Was ist ein konvexes polygon. Vieleck, konvexes Vieleck, Viereck

In der 8. Klasse lernen die Schüler im Geometrieunterricht in der Schule erstmals das Konzept eines konvexen Polygons kennen. Sehr bald werden sie erfahren, dass diese Figur eine sehr interessante Eigenschaft hat. So komplex es auch sein mag, die Summe aller Innen- und Außenwinkel eines konvexen Vielecks nimmt einen fest definierten Wert an. In diesem Artikel spricht ein Tutor für Mathematik und Physik darüber, was die Summe der Winkel eines konvexen Vielecks ist.

Die Summe der Innenwinkel eines konvexen Vielecks

Wie beweist man diese Formel?

Bevor wir zum Beweis dieser Aussage übergehen, erinnern wir uns, welches Polygon konvex genannt wird. Ein Polygon heißt konvex, wenn es vollständig auf einer Seite der Linie liegt, die eine seiner Seiten enthält. Zum Beispiel die in diesem Bild gezeigte:

Wenn das Polygon die angegebene Bedingung nicht erfüllt, wird es als nicht konvex bezeichnet. Zum Beispiel so:

Die Summe der Innenwinkel eines konvexen Vielecks ist , wobei die Anzahl der Seiten des Vielecks ist.

Der Beweis dieser Tatsache basiert auf dem allen Schulkindern wohlbekannten Satz über die Winkelsumme im Dreieck. Ich bin sicher, dass Sie mit diesem Theorem vertraut sind. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks ist .

Die Idee ist, ein konvexes Polygon in mehrere Dreiecke aufzuteilen. Dies kann auf unterschiedliche Weise erfolgen. Je nachdem, welche Methode wir wählen, werden die Beweise leicht unterschiedlich sein.

1. Teilen Sie ein konvexes Polygon in Dreiecke durch alle möglichen Diagonalen, die von einem Scheitelpunkt aus gezogen werden. Es ist leicht zu verstehen, dass dann unser n-Eck in Dreiecke unterteilt wird:

Außerdem ist die Summe aller Winkel aller resultierenden Dreiecke gleich der Summe der Winkel unseres n-Ecks. Schließlich ist jeder Winkel in den resultierenden Dreiecken ein Teilwinkel in unserem konvexen Polygon. Das heißt, die erforderliche Menge ist gleich .

2. Sie können auch einen Punkt innerhalb des konvexen Polygons auswählen und ihn mit allen Scheitelpunkten verbinden. Dann wird unser n-Eck in Dreiecke geteilt:

Außerdem ist die Summe der Winkel unseres Polygons in diesem Fall gleich der Summe aller Winkel aller dieser Dreiecke minus dem Mittelpunktswinkel, der gleich ist. Das heißt, der gewünschte Betrag ist wieder gleich .

Die Summe der Außenwinkel eines konvexen Vielecks

Stellen wir uns nun die Frage: „Was ist die Summe der Außenwinkel eines konvexen Polygons?“ Diese Frage lässt sich folgendermaßen beantworten. Jede Außenecke grenzt an die entsprechende Innenecke an. Daher ist es gleich:

Dann ist die Summe aller Außenwinkel . Das heißt, es ist gleich .

Das ist ein sehr lustiges Ergebnis. Legt man nacheinander alle Außenecken eines beliebigen konvexen n-Ecks ab, so wird im Ergebnis genau die gesamte Ebene ausgefüllt.

Diese interessante Tatsache lässt sich wie folgt veranschaulichen. Lassen Sie uns alle Seiten eines konvexen Polygons proportional reduzieren, bis es in einen Punkt übergeht. Danach werden alle äußeren Ecken voneinander getrennt und füllen somit die gesamte Ebene aus.

Interessante Tatsache, nicht wahr? Und es gibt viele solcher Tatsachen in der Geometrie. Also Geometrie lernen, liebe Schüler!

Das Material darüber, wie die Summe der Winkel eines konvexen Polygons gleich ist, wurde von Sergey Valerievich vorbereitet

Bestimmung der Konvexität eines Vielecks.

