Bewegung eines schräg geworfenen Körpers. Die Bewegung eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers! Kinematik ist einfach
Es waren noch 3 Sekunden bis zum Ende des Endspiels des Basketballturniers der Olympischen Spiele 1972 in München. Die Amerikaner – das US-Team – feierten bereits den Sieg! Unser Team - die Nationalmannschaft der UdSSR - gewann ungefähr 10 Punkte gegen das große Traumteam ...
Wenige Minuten vor Spielende. Aber nachdem sie am Ende den ganzen Vorsprung verloren hatte, verlor sie bereits einen Punkt mit 49:50. Was dann passierte, war unglaublich! Ivan Edeshko wirft den Ball von hinter der Endlinie über den gesamten Bereich unter den Ring der Amerikaner, wo unser Center Alexander Belov den Ball umringt von zwei Gegenspielern entgegennimmt und in den Korb legt. 51:50 - wir sind Olympiasieger!!!
Als Kind erlebte ich damals die stärksten Emotionen - zuerst Enttäuschung und Groll, dann wahnsinnige Freude! Die emotionale Erinnerung an diese Episode ist für den Rest meines Lebens in mein Gedächtnis eingebrannt! Sehen Sie sich das Video im Internet für die Anfrage "Alexander Belovs goldener Wurf" an, Sie werden es nicht bereuen.
Die Amerikaner gaben sich dann nicht geschlagen und weigerten sich, Silbermedaillen zu erhalten. Ist es möglich, in drei Sekunden das zu tun, was unsere Spieler getan haben? Erinnern wir uns an die Physik!
In diesem Artikel werden wir die Bewegung eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers betrachten, ein Excel-Programm zur Lösung dieses Problems mit verschiedenen Kombinationen von Ausgangsdaten erstellen und versuchen, die obige Frage zu beantworten.
Dies ist ein ziemlich bekanntes Problem in der Physik. In unserem Fall ist der schräg zum Horizont geworfene Körper ein Basketball. Wir werden die Anfangsgeschwindigkeit, Zeit und Flugbahn des Balls berechnen, der von Ivan Edeshko über den gesamten Platz geworfen wird und in die Hände von Alexander Belov fällt.
Mathematik und Physik des Basketballfluges.
Die Formeln unten und die Berechnung inübertreffen sind universell für ein breites Spektrum von Problemen mit schräg zum Horizont geworfenen Körpern, die auf einer parabelförmigen Bahn fliegen, ohne den Effekt der Luftreibung zu berücksichtigen.
Das Berechnungsschema ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Starten Sie MS Excel oder OOo Calc.
Ausgangsdaten:
1. Da wir uns auf dem Planeten Erde befinden und ein ballistisches Problem betrachten - die Bewegung von Körpern im Schwerefeld der Erde -, schreiben wir zunächst die Haupteigenschaft des Schwerefeldes auf - die Beschleunigung des freien Falls g in m/s 2
zu Zelle D3: 9,81
2. Der Basketballplatz ist 28 Meter lang und 15 Meter breit. Die Flugstrecke des Balls fast über das Spielfeld bis zum Ring von der gegenüberliegenden Endlinie horizontal x in Metern schreiben
zu Zelle D4: 27,000
3. Wenn wir davon ausgehen, dass Edeshko aus etwa zwei Metern Höhe geworfen hat und Belov den Ball nur irgendwo auf Ringhöhe gefangen hat, dann ist bei einer Basketballkorbhöhe von 3,05 Metern der Abstand zwischen Start- und Zielpunkt gleich Der Ball wird vertikal 1 Meter sein. Lassen Sie uns die vertikale Verschiebung aufschreiben j in Metern
zu Zelle D5: 1,000
4. Nach meinen Messungen auf dem Video der Abflugwinkel des Balls α 0 aus den Händen von Edeshko überschritt 20 ° nicht. Geben Sie diesen Wert ein
zu Zelle D6: 20,000
Berechnungsergebnisse:
Grundgleichungen zur Beschreibung der Bewegung eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands:
x =v0* weil α 0 *t
j =v0*Sünde α 0 *t -g *t 2 /2
5. Lassen Sie uns die Zeit ausdrücken t Setzen Sie die erste Gleichung in die zweite ein und berechnen Sie die Anfangsgeschwindigkeit des Balls v 0 in m/s
in Zelle D8: =(D3*D4^2/2/COS (RADIANS(D6))^2/(D4*TAN (RADIANS(D6))-D5))^0,5 =21,418
v0 =(g *x 2 /(2*(cosα 0 ) 2 *(x *tgα 0 -y)) 0,5
6. Flugzeit des Balls von den Händen von Edeshko zu den Händen von Belov t berechnen in sekunden, wissen jetzt v 0 , aus der ersten Gleichung
in Zelle D9: =D4/D8/COS (RADIANS(D6)) =1,342
t = x /(v 0 * cosα 0 )
7. Finden Sie den Richtungswinkel der Geschwindigkeit des Balls α ich an der für uns interessanten Stelle. Dazu schreiben wir das anfängliche Gleichungspaar in der folgenden Form:
j =x *tgα 0 -g *x 2 /(2*v 0 2*(Kosα 0 ) 2)
Dies ist die Gleichung einer Parabel - der Flugbahn.
Wir müssen den Neigungswinkel der Tangente an die Parabel an dem für uns interessanten Punkt finden - das wird der Winkel sein α ich. Nehmen Sie dazu die Ableitung, die die Tangente der Steigung der Tangente ist:
du =tgα 0 -g *x /(v 0 2*(Kosα 0 ) 2)
Berechnen Sie den Einfallswinkel des Balls in den Händen von Belov α ich in Grad
in Zelle D10: =ATAN (TAN (RADIANS(D6)) -D3*D4/D8^2/COS (RADIANS(D6))^2)/PI()*180 =-16,167
α ich = arctgj ’ = arctg(tgα 0 — g * x /(v 0 2 *(cosα 0 ) 2))
Die Berechnung in Excel ist im Prinzip abgeschlossen.
Weitere Zahlungsmöglichkeiten:
Mit dem geschriebenen Programm können Sie schnell und einfach Berechnungen mit anderen Kombinationen von Ausgangsdaten durchführen.
Lassen Sie eine Horizontale gegeben x = 27 Meter , vertikal j = 1 Meter Flugreichweite und Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 25 m/s.
Es ist erforderlich, die Flugzeit zu finden t und Abflugwinkel α 0 und Ankunft α ich
Verwenden wir den Dienst MS Excel „Auswahl des Parameters“. Die Anwendung habe ich in mehreren Blogartikeln immer wieder ausführlich beschrieben. Sie können mehr über die Nutzung dieses Dienstes lesen.
Wir setzen den Wert in Zelle D8 auf 25.000, indem wir die Auswahl des Werts in Zelle D6 ändern. Das Ergebnis ist im Bild unten.
Die Anfangsdaten in dieser Version der Berechnung in Excel (wie auch in der vorherigen) sind in blauen Rahmen hervorgehoben, und die Ergebnisse sind in roten rechteckigen Rahmen eingekreist!
