Поняття десяткового дробу та дії з ними. Як вирішувати десяткові дроби

У попередній частині ми розглядали дроби з усілякими знаменниками та називали їх звичайними дробами. Нас цікавив всякий дріб, який виникав у процесі виміру чи поділу, незалежно від того, який у нас виходив знаменник.

Тепер з усієї множини дробів ми виділимо дроби зі знаменниками: 10, 100, 1 000, 10 000 і т. д., тобто такі дроби, знаменниками яких є тільки числа, зображувані одиницею (1) з наступними нулями (одним або декількома). Такі дроби називаються десятковими.

Ось приклади десяткових дробів:

З десятковими дробами ми зустрічалися і раніше, але не вказували ніяких особливих властивих їм властивостей. Тепер ми покажемо, що вони мають деякі чудові властивості, внаслідок чого спрощуються всі обчислення з дробами.

§ 103. Зображення десяткового дробу без знаменника.

Десяткові дроби зазвичай записують негаразд, як прості, а, по тим правилам, якими записуються цілі числа.

Щоб зрозуміти, яким чином записати десятковий дріб без знаменника, слід пригадати, як пишеться за десятковою системою будь-яке ціле число. Якщо, наприклад, ми напишемо тризначне число за допомогою однієї лише цифри 2, тобто число 222, то кожна з цих двійок матиме особливе значення в залежності від місця, яке вона займає в числі. Перша двійка з права позначає одиниці, друга – десятки, третя – сотні. Таким чином, будь-яка цифра, що стоїть ліворуч від будь-якої іншої цифри, позначає одиниці, вдесятеро більші, ніж ті, що позначені попередньою цифрою. Якщо якогось розряду немає, то на його місці пишуть нуль.

Отже, загалом на першому місці праворуч стоять одиниці, другою місці - десятки тощо.

Тепер поставимо питання, якого розряду одиниці вийдуть, якщо ми, наприклад, у числі 222 с правоюсторони припишемо ще одну цифру. Щоб відповісти на це питання, потрібно взяти до уваги, що остання двійка (перша справа) означає одиниці.

Отже, якщо після двійки, що позначає одиниці, ми трохи відступивши, напишемо ще якусь цифру, наприклад 3, то вона позначатиме одиниці, у десять разів менші за попередні, іншими словами, вона позначатиме десяті часткиодиниці; вийде число, що містить 222 цілих одиниці та 3 десяті частки одиниці.

Прийнято між цілою та дробовою частиною числа ставити кому, тобто писати так:

Якщо ми після трійки в цьому числі припишемо ще цифру, наприклад, 4, то вона позначатиме 4 сотихчастки одиниці; число набуде вигляду:

і вимовляється: двісті двадцять дві цілих, тридцять чотири сотих.

Нова цифра, наприклад 5, приписана до цього числа, дає нам тисячні частки: 222,345 (двісті двадцять дві цілих, триста сорок п'ять тисячних).

Для більшої ясності розташування серед цілих і дробових розрядів можна як таблиці:

Таким чином, ми роз'яснили, як пишуться десяткові дроби без знаменника. Напишемо кілька таких дробів.

Щоб написати без знаменника дріб 5/10, потрібно взяти до уваги, що в неї немає цілих і, отже, місце цілих має бути зайняте нулем, тобто 5/10 = 0,5.

Дроб 2 9/100 без знаменника напишеться так: 2,09, тобто на місці десятих потрібно поставити нуль. Якби ми пропустили цей 0, то отримали б зовсім інший дріб, а саме 2,9, тобто два цілих та дев'ять десятих.

Значить, при написанні десяткових дробів потрібно позначати нулем цілі та дробові розряди, що відсутні.

0,325 - немає цілих,
0,012 - немає цілих і немає десятих,
1,208 - немає сотих,
0,20406 – немає цілих, немає сотих і немає десятитисячних.

Цифри, що стоять правіше за кому, прийнято називати десятковими знаками.

Щоб не допустити помилки при написанні десяткових дробів, потрібно пам'ятати, що після коми в зображенні десяткового дробу має бути стільки цифр, скільки буде нулів у знаменнику, якби цей дріб ми написали зі знаменником, тобто.

0,1 = 1/10 (у знаменнику один нуль і після коми одна цифра);

§ 104. Приписування нулів до десяткового дробу.

У попередньому параграфі було розказано, як зображуються десяткові дроби без знаменників. Велике значення під час написання десяткових дробів має нуль. Будь-який правильний десятковий дріб має нуль на місці цілих для позначення того, що цілі у такого дробу відсутні. Ми напишемо зараз кілька різних десяткових дробів за допомогою цифр: 0, 3 та 5.

0,35 - 0 цілих, 35 сотих,
0,035 - 0 цілих, 35 тисячних,
0,305 - 0 цілих, 305 тисячних,
0,0035 – 0 цілих, 35 десятитисячних.

З'ясуємо тепер, яке значення мають нулі, поставлені в кінці десяткового дробу, тобто справа.

Якщо ми візьмемо ціле число, наприклад 5, поставимо після нього кому, а потім після коми напишемо нуль, то цей нуль позначатиме нуль десятих. Отже, цей приписаний праворуч нуль на величину числа не вплине, тобто.

Візьмемо тепер число 6,1 і припишемо до нього праворуч нуль, отримаємо 6,10, тобто у нас після коми була 1/10, а стало 10/100, але 10/100 дорівнюють 1/10. Значить, величина числа не змінилася, а від приписування праворуч нуля змінився тільки вид числа і вимова (6,1 - шість цілих одна десята; 6,10 - шість цілих десять сотих).

