхний гишүүн ( ) нь тэнцүү биш бөгөөд санамсаргүй биш гэсэн хязгаарлалтууд. Аль нь ч байхгүй, эхний гишүүн нь тэнцүү, q нь тэнцүү байна гэж бодъё, хмм.. байг, тэгвэл энэ нь гарч ирнэ:

Энэ ахиц дэвшил байхаа больсон гэдэгтэй санал нэг байна.

Таны ойлгож байгаагаар тэгээс өөр тоо байвал бид ижил үр дүнд хүрэх болно, a. Эдгээр тохиолдолд ямар ч дэвшил гарахгүй, учир нь бүх тооны цуврал нь бүгд тэг, эсвэл нэг тоо, бусад нь тэг байх болно.

Одоо геометр прогрессийн хуваагч, өөрөөр хэлбэл o-ийн талаар илүү дэлгэрэнгүй яръя.

Дахин хэлье: - энэ бол тоо дараагийн нэр томъёо бүр хэдэн удаа өөрчлөгдөх вэ?геометрийн прогресс.

Энэ нь юу байж болох вэ гэж та бодож байна уу? Энэ нь зөв, эерэг ба сөрөг, гэхдээ тэг биш (бид энэ талаар бага зэрэг өндөр ярьсан).

Манайх эерэг байна гэж бодъё. Манай тохиолдолд, а. Хоёр дахь нэр томъёоны үнэ цэнэ юу вэ? Та үүнд амархан хариулж чадна:

Яг зөв. Үүний дагуу, хэрэв, дараачийн бүх дэвшилтийн нөхцлүүд ижил тэмдэгтэй байна - тэд эерэг байна.

Хэрэв сөрөг байвал яах вэ? Тухайлбал, А. Хоёр дахь нэр томъёоны үнэ цэнэ юу вэ?

Энэ бол огт өөр түүх юм

Энэ дэвшлийн нөхцөлийг тоолж үзээрэй. Та хэд авсан бэ? Надад бий. Тиймээс, хэрэв тийм бол геометрийн прогрессийн нөхцлийн тэмдгүүд ээлжлэн солигдоно. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та гишүүдийн хувьд ээлжлэн тэмдэглэгдсэн дэвшлийг харвал түүний хуваагч сөрөг байна. Энэхүү мэдлэг нь энэ сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэхэд өөрийгөө шалгахад тусална.

Одоо жаахан дадлага хийцгээе: аль тооны дараалал нь геометр прогресс, аль нь арифметик прогресс болохыг тодорхойлохыг хичээ.

Авчихсан? Хариултаа харьцуулж үзье:

• Геометрийн прогресс - 3, 6.
• Арифметик прогресс - 2, 4.
• Энэ нь арифметик ч биш, геометрийн прогресс ч биш - 1, 5, 7.

Сүүлийн прогресс руугаа буцаж, арифметикийн нэгэн адил түүний гишүүнийг олохыг хичээцгээе. Таны таамаглаж байсанчлан үүнийг олох хоёр арга бий.

Бид гишүүн бүрийг дараалан үржүүлдэг.

Тэгэхээр тайлбарласан геометр прогрессийн 3-р гишүүн тэнцүү байна.

Та аль хэдийн таамаглаж байсанчлан, одоо та өөрөө геометрийн прогрессийн аль нэг гишүүнийг олоход туслах томьёог гаргаж авах болно. Эсвэл та аль хэдийн өөртөө зориулж, алхам алхмаар гишүүнийг хэрхэн олох талаар тайлбарласан уу? Хэрэв тийм бол өөрийн үндэслэлийн зөв эсэхийг шалгаарай.

Үүнийг энэ прогрессийн 3-р гишүүнийг олох жишээгээр тайлбарлая.

Өөрөөр хэлбэл:

Өгөгдсөн геометр прогрессийн гишүүний утгыг өөрөө ол.

Болсон уу? Хариултаа харьцуулж үзье:

Бид геометр прогрессийн өмнөх гишүүн бүрээр дараалан үржүүлснээр өмнөх аргынхтай яг ижил тоог авсан болохыг анхаарна уу.
Энэ томъёог "хувь хүнгүй болгох" оролдлого хийцгээе - үүнийг ерөнхийд нь оруулаад дараахь зүйлийг олж авцгаая.

Гаргасан томъёо нь эерэг ба сөрөг бүх утгын хувьд үнэн юм. Дараах нөхцлөөр геометр прогрессийн гишүүнийг тооцоолж үүнийг өөрөө шалгана уу: , a.

Тоолж үзсэн үү? Үр дүнг харьцуулж үзье:

Прогрессийн гишүүнийг нэр томъёоны нэгэн адил олох боломжтой гэдгийг хүлээн зөвшөөрч байна, гэхдээ буруу тооцоолох боломжтой. Хэрэв бид геометрийн прогрессийн 3-р гишүүнийг аль хэдийн олсон бол томъёоны "таслагдсан" хэсгийг ашиглахаас илүү хялбар зүйл юу байж болох вэ.

Хязгааргүй буурах геометр прогресс.

Саяхан бид энэ нь тэгээс их эсвэл бага байж болох тухай ярьж байсан ч геометрийн прогресс гэж нэрлэгддэг тусгай утгууд байдаг. хязгааргүй буурч байна.