Den Tisch deckenübertreffen einen interessierenden Wert in einer der hellgelb gefüllten Zellen, indem Sie in einer der helltürkis gefüllten Zellen einen geänderten Wert auswählen, erhalten Sie im Allgemeinen zehn verschiedene Möglichkeiten, das Problem der Bewegung von a zu lösen Körper schräg zum Horizont geworfen mit zehn verschiedenen Sätzen Quelldaten!!!
Antwort auf die Frage:
Lassen Sie uns die am Anfang des Artikels gestellte Frage beantworten. Der Ball von Ivan Edeshko flog nach unseren Berechnungen in 1,342 Sekunden zu Belov. Alexander Belov fing den Ball, landete, sprang auf und warf ihn. Dafür hatte er ein "Meer" an Zeit - 1.658s! Das ist wirklich genug Zeit mit einem Spielraum! Eine Detailansicht des Videos Bild für Bild bestätigt das Obige. Drei Sekunden reichten unseren Spielern aus, um den Ball von der Frontlinie zum gegnerischen Backboard zu bringen und ihn in den Ring zu werfen, womit sie ihre Namen mit Gold in die Basketballgeschichte schrieben!
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Kinematik ist einfach!
Nach dem Wurf wirkt im Flug die Schwerkraft auf den Körper Ft und die Kraft des Luftwiderstands Fс.
Wenn die Bewegung des Körpers bei niedrigen Geschwindigkeiten erfolgt, wird die Luftwiderstandskraft normalerweise nicht bei der Berechnung berücksichtigt.
Wir können also davon ausgehen, dass nur die Schwerkraft auf den Körper wirkt, was bedeutet, dass die Bewegung des geworfenen Körpers ist freier Fall.
Handelt es sich um einen freien Fall, so ist die Beschleunigung des geworfenen Körpers gleich der Beschleunigung des freien Falls g.
In geringen Höhen relativ zur Erdoberfläche ändert sich die Schwerkraft Ft praktisch nicht, sodass sich der Körper mit konstanter Beschleunigung bewegt.
Die Bewegung eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers ist also eine Variante des freien Falls, d.h. Bewegung mit konstanter Beschleunigung und krummliniger Bahn(da Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor nicht richtungsgleich sind).
Formeln dieser Bewegung in Vektorform: die Flugbahn des Körpers ist eine Parabel, die in einer Ebene liegt, die durch die Vektoren Fт und Vo verläuft.
Als Koordinatenursprung wird üblicherweise der Nullpunkt des Wurfkörpers gewählt.
Zu jedem Zeitpunkt fällt die Änderung der Geschwindigkeit des Körpers in der Richtung mit der Beschleunigung zusammen.
Der Geschwindigkeitsvektor des Körpers an jedem Punkt der Flugbahn kann in 2 Komponenten zerlegt werden: den Vektor V x und den Vektor V y .
Die Geschwindigkeit des Körpers wird zu jedem Zeitpunkt als geometrische Summe dieser Vektoren bestimmt:
Gemäß der Abbildung sehen die Projektionen des Geschwindigkeitsvektors auf die Koordinatenachsen OX und OY so aus:
Berechnung der Körpergeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt:
Berechnung der Verschiebung des Körpers zu jeder Zeit:
Jeder Punkt der Körperbewegungsbahn entspricht den X- und Y-Koordinaten:
Berechnungsformeln für die Koordinaten des Wurfkörpers zu jeder Zeit:
Aus der Bewegungsgleichung lassen sich Formeln zur Berechnung der maximalen Flugreichweite L ableiten:
und maximale Flughöhe H:
P.S.
1. Bei gleichen Anfangsgeschwindigkeiten Vo ist die Flugreichweite:
- erhöht sich, wenn der anfängliche Wurfwinkel von 0 o auf 45 o erhöht wird,
- Verringert sich, wenn der anfängliche Wurfwinkel von 45 o auf 90 o erhöht wird.
2. Bei gleichen Anfangswurfwinkeln nimmt die Flugreichweite L mit einer Erhöhung der Anfangsgeschwindigkeit Vo zu. 
3. Ein Sonderfall der Bewegung eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers ist Bewegung eines horizontal geworfenen Körpers, während der anfängliche Wurfwinkel Null ist.
Was ist freier Fall? Dies ist der Fall von Körpern auf die Erde ohne Luftwiderstand. Mit anderen Worten, ins Leere fallen. Natürlich ist das Fehlen von Luftwiderstand ein Vakuum, das unter normalen Bedingungen auf der Erde nicht zu finden ist. Daher werden wir die Kraft des Luftwiderstands nicht berücksichtigen, da sie so gering ist, dass sie vernachlässigt werden kann.
Erdbeschleunigung
Galileo Galilei fand bei seinen berühmten Experimenten am Schiefen Turm von Pisa heraus, dass alle Körper, unabhängig von ihrer Masse, auf die gleiche Weise auf die Erde fallen. Das heißt, die Beschleunigung des freien Falls ist für alle Körper gleich. Der Legende nach warf der Wissenschaftler dann Kugeln unterschiedlicher Masse vom Turm.
Erdbeschleunigung
Beschleunigung des freien Falls - die Beschleunigung, mit der alle Körper auf die Erde fallen.
Die Beschleunigung im freien Fall beträgt ungefähr 9,81 m s 2 und wird mit dem Buchstaben g bezeichnet. Manchmal, wenn Genauigkeit nicht von grundlegender Bedeutung ist, wird die Erdbeschleunigung auf 10 m s 2 aufgerundet.
Die Erde ist keine perfekte Kugel, und an verschiedenen Punkten der Erdoberfläche variiert der Wert von g je nach Koordinaten und Höhe über dem Meeresspiegel. Die größte Freifallbeschleunigung ist also an den Polen (≈ 9, 83 m s 2) und die kleinste am Äquator (≈ 9, 78 m s 2) .
Körper im freien Fall
Betrachten Sie ein einfaches Beispiel für den freien Fall. Lassen Sie einen Körper aus einer Höhe h mit einer Anfangsgeschwindigkeit von Null fallen. Angenommen, wir heben das Klavier auf eine Höhe h und lassen es ruhig los.
Freier Fall - geradlinige Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Lassen Sie uns die Koordinatenachse vom Punkt der Ausgangsposition des Körpers zur Erde richten. Wenn Sie die Formeln der Kinematik für eine geradlinige, gleichmäßig beschleunigte Bewegung anwenden, können Sie schreiben.
h = v 0 + g t 2 2 .
Da die Anfangsgeschwindigkeit Null ist, schreiben wir um:
Daraus ergibt sich der Ausdruck für die Fallzeit des Körpers aus einer Höhe h:
Unter Berücksichtigung von v \u003d g t finden wir die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt des Sturzes, dh die maximale Geschwindigkeit:
v = 2 h g · g = 2 h g .
Ebenso können wir die Bewegung eines senkrecht nach oben geschleuderten Körpers mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit betrachten. Zum Beispiel werfen wir einen Ball hoch.
Die Koordinatenachse sei vom Wurfpunkt des Körpers senkrecht nach oben gerichtet. Diesmal bewegt sich der Körper gleichmäßig langsam und verliert an Geschwindigkeit. Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit des Körpers Null. Mit kinematischen Formeln können wir schreiben:
Durch Einsetzen von v = 0 finden wir die Zeit, in der der Körper die maximale Höhe erreicht:
Die Abfallzeit fällt mit der Anstiegszeit zusammen, und der Körper kehrt nach t = 2 v 0 g zur Erde zurück.