Подібними міркуваннями ми можемо переконатися в тому, що припис праворуч нулів до десяткового дробу не змінює її величини. Отже, можна написати такі рівності:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000 і т.д.

Якщо ж ми припишемо нулі зліва від десяткового дробу, то вони не матимуть жодного значення. Справді, якщо ліворуч від числа 4,6 ми напишемо нуль, то число набуде вид04,6. На якому місці стоїть нуль? Він стоїть дома десятків, т. е. показує, що у тому числі немає десятків, але це ясно і без нуля.

Слід, однак, запам'ятати, що іноді до десяткових дробів приписуються справа нулі. Наприклад, є чотири дроби: 0,32; 2,5; 13,1023; 5,238. Приписуємо праворуч до тих дробів, у яких менше десяткових знаків після коми: 0,3200; 2,5000; 13,1023; 5,2380.

Навіщо це зроблено? Приписуючи праворуч нулі, ми отримали у кожного числа після коми чотири цифри, отже, у кожного дробу знаменник буде 10 000, а до приписування нулів у першого дробу знаменник був 100, у другому 10, у третьому 10 000 і в четвертому 1 000. Таким Таким чином, приписуванням нулів ми зрівняли число десяткових знаків наших дробів, тобто привели їх до спільного знаменника. Отже, приведення десяткових дробів до спільного знаменника здійснюється у вигляді приписування нулів до цих дробів.

З іншого боку, якщо у якогось десяткового дробу є справа нулі, то ми можемо їх відкинути, не змінюючи його величини, наприклад: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4,200 = 4,2.

Як потрібно розуміти таке відкидання нулів праворуч від десяткового дробу? Воно рівносильне її скорочення, і це видно, якщо ми дані десяткові дроби запишемо зі знаменником:

§ 105. Порівняння десяткових дробів за величиною.

При вживанні десяткових дробів дуже важливо вміти порівнювати між собою дроби і відповідати на питання, які рівні, які більше і які менше. Порівняння десяткових дробів виконується інакше, ніж порівняння цілих чисел. Наприклад, ціле двозначне число завжди більше однозначного, скільки б одиниць не було в однозначному числі; тризначне число більше двозначного і тим паче однозначного. Але за порівнянні десяткових дробів було б помилково підраховувати всі знаки, з яких написані дроби.

Візьмемо два дроби: 3,5 та 2,5, і порівняємо їх за величиною. Десяткові знаки вони однакові, але в першої дроби 3 цілих, а й у другий 2. Перший дріб більше другий, тобто.

Візьмемо інші дроби: 0,4 та 0,38. Для порівняння цих дробів корисно приписати праворуч до першого дробу нуль. Тоді ми порівнюватимемо дроби 0,40 і 0,38. Кожна з них має після коми дві цифри: отже, у цих дробів один і той самий знаменник 100.

Нам потрібно лише порівняти їх чисельники, але чисельник 40 більший за 38. Отже, перший дріб більший за другий, тобто.

У першого дробу число десятих часток більше, ніж у другого, правда, другий дріб має ще 8 сотих, але вони менші за одну десяту, тому що 1/10 = 10/100 .

Порівняємо тепер такі дроби: 1,347 та 1,35. Припишемо праворуч до другого дробу нуль і порівнюватимемо десяткові дроби: 1,347 і 1,350. Цілі частини вони однакові, отже, потрібно порівняти лише дробові частини: 0,347 і 0,350. Знаменник у цих дробів загальний, але чисельник другого дробу більший від чисельника першого, отже, другий дріб більший за перший, тобто 1,35 > 1,347.

Порівняємо, нарешті, ще два дроби: 0,625 та 0,62473. Припишемо до першого дробу два нулі, щоб зрівнялися розряди, і порівняємо отримані дроби: 0,62500 та 0,62473. Знаменники у них однакові, але чисельник першого дробу 62 500 більший за чисельник другого дробу 62 473. Отже, перший дріб більший за другий, тобто 0,625 > 0,62473.

На підставі викладеного ми можемо зробити такий висновок: з двох десяткових дробів той більший, у якого число цілих більше; при рівності цілих той дріб більший, у якого число десятих більше; при рівності цілих і десятих той дріб більший, у якого число сотих більше, і т.д.

§ 106. Збільшення та зменшення десяткового дробу в 10, 100, 1000 і т. д. раз.

Ми вже знаємо, що приписування нулів до десяткового дробу впливає її величину. Коли ж ми вивчали цілі числа, то бачили, що кожен приписаний праворуч нуль збільшував число в 10 разів. Неважко зрозуміти, чому це відбувалося. Якщо ми візьмемо ціле число, наприклад 25, і припишемо до нього праворуч нуль, то число збільшиться в 10 разів, число 250 в 10 разів більше 25. Коли справа з'явився нуль, то число 5, яке раніше означало одиниці, тепер позначало десятки, а число 2, яке раніше означало десятки, тепер позначало сотні. Отже, завдяки появі нуля, колишні розряди замінилися на нові, вони укрупнилися, вони пересунулися одне місце вліво. Коли потрібно збільшити десятковий дріб, наприклад, в 10 разів, ми теж повинні пересунути розряди на одне місце вліво, але таке пересування не може бути досягнуте за допомогою нуля. Десятковий дріб складається з цілої та дробової частин і кордоном між ними служить кома. Зліва від коми стоїть найнижчий цілий розряд, праворуч - найвищий дробовий. Розглянемо дріб:

Як нам пересунути в ній розряди, хоча б на одне місце, тобто, тобто, як нам збільшити її в 10 разів? Якщо ми пересунемо кому на одне місце вправо, то насамперед це відіб'ється на долі п'ятірки: вона з області дробових чисел потрапляє в область цілих. Число тоді набуде вигляду: 12345,678. Зміна відбулася і з усіма іншими цифрами, а не лише з п'ятіркою. Всі цифри, що входять до числа, стали грати нову роль, відбулося наступне (див. таблицю):

Усі розряди змінили своє найменування, і всі розрядні одиниці, так би мовити, зросли на одне місце. Від цього все число збільшилось у 10 разів. Таким чином, перенесення коми на один знак праворуч збільшує число в 10 разів.