Der Kyrus-Back-Algorithmus geht davon aus, dass ein konvexes Polygon als Fenster verwendet wird.

In der Praxis tritt jedoch häufig das Problem des Abschneidens durch ein Polygon auf, und Informationen darüber, ob es konvex ist oder nicht, werden anfänglich nicht angegeben. In diesem Fall ist es vor Beginn des Abschneidevorgangs erforderlich, zu bestimmen, ob das gegebene Polygon konvex ist oder nicht.

Lassen Sie uns einige Definitionen der Konvexität eines Polygons geben

Ein Polygon wird als konvex betrachtet, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

1) In einem konvexen Polygon befinden sich alle Ecken auf einer Seite der Linie, die eine beliebige Kante trägt (auf der Innenseite der gegebenen Kante);

2) alle Innenwinkel des Polygons sind kleiner als 180°;

3) alle Diagonalen, die die Eckpunkte eines Polygons verbinden, liegen innerhalb dieses Polygons;

4) alle Ecken des Polygons werden in der gleichen Richtung umgangen (Abb. 3.3‑1).

Um eine analytische Darstellung des letzten Konvexitätskriteriums zu entwickeln, verwenden wir das Vektorprodukt.

Vektorprodukt W zwei Vektoren a und b (Abb. 3.3-2 a) definiert als:

A x , a y , a z und b x , b y , b z a und b,

- ich, j, k– Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen X , Y , Z .

Reis.3.3 ‑ 1

Reis.3.3 ‑ 2

Betrachtet man die zweidimensionale Darstellung eines Polygons als seine Darstellung in der XY-Koordinatenebene des dreidimensionalen Koordinatensystems X ,Y ,Z (Abb. 3.3-2 b ), so ergibt sich der Ausdruck zur Bildung des Kreuzprodukts von Vektoren U und v, wo die Vektoren U und v benachbarte Kanten sind, die die Ecke des Polygons bilden, kann als Determinante geschrieben werden:

Der Kreuzproduktvektor steht senkrecht auf der Ebene, in der sich die Faktorvektoren befinden. Die Richtung des Produktvektors wird durch die Gimlet-Regel oder durch die Regel einer rechtsgängigen Schraube bestimmt.

Für den in Abb. 3.3‑2 b ), Vektor W, entsprechend dem Vektorprodukt von Vektoren v, U, dieselbe Richtwirkung wie die Richtung der Z-Koordinatenachse haben.

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Projektionen der Vektorfaktoren auf die Z-Achse in diesem Fall gleich Null sind, kann das Vektorprodukt wie folgt dargestellt werden:

(3.3-1)

Einheitsvektor k immer positiv, daher das Vorzeichen des Vektors w Vektorprodukt wird nur durch das Vorzeichen der Determinante D im obigen Ausdruck bestimmt. Beachten Sie, dass basierend auf der Eigenschaft des Vektorprodukts die Faktorvektoren neu angeordnet werden U und v Vektorzeichen w wird sich ins gegenteil ändern.

Daraus folgt, dass wenn als Vektoren v und U Betrachten wir zwei benachbarte Kanten des Polygons, dann kann die Reihenfolge der Aufzählung der Vektoren im Vektorprodukt in Übereinstimmung mit der Umgehung der betrachteten Ecke des Polygons oder der diese Ecke bildenden Kanten gesetzt werden. Dadurch können wir die Regel als Kriterium zur Bestimmung der Konvexität eines Polygons verwenden:

wenn für alle Kantenpaare des Polygons folgende Bedingung erfüllt ist:

Wenn die Vorzeichen von Vektorprodukten für einzelne Winkel nicht übereinstimmen, ist das Polygon nicht konvex.

Da die Kanten eines Polygons als Koordinaten ihrer Endpunkte angegeben werden, ist es bequemer, die Determinante zu verwenden, um das Vorzeichen eines Kreuzprodukts zu bestimmen.

Konvexe Menge von Punkten in der Ebene.

Eine Menge von Punkten in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum heißt konvex, wenn zwei beliebige Punkte dieser Menge durch eine Strecke verbunden werden können, die vollständig in dieser Menge liegt.