Maximale Höhe eines senkrecht geworfenen Körpers:
Werfen wir einen Blick auf die folgende Abbildung. Es zeigt Graphen der Körpergeschwindigkeiten für drei Bewegungsfälle mit der Beschleunigung a = - g. Betrachten wir jeden von ihnen, nachdem wir angegeben haben, dass in diesem Beispiel alle Zahlen gerundet sind und die Beschleunigung des freien Falls gleich 10 m s 2 angenommen wird.
Der erste Graph ist der Fall eines Körpers aus einer bestimmten Höhe ohne Anfangsgeschwindigkeit. Abfallzeit t p = 1 s. Aus den Formeln und der Grafik ist leicht ersichtlich, dass die Fallhöhe des Körpers gleich h = 5 m ist.
Der zweite Graph ist die Bewegung eines senkrecht nach oben geschleuderten Körpers mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 10 m s. Maximale Hubhöhe h = 5 m. Anstiegszeit und Abfallzeit t p = 1 s.
Die dritte Grafik ist eine Fortsetzung der ersten. Der fallende Körper prallt von der Oberfläche ab und seine Geschwindigkeit ändert schlagartig das Vorzeichen in das entgegengesetzte. Die weitere Bewegung des Körpers kann gemäß dem zweiten Diagramm betrachtet werden.
Das Problem des freien Falls eines Körpers hängt eng mit dem Problem der Bewegung eines Körpers zusammen, der in einem bestimmten Winkel zum Horizont geworfen wird. Somit kann die Bewegung entlang einer parabelförmigen Trajektorie als Summe zweier unabhängiger Bewegungen um die vertikale und die horizontale Achse dargestellt werden.
Entlang der Achse O Y bewegt sich der Körper gleichmäßig beschleunigt mit der Beschleunigung g, die Anfangsgeschwindigkeit dieser Bewegung ist v 0 y. Die Bewegung entlang der O X -Achse ist gleichmäßig und geradlinig mit einer Anfangsgeschwindigkeit v 0 x .
Bedingungen für die Bewegung entlang der O X-Achse:
x 0 = 0; v 0 x = v 0 cos α ; ein x = 0 .
Bedingungen für die Bewegung entlang der O Y-Achse:
y 0 = 0; v 0 y = v 0 sin α ; ein y = - g .
Wir stellen Formeln für die Bewegung eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers vor.
Flugzeit des Körpers:
t = 2 v 0 sin α g .
Flugreichweite des Körpers:
L \u003d v 0 2 Sünde 2 α g.
Die maximale Flugreichweite wird bei einem Winkel α = 45° erreicht.
L m ein x = v 0 2 g .
Maximale Hubhöhe:
h \u003d v 0 2 Sünde 2 α 2 g.
Beachten Sie, dass unter realen Bedingungen die Bewegung eines Körpers, der in einem Winkel zum Horizont geworfen wird, aufgrund von Luft- und Windwiderstand einer anderen als der parabolischen Flugbahn folgen kann. Das Studium der Bewegung von Körpern, die in den Weltraum geworfen werden, ist eine spezielle Wissenschaft - die Ballistik.
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Wird ein Körper schräg zum Horizont geschleudert, so wird er im Flug von der Schwerkraft und dem Luftwiderstand beeinflusst. Wird die Widerstandskraft vernachlässigt, bleibt nur noch die Schwerkraft übrig. Daher bewegt sich der Körper aufgrund des 2. Newtonschen Gesetzes mit einer Beschleunigung, die der Beschleunigung des freien Falls entspricht; Beschleunigungsprojektionen auf die Koordinatenachsen ax = 0, ay = - g.
Abbildung 1. Kinematische Eigenschaften eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers
Jede komplexe Bewegung eines materiellen Punktes kann als Auferlegung unabhängiger Bewegungen entlang der Koordinatenachsen dargestellt werden, und in Richtung verschiedener Achsen kann die Art der Bewegung unterschiedlich sein. In unserem Fall kann die Bewegung eines Flugkörpers als Überlagerung zweier unabhängiger Bewegungen dargestellt werden: gleichförmige Bewegung entlang der horizontalen Achse (X-Achse) und gleichmäßig beschleunigte Bewegung entlang der vertikalen Achse (Y-Achse) (Abb. 1). .
Die Geschwindigkeitsprojektionen des Körpers ändern sich daher mit der Zeit wie folgt:
wobei $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit ist, $(\mathbf \alpha )$ der Wurfwinkel.
Bei unserer Wahl des Ursprungs sind die Anfangskoordinaten (Abb. 1) $x_0=y_0=0$. Dann bekommen wir:
(1)
Analysieren wir die Formeln (1). Bestimmen wir die Bewegungszeit des geworfenen Körpers. Dazu setzen wir die y-Koordinate gleich Null, weil im moment der landung ist die körperhöhe gleich null. Daraus ergibt sich für die Flugzeit:
Der zweite Wert der Zeit, zu der die Höhe gleich Null ist, ist gleich Null, was dem Moment des Wurfs entspricht, d.h. dieser Wert hat auch eine physikalische Bedeutung.
Die Flugreichweite ergibt sich aus der ersten Formel (1). Die Flugreichweite ist der Wert der x-Koordinate am Ende des Fluges, d. h. die Flugreichweite. zum Zeitpunkt gleich $t_0$. Setzen wir den Wert (2) in die erste Formel (1) ein, erhalten wir:
Aus dieser Formel ist ersichtlich, dass die größte Flugreichweite bei einem Wurfwinkel von 45 Grad erreicht wird.
Die größte Hubhöhe des Wurfkörpers ergibt sich aus der zweiten Formel (1). Dazu müssen Sie in dieser Formel den Zeitwert gleich der halben Flugzeit (2) einsetzen, weil Am Mittelpunkt der Flugbahn ist die Flughöhe maximal. Berechnungen durchführen, bekommen wir
Aus den Gleichungen (1) erhält man die Gleichung der Körperbahn, d.h. eine Gleichung, die die x- und y-Koordinaten eines Körpers während der Bewegung in Beziehung setzt. Dazu müssen Sie die Zeit aus der ersten Gleichung (1) ausdrücken:
und in die zweite Gleichung einsetzen. Dann bekommen wir:
Diese Gleichung ist die Trajektoriengleichung. Es ist ersichtlich, dass dies die Gleichung einer Parabel mit Ästen nach unten ist, was durch das „-“-Zeichen vor dem quadratischen Term angezeigt wird. Zu beachten ist, dass der Wurfwinkel $\alpha $ und seine Funktionen hier nur Konstanten sind, d.h. konstante Zahlen.
Ein Körper wird mit der Geschwindigkeit v0 im Winkel $(\mathbf \alpha )$ zum Horizont geschleudert. Flugzeit $t = 2 s$. Auf welche Höhe Hmax steigt der Körper?
$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$
Das Gesetz der Körperbewegung lautet:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $
Der Anfangsgeschwindigkeitsvektor bildet mit der OX-Achse einen Winkel $(\mathbf \alpha )$. Folglich,
\ \ \
Ein Stein wird von einem Berggipfel in einem Winkel = 30$()^\circ$ mit einer Anfangsgeschwindigkeit von $v_0 = 6 m/s$ zum Horizont geworfen. Winkel der schiefen Ebene = 30$()^\circ$. In welcher Entfernung vom Wurfpunkt fällt der Stein?
