Potentielle Energie der Rotationsbewegung. Kinetische Energie eines rotierenden Körpers

Aufgaben

1. Bestimmen Sie, wie oft die effektive Masse größer ist als die gravitative Masse eines 4000 Tonnen schweren Zuges, wenn die Masse der Räder 15 % der Masse des Zuges beträgt. Betrachten Sie die Räder als Scheiben mit einem Durchmesser von 1,02 m. Wie ändert sich die Antwort, wenn der Durchmesser der Räder halb so groß ist?

2. Bestimmen Sie die Beschleunigung, mit der ein Radpaar mit einem Gewicht von 1200 kg einen Hügel mit einer Steigung von 0,08 hinunterrollt. Betrachten Sie Räder als Scheiben. Rollwiderstandskoeffizient 0,004. Bestimmen Sie die Haftkraft zwischen Rädern und Schienen.

3. Bestimmen Sie die Beschleunigung, mit der ein Radpaar mit einem Gewicht von 1400 kg einen Hügel mit einer Steigung von 0,05 hinaufrollt. Widerstandskoeffizient 0,002. Wie hoch sollte der Kraftschlussbeiwert sein, damit die Räder nicht durchrutschen? Betrachten Sie Räder als Scheiben.

4. Bestimmen Sie, mit welcher Beschleunigung ein 40 Tonnen schweres Auto einen Hügel mit einer Steigung von 0,020 hinunterrollt, wenn es acht Räder mit einem Gewicht von 1200 kg und einem Durchmesser von 1,02 m hat. Bestimmen Sie die Haftkraft der Räder an den Schienen. Widerstandskoeffizient 0,003.

5. Bestimmen Sie die Anpresskraft der Bremsbeläge auf die Reifen, wenn ein 4000 Tonnen schwerer Zug mit einer Beschleunigung von 0,3 m/s 2 bremst. Das Trägheitsmoment eines Radpaares beträgt 600 kg m 2, die Anzahl der Achsen beträgt 400, der Gleitreibungskoeffizient des Belags beträgt 0,18 und der Rollwiderstandskoeffizient beträgt 0,004.

6. Bestimmen Sie die Bremskraft, die auf einen vierachsigen Wagen mit einem Gewicht von 60 Tonnen auf der Bremsplattform eines Buckels wirkt, wenn die Geschwindigkeit auf einer Strecke von 30 m von 2 m/s auf 1,5 m/s abnimmt. Das Trägheitsmoment eines Radpaares beträgt 500 kg m 2.

7. Der Geschwindigkeitsmesser der Lokomotive zeigte einen Anstieg der Zuggeschwindigkeit innerhalb einer Minute von 10 m/s auf 60 m/s an. Es ist wahrscheinlich, dass das Antriebsradpaar durchgerutscht ist. Bestimmen Sie das Moment der Kräfte, die auf den Anker des Elektromotors wirken. Das Trägheitsmoment des Radsatzes beträgt 600 kg m 2, der Anker 120 kg m 2. Das Übersetzungsverhältnis beträgt 4,2. Die Druckkraft auf die Schienen beträgt 200 kN, der Gleitreibungskoeffizient der Räder auf der Schiene beträgt 0,10.

11. KINETISCHE ROTATIONSENERGIE

BEWEGUNGEN

Lassen Sie uns die Formel für die kinetische Energie der Rotationsbewegung herleiten. Lassen Sie den Körper mit Winkelgeschwindigkeit rotieren ω relativ zu einer festen Achse. Jedes kleine Teilchen eines Körpers erfährt eine translatorische Bewegung auf einem Kreis mit der Geschwindigkeit wo r i – Abstand zur Rotationsachse, Radius der Umlaufbahn. Kinetische Energie der Teilchen Massen m i gleich . Die gesamte kinetische Energie eines Teilchensystems ist gleich der Summe ihrer kinetischen Energien. Fassen wir die Formeln für die kinetische Energie der Teilchen eines Körpers zusammen und nehmen wir als Summenzeichen das halbe Quadrat der Winkelgeschwindigkeit, das für alle Teilchen gleich ist, . Die Summe der Produkte der Teilchenmassen mit den Quadraten ihrer Abstände zur Rotationsachse ist das Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Rotationsachse . Also, Die kinetische Energie eines relativ zu einer festen Achse rotierenden Körpers ist gleich der Hälfte des Produkts aus dem Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Achse und dem Quadrat der Drehwinkelgeschwindigkeit:

Mit Hilfe rotierender Körper kann mechanische Energie gespeichert werden. Solche Körper werden Schwungräder genannt. Normalerweise handelt es sich dabei um Revolutionskörperschaften. Die Verwendung von Schwungrädern in der Töpferscheibe ist seit der Antike bekannt. Bei Verbrennungsmotoren überträgt der Kolben während des Arbeitshubs mechanische Energie auf das Schwungrad, das dann für drei aufeinanderfolgende Hübe Arbeit verrichtet, indem es die Motorwelle dreht. Bei Stempeln und Pressen wird das Schwungrad von einem relativ leistungsschwachen Elektromotor in Rotation versetzt, speichert während fast einer vollen Umdrehung mechanische Energie und gibt sie in einem kurzen Moment des Aufpralls an die Stempelarbeit ab.