Энэ нэрийг яагаад өгсөн гэж та бодож байна вэ?
Эхлээд гишүүдээс бүрдсэн геометрийн прогрессийг бичье.
Дараа нь хэлье:

Дараагийн нэр томъёо бүр өмнөхөөсөө нэг хүчин зүйлээр бага байгааг бид харж байна, гэхдээ ямар нэгэн тоо байх уу? Та тэр даруй "үгүй" гэж хариулах болно. Ийм учраас энэ нь хязгааргүй буурч байна - энэ нь буурч, буурч байгаа боловч хэзээ ч тэг болдоггүй.

Энэ нь нүдээр хэрхэн харагддагийг тодорхой ойлгохын тулд өөрсдийн дэвшлийн графикийг зурахыг хичээцгээе. Тиймээс, бидний хувьд томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

График дээр бид хараат байдлыг зурж зурсан тул:

Илэрхийллийн мөн чанар өөрчлөгдөөгүй: эхний оруулгад бид геометр прогрессийн гишүүний утга нь түүний дарааллын тооноос хамааралтай болохыг харуулсан бөгөөд хоёр дахь оруулгад бид геометр прогрессийн гишүүний утгыг энгийн байдлаар авсан. , ба дарааллын тоог гэж биш, харин гэж тэмдэглэв. График бүтээх л үлдлээ.
Танд юу байгааг харцгаая. Миний олж мэдсэн график энд байна:

Харж байна уу? Функц нь буурч, тэг болох хандлагатай байдаг, гэхдээ үүнийг хэзээ ч давдаггүй, тиймээс энэ нь хязгааргүй буурч байна. График дээр цэгүүдээ тэмдэглэж, координат нь юу гэсэн үг болохыг харцгаая.

Хэрэв эхний гишүүн нь тэнцүү бол геометр прогрессийн графикийг бүдүүвчээр дүрсэлж үзээрэй. Өмнөх графикаас юугаараа ялгаатай болохыг шинжилнэ үү?

Та удирдаж чадсан уу? Миний олж мэдсэн график энд байна:

Одоо та геометрийн прогрессийн сэдвийн үндсийг бүрэн ойлгосон: та энэ нь юу болохыг мэддэг, түүний гишүүнийг хэрхэн олохыг мэддэг, мөн төгсгөлгүй буурдаг геометр прогресс гэж юу болохыг мэддэг болсон тул түүний үндсэн шинж чанарт шилжье.

Геометр прогрессийн шинж чанар.

Та арифметик прогрессийн гишүүний шинж чанарыг санаж байна уу? Тийм ээ, тийм ээ, энэ прогрессийн нөхцлийн өмнөх болон дараагийн утгууд байгаа тохиолдолд тодорхой тооны прогрессийн утгыг хэрхэн олох вэ. Чи санаж байна уу? Энэ:

Одоо бид геометр прогрессийн нөхцлийн хувьд яг ижил асуулттай тулгарч байна. Ийм томьёог гаргаж авахын тулд зурж, бодож эхэлцгээе. Та харах болно, энэ нь маш амархан, хэрэв та мартвал өөрөө гаргаж чадна.

Бидний мэддэг өөр нэг энгийн геометрийн прогрессийг авч үзье. Хэрхэн олох вэ? Арифметик прогрессийн хувьд энэ нь хялбар бөгөөд энгийн, гэхдээ энд яах вэ? Үнэн хэрэгтээ геометрийн хувьд ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй - та бидэнд өгсөн утга бүрийг томъёоны дагуу бичих хэрэгтэй.

Та одоо энэ талаар юу хийх ёстой вэ гэж асууж магадгүй юм. Тийм ээ, маш энгийн. Эхлээд эдгээр томъёог зурган дээр дүрсэлж, үнэ цэнэд хүрэхийн тулд тэдэнтэй янз бүрийн залруулга хийхийг хичээцгээе.

Бидэнд өгөгдсөн тоонуудаас хийсвэрлэж, зөвхөн томъёогоор дамжуулан тэдгээрийн илэрхийлэлд анхаарлаа хандуулцгаая. Бид хажуугийн нэр томъёог мэдэж, улбар шараар тодруулсан утгыг олох хэрэгтэй. Тэдэнтэй хамт янз бүрийн үйлдэл хийхийг хичээцгээе, үүний үр дүнд бид авч болно.

Нэмэлт.
Хоёр илэрхийлэл нэмэхийг оролдоод үзье:

Энэ илэрхийллээс харахад бид үүнийг ямар ч байдлаар илэрхийлэх боломжгүй тул бид өөр хувилбар болох хасах аргыг туршиж үзэх болно.

Хасах.

Таны харж байгаагаар бид үүнээс ч илэрхийлэх боломжгүй тул эдгээр илэрхийлэлийг бие биенээсээ үржүүлэхийг хичээх болно.

Үржүүлэх.

Одоо бидэнд өгөгдсөн геометр прогрессийн нөхцлүүдийг олох ёстой зүйлтэй харьцуулан үржүүлээд бид юу байгааг анхааралтай ажигла.

Би юу яриад байгааг таагаарай? Зөв, олохын тулд бид хүссэн нэгтэй зэргэлдээх геометр прогрессийн тоонуудын квадрат язгуурыг бие биенээ үржүүлж авах хэрэгтэй.

Энд байна. Та өөрөө геометрийн прогрессийн шинж чанарыг гаргасан. Энэ томъёог ерөнхий хэлбэрээр бичихийг хичээгээрэй. Болсон уу?

Нөхцөлөө мартсан уу? Энэ нь яагаад чухал болохыг бодоод үзээрэй, жишээлбэл, үүнийг өөрөө тооцоолохыг хичээ. Энэ тохиолдолд юу болох вэ? Зөв, бүрэн утгагүй зүйл, учир нь томъёо нь дараах байдалтай байна.