$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$
Lassen Sie uns den Koordinatenursprung am Wurfpunkt OX - entlang der schiefen Ebene nach unten, OY - senkrecht zur schiefen Ebene nach oben platzieren. Kinematische Eigenschaften der Bewegung:
Bewegungsgesetz:
$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \
Wenn wir den resultierenden Wert von $t_B$ ersetzen, finden wir $S$:
Ein Körper werde mit einer Geschwindigkeit in einem Winkel α zum Horizont geschleudert. Wie in den vorherigen Fällen werden wir den Luftwiderstand vernachlässigen. Um die Bewegung zu beschreiben, müssen zwei Koordinatenachsen ausgewählt werden - Ox und Oy (Abb. 29).
Abb.29
Der Ursprung ist mit der Ausgangsposition des Körpers kompatibel. Projektionen der Anfangsgeschwindigkeit auf die Achsen Oy und Ox: , . Beschleunigungsprojektionen: ,
Dann wird die Bewegung des Körpers durch die Gleichungen beschrieben:
(8)
(9)
Aus diesen Formeln folgt, dass sich der Körper in horizontaler Richtung gleichmäßig bewegt und in vertikaler Richtung gleichmäßig beschleunigt.
Die Flugbahn des Körpers ist eine Parabel. In Anbetracht dessen, dass Sie am oberen Rand der Parabel die Zeit finden können, die der Körper benötigt, um den oberen Rand der Parabel zu erreichen:
Setzen wir den Wert von t 1 in Gleichung (8) ein, finden wir die maximale Höhe des Körpers:
Maximale Hubhöhe.
Wir finden die Flugzeit des Körpers aus der Bedingung, dass bei t \u003d t 2 die Koordinate y 2 \u003d 0 ist. Folglich, 
. Daher - die Flugzeit des Körpers. Wenn wir diese Formel mit Formel (10) vergleichen, sehen wir, dass t 2 = 2t 1 .
Die Zeit der Bewegung des Körpers von der maximalen Höhe t 3 = t 2 – t 1 = 2 t 1 – t 1 = t 1 . Also, wie lange steigt der Körper auf die maximale Höhe, wie lange fällt er von dieser Höhe ab. Setzen wir den Wert der Zeit t 2 in die Gleichung der x-Koordinate (6) ein, finden wir:
- Reichweite des Körpers.
Die momentane Geschwindigkeit an jedem Punkt der Flugbahn ist tangential zur Flugbahn gerichtet (siehe Abb. 29), der Geschwindigkeitsmodul wird durch die Formel bestimmt
Somit kann die Bewegung eines schräg zum Horizont oder in horizontaler Richtung geworfenen Körpers als Ergebnis zweier unabhängiger Bewegungen betrachtet werden - horizontal gleichförmig und vertikal gleichförmig beschleunigt (freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit oder Bewegung eines senkrecht nach oben geworfenen Körpers). ).
Überlegen Sie, was das Ziel kinematischer Probleme sein kann.
1. Wir könnten an der Änderung der kinematischen Größen in interessiert sein der Bewegungsablauf, d.h. Informationen über die Koordinatenänderung, Geschwindigkeit, Beschleunigung sowie die entsprechenden Winkelwerte erhalten.
2. Bei einer Reihe von Problemen, beispielsweise beim Problem der Bewegung eines Körpers in einem Winkel zum Horizont, müssen die Werte physikalischer Größen in kennengelernt werden bestimmte Staaten: Flugreichweite, maximaler Steigflug usw.
3. In Fällen, in denen der Körper gleichzeitig an mehreren Bewegungen teilnimmt (z. B. das Rollen einer Kugel) oder die Relativbewegung mehrerer Körper betrachtet wird, ist es erforderlich, Beziehungen zwischen Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen (linear und winklig) herzustellen. d.h. Gleichungen finden kinematische Verbindung.
Trotz der großen Vielfalt von Problemen in der Kinematik kann der folgende Algorithmus zu ihrer Lösung vorgeschlagen werden:
1. Erstellen Sie eine schematische Zeichnung, die die Ausgangsposition der Körper und ihren Ausgangszustand zeigt, d. h. und .
2. Wählen Sie einen Bezugsrahmen basierend auf der Analyse der Bedingungen des Problems. Dazu müssen Sie einen Referenzkörper auswählen und ihm ein Koordinatensystem zuordnen, das den Ursprung der Koordinaten, die Richtung der Koordinatenachsen und den Zeitpunkt des Beginns des Zeitbezugs angibt. Bei der Wahl positiver Richtungen orientieren sie sich an der Bewegungsrichtung (Geschwindigkeit) oder der Beschleunigungsrichtung.
3. Erstellen Sie basierend auf den Bewegungsgesetzen ein Gleichungssystem in Vektorform für alle Körper und dann in Skalarform, indem Sie diese Vektorbewegungsgleichungen auf die Koordinatenachsen projizieren. Beim Schreiben dieser Gleichungen sollte man auf die Vorzeichen "+" und "-" der Projektionen der darin enthaltenen Vektorgrößen achten.
4. Die Antwort muss in Form einer analytischen Formel (allgemein) erhalten werden und am Ende numerische Berechnungen durchgeführt werden.
Beispiel 4 Wie lange sieht ein Fahrgast, der am Fenster eines mit 54 km/h fahrenden Zuges sitzt, einen entgegenkommenden Zug mit einer Geschwindigkeit von 36 km/h und einer Länge von 250 m an sich vorbeifahren?
Lösung. Verbinden wir den festen Bezugsrahmen mit der Erde, den beweglichen Rahmen - mit dem Zug, in dem sich der Passagier befindet. Wo ist nach dem Geschwindigkeitsadditionsgesetz die Geschwindigkeit des entgegenkommenden Zuges relativ zum ersten? In Projektionen auf die Ox-Achse:
Da der Weg, den der entgegenkommende Zug relativ zum ersten zurücklegt, gleich der Länge des Zuges ist, ist die Zeit
Beispiel 5 Der Dampfer fährt 5,0 Tage von Nischni Nowgorod nach Astrachan und zurück - 7,0 Tage. Wie lange wird das Floß von Nischni Nowgorod nach Astrachan fahren? Park- und Verkehrsbehinderungen ausgeschlossen.
Gegeben: t 1 \u003d 5 Tage, t 2 \u003d 7 Tage.
Lösung. Wir assoziieren das feste Bezugssystem mit dem Ufer und das bewegliche Bezugssystem mit dem Wasser. Wir nehmen an, dass die Geschwindigkeit des Wassers auf der ganzen Strecke gleich ist und die Geschwindigkeit des Dampfers relativ zum Wasser konstant und gleich dem Modul der momentanen Geschwindigkeit des Dampfers relativ zum Wasser ist.
Da sich das Floß relativ zum Ufer mit der Geschwindigkeit der Flussströmung bewegt, ist die Zeit seiner Bewegung , wobei s die Entfernung zwischen den Städten ist. Wenn sich der Dampfer stromabwärts bewegt, ist seine Geschwindigkeit gemäß dem Geschwindigkeitsadditionsgesetz oder in Projektionen auf der Ochsenachse:
wo ist die Geschwindigkeit des Schiffes relativ zum Ufer, ist die Geschwindigkeit des Schiffes relativ zum Fluss.