Satz 1. Der Durchschnitt endlich vieler konvexer Mengen ist eine konvexe Menge.

Folge. Der Durchschnitt endlich vieler konvexer Mengen ist eine konvexe Menge.

Eckpunkte.

Der Randpunkt einer konvexen Menge heißt eckig, wenn es möglich ist, eine Strecke durch sie zu ziehen, deren Punkte nicht alle zu der gegebenen Menge gehören.

Mengen verschiedener Formen können eine endliche oder unendliche Anzahl von Eckpunkten haben.

Konvexes Vieleck.

Vieleck genannt konvex, wenn es auf einer Seite jeder Linie liegt, die durch seine beiden benachbarten Eckpunkte geht.

Satz: Die Winkelsumme eines konvexen n-Ecks ist 180˚ *(n-2)

6) Systeme von m linearen Ungleichungen mit zwei Variablen lösen

Gegeben sei ein System von m linearen Ungleichungen mit zwei Variablen

Die Vorzeichen einiger oder aller Ungleichungen können ≥ sein.

Betrachten Sie die erste Ungleichung im X1OX2-Koordinatensystem. Lassen Sie uns eine gerade Linie bauen

das ist die Grenzlinie.

Diese Gerade teilt die Ebene in zwei Halbebenen 1 und 2 (Abb. 19.4).

Halbebene 1 enthält den Ursprung, Halbebene 2 enthält nicht den Ursprung.

Um zu bestimmen, auf welcher Seite der Grenzlinie eine bestimmte Halbebene liegt, müssen Sie einen beliebigen Punkt auf der Ebene (besser den Ursprung) nehmen und die Koordinaten dieses Punktes in die Ungleichung einsetzen. Wenn die Ungleichung wahr ist, dann wird die Halbebene zu diesem Punkt gedreht, wenn sie nicht wahr ist, dann in die entgegengesetzte Richtung von dem Punkt.

Die Richtung der Halbebene in den Figuren ist durch einen Pfeil dargestellt.

Definition 15. Die Lösung für jede Ungleichung des Systems ist eine Halbebene, die die Grenzlinie enthält und sich auf einer Seite davon befindet.

Definition 16. Der Schnittpunkt von Halbebenen, von denen jede durch die entsprechende Ungleichung des Systems bestimmt wird, wird als Lösungsgebiet des Systems (SR) bezeichnet.

Definition 17. Der Lösungsbereich eines Systems, das die Bedingungen der Nicht-Negativität erfüllt (xj ≥ 0, j =), wird als Bereich der nicht negativen oder zulässigen Lösungen (ODS) bezeichnet.

Wenn das Ungleichungssystem konsistent ist, können OP und ODE ein Polyeder, eine unbegrenzte polyedrische Region oder ein einzelner Punkt sein.

Wenn das Ungleichungssystem inkonsistent ist, dann sind OR und ODR eine leere Menge.

Beispiel 1

Lösung. Finden wir das ODER der ersten Ungleichung: x1 + 3x2 ≥ 3. Konstruieren wir die Grenzlinie x1 + 3x2 - 3 = 0 (Abb. 19.5). Setzen Sie die Koordinaten des Punktes (0,0) in die Ungleichung ein: 1∙0 + 3∙0 > 3; da die Koordinaten des Punktes (0,0) diese nicht erfüllen, ist die Lösung der Ungleichung (19.1) eine Halbebene, die den Punkt (0,0) nicht enthält.

Ebenso finden wir Lösungen für die verbleibenden Ungleichungen des Systems. Wir erhalten, dass OP und ODE des Ungleichungssystems ein konvexes Polyeder ABCD sind.

Finde die Eckpunkte des Polyeders. Punkt A ist als Schnittpunkt von Linien definiert

Wenn wir das System lösen, erhalten wir A(3/7, 6/7).

Wir finden Punkt B als Schnittpunkt von Geraden

Aus dem System erhalten wir B(5/3, 10/3). Ebenso finden wir die Koordinaten der Punkte C und D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Beispiel 2. Finden Sie OR und ODR des Systems der Ungleichungen

Lösung. Lassen Sie uns Geraden konstruieren und die Lösungen der Ungleichungen (19.5)-(19.7) bestimmen. OR und ODR sind unbeschränkte polyedrische Bereiche ACFM bzw. ABDEKM (Abb. 19.6).