Розглянемо ще приклади:

1) Візьмемо дріб 0,5 і перенесемо кому на одне місце вправо; отримаємо число 5, яке в 10 разів більше за 0,5, тому що раніше п'ятірка позначала десяті частки одиниці, а тепер вона позначає цілі одиниці.

2) Перенесемо в числі 1,234 кому на два знаки праворуч; число набуде вигляду 123,4. Це число в 100 разів більше колишнього тому що в ньому цифра 3 позначала одиниці, цифра 2 - десятки, а цифра 1 - сотні.

Таким чином, щоб збільшити десятковий дріб у 10 разів, потрібно перенести кому в ній на один знак праворуч; щоб збільшити її в 100 разів, потрібно перенести кому на два знаки праворуч; щоб збільшити в 1000 разів - на три знаки праворуч, і т.д.

Якщо при цьому не вистачає знаків у числа, то приписують до нього праворуч. Наприклад, збільшимо дріб 1,5 в 100 разів, перенісши кому на два знаки; отримаємо 150. Збільшимо дріб 0,6 в 1000 разів; отримаємо 600.

Назад, якщо потрібно зменшитидесятковий дріб в 10, в 100, в 1 000 і т. д. раз, то потрібно перенести в ній кому вліво на один, два, три і т. д. знака. Нехай дано дріб 20,5; зменшимо її у 10 разів; для цього перенесемо кому на один знак вліво, дріб набуде вигляду 2,05. Зменшимо дріб 0,015 у 100 разів; отримаємо 0,00015. Зменшимо число 334 у 10 разів; отримаємо 33,4.

Ми вже казали, що дроби бувають звичайніі десяткові. На даний момент ми трохи вивчили прості дроби. Ми дізналися, що звичайні дроби бувають правильні та неправильні. Також ми дізналися, що звичайні дроби можна скорочувати, складати, віднімати множити та ділити. І ще ми дізналися, що бувають так звані змішані числа, які складаються з цілої та дрібної частини.

Ми ще не до кінця вивчили прості дроби. Є чимало тонкощів та деталей, про які слід поговорити, але вже сьогодні ми почнемо вивчати десятковідроби, оскільки звичайні та десяткові дроби досить часто доводиться поєднувати. Тобто при вирішенні завдань доводиться працювати з обома видами дробів.

Цей урок, можливо, здасться складним і незрозумілим. Це цілком нормально. Такі уроки вимагають, щоб їх саме вивчали, а не переглядали поверхово.

Вираз величин у дробовому вигляді

Іноді зручно буває показати щось у дрібному вигляді. Наприклад, одна десята частина дециметра записується так:

Цей вислів означає, що один дециметр був поділений на десять рівних частин, і від цих десяти частин було взято одну частину. А одна частина з десяти в даному випадку дорівнює одному сантиметру:

Розглянемо наступний приклад. Показати 6 см та ще 3 мм у сантиметрах у дробовому вигляді.

Отже, потрібно показати 6 см та 3 мм у сантиметрах, але у дробовому вигляді. 6 цілих сантиметрів у нас вже є:

Але залишилося ще 3 міліметри. Як показати ці 3 міліметри, причому у сантиметрах? На допомогу приходять дроби. Один сантиметр це десять міліметрів. Три міліметри – це три частини з десяти. А три частини з десяти записуються як см

Вираз см означає, що один сантиметр був поділений на десять рівних частин, і від цих десяти частин взяли три частини.

В результаті маємо шість цілих сантиметрів і три десяті сантиметри:

У цьому 6 показує число цілих сантиметрів, а дріб — число дробових. Цей дріб читається як «шість цілих і три десяті сантиметри».

Дроби, у знаменнику яких є числа 10, 100, 1000 можна записувати без знаменника. Спочатку пишуть цілу частину, а потім чисельник дробової частини. Ціла частина відокремлюється від чисельника дробової частини коми.

Наприклад, запишемо без знаменника. Спочатку записуємо цілу частину. Ціла частина це 6

Цілу частину записано. Відразу ж після написання цілої частини ставимо кому:

І тепер записуємо чисельник дробової частини. У змішаному числі чисельник дробової частини це число 3. Записуємо після коми трійку:

Будь-яке число, яке представляється в такому вигляді, називається десятковим дробом.

Тому показати 6 см і ще 3 мм у сантиметрах можна за допомогою десяткового дробу:

6,3 см

Виглядати це буде так:

Насправді десяткові дроби це самі звичайні дроби і змішані числа. Особливість таких дробів у тому, що у знаменнику їх дробової частини стоять числа 10, 100, 1000 чи 10000.

Як і змішане число, десятковий дріб має цілу частину та дробову. Наприклад, у змішаному числі ціла частина це 6, а частина це .