Wenn Sie die Bewegungszeit kennen, können Sie die Geschwindigkeit finden:
Aus den Formeln (1) und (2) haben wir:
Wenn sich der Dampfer gegen die Strömung bewegt, oder in Projektionen auf der Ochsenachse, wo ist die Geschwindigkeit des Dampfers relativ zum Ufer?
Andererseits, . Dann
Lösen wir das Gleichungssystem (3) und (4) nach , so erhalten wir:
Lassen Sie uns die Zeit der Floßbewegung finden:
Beispiel 6 Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung durchläuft der Körper in den ersten beiden gleichen aufeinanderfolgenden Zeitintervallen von 4,0 s jeweils den Weg s 1 \u003d 24 m bzw. s 2 \u003d 64 m. Bestimmen Sie die Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung des Körpers.
Gegeben: t 1 \u003d t 2 \u003d 4,0 s, s 1 \u003d 24 m, s 2 \u003d 64 m.
Lösung. Lassen Sie uns die Pfadgleichungen für s 1 bzw. (s 1 + s 2) schreiben. Da die Anfangsgeschwindigkeit in diesem Fall dann gleich ist
Da t1=t2 also
Wenn wir (1) ausdrücken und in (2) einsetzen, erhalten wir:
Dann die Anfangsgeschwindigkeit 
Beispiel 7 Das Auto, das sich auf einer geradlinigen Bahn mit gleichmäßiger Beschleunigung mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 5,0 m / s bewegt, legte in der ersten Sekunde eine Strecke von 6,0 m zurück. Finden Sie die Beschleunigung des Autos, die Momentangeschwindigkeit am Ende der zweiten Sekunde und die Verschiebung in 2,0 s.
Lösung. Kennt man den Weg, den der Körper in der ersten Sekunde zurücklegt, findet man die Beschleunigung:
Die Geschwindigkeit am Ende der zweiten Sekunde wird durch die Formel gefunden
Beispiel 8 X) hat die Form x \u003d A + Bt + Ct 3, wobei A \u003d 4 m, B \u003d 2 m / s, C \u003d -0,5 m / s 3.
Für den Zeitpunkt t 1 =2 c bestimme: 1) die Koordinate des Punktes x 1 des Punktes; 2) Momentangeschwindigkeit v1; 3) sofortige Beschleunigung eine 1.
Gegeben: x \u003d A + Bt + Ct 3, A \u003d 4 m, B \u003d 2 m / s, C \u003d -0,5 m / s 3, t 1 \u003d 2 s.
Finde: x 1; v1; eine 1 .
Lösung. 1. Ersetzen Sie in der Bewegungsgleichung anstelle von t den gegebenen Wert der Zeit t 1: x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 3. Wir setzen die Werte A, B, C, t 1 in diesen Ausdruck ein und führen die Berechnungen durch: x 1 \u003d 4 m.
2. Sofortige Geschwindigkeit: 
Dann ist zum Zeitpunkt t 1 die Momentangeschwindigkeit v 1 = B + 3Ct 1 2 . Lassen Sie uns hier die Werte B, C, t 1 ersetzen: v 1 = - 4 m / s. Das Minuszeichen gibt an, dass sich der Punkt zum Zeitpunkt t 1 = 2 c in negativer Richtung der Koordinatenachse bewegt.
3. Sofortige Beschleunigung: 
Momentane Beschleunigung zum Zeitpunkt t 1 ist a 1 = 6Сt 1 . Ersetzen Sie die Werte C, t 1: a 1 \u003d -6 m / s 2. Das Minuszeichen zeigt an, dass die Richtung des Beschleunigungsvektors mit der negativen Richtung der Koordinatenachse zusammenfällt, und dies ist unter den Bedingungen dieses Problems für jeden Zeitpunkt der Fall.
Beispiel 9 Kinematische Bewegungsgleichung eines materiellen Punktes entlang einer Geraden (Achse X) hat die Form x \u003d A + Bt + Ct 2, wobei A \u003d 5 m, B \u003d 4 m / s, C \u003d -1 m / s 2. Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit v xsr für das Zeitintervall von t 1 \u003d 1 c bis t 2 \u003d 6 c.
Gegeben: x \u003d A + Bt + Ct 2, A \u003d 5 m, B \u003d 4 m / s, C \u003d - 1 m / s 2, t 1 \u003d 1 c, t 2 \u003d 6 c.
Suchen: v xsr -? und xsr-?
Lösung. Die Durchschnittsgeschwindigkeit für das Zeitintervall t 2 – t 1 wird durch den Ausdruck v cf = (x 2 – x 1)/(t 2 – t 1) bestimmt.
x 1 \u003d A + Bt 1 + Ct 1 2 \u003d 8 m, x 2 \u003d A + Bt 2 + Ct 2 2 \u003d -7 m.
Ersetzen Sie die Werte x 1 , x 2 , t 1 , t 2 und führen Sie die Berechnungen durch: v xsr = -3 m/s.
Beispiel 10 Eine Last wurde von einem Hubschrauber aus einer Höhe h = 300 m abgeworfen. Nach welcher Zeit erreicht die Ladung den Boden, wenn: a) der Hubschrauber stillsteht; b) der Hubschrauber sinkt mit einer Geschwindigkeit v 0 = 5 m/s; 3) Der Helikopter steigt mit einer Geschwindigkeit v 0 =5 m/s. Beschreiben Sie grafisch die entsprechenden Bewegungen der Last in den Achsen s(t), v(t) und a(t).
Lösung. a) Die Ladung, die den stehenden Hubschrauber verlassen hat, fällt frei, d.h. sich gleichförmig mit der Beschleunigung des freien Falls g bewegen. Wir finden die Zeit der Bewegung aus dem Verhältnis 
Graphen der Bewegung des Objekts sind in der Figur mit 1 gekennzeichnet.
b) Die Bewegung der Last, die den Hubschrauber verlassen hat und mit einer konstanten Geschwindigkeit v 0 \u003d 5 m / s absinkt, ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit einer konstanten Beschleunigung g und wird durch die Gleichung beschrieben
Die Substitution numerischer Werte ergibt die Gleichung 9,8t 2 +10t-600=0.
Ein negatives Ergebnis hat keine physikalische Bedeutung, daher beträgt die Bewegungszeit t=7,57 s.
Graphen der Bewegung des Objekts sind in der Figur mit 2 gekennzeichnet.
3) Die Bewegung der den Helikopter verlassenden Fracht, die mit konstanter Geschwindigkeit v 0 =5 m/s aufsteigt, besteht aus zwei Stufen. In der ersten Stufe bewegt sich die Last gleichmäßig mit konstanter Beschleunigung g, die der Geschwindigkeit entgegengerichtet ist, und wird durch die Gleichungen beschrieben
Am oberen Ende der Trajektorie wird die Geschwindigkeit null, also
Setzen wir die zweite Gleichung des Systems in die erste ein, erhalten wir
In der zweiten Stufe - freier Fall aus einer Höhe h 0 \u003d h + h 1 \u003d 300 + 1,28 \u003d 301,28 m.