Beispiel 3. Finden Sie OR und ODR des Systems der Ungleichungen

Lösung. Wir finden Lösungen für die Ungleichungen (19.8)-(19.10) (Abb. 19.7). OP stellt die unbegrenzte polyedrische Region ABC dar; ODR - Punkt B.

Beispiel 4. Finden Sie OP und ODS des Ungleichheitssystems

Lösung. Nachdem wir gerade Linien konstruiert haben, finden wir Lösungen für die Ungleichungen des Systems. OR und ODR sind inkompatibel (Abb. 19.8).

ÜBUNGEN

Finde OR und ODR von Ungleichungssystemen

Satz. Wenn xn ® a, dann .

Nachweisen. Aus xn ® a folgt, dass . Gleichzeitig:

Diese. , d.h. . Der Satz ist bewiesen.

Satz. Wenn xn ® a, dann ist die Folge (xn) beschränkt.

Es sei darauf hingewiesen, dass die umgekehrte Aussage nicht gilt, d.h. die Beschränktheit einer Folge impliziert nicht ihre Konvergenz.

Beispielsweise hat die Sequenz jedoch keine Begrenzung

Erweiterung von Funktionen in Potenzreihen.

Die Erweiterung von Funktionen in einer Potenzreihe ist von großer Bedeutung für die Lösung verschiedener Probleme beim Untersuchen von Funktionen, Differenzieren, Integrieren, Lösen von Differentialgleichungen, Berechnen von Grenzen, Berechnen von Näherungswerten einer Funktion.

Insgesamt erhalten wir:

Betrachten Sie eine Möglichkeit, eine Funktion durch Integration zu einer Reihe zu erweitern.

Mit Hilfe der Integration ist es möglich, eine solche Funktion in eine Reihe zu entwickeln, für die die Entwicklung in einer Reihe ihrer Ableitung bekannt ist oder leicht gefunden werden kann.

Wir finden das Differential der Funktion und integrieren es im Bereich von 0 bis x.

Das Konzept eines Polygons

Bestimmung 1

Polygon bezeichnet eine geometrische Figur in einer Ebene, die aus paarweise miteinander verbundenen Segmenten besteht, deren benachbarte nicht auf einer Geraden liegen.

In diesem Fall werden die Segmente aufgerufen Polygonseiten, und ihre Enden sind Polygonecken.

Bestimmung 2

Ein $n$-Eck ist ein Polygon mit $n$ Eckpunkten.

Arten von Polygonen

Bestimmung 3

Wenn ein Polygon immer auf einer Seite einer Linie liegt, die durch seine Seiten verläuft, wird das Polygon aufgerufen konvex(Abb. 1).

Abbildung 1. Konvexes Polygon

Bestimmung 4

Wenn das Polygon auf gegenüberliegenden Seiten von mindestens einer geraden Linie liegt, die durch seine Seiten verläuft, wird das Polygon als nicht konvex bezeichnet (Abb. 2).

Abbildung 2. Nicht konvexes Polygon

Die Summe der Winkel eines Polygons

Wir führen den Satz über die Winkelsumme eines -Ecks ein.

Satz 1

Die Summe der Winkel eines konvexen -Ecks ist wie folgt definiert

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Nachweisen.

Gegeben sei ein konvexes Polygon $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$. Verbinde seinen Scheitelpunkt $A_1$ mit allen anderen Scheitelpunkten des gegebenen Polygons (Abb. 3).

Figur 3

Mit einer solchen Verbindung erhalten wir $n-2$ Dreiecke. Wenn wir ihre Winkel summieren, erhalten wir die Summe der Winkel des gegebenen -Ecks. Da die Winkelsumme eines Dreiecks $(180)^0,$ ist, erhalten wir, dass die Winkelsumme eines konvexen -Ecks durch die Formel bestimmt wird

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Der Satz ist bewiesen.