У десятковому дробі 6,3 ціла частина це число 6, а дробова частина це чисельник дробу, тобто число 3.

Буває і так, що прості дроби в знаменнику яких числа 10, 100, 1000 дано без цілої частини. Наприклад, дріб дано без цілої частини. Щоб записати такий дріб як десятковий, спочатку записують 0, потім ставлять кому і записують чисельник дробової частини. Дроб без знаменника буде записано наступним чином:

Читається як "нуль цілих п'ять десятих".

Переклад змішаних чисел у десяткові дроби

Коли записуємо змішані числа без знаменника, ми цим переводимо їх у десяткові дроби. При переведенні звичайних дробів до десяткових дробів потрібно знати кілька моментів, про які ми зараз поговоримо.

Після того, як записана ціла частина, обов'язково потрібно порахувати кількість нулів у знаменнику дробової частини, оскільки кількість нулів дробової частини та кількість цифр після коми в десятковому дробі має бути однаковою. Що це означає? Розглянемо наступний приклад:

Спочатку

І можна б відразу записати чисельник дробової частини і десятковий дріб готовий, але обов'язково потрібно порахувати кількість нулів у знаменнику дробової частини.

Отже, вважаємо кількість нулів у дрібній частині змішаного числа . У знаменнику дробової частини один нуль. Значить у десятковому дробі після коми буде одна цифра і ця цифра буде чисельником дробової частини змішаного числа, тобто число 2

Таким чином, змішане число при переведенні в десятковий дріб перетворюється на 3,2.

Цей десятковий дріб читається так:

«Три цілих, дві десятих»

"Десятих" тому що в дробовій частині змішаного числа знаходиться число 10.

приклад 2.Перевести змішане число в десятковий дріб.

Записуємо цілу частину і ставимо кому:

І можна б відразу записати чисельник дробової частини і отримати десятковий дріб 5,3 але правило каже, що після коми має бути стільки цифр скільки нулів у знаменнику дробової частини змішаного числа . А ми бачимо, що у знаменнику дробової частини два нулі. Значить у нашому десятковому дробі після коми має бути дві цифри, а не одна.

У таких випадках чисельник дробової частини потрібно трохи видозмінити: додати нуль перед чисельником, тобто перед числом 3

Тепер можна перевести це змішане число в десятковий дріб. Записуємо цілу частину і ставимо кому:

І записуємо чисельник дробової частини:

Десятковий дріб 5,03 читається так:

«П'ять цілих, три соті»

"Сотих" тому що в знаменнику дробової частини змішаного числа знаходиться число 100.

приклад 3.Перевести змішане число в десятковий дріб.

З попередніх прикладів ми дізналися, що для успішного переведення змішаного числа в десятковий дріб, кількість цифр у чисельнику дробової частини та кількість нулів у знаменнику дробової частини має бути однаковим.

Перед переведенням змішаного числа в десятковий дріб, його дробову частину потрібно трохи видозмінити, а саме зробити так, щоб кількість цифр у чисельнику дробової частини та кількість нулів у знаменнику дробової частини була однаковою.

Насамперед дивимося на кількість нулів у знаменнику дробової частини. Бачимо, що там три нулі:

Наше завдання організувати у чисельнику дробової частини три цифри. Одна цифра у нас вже є — це число 2. Залишилось додати ще дві цифри. Ними будуть два нулі. Додамо їх перед число 2. У результаті кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику стане однаковим:

Тепер можна зайнятися переведенням цього змішаного числа в десятковий дріб. Записуємо спочатку цілу частину і ставимо кому:

і відразу записуємо чисельник дробової частини

3,002

Бачимо, що кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробової частини змішаного числа однакова.

Десятковий дріб 3,002 читається так:

«Три цілих, дві тисячні»

«Тисячні» тому що в знаменнику дробової частини змішаного числа знаходиться число 1000.

Переведення звичайних дробів у десяткові дроби

Прості дроби, у яких у знаменнику числа 10, 100, 1000 або 10000, теж можна перевести в десяткові дроби. Оскільки у звичайного дробу ціла частина відсутня, спочатку записують 0, потім ставлять кому і записують чисельник дробової частини.

Тут також кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику має бути однаковою. Тому слід бути уважним.

приклад 1.

Ціла частина відсутня, значить спочатку записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер дивимося на кількість нулів у знаменнику. Бачимо, що там один нуль. І в чисельнику одна цифра. Отже можна спокійно продовжити десятковий дріб, записавши після коми число 5

В отриманому десятковому дробі 0,5 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,5 читається так:

"Нуль цілих п'ять десятих"

приклад 2.Перевести звичайний дріб у десятковий дріб.

Ціла частина відсутня. Записуємо спочатку 0 і ставимо кому:

Тепер дивимося на кількість нулів у знаменнику. Бачимо, що там два нулі. А в чисельнику лише одна цифра. Щоб зробити кількість цифр та кількість нулів однаковою, додамо в чисельнику перед числом 2 один нуль. Тоді дріб набуде вигляду. Тепер кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Отже можна продовжити десятковий дріб:

В отриманому десятковому дробі 0,02 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,02 читається так:

«Нуль цілих, дві сотих».

приклад 3.Перевести звичайний дріб у десятковий дріб.

Записуємо 0 і ставимо кому:

Тепер вважаємо кількість нулів у знаменнику дробу. Бачимо, що там п'ять нулів, а в чисельнику лише одна цифра. Щоб зробити кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однаковим, потрібно в чисельнику перед числом 5 дописати чотири нулі:

Тепер кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Отже можна продовжити десятковий дріб. Записуємо після коми чисельник дробу

В отриманому десятковому дробі 0,00005 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Десятковий дріб 0,00005 читається так:

"Нуль цілих, п'ять стотисячних".