Weil die
Die Graphen der Bewegung des Objekts sind in der Figur mit 3 gekennzeichnet.
Beispiel 11. Aus einem Ballon, der mit einer konstanten Geschwindigkeit von 2 m/s absteigt, wird eine Last mit einer Geschwindigkeit von 18 m/s relativ zum Boden senkrecht nach oben geschleudert. Bestimmen Sie den Abstand zwischen der Kugel und der Last in dem Moment, in dem die Last den höchsten Punkt ihres Anstiegs erreicht. Nach welcher Zeit fliegt das Gewicht am Ball vorbei und fällt herunter.
Gegeben: v 01 = 2 m/s, v 02 = 18 m/s
Finden: s-? τ-?
Lösung. Lassen Sie uns die 0Y-Achse vertikal nach oben richten, der Ursprung ist mit dem Punkt 0 kompatibel, wo sich der Ball im Moment des Lastwurfs befand.
Dann die Bewegungsgleichungen der Fracht und des Ballons:
Die Bewegungsgeschwindigkeit der Last ändert sich gemäß dem Gesetz v 2 = v 02 - gt.
Am höchsten Punkt beim Heben der Last v 2 =0. Dann der Zeitpunkt des Hebens bis zu diesem Punkt Die Koordinate der Last an Punkt B
Während dieser Zeit ist der Ballon zum Punkt A abgesunken; seine Koordinate
Abstand zwischen den Punkten A und B:
Nach einem Zeitintervall τ, wenn der Stein an der Kugel vorbeifliegt, sind die Koordinaten der Körper gleich: y 1C = y 2C;
Beispiel 12. Mit welcher Geschwindigkeit und auf welchem Kurs soll ein Flugzeug fliegen, um in zwei Stunden 300 km nach Norden zu fliegen, wenn während des Fluges ein Nordwestwind in einem Winkel von 30° zum Meridian mit einer Geschwindigkeit von 27 km/h weht?
Gegeben: t=7,2∙10 3 s; l=3∙10 5 m; α=30° ≈ 0,52 rad; v2 ≈7,2 m/s.
Finden: v 2 -? φ-?
Lösung. Betrachten wir die Bewegung eines Flugzeugs in einem Bezugssystem, das mit der Erde verbunden ist.
Zeichnen wir die OX-Achse in Richtung Osten und die OY-Achse in Richtung Norden. Dann die Geschwindigkeit des Flugzeugs im gewählten Bezugssystem
wo v= l/t(2)
Gleichung (1) in der Projektion auf die Achse
OK: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;
OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα, oder v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)
Dividiert man diese Gleichungen Term für Term, erhält man tgφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v),
oder unter Berücksichtigung (2)
tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l/t);
φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l/t) ≈0,078 rad.
Durch Quadrieren des rechten und linken Teils der Gleichungen (3) und Addieren der resultierenden Gleichungen finden wir
v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,
woher , oder unter Berücksichtigung (2)
Beispiel 13 Ein senkrecht nach oben geschleuderter Körper kehrt nach t=3 s zu Boden zurück. Finden Sie die Höhe des Körpers und seine Anfangsgeschwindigkeit.
Lösung. Die Aufwärtsbewegung des Körpers ist ebenso langsam wie die Beschleunigung - g und passiert im laufe der zeit t 1 , und die Abwärtsbewegung wird gleichmäßig mit der Beschleunigung g beschleunigt und erfolgt während der Zeit t 2. Die Bewegungsgleichungen in den Abschnitten AB und BA bilden ein System:
Da v B = 0 ist, gilt v 0 =gt 1 . Durch Einsetzen von v 0 in die erste Gleichung des Systems erhalten wir . Wenn wir diesen Ausdruck mit der dritten Gleichung des Systems vergleichen, können wir schließen, dass die Aufstiegszeit gleich der Abstiegszeit t 1 = t 2 = t/2 = 1,5 s ist. Anfangsgeschwindigkeit und Landegeschwindigkeit sind gleich und betragen v 0 = v A = gt 1 = 9,8⋅1,5 = 14,7 m/s.
Körpergröße
Beispiel 14 Ein frei fallender Körper hat in der letzten Sekunde der Bewegung die Hälfte des Weges passiert. Finden Sie die Höhe, aus der es geworfen wurde, und die Zeit, die es brauchte, um sich zu bewegen.
Lösung. Die Abhängigkeit der zurückgelegten Strecke von der Zeit für einen frei fallenden Körper. Da der Abschnitt BC, der die Hälfte des gesamten Weges ausmacht, in einer Zeit gleich 1 s passiert wurde, wurde die erste Hälfte des Weges AB in der Zeit (t-1) s passiert. Dann kann die Bewegung auf dem BC-Segment als beschrieben werden.
Lösung des Systems
wir erhalten t 2 -4t+2=0. Die Wurzeln dieser Gleichung sind t 1 \u003d 3,41 s und t 2 \u003d 0,59 s. Die zweite Wurzel ist nicht geeignet, weil die Bewegungszeit sollte je nach Zustand des Problems eine Sekunde überschreiten. Daher fiel der Körper während 3,41 s und bedeckte während dieser Zeit den Weg 
Beispiel 15 Ein Stein wird horizontal von einem 25 m hohen Turm mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s geworfen.
Finden Sie heraus: 1) wie lange der Stein in Bewegung sein wird, 2) in welcher Entfernung er auf den Boden fallen wird, 3) mit welcher Geschwindigkeit er auf den Boden fallen wird, 4) welchen Winkel die Flugbahn des Steins bilden wird Horizont an der Stelle, an der er auf den Boden fällt. Der Luftwiderstand wird ignoriert.
Gegeben: H=25 m, v 0 =15 m/s
Finden: t-? s x - ? v-? φ-?
Lösung. Die Bewegung eines horizontal geworfenen Steins kann in zwei Teile zerlegt werden: horizontal s x und vertikal s y:
wobei t die Bewegungszeit ist.
2) s x \u003d v o t \u003d 33,9 m;
3) v y \u003d gt \u003d 22,1 m / s;
4) sinφ = v y /v = 0,827;
Beispiel 16 Ein Körper wird horizontal von einem 25 m hohen Turm mit einer Geschwindigkeit v x = 10 m/s geschleudert.
Finden Sie: 1) die Zeit t des Falls des Körpers, 2) in welcher Entfernung l von der Basis des Turms fällt, 3) die Geschwindigkeit v am Ende des Falls, 4) der Winkel, den die Flugbahn des Körpers mit dem Boden am Punkt seiner Landung bildet.
Lösung. Körperbewegungen sind komplex. Es nimmt an einer gleichmäßigen Bewegung entlang der Horizontalen teil und wird gleichmäßig mit der Beschleunigung g entlang der Vertikalen beschleunigt. Daher wird der Abschnitt AB durch die Gleichungen beschrieben:
Für Punkt A nehmen diese Gleichungen die Form an:
Dann l\u003d 10 2,26 \u003d 22,6 m und v y \u003d 9,8 2,26 \u003d 22,15 m / s.
Weil dann
Der Winkel, den die Flugbahn mit der Erde bildet, ist gleich dem Winkel φ im Geschwindigkeitsdreieck im Punkt A, dessen Tangente 
, also φ=68,7°.