Es gibt zahlreiche Versuche, rotierende Schwungräder zum Antrieb von Fahrzeugen zu nutzen: Autos, Busse. Man nennt sie Mahomobile, Gyromobile. Es wurden viele solcher Versuchsmaschinen geschaffen. Es wäre vielversprechend, beim Bremsen elektrischer Züge mithilfe von Schwungrädern Energie zu speichern, um die gespeicherte Energie beim anschließenden Beschleunigen zu nutzen. Es ist bekannt, dass Schwungrad-Energiespeicher in New Yorker U-Bahnen eingesetzt werden.

Der Ausdruck für die kinetische Energie eines rotierenden Körpers hat unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die lineare Geschwindigkeit eines beliebigen materiellen Punktes, aus dem der Körper besteht, relativ zur Rotationsachse gleich ist, die Form

Dabei ist das Trägheitsmoment des Körpers relativ zur gewählten Drehachse, seine Winkelgeschwindigkeit relativ zu dieser Achse und der Drehimpuls des Körpers relativ zur Drehachse.

Wenn ein Körper eine translatorische Rotationsbewegung ausführt, hängt die Berechnung der kinetischen Energie von der Wahl des Pols ab, anhand dessen die Bewegung des Körpers beschrieben wird. Das Endergebnis wird das gleiche sein. Wenn also für einen runden Körper, der mit der Geschwindigkeit v rollt, ohne zu gleiten, mit dem Radius R und dem Trägheitskoeffizienten k der Pol an seinem CM, am Punkt C, genommen wird, dann beträgt sein Trägheitsmoment , und die Winkelgeschwindigkeit der Drehung um die Achse C ist . Dann beträgt die kinetische Energie des Körpers.

Wenn der Pol am Kontaktpunkt O zwischen dem Körper und der Oberfläche genommen wird, durch die die momentane Rotationsachse des Körpers verläuft, wird sein Trägheitsmoment relativ zur Achse O gleich . Dann ist die kinetische Energie des Körpers unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Winkelgeschwindigkeiten der Drehung des Körpers relativ zu parallelen Achsen gleich sind und der Körper eine reine Drehung um die O-Achse ausführt, gleich . Das Ergebnis ist das gleiche.

Der Satz über die kinetische Energie eines Körpers, der eine komplexe Bewegung ausführt, hat die gleiche Form wie für seine Translationsbewegung: .

Beispiel 1. Ein Körper der Masse m ist am Ende eines Fadens befestigt, der um einen zylindrischen Block mit Radius R und Masse M gewickelt ist. Der Körper wird auf die Höhe h angehoben und losgelassen (Abb. 65). Nach einem unelastischen Ruck des Fadens beginnen sich Körper und Block sofort gemeinsam zu bewegen. Wie viel Wärme wird beim Ruck freigesetzt? Wie hoch wird die Beschleunigung des Körpers und die Spannung des Fadens nach dem Ruck sein? Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers und die von ihm zurückgelegte Strecke, nachdem der Faden nach der Zeit t ruckartig bewegt wurde?

Gegeben: M, R, m, h, g, t. Finden: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Lösung: Körpergeschwindigkeit, bevor der Faden ruckelt. Nach einem Ruck des Fadens geraten der Block und der Körper in eine Drehbewegung relativ zur Blockachse O und verhalten sich wie Körper mit Trägheitsmomenten relativ zu dieser Achse gleich und . Ihr gesamtes Trägheitsmoment um die Drehachse.

Das Rucken eines Fadens ist ein schneller Vorgang und während eines Rucks gilt das Gesetz der Drehimpulserhaltung des Block-Körper-Systems, das aufgrund der Tatsache, dass Körper und Block unmittelbar nach dem Ruck beginnen, sich zusammenzubewegen, die Form hat : . Woher kommt die anfängliche Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Blocks? und die anfängliche lineare Geschwindigkeit des Körpers .

Die kinetische Energie des Systems ist aufgrund der Erhaltung seines Drehimpulses unmittelbar nach den Fadenrucken gleich . Die beim Ruck freigesetzte Wärme gemäß dem Energieerhaltungssatz

Die dynamischen Bewegungsgleichungen der Körper des Systems nach einem Ruck des Fadens hängen nicht von ihrer Anfangsgeschwindigkeit ab. Für einen Block hat es die Form oder, und für den Körper. Wenn wir diese beiden Gleichungen addieren, erhalten wir . Woher kommt die Beschleunigung der Körperbewegung? Fadenspannung

Die kinematischen Gleichungen der Körperbewegung nach einem Ruck haben die Form , wobei alle Parameter bekannt sind.

Antwort: . .

Beispiel 2. Zwei runde Körper mit Trägheitskoeffizienten (Hohlzylinder) und (Kugel), die sich an der Basis einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel befinden α berichten über identische Anfangsgeschwindigkeiten, die entlang der schiefen Ebene nach oben gerichtet sind. Bis zu welcher Höhe und in welcher Zeit werden die Körper diese Höhe erreichen? Wie groß sind die Beschleunigungen aufsteigender Körper? Wie oft unterscheiden sich die Höhen, Zeiten und Beschleunigungen der Körperaufstiege? Körper bewegen sich entlang einer schiefen Ebene, ohne zu verrutschen.