Переведення неправильних дробів у десятковий дріб

Неправильний дріб це дріб, у якого чисельник більший за знаменник. Зустрічаються неправильні дроби, які мають у знаменнику числа 10, 100, 1000 чи 10000. Такі дроби можна переводити в десяткові дроби. Але перед переведенням у десятковий дріб, у таких дробів необхідно виділяти цілу частину.

приклад 1.

Дріб є неправильним дробом. Щоб перевести такий дріб у десятковий дріб, потрібно насамперед виділити в нього цілу частину. Згадуємо, як виділяти цілу частину неправильних дробів. Якщо забули, радимо повернутися і вивчити його.

Отже, виділимо цілу частину в неправильному дробі. Нагадаємо, що дріб означає розподіл - в даному випадку розподіл числа 112 на число 10

Подивимося на цей малюнок і зберемо нове змішане число, подібно до дитячого конструктора. Число 11 буде цілою частиною, число 2 - чисельником дробової частини, число 10 - знаменником дробової частини.

Ми отримали змішане число. Його і переведемо в десятковий дріб. А як переводити такі числа до десяткових дробів ми вже знаємо. Спочатку записуємо цілу частину і ставимо кому:

Тепер рахуємо кількість нулів у знаменнику дробової частини. Бачимо, що там один нуль. І в чисельнику дробової частини одна цифра. Значить кількість нулів у знаменнику дробової частини та кількість цифр у чисельнику дробової частини однакова. Це дає нам можливість одразу записати чисельник дробової частини після коми:

В отриманому десятковому дробі 11,2 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Значить неправильний дріб при переведенні в десятковий дріб звертається до 11,2

Десятковий дріб 11,2 читається так:

"Одинадцять цілих, дві десятих".

приклад 2.Перевести неправильний дріб у десятковий дріб.

Це неправильний дріб, оскільки чисельник більший за знаменник. Але її можна перевести в десятковий дріб, оскільки в знаменнику є число 100.

Насамперед виділимо цілу частину цього дробу. Для цього розділимо 450 на 100 куточків:

Зберемо нове змішане число - отримаємо. А як переводити змішані числа до десяткових дробів ми вже знаємо.

Записуємо цілу частину і ставимо кому:

Тепер рахуємо кількість нулів у знаменнику дробової частини та кількість цифр у чисельнику дробової частини. Бачимо, що кількість нулів у знаменнику та кількість цифр у чисельнику однакова. Це дає нам можливість одразу записати чисельник дробової частини після коми:

В отриманому десятковому дробі 4,50 кількість цифр після коми та кількість нулів у знаменнику дробу однакова. Значить дріб перекладено правильно.

Значить неправильний дріб при переведенні в десятковий дріб звертається до 4,50

При розв'язанні задач, якщо наприкінці десяткового дробу виявляються нулі, їх можна відкинути. Давайте і ми відкинемо нуль у нашій відповіді. Тоді ми отримаємо 4,5

Це одна з найцікавіших особливостей десяткових дробів. Вона полягає в тому, що нулі, які стоять в кінці дробу, не надають цьому дробу ніякої ваги. Іншими словами, десяткові дроби 4,50 та 4,5 рівні. Поставимо між ними знак рівності:

4,50 = 4,5

Постає питання: а чому так відбувається? Адже на вигляд 4,50 та 4,5 різні дроби. Весь секрет криється в основному властивості дробу, який ми вивчали раніше. Ми спробуємо довести, чому дорівнюють десяткові дроби 4,50 і 4,5, але після вивчення наступної теми, яка називається «переведення десяткового дробу в змішане число».

Переведення десяткового дробу в змішане число

Будь-який десятковий дріб може бути переведений назад в змішане число. Для цього достатньо вміти читати десяткові дроби. Наприклад, переведемо 6,3 у змішане число. 6,3 це шість цілих і три десятих. Записуємо спочатку шість цілих:

і поряд три десятих:

приклад 2.Перевести десятковий дріб 3,002 у змішане число

3,002 це три цілих та дві тисячних. Записуємо спочатку три цілі

і поруч записуємо дві тисячі:

приклад 3.Перевести десятковий дріб 4,50 у змішане число

4,50 це чотири цілих та п'ятдесят сотих. Записуємо чотири цілих

і поруч п'ятдесят сотих:

До речі, давайте згадаємо останній приклад із попередньої теми. Ми сказали, що десяткові дроби 4,50 та 4,5 рівні. Також ми сказали, що нуль можна відкинути. Спробуємо довести, що десяткові 4,50 та 4,5 рівні. Для цього переведемо обидві десяткові дроби до змішаних чисел.

Після переведення в змішане число десятковий дріб 4,50 звертається до , а десятковий дріб 4,5 звертається до

Маємо два змішані числа і . Переведемо ці змішані числа до неправильних дробів:

Тепер маємо два дроби та . Настав час згадати основну властивість дробу, яке говорить, що при множенні (чи розподілі) чисельника і знаменника дробу на те саме число значення дробу не змінюється.

Давайте розділимо перший дріб на 10

Отримали , а це другий дріб. Значить і рівні між собою і рівні тому самому значенню:

Спробуйте на калькулятор розділити спочатку 450 на 100, а потім 45 на 10. Забавна штука вийде.