Beispiel 17. Finden Sie für einen Körper, der mit einer horizontalen Geschwindigkeit v x \u003d 10 m / s geworfen wird, nach einer Zeit t \u003d 2 s nach dem Beginn der Bewegung: normale, tangentiale und volle Beschleunigung sowie den Krümmungsradius der Flugbahn bei dieser Punkt.
Lösung. Vertikale Geschwindigkeitskomponente v y =gt=9,8∙2=19,6 m/s
Geschwindigkeit am Punkt A:
Vektoren bilden ein Geschwindigkeitsdreieck und Vektoren ein Beschleunigungsdreieck. Wie aus der Abbildung ersichtlich, sind diese Dreiecke ähnlich, was bedeutet, dass ihre Seiten proportional sind: .
Normalbeschleunigung, also der Krümmungsradius der Trajektorie
Beispiel 18. Ein Ball wird mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s in einem Winkel von 40° zur Horizontalen geworfen.
Finden Sie heraus: 1) bis zu welcher Höhe der Ball steigen wird; 2) in welcher Entfernung von der Wurfstelle wird der Ball auf den Boden fallen, 3) wie lange wird er in Bewegung sein.
Gegeben: v o \u003d 10 m / s, α \u003d 40 ungefähr.
Suchen: s y - ? s x - ? t-?
Lösung. 1) Gesucht ist die maximale Höhe s y max , auf die ein mit einer Geschwindigkeit v o um einen Winkel α zum Horizont geworfener Körper aufsteigt. Wir haben (siehe Abb.):
v y \u003d v o sinα - gt; (eines)
s y \u003d v o t∙sinα - gt 2 / 2. (2)
Oben v y = 0 und aus (1) erhalten wir v o ∙sin𝛼 = gt 1 , also die Zeit des Anhebens des Balls t 1 = v o ∙sinα/g. Durch Einsetzen von t 1 in (2) erhalten wir
s y max \u003d v o 2 ∙sin 2 α / (2g) \u003d 2,1 m.
2) Finden Sie die Flugreichweite s x max eines schräg zum Horizont geworfenen Körpers.
Wir haben: v x \u003d v Ö cosα , (3)
s x =v x t=v o t∙cosα. (vier)
Der Körper wird zur Zeit t 2 =2t 1 =2v o sinα/g auf eine horizontale Ebene fallen.
Durch Einsetzen von t 2 in (4) erhalten wir s xmax = v o 2 sin2α/ g= 10,0 m
3) t 2 \u003d 2t 1 \u003d 2v o sinα / g \u003d 1,3 s.
Beispiel 19. Der Körper wird mit einer Geschwindigkeit v 0 = 10 m/s 2 in einem Winkel α = 30° zum Horizont geschleudert. Auf welche Höhe steigt der Körper? In welcher Entfernung von der Stelle, an der es geworfen wurde, wird es auf dem Boden aufschlagen? Wie lange wird er unterwegs sein?
Lösung. Horizontale und vertikale Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit
Die Bewegung im OA-Bereich kann in zwei einfache Bewegungen zerlegt werden: gleichmäßig horizontal und gleichmäßig verlangsamt vertikal:
Am Punkt A
Dann 
und
Wenn der Körper gleichzeitig an mehreren Bewegungen teilnimmt, nimmt er unabhängig voneinander an jeder von ihnen teil, daher wird die Bewegungszeit im Abschnitt AB durch die Bewegungszeit nach unten bestimmt - t 2. Die Zeit zum Aufwärtsbewegen ist gleich der Zeit zum Abwärtsbewegen, was bedeutet, dass
Bei gleichförmiger horizontaler Bewegung legt der Körper in gleichen Zeitintervallen gleiche Wegabschnitte zurück, daher
Reichweite des Fluges
Körpergröße
Beispiel 20. Der Punkt bewegt sich geradlinig auf der Ebene gemäß dem Gesetz x=4(t-2) 2 . Wie groß sind die Anfangsgeschwindigkeit v 0 und die Beschleunigung des Punktes a? Finden Sie die momentane Geschwindigkeit des Punktes v t = 5 zu Beginn der fünften Sekunde der Bewegung.
Lösung.
1) Weil v=x’, dann v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16t+16)’=8t-16
bei t=0 v 0 =-16 m/s.
2) Weil a= , dann a=(8t-16)’=8 m/s.
3) Bei t=4, weil Vor dem Beginn von 5 s sind 4 s vergangen.
v t \u003d 5 \u003d 8t-16 \u003d 8 ∙ 4-16 \u003d 32 m / s.
Antworten: Anfangspunktgeschwindigkeit v 0 = -16 m/s, Beschleunigung a = 8 m/s, Punktgeschwindigkeit zu Beginn der fünften Bewegungssekunde v t = 5 = 32 m/s.
Beispiel 21. Die Bewegung eines materiellen Punktes wird durch die Gleichungen beschrieben: a) s=αt 3 ; b) s=αt 2 +βt. Vergleichen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit und das arithmetische Mittel der Anfangs- und Endgeschwindigkeit v cf im Zeitintervall 0 - t. Hier sind α und β positive Konstanten.
Lösung. Erinnern Sie sich an die Definitionen von Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit:
Ausdrücke für die Momentangeschwindigkeit erhält man durch Differenzieren der Bewegungsgleichung.
Die Ausdrücke für die Durchschnittsgeschwindigkeit finden sich als Verhältnis der Änderung der krummlinigen Koordinate zur Zeit:
Wir erhalten Ausdrücke für die arithmetische mittlere Geschwindigkeit:
Lassen Sie uns die Frage nach den Bedingungen des Problems beantworten. Es ist ersichtlich, dass im Fall „a“ die durchschnittliche und arithmetische Mittelgeschwindigkeit nicht zusammenfallen, im Fall „b“ jedoch schon.
Beispiel 22. Ein Materialpunkt bewegt sich gleichmäßig entlang einer krummlinigen Trajektorie. An welcher Stelle der Bahn ist die Beschleunigung maximal?
Lösung. Bei der Bewegung entlang einer gekrümmten Bahn ist die Beschleunigung die Summe aus Tangential und Normal. Die Tangentialbeschleunigung charakterisiert die Änderungsgeschwindigkeit des Wertes (Modul) der Geschwindigkeit. Ändert sich die Geschwindigkeit nicht, ist die Tangentialbeschleunigung Null. Die Normalbeschleunigung hängt vom Krümmungsradius der Trajektorie a n = ab v 2/R. An der Stelle mit dem kleinsten Krümmungsradius ist die Beschleunigung maximal, d.h. am Punkt C.
Beispiel 23. Der materielle Punkt bewegt sich nach dem Gesetz: 
1) Bestimmen Sie Anfangskoordinate, Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung durch Vergleich mit dem Bewegungsgesetz bei konstanter Beschleunigung. Schreiben Sie die Gleichung für die Geschwindigkeitsprojektion auf.
Lösung. Das Bewegungsgesetz mit konstanter Beschleunigung hat die Form
Vergleichen wir diese Gleichung mit der Gleichung der Problembedingung, erhalten wir
x 0 = - 1 m,
v 0 x = 1 m/s,
a x \u003d - 0,25 m / s 2.
Es stellt sich die Frage: Was bedeutet das Minuszeichen? Wann ist die Projektion eines Vektors negativ? Nur wenn der Vektor gegen die Koordinatenachse gerichtet ist.