Gegeben: . Finden:

Lösung: Auf den Körper wirkt: Schwerkraft m G, Reaktion der schiefen Ebene N und Kupplungsreibungskraft (Abb. 67). Die Arbeit der normalen Reaktions- und Adhäsionsreibungskraft (es findet kein Schlupf statt und es wird keine Wärme am Adhäsionspunkt von Körper und Ebene freigesetzt) ​​sind gleich Null: Um die Bewegung von Körpern zu beschreiben, kann daher der Energieerhaltungssatz verwendet werden: . Wo .

Wir werden die Bewegungszeiten und Beschleunigungen von Körpern aus kinematischen Gleichungen ermitteln . Wo , . Das Verhältnis von Höhen, Zeiten und Beschleunigungen von Auftriebskörpern:

Antwort: , , , .

Beispiel 3. Eine Kugel mit der Masse , die mit Geschwindigkeit fliegt, trifft auf den Mittelpunkt einer Kugel mit der Masse M und dem Radius R, die am Ende eines Stabes mit der Masse m und der Länge l befestigt ist, der mit seinem zweiten Ende am Punkt O aufgehängt ist, und fliegt aus diesem heraus mit Geschwindigkeit (Abb. 68). Ermitteln Sie die Drehwinkelgeschwindigkeit des Stab-Kugel-Systems unmittelbar nach dem Aufprall und den Ablenkungswinkel des Stabes nach dem Aufprall des Geschosses.

Gegeben: . Finden:

Lösung: Trägheitsmomente der Stange und der Kugel relativ zum Aufhängepunkt O der Stange nach dem Satz von Steiner: und . Gesamtträgheitsmoment des Stab-Kugel-Systems . Der Aufprall eines Geschosses ist ein schneller Prozess, und es gilt das Gesetz der Drehimpulserhaltung des Geschoss-Stab-Kugel-Systems (Körper gehen nach einem Zusammenstoß in eine Rotationsbewegung über): . Woher kommt die Winkelgeschwindigkeit der Bewegung des Stab-Kugel-Systems unmittelbar nach dem Aufprall?

Lage des CM des Stab-Kugel-Systems relativ zum Aufhängepunkt O: . Der Energieerhaltungssatz für das CM eines Systems nach einem Aufprall hat unter Berücksichtigung des Drehimpulserhaltungssatzes des Systems beim Aufprall die Form . Von wo aus steigt die Höhe des CM des Systems nach einem Aufprall? . Der Ablenkungswinkel der Stange nach dem Aufprall wird durch die Bedingungen bestimmt .

Antwort: , , .

Beispiel 4. Ein Block wird mit einer Kraft N auf einen runden Körper der Masse m und des Radius R mit einem Trägheitskoeffizienten k gedrückt, der sich mit einer Winkelgeschwindigkeit dreht. Wie lange dauert es, bis der Zylinder stoppt und wie viel Wärme wird während dieser Zeit freigesetzt, wenn der Belag am Zylinder reibt? Der Reibungskoeffizient zwischen Block und Zylinder beträgt.

Gegeben: Finden:

Lösung: Die von der Reibungskraft verrichtete Arbeit, bevor der Körper gemäß dem Satz über die kinetische Energie zum Stillstand kommt, ist gleich . Bei der Rotation wird Wärme freigesetzt .

Die Rotationsbewegungsgleichung eines Körpers hat die Form. Woher kommt die Winkelbeschleunigung seiner langsamen Rotation? . Die Zeit, die ein Körper benötigt, um sich zu drehen, bis er zum Stillstand kommt.

Antwort: , .

Beispiel 5. Ein runder Körper der Masse m und des Radius R mit dem Trägheitskoeffizienten k wird mit einer Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn gedreht und auf einer horizontalen Fläche neben einer vertikalen Wand platziert (Abb. 70). Wie lange wird es dauern, bis der Körper zum Stillstand kommt und wie viele Umdrehungen wird er machen, bevor er zum Stillstand kommt? Wie viel Wärme wird in dieser Zeit freigesetzt, wenn der Körper an der Oberfläche reibt? Der Reibungskoeffizient des Körpers auf der Oberfläche beträgt .

Gegeben: . Finden:

Lösung: Die bei der Rotation eines Körpers bis zum Stillstand freigesetzte Wärme ist gleich der Arbeit der Reibungskräfte, die mit dem Satz über die kinetische Energie eines Körpers ermittelt werden kann. Wir haben.

Reaktion in der horizontalen Ebene. Die von den horizontalen und vertikalen Flächen auf den Körper wirkenden Reibungskräfte sind gleich: und .Aus dem System dieser beiden Gleichungen erhalten wir und .

Unter Berücksichtigung dieser Beziehungen hat die Gleichung der Rotationsbewegung eines Körpers die Form (. Daraus ergibt sich die Winkelbeschleunigung der Rotation des Körpers. Dann ist die Zeit der Rotation des Körpers, bevor er stoppt, und die Anzahl seiner Umdrehungen macht.

Antwort: , , , .