Үүний дагуу энэ хязгаарлалтыг мартаж болохгүй.

Одоо энэ нь ямар тэнцүү болохыг тооцоолъё

Зөв хариулт - ! Хэрэв та тооцооллын явцад хоёрдахь боломжит утгыг мартаагүй бол та гайхалтай бөгөөд тэр даруй бэлтгэлдээ шилжиж болно, хэрэв та мартсан бол доор хэлэлцсэн зүйлийг уншаад, яагаад хоёр үндэсийг хоёуланг нь бичих ёстойг анхаарч үзээрэй. хариулах.

Геометр прогрессийн аль алиныг нь зурж, нэг нь утгатай, нөгөө нь утгатай бөгөөд хоёулаа оршин байх эрхтэй эсэхийг шалгацгаая.

Ийм геометрийн прогресс байгаа эсэхийг шалгахын тулд түүний өгөгдсөн бүх гишүүд ижил эсэхийг шалгах шаардлагатай юу? Эхний болон хоёр дахь тохиолдлын хувьд q-г тооцоол.

Бид яагаад хоёр хариулт бичих ёстойг харж байна уу? Учир нь таны хайж буй нэр томъёоны тэмдэг нь эерэг эсвэл сөрөг эсэхээс хамаарна! Энэ нь юу болохыг бид мэдэхгүй тул бид хоёр хариултыг нэмэх, хасах хоёрыг бичих хэрэгтэй.

Одоо та үндсэн санааг эзэмшиж, геометр прогрессийн шинж чанарын томъёог гаргаж авсан тул олж, мэдэж,

Хариултаа зөв хариулттай харьцуулна уу:

Хүссэн тооны зэргэлдээх геометрийн прогрессийн нөхцлийн утгыг бидэнд өгвөл ямар байх бол гэж та юу гэж бодож байна вэ, гэхдээ түүнээс ижил зайд байх болно. Жишээлбэл, бид олох хэрэгтэй, мөн өгсөн ба. Энэ тохиолдолд бид гаргаж авсан томъёогоо ашиглаж болох уу? Та томъёог анх гаргаж авахдаа хийсэн шиг утга тус бүр нь юунаас бүрдэхийг тайлбарлаж, энэ боломжийг баталгаажуулах эсвэл үгүйсгэхийг хичээгээрэй.
Та юу авсан бэ?

Одоо дахин анхааралтай ажигла.
мөн үүний дагуу:

Эндээс бид томъёо ажиллаж байна гэж дүгнэж болно зөвхөн хөрштэйгөө ч бишгеометр прогрессийн хүссэн нөхцлүүдтэй, гэхдээ бас хамт тэнцүү зайдгишүүдийн хайж байгаа зүйлээс.

Тиймээс бидний анхны томъёо дараах хэлбэртэй байна.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид эхний тохиолдолд үүнийг хэлсэн бол одоо бид үүнээс бага натурал тоотой тэнцүү байж болно гэж хэлж байна. Хамгийн гол нь өгөгдсөн тоонуудын аль алинд нь адилхан байна.

Тодорхой жишээн дээр дасгал хий, маш болгоомжтой байгаарай!

1. , . Хай.
2. , . Хай.
3. , . Хай.

Шийдсэн үү? Та маш анхааралтай байж, жижиг зүйл анзаарсан гэж найдаж байна.

Үр дүнг харьцуулж үзье.

Эхний хоёр тохиолдолд бид дээрх томъёог тайвнаар хэрэглэж, дараах утгыг авна.

Гурав дахь тохиолдолд, бидэнд өгсөн дугааруудын серийн дугаарыг сайтар шалгаж үзэхэд тэдгээр нь бидний хайж буй дугаараас ижил зайд биш гэдгийг ойлгодог: энэ нь өмнөх дугаар боловч байрлал дээр хасагдсан тул томъёог хэрэглэх боломжгүй.

Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Энэ нь үнэндээ санагдаж байгаа шиг тийм ч хэцүү биш юм! Бидэнд өгсөн тоо бүр болон бидний хайж буй тоо юунаас бүрдэж байгааг бичье.

Тиймээс бидэнд байгаа ба. Тэдэнтэй юу хийж болохыг харцгаая? Би хуваахыг санал болгож байна. Бид авах:

Бид өгөгдлөө томъёонд орлуулна:

Бидний олж мэдэх дараагийн алхам бол үүний тулд бид үүссэн тооны шоо үндсийг авах хэрэгтэй.

Одоо бид юу байгааг дахин харцгаая. Бидэнд байгаа, гэхдээ бид үүнийг олох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь эргээд дараахтай тэнцүү байна.

Тооцоолоход шаардлагатай бүх өгөгдлийг бид олсон. Томъёонд орлуулах:

Бидний хариулт: .

Өөр ижил төстэй асуудлыг өөрөө шийдэж үзээрэй:
Өгөгдсөн: ,
Олно:

Та хэд авсан бэ? Надад бий - .

Таны харж байгаагаар үндсэндээ танд хэрэгтэй зөвхөн нэг томъёог санаарай- . Үлдсэн бүх мөнгөө та ямар ч үед ямар ч хүндрэлгүйгээр татан авч болно. Үүнийг хийхийн тулд хамгийн энгийн геометрийн прогрессийг цаасан дээр бичиж, дээр дурдсан томъёоны дагуу түүний тоо бүр хэдтэй тэнцүү болохыг бичнэ.

Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэр.

Одоо өгөгдсөн интервал дахь геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийг хурдан тооцоолох боломжийг олгодог томъёог харцгаая.