Переведення десяткового дробу у звичайний дріб

Будь-який десятковий дріб може бути назад переведений у звичайний дріб. Для цього знову ж таки достатньо вміти читати десяткові дроби. Наприклад, переведемо 0,3 у звичайний дріб. 0,3 це нуль цілих та три десятих. Записуємо спочатку нуль цілих:

і поряд три десятих 0 . Нуль за традицією не записують, тому остаточна відповідь буде не 0, а просто.

приклад 2.Перевести десятковий дріб 0,02 у звичайний дріб.

0,02 це нуль цілих та дві сотих. Нуль по не записуємо, тому відразу записуємо дві сотих

приклад 3.Перекласти 0,00005 у звичайний дріб

0,00005 це нуль цілих та п'ять сто тисячних. Нуль не записуємо, тому одразу записуємо п'ять сто тисячних

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Дроби, записані у формі 0,8; 0,13; 2,856; 5,2; 0,04 називають десятковими. Насправді десяткові дроби це спрощена запис звичайних дробів. Цей запис зручно використовувати для всіх дробів, у яких знаменники дорівнюють 10, 100, 1000 і так далі.

Розглянемо приклади (0,5 читають як, нуль цілих п'ять десятих);

(0,15 читають як, нуль цілих п'ятнадцять сотих);

(5,3 читають як, п'ять цілих три десятих).

Звернемо увагу, що в записі десяткового дробу кома відокремлює цілу частину числа від дробового, ціла частина правильного дробу рана 0. Запис дробової частини десяткового дробу містить стільки цифр, скільки нулів у записі знаменника відповідного звичайного дробу.

Розглянемо приклад, , , .

У деяких випадках буває необхідно розглядати натуральне число як десятковий дріб, у якого дробова частина дорівнює нулю. Прийнято записувати що, 5 = 5,0; 245 = 245,0 тощо. Зауважимо, що у десятковому записі натурального числа одиниця молодшого розряду в 10 разів менша від одиниці сусіднього старшого розряду. Такою самою властивістю має запис десяткових дробів. Тому відразу після коми йде розряд десятих, далі розряд сотих, потім тисячних і так далі. Нижче наведено назви розрядів числа 31,85431 перші два стовпці - ціла частина, інші стовпці - дробова частина.

Читається цей дріб як тридцять один цілий вісімдесят п'ять тисяч чотириста тридцять один стотисячний.

Додавання та віднімання десяткових дробів

Перший спосіб, це звернути десяткові дроби у прості і зробити додавання.

як видно з прикладу цей спосіб дуже незручний і краще скористатися другим способом правильнішим, не перетворюючи десяткові дроби на прості. Для того щоб скласти два десяткові дроби, треба:

• зрівняти в доданок кількість цифр після коми;
• записати доданки один під одним так, щоб кожен розряд другого доданку опинився під відповідним розрядом першого доданку;
• скласти одержані числа так, як складають натуральні числа;
• поставити в отриманій сумі кому під комами до доданків.

Розглянемо приклади:

• зрівняти в зменшуваній і віднімається кількість цифр після коми;
• записати віднімається під зменшуваним так, щоб кожен розряд віднімається опинився під відповідним розрядом зменшуваного;
• зробити віднімання так, як віднімають натуральні числа;
• поставити в отриманій різниці кому під комами в зменшуваному і віднімається.

Розглянемо приклади:

У розглянутих вище прикладах видно, що додавання та віднімання десяткових дробів виконувалося порозрядно, тобто так, як ми робили аналогічні дії з натуральними числами. Це і є головною перевагою десяткової форми запису дробів.

Розмноження десяткових дробів

Для того щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і так далі, треба в цьому дробі перенести кому вправо відповідно на 1, 2, 3 і так далі цифри. Отже, якщо ком перенести вправо на 1, 2, 3 і так далі цифри, то дріб збільшиться відповідно в 10, 100, 1000 і так далі. Для того щоб перемножити два десяткові дроби, треба:

• помножити їх як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми;
• в отриманому творі відокремити комою праворуч стільки цифр, скільки їх коштує після ком в обох множниках разом.

Трапляються випадки, коли твір містить менше цифр, ніж потрібно відокремити комою, зліва перед цим твором дописують необхідну кількість нулів, а потім переносять кому вліво на потрібну кількість цифр.

Розглянемо приклади: 2*4=8, тоді 0,2*0,4=0,08; 23 * 35 = 805, тоді 0,023 * 0,35 = 0,00805.

Трапляються випадки, коли один із множників дорівнює 0,1; 0,01; 0,001 і так далі зручніше користуватися наступним правилом.

• Для того щоб помножити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і так далі, треба в цьому десятковому дробі перенести кому вліво відповідно на 1, 2, 3 і так далі цифри.

Розглянемо приклади: 2,65*0,1 = 0,265; 457,6*0,01 = 4,576.

Властивості множення натуральних чисел виконуються й у десяткових дробів.

• ab = ba- Переміщувальна властивість множення;
• (ab) c = a (bc)- Сполучна властивість множення;
• a(b+c) = ab+ac— розподільна властивість множення щодо складання.

Розподіл десяткових дробів

Відомо, якщо поділити натуральне число aна натуральне число bозначає знайти таке натуральне число c, яке при множенні на bдає число a. Це правило залишається вірним, якщо хоча б одне із чисел a, b, cє десятковим дробом.

Розглянемо приклад, потрібно розділити 43,52 на 17 куточком, не звертаючи уваги на кому. При цьому кому в частці слід поставити безпосередньо перед тим, як буде використана перша цифра після коми в ділимому.