Beispiel 6. Ein runder Körper mit einem Trägheitskoeffizienten k rollt ohne zu rutschen von der Oberseite einer Halbkugel mit dem Radius R, die auf einer horizontalen Fläche steht (Abb. 71). In welcher Höhe und mit welcher Geschwindigkeit wird es sich von der Halbkugel lösen und mit welcher Geschwindigkeit wird es auf eine horizontale Fläche fallen?

Gegeben: k, g, R. Finden:

Lösung: Auf den Körper wirken Kräfte . Arbeit und 0, (es gibt kein Gleiten und es wird keine Wärme am Verbindungspunkt der Halbkugel und der Kugel freigesetzt), daher ist es zur Beschreibung der Bewegung eines Körpers möglich, den Energieerhaltungssatz zu verwenden. Newtons zweites Gesetz für die CM eines Körpers am Punkt seiner Trennung von der Hemisphäre, unter Berücksichtigung dessen, dass er an diesem Punkt die Form hat, von wo . Der Energieerhaltungssatz für den Anfangspunkt und den Trennungspunkt des Körpers hat die Form . Daher sind Höhe und Geschwindigkeit der Trennung des Körpers von der Hemisphäre gleich, .

Nachdem der Körper von der Hemisphäre getrennt wurde, ändert sich nur seine translatorische kinetische Energie, daher hat das Energieerhaltungsgesetz für die Trennungs- und Fallpunkte des Körpers auf den Boden die Form . Wohin wir unter Berücksichtigung gelangen . Für einen Körper, der ohne Reibung entlang der Oberfläche einer Halbkugel gleitet, gilt k=0 und , , .

Antwort: , , .

Mechanik.

Frage Nr. 1

Referenzsystem. Inertiale Referenzsysteme. Das Relativitätsprinzip von Galileo - Einstein.

Bezugsrahmen- Dies ist eine Menge von Körpern, in Bezug auf die die Bewegung eines bestimmten Körpers und das damit verbundene Koordinatensystem beschrieben werden.

Inertialreferenzsystem (IRS) ist ein System, in dem sich ein frei beweglicher Körper in einem Ruhezustand oder einer gleichmäßigen geradlinigen Bewegung befindet.

Galileo-Einsteins Relativitätsprinzip- Alle Naturphänomene in jedem Trägheitsbezugssystem treten auf die gleiche Weise auf und haben die gleiche mathematische Form. Mit anderen Worten: Alle ISOs sind gleich.

Frage Nr. 2

Bewegungsgleichung. Bewegungsarten eines starren Körpers. Die Hauptaufgabe der Kinematik.

Bewegungsgleichungen eines materiellen Punktes:

- kinematische Bewegungsgleichung

Arten der Starrkörperbewegung:

1) Translationsbewegung – jede im Körper gezeichnete gerade Linie bewegt sich parallel zu sich selbst.

2) Rotationsbewegung – jeder Punkt des Körpers bewegt sich im Kreis.

φ = φ(t)

Die Hauptaufgabe der Kinematik- Dabei wird die Zeitabhängigkeit der Geschwindigkeit V = V(t) und der Koordinaten (oder des Radiusvektors) r = r(t) eines materiellen Punktes aus der bekannten Zeitabhängigkeit seiner Beschleunigung a = a(t) und der ermittelt bekannte Anfangsbedingungen V 0 und r 0 .

Frage Nr. 7

Impuls (Bewegungsmenge) ist eine vektorielle physikalische Größe, die das Maß der mechanischen Bewegung eines Körpers charakterisiert. In der klassischen Mechanik ist der Impuls eines Körpers gleich dem Produkt aus Masse M diesen Punkt durch seine Geschwindigkeit v, die Richtung des Impulses stimmt mit der Richtung des Geschwindigkeitsvektors überein:

In der theoretischen Mechanik generalisierter Impuls ist die partielle Ableitung der Lagrangefunktion des Systems nach der verallgemeinerten Geschwindigkeit

Wenn die Lagrangefunktion des Systems nicht von einigen abhängt verallgemeinerte Koordinaten, dann wegen Lagrange-Gleichungen .

Für ein freies Teilchen hat die Lagrange-Funktion die Form: , also:

Aus der Eigenschaft folgt die Unabhängigkeit der Lagrangefunktion eines geschlossenen Systems von seiner Lage im Raum Homogenität des Raumes: Bei einem gut isolierten System hängt sein Verhalten nicht davon ab, wo im Raum wir es platzieren. Von Noethers Theorem Aus dieser Homogenität folgt die Erhaltung einer physikalischen Größe. Diese Größe wird als Impuls bezeichnet (gewöhnlich, nicht verallgemeinert).