Хязгаарлагдмал геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог гаргахын тулд дээрх тэгшитгэлийн бүх хэсгийг үржүүлнэ. Бид авах:

Анхааралтай хараарай: сүүлийн хоёр томъёонд юу нийтлэг байдаг вэ? Тийм ээ, анхны болон сүүлчийн гишүүнээс бусад энгийн гишүүд гэх мэт. 2-р тэгшитгэлээс 1-ийг хасахыг оролдъё. Та юу авсан бэ?

Одоо геометр прогрессийн гишүүнийг томьёогоор илэрхийлж, үүссэн илэрхийллийг бидний сүүлчийн томъёонд орлуулна уу.

Илэрхийлэлийг бүлэглэх. Та авах ёстой:

Үүнийг илэрхийлэх л үлдлээ:

Үүний дагуу, энэ тохиолдолд.

Хэрвээ? Тэгвэл ямар томьёо ажилладаг вэ? Геометрийн прогрессийг төсөөлөөд үз дээ. Тэр ямархуу хүн бэ? Ижил тоонуудын цуваа зөв тул томъёо нь дараах байдалтай байна.

Арифметик болон геометрийн прогрессийн тухай олон домог байдаг. Тэдний нэг нь шатрын спортыг бүтээгч Сэтийн домог юм.

Шатрын тоглоомыг Энэтхэгт зохион бүтээсэн гэдгийг олон хүн мэддэг. Хинду хаан түүнтэй уулзахдаа түүний оюун ухаан, түүний олон янзын албан тушаалд сэтгэл хангалуун байв. Үүнийг өөрийн харьяат хүмүүсийн нэг нь зохион бүтээсэн гэдгийг мэдээд хаан түүнийг биечлэн шагнахаар шийджээ. Тэрээр зохион бүтээгчийг өөртөө дуудаж, түүнээс хүссэн бүхнээ асууж, хамгийн чадварлаг хүслийг ч биелүүлэхээ амлав.

Сета бодох цаг хүсч, маргааш нь Сета хааны өмнө гарч ирэхэд тэрээр урьд өмнө байгаагүй даруу зангаараа хааныг гайхшруулав. Шатрын тавцангийн эхний дөрвөлжинд нэг үр тариа, хоёрдугаарт нэг улаан буудай, гурав, дөрөвт нэг ширхэг буудай өгөөч гэж гуйв.

Хаан уурлаж, боолын хүсэлт нь хааны өгөөмөр сэтгэлд зохисгүй гэж хэлээд Сэтийг хөөн зайлуулсан боловч зарц нь самбарын бүх талбайн үр тариаг хүлээн авна гэж амлав.

Одоо асуулт: геометрийн прогрессийн нөхцлийн нийлбэрийн томъёог ашиглан Сет хэдэн үр тариа авах ёстойг тооцоолно уу?

Үндэслэлээ эхлүүлье. Нөхцөл байдлын дагуу Сэт шатрын самбарын эхний квадрат, хоёр дахь, гурав, дөрөв гэх мэт улаан буудайн үр тариа хүссэн тул асуудал нь геометрийн прогрессийн тухай болохыг харж байна. Энэ тохиолдолд энэ нь юутай тэнцэх вэ?
Зөв.

Шатрын самбарын нийт квадратууд. Тус тусад нь, . Бидэнд бүх өгөгдөл байгаа, үүнийг томъёонд залгаад тооцоолох л үлдлээ.

Өгөгдсөн тооны дор хаяж ойролцоогоор "масштаб"-ыг төсөөлөхийн тулд бид градусын шинж чанарыг ашиглан хувиргана.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та хүсвэл тооцоолуур авч, ямар тоо гарахаа тооцоолж болно, хэрэв үгүй ​​бол та миний үгийг хүлээж авах хэрэгтэй: илэрхийллийн эцсийн утга нь байх болно.
Тэр бол:

квинтиллион квадриллион тэрбум тэрбум сая мянга.

Phew) Хэрэв та энэ тооны асар ихийг төсөөлөхийг хүсч байвал үр тариаг бүхэлд нь багтаахын тулд хичнээн том амбаар шаардлагатай болохыг тооцоол.
Хэрвээ амбаар нь м өндөр, өргөн нь м бол түүний урт нь км-ээр үргэлжлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл. Дэлхийгээс Нар хүртэл хоёр дахин хол.

Хэрвээ хаан математикт хүчтэй байсан бол тэр эрдэмтэн өөрөө үр тариа тоолохыг урьж болох байсан, учир нь сая үр тариа тоолохын тулд ядаж нэг өдөр уйгагүй тоолох хэрэгтэй, мөн квинтиллионоор үр тариа тоолох шаардлагатай гэж үзвэл үр тариа тоолох хэрэгтэй. амьдралынхаа туршид тоологдох ёстой.

Одоо геометр прогрессийн гишүүний нийлбэртэй энгийн бодлогыг шийдье.
5А ангийн сурагч Вася ханиад томуу туссан ч сургуульдаа явсаар байна. Өдөр бүр Вася хоёр хүнд халдварладаг бөгөөд тэд эргээд хоёр хүнд халдварладаг гэх мэт. Ангид зөвхөн хүмүүс л байдаг. Хэдэн өдрийн дараа бүхэл бүтэн анги томуугаар өвдөх вэ?

Тиймээс геометрийн прогрессийн эхний гишүүн бол Вася, өөрөөр хэлбэл хүн юм. Геометрийн прогрессийн 3-р хугацаа нь түүний ирсэн эхний өдөр халдвар авсан хоёр хүн юм. Прогрессийн нөхцлийн нийт нийлбэр нь 5А ангийн сурагчдын тоотой тэнцүү байна. Үүний дагуу бид ахиц дэвшлийн талаар ярьж байна:

Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёонд өгөгдөлөө орлуулъя.