Das Konzept eines Vierecks

Mit der Definition von $2$ ist es einfach, die Definition eines Vierecks einzuführen.

Bestimmung 5

Ein Viereck ist ein Polygon mit $4$ Ecken (Abb. 4).

Abbildung 4. Viereck

Für ein Viereck sind die Konzepte eines konvexen Vierecks und eines nicht konvexen Vierecks ähnlich definiert. Klassische Beispiele für konvexe Vierecke sind ein Quadrat, ein Rechteck, ein Trapez, eine Raute, ein Parallelogramm (Abb. 5).

Abbildung 5. Konvexe Vierecke

Satz 2

Die Winkelsumme eines konvexen Vierecks ist $(360)^0$

Nachweisen.

Nach Satz $1$ wissen wir, dass die Winkelsumme eines konvexen -Ecks durch die Formel bestimmt ist

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Daher ist die Summe der Winkel eines konvexen Vierecks

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Der Satz ist bewiesen.

Ein konvexes Viereck ist eine Figur, die aus vier Seiten besteht, die an den Ecken miteinander verbunden sind und mit den Seiten vier Winkel bilden, während das Viereck selbst immer in derselben Ebene relativ zu der geraden Linie liegt, auf der eine seiner Seiten liegt. Mit anderen Worten, die gesamte Figur befindet sich auf einer Seite einer ihrer Seiten.

In Kontakt mit

Wie Sie sehen können, ist die Definition recht einfach zu merken.

Grundlegende Eigenschaften und Typen

Fast alle uns bekannten Figuren, die aus vier Ecken und Seiten bestehen, können konvexen Vierecken zugeordnet werden. Folgendes kann unterschieden werden:

Parallelogramm;
Quadrat;
Rechteck;
Trapez;
Rhombus.

Alle diese Figuren sind nicht nur dadurch vereint, dass sie viereckig sind, sondern auch dadurch, dass sie auch konvex sind. Schau dir einfach das Diagramm an:

Die Abbildung zeigt ein konvexes Trapez. Hier sehen Sie, dass das Trapez auf der gleichen Ebene oder auf einer Seite des Segments liegt. Wenn Sie ähnliche Aktionen durchführen, können Sie feststellen, dass das Trapez bei allen anderen Seiten konvex ist.

Ist ein Parallelogramm ein konvexes Viereck?

Oben ist ein Bild eines Parallelogramms. Wie aus der Abbildung ersichtlich, Parallelogramm ist auch konvex. Betrachtet man die Figur in Bezug auf die Linien, auf denen die Segmente AB, BC, CD und AD liegen, wird deutlich, dass sie von diesen Linien aus immer auf der gleichen Ebene liegt. Die Hauptmerkmale eines Parallelogramms sind, dass seine Seiten paarweise parallel und gleich sind, genauso wie gegenüberliegende Winkel einander gleich sind.

Stellen Sie sich nun ein Quadrat oder ein Rechteck vor. Ihren Haupteigenschaften nach sind sie auch Parallelogramme, das heißt, alle ihre Seiten sind paarweise parallel angeordnet. Nur bei einem Rechteck können die Seitenlängen unterschiedlich sein, und die Winkel stimmen (gleich 90 Grad), ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind und die Winkel auch stimmen, während die Längen der Seiten und Winkel eines Parallelogramms können unterschiedlich sein.

Als Ergebnis die Summe aller vier Ecken des Vierecks muss gleich 360 Grad sein. Am einfachsten lässt sich dies anhand eines Rechtecks feststellen: Alle vier Ecken des Rechtecks sind rechts, also gleich 90 Grad. Die Summe dieser 90-Grad-Winkel ergibt 360 Grad, mit anderen Worten, wenn Sie 4 Mal 90 Grad addieren, erhalten Sie das gewünschte Ergebnis.