In der klassischen Mechanik, vollständig Impuls Das System materieller Punkte wird als Vektorgröße bezeichnet, die der Summe der Produkte der Massen materieller Punkte und ihrer Geschwindigkeit entspricht:

dementsprechend wird die Größe als Impuls eines materiellen Punktes bezeichnet. Dies ist eine Vektorgröße, die in die gleiche Richtung wie die Teilchengeschwindigkeit gerichtet ist. Die Impulseinheit des Internationalen Einheitensystems (SI) ist Kilogrammmeter pro Sekunde(kg m/s)

Wenn wir es mit einem Körper endlicher Größe zu tun haben, ist es zur Bestimmung seines Impulses notwendig, den Körper in kleine Teile zu zerlegen, die als materielle Punkte betrachtet und über sie summiert werden können. Als Ergebnis erhalten wir:

Der Impuls eines Systems, der nicht von äußeren Kräften beeinflusst wird (oder diese kompensiert werden) Gerettet rechtzeitig:

Die Impulserhaltung folgt in diesem Fall aus Newtons zweitem und drittem Gesetz: Indem wir Newtons zweites Gesetz für jeden der materiellen Punkte schreiben, aus denen das System besteht, und über alle materiellen Punkte summieren, aus denen das System besteht, erhalten wir aufgrund des dritten Newtonschen Gesetzes Gleichheit (* ).

In der relativistischen Mechanik ist der dreidimensionale Impuls eines Systems nichtwechselwirkender materieller Punkte die Größe

,

Wo m i- Gewicht ich Der materielle Punkt.

Für ein geschlossenes System nichtwechselwirkender materieller Punkte bleibt dieser Wert erhalten. Allerdings ist der dreidimensionale Impuls keine relativistisch invariante Größe, da er vom Bezugssystem abhängt. Eine aussagekräftigere Größe wäre der vierdimensionale Impuls, der für einen materiellen Punkt definiert ist als

In der Praxis werden häufig folgende Beziehungen zwischen Masse, Impuls und Energie eines Teilchens verwendet:

Im Prinzip werden für ein System nichtwechselwirkender materieller Punkte deren 4-Momente summiert. Für wechselwirkende Teilchen in der relativistischen Mechanik ist es jedoch notwendig, nicht nur den Impuls der Teilchen, aus denen das System besteht, zu berücksichtigen, sondern auch den Impuls des Wechselwirkungsfeldes zwischen ihnen. Eine viel aussagekräftigere Größe in der relativistischen Mechanik ist daher der Energie-Impuls-Tensor, der die Erhaltungssätze vollständig erfüllt.

Frage Nr. 8

Trägheitsmoment- eine skalare physikalische Größe, ein Maß für die Trägheit eines Körpers bei Rotationsbewegung um eine Achse, genauso wie die Masse eines Körpers ein Maß für seine Trägheit bei Translationsbewegung ist. Gekennzeichnet durch die Massenverteilung im Körper: Das Trägheitsmoment ist gleich der Summe der Produkte der Elementarmassen mit dem Quadrat ihrer Abstände zur Grundmenge

Axiales Trägheitsmoment

Axiale Trägheitsmomente einiger Körper.

Trägheitsmoment eines mechanischen Systems relativ zu einer festen Achse („axiales Trägheitsmoment“) ist die Größe J a, gleich der Summe der Produkte der Massen aller N materielle Punkte des Systems durch die Quadrate ihrer Abstände zur Achse:

,

• m i- Gewicht ich Punkt,
• r i- Entfernung von ich Punkt zur Achse.

Axial Trägheitsmoment Körper J a ist ein Maß für die Trägheit eines Körpers bei Rotationsbewegung um eine Achse, ebenso wie die Masse eines Körpers ein Maß für seine Trägheit bei Translationsbewegung ist.

,

• dm = ρ dV- Masse eines kleinen Elements des Körpervolumens dV,
• ρ - Dichte,
• R- Abstand vom Element dV zur Achse a.

Wenn der Körper homogen ist, das heißt, seine Dichte ist überall gleich

Herleitung der Formel

dm und Trägheitsmomente dJ i. Dann

Dünnwandiger Zylinder (Ring, Reifen)

Herleitung der Formel

Das Trägheitsmoment eines Körpers ist gleich der Summe der Trägheitsmomente seiner Bestandteile. Teilen Sie einen dünnwandigen Zylinder in Elemente mit Masse auf dm und Trägheitsmomente dJ i. Dann

Da alle Elemente eines dünnwandigen Zylinders den gleichen Abstand von der Rotationsachse haben, wird Formel (1) in die Form umgewandelt

Satz von Steiner

Trägheitsmoment Die Bewegung eines festen Körpers relativ zu einer beliebigen Achse hängt nicht nur von der Masse, Form und Größe des Körpers ab, sondern auch von der Position des Körpers relativ zu dieser Achse. Nach dem Steiner-Theorem (Huygens-Steiner-Theorem) Trägheitsmoment Körper J relativ zu einer beliebigen Achse ist gleich der Summe Trägheitsmoment dieser Körper Jc relativ zu einer Achse, die parallel zur betrachteten Achse durch den Schwerpunkt des Körpers verläuft, und dem Produkt aus der Körpermasse M pro Quadrat der Entfernung D zwischen den Achsen:

Wenn das Trägheitsmoment eines Körpers relativ zu einer Achse ist, die durch den Massenschwerpunkt des Körpers verläuft, dann ist das Trägheitsmoment relativ zu einer davon entfernten parallelen Achse gleich

,

Wo ist die Gesamtkörpermasse?

Beispielsweise ist das Trägheitsmoment einer Stange relativ zu einer durch ihr Ende verlaufenden Achse gleich:

Rotationsenergie

Kinetische Energie der Rotationsbewegung- die Energie eines Körpers, die mit seiner Rotation verbunden ist.