Хэд хоногийн дотор анги бүхэлдээ өвдөнө. Томьёо, тоонд итгэхгүй байна уу? Оюутнуудын "халдвар" -ыг өөрөө дүрслэхийг хичээ. Болсон уу? Энэ нь надад хэрхэн харагдахыг хараарай:

Ангид нэг хүн байсан, хүн бүр нэг хүнд халдварлавал сурагчид хэдэн өдөр ханиад томуу тусдаг болохыг өөрсдөө тооцоол.

Та ямар үнэ цэнийг авсан бэ? Нэг өдрийн дараа хүн бүр өвдөж эхэлсэн.

Таны харж байгаагаар ийм даалгавар, түүнд зориулсан зураг нь пирамидтай төстэй бөгөөд дараагийн ажил бүр шинэ хүмүүсийг "авчрах" болно. Гэсэн хэдий ч, эрт орой хэзээ нэгэн цагт сүүлчийнх нь хэнийг ч татахгүй байх мөч ирдэг. Манай тохиолдолд анги тусгаарлагдсан гэж төсөөлвөл тухайн хүн гинжийг хаадаг (). Тиймээс, хэрэв хүн өөр хоёр оролцогчийг авчирсан бол мөнгө өгсөн санхүүгийн пирамидтай холбоотой байсан бол тэр хүн (эсвэл ерөнхийдөө) хэнийг ч авчрахгүй, үүний дагуу энэ санхүүгийн луйварт оруулсан хөрөнгөө алдах болно.

Дээр дурдсан бүх зүйл нь буурч эсвэл нэмэгдэж буй геометрийн прогрессийг хэлдэг боловч таны санаж байгаагаар бидэнд онцгой төрөл байдаг - хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс. Түүний гишүүдийн нийлбэрийг хэрхэн тооцох вэ? Мөн энэ төрлийн дэвшил яагаад тодорхой шинж чанартай байдаг вэ? Үүнийг хамтдаа олж мэдэцгээе.

Тиймээс эхлээд бидний жишээн дээрх хязгааргүй багасах геометр прогрессийн зургийг дахин харцгаая.

Одоо арай эрт гаргасан геометр прогрессийн нийлбэрийн томъёог харцгаая.
эсвэл

Бид юуны төлөө хичээж байна вэ? Энэ нь зөв, тэг рүү чиглэж байгааг график харуулж байна. Энэ нь, at, бараг тэнцүү байх болно, тус тус илэрхийлэл тооцох үед бид бараг авах болно. Үүнтэй холбогдуулан бид хязгааргүй буурч буй геометрийн прогрессийн нийлбэрийг тооцоолохдоо энэ хаалт нь тэнцүү байх тул үл тоомсорлож болно гэж бид үзэж байна.

- томъёо нь хязгааргүй буурах геометр прогрессийн гишүүний нийлбэр юм.

ЧУХАЛ!Нөхцөл нь нийлбэрийг олох шаардлагатай гэж тодорхой заасан тохиолдолд л бид хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглана. хязгааргүйгишүүдийн тоо.

Хэрэв тодорхой n тоог зааж өгсөн бол бид n гишүүний нийлбэрийн томъёог эсвэл эсвэл байсан ч хэрэглэнэ.

Одоо дадлага хийцгээе.

1. Геометр прогрессийн эхний гишүүний нийлбэрийг багаар ол.
2. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийг ба-тай ол.

Та маш болгоомжтой байсан гэж найдаж байна. Хариултаа харьцуулж үзье:

Одоо та геометрийн прогрессийн талаар бүх зүйлийг мэддэг болсон бөгөөд онолоос практикт шилжих цаг болжээ. Шалгалтанд тулгардаг хамгийн нийтлэг геометрийн прогрессийн асуудал бол нийлмэл хүүг тооцоолох асуудал юм. Эдгээр нь бидний ярих болно.

Нийлмэл хүү тооцох асуудал.

Нийлмэл хүүгийн томъёо гэж та сонссон байх. Энэ нь юу гэсэн үг болохыг та ойлгож байна уу? Хэрэв тийм биш бол үүнийг олж мэдье, учир нь та процессыг өөрөө ойлгосны дараа геометрийн прогресс нь үүнтэй ямар холбоотой болохыг шууд ойлгох болно.

Бид бүгд банкинд очиж, хадгаламжийн хувьд өөр өөр нөхцөл байдгийг мэддэг: үүнд хугацаа, нэмэлт үйлчилгээ, хүүг тооцоолох хоёр өөр арга - энгийн ба төвөгтэй.

ХАМТ энгийн сонирхолбүх зүйл тодорхой байна: хүү нь хадгаламжийн хугацаа дуусахад нэг удаа хуримтлагддаг. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид нэг жилийн хугацаанд 100 рубль хадгална гэж хэлбэл зөвхөн жилийн эцэст л дансанд орох болно. Үүний дагуу хадгаламжийн төгсгөлд бид рубль авах болно.

Нийлмэл хүү- энэ бол тохиолддог сонголт юм хүүгийн капиталжуулалт, өөрөөр хэлбэл хадгаламжийн дүн дээр нэмэх, дараа нь орлогын эх үүсвэрээс бус харин хуримтлагдсан хадгаламжийн дүнгээс тооцох. Том үсэг нь байнга тохиолддоггүй, гэхдээ тодорхой давтамжтай байдаг. Дүрмээр бол ийм хугацаа нь тэнцүү бөгөөд ихэвчлэн банкууд сар, улирал эсвэл жил ашигладаг.