Eigenschaft der Diagonalen eines konvexen Vierecks

Die Diagonalen eines konvexen Vierecks schneiden sich. Tatsächlich kann dieses Phänomen visuell beobachtet werden, schauen Sie sich einfach die Abbildung an:

Die Abbildung links zeigt ein nicht konvexes Viereck oder Viereck. Wie du möchtest. Wie Sie sehen können, schneiden sich die Diagonalen nicht, zumindest nicht alle. Rechts ist ein konvexes Viereck. Hier wird bereits die Schnitteigenschaft von Diagonalen beachtet. Dieselbe Eigenschaft kann als Zeichen für die Konvexität des Vierecks angesehen werden.

Andere Eigenschaften und Anzeichen der Konvexität eines Vierecks

Gerade nach diesem Begriff ist es sehr schwierig, konkrete Eigenschaften und Merkmale zu benennen. Es ist einfacher, nach verschiedenen Arten von Vierecken dieses Typs zu isolieren. Sie können mit einem Parallelogramm beginnen. Wir wissen bereits, dass dies eine viereckige Figur ist, deren Seiten paarweise parallel und gleich sind. Dazu gehört aber auch die Eigenschaft der Diagonalen eines Parallelogramms, sich zu schneiden, sowie das Vorzeichen der Konvexität der Figur selbst: Das Parallelogramm liegt immer in der gleichen Ebene und auf einer Seite relativ zu jedem seiner Seiten.

So, Die wichtigsten Merkmale und Eigenschaften sind bekannt:

die Summe der Winkel eines Vierecks beträgt 360 Grad;
die Diagonalen der Figuren schneiden sich in einem Punkt.

Rechteck. Diese Figur hat dieselben Eigenschaften und Merkmale wie ein Parallelogramm, aber alle seine Winkel sind gleich 90 Grad. Daher der Name Rechteck.

Square, das gleiche Parallelogramm, aber seine Ecken sind richtig, wie ein Rechteck. Aus diesem Grund wird ein Quadrat selten als Rechteck bezeichnet. Aber das Hauptunterscheidungsmerkmal eines Quadrats, zusätzlich zu den bereits oben aufgeführten, ist, dass alle vier seiner Seiten gleich sind.

Das Trapez ist eine sehr interessante Figur.. Dies ist auch ein Viereck und auch konvex. In diesem Artikel wurde das Trapez bereits am Beispiel einer Zeichnung betrachtet. Es ist klar, dass sie auch konvex ist. Der Hauptunterschied und dementsprechend ein Zeichen eines Trapezes besteht darin, dass seine Seiten absolut ungleich lang sein können, ebenso wie seine Winkel im Wert. In diesem Fall bleibt die Figur in Bezug auf jede der geraden Linien, die zwei beliebige ihrer Eckpunkte entlang der die Figur bildenden Segmente verbinden, immer auf derselben Ebene.

Rhombus ist eine ebenso interessante Figur. Teilweise kann eine Raute als Quadrat betrachtet werden. Ein Zeichen für eine Raute ist die Tatsache, dass sich ihre Diagonalen nicht nur schneiden, sondern auch die Ecken der Raute halbieren und die Diagonalen selbst sich im rechten Winkel schneiden, dh senkrecht sind. Wenn die Seitenlängen der Raute gleich sind, werden die Diagonalen am Schnittpunkt ebenfalls halbiert.

Deltoide oder konvexe Rauten (Rauten) können unterschiedliche Seitenlängen haben. Gleichzeitig bleiben jedoch sowohl die Haupteigenschaften und Merkmale der Raute selbst als auch die Merkmale und Eigenschaften der Konvexität erhalten. Das heißt, wir können beobachten, dass die Diagonalen die Ecken halbieren und sich im rechten Winkel schneiden.

Die heutige Aufgabe bestand darin, zu überlegen und zu verstehen, was konvexe Vierecke sind, was sie sind und welche Hauptmerkmale und Eigenschaften sie haben. Aufmerksamkeit! Es sei noch einmal daran erinnert, dass die Summe der Winkel eines konvexen Vierecks 360 Grad beträgt. Der Umfang von Figuren ist beispielsweise gleich der Summe der Längen aller Segmente, die die Figur bilden. Die Formeln zur Berechnung des Umfangs und der Fläche von Vierecken werden in den folgenden Artikeln besprochen.

Arten von konvexen Vierecken