Die wichtigsten kinematischen Eigenschaften der Rotationsbewegung eines Körpers sind seine Winkelgeschwindigkeit (ω) und Winkelbeschleunigung. Die wichtigsten dynamischen Eigenschaften der Rotationsbewegung – Drehimpuls relativ zur Rotationsachse z:

K z = Ich zω

und kinetische Energie

wobei I z das Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Rotationsachse ist.

Ein ähnliches Beispiel findet sich bei der Betrachtung eines rotierenden Moleküls mit Hauptträgheitsachsen Ich 1, Ich 2 Und Ich 3. Die Rotationsenergie eines solchen Moleküls wird durch den Ausdruck angegeben

Wo ω 1, ω 2, Und ω 3- die Hauptkomponenten der Winkelgeschwindigkeit.

Im Allgemeinen wird die Energie während der Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit durch die Formel ermittelt:

, Wo ICH- Trägheitstensor.

Frage Nr. 9

Moment des Impulses (Drehimpuls, Drehimpuls, Bahnimpuls, Drehimpuls) charakterisiert das Ausmaß der Rotationsbewegung. Eine Größe, die davon abhängt, wie viel Masse rotiert, wie sie relativ zur Rotationsachse verteilt ist und mit welcher Geschwindigkeit die Rotation erfolgt.

Es ist zu beachten, dass Rotation hier im weitesten Sinne verstanden wird und nicht nur als regelmäßige Rotation um eine Achse. Selbst wenn sich beispielsweise ein Körper geradlinig an einem beliebigen imaginären Punkt vorbeibewegt, der nicht auf der Bewegungslinie liegt, hat er auch einen Drehimpuls. Die vielleicht größte Rolle spielt der Drehimpuls bei der Beschreibung der tatsächlichen Drehbewegung. Es ist jedoch für eine viel größere Klasse von Problemen äußerst wichtig (insbesondere, wenn das Problem eine zentrale oder axiale Symmetrie aufweist, aber nicht nur in diesen Fällen).

Gesetz der Drehimpulserhaltung(Gesetz der Drehimpulserhaltung) – Die Vektorsumme aller Drehimpulse relativ zu einer beliebigen Achse für ein geschlossenes System bleibt im Gleichgewichtsfall des Systems konstant. Demnach ist der Drehimpuls eines geschlossenen Systems relativ zu einer Nicht-Ableitung des Drehimpulses nach der Zeit das Kraftmoment:

Somit kann die Forderung, dass das System geschlossen sein muss, auf die Forderung abgeschwächt werden, dass das Hauptmoment (Gesamtmoment) der äußeren Kräfte gleich Null ist:

Wo ist das Moment einer der Kräfte, die auf das Teilchensystem ausgeübt werden? (Aber wenn überhaupt keine äußeren Kräfte vorhanden sind, ist diese Anforderung natürlich auch erfüllt).

Mathematisch folgt der Drehimpulserhaltungssatz aus der Isotropie des Raumes, also aus der Invarianz des Raumes gegenüber der Drehung um einen beliebigen Winkel. Bei einer Drehung um einen beliebigen infinitesimalen Winkel ändert sich der Radiusvektor des Teilchens mit der Zahl um , und die Geschwindigkeit - . Die Lagrange-Funktion des Systems ändert sich aufgrund der Raumisotropie bei einer solchen Rotation nicht. Deshalb

1. Betrachten Sie die Drehung eines Körpers um ihn herum bewegungslos Achse Z. Teilen wir den gesamten Körper in eine Menge von Elementarmassen m ich. Lineargeschwindigkeit der Elementarmasse m ich– v i = w R ich, wo R ich– Massenabstand m ich von der Drehachse. Daher kinetische Energie ich Die Elementarmasse wird gleich sein . Gesamte kinetische Energie des Körpers: , hier ist das Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Rotationsachse.

Somit ist die kinetische Energie eines um eine feste Achse rotierenden Körpers gleich:

2. Lassen Sie nun den Körper dreht sich relativ zu einer Achse und sich selbst Achse bewegt sich nach und nach parallel zu sich selbst bleibt.

ZUM BEISPIEL: Eine Kugel, die rollt, ohne zu gleiten, führt eine Rotationsbewegung aus und ihr Schwerpunkt, durch den die Rotationsachse verläuft (Punkt „O“), bewegt sich translatorisch (Abb. 4.17).

Geschwindigkeit ich-dass die elementare Körpermasse gleich ist , wo ist die Geschwindigkeit eines Punktes „O“ des Körpers; – Radiusvektor, der die Position der Elementarmasse relativ zum Punkt „O“ bestimmt.

Die kinetische Energie einer Elementarmasse ist gleich:

HINWEIS: Das Vektorprodukt stimmt in der Richtung mit dem Vektor überein und hat einen Modul gleich (Abb. 4.18).