Бувають випадки коли ділене менше дільника, тоді ціла частина рівна нулю. Розглянемо приклад:

Розглянемо ще один цікавий приклад.

Процес поділу зупинено, тому що цифри діленого закінчилися, а в решті нуль не отримали. Відомо, що десятковий дріб не зміниться, якщо до нього праворуч приписати будь-яку кількість нулів. Тоді стає зрозуміло, що цифри поділеного закінчиться не можуть.

Для того щоб розділити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і так далі, треба в цьому дробі перенести кому вліво на 1, 2, 3 і так далі цифри. Розглянемо приклад: 5,14: 10 = 0,514; 2: 100 = 0,02; 37,51: 1000 = 0,03751.

Якщо ділене і дільник збільшити одночасно в 10, 100, 1000 і так далі, то приватне не зміниться.

Розглянемо приклад: 39,44: 1,6 = 24,65 збільшимо ділене і дільник у 10 разів 394,4: 16 = 24,65 справедливо помітити, що ділити десятковий дріб на натуральне число у другому прикладі легше.

Для того щоб розділити десятковий дріб на десятковий, треба:

• перенести в ділимому та в дільнику коми вправо на стільки цифр, скільки їх міститься після коми у дільнику;
• виконати розподіл на натуральне число.

Розглянемо приклад: 23,6: 0,02 зауважимо, що у дільнику стоїть два знаки після коми, отже множимо обидва числа на 100, отримуємо 2360: 2 = 1180, ділимо результат на 100 і отримуємо відповідь 11,80 або 23,6: 0, 02 = 11,8.

Порівняння десяткових дробів

Існує два способи порівняння десяткових дробів. Спосіб перший, потрібно порівняти два десяткові дроби 4,321 і 4,32 зрівнюємо кількість знаків після коми і починаємо порівнювати порозрядно, десяті з десятими, соті з сотими і так далі в результаті отримуємо 4,321> 4,320.

Другий спосіб порівняння десяткових дробів виробляється за допомогою множення, помножимо наведений вище приклад на 1000 і порівняємо 4321 > 4320. Який спосіб зручніше, кожен вибирає для себе сам.

З безлічі дробів, що зустрічаються в арифметиці, на окрему увагу заслуговують такі, у яких у знаменнику стоїть 10, 100, 1000 - загалом, будь-який ступінь десятки. У цих дробів є спеціальна назва та форма запису.

Десятковий дріб - це будь-який числовий дріб, у знаменнику якого стоїть ступінь десятки.

Приклади десяткових дробів:

Навіщо взагалі потрібно виділяти такі дроби? Чому їм потрібна власна форма записи? На це є як мінімум три причини:

1. Десяткові дроби набагато зручніше порівнювати. Згадайте: для порівняння звичайних дробів їх потрібно відняти один від одного і, зокрема, привести дроби до спільного знаменника. У десяткових дробах нічого подібного не потрібно;
2. Скорочення обчислень. Десяткові дроби складаються і множаться за власними правилами, і після невеликого тренування ви працюватимете з ними набагато швидше, ніж зі звичайними;
3. Зручність запису. На відміну від звичайних дробів, десяткові записуються в один рядок без наочності.

Більшість калькуляторів також дають відповіді саме у десяткових дробах. Інший формат запису може призвести до проблем. Наприклад, якщо вимагати в магазині здачу в розмірі 2/3 рубля:)

Правила запису десяткових дробів

Основна перевага десяткових дробів - зручний та наочний запис. А саме:

Десятковий запис - це форма запису десяткових дробів, де ціла частина відокремлюється від дробової за допомогою звичайної точки або коми. При цьому сам роздільник (точка або кома) називається десятковою точкою.

Наприклад, 0,3 (читається: "нуль цілих, 3 десятих"); 7,25 (7 цілих, 25 сотих); 3,049 (3 цілих, 49 тисячних). Усі приклади взято з попереднього визначення.

На листі як десяткова точка зазвичай використовується кома. Тут і далі на всьому сайті теж буде використовуватися саме кома.

Щоб записати довільний десятковий дріб у зазначеній формі, треба виконати три простих кроки:

1. Виписати окремо чисельник;
2. Зрушити десяткову точку вліво на стільки знаків, скільки нулів містить знаменник. Вважати, що спочатку десяткова точка стоїть праворуч від усіх цифр;
3. Якщо десяткова точка зрушила, а після неї наприкінці запису залишилися нулі, їх треба закреслити.

Буває, що на другому кроці чисельник не вистачає цифр для завершення зсуву. У цьому випадку відсутні позиції заповнюються нулями. Та й взагалі, ліворуч від будь-якого числа можна без шкоди здоров'ю приписувати будь-яку кількість нулів. Це негарно, але іноді корисно.

На перший погляд, цей алгоритм може здатися досить складним. Насправді все дуже і дуже просто – треба лише трохи потренуватися. Погляньте на приклади:

Завдання. Для кожного дробу вкажіть його десятковий запис:

Чисельник першого дробу: 73. Зсуваємо десяткову точку на один знак (бо в знаменнику стоїть 10) - отримуємо 7,3.

Чисельник другого дробу: 9. Зсуваємо десяткову точку на два знаки (бо в знаменнику стоїть 100) - отримуємо 0,09. Довелося дописати один нуль після десяткової точки і ще один перед нею, щоб не залишати дивний запис виду «,09».

Чисельник третього дробу: 10029. Зсуваємо десяткову точку на три знаки (бо в знаменнику коштує 1000) - отримаємо 10,029.