Lassen Sie uns die anfänglichen Koordinaten-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren in der Abbildung darstellen.
Wir schreiben die Gleichung für die Geschwindigkeit in die Form
und ersetzen Sie die erhaltenen Daten darin (Anfangsbedingungen)
2) Finden Sie die Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Beschleunigung von der Zeit, indem Sie die Definitionen dieser Größen verwenden.
Lösung. Wir wenden die Definitionen für die Momentanwerte von Geschwindigkeit und Beschleunigung an:
Differenzieren, bekommen wir v x \u003d 1-0,25 t, a x \u003d - 0,25 m / s 2.
Es ist ersichtlich, dass die Beschleunigung nicht von der Zeit abhängt.
3) Erstellen Sie Graphen v x (t) und a x (t). Beschreiben Sie die Bewegung in jedem Abschnitt des Diagramms.
Lösung. Die Geschwindigkeitsabhängigkeit von der Zeit ist linear, der Graph ist eine Gerade.
Bei t \u003d 0 v x \u003d 1 m / s. Bei t = 4 mit v x = 0.
Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass im Abschnitt „a“ die Geschwindigkeitsprojektion positiv ist und ihr Wert abnimmt, d.h. der Punkt bewegt sich langsam in Richtung der x-Achse. Im Abschnitt „b“ ist die Geschwindigkeitsprojektion negativ und ihr Modul nimmt zu. Der Punkt bewegt sich mit Beschleunigung in die Richtung entgegengesetzt zur x-Achse. Daher tritt am Schnittpunkt des Diagramms mit der Abszissenachse eine Wende auf, eine Änderung der Bewegungsrichtung.
4) Bestimmen Sie die Koordinate des Wendepunkts und den Weg zur Wende.
Lösung. Wir stellen noch einmal fest, dass am Wendepunkt die Geschwindigkeit Null ist. Für diesen Zustand erhalten wir aus den Bewegungsgleichungen:
Aus der zweiten Gleichung erhalten wir t pov = 4 s. (Es ist ersichtlich, dass es zum Erhalten dieses Werts nicht erforderlich ist, ein Diagramm zu erstellen und zu analysieren). Setzen Sie diesen Wert in die erste Gleichung ein: x pov \u003d -1 + 4-4 2 / 8 \u003d 1 m. Lassen Sie uns darstellen, wie sich der Punkt bewegt hat.
Der Weg zur Kurve ist, wie aus der Abbildung ersichtlich, gleich der Koordinatenänderung: s Kurve =x Kurve -x 0 =1-(-1)=2 m.
5) Zu welchem Zeitpunkt geht der Punkt durch den Ursprung?
Lösung. In der Bewegungsgleichung sollte x = 0 stehen, wir erhalten eine quadratische Gleichung 0 \u003d -1 + t-t 2 / 8 oder t 2 -8t + 8 \u003d 0. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: 
. t 1 \u003d 1,17 s, t 2 \u003d 6,83 s. Tatsächlich geht der Punkt zweimal durch den Ursprung: wenn er sich „hin“ und „zurück“ bewegt.
6) Ermitteln Sie den Weg, den der Punkt in 5 Sekunden nach Beginn der Bewegung zurückgelegt hat, und die Bewegung während dieser Zeit sowie die durchschnittliche Geschwindigkeit über Grund auf diesem Wegabschnitt.
Lösung. Suchen wir zunächst die Koordinate, in der sich der Punkt nach 5 Sekunden Bewegung herausstellte, und markieren Sie ihn in der Abbildung.
x(5)=-1+5-5 2/8= 0,875 m.
Da sich der Punkt nach der Wende in diesem Zustand befindet, ist der zurückgelegte Weg nicht mehr gleich der Koordinatenänderung (Verschiebung), sondern besteht aus zwei Termen: dem Weg zur Wende
s 1 \u003d x pov - x 0 \u003d 1 - (-1) \u003d 2 m
und nach dem Wenden
s 2 \u003d x pov - x (5) \u003d 1 - 0,875 \u003d 0,125 m,
s \u003d s 1 + s 2 \u003d 2,125 m.
Die Verschiebung des Punktes ist
s x \u003d x (5) - x 0 \u003d 0,875 - (-1) \u003d 1,875 m
Die durchschnittliche Geschwindigkeit über Grund wird durch die Formel berechnet
In dem betrachteten Problem wird eine der einfachsten Bewegungsarten beschrieben - Bewegung mit konstanter Beschleunigung. Dieser Ansatz zur Analyse der Natur der Bewegung ist jedoch universell.
Beispiel 24. Bei eindimensionaler Bewegung mit konstanter Beschleunigung werden die Abhängigkeiten der Koordinate und Geschwindigkeit des Teilchens von der Zeit durch die Beziehungen beschrieben:
Stellen Sie eine Beziehung zwischen der Koordinate eines Teilchens und seiner Geschwindigkeit her.
Lösung. Wir schließen die Zeit t aus diesen Gleichungen aus. Dazu verwenden wir die Substitutionsmethode. Aus der zweiten Gleichung drücken wir die Zeit aus und in die erste Gleichung einsetzen:
Wenn die Bewegung am Ursprung beginnt ( X 0 =0) aus Ruhe ( v 0 x =0), dann nimmt die resultierende Abhängigkeit die Form an
bekannt aus dem Schulphysikunterricht.
Beispiel 25. Die Bewegung eines materiellen Punktes wird durch die Gleichung beschrieben: , wobei i und j die Orte der x- und y-Achsen sind, α und β positive Konstanten sind. Zum Anfangszeitpunkt befand sich das Teilchen am Punkt x 0 =y 0 =0. Finden Sie die Teilchenbahngleichung y(x).
Lösung. Die Bedingung des Problems wird mit der Vektormethode der Bewegungsbeschreibung formuliert. Kommen wir zur Koordinatenmethode. Die Koeffizienten bei Einheitsvektoren sind Projektionen des Geschwindigkeitsvektors, nämlich:
Zunächst erhalten wir die Abhängigkeiten x(t) und y(t), indem wir das Problem der ersten Klasse lösen.
Beispiel 28. Von einem Turm hoch h warf einen Stein mit Geschwindigkeit v 0 in einem Winkel α zum Horizont. Finden:
1) wie lange der Stein in Bewegung sein wird;
2) in welcher Entfernung s es auf den Boden fällt;
3) mit welcher Geschwindigkeit es zu Boden fällt;
4) Welcher Winkel β wird die Flugbahn des Steins mit dem Horizont am Punkt seines Falls sein?
5) Normal- und Tangentialbeschleunigung des Steins an diesem Punkt sowie der Krümmungsradius der Flugbahn;
6) die größte Höhe des Steins.
Luftwiderstand ignorieren.
Lösung. Am Beispiel dieses Problems soll gezeigt werden, wie man in verallgemeinerter Form den obigen Algorithmus zur Lösung beliebiger Probleme einer gegebenen Klasse aufstellen kann.
1. Die Aufgabe betrachtet die Bewegung eines materiellen Punktes (Stein) im Schwerefeld der Erde. Es handelt sich also um eine Bewegung mit konstanter Erdbeschleunigung g, die senkrecht nach unten gerichtet ist.