Unter Berücksichtigung dieser Bemerkung können wir das schreiben , wobei der Abstand der Masse von der Rotationsachse ist. Im zweiten Term führen wir eine zyklische Neuordnung der Faktoren durch, woraufhin wir erhalten

Um die gesamte kinetische Energie des Körpers zu erhalten, summieren wir diesen Ausdruck über alle Elementarmassen und berücksichtigen dabei die konstanten Faktoren jenseits des Vorzeichens der Summe. Wir bekommen

Die Summe der Elementarmassen ist die Masse des Körpers „m“. Der Ausdruck ist gleich dem Produkt der Masse des Körpers mit dem Radiusvektor des Trägheitszentrums des Körpers (per Definition des Trägheitszentrums). Schließlich das Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Achse, die durch den Punkt „O“ verläuft. Deshalb können wir schreiben

.

Wenn wir den Trägheitsschwerpunkt des Körpers „C“ als Punkt „O“ nehmen, ist der Radiusvektor gleich Null und der zweite Term verschwindet. Dann bezeichnen wir durch – die Geschwindigkeit des Trägheitszentrums und durch – das Trägheitsmoment des Körpers relativ zu der Achse, die durch den Punkt „C“ verläuft, und erhalten:

(4.6)

Somit setzt sich die kinetische Energie eines Körpers in ebener Bewegung aus der Energie der translatorischen Bewegung mit einer Geschwindigkeit, die der Geschwindigkeit des Trägheitszentrums entspricht, und der Energie der Rotation um eine Achse zusammen, die durch das Trägheitszentrum des Körpers verläuft.

Arbeit äußerer Kräfte bei der Rotationsbewegung eines starren Körpers.

Lassen Sie uns die Arbeit ermitteln, die die Kräfte leisten, wenn sich der Körper um die stationäre Z-Achse dreht.

Auf die Masse wirken eine innere Kraft und eine äußere Kraft (die resultierende Kraft liegt in einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse) (Abb. 4.19). Diese Kräfte wirken mit der Zeit dt Arbeit:

Nachdem wir eine zyklische Umordnung von Faktoren in gemischten Vektorprodukten durchgeführt haben, finden wir:

wobei , jeweils die Momente der inneren und äußeren Kräfte relativ zum Punkt „O“ sind.

Summiert man alle Elementarmassen, erhält man die in der Zeit am Körper geleistete Elementararbeit dt:

Die Summe der Momente der Schnittgrößen ist Null. Wenn wir dann das Gesamtmoment der äußeren Kräfte durch bezeichnen, kommen wir zu dem Ausdruck:

.

Es ist bekannt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren ein Skalar ist, der dem Produkt des Moduls eines der Vektoren multipliziert mit der Projektion des zweiten auf die Richtung des ersten entspricht, wobei zu berücksichtigen ist, dass (die Richtungen der Z-Achse zusammenfallen), erhalten wir

,

aber warum dt=D j, d.h. der Winkel, um den sich ein Körper im Laufe der Zeit dreht dt. Deshalb

.

Das Vorzeichen der Arbeit hängt vom Vorzeichen von M z ab, d.h. aus dem Vorzeichen der Projektion des Vektors auf die Richtung des Vektors.

Wenn sich also ein Körper dreht, verrichten die inneren Kräfte keine Arbeit und die Arbeit der äußeren Kräfte wird durch die Formel bestimmt .

In einem endlichen Zeitraum geleistete Arbeit wird durch Integration ermittelt

.

Bleibt die Projektion des resultierenden Moments äußerer Kräfte auf die Richtung konstant, so lässt sich diese aus dem Integralzeichen entnehmen:

, d.h. .

Diese. Die von einer äußeren Kraft bei der Drehbewegung eines Körpers geleistete Arbeit ist gleich dem Produkt der Projektion des Moments der äußeren Kraft auf die Drehrichtung und den Drehwinkel.

Andererseits erhöht die Arbeit einer äußeren Kraft, die auf einen Körper einwirkt, die kinetische Energie des Körpers (oder entspricht der Änderung der kinetischen Energie des rotierenden Körpers). Zeigen wir das:

;

Somit,

. (4.7)

Auf sich allein:

Elastische Kräfte;

Hookes Gesetz.

Hydrodynamik

Aktuelle Leitungen und Röhren.

Die Hydrodynamik untersucht die Bewegung von Flüssigkeiten, ihre Gesetze gelten jedoch auch für die Bewegung von Gasen. In einem stationären Flüssigkeitsstrom ist die Geschwindigkeit seiner Teilchen an jedem Punkt im Raum eine zeitunabhängige Größe und eine Funktion von Koordinaten. Bei einer stetigen Strömung bilden die Flugbahnen der Flüssigkeitspartikel eine Stromlinie. Die Kombination der Stromleitungen bildet eine Stromröhre (Abb. 5.1). Wir nehmen an, dass die Flüssigkeit inkompressibel ist, dann das Flüssigkeitsvolumen, das durch die Abschnitte fließt S 1 und S 2 wird gleich sein. In einer Sekunde fließt ein Flüssigkeitsvolumen von gleich groß durch diese Abschnitte

, (5.1)

wo und sind die Flüssigkeitsgeschwindigkeiten in Abschnitten S 1 und S 2 , und die Vektoren und sind definiert als und , wobei und die Normalen der Abschnitte sind S 1 und S 2. Gleichung (5.1) wird als Strahlkontinuitätsgleichung bezeichnet. Daraus folgt, dass die Flüssigkeitsgeschwindigkeit umgekehrt proportional zum Querschnitt des Stromrohrs ist.