Чисельник останнього дробу: 10500. Знову зрушуємо крапку на три знаки – отримаємо 10,500. Наприкінці числа утворилися зайві нулі. Закреслюємо їх – отримуємо 10,5.

Зверніть увагу на два останні приклади: числа 10,029 та 10,5. Згідно з правилами, нулі праворуч треба закреслити, як це зроблено в останньому прикладі. Однак у жодному разі не можна чинити так з нулями, що стоять усередині числа (які оточені іншими цифрами). Саме тому ми отримали 10,029 та 10,5, а не 1,29 та 1,5.

Отже, з визначенням та формою запису десяткових дробів розібралися. Тепер з'ясуємо, як переводити звичайні дроби до десяткових - і навпаки.

Перехід від звичайних дробів до десяткових

Розглянемо простий числовий дріб виду a/b. Можна скористатися основною властивістю дробу та помножити чисельник і знаменник на таке число, щоб унизу вийшла ступінь десятки. Але перш, ніж це робити, прочитайте таке:

Існують знаменники, які не наводяться до ступеня десятки. Вчитеся розпізнавати такі дроби, тому що з ними не можна працювати за алгоритмом, описаним нижче.

Ось такі справи. Ну і як зрозуміти, наводиться знаменник до ступеня десятки чи ні?

Відповідь проста: розкладіть знаменник на прості множники. Якщо в розкладанні присутні лише множники 2 та 5, це число можна призвести до ступеня десятки. Якщо знайдуться інші числа (3, 7, 11 – будь-що), про ступінь десятки можна забути.

Завдання. Перевірити, чи можна подати зазначені дроби у вигляді десяткових:

Випишемо і розкладемо на множники знаменники цих дробів:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присутні тільки числа 2 і 5. Отже, дріб можна подати у вигляді десяткового.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - є «заборонений» множник 3. Дроб не представима у вигляді десяткового.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Все в порядку: крім чисел 2 і 5 нічого немає. Дроб представна у вигляді десяткового.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Знову «сплив» множник 3. Уявити у вигляді десяткового дробу не можна.

Отже, зі знаменником розібралися – тепер розглянемо весь алгоритм переходу до десяткових дробів:

1. Розкласти знаменник вихідного дробу на множники і переконатися, що він взагалі уявний у вигляді десяткового. Тобто. перевірити, щоб у розкладанні були присутні лише множники 2 та 5. Інакше алгоритм не працює;
2. Порахувати, скільки двійок і п'ятірок є у розкладанні (інших чисел там уже не буде, пам'ятаєте?). Підібрати такий додатковий множник, щоб кількість двійок та п'ятірок зрівнялася.
3. Власне, помножити чисельник і знаменник вихідного дробу цей множник - отримаємо шукане уявлення, тобто. у знаменнику стоятиме ступінь десятки.

Зрозуміло, додатковий множник теж розкладатиметься тільки на двійки та п'ятірки. При цьому, щоб не ускладнювати собі життя, слід вибирати найменший такий множник із усіх можливих.

І ще: якщо у вихідному дробі є ціла частина, обов'язково переведіть цей дріб у неправильний - і тільки потім застосовуйте описаний алгоритм.

Завдання. Перевести ці числові дроби в десяткові:

Розкладемо на множники знаменник першого дробу: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Отже, дріб представний у вигляді десяткового. У розкладанні є дві двійки і жодної п'ятірки, тому додатковий множник дорівнює 5 2 = 25. З ним кількість двійок і п'ятірок зрівняється. Маємо:

Тепер розберемося з другим дробом. Для цього зауважимо, що 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - у розкладанні присутня трійка, тому дріб не уявний у вигляді десяткового.

Два останні дроби мають знаменники 5 (просте число) і 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 відповідно - скрізь присутні лише двійки та п'ятірки. При цьому в першому випадку "для повного щастя" не вистачає множника 2, а в другому - 5. Отримуємо:

Перехід від десяткових дробів до звичайних

Зворотне перетворення – від десяткової форми запису до звичайної – виконується набагато простіше. Тут немає обмежень і спеціальних перевірок, тому перевести десятковий дріб у класичний «двоповерховий» можна завжди.

Алгоритм перекладу наступний:

1. Закресліть всі нулі, що стоять у десятковому дробі зліва, а також десяткову точку. Це буде чисельник шуканого дробу. Головне - не перестарайтеся та не закресліть внутрішні нулі, оточені іншими цифрами;
2. Підрахуйте, скільки знаків коштує у вихідному десятковому дробі після коми. Візьміть цифру 1 і припишіть праворуч стільки нулів, скільки знаків ви нарахували. Це буде знаменник;
3. Власне, запишіть дріб, чисельник і знаменник якого ми щойно знайшли. По можливості скоротите. Якщо у вихідному дробі була ціла частина, зараз ми отримаємо неправильний дріб, що дуже зручно для подальших обчислень.

Завдання. Перевести десяткові дроби у звичайні: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Закреслимо нулі зліва і коми - отримаємо такі числа (це будуть чисельники): 8; 3107; 225; 72008.

У першому і в другому дробах після коми стоїть по 3 знаки, у другій - 2, а в третій - цілих 4 знаки. Отримаємо знаменники: 1000; 1000; 100; 10 000.

Нарешті, об'єднаємо чисельники та знаменники у звичайні дроби:

Як видно з прикладів, отриманий дріб дуже часто можна скоротити. Ще раз зазначу, що будь-який десятковий дріб представний у вигляді звичайного. Зворотне перетворення можна здійснити не завжди.