Бид жил бүр ижил рубль хадгалдаг гэж бодъё, гэхдээ хадгаламжийг сар бүр капиталжуулах. Бид юу хийж байна вэ?

Та энд бүх зүйлийг ойлгож байна уу? Үгүй бол алхам алхмаар шийдье.

Бид банкинд рубль авчирсан. Сарын эцэс гэхэд бидний дансанд рубль болон хүүгийн дүнгээс бүрдэх мөнгө байх ёстой, өөрөөр хэлбэл:

Зөвшөөрч байна уу?

Бид үүнийг хаалтнаас гаргаж аваад дараа нь дараахь зүйлийг авна.

Зөвшөөрч байна, энэ томъёо нь бидний эхэнд бичсэнтэй илүү төстэй юм. Зөвхөн хувь хэмжээг тооцох л үлдлээ

Асуудлын мэдэгдэлд бид жилийн ханшийн талаар өгүүлдэг. Таны мэдэж байгаагаар бид үржүүлдэггүй - бид хувийг аравтын бутархай болгон хувиргадаг, өөрөөр хэлбэл:

Тийм үү? Одоо та асууж магадгүй, энэ дугаар хаанаас ирсэн бэ? Маш энгийн!
Би давтан хэлэхэд: асуудлын мэдэгдэлд энэ тухай өгүүлдэг ЖИЛ БҮРИЙНхуримтлагдсан хүү САР БҮР. Та бүхний мэдэж байгаагаар, сар бүр жилийн дараа банк биднээс жилийн хүүгийн тодорхой хэсгийг сар бүр ногдуулна.

Үүнийг ойлгосон уу? Одоо хүүг өдөр бүр тооцдог гэж хэлвэл томъёоны энэ хэсэг ямар харагдахыг бичээд үзээрэй.
Та удирдаж чадсан уу? Үр дүнг харьцуулж үзье:

Сайн хийлээ! Даалгавар руугаа буцаж орцгооё: хуримтлагдсан хадгаламжийн дүнгээс хүү хуримтлагдаж байгааг харгалзан хоёр дахь сард манай дансанд хэдий хэмжээний мөнгө орохыг бичнэ үү.
Миний авсан зүйл энд байна:

Эсвэл өөрөөр хэлбэл:

Та энэ бүхнээс нэгэн хэв маягийг анзаарч, геометрийн прогрессийг харсан байх гэж бодож байна. Гишүүн нь ямар хэмжээтэй тэнцэх, өөрөөр хэлбэл, сарын эцэст бид ямар хэмжээний мөнгө авахыг бичнэ үү.
Тийм үү? Шалгацгаая!

Таны харж байгаагаар банкинд нэг жилийн хугацаанд энгийн хүүтэй мөнгө байршуулбал рубль, нийлмэл хүүтэй бол рубль авах болно. Үр ашиг нь бага, гэхдээ энэ нь зөвхөн 2 дахь жилд л тохиолддог, гэхдээ илүү урт хугацаанд капиталжуулалт нь илүү ашигтай байдаг.

Нийлмэл хүүтэй холбоотой өөр төрлийн асуудлыг авч үзье. Таны олж мэдсэн зүйл бол таны хувьд энгийн зүйл байх болно. Тиймээс даалгавар:

Звезда компани 2000 онд энэ салбарт хөрөнгө оруулалт хийж эхэлсэн бөгөөд хөрөнгө нь ам.доллараар хэмжигддэг. 2001 оноос хойш жил бүр өмнөх оны өөрийн хөрөнгөтэй тэнцэх хэмжээний ашиг авч байна. Хэрэв ашгаа эргэлтээс хасаагүй бол 2003 оны эцэст Звезда компани хэр их ашиг авах вэ?

2000 онд Звезда компанийн нийслэл.
- 2001 онд Звезда компанийн капитал.
- 2002 онд Звезда компанийн капитал.
- 2003 онд Звезда компанийн капитал.

Эсвэл бид товчхон бичиж болно:

Бидний хувьд:

2000, 2001, 2002, 2003 он.

Тус тусад нь:
рубль
Хувийг ЖИЛ БҮР өгч, ЖИЛ БҮРээр тооцдог тул энэ асуудалд бид хуваах, эсвэл хуваах гэсэн зүйл байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл хүүтэй холбоотой асуудлыг уншихдаа хэдэн хувь, ямар хугацаанд тооцогдож байгааг анхаарч, зөвхөн дараа нь тооцоололд орно.
Одоо та геометрийн прогрессийн талаар бүгдийг мэддэг болсон.

Сургалт.

1. Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол геометр прогрессийн гишүүнийг ол, ба
2. Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол геометр прогрессийн эхний гишүүний нийлбэрийг ол, ба
3. МДМ Капитал компани 2003 онд энэ салбарт хөрөнгө оруулалт хийж эхэлсэн бөгөөд хөрөнгө нь ам.доллар юм. 2004 оноос хойш жил бүр өмнөх оны өөрийн хөрөнгөтэй тэнцэх хэмжээний ашиг авч байна. MSK Cash Flows компани 2005 онд тус салбарт 10,000 долларын хөрөнгө оруулалт хийж эхэлсэн бөгөөд 2006 онд долларын ашигтай ажиллаж эхэлсэн. Хэрэв 2007 оны эцэст ашгаа эргэлтээс татан аваагүй бол нэг компанийн дүрмийн сан нөгөөгөөсөө хэдэн доллараар их байсан бэ?

Хариултууд:

1. Асуудлын мэдэгдэлд прогресс хязгааргүй гэж хэлээгүй бөгөөд түүний тодорхой тооны нөхцлийн нийлбэрийг олох шаардлагатай тул тооцооллыг дараах томъёоны дагуу гүйцэтгэнэ.
2. 
   MDM Capital компани:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100%, өөрөөр хэлбэл 2 дахин нэмэгддэг.
   Тус тусад нь:
   рубль
   MSK Cash Flows компани:

   2005, 2006, 2007.
   - дахин, өөрөөр хэлбэл дахин нэмэгддэг.
   Тус тусад нь:
   рубль
   рубль

Дүгнэж хэлье.

1) Геометр прогресс ( ) нь тоон дараалал бөгөөд эхний гишүүн нь тэгээс ялгаатай бөгөөд хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү бөгөөд ижил тоогоор үржүүлдэг. Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг.

2) Геометр прогрессийн гишүүдийн тэгшитгэл нь .

3) ба-аас бусад бүх утгыг авч болно.

• хэрэв, дараа нь прогрессийн бүх нөхцөл ижил тэмдэгтэй байна - тэд эерэг байна;
• хэрэв, дараа нь прогрессийн бүх дараагийн нөхцөлүүд өөр тэмдэг;
• хэзээ – прогрессийг хязгааргүй бууралт гэж нэрлэдэг.

4) , at – геометр прогрессийн шинж чанар (зэргэлдээх нэр томъёо)

эсвэл
, үед (ижил зайтай)

Та үүнийг олохдоо үүнийг мартаж болохгүй хоёр хариулт байх ёстой.

Жишээлбэл,

5) Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийг дараах томъёогоор тооцоолно.
эсвэл

эсвэл

ЧУХАЛ!Хязгааргүй тооны гишүүний нийлбэрийг олох шаардлагатай гэж нөхцөл нь тодорхой заасан тохиолдолд л бид хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглана.

6) Мөнгө гүйлгээнээс гаргаагүй тохиолдолд геометр прогрессийн 3-р гишүүний томъёогоор нийлмэл хүүгийн бодлогуудыг мөн тооцно.

ГЕОМЕТРИЙН ПРОГРЕСС. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Геометрийн прогресс( ) нь тоон дараалал бөгөөд эхний гишүүн нь тэгээс ялгаатай бөгөөд хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү бөгөөд ижил тоогоор үржүүлнэ. Энэ дугаарыг дуудаж байна геометр прогрессийн хуваагч.

Геометр прогрессийн хуваагч-аас бусад ямар ч утгыг авч болно.

• Хэрэв цаашдын бүх үе шат ижил тэмдэгтэй байвал эерэг байна;
• хэрэв, дараа нь прогрессийн бүх дараагийн гишүүд өөр өөр шинж тэмдэг;
• хэзээ – прогрессийг хязгааргүй бууралт гэж нэрлэдэг.

Геометр прогрессийн гишүүний тэгшитгэл - .

Геометр прогрессийн гишүүний нийлбэртомъёогоор тооцоолно:
эсвэл

Хэрэв явц нь хязгааргүй буурч байвал:

YouClever оюутан болох,

Улсын нэгдсэн шалгалт эсвэл математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэх,

Мөн YouClever сурах бичгийг ямар ч хязгаарлалтгүйгээр авах боломжтой...

Геометрийн прогрессгэдэг нь гишүүн бүрийг (хоёр дахь үеэс нь эхлэн) өмнөхөөсөө ижил q ≠ 0 тоогоор үржүүлэх замаар олж авсан тоонуудын дараалал юм. q тоог гэнэ. хуваагчгеометрийн прогресс. Геометр прогрессийг тогтоохын тулд та түүний эхний гишүүн a 1 ба хуваагч q-г тохируулах хэрэгтэй.

Геометрийн прогресс q > 1 үед нэмэгддэг, 0 үед буурдаг< q < 1.

Геометр прогрессийн жишээ:

1. 2, 4, 8, 16... . Энд эхний гишүүн нь 1, хуваагч нь 2 байна.

81, 27, 9, 3, 1, 1/3… . Энд эхний гишүүн 81, хуваагч нь 1/3 байна.

Тиймээс прогрессийн эхний гишүүн нь 1-тэй тэнцүү, хоёр дахь нь - 1 q, гурав дахь нь 1 q*q = a 1 q 2, дөрөв дэх нь 1 q 2 *q = a 1 q 3 ... . Тиймээс, Прогрессийн n-р гишүүнийг a n = a 1 q n-1 томъёогоор тооцоолно.

Мэдэгдэл: Геометр прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг томъёогоор тооцоолно

S n = a 1 +a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...+a 1 q n-1 .

Үржүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

S n q = a 1 q+a 1 q 2 +a 1 q 3 +...a 1 q n.

Одоо S n -ээс S n q -ийг хасъя.

Геометр прогрессийн асуудлын жишээ.

1. a 1 = 3, q ​​= 4 гэдгийг мэдэж байвал геометр прогрессийн эхний 10 гишүүний нийлбэрийг ол.

2. Нэг минутын дотор биомасс хоёр дахин нэмэгддэг. Одоогийн жин нь 3 кг бол 5 минутын дараа ямар жинтэй болох вэ?

Бид a 1 = 3 ба q = 2 гэсэн геометр прогрессийн талаар ярьж байна. Асуудлыг шийдэхийн тулд бид энэ прогрессийн зургаа дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй.

ТООН ДАРААЛУУД VI

§ l48. Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр

Өнөөг хүртэл бид нийлбэрийн тухай ярихдаа эдгээр нийлбэрүүдийн нэр томъёоны тоог хязгаарлагдмал (жишээлбэл, 2, 15, 1000 гэх мэт) гэж үздэг. Гэхдээ зарим асуудлыг (ялангуяа дээд математик) шийдвэрлэхдээ хязгааргүй тооны нэр томъёоны нийлбэртэй ажиллах шаардлагатай болдог.

S= а 1 + а 2 + ... + а n + ... . (1)

Эдгээр хэмжээ хэд вэ? А - тэргүүн байр хязгааргүй тооны гишүүний нийлбэр а 1 , а 2 , ..., а n , ...-ийг S нийлбэрийн хязгаар гэнэ n эхлээд П хэзээ тоо П -> ∞ :

S=S n = (а 1 + а 2 + ... + а n ). (2)

Хязгаар (2), мэдээжийн хэрэг байхгүй ч байж болно. Үүний дагуу тэд нийлбэр (1) байгаа эсвэл байхгүй гэж хэлдэг.

Тодорхой тохиолдол бүрт нийлбэр (1) байгаа эсэхийг бид хэрхэн олж мэдэх вэ? Энэ асуудлын ерөнхий шийдэл нь манай хөтөлбөрийн хамрах хүрээнээс хол давсан. Гэсэн хэдий ч бид одоо авч үзэх ёстой нэг чухал онцгой тохиолдол бий. Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нөхцлүүдийг нэгтгэх талаар бид ярилцах болно.

Болъё а 1 , а 1 q , а 1 q 2, ... нь хязгааргүй буурах геометр прогресс юм. Энэ нь | q |< 1. Сумма первых П энэ прогрессийн нөхцөл тэнцүү байна

Хувьсагчдын хязгаарын талаархи үндсэн теоремуудаас (§ 136-г үзнэ үү) бид дараахь зүйлийг олж авна.

Гэхдээ 1 = 1, a qn = 0. Тиймээс

Тэгэхээр, төгсгөлгүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр нь энэ прогрессийн эхний гишүүнийг энэ прогрессийн хуваагчаас нэг хассантай тэнцүү байна.

1) Геометр прогрессийн нийлбэр 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... тэнцүү байна.

ба геометр прогрессийн нийлбэр нь 12; -6; 3; - 3/2 , ... тэнцүү

2) 0.454545 ... энгийн үечилсэн бутархайг энгийн болгон хөрвүүл.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд энэ бутархайг хязгааргүй нийлбэр гэж төсөөл.

Энэ тэгш байдлын баруун тал нь төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр бөгөөд эхний гишүүн нь 45/100, хуваагч нь 1/100 байна. Тийм ч учраас

Тайлбарласан аргыг ашиглан энгийн үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргах ерөнхий дүрмийг олж авч болно (II бүлэг, § 38-ыг үзнэ үү):

Энгийн үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй: тоологч хэсэгт аравтын бутархайн үеийг, хуваагч хэсэгт - тухайн үеийн цифрүүдээс хэдэн удаа авсан есөөс бүрдэх тоог оруулна. аравтын бутархай.

3) 0.58333 .... холимог үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувирга.

Энэ бутархайг хязгааргүй нийлбэр гэж төсөөлье.

Энэ тэгшитгэлийн баруун талд 3/1000-аас эхлэн бүх гишүүд хязгааргүй буурах геометр прогресс үүсгэдэг бөгөөд эхний гишүүн нь 3/1000, хуваагч нь 1/10 байна. Тийм ч учраас

Тайлбарласан аргыг ашиглан холимог үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргах ерөнхий дүрмийг олж авч болно (II бүлэг, § 38-ыг үзнэ үү). Үүнийг бид энд зориуд танилцуулдаггүй. Энэ төвөгтэй дүрмийг санах шаардлагагүй. Аливаа холимог үечилсэн бутархайг хязгааргүй буурдаг геометрийн прогресс болон тодорхой тооны нийлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг мэдэх нь илүү ашигтай байдаг. Мөн томъёо

Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэрийн хувьд та мэдээж санаж байх ёстой.

Дасгалын хувьд бид доор өгөгдсөн 995-1000 тоот бодлогоос гадна 301 § 38-д дахин нэг удаа хандахыг санал болгож байна.

Дасгал

995. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

996. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийг ол.

997. Ямар үнэ цэнээр X дэвшил

энэ нь хязгааргүй буурч байна уу? Ийм прогрессийн нийлбэрийг ол.

998. Талтай тэгш талт гурвалжинд А шинэ гурвалжинг түүний талуудын дунд цэгүүдийг холбосноор сийлсэн; Энэ гурвалжинд шинэ гурвалжинг мөн адил бичээстэй байх ба төгсгөлгүй үргэлжлэх болно.

a) эдгээр бүх гурвалжны периметрийн нийлбэр;

б) тэдгээрийн талбайн нийлбэр.

999. Хажуу талтай дөрвөлжин А түүний талуудын дунд цэгүүдийг холбосон шинэ дөрвөлжин бичээс; дөрвөлжин талбайг энэ дөрвөлжинд мөн адил бичээстэй, мөн төгсгөлгүй. Эдгээр бүх квадратуудын периметрийн нийлбэр ба талбайн нийлбэрийг ол.

1000. нийлбэр нь 25/4, гишүүний квадратуудын нийлбэр нь 625/24-тэй тэнцүү байхаар хязгааргүй буурах геометр прогресс зохио.