Bernoulli-Gleichung.

Wir betrachten eine ideale inkompressible Flüssigkeit, in der es keine innere Reibung (Viskosität) gibt. Wählen wir ein dünnes Strömungsrohr in einer ruhenden fließenden Flüssigkeit (Abb. 5.2) mit Abschnitten S 1 Und S 2, senkrecht zu den Stromlinien. Im Querschnitt 1 in einer kurzen Zeit T Teilchen bewegen sich eine Strecke l 1, und im Abschnitt 2 - auf Distanz l 2. Durch beide Abschnitte im Zeitverlauf T Gleich kleine Flüssigkeitsmengen fließen durch V= V 1 = V 2 und viel Flüssigkeit umfüllen m=rV, Wo R- Flüssigkeitsdichte. Im Allgemeinen ist die Änderung der mechanischen Energie der gesamten Flüssigkeit im Strömungsrohr zwischen den Abschnitten gemeint S 1 Und S 2 das geschah während T, kann durch Änderung der Volumenenergie ersetzt werden V das geschah, als es von Abschnitt 1 zu Abschnitt 2 wechselte. Bei einer solchen Bewegung ändern sich die kinetische und potentielle Energie dieses Volumens und die Gesamtenergie

, (5.2)

wo v 1 und v 2 - Geschwindigkeiten von Flüssigkeitspartikeln in Abschnitten S 1 Und S 2 jeweils; G- Erdbeschleunigung; h 1 Und h 2- Höhe der Mitte der Abschnitte.

In einer idealen Flüssigkeit gibt es keine Reibungsverluste, daher ist der Energiezuwachs größer DE muss gleich der Arbeit sein, die durch Druckkräfte auf das zugewiesene Volumen verrichtet wird. In Abwesenheit von Reibungskräften funktioniert diese Arbeit:

Wenn wir die rechten Seiten der Gleichungen (5.2) und (5.3) gleichsetzen und Terme mit denselben Indizes auf eine Seite der Gleichheit übertragen, erhalten wir:

. (5.4)

Rohrabschnitte S 1 Und S 2 wurden willkürlich genommen, daher kann argumentiert werden, dass der Ausdruck in jedem Abschnitt der aktuellen Röhre gültig ist

. (5.5)

Gleichung (5.5) wird Bernoulli-Gleichung genannt. Für eine horizontale Stromlinie H = const und Gleichheit (5.4) nimmt die Form an

R /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

diese. An den Stellen, an denen die Geschwindigkeit größer ist, ist der Druck geringer.

Innere Reibungskräfte.

Eine echte Flüssigkeit zeichnet sich durch Viskosität aus, die sich darin äußert, dass jede Bewegung von Flüssigkeit und Gas ohne die Gründe, die sie verursacht haben, spontan stoppt. Betrachten wir ein Experiment, bei dem sich eine Flüssigkeitsschicht über einer stationären Oberfläche befindet und sich darüber eine mit einer Oberfläche schwimmende Platte mit der Geschwindigkeit bewegt S(Abb. 5.3). Die Erfahrung zeigt, dass, um eine Platte mit konstanter Geschwindigkeit zu bewegen, eine Kraft auf sie einwirken muss. Da die Platte keine Beschleunigung erfährt, bedeutet dies, dass die Wirkung dieser Kraft durch eine andere, gleich große und entgegengesetzt gerichtete Kraft, die Reibungskraft, ausgeglichen wird . Newton zeigte, dass die Reibungskraft

, (5.7)

Wo D- Dicke der Flüssigkeitsschicht, h - Viskositätskoeffizient oder Reibungskoeffizient der Flüssigkeit, das Minuszeichen berücksichtigt die unterschiedlichen Richtungen der Vektoren F tr Und vÖ. Untersucht man die Geschwindigkeit flüssiger Teilchen an verschiedenen Stellen der Schicht, stellt sich heraus, dass sie sich nach einem linearen Gesetz ändert (Abb. 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Wenn wir diese Gleichheit differenzieren, erhalten wir dv/dz= v 0 /D. Mit dieser Einstellung

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Wo H- dynamischer Viskositätskoeffizient. Größe dv/dz wird als Geschwindigkeitsgradient bezeichnet. Es zeigt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit in Richtung der Achse ändert z. Bei dv/dz= const Geschwindigkeitsgradient ist numerisch gleich der Geschwindigkeitsänderung v wenn es sich ändert z pro Einheit. Setzen wir numerisch in Formel (5.8) dv/dz =-1 und S= 1, wir erhalten H = F. das impliziert physikalische Bedeutung h: Der Viskositätskoeffizient ist numerisch gleich der Kraft, die auf eine Flüssigkeitsschicht mit einer Flächeneinheit und einem Geschwindigkeitsgradienten von eins wirkt. Die SI-Einheit der Viskosität wird Pascalsekunde genannt (bezeichnet als Pa s). Im CGS-System beträgt die Einheit der Viskosität 1 Poise (P), wobei 1 Pa·s = 